级数练习题
数学分析15傅里叶级数总练习题
第十五章 傅里叶级数总练习题1、求三角多项式T n (x)=2A 0+∑=n1k k k sinkx )B +coskx (A 的傅里叶级数展开式.解：T n (x)以2π为周期，且在(-∞,+∞)上光滑，∴能展开为傅里叶级数.又a 0=⎰ππ-02A π1dx+∑⎰⎰=n 1k ππ-k ππ-k dx )sinkx B +dx coskx A (π1=A 0; 当m ≥0时，a m =⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-n1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A π1cosmxdx=⎩⎨⎧>≤n m 0，n m ，A m ;b m =⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-n1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A π1sinmxdx=⎩⎨⎧>≤nm ，0n m ，B m .∴在(-∞,+∞)上，有T n (x)=2a 0+∑∞=1m m m sinm x )b +cosmx (a =2A 0+∑=n1k k k sinkx )B +coskx (A ，即T n (x)的傅里叶级数展开式是其本身.2、设f 为[-π,π]上的可积函数，a 0, a k , b k (k=1,2,…,n)为f 的傅里叶系数. 试证明：当A 0=a 0, A k =a k , B k =b k (k=1,2,…,n)时，积分⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx取得最小值，且最小值为⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]. 其中 T n (x)=2A 0+∑=n1k k k sinkx )B +coskx (A ，A 0, A k , B k 为其傅里叶系数.证：⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx=⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππ-2n1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A )x (f dx=-2⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∞=ππ-n1k k k 01k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A sinkx)b +coskx (a 2a dx+⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-2n 1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A dx+⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞=ππ-21k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a dx =-2π⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k k k k k 00b B a A a 2A +π⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20B A 2A +2π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20b a 2a -π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20b a 2a +π⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∞+=∞+=1n k 1n k 2k 2k b a =π⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑∑==n1k 2k k n 1k 2k k 200)b -(B )a -(A )a -(A 21+π∑∞+=+1n k 2k 2k )b (a .∴当A 0=a 0, A k =a k , B k =b k (k=1,2,…,n)时，⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx 取得最小值.方法一：根据帕塞瓦尔等式有⎰ππ-2(x)f π1dx=2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a ，即 ⎰ππ-2(x )f dx=2πa 20+π∑∞=1n 2n 2n )b +(a ，∴这个最小值为 π∑∞+=+1n k 2k2k)b (a =π∑∞=+n k 2k2k)b (a -π∑=n1k 2k2k)b +(a =⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]. 方法二：又⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx=⎰ππ-2)x (f dx-2⎰ππ-n (x )T )x (f dx+⎰ππ-2n (x )T dx.∵2⎰ππ-n (x )T )x (f dx=π00A a +2π∑=+n 1k k k k k )B b A a (=π2a +2π∑=n1k 2k 2k )b +(a ，由贝塞尔不等式有⎰ππ-2n(x )T dx ≥2πA 20+∑=n 1k 2n 2n )B +(A π=2πa 20+π∑=n 1k 2k 2k )b +(a ， ∴⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx ≥⎰ππ-2)x (f dx-π2a -2π∑=n1k 2k2k )b +(a +2πa 20+π∑=n 1k 2k 2k )b +(a=⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]，即 ⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx 有最小值⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]. 方法三：又⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx=⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππ-2n1k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a )x (f dx=⎰ππ-2)x (f dx-2⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∞=ππ-n1k k k 01k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a sinkx)b +coskx (a 2a dx+⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-2n1k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a dx=⎰ππ-2)x (f dx-2π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20b a 2a +π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n1k 2k 2k 20b a 2a =⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ].3、设f 是以2π为周期，且具有二阶连续可微的函数. b n =nx sin )x (f π1ππ-⎰dx ，b n ”=nx sin )x (f π1ππ-⎰''dx. 证明：若级数∑''nb 绝对收敛，则∑=n1k k |b |≤)|b |2(21n1k k∑=''+. 证：利用∑=n1k 2k 1≤∑∞=1k 2k1=6π2<2，及分部积分法可得：b n ”=nx sin )x (f π1ππ-⎰''dx=-cosnx )x (f πn ππ-⎰'dx=-sinnx )x (f πn ππ-2⎰dx=-n 2b n ；∴)|b |2(21n 1k k ∑=''+≥)|b |k 1(21n1k k n 1k 2∑∑==''+=])|b |(k k 1[212k 2n 1k 2+∑=≥|b |k k 1221k n 1k ⋅⋅∑==∑=n 1k k |b |.注：可记a ’n =cosnx )x (f π1ππ-⎰'dx; 则a ’n =-nb n ，b ”n =na ’n ，∴b ”n =-n 2b n .4、设周期为2π的可积函数f(x)与g(x)分别满足以下关系式： (1)f(-x)=g(x)；(2)f(-x)=-g(x). 试问：f 的傅里叶系数a n , b n 和g 的傅里叶系数αn , βn 有什么关系？ 解：令x=-t ，则 a n =cosnx )x (f π1ππ-⎰dx=-cos(-nt))t (f π1ππ-⎰-d(-t)=cosnt )t (f π1ππ-⎰-dt, n=0,1,2,…； b n =sinnx )x (f π1ππ-⎰dx=-sin(-nt))x (f π1ππ-⎰-d(-t)= -sinnt )t (f π1ππ-⎰-dt, n=1,2,….(1)当f(-x)=g(x)时，a n =cosnt )t (g π1ππ-⎰dt=αn , n=0,1,2,…； b n = -sinnt )t (g π1ππ-⎰dt=-βn , n=1,2,….(2)当f(-x)=-g(x)时，a n =cosnt )t (g -π1ππ-⎰dt=-αn , n=0,1,2,…； b n =sinnt )t (g π1ππ-⎰dt=βn , n=1,2,….5、设定义在[a,b]上的连续函数列{g n }满足：⎰bam n )x (g )x (g dx=⎩⎨⎧=≠m n 1mn 0，，；对于在[a,b]上的可积函数f ，定义αn =⎰ba n )x (g )x (f dx, n=1,2,….证明：∑∞=1n 2nα收敛，且有不等式∑∞=1n 2nα≤⎰ba 2)x (f dx.证：作级数∑∞=1n n n )x (g α，令S m (x)=∑=m1n n n )x (g α，则⎰-ba2m )]x (S )x ([f dx=⎰b a2)x (f dx-2⎰b am )x (S )x (f dx+⎰ba2m )x (S dx ；又2⎰ba m )x (S )x (f dx=2⎰∑=ba m 1n n n )x (g α)x (f dx=2∑⎰=m1n ba n n )x (g )x (f αdx=2∑=m1n 2n α；由{g n }的定义有：⎰b a 2m)x (S dx=⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ba2m 1n n n )x (g αdx=∑=m1n 2n α；∴0≤⎰-b a 2m )]x (S )x ([f dx=⎰ba 2)x (f dx-∑=m 1n 2nα, 即∑=m1n 2n α≤⎰ba2)x (f dx. 又m 为任意自然数，且⎰ba 2)x (f dx 为有限值，∴∑∞=1n 2nα因部分和数列有界而收敛，且有∑∞=1n 2nα≤⎰ba 2)x (f dx.。
无穷级数练习题
（n1n1 Nhomakorabea5 o 若 u n 收敛， v n 发散 , 则 ( u n v n )发散 .
（
n1
n1
n1
6 o 若 u n 发散 , v n 发散 , 则 ( u n v n )可以 收敛 .（
n1
n1
n1
7 o 若
u n收敛 ,则
u
2 n
收
敛
.
（
n1
n1
）
）
）
）
）
）
.
）
非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例. 非：×, 后者请举反例.
无穷级数练习题
一 判断是非 （是：√；非：×, 后者请举反例.）
1 o 若级数 u n 收敛，则 n1
lim
n
u
n
0.
