谈齐次线性方程组的基础解系的求法
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的构造（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ()=r<n, 若AX=0（A为m n矩阵）的一组解为ξ1,ξ2,L ,ξn r, 且知足：A(1)ξ1,ξ2,L, ξn r线性没关 ;(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称ξ,ξ,L ,ξ为 AX=0的基础解系 .12n r称 X k1ξ1k2ξ2L k n rξn r为 AX = 0的通解。
此中 k1, k2, , k n-r为随意常数).齐次线性方程组的重点问题就是求通解，而求通解的重点问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（ A 为m n 矩阵）知足 r ( A)n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r ( A) n .（注：当 m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A 0.）注： 1、基础解系不独一，可是它们所含解向量的个数同样，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AX B 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O 所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若 m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：（ 1）当 m n 时， r ( A) m n ，此时齐次线性方程组必定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就必定有非零解；（ 2）当m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A0 ；（ 3）当m n 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的队列式 A 0 ，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当m n 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0 （ A 为m n矩阵）通解的三步骤（1）A行 C （行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0的基础解系ξ1,ξ2,L,ξn r;(3)写出通解X k1ξ1k2ξ2 L k n rξn r此中 k1, k2, , k n-r为随意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0,【例题 1】 解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0,4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一： 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵明显有 r ( A)4 n ，则方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 4 0 .解法二： 因为方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意： 方程组的个数不等于未知量的个数 （即m n ），不能够用队列式的方法来判断） ，进而可计算系数矩阵 A 的队列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x 1 x2 x3 x4 0 .4 6 1247注： 此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题 2】 解线性方程组x 2 2 x 3 2x 4 6x 5 0,5x 1 4x 23x 33x 4x 50.解： 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2n ，则方程组有无量多解，其同解方程组 为x 1 x 3x 4 5x 5 ,（此中 x 3 ， x 4 ， x 5 为自由未知量）x 22x 3 2 x 46x 5.令 x 3 1 ， x 4 0 ， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 3 0 ， x 4 1， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 30 ， x 4 0 ， x 51，得 x 1 5, x 26 ，于是获得原方程组的一个 基础解系 为1 1 5 22611，20，30.0 1 01所以，原方程组的 通解 为Xk 1 1 k 2 2 k 3 3 （ k 1 ， k 2 ， k 3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ A m n, r ( A)r ）用初等行变换求解，不如设前r 列线性没关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r此中 c ii0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb)dr 1 0 M 0(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有独一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无量多解.其通解为 X0k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r， k1 , k2,L , k n r为随意常数。
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r (A )=r <n ,若AX =0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ,且满足：(1),,,n r -12ξξξ线性无关;(2)AX =0的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX =0的基础解系.称=X 齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系【定理】(1)(2)（注：当注：1()n r A -2AX O = （1） 当（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
1、求AX =0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3)写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…,k n-r 为任意常数.【例题1】解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵显然有(r 解法二：2341A =注：【例题2解：可得()r A 12x x x =⎧⎨=-⎩令31x =令30x =令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）.二、非齐次线性方程组的解法 求AX =b 的解（,()m n r r ⨯=A A ）用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()0rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥A b 行其中0(1,2,,),ii c i r ≠=所以知1(1)r d +≠1(2)r d +=1(3)r d +=其通解为,,n r k -为任意常数。
线性方程组基础解系
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am 1 x1 am 2 x2 amn xn 0
线性无关，
所以 n r 个 n 维向量 1 , 2 , , n r 亦线性无关.
( 2)证明解空间的任一解都可由 1 , 2 , , n r 线性表示.
设x 1 r
r 1 n 为上述
T
方程组的一个解 再作 1 , 2 , , n r 的线性组合 , .
其中k1 , k 2 ,, k n r 是任意常数.
