随机变量函数的数学期望

甲,乙双方的数学期望相同,表示他们的准确度相同.由于乙的方 差小,表示乙射手比甲射手好
(二) 方差的性质
1、常数的方差等于0
证明： D(c) E(c Ec)2 E(c c)2 0
2、随机变量和常数之和的方差就等于这个随机变量的方差。 证明：
D( c) E[ c E( c)]2 E[ c E c]2 E( E )2 D
§4.1 数学期望与方差
一.数学期望
随机变量x及它所取的数和相应频率的乘积和,称为x的平 均数(属于加权平均)也称为随机变量的数学期望或均值.
(一)离散型随机变量的数学期望
定义1 离散型随机变量X 有概率函数 P(X=xk)=Pk (k=1,2,....)
若级数 xk pk 绝对收敛,则称这个级数为X 的数学期望 k 1
ba 2
2
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
2.随机变量函数的数学期望
定理1 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是连续函数)
(若1)若 Xg是(x离k ) 散pk绝型对 随机收变敛量,则,它E的(Y分) 布E律[g为( XP{)X] =xk}=gp(kx. k
K=1,2,..

k x) 2
f
(x)dx

1
a (x3 kx)2 dx

2a a
a2 (15a4 42ka2 35k) E(C)=C.
(2) E( +C)=E +C
证明：对离散型随机变量



E( C) (xi C) p(xi ) xi p(xi ) Cp(xi ) E C
E1 0.2 (80 85 90 95 100) 90 E2 0.2 (85 87.5 90 92.5 95) 90 D1 (80 90)2 0.2 (85 90)2 0.2 (90 90)2 0.2
E(c ) cxi p(xi ) c xi p(xi ) cE( )


E(c ) cx (x)dx c x (x)dx cE( )


（4） E(k b) kE b E(k b) E(k ) b kE b
E(X )

E( X ) = xk pk k 1
例1 甲在机床上生产某产品,若一等品能赚5元,二等品赚3元, 次品亏2元.甲生产时一等品、二等品及次品的概率为0.6,0.3,0.1 .问生产每件产品平均能创造多少财富? 分析: x -2 3 5
p 0.1 0.3 0.6
E(x) (2)0.1 30.3 50.6 3.7
若 1,2...n 独立
D(1 2 .. n ) D1 D2 ... Dn (3 16)
进一步可得到：n个相互独立的随机变量算术平均数的方差等
其方差算术平均数的1/n倍。
D(1 2 .. n ) 1 D1 D2 .. Dn
变量 的离差,显然
E( E) E E 0(312)
不论正偏差大或是负偏差大,同样是离散程度大,用 ( E )2 来
衡量 和 E 的偏差
定义3-4 随机变量离差平方的数学期望,称为随机变量的方差
记 D或

2
而
D
称为 的标准差
D E( E )2, (16)
（5）两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量数学 期望的和。
证明：设 , 是离散型随机变量



E( )
(xi y j ) pij
xi pij
y j pij
j1 i1
j1 i1
j1 i1

xp(1) i
yj
p
(2) j

E x(x)dx(3 2)
称为
的
数学期望

例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期
望
1 ,axb
(x) { ba 0,其他

E x
dx

1
b
xdx
1
b2 a2 b a
b a b a a
大于期望的平方。
例9 计算在区间[a，b]上服从均匀分布的随机变量 的方差
E
b
x
dx
ab
a ba 2
E 2 x2 (x)dx b x2 1 dx a2 ab b2

a ab
3
D E 2 (E )2 b2 ab a2 (a b)2 (b a)2

E

E
i
j
这个性质可以推广到有限多个 E(1 ..n ) Ei (33)
推理：
E(1 n
n
i )
i 1
1 n
i
Ei (3 4)
（6）两个相互独立的随机变量乘积的数学期望等于它们数学
期 望的乘积。E() E E
证明：因为 ,
相互独立，pij

p p (1) (2) ij
E()
xi y j pij
xi y j
p p (1) (2) ij

y
j
p(2) j
xi
p(1) i

EE
ji
ji
j
i
连续型随机变量


E()
xyf (x, y)dxdy
xy(x)( y)dxdy

3、常数和随机变量乘积的方差等于这个常数的平方和随机 变量方差的乘积。 证明： D(c ) E[c E(c )]2 E[c( E )]2 E[c2 ( E )2 ] c2D
4. 两个独立的随机变量之和的方差等于两个随机变量方差
的和 证明：
D( ) E[ E( )]2 E( E E)2 E( E)2 E( E)2 2E( E)( E) D D
3
4
12
对于二维随机变量(X,Y),方差D(X,Y)=[D(X),D(Y)] (20)
当(X,Y)为离散型随机变量时,有