（
2 o
若
lim
n
u
n
数列与级数收敛性练习题判断数列与级数的收敛性与性质
数列与级数收敛性练习题判断数列与级数的收敛性与性质数列与级数的收敛性是数学中的重要概念，在实际问题中有广泛的应用。
本文将通过一系列练习题来讨论数列与级数的收敛性与性质。
1. 判断数列的收敛性1.1 数列 {an} = 1/n，n为正整数解析：当n趋近于无穷大时，数列的值趋近于0，即lim(n→∞)1/n = 0，因此数列 {an} 收敛，收敛值为0。
1.2 数列 {bn} = (-1)^n/n，n为正整数解析：当n趋近于无穷大时，数列的值在正负1之间交替变化，即数列 {bn} 不收敛。
1.3 数列 {cn} = (2n + 3)/(3n + 1)，n为正整数解析：当n趋近于无穷大时，数列 {cn} 的值趋近于2/3，即lim(n→∞)(2n + 3)/(3n + 1) = 2/3，因此数列 {cn} 收敛，收敛值为2/3。
2. 判断级数的收敛性2.1 级数Σ(1/n)，n从1到无穷大解析：根据数列的收敛性知识，当数列 {an} = 1/n 收敛时，级数Σ(1/n)收敛。
根据前面的讨论，数列 {an} = 1/n 收敛于0，因此级数Σ(1/n)收敛。
2.2 级数Σ((-1)^(n-1)/n)，n从1到无穷大解析：该级数为调和级数的交替形式，称为莱布尼茨级数。
根据莱布尼茨判别法，该级数收敛。
且根据调和级数的性质，级数Σ((-1)^(n-1)/n)的收敛值为ln(2)。
2.3 级数Σ((2n + 3)/(3n + 1))，n从1到无穷大解析：利用比值判别法来判断级数的收敛性。
设an = (2n + 3)/(3n+ 1)，则有 an+1/an = ((2n+5)/(3n+4)) * ((3n+1)/(2n+3)) = (6n^2 + 22n+15)/(6n^2 + 22n + 12)。
当n趋近于无穷大时，(6n^2 + 22n +15)/(6n^2 + 22n + 12)趋近于1/1 = 1，即lim(n→∞)(an+1/an) = 1。
第四章级数（答案）
第四章级数（答案）复变函数练习题第四章级数系专业班姓名学号§1 复数项级数 §2 幂级数23521242211(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()2!4!2!1()2!!n n n n nn zz z z z zz z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L ⼀些重要的级数⼀、选择题:1.下列级数中绝对收敛得就是 [ ] (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ)2.若幂级数在处收敛,那么该级数在处得敛散性为 [ ](A )绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)不能确定3.幂级数在内得与函数为 [ ] (Ａ) (B) (C) (D)'100'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n nn n n nz z n n n n z z n z z z dz dz z n n z ∞∞+==∞∞++==-=-=?? ?++??--==+ +++?∑∑∑∑?? ⼆、填空题:1.设,则 0 。
2.设幂级数得收敛半径为,那么幂级数得收敛半径为3.幂级数得收敛半径就是 e 。
4.幂级数(为正整数)得收敛半径就是 1 。
三、解答题:1.判断下列数列就是否收敛？如果有极限,求出它们得极限。
(1) (2)2.判断下列级数得敛散性。
若收敛,指出就是绝对收敛还就是条件收敛。
判断绝对收敛得两种⽅法: (1)绝对级数就是否收敛(2)实部与虚部得绝对级数就是否收敛 (1)11sin ()32323322332n n nnn nnnn n n in n e e n n e e n ne e -∞∞==-==-∑∑由级数及级数收敛，可得原级数绝对收敛(4)2111(1)(1)[]ln ln 2ln(21)(1)(1)ln 2ln(21)n k kn k k kk k i i n k k k k ∞∞==∞∞==--=++--+∑∑∑∑由于和为交错级数，由莱布尼兹准则，1111ln 2ln(21)k k k k ∞∞==+∑∑级数收敛，故原级数收敛。
数项级数的敛散性的练习题及解析
数项级数的敛散性的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1nn U∞=∑（ D ）A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n∞=∑收敛 选D2．设1nn U∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A ．1nn U∞=∑ B.()12008nn U ∞=∑C ．()10.001n n U ∞=+∑ D ．11n uU ∞=∑解：()12008nn U ∞=∑＝20081nn U∞=∑1nn U ∞=∑收敛∴由性质()12008nn U ∞=∑收敛3．下列级数中一定收敛的是…( A )A ．21014n n ∞=-∑ B ．10244n n nn ∞=-∑ C ．101nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ D+… 解：214n U n =-0n ≥21n=lim 1n n nU V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）A ．11n n n ∞=+∑n（－1） B ．()211nn n ∞=-∑C ．1nn ∞=- D ．()1312nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（1）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（2）11nn ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C5．级数()111cos nn k n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ （k>0）…（ B ）A ．发散B ．绝对收敛C ．条件收敛D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos nn n k k n n ∞∞-=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑∑1cos n kU n=-222k n =lim 1n n nU V →∞=且1n n V ∞=∑收敛，故选B 6．设正项极数!1lim n nn n nU U p U∞+→∞==∑若则（D ）A..当0<p<+∞时，级数收敛B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。
第十二章级数练习题
（
）
D. (4, 2)
13、下列四个级数中，发散的级数是
A.
1
n1 n!
B.
2n
3
n1 1000n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C. n
2n
n 1
14、若级数 un 收敛，则下列级数收敛的是
（
n 1
A． un
n1 10
B． (un 10) n1
C．
10
u n1 n
D． (un 10) n1
15、函数 f (x) ln(1 x) 的幂级数展开为
）。
n 1
A． | un |, | un |2 均收敛，
n1
n1
B. | un | 收敛， | un |2 发散
n1
n 1
C. | un | ， | un |2 均发散
n1
n 1
D. 不确定
22、若正项级数 un vn ，收敛，下列判断错误的是（
）。
n 1
n1
A． (un vn ) 收敛， n1
B．1个
C． 2 个
D． 3 个
20、若级数 un 收敛，下列判断正确的是（
）。
n 1
A． | un |, | un |2 均收敛，
n1
n1
B. | un | 收敛， | un |2 发散
n1
n 1
C. | un | ， | un |2 均发散
n1
n 1
D. 不确定
21、若级数 un 收敛，下列判断正确的是（
n1
n
3、求幂级数
n1
xn 3n n
的收敛域及和函数．
s(x)
ln
3
第8章 无穷级数练习题解析