定理1 n元齐次线性方程组Am n x 0的全体解所
构成的集合S是一个向量空间当系数矩阵的秩 , R( Am n ) r时, 解空间S的维数为n r . 当R( A) n时, 方程组只有零解 故没有基础解 ,
系(此时解空间只含一个零 向量, 为0维向量空间); 当R( A) r n时, 方程组必有含n r个向量的
也是 Ax 0 的解.
x 1 2
证明 A1 0 , A 2 0
A1 2 A1 A 2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
（2）若 x 1 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k1 也是 Ax 0 的解． 证明 证毕. 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax 0 的解空间．
如果1 , 2 ,, t 为齐次线性方程组 Ax 0 的一组基础解系 那么, Ax 0 的通解可表示为 ,
解齐次线性方程组基础解系
解齐次线性方程组基础解系
近些年，随着互联网科技的陆续发展，求解齐次线性方程组基础解系的工具在
用户之间广受推崇，取得了不俗的成效。
它是一种共性基础解系，可以帮助研究人员、学者等处理高维空间中的复杂线性方程组，有助搭建理论体系。
求解齐次线性方程组基础解系，主要包括三个步骤：首先，用线性代数的技术
实现把原系数矩阵相减法转化成对等降幂矩阵；其次，当把原系数矩阵变换成一组上三角矩阵之后，便可以得到一个同质基础解系；最后，将同质基础解系转换为非同质基础解系，就能够得到求解齐次线性方程组的最终答案。
由于求极限及其他一些数学计算较复杂，使用求解齐次线性方程组基础解系可
以显著提升工作效率。
同时，也可使用它来分析系统问题与复杂运算，精准推断重要信息。
求解齐次线性方程组基础解系也在逐步完善和积极推广，受到不少用户的称赞。
综上所述，求解齐次线性方程组基础解系是一种用于处理复杂线性方程组的共
性基础解系，有利于搭建理论体系，提升计算效率，分析系统问题，推断重要信息，从而发挥重要作用，受到广泛的好评。
基础解系怎么求 如何计算_1
基础解系怎么求如何计算
基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。
基础解系怎么求
线性代数的基础解系求法：
基础解系针对齐次线性方程组AX = 0而言的.
当r(A)n(n是A的列数)时, 方程组存在基础解系.
基础解系是AX = 0的n-r(A)个线性无关的解向量, 方程组的任一解都可表示为基础解系的线性组合.
以齐次方程组为例：
假如是3阶矩阵r(A)=1
矩阵变换之后不就是只剩一个方程.这时候,可以设x3为1,x2为0,得出x1，然后设x3为0,x2为1,得出x1由于只要(0,1)和（1,0）确定无关,所以所得解就无关,而这个方程基础解系的个数为n-r(A)=2个.假如r(A)=2的话,就剩下来两个方程。
极大线性无关组基本性质
（1）只含零向量的向量组没有极大无关组；
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；
（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；
（4）齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。
（5）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
（6）一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。
（7）若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。
谈齐次线性方程组的基础解系的求法
收稿日期:2003-03-03作者简介:孙学农(1971-),男,山东省东营市人,山东东营职业学院讲师1第24卷第3期济宁师范专科学校学报2003年6月V ol124N o13Journal of Jining T eachers’C ollege Jun12003文章编号:1004-1877(2003)03-0005-02谈齐次线性方程组的基础解系的求法孙学农(东营职业学院,山东东营257091) 摘 要:本文首先陈述求齐次线性方程组的基础解系的简化解法,进一步利用矩阵的初等变换给出了一种很有使用价值的简便方法。