D(X )
[xi E( X )]2 p(xi , y j ) (21)
i1 j1

D(Y )
[ yi E( X )]2 p(xi , y j ) (22)
附近,方差小,反之则大.方差表示随机变量的离散程度.
例8 甲乙两个射手，射击点和目标的距离分别为 1,，2 且分布律
1 80 85 90 95 100 2 85 87.5 90 92.5 95 p 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 p 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
求 D1, D2
) pk (7)
k 1
k 1
(2)若X是连续型随机变量,它的概率密度为f(x).

g(x)
f
(
x)dx.绝对收敛
,
则E(Y
)

E[
g
(
X
)]


g(x) f (x)dx(8)


定理1表示:求E(Y)时,不必知道Y的分布,而只要知道X的分布
定理2 设Z是随机变量X和Y的函数,Z=g(X,Y)(g是连续函数), 那么Z也是一个随机变量,设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则
i1 j1
当(X,Y)为连续型随机变量时,有

D(X ) [x E(X )]2 f (x, y)dxdy (23)

D(Y ) [ y E(X )]2 f (x, y)dxdy (24)
因为 2 不独立,只能用(3-6)式进行计算.
下面介绍几个常用的公式
1)a aq aq2 ... aqn1 a ( q 1) 1 q
2)a

2aq 3aq3
... naqn1

a (1 q)2
(q
1)
3)a
22 aq 32 aq3
...
g(xi , y j ) pij
j1 i1
例3 已知X在[-a,a]上服从均匀分布,试求Y=X3-kX和 Y2=(X3-kX)2的数学期望
解:由(8)式,得到
E(Y )

(
x3

k
x)
f
(
x)dx

1
a (x3 kx)dx 0

2a a
E(Y 2)

(
x3
数学期望为3.7元.表示生产一件产品能创造3.7元
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量
x及它所取的数和相应频率的乘积和.

E( X ) = xk pk
(1)
k 1
(二)连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量 有概率密度 (x) 若

x(x)dx
绝对收敛,则
n
n
n
5、任意随机变量的方差等于这个随机变量平方的期望和它期
望的平方之差，即
D E 2 (E )2 (3 17)
证明：
D E( E )2 E( 2 2E (E )2 )
E 2 2EE (E )2 E 2 (E )2
这个公式用来简化方差计算。且说明随机变量平方的数学期望



x(x)dx y( y)dy EE


例7 仪器由二部分组成，其总长为二部分长度的和。
求 E( ), E( ), E2
分析: 9 10 11
p 0.3 0.5 0.2
6 7 p 0.4 0.6
E 9 0.3 10 0.5 11 0.2 9.9 E 6 0.4 7 0.6 6.6 E( ) E E 9.9 6.6 16.5 E() EE 9.9 6.6 65.34 E 2 62 0.4 72 0.6 43.8
第四章 随机变量的数字特征
随机变量的分布是对随机变量的一种完整的描述，知道 随机变量的分布就全都知道随机变量的所有特征。然后随 机变量的概率分布往往不容易求得的。
随机变量的这些统计特征通常用数字表示的。这些用来 描述随机变量统计性的数字称为随机变量的数字特征。其 中最重要的是数学期望（均值）和方差二种。

E(Z) E[g(X ,Y)]
g(x, y) f (x, y)dxdy (9)

这里假设上式右边的积分绝对收敛. 若(X,Y)为离散型随机变量,其分布律为
P{X= xi, Y= y}j = Pij,i,j=1,2,... 则

E(Z ) E[g( X ,Y )]
若 是离散型随机变量,且
p{ xk } pk , (k 1,2..)
D (xk E )2 pk (17)
若 是连续型随机变量,有概率密度(x)
D (x E )2(x)dx
(18)
随机变量的方差是一个正数, 当 的可能值在它的期望值
n 2 aq n 1

a(1 q) (1 q)3
(q
1)
4)1 1 2 ... 1 n .. e
2!
n!
5) ex2 dx
0
2
6)(r 1) r(r)
(一) 方差的定义
定义 如果随机变量 的数学期望 E 存在,称 E 为随机
(95 90)2 0.2 (100 90)2 0.2 50
D2 (85 90)2 0.2 (87.5 90)2 0.2 (90 90)2 0.2
(92.5 90)2 0.2 (95 90)2 0.2 12.5
i 1
i 1
i 1
对连续型随机变量



E ( )( C)d ( ) d ( ) Cd E C
（3）E(C ) CE
证明：若C=0，则c 是一个常数0，由性质1可知它成立。
p( xk ) pk ,