第8章 无穷级数练习题习题8.11．判断题（对的划“√”，错的划“×”）（1）级数部分和的极限已求出，则级数收敛．若部分和的极限不存在，则级数发散． （ ）（2）若级数∑∞=±1)(n n nv u收敛，则级数∑∞=1n n u 与级数∑∞=1n n v 都收敛．（ ） （3）改变级数的有限项不会改变级数的和．（ ） （4）当0lim =∞→n n u 时，级数∑∞=1n nu不一定收敛.（ ）2．用级数的“∑”形式填空（1）,!3!2!1 +++ 即 ． （2）,7151311 +-+-即 ． （3）+++4ln 313ln 212ln 1即 ． （4）,63524101 +++++-即 ． 3．判断下列各级数的收敛性，并求收敛级数的和（1） -+-3322747474． （2） +++πππ543ln ln ln ．（3） +⋅+⋅+⋅751531311． （4） ++++7453321．（5）∑∞=-+1)1(nn n．4．级数∑∞=+1)31 21(nnn是否收敛？若收敛，求其和.5．制造灯泡需要抽去玻璃泡中的空气，设灯泡中原有空气的质量m，在多次抽气时，每一次抽出的空气质量为上次剩余质量的20%，连续不断地抽，抽出的空气质量最多是多少？习题8.21．用“收敛”或“发散”填空（1）∑∞=13 1n n．（）（2）∑∞=1222lnnn．（）（3）∑∞=1!n n．（）（4）∑∞=12.11nn．（）2．判断下列正项级数的收敛性（1）∑∞=+11 9.01n n．（2）∑∞=++12658nnn．（3）∑∞=+15 23n n．3．判断下列级数是否收敛（1）∑∞=--1)1 (nnnπ． (2) ∑∞=--1311)1(nnn．(3) ∑∞=-122sin)1(n nnn．(4) ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+12)1(1nnn．4．判断下列级数的收敛性（1）∑∞=++1)2(1n n n n ． （2）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+11n nn n ．（3）∑∞=--1131arcsin )1(n n n ． （4）∑∞=+-1321)1(n n n n ．（5）∑∞=12n n n． （6）∑∞=166n n n．（7）)0,(,31211>++++++b a b a b a b a ． （8）∑∞=+++1)3)(2)(1(n n n n n．（9） ++++++nn 134232． （10） +-+-2227151311．习题8.31．求下列幂级数的收敛区间（1） ------n x x x x n 3232． （2） -++++n nnx x x x 3333233322．（3） +⋅++⋅+⋅+⋅+nnn x x x x x 33433323443322．（4） ++++++nnx n x x x 3322321．（5） +⋅⋅++⋅⋅+⋅+)2(64264242232n x x x x n．（6）∑∞=++-11212)1(n n nn x ． (7) ∑∞=--122212n n nx n ．(8) ∑∞=⋅+13)1(n nn n x ． (9) ∑∑∞=∞=++-112212)1(n n n n n n n x n x ．(10) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11!n n n n n x n x ．2．利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数（1）∑∞=--122212n n nx n ． （2） ++++753753x x x x ．（3） +++13951392x x x ． （4） +⋅+⋅+⋅433221432x x x ．（5） +⋅+⋅+⋅+⋅3254433221x x x ． （6）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11!n n n n n x n x ．习题8.41．将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛域 （1）xe 2． （2）)1,0(≠>a a a x 且．（3）2sin x． （4）)0()ln(>+a x a ．（5）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)2cos 1(21sin sin 22x x x 提示：． （6）)1ln()1(x x ++．（7）⎰+xt dt41． （8）⎰x dt tt 0sin ．（9）⎰-xt dt e22．2．将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛半径（1）)0(22>+a x a ． （2）x arcsin ．（3）)1ln(2x x ++．3．用级数的展开式，近似计算下列各值（1）e （取前五项）． （2）521⋅（取前三项）．（3）︒18sin （取前两项）．4．计算下列积分的近似值（计算前三项）（1）⎰212dx e x ． （2）⎰10sin dx xx．（3）⎰11.0dx xe x．习题8.51．填空（1）若)(x f 在[]ππ,-上满足收敛定理的条件，则在连续点0x 处它的傅里叶级数与)(0x f .（2）设周期函数)(2)(ππ<≤-=x xx f ，则它的傅里叶系数 =0a ，=n a ， =1b ， =nb ．（3）用周期为π2的函数)(x f 的傅里叶系数公式，求周期为l 的函数)(t g 的傅里叶级数，应作代换=t .（4）周期为l 的函数)(x f 的傅里叶系数=0a ，=n a ，=n b .2．把下列周期函数展开成傅里叶级数 （1）⎩⎨⎧<≤<≤-=ππt t t u 0100)(． （2）⎩⎨⎧<≤+<≤--=ππx x x x x f 0,10,1)(．（3）⎩⎨⎧<≤-<≤-+=ππππt t t t t f 0,0,)(． （4）)(2cos)(ππ<≤-=x xx f ．（5）⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤--<≤--=21,11112,1)(x x x x x f ． （6）2121,1)(2<≤--=x x x f ．3．将函数)11()(≤≤-=x e x f x展开成傅氏级数.4．将函数)0()(ππ≤≤-=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数.5．将周期为4的单向窄脉冲信号,展开成傅里叶级数的复数形式，其表达式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<--≤≤-=221,02121,212,0)(t t e t t f ．复习题八（A ）组1．判断题（对的划“√”，错的划“×”） （1）若,0lim =∞→n n u 则级数∑∞=1n nu收敛．（ ）（2）若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=≠10(n nc cu为常数）也发散．（ ） （3）改变级数的有限多个项，级数的敛散性不变．（ ） （4）若级数∑∞=1n nu收敛，则∑∞=-+1212)(n n n u u收敛．（ ） （5）若)(x f 是周期函数为π2的函数，且满足收敛定理的条件，则在任意点x 处)(x f 的傅氏级数收敛于)(x f .（ ）2．用“收敛”或“发散”填空 (1)若级数∑∞=1n nu收敛，则∑∞=+1)001.0(n nu.(2)级数∞=1n （3）当10<<a 时，级数∑∞=-+111n nn aa . (4)级数∞=1n n （5）级数∞=n3．单项选择题（1）下列级数中，收敛的是（ ）（A ） ∑∞=--11)1(n n n ； （B ） ∑∞=+-1232)1(n n n n； （C ） ∑∞=+115n n ； （D ）∑∞=-+1231n n n ．(2)下列级数中，绝对收敛的是（ ）（A ）∑∞=-1)1(n n n ； （B ）∑∞=++12123n n n ； （C ）∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1132)1(n nn ； （D ）∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． (3)幂级数∑∞=1n nnx 的收敛区间是（ ）（A ）[]1,1-； （B ）[)1,1-； （C ）(]1,1-； （D ）()1,1-． (4)函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数是（ ）（A ）∑∞=12!n n n x ； （B ）∑∞=-12!)1(n n n n x ； （C ）∑∞=1!n n n x ； （D ）∑∞=--11!)1(n nn n x ．(5) 设)(x f 的周期为π2，它在[)ππ,-的表达式),(,2)(ππ<≤-=x x x f 则)(x f 的傅氏展开式为（ ）（A ）∑∞=+-11sin )1(2n n nx n ； （B ）∑∞=+-11sin )1(4n n nx n ；（C ）),)12(,(sin )1(411Z k k x x nx n n n ∈-≠+∞<<-∞-∑∞=+π；（D ）),)12(,(sin )1(211Z k k x x nx n n n ∈-≠+∞<<-∞-∑∞=+π．4．判别下列各级数的敛散性（1）)0(1112>+∑∞=a a n ． （2）∑∞=+112tann n n π．（3）∑∞=+112tann n n π． (4)∑∞=1sincos n nn ππ．（5） ∑∞=+112!n n n ． (6) ∑∞=--1ln )1(n n n n .（B ） 组1．用已知函数的展开式，将下列函数展开成x 的幂级数（1）x e x x f -=3)(． （2）x x f 2cos )(2=．（3）211)(x x f -=． （4）321)(2--=x x x f ．2．用已知函数的展开式，将下列函数展开成2-x 的幂级数 （1）xx f -=41)(． （2）x x f ln )(=．3．将下列周期函数展开成傅里叶级数（1）)(sin )(ππ<≤-=x ax x f （a 为非整数的常数）．（2）)()(22πππ<≤--=x x x f ．(3) )()(3ππ<≤-=x x x f .4．把周期函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤--=20102,2)(x x xx f 展开成傅氏级数.5．将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-=24,440,)(T t T T T x t t q 分别展开成正弦型级数和余弦型级数．6．将)210(1)(2≤≤-=x x x f 分别展开成正弦型级数和余弦型级数．第8题图7．把函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤--=ππππx x x f 0,40,4)(展开成傅氏级数，并由它导出（1）+-+-=71513114π． （2） ++--+-=131111917151163π．8．将下面波形的函数展开成傅里叶级数9．将下面半波整流后的周期函数)(t f 展开成傅氏级数10．将)10()(2≤≤=x x x f ，展开成正弦级数和余弦级数。