关键词:基础解系;初等变换;线性无关;向量中图分类号: O241.6 文献标识码:A考虑齐次线性方程组a11x1+a12x2+…+a1n x n=0a21x1+a22x2+…+a2n x n=0 ………a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=0 (1) 定义 设a1,a2,…,a s是方程组(1)的解向量,并且:(1)a1,a2,…,a s线性无关:(2)方程组(1)的任一解向量a都可由向量组a1,a2,…,a s线性表出,则称a1,a2,…,a s是线性方程组(1)的一个基础解系。
定理 若齐次线性方程组(1)中的系数矩阵的秩r<n(r≥0),那么方程组(1)有基础解系,且基础解系所含解向量的个数等于n-r。
算法 先将系数矩阵A进行初等行变换,化成阶梯阵U=3,显然AX=0当且仅当UX=0.然后将矩阵进行列变换,变成T=C113C22ω30C rr00注意此时自变量x1,x2,…,x n的次序有可能发生变化,我们把改变顺序的向量组成新向量Y,因此AX=0当且仅当TY=0。
设Y=(y1,y2,…,y r,y r+1,…,y n),取(y r+1,…y n)分别为(1,0,0,…,0),(0,1,0,…,0),(0,0,1,…,0),(0,0,0,…, 1),分别代入TY=0可得n-r组(y1,y2,…,y r),将每组(y1,y2,…,y r)与其对应的组(y r+1,…,y n)合起来,可得TY=0的一个基础解系Y1,Y2,…,Y n-r,将Y1,Y2,…,Y n-r中分量的顺序调整到X的顺序,分别得到a1,a2,…,a n-r,即为AX=0的基础解系。
通解和基础解系的求法
通解和基础解系的求法一、引言在数学中，我们经常遇到需要求解方程或者方程组的问题。
而对于线性方程组来说，通解和基础解系是非常重要的概念。
本文将介绍通解和基础解系的定义及其求法，并给出一些例子来帮助读者更好地理解这两个概念。
二、线性方程组的通解1. 定义首先，我们来看一下什么是线性方程组的通解。
对于一个线性方程组：{a 11x 1+a 12x 2+⋯+a 1n x n =b 1a 21x 1+a 22x 2+⋯+a 2n x n =b 2…a m1x 1+a m2x 2+⋯+a mn x n =b m其中，a ij 和 b i 是已知系数或常数，x i 是未知变量。
如果一个向量 x 满足上述方程组中的所有等式，则称 x 是该线性方程组的一个解。
而所有满足该线性方程组的向量构成了该方程组的通解。
2. 求法接下来，我们来看一下如何求解线性方程组的通解。
一种常见的方法是使用高斯消元法或矩阵求逆的方法来求解方程组，得到一个特解。
然后，我们可以通过给特解加上一个线性无关的向量组成的向量空间来得到通解。
具体步骤如下：•使用高斯消元法或矩阵求逆的方法将线性方程组转化为行简化阶梯形式。
•找到一个特解 x p 。
•构造一个基础解系 {x 1,x 2,…,x n−r }，其中 n 是未知变量的个数，r 是行简化阶梯形式中非零行的个数。
• 通解为 x =x p +c 1x 1+c 2x 2+⋯+c n−r x n−r ，其中 c 1,c 2,…,c n−r 是任意常数。
三、线性方程组的基础解系1. 定义接下来，我们来看一下什么是线性方程组的基础解系。
对于一个齐次线性方程组：{a 11x 1+a 12x 2+⋯+a 1n x n =0a 21x 1+a 22x 2+⋯+a 2n x n =0…a m1x 1+a m2x 2+⋯+a mn x n =0其中，a ij 是已知系数，x i 是未知变量。
如果一个向量 x 满足上述方程组中的所有等式，则称 x 是该齐次线性方程组的一个解。
线性代数课件3-5齐次线性方程组的解法
下面证明 1 , 2 , , n r 是齐次线性方程组(1)的一 个基础解系．
(1)证明 1 , 2 ,, n 线性无关.
1 0 , 0 0 1 , , 0 0 0 1
n 由于
r
个n
r
维向量
线性无关， 所以n r 个n 维向量 1 , 2 , , n r 亦线性无关.
(2)证明 1 , 2 , , n 线性无关.
