《运筹学教程》胡云权 第五版 运筹学复习

4/7 -
3 2
x2 x1
-z
4/7 45/7
0 1
0
1 0
0
1/7 6/7
-50/7
2/7 5/7
-M-16/7
1/7 -1/7
-1/7
-1/7 1/7
-M+1/7
由此可得，最优解X*=(45/7，4/7，0，0，0，0), Z*=102/7， 具有唯一解。
1.6（1）答案
线性规划模型三要素
• 决策变量
表示某种重要的可变因素，变量的一组数据代表一个解决的方案或措施， 用x1, x2, · · · , xn表示
• 目标函数
决策变量的函数，目标可以是最大化或最小化
• 约束条件
对决策变量取值的限制条件，由决策变量 x1, x2, · · · , xn 的不等式组或方程组 构成
线性规划问题的特征
每个问题都用一组未知变量 x1 , x2 ,, xn 表示目标函数 和约束条件。
有一个目标函数，且可表示为一组未知量 x1 , x2 ,, xn 的线性函数，目标函数可以是求最大也可以求最小。 存在一组约束条件，都可以用一组未知量 x1 , x2 ,, xn 的线性等式或不等式表示。
0 x1 + 2 x2 ≤ 4
x1 , x2 ≥ 0
2
2 x2 = 4
图解法步骤：
Z=2 1 o 1 2 3 4 x1
1、建立直角坐标系；
2 、图示约束条件，判断可行域；
3 、图示目标函数和寻Biblioteka Baidu最优解；
图解法求解的四种情况
基本定理
定理1：线性规划问题的可行域为凸集。
定理2：凸集的每个顶点对应一个基可行解。
单纯形法求解——I.求初始基可行解
因为，基可行解是由一个可行基决定， 所以，构造初始基可行解 X 0 ，相当于确定一个初始可行基 B0 方法：若A中含I， 则 B0 I ；
若A中不含I，则用人工变量法（大M法）构造一个I。
问题：若 B0 I ，则 X 0 ?
1 x1 2 x2 x3 x4 3 2 x1 x2 x , x , x , x 0 1 2 3 4
单纯形法求解——单纯形表
单纯形表：基于单纯形法的步骤设计的计算格式，是单纯形法的具 体实现。 单纯形表的主要结构 C A


—— 单位矩阵I 问题：第一张表的 1 c C B Pj j j B 检验数的公式在哪里？ 中的第j 列 在哪里？
单纯形法求解
max z 7 x1 12 x2
第二阶段：将第一阶段得到的基可行解作为原问题的初始基可行解，
以原目标函数为目标函数进行计算，然后按照单纯形法求解原问 题的最优解。
线性规划最优解的几种情况
单 纯 形 法 小 结
教材 P35
作业p44
• 1.1 图解法 • 1.2 • 1.3 • 1.6 • 1.7 • 1.10 • 1.12 • 1.13 • 1.14 （1）
单纯形法基本步骤
I. 求初始基可行解
II. 确定换入变量的最优性条件
，
初始基可行解
III. 确定换出变量的可行性条件
是否是 最优解
Y
N
找一个较好 基可行解
IV. 运用初等行变换求出新的基 可行解
结束
由于基可行解数目有限（≤ C m n ），因此，经过有限次迭代即可找到最优解。
前提：线性规划为标准型。
例1中的 X 0 ?
单纯形法求解——II.最优性检验
把目标函数用非基变量表示：
方法：
① 计算每个x j 的检验 数 j c j CB B1Pj ②若所有 j 0 ，则 当前解为最优解
检验数向量，记为 。当 0 时，当前解为最优解。
③否则，有 j 0 ， 则找到最大的 k ， 其对应的 xk 作为 换入变量。
2
3
-5
-M
0
-M
x1
1
x2
1
x3
1
x4
1
x5
0
x6
0
Θ 7
x4
-M
x6
-z
10
[2]
3M+2 0 1 0
-5
3-4M
1
2M-5 1/2 1/2 M/2-6
0
0 1 0 0
-1
-M 1/2 -1/2 M/2+1
1
0 -1/2 1/2 -3M/2-1
5
-M 2
x4 x1
-z
2 5
[7/2 ]
-5/2 7M/2+8
O {x D c x c y, y D }
最优值：最优解的目标函数值
v c x, x O
线性规划的求解方法——图解法
Max Z= x1 + 2 x2 2 x1 + 2 x2 ≤ 8 2 x1 + 2 x2 = 8
4
Z=6 3
最优解：x1=2, x2=2
最优值：Z=6
运筹学复习
《运筹学》课程大纲
课程性质：方法技能类 专业必须课
课时数：1-14周，3，42学时 课程框架
约束条件、目标最大/小化、最优方案
线 性 规 划 运 输 问 题 整 数 规 划 动 态 规 划 图 与 网 络 分 析 对 策 论
决 策 分 析
考核方案：作业（50%）+考试（50%）
1.3——线性规划标准型解的概念
基矩阵（基）：设A是 m n 阶系数矩阵(m n )，秩A=m，则A中一 定存在m个线性无关的列向量，称由m个线性无关的列向量 构成的可逆矩阵 B (P , P ,, P ) 为问题L的一个基，L最多有 Cm 个基。系数矩阵A中的m阶可逆子阵，记为B。其余为 n 非基矩阵，记为N。
方法：
① 用入基变量 xk 替换基变量中的换出变量 xl ，得到一个新的 基 (P 1 ,…，P l 1 , P k,P l 1 ,…，P m) ；
② 对应这个基可以找到一个新的基可行解；
③ 重复步骤II和III，直到结束，求出最优解。
旋转变换的实质就是用一系列的初等行变换将主元列变为 ? 单位列向量，其中主元变为1，主元列的其余元素都为零。
《运筹学》教材内容
线性规划 第一章 1-5节
运输问题 第三章 1-4节 整数规划 第五章 1-5节
动态规划 第七章 1-4节
图与网络分析 第八章 1-3节
对策论 第十二章 1-3节
决策论 第十三章 1-3节
第一章 线性规划及单纯形法
主要内容