等差数列与等差级数的练习题
第一章：等差數列與等差級數 第一節：等差數列一、選擇1. （ ）若一等差數列的首項為4，公差是－3，則此數列的第10項為多少？(A)31 (B)34 (C)－23 (D)－26《答案》C2. （ ）一等差數列的公差為d ，將此數列的每一項都加3得一新數列，則下列敘述何者錯誤？(A)新數列為等差數列(B)新數列的公差為d ＋3(C)新數列首項比原數列首項多3(D)新數列的公差為d《答案》B3. （ ）若一等差數列的前四項是a 1，a 1＋d ，a 1＋2d 、a 1＋3d ，則此數列的第18項為多少？(以a 1、d 表示)(A)a 1＋17d (B)a 1＋18d (C)a 1＋19d (D)a 1＋20d《答案》A4. （ ）有一等差數列，公差為－4，若將此等差數列各項同乘 3 4，再加上5，則新數列的公差為多 少？(A)－3 (B)2 (C)3 (D)－8《答案》A5. （ ）下面各數列中，哪些是等差數列？甲：1 ,1 , 1 , 1 , 1 , 1乙：2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 丙：1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 丁： 1 3 , 2 3 , 3 3 , 4 3 , 5 3 , 6 3(A)甲、乙 (B)乙、丙、丁(C)甲、乙、丁 (D)甲、乙、丙、丁《答案》C6. （ ）若 1 5 , 1 x , 1 11成等差數列，則x ＝？ (A) 7 55 (B) 8 55 (C) 55 8 (D) 55 7《答案》C 7. （ ）下列何者不是等差數列？ (A)0 , 0 , 0 , 0(B)8 , 10 , 12 , 14 , 16(C) 1 2 , 1 3 ， 1 4 ， 1 5 ， 1 6(D)10～30所有6的倍數依序所成的數列《答案》C8. （ ）已知一等差數列的第2項是3，第6項是－25，則其首項為何？(A)－1 (B)－4 (C)－7 (D)10《答案》D9. （ ）關於數列5 , 8 , 11 , 14 , 17 , …的敘述，下列何者錯誤？(A)此數列為等差數列(B)此數列的公差為3(C)此數列的第8項是26(D)數字61是此數列的第20項《答案》D10. （ ）附圖是用133根牙籤所排成的 n 個小三角形，則n ＝？(A)64 (B)65 (C)66 (D)68《答案》C11. （ ）「－4」為下列哪一個選項中兩個數字的等差中項？(A)－2、－8 (B)2、－6(C)1、－8 (D)－1、－7《答案》D12. （ ）已知一等差數列的公差為d ，若將各項值都乘以2之後，則新數列的變化為何？(A)依然為等差數列，公差為2d(B)依然為等差數列，公差為 d 2(C)依然為等差數列，公差為d(D)不是等差數列《答案》A13. （ ）等差數列－8 , －5 , －2 , 1 , 4，則其公差為何？(A)3 (B)12 (C)13 (D)－3《答案》A14. （ ）已知一等差列首項為93，末項為2，公差為－7，則此等差數列有幾項？(A)13 (B)14 (C)15 (D)16《答案》B15. （ ） 在1～300且個位數字為 3的正整數，自小到大排列的數列中，請問下列敘述何者不正確？(A)此數列為等差數列 (B)此數列公差為10(C)此數列末項為293 (D)此數列共有29項《答案》D16. （ ）已知1 , a ,b , c , 19 3,……為一等差數列，則6(b －a )之值可被下列何者整除？ (A)2 (B)3 (C)5 (D)7《答案》A17. （ ）下列何者為等差數列？(A)1 , －1 , 1 , －1 (B)1 , 1 2 , 1 3 , 1 4(C)1 , 2 , 4 , 8 (D)3 , 3 , 3 , 3《答案》D18. （ ）若一數列－ 1 3 , a 9 , 5 9, b 為等差數列，則a ×b ＝？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4《答案》A19. （ ）已知等差數列首項為－5，公差為4，則下列哪一個數為此數列其中的一項？(A)13 (B)21 (C)29 (D)39《答案》D20. （ ）若2為 x 和5的等差中項，且x 為y 和－5的等差中項，則x 、y 的等差中項為多少？(A)－2 (B)－1 (C)1 (D)2《答案》C21. （ ）數線上A (8)、B (x )、M (13)三點，若M 點到A 點的距離與M 點到B 點的距離相同，則x＝？22. （ ）若17 , x, 35三數成等差數列，則x之值是下列哪一個數的倍數？(A)3 (B)5 (C)11 (D)13《答案》D23. （ ）a ,b, c, d,e五點依序在數線上，且b ,c , d分別為a與e之間的等分點，則下列敘述何者不正確？(A)b是 a與 c的等差中項 (B)c 是b 與d的等差中項(C)c是a 與e的等差中項 (D)a＋b＋c＋d＋e＝3c《答案》D24. （ ）一等差數列共有五項，其首、末兩項之和為200，則中間三項之和為多少？(A)100 (B)150 (C)175 (D)300《答案》D25. （ ）已知一等差數列的首項為－101，第3 項為－97，則此數列第幾項開始為正數？(A)27 (B)51 (C)52 (D)103《答案》C26. （ ）若一等差數列的公差為d，則將各項值都加上2之後，新數列的變化為何？(A)依然為等差數列，公差為d＋2(B)依然為等差數列，公差為2d(C)依然為等差數列，公差為d(D)不是等差數列《答案》C27. （ ）若a與 b的等差中項為4，且2a－b 與 a＋2b的等差中項為9，則2a－b等於多少？(A)7 (B)0 (C)2 (D)8《答案》A28. （ ）有一數列2 , 8 , □ , 20 , 26 , 32 , 38，依某種規律排列而成，則可判斷□內之數字為何？(A)10 (B)12 (C)14 (D)16《答案》C29. （ ）下列何者不是等差數列？(A)0 , 0 , 0 , 0(B)1 , 1 , 1 , 1(C)－10到10之間所有整數的數列(D)1到20之間所有質數的數字《答案》D30. （ ）下列各數列中，哪些是等差數列？甲：3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3乙：1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11丙：1 , 13 ,15 ,17 ,19 ,111(A)甲，乙 (B)甲，丙(C)乙，丙 (D)甲，乙，丙《答案》A31. （ ）若一等差數列的公差為4，第5項為13，則首項是多少？(A)－3 (B)1 (C)5 (D)9《答案》A32. （ ）一等差數列共有6項，若末項比首項多 50，則其公差＝？(A)5 (B)6 (C)10 (D)12《答案》C33. （ ）一等差數列第3項為3 2 ，第5項為5 2 ，則第8項等於多少？34. （ ）已知一數列的前八項為1 , 4 , 5 , 9 , 14 , 23 , 37 , 60，請觀察此數列的規律性，推斷此數列的第11項為何？(A)85 (B)97 (C)254 (D)411《答案》C35. （ ）若－3 , 0 , a ,b 成等差數列，則b －a ＝？(A)－3 (B)0 (C)3 (D)6《答案》C36. （ ）若a ≠0，試問下列哪一個數列不是等差數列？(A)5a , 7a , 9a (B)a ＋5 ,a ＋7 , a ＋9(C)a －9 ,a －7 , a －5 (D) 5 a , 7 a , 9a 《答案》D37. （ ）一等差數列共有9項，若末項比首項多 12，則這數列公差為多少？(A)2 (B) 3 2 (C)－ 3 2(D)－2 《答案》B38. （ ）有一等差數列的第3項為42，第6項為33，則首項與公差之和為多少？(A)39 (B)21 (C)48 (D)45《答案》D39. （ ）從1，2，3，4，5，6，7七個數字中，任取3個數字來組成等差數列，請問共有幾種取法？(A)9種 (B)8種 (C)7種 (D)6種《答案》A40. （ ）若一等差數列的首項為35，末項為－145，公差為－4，則此等差數列共有多少項？