设 x 1 方程组的一个解
r
r 1
n 为上述
T
. 再作 1 , 2 , , n r 的线性组合
b11 b12 b b r1 r2 r 1 1 r 2 0 n 0 1 0 0 b1 ,n r c 1 b r ,n r c r 0 r 1 0 r2 1 n
~
1 0 0
0 1 0
2 7 5 7 0
3 7 4 7 , 0
便得
2 x1 x 3 7 5 x2 x3 7
3 7 4 7
x4, x4.
x3 1 0 2 7 3 7 令 及 ,对应有 x 1 及 , 0 1 x4 x2 5 7 4 7
解
对系数矩阵施 行初等行变换
1 2 A 1 3
1 1 1 1
1 3 3 5
4 5 2 6
5.2+第五章+线性方程组+第二节++齐次线性方程组的解空间与基础解系(图片+动画版)
（4）由 A2 还原出最简方程组 ，自由未知数个数为n r ，
构造基础解系 , , ，得到通解（生成 n r维解空间）
1ห้องสมุดไป่ตู้
2
nr
c c c X
11
22
nr nr
A 3、常用结论：若 m×n B = O
→
则矩阵B的每一列都是齐次线性方程组 Am×n X = 0 的解向量，
所以B的秩不超过方程组解空间的维数.
R( A)
=
R(1
2
) n
=r ＜ n
R( A)
=
R(1
2
) n
=r=n
A 2、基本方法：线性方程组求解基本步骤 X m×n = 0
A （1）系数矩阵 A 行变换 行阶梯阵 从上向下 1
（2）判断解的状态：
A1的非零行数= r
r n r n
——唯一解（零解） ——无穷多解（零解及非零解）
A A （3）无穷多解时 1 行变换 从下向上行最简形 2
又如果 R( A) r n， 则 R(B) n r
因此 R(A) R(B) n .
第二节 齐次线性方程组的解空间与基础解系
一、 齐次线性方程组(Ⅰ)的解空间
二、齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系
总结: 1、基本关系
齐次线性方程组
A X 0 mn
→
x11 + x2 2 + + xn n = 0
无穷多解（非零解）
唯一解（零解）
1,2, ,n 线性相关
1,2, ,n 线性无关
线性代数基础解系求法举例
11 0 01 11 0 0 1 11001 A～ 1 1 1 0 0 ～ 0 0 1 0 1 ～ 0 0 1 0 1
00 1 11 00 0 1 0 00010
x1 x2
x5 0
得同解方程组：
x3
x5 0 ,
x4
0
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
15
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
n 5, R( A) 3,自由变量 n r 2,为行最简形的
（4）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是 唯一的 .齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的 .
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
14
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
例题 （1 96，数学一，6分）
x1 x2
x5 0
求齐次线性方程组
x1 x2 x3
0
x3 x4 x5 0
的基础解系和通解 解：对系数矩阵作初等 行变换，化成行最简有 ：
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
17
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
（二）非齐次线性方程组的通解
1.非齐次线性方程组的解向量的性质
设有非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2
a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2
它也可写作向量方程
amn xn bm ,
Ax 0的解集的秩 Rs n r , R(a1 ,a2 , an r ,b) n r n r 1 由相关性秩的判别法， a1 , a2 , an r， b线性相关。 a1 , a2 , an r线性无关，并且 a1 , a2 , an r， b线性相关。 由相关性与线性表示的 关系定理， b能由 a1,a2 , an r 唯一线性表示。由最大 无关组定义，
齐次线性方程组基础解
齐次线性方程组基础解
本文主要讨论齐次线性方程组的基本解的概念，并分析了三种常见的解法方法，诸如高斯消元法、克莱默法等，以便让读者更好地理解求解齐次线性方程组的基本解的基本步骤。
首先，什么是“齐次线性方程组”？齐次线性方程组是指由n 个线性方程组组成的方程组，即：a1x1 + a2x2+...+anxn=0齐次线性方程组的n个未知数x1，x2...，xn的一组解称为它的基本解，我们可以将它表示为x=(x1，x2，...，xn)。
接下来，我们来讨论求解齐次线性方程组的基本解的基本步骤。
主要有：
（1）高斯消元法：此方法是由德国数学家高斯在19世纪发明的，它是最简单、最常用的求解齐次线性方程组基本解的方法。
在此方法中，将所有未知数按先后次序，依次用高斯算法和高斯切线法解出。
（2）克莱默法：这是另一种求解齐次线性方程组基本解的方法，克莱默法采用矩阵分解的思想，将一个齐次线性方程组拆分成两个矩阵，分别为系数矩阵和常数项矩阵，通过矩阵分解求解基本解。
（3）其他方法：除了上述的两种解法外，另外还有一些求解齐次线性方程组基本解的方法，如凯莱默法、乔姆斯基降幂法，还有一些基于数值计算的方法，如Gauss-Seidel迭代法、SOR （Successive Over Relaxation）方法等。
最后，本文就以齐次线性方程组基本解为标题，介绍了三种求解齐次线性方程组基本解的方法，希望能对读者有所帮助。
§3齐次线性方程组解的结构
时，即可写出与之对应的方程组：
所以可以让x2,x4为自由未知量，让 依次取 ， 即可求出原方程组的一个基础解系：
1＝ ,2＝ .