线性规划问题及其数学模型 线性规划解的概念、图解法 单纯形法原理 线性规划应用
①∵ P1，P2线性无关，∴（P1, P2）为基. ③…… x1 , x2为基变量，令非基变量x3 , x4为0， ④…… 得 x1 = -1/3，x2=11/3 ⑤…… 则基解为（-1/3 , 11/3 , 0 , 0），非可行解。⑥…… 最优解为（5/2 , 0 , 11/5 , 0），最优值为43/5。
j 0 , 对应的p j 进基 方法：令 k max j
( B 1b)i 1 令 l min i 1 ( B pk） i 0 , 对应的pl 出基 i ( B pk） i
i
bi aik
检验比
单纯形法求解——IV.求解新的基可行解
x1, x2, …, xn ≥ 0
其中bi ≥0 ，i = 1, 2, …, m
右端项非负
解的重要概念
可行解（或可行点） ：满足所有约束条件的向量 x ( x1 , x2 , xn ) 可行域：所有的可行解的全体
D { x Ax b, x 0}
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体 称为最优解集合
单纯形法的进一步讨论——两阶段法
第一阶段（目的是求解该问题的一个初始基可行解）：在约束中加入
人工变量使系数矩阵出现单位阵，然后目标函数变为maxW＝-∑人 工变量，如果所得最优解中所有的人工变量都为零则得到原问题 的一个基可行解（而非最优解），否则原问题无可行解。如果第 一阶段求解结果最优解的目标函数值不为0，也即最优解的基变量 中含有非零的人工变量，表明原线性规划问题无可行解。
基可行解的个数是有限的，当然凸集的顶点个 数也是有限的。 定理3：若线性规划有最优解，必在可行域某顶点上达到。
在有限个基可行解中间存在最优解。
单纯形法的基本原理
从一个初始基可行解出发，通过对基变量的迭代运算 （每次迭代更换一个基变量，相当于从一个可行极点移动 至与其相邻的另一个可行极点）而得到下一个基可行解， 同时使目标函数值得到改善；经过有限次的迭代运算，就 能得到LP的最优解。 最优性条件：判断是否达到最优解的条件，以及确定下一 次应调入哪一个非基变量为基变量，可使目标函数值得到 改善； 可行性条件：确定应调出哪一个基变量（使其成为非基变 量）可确保新的基本解仍然是可行解。
单纯形法求解——III.可行性检验
因为，基可行解与基相对应， 所以，寻找新的可行解，即将初始可行基 B0 转化为 B1 ，称基变换。
改善：Z1 Z 0 基变换的原则 1 可行： B 1 b0
换入变量： j 0 中最大的 k 所对 应的 xk 换入基；
1 1 换出变量：由 X B B b B NX N 0 决定出基变量。
1.6（1）答案
【解】大M法
化为标准型，并加入人工变量得
max z 2 x1 3x2 5x3 Mx4 0 x5 Mx6
x1 x2 x3 x4 7 2 x1 5 x2 x3 x5 x6 10 x16 0
cj CB -M XB b 7
j1 j2 jm
基向量：基矩阵B中的列，其余为非基向量。 基变量：与基矩阵B中列向量所对应的变量为基变量，记为 X ( x , x ,, x ) ，其余变量为非基变量，记为 X 。
T B j1 j2 jm
N
1.3（2）答案
【解】此线性规划问题的系数矩阵A为 1 2 3 4 2 1 1 2 令A=(P1，P2，P3，P4)
aik 0
例2 用单纯形法求解线性规划问题 max z 7 x1 12 x2 0 x3 0 x4 0 x5
主元素 7 x1 9 4 3 7 12 x2 4 5 [ 10 ] 12
XB
1 c1 CB B P 1
1
CB 0 0 0
B-1b 360 200 300
0 x3 1 0 0 0
线性规划模型的标准形式
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn 目标函数：
a x + a x + … + a x = b 11 1 12 2 1 n n 1 约束条件： a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm 目标最大化 约束为等式 决策变量均非负
1 P 2 P 3 P 4 P 1 2 1 3 1 4 2 2
②∵ P1，P3线性无关，∴（P1, P3）为基. x1 , x3为基变量，令非基变量x2 , x4为0， 得 x1 = 5/2，x3=11/5 则基解为（5/2 , 0 , 11/5 , 0），可行解。 （5/2 , 0 , 11/5 , 0）为基可行解，z2=43/5
0 x4 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0

90 40 30
1
90
9 7 [0, 0, 0] 4 3 7
x3 x4 x5
bi 360 aik 4

单纯形法的进一步讨论——大M法
大M法：若给定问题标准化后，系数矩阵中不存在m个 线性无关的单位列向量，则在某些约束的左端加入非负 变量（人工变量），使得变化后的系数矩阵中恰有m个 线性无关的单位列向量，并且在目标函数中减去这些人 工变量与M的乘积（M是相当大的一个正数）。对于变 化后的问题，取这m个单位列向量构成的单位矩阵为初 始基，该基对应的解一定是基可行解。
9 x1 4 x2 360 4 x + 5x 200 2 s.t. 1 3 x1 10 x2 300 x1 , x2 0
解：（1）转化为标准型
9 x1 4 x2 x3 4 x + 5x x4 1 2 s.t. 3 x1 10 x2 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 360 200 x5 300