(A)44 (B)45 (C)46 (D)47《答案》C41. （ ）若2a －b 與a ＋2b 的等差中項為9，且 a －b ＝2，則a 與 b 的等差中項為何？(A)9 (B)4 (C)2 (D)0《答案》B42. （ ）設a ≠0，且4，a ，12三數的倒數成等差數列，則a ＝？(A) 113 21 (B) 120 17 (C) 1 6(D)6 《答案》D43. （ ）已知 5 4 ，a ， 11 4，b 成等差數列，則a ＋b ＝？ (A) 3 2 (B) 11 2 (C) 11 4(D)4 《答案》B44. （ ）若1＋3a , 6＋2a , 5－2a 三數成等差數列，則a ＝？(A)0 (B)－1 (C)－2 (D)－3《答案》C45. （ ）若2 , a ,b , c , 7為等差數列，則下列選項何者正確？(A)b ＝a ＋2 (B)b ＝7－c (C)b ＝a ＋c (D)b ＝ a ＋c 2《答案》D46. （ ）已知有兩等差數列，其中一數列首項為2，公差為2，另一數列首項為3，公差為3，則此兩數列的共同項所形成的數列中，其第4項為何？47. （ ）某六邊形的周長為75公分，它的邊長形成一個等差數列，已知最長的邊長為20公分，則此等差數列的公差為多少公分？(A)2 (B)3 (C)4 (D)5《答案》B48. （ ）在－1與8之間，插入5個數，使其成一等差數列，求插入的第2個數為多少？(A)2 (B)－3 (C)－4 (D)－5《答案》A49. （ ）直角三角形的三邊恰成等差數列，若面積為96平方公分，則此三角形的周長為多少公分？(A)48 (B)60 (C)72 (D)84《答案》A50. （ ）三數成等差數列，其和為180，且第一數與第三數之比為3：7，則第三數為多少？(A)84 (B)60 (C)36 (D)21《答案》A51. （ ）若a1 , a2 ,a4 ,……, a80 為一等差數列，且a2＞a5，則下列何者正確？(A)a8－a12＜0(B)a80＜0(C)a10＋a30＝a20＋a40(D)a7＋a20＝a5＋a22《答案》D52. （ ）在－8和12之間插入9個數，使此數列成為等差數列，則插入的第6個數是多少？(A)0 (B)2 (C)4 (D)5《答案》C53. （ ）有一數列：1 , 2, 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , ……，依此規律類推，則第40個數為何？(A)8 (B)9 (C)10 (D)11《答案》B54. （ ）設有四數成等差數列，且和為20，公差大於0，若首、末兩項的乘積為16，則其公差值為多少？(A)2 (B)2.5 (C)3 (D)4《答案》A55. （ ）若三角形三內角的度數成等差數列，則此三角形一定不是下列何種三角形？(A)鈍角三角形(B)銳角三角形(C)直角三角形(D)非正三角形的等腰三角形《答案》D56. （ ）若一三角形的三內角之度數為一等差數列，則此三角形的敘述下列何者正確？(A)此三角形的三邊長也會是等差數列(B)此三角形必為直角三角形(C)此三角形的三邊長比為1：2：3(D)此三角形必有一內角為60˚《答案》D57. （ ）若直角三角形三內角的角度成等差數列，則此三內角度數的比為下列何者？(A)3：4：5 (B)1：2：3 (C)2：3：4 (D)1：3：5《答案》B58. （ ）如圖，每一方格均有一整數，若每一橫列及每一直行均為等差數列，則斜線部分所代表的數為何？(A)9 (B)10 (C)11 (D)12《答案》B59. （ ）若甲、乙兩數的乘積為－35，其等差中項為1，則｜甲－乙｜＝？(A)－12 (B)2 (C)6 (D)12《答案》D60. （ ）若在a、70兩數之間插入23個數，使這25個數成一等差數列，已知插入的第11個數為5，則a＝？(A)－50 (B)－45 (C)－40 (D)－35《答案》A61. （ ）已知一等差數列的首項為－15，第2項為－9，若其公差為d，第25項為a，則a－d＝？(A)121 (B)123 (C)135 (D)144《答案》B62. （ ）一等差數列的首項為m(m＞0)，公差為－1，則第幾項是－m？(A)m (B)2m (C)m＋3 (D)2m＋1《答案》D63. （ ）若a , b,c ,d, e五數成等差數列，則下列何者不正確？(A)a＋e＝b＋d (B)a＋d＝b＋e(C)a－c＝b－d (D)2c＝a＋e《答案》B64. （ ）二個數列甲：1001 , 998 , 995 , ……，乙：1 , 3 , 5 , ……，若此兩數列的第n項相同，則n為何？(A)198 (B)199 (C)200 (D)201《答案》D65. （ ）已知一等差數列的首項為－96，第4項為－78，則此數列第幾項開始為正數？(A)16 (B)17 (C)18 (D)19《答案》C66. （ ）設a1 , a2 , a3 , a4 四數成等差數列，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝28，則公差d＝？(A)1 (B)2 (C)3 (D)4《答案》C67. （ ）已知等差數列a1 ,a2 ,……,a15 中，a2＋a14＝0，則下列何者正確？(A)此數列各項值均為0(B)a3＞a13(C)a8＝0(D)a5＋a10＝0《答案》C68. （ ）若a , b,c ,d四數成等差數列，則下列何者不是等差數列？(A)d , c, b,a (B)a＋b,b＋c, c＋d(C)a－b ,b－c, c－d (D)ab, bc, cd《答案》D69. （ ）一等差數列的第3項和第 7項互為相反數，則此等差數列的第5項是多少？(A)0 (B)1 (C)3 (D)任意數《答案》A70. （ ）有一等差數列，若第3項是首項的兩倍，則第8項是第 2項的幾倍？(A)5 (B)4 (C) 7 2(D)3 《答案》D71. （ ）已知數列a , b ,c 為等差數列，若公差為3，且a ＋5 , b ＋10 , c ＋15也是等差數列，則此數列的公差為何？(A)3 (B)5 (C)8 (D)10《答案》C72. （ ）若一等差數列的第6項為17，第12項為35，則下列敘述何者正確？(A)首項為3 (B)公差為2 (C)第20項為61 (D)第9項為26《答案》D73. （ ）某班有40人，第一次段考數學成績依次成公差為2分的等差數列，且沒有同分現象，只知最高分為98分，則不及格的有多少人？(A)19 (B)20 (C)21 (D)22《答案》B74. （ ）等差數列a 1 ,a 2 ,……,a 20 其首項與公差不相等，若a 3＋a 9＝16，則下列何者錯誤？(A)a 6＝8 (B)a 4＋a 8＝16(C)a 14－a 2＝16 (D)a 1＋a 11＝16《答案》C75. （ ）已知一三角形，其三內角成等差數列，則當公差為多少度時，這個三角形是一個直角三角形？(A)60˚ (B)40˚ (C)30˚ (D)20˚《答案》C76. （ ）等差數列a 1，a 2，a 3，……，a n ，其公差為d (其中d ≠0 且a 1≠d )，則下列何者錯誤？(A)a 1＋a 3＋a 8＝2a 6(B)a 7－a 2＝5d(C)a 2＋a 10＝a 4＋a 8(D)a 7－a 4＝a 10－a 7《答案》A77. （ ）若a , b ,c ,d 成等差數列，且公差為2，則下列敘述何者正確？(A)a 2 , b 2 , c 2 成等差數列(B)ab ,bc , cd 成等差數列(C)2a ＋3 , 2b ＋3 , 2c ＋3成等差數列(D)a ＋b , b ＋2c , c ＋3d 成等差數列《答案》C78. （ ）如果等差數列第2項為4，末項為28，公差為6，設這個等差數列的首項為a ，項數為 n ，則a ＋n 之值為多少？(A)2 (B)4 (C)6 (D)8《答案》B79. （ ）若a , b ,c ,d 四個數成等差數列，其公差為2，則下列何者正確？(A)a 2 ,b 2 ,c 2 成等差數列(B)ac ,bc ,cd 成等差數列(C)3a ＋2 , 3b ＋2 , 3c ＋2成等差數列(D)a ＋b , b ＋2c , c ＋3d 成等差數列《答案》C80. （ ）有一數列12 , 9 , 6 , 3 , 0 , －3，則下列敘述何者錯誤？(A)此數列為等差數列(B)此數列公差為3(C)此數列首項為12(D)依此規則延續此數列，必有一項為－42《答案》B81. （ ）設一等差數列共有9項，若首、末兩項的和為60，則其餘的7項的和為多少？(A)420 (B)360 (C)240 (D)210《答案》D82. （ ）在坐標平面上，由點A 1(－52 , 47)向右移5個單位長，再向下移3個單位長到達A 2，繼續由A 2 同樣向右移5個單位長，再向下移3個單位長，到達A 3，如此繼續移動，依次可到 達A 4，A 5，A 6，A 7，……，則點A 12 在第幾象限？(A)一 (B)二 (C)三 (D)四《答案》A83. （ ）設a 1 ,a 2 ,……,a 79 為一等差數列，其總和為0，且a 55＝55，試問下列何者正確？(A)a 1＋a 79＞0(B)a 2＋a 78＜0(C)a 1,a 3 ,a 5 ,a 7 成等差數列(D)a 22＝2《答案》C84. （ ）有一等差數列的首項為50，第3項為38，若從第n 項開始出現負數，則 n 為多少？(A)8 (B)9 (C)10 (D)11《答案》C85. （ ）甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八個人由左而右依序坐成一列。
无穷级数练习题