例3设1＝(1, 2, 1, 0),2＝(－1, 1, 1, 1)，
1＝(2, －1, 0, 1)，2＝(1, －1, 3, 7)；
教学环节
一、数域 上的 元齐次线性方程组有非零解的充要条件
定理6.3.1齐次线性方程组(1)有非零解的充分且必要条件是系数矩阵A的秩小于n.
证由定理6.1.2知, 当r(A)＝n时，(1)有唯一解，那只能是零解；当r(A)<n时，(1)有无穷多个解，即除零解外还有非零解. □
推论6.3.2如果m<n，那么齐次线性方程组(1)有非零解.
证当m<n时，r(A)≤min{m,n}＝m<n.所以由定理6.3.1即知(1)有非零解.
二、数域 上的 元齐次线性方程组在 上的所有解向量构成 的一个子空间
下面我们考虑齐次线性方程组(1)的解的结构. 先将(1)写成矩阵形式
AX＝0, 其中A是系数矩阵，
X＝ .
(1)的每一个解都可以看成是一个n维列向量，叫做方程组(1)的一个解向量. (1)的解向量有以下的性质.
例2求出齐次线性方程组
的一个基础解系.
对系数矩阵施行行初等变换和第一种列初等变换，得
，
这里我们交换了矩阵的2、3两个列. 与上述最后一个矩阵相对应
的齐次线性方程组是
(5)
依次取 为 , 即可求出(5)的两个解
, .
再把i的第2、第3两个坐标互换，(i＝1,2),即得
1＝ ,2＝ .
求齐次线性方程组的一个基础解系,并求方程组的通解
求齐次线性方程组的一个基础解系,并求方程
组的通解
求解齐次线性方程组的一个基础解以及求解它的通解是数学分析
中常见的问题。
首先，我们需要明确形式：齐次方程组的一般形式为：$ax_1 + bx_2 + cx_3 + … + nx_n = 0$
一般情况下，求解齐次线性方程组时可以将其具体化为：
$a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + … + a_nx_n = 0$
首先来求齐次线性方程组的一个基础解系。
可以根据基变换理论，将方程组中的系数矩阵分解为一系列单位矩阵组合的形式，由此可以
逐步求出齐次线性方程组的一个基础解系。
接下来求齐次线性方程组的通解。
通解可以分为两种：空解和非
空解，其中非空解表示方程组非空解存在；空解表示方程组无解。
如
果存在非空解，它是某个基础解系的一组特殊解。
更准确地说，通解
是某个基础解系及其一组特殊解的组合。
若求得方程组的通解，则它
的一般形式为：
$x_{n}{(t)} = x_{0} + \int\exp{(A)}t dt$
其中，$x_{0}$ 为基础解系的一解，$ \exp{(A)}t$ 为特殊解的
系数，$A$ 为系数矩阵。
以上是关于求解齐次线性方程组的一个基础解系并求方程组的通
解的概述，完整的求解需要细节的求解过程和证明。
此外，根据题目
的不同，要求的非空解的形式也会有所变化，因此需要根据实际情况
调整解题过程。
齐次线性方程组解的结构
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线性代数之齐次线性方程组基础解系问题的求解方法总结
解答题的形式出现，分值为11分，2016年数学一考了一道大题，11分，2017年也考察了一道大题，11分。
往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容。
但也不会简单到仅考方程组的计算，还需灵活运用，比如2014年的线性代数第一道解答题，解矩阵方程，而且系数矩阵是不可逆的，这是考研以来第一次这样考，最后归结为求三个非齐次线性方程组通解。
重点内容：
(1)齐次线性方程组基础解系的求解与证明
(2)齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。
常见题型：
(1) 线性方程组的求解
(2) 齐次线性方程组的基础解系
(3) 两个方程组的公共解、同解问题
齐次线性方程组的基础解系：
齐次线性方程组的基础解系基础解系及通解的求法：
基础解系及通解的求法
题型一：齐次线性方程的基础解系的求解
例1：
分析：对方程组的系数矩阵作初等行变换，化成阶梯型矩阵。
解：由题意得：齐次线性方程组的系数矩阵为：
本例给出了基础解系的基本方法。
齐次线性方程组基础解系的求法
１ 引 言
线性 方 程 组 是 线 性 代 数 课 程 中一 项 重 要 内
容， 齐次 线性 方程 组 的基础 解 系 ， 不仅 对 解方程 本 身是 不 可缺少 的 ， 它在其 它方 面 ， 且 特别是 在矩 阵 的秩 方面 也 有 广泛 的应 用 。对 学 生 而 言 ， 阵 的 矩 秩是 一个 难 点 。对 于 一 个初 学 者 来 说 ， 断 方 程 判 组是 否有 非零 解 是 没 问 题 的 ， 是 想 能正 确 而 又 但 快速 的找 到它 的基 础解 系却 并 不容易 。针 对这 个
在上 述两种 解法 中， 然解法 ２ 为简 洁 。 显 更
参 考 文 献
１ 北 京 大 学 数 学 系 几 何 与 代 数 教 研 室 前 代 数 小 组 编 ． 等 代 数 高
陈 建 莉 ． 性 方 程 组 解 法 新 探 ［］ 纺 织 高 校 基 础 科 学 学 报 ， 线 Ｊ．
Ａｂ ｔａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｎｅ ｗｏｒ ａ ｔｔｏ ｆｅ ｃ ｕｒ ｎ ｗｉ ｅｅ ｓ Ｍ ｅ ｈ ｎｅ ｗｏ ｋ，ａ ｄ ｔ ａ ｏｕ ｆｇａ ｅ ｔ ｋ ｐ ｒ ｉｉ ｎ ｏ ｔ ｎ ｏ ｃ ｓ ｉ ｒ ｌ ｓ ｓ ｔ ｒ ｎ ｈｅ ｌ ｙ ｔ ｏ ｔ — ｗａ ｄｅ ｒ ｓ ｕ ｓ ｄ ｉ ｈ ｓ ｅ ｓ ｙ ｆ ｏ ｔ ｅ ｓ ｃ ｉ ｆ ｉ ｙ ｎｏ ｓ ａ ｅ ｄｉｃ ｓ ｅ ｎ ｔ ｉ ｓ ａ ｒ ｍ ｈｅ ｐ ｒ ｐｅ ｔｖｅ ｏ ｍｐｒ ｖ ｎｇ ｔ ｏ ｏ ｉ ｈｅ ｃ ｍｍ ｕ ｃ ｔｏ ｎｉａ ｉ ｎ ｒ ｌａ ｉｉｙ Ｔｈｅ ｍｅ ｈ ｏ ａ ｃ ａ ｉ ｈｅ ｌｎｋ ｓａ ｅ ａ ｄ ｅ ｆ ｃ ｉ ｅ ｐ ｏｂ ｂ ｌｔ ｓ ｄ ｏ ｉ ｋ ｅｉ ｂ ｌｔ ． ｔ ｏｄ ｆ ｒ ｃ ｌｕｌ ｔｎｇ ｔ ｉ ｔ ｔ ｆｅ ｔｖ ｒ ａ ｉｉｙ ｂａ ｅ ｎ ｌｎ ｎ 一 ｑｕ ｌｔ ｎｄ ｃ ｔ ｒ ｓ ｆｒ ｔｙ ｐ ｏ ｏｓ ｄ，ａ ｈｅ ｎ ｎｅ ｔｎ ｌ ｏ ｉｈ ｉ ｅ ｉ ｎｅ ａ ｉｙ ｉ ｉａ ｏ ｓ ｉ ｉｓ ｌ ｒ ｐ ｅ ｎｄ ｔ ｎｓ ｂ ｕ ｔ ｉ ｇ ａ ｇ ｒｔ ｍ ｓ ｄ ｓｇ ｄ，ｆ ｌｏｗｉ ｏｌ ｎｇ
如何求齐次线性方程组Ax=0的基础解系？
如何求齐次线性方程组Ax=0的基础解系?
解答：设R(A)=r,未知量个数为n,则Ax=0的基础解系含有n－r个解向量,因此只要求出n－r个线性无关的解向量α1,α2,…αn－r,它们就是Ax=0的一个基础解系.
对于具体的线性方程组Ax=0,只要将A化为行最简形矩阵,写出同解方程组,令自由未知量构成的向量依次取n－r维单位坐标向量e1,e2,…,e n－r,则可求出基础解系α1,α2,…αn－r.
对于抽象的线性方程组Ax=0,首先应该确定它的基础解系所含向量的个数n－r,再设法求出n－r个线性无关的解向量.例如,已知
,
是三元方程组Ax=b的两个解,且r(A)=2,则Ax=0的基础解系含n－r(A)=1个解向量,由解的性质知
α=－＝
是Ax=0的解,则α就是Ax=0的基础解系.。
求齐次线性方程组基础解系的初等变换法
求齐次线性方程组基础解系的初等变换法
张金战
【期刊名称】《绵阳师范学院学报》
【年(卷),期】2010(29)5
【摘要】求齐次线性方程组基础解系的一般方法是利用矩阵的初等变换将原方程组化为同解方程组,写出舍有n-r个自由未知量的一般解,然后通过给自由未知量适当赋值即得到原方程组的基础解系.该文对这一方法进行了改进,给出了用矩阵的初等变换直接求出齐次线性方程组基础解系的方法.
【总页数】3页(P8-10)
【作者】张金战
【作者单位】陇南师范高等专科学校数学系,甘肃成县,742500
【正文语种】中文
【中图分类】O151
【相关文献】
1.齐次线性方程组基础解系的求法 [J], 韩新社
2.浅谈齐次线性方程组基础解系的一种简单求法 [J], 何芳丽
3.矩阵求逆和齐次线性方程组的基础解系的统一算法 [J], 王玉兰
4.利用分块矩阵法求齐次线性方程组基础解系的一种简单方法 [J], 雷雪梅
5.用矩阵的初等行变换求齐次线性方程组的标准正交解系 [J], 于永新
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收稿日期:2003-03-03
作者简介:孙学农(1971-),男,山东省东营市人,山东东营职业学院讲师1
第24卷第3期济宁师范专科学校学报2003年6月V ol124N o13Journal of Jining T eachers’C ollege Jun12003文章编号:1004-1877(2003)03-0005-02
谈齐次线性方程组的基础解系的求法
孙学农
(东营职业学院,山东东营257091)
摘 要:本文首先陈述求齐次线性方程组的基础解系的简化解法,进一步利用矩阵的初等变换给出了一种很有使用价值的简便方法。
关键词:基础解系;初等变换;线性无关;向量
中图分类号: O241.6 文献标识码:A
考虑齐次线性方程组
a11x1+a12x2+…+a1n x n=0
a21x1+a22x2+…+a2n x n=0
………
a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=0
(1)
定义 设a1,a2,…,a s是方程组(1)的解向量,并且:
(1)a1,a2,…,a s线性无关:
(2)方程组(1)的任一解向量a都可由向量组a1,a2,…,a s线性表出,
则称a1,a2,…,a s是线性方程组(1)的一个基础解系。
定理 若齐次线性方程组(1)中的系数矩阵的秩r<n(r≥0),那么方程组(1)有基础解系,且基础解系所含解向量的个数等于n-r。
算法 先将系数矩阵A进行初等行变换,化成阶梯阵U=
3
,显然AX=0当且仅当UX=0.然后将矩阵进行列变换,变成