无穷级数练习题无穷级数题一、填空题1、设幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ax^n$ 的收敛半径为3，则幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}na(x-1)^n(n+1)$ 的收敛区间为 $(-2,4)$。
2、幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^n$ 的收敛域为 $(-1,1)$。
3、幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{( -3)^n}{n+2}(2n-1)x^n$ 的收敛半径 $R= \dfrac{1}{3}$。
4、幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{(n+1)(x-2)^{2n}}$ 的收敛域是 $(-\infty。
2) \cup (2.\infty)$。
5、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n^4(\ln3)^n}$ 的收敛域为 $(0,4)$。
6、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ 的和为 $\dfrac{\pi^2}{6}$。
7、级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(n-1)}$ 的和为 $1$。
8、设函数 $f(x)=\pi x+x(-\pi<x<\pi)$ 的___级数展开式为$a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$，则其系数 $b_3$ 的值为 $0$。
9、设函数 $f(x)=\begin{cases} -1.& -\pi<x\leq 0 \\ 1+x。
& 0<x\leq \pi \end{cases}$，则其以 $2\pi$ 为周期的___级数在点$x=\pi$ 处的收敛于 $1$。
级数敛散性判断习题
例3. 设正项级数 也收敛 . 法1 由题设
和
都收敛, 证明级数
n→ ∞
n→ ∞
limun = limvn = 0 ,
n→ ∞
= lim(un +vn)
根据比较审敛法的极限形式知结论正确. 法2 因 limun = limvn = 0 , ∴lim(un +vn) = 0 ,
n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
又 arctan x = ∫
x 2 0
x
0
1 dx 2 1+ x
4 6 n
( −1 ≤ x ≤ 1)
= ∫ [1 − x + x − x + L + ( −1) x + L]dx
2n
x3 x5 x7 x 2 n+1 = x − + − + L + ( −1)n +L 3 5 7 2n + 1 ( −1 ≤ x ≤ 1) 故 x arctan x − ln 1 + x 2
∞
(1)
对于级数（1） 对于级数（1）
2 | a n+1 | ( n + 1) lim = lim = 1, 2 n → +∞ | a | n→ +∞ n n
级数（ 级数（1）的收敛域为 − 1 < y < 1, 原级数的收敛域为 , x > 1, 或 x < −1.
例5 解
x2n 求 数∑ 级 收 域 和 数 敛 及 函 . n n=0 (2 )!
n=0 n=0
∑anx
难
∞
n
逐项求导或求积分
n=0 n=0
∗ an xn ∑
∞
级数练习题及答案
级数练习题及答案一、选择题1. 下列级数中收敛的是：A. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...B. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...C. 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...D. 2 + 4 + 8 + 16 + ...答案：A2. 对于级数 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...，下列说法正确的是：A. 级数的和为1B. 级数的和为0C. 级数的和为2D. 级数为发散的答案：B3. 给定级数的前n项和Sn，当n趋向于无穷大时，若Sn趋向于一个有限的值，则称该级数为：A. 发散级数B. 收敛级数C. 无界级数D. 有界级数答案：B二、填空题1. 计算级数 2 + 4 + 8 + 16 + ... 的和。
答案：级数为等比数列，公比为2，根据等比数列求和公式，和为2^n - 2，其中^n表示累乘。
2. 求级数 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 的和。
答案：级数为几何级数，首项为1，公比为1/2，根据几何级数求和公式，和为2。
三、计算题1. 计算级数 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... 的和。
答案：级数为几何级数，首项为1/2，公比为1/2，根据几何级数求和公式，和为1。
2. 计算级数 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ... 的和。
答案：级数为几何级数，首项为1/3，公比为1/3，根据几何级数求和公式，和为1/2。
四、证明题证明级数 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 的和为2。
证明：我们可以通过求极限的方法证明。
设级数的部分和为Sn，则Sn = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n。
当n趋向于无穷大时，Sn趋向于一个有限值。
设该有限值为S，则有：S = lim(n->∞) Sn= lim(n->∞) (1 - 1/2^n) / (1 - 1/2)= 1 / (1 - 1/2)= 2所以级数的和为2。
第十四章幂级数练习题(2021
第十四章 幂级数（2021.1）一、单选题1、21∞=∑nn x n 的收敛域为( ). AA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]2、级数21∞=∑nn x n的收敛域为( ). DA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]3、级数1∞=∑nn x n的收敛域为( ). CA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1] 4、∑∞=-1)1(1n n x n的收敛域为（ ）. C A 、 (-1，1) B 、 (0，2] C 、 [0，2） D 、 [-1，1）5、nx n)1(+∑的收敛域为( ). CA. )1,1[-B. ]0,2[-C. )0,2[-D. )2,0[6、若nn n a x∞=∑在00≠x 收敛，则在区间00(,)-x x 内nn n a x∞=∑ （ ）． AA ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．不能确定 7、若()01nn n a x ∞=-∑在3x =处收敛，在1x =-处发散，则该级数的收敛半径R （ ）． A A ．等于2 B ．小于2 C ．大于2 D ．不能确定 8、已知1∞=∑nn n a x在2x =处收敛, 则在32x =-处此级数（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 9、若nn x a )1(+∑在3-=x 处收敛，则该级数在0=x 处（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 10、若nn x a )1(-∑在1-=x 处收敛，则该级数在2=x 处（ ）. BA. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 不能确定 11、若幂级数nn nx a)1(0-∑∞=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞=0n n a （ ）． BA ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ． 不能确定12、级数211(1)(1)nn n n x ∞=+-∑的收敛半径R =（ ）. CA 、1B 、eC 、1e -D 、2e -13、幂级数212-∑n n x 的收敛半径是 ( ). BA.21B. 2C. 21D. 214、22∑n nx的收敛半径是 ( ). AA.21B. 2C. 21D. 215、若n nn a x∞=∑收敛半径为1R ，nn n b x∞=∑ 的收敛半径为2R （1R <2R ）则()0nn nn ab x ∞=+∑的收敛半径为（ ）. DA ．1R ＋2RB ．12R R +C ．2RD ．1R16、级数)32(n nnnx x +∑的收敛半径是 ( ) AA.21 B. 31C. 2D. 3 17、)35(n nn n x x +∑的收敛半径是( ) DA.51 B. 31C. 5D. 3 18、幂级数n n x n)1211(1+++∑∞= 的收敛域是（ ）． A A ．()1,1- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[]1,1-19、幂级数nn n x ∑∞=--21)2(，（2<x ）的和函数为 ( ). AA. x x 2122+-B. x x 2122+C. x x 21+D. xx21-20、幂级数∑∞=--112)1(n nnn x ，（2<x ）的和函数为（ ）. C A.x -22 B. x +22 C. x x +2 D. xx -2 21、幂级数∑∞=02n n nx ，（2<x ）的和函数为 （ ）. AA.x-22B. x 211-C. x +22D. x 211+22、幂级数1(1)2nnn n x ∞=-∑，（2<x ）的和函数为（ ）. CA ．2x x + B. x -22 C. 2x x-+ D. x x -223、幂级数∑∞=-02)1(n n nnx ，（2<x ）的和函数为（ ）. CA.x 211+ B. x 211- C. x +22 D. x -2224、下述展开式正确的是( ) . CA 、212nx x x e x n-=+++++x R ∈B 、21(1)2n xn x x e x n-=-+-+-+ x R ∈C 、21(1)2!!nx nx x e x n -=-+-+-+x R ∈D 、212!!n xx x ex n -=+++++ x R ∈25、函数2()x f x e -=展开成x 的幂级数为( ). DA 、2312!3!x x x ++++ x R ∈B 、2312!3!x x x -+-+ x R ∈C 、46212!3!x x x ++++ x R ∈D 、46212!3!x x x -+-+ x R ∈26、函数()2x f x xe =展成x 的幂级数是（ ）． AA ．210!n n x n +∞=∑B ．10!n n x n +∞=∑C ．20!nn x n ∞=∑ D ．()21021!n n x n +∞=+∑ 27、函数()()ln 1f x x =+展成x 的幂级数是（ ）． BA ．()()1011!+∞=-+∑n nn x n ； (1,1)∈-x B ．()1011n n n xn +∞=-+∑； (1,1)∈-xC ．()11∞=-∑nn xn ； (1,1)∈-x D ．1∞=∑n n x n ． (1,1)∈-x28、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为（ ）． B A ．03(1)()(06)3nnn x x ∞=--<<∑ B ．013(1)()(06)33n nn x x ∞=--<<∑C ．(1)(3)(24)nnn x x ∞=--<<∑ D ．01(1)(3) (24)3n n n x x ∞=--<<∑29、设()()20(0,1)2!n nn a x f x a n ∞==≠-∑，则()f x ''＝（ ）. AA ．()af xB ．()2a f x C ．()1f x aD ．()f x30、幂级数1nn x n∞=∑在1x <的和函数()S x ＝（ ）. BA ．()ln 1x -B ．ln(1)x --C ．11x -D ．11x -二 填空题1、设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛区间()3,3-，则幂级数()∑∞=--011n n n x na 的收敛区间为_________.答案：()4,2-. 2、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(+∑的收敛区间为_________.答案：R R +---2,2(）3、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(-∑的收敛区间为_________.答案：)2,2(R R +-4、 幂级数2nx n∑的收敛域是_________.答案： ]1,1[- 5、 幂级数n nx n ∑的收敛域是_________.答案： )1,1(-6、 幂级数nnx ∑的收敛域是_________.答案：)1,1(-7、 幂级数nx n∑的收敛域是 _________.答案：)1,1[-8、 幂级数nx n)1(+∑的收敛域为_________.答案：[2,0)-9、 幂级数()∑∞=-151n nn x 的收敛域是_________.答案： (4,6)-10、 幂级数()n n x n 2112-∑∞=的收敛域是_________. 答案：[1,3]11、级数()∑∞=--111n n n x n的收敛域是_________.答案：(1,1]-12、幂级数11nn n x ∞=-的收敛域是_________.答案：(3,3]-13、幂级数∑∞=++02)1()1(n nnn x 收敛域是_________. 答案：[3,1)-14、幂级数2021nn n x ∞=+∑的收敛域是_________.答案：(15、幂级数的()nn nx n ∑∞=-+113收敛半径为=R _________.答案：1.16、幂级数∑∞=-+0)3(2n nn nnx 的收敛半径为=R _________. 答案：3=R .17、幂级数023n n nn x n ∞=+∑的收敛域是_________. 答案：11[,)33-18、幂级数21(2)!(!)nn n x n ∞=∑的收敛半径为=R _________. 答案：14=R 19、幂级数∑∞=+152n n nx 的收敛半径是=R _________.答案：2=R20、若幂级数()1∞=-∑nnn a x 的收敛半径0R =，则此幂级数只在_________收敛．答案：1=x21、幂级数∑∞=0n nnx a与11∞-=∑n n n na x 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ___ 2r ．答案：等于22、幂级数∑∞=0n nn x a 与101+∞=+∑n n n a x n 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ____ 2r ．答案：等于 23、幂级数()01∞=-∑nn n a x 在3=x 处条件收敛，则该级数的收敛半径R ＝_________.答案：2=R 24、幂级数∑∞=-02)1(n n nx a在处2=x 条件收敛，则其收敛域为_________.答案：[0,2]25、若1lim 3nn n a a →∞+=，则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛区间是_________.答案：(26、若1lim 3+→∞=n n na a ，则幂级数20∞=∑n n n a x 的收敛区间是_________.答案：( 27、函数x2的麦克劳林展开式为=x2__________________________________. 答案：()∑∞=0!2ln n n nx n ， (,)∈-∞+∞x28、函数)(21x xe e -+的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案： +++++)!2(!4!21242n x x x n， (,)∈-∞+∞x 29、函数)(21x xe e --的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=--112)!12(k k k x ， (,)∈-∞+∞x30、函数2x e的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：∑+∞=02!n nn x . ， (,)∈-∞+∞x31、函数xe2的幂级数展开式为__________________________________.答案：nn n xx n e∑+∞==02!2 ， (,)∈-∞+∞x32、函数x 2sin 的幂级数展开式为__________________________________.答案：12012)!12(2)1(2sin ++∞=+∑+-=n n n nx n x ， (,)∈-∞+∞x33、函数)21ln(x +的幂级数展开式__________________________________.答案：n n n n x n x 2)1()21ln(11∑+∞=--=+ ， 12<x 34、函数)2ln(x +在)2,2-（内的麦克劳林展开式为________________________________.答案： nnn n x 2)1(2ln 1⋅-+∑-， 2<x 35、函数21xx-在)1,1(-内的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+012n n x， 1<x36、函数xx +13的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：+-++-=++-21433)1(1n n x x x xx ， 1<x 37、函数()21-=x x f 在0=x 的幂级数展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+-012n n nx ， 2<x38、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为__________________________________. 答案：．013(1)(),0633∞=--<<∑n nn x x39、把()1f x a bx=+展成x 的幂级数（其中a b ⋅≠0）时，其收敛半径R ＝___________. 答案：ab解析：()011111∞=⎛⎫==⋅=- ⎪+⎝⎭+∑nn bx f x bx a bx a a a a当1,-<bx a 即<a x b 时收敛，当1,->bx a 即>a x b时发散 从而收敛半径为ab40、幂级数nn x n )1211(1+++∑∞= 的收敛域是___________.答案：(1,1)-三 计算题1、函数21()32f x x x =-+ 展开成x 的幂级数,并确定收敛域。