T=
C113
C22
ω3
0C rr
00
注意此时自变量x1,x2,…,x n的次序有可能发生变化,我们把改变顺序的向量组成新向量Y,因此AX=0当且仅当TY=0。
设Y=(y1,y2,…,y r,y r+1,…,y n),取(y r+1,…y n)分别为(1,0,0,…,0),(0,1,0,…,0),(0,0,1,…,0),(0,0,0,…, 1),分别代入TY=0可得n-r组(y1,y2,…,y r),将每组(y1,y2,…,y r)与其对应的组(y r+1,…,y n)合起来,可得TY=0的一个基础解系Y1,Y2,…,Y n-r,将Y1,Y2,…,Y n-r中分量的顺序调整到X的顺序,分别得到a1,a2,…,a n-r,即为AX=0的基础解系。
例 求齐次线性方程组
x1-x2+5x3-x4=0
x1+x2-2x3+3x4=0
3x1-x2+8x3+x4=0
x1+3x2-9x3+7x4=0
的一个基础解系。
—
5
—
解 A=1 -1 5 -1
1 1 -2 3
3 -1 8 1
1 3 -9 7
———
1 -1 5 -1
0 2 -7 4
0 0 0 0
0 0 0 0
取x3,x4为自由未知量,得方程组为
x1-x2=-5x3+x4 2x2=7x3-4x4
令 x3=1,x4=0,得x1=-3/2,x2=7/2
x3=0,x4=1,得x1=-1,x2=-2
则a1=(-3/2,7/2,1,0),a2=(-1,-2,0,1)为所求的一个基础解系。
下面我们来导出一个求基础解系的简便方法。
为变换上的方便,不妨把线性方程组写成矩阵方程X1×n A n×m=01×m,因n×m矩阵A必有n阶和m阶可逆阵P和
Q,使PAQ=I r 0
0 0
,其中r=秩A,I r为阶单位矩阵,故PA=
I r 0
0 0
Q1=
D r
,这里D r为满秩矩阵。
而n阶可逆矩阵P
的后n-r行必线性无关,且为[0,I n-r]P,这里I n-r为n-r阶单位矩阵。
因[0,I n-r]PA=[0,I n-r]D r
=0。
此示,P的后n
-r行就是(1)的解向量,从而P的后n-r行就是(1)的一个基础解系。
从而我们得到一个求(1)的一个基础解系的简便方法是:
[A n×m,I n]— D r
,P,
其中,D r为一行满秩矩阵,r=秩(A),P为n阶可逆阵,则P的后n-r行即为(1)的一个基础解系。
下面我们用此方法来解上述例题
解: 1 1 3 1 1 0 0 0
-1 1 -1 3 0 1 0 0
5 -2 8 -9 0 0 1 0
-1 3 1 7 0 0 0 1
—
1 1 3 1 1 0 0 0
0 2 2 4 1 1 0 0
0 -7 -7-14 -5 0 1 0
0 4 4 8 1 0 0 1
1 1 3 1 1 0 0 0 0 2 2 4 1 1 0 0
0 0 0 0
-3
2
7
2
1 0 0 0 0 0 -1 -2 0 1
于是,a1=(-3/2,7/2,1,0) a2=(-1,-2,0,1)为所求的一个基础解系。
因可逆矩阵可表示成一系列初等矩阵的乘积,由初等矩阵与初等变换的关系及本文的定理即得上述齐次线性方程组的基础解系的一种简便求法。
参考文献:
[1]北京大学数学系.高等代数[M].高等教育出版社,1988.
[2]刘树利等编.计算机数学基础[M].高等教育出版社,2000.
(责任编辑 庞新琴)—
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