第12章章测题(级数)
第 12 章无穷级数练习题一、填空题∞∞1. 已知级数∑u 收敛，而级数∑nn=1 n=1∞u 发散，则称级数∑u 为收敛。
n nn=1∞2. 如果幂级数∑n=0a n x 在点n1x =处收敛，那么它在点21x =−处的收敛性是。
3x x x2 3 n3. 幂级数1+x +++++（−∞<x <+∞) 的和函数是。
2! 3! n!∞4. 设常数k > 0,则级数∑(−1)nn=1 k+n2n的收敛性为。
∞15. 若级数∑n n α+1=1nnα+1收敛，则α的取值范围是。
∑∑∞−1 ( 1)∞n6. =n=0 n 0 n !!n=。
∞7．已知级数∑u 的前n 项部分和为nn=13nsn =(n = 1,2,,n) ，则此级数的通项n +1u =。
n∞n28．级数∑=0 n!n的收敛和为。
二、判断题∞1．如果∑n=1 a 收敛，则部分和nS 有界。
（）n∞2．如果lim = 0 a 收敛。
（）a ，则∑→nnn ∞n=13．设f (x) = 1− cos x ，那么( 1) (1)∞−n−1f 绝对收敛。
（）∑nn=1∞a4．设> 0 a 收敛，那么lim +1 =ρ< 1a ，如果∑n。
（）n nn→∞a n=1n∞∞5. 如果∑ a 的收敛区间是(−R, R) ，那么∑n 3n+ln x a （l 是某自然数）的收敛区间是n xn=0 n=0(−3 R,3 R) 。
（）∞6．如果∑n=0∞a 的收敛半径是R，则∑n xa 的收敛半径是R，则∑n(n n x 的收敛半径也为 R。
（）1)an −−n 2n=2三、选择题1．下列级数中，收敛的是。
1 1 1A．++++；1⋅ 3 3⋅ 5 (2n −1)(2n +1)1 1 1B．1+++++1+ 2 1+ 4 1+ 2(n −1)；1 1 1 1C．+++++2 4 6 2n；+1 1 1 +11+1D ．++++。
高数II-2练习题及答案
高数II-2一、单项选择1、级数为( )• A、发散• B、条件收敛但不绝对收敛• C、绝对收敛但不条件收敛• D、绝对收敛且条件收参考答案 B2、曲线在t=2处的切向量是( ）。
• A、(2，1, 4)•B、（4，3，4）•C、0•D、(−4，3, 4)参考答案 A3、在)处均存在是在处连续的（)条件.• A、充分• B、必要• C、充分必要• D、既不充分也不必要参考答案 D4、设a为常数，则级数( ）• A、绝对收敛• B、条件收敛• C、发散• D、敛散性与a的值有关参考答案 A5、二元函数的定义域是（）。
• A、• B、• C、• D、参考答案 A6、方程表示的曲面是（）。
• A、圆• B、椭球• C、抛物面• D、球面参考答案 D7、有且仅有一个间断点的函数是（)。
• A、• B、• C、• D、参考答案 B8、下列级数中,收敛级数是()• A、• B、• C、• D、参考答案 A9、按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体的温度和空气的温度之差成正比。
已知空气温度为300C,而物体在15分钟内从1000C冷却到700C，求物体冷却到400C所需的时间为（)分钟.• A、50•B、51•C、52•D、53参考答案 C10、平面4y－7z=0的位置特点是(）• A、平行于z轴• B、垂直于x轴• C、平行于y轴• D、通过x轴参考答案 D11、若满足，则交错级数。
• A、一定发散• B、一定收敛• C、可收敛也可发散• D、难以确定参考答案 C12、下列无穷级数中发散的是().• A、• B、• C、• D、参考答案 C13、下列说法正确的是（) .• A、两直线之间的夹角范围在• B、两平面之间的夹角范围在• C、两向量之间的夹角范围在• D、直线和平面之间的夹角范围在参考答案 C14、级数收敛，则参数a满足条件（)• A、a〉e•B、a〈e•C、a=e•D、a为任何实数参考答案 A15、下列方程中（）是表示母线平行于y轴的双曲柱面。
第十二章 练习题答案
第十二章 练习题一、 填空1、级数∑∞=1n n u ，一般项n u 趋于零是级数收敛的 必要 条件2、若数项级数1∞=∑n n u 收敛，则lim n n u →∞= 0 。
3、级数11n n aq -∞∑=当q 时收敛，当q 时发散4、 级数∑+∞=-11-3)1n nn （的和为（ 41） 5、判别级数1(1)(1)nn In n ∞=-+∑的敛散性（绝对、条件或发散） 条件收敛 ．6、判别级数n11(1)n n ∞=+-∑的敛散性（绝对、条件或发散） 发散 ．7、部分和数列{}n s 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的 充要 条件8、 幂级数∑∞=-1)5(n nnx 的收敛区间是()6,4．9、 幂级数221212-∞=∑-n n n x n 的收敛区间是()2,2-．10、幂级数+++++nnx x x x 3232的收敛区间为 ()1,1- 11、 幂级数()222121nxx x nn -+++- 的收敛区间为 []1,1- 12、幂级数2323n x x x nx +++++的和函数是2,1(1)xx x <-．13、 级数()n n nx n ∑∞=--11!1的收敛半径等于∞+ .14、 函数 xx f +=21)(的麦克劳林展开式是()()2,2,2101-∈-∑∞=+x x n n n n ．15、()xe xf =的幂级数展开式为 ++++++!!3!2132n x x x x n16、函数 xx f +=31)(的麦克劳林展开式是()()3,3,3101-∈-∑∞=+x x n n n n．17、 函数x sin 的幂级数展开式为 ()()21121!n nn x n +∞=-⋅+∑18、 在),[ππ-上的()x x f =以π2为周期，则傅里叶系数=n a 0 .19、 设()x f 是周期为π2的周期函数，它在),[ππ-上的表达式为()2x x f =，则 ()x f 的傅里叶系数=n b 0 . 二、选择第一节1、 等比级数a+aq+aq 2+…+aq n-1+…(a ≠0)（ A ）A. 当|q|<1时发散；当|q|≥1时收敛B. 当|q|≤1时发散；当|q|>1时收敛C. 当|q|≤1时收敛；当|q|>1时发散D. 当|q|<1时收敛；当|q|≥1时发散 2、若0lim =∞→n n a ，则级数∑∞=1n n a （ D ）A 、一定收敛B 、一定发散C 、一定条件收敛D 、可能收敛，也可能发散3、级数∑∞=---1112)1(n n n 的和等于____D_____。
级数练习题精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版级 数一、 判断题1．正项级数 ∑∞=1n n u 发散，则其部分和数列趋于无穷大。
（ 对 ）2． 若1lim =∞→n nn v u ，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 同时收敛同时发散。
（ 错 ） 3．若级数∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=12n n u 一定收敛。
（ 错 ）4．若正项级数∑∞=1n n u 收敛，则必有1lim1<+∞→nn n u u （ 错 ）1115.(1).n n n n n u u u ∞-+=-≥∑若交错级数收敛，则必有 （ 错 ）116.lim 1,.n n n n nuu u ∞+→∞=>∑若则发散 （对 ） 17.(1).n n n a ∞=-∑若级数收敛，则必为条件收敛 （ 错 ）二、选择题：1．设幂级数∑∞=-1)1(n nn x a 在 x = -1 处条件收敛，则级数∑∞=1n n a ____A_____.A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 收敛性不能确定2．设级数∑∞=1n n a 条件收敛，那么级数∑∞=+12n nn a a ____C____.A. 必定条件收敛B. 必定绝对收敛C. 必定发散D. 敛散性不能确定111122113..()..(||||).().n n n n nn n nn n nn n n n n u v A uv B u v C uv D uv ∞∞==∞∞==∞∞==+++∑∑∑∑∑∑若与都发散，则___C____.发散必发散必发散必发散4．设级数1n n a ∞=∑绝对收敛，则11(1)n n n a n ∞=+∑ （ D ）.A ．发散B ．条件收敛C ．敛散性不能判定D ．绝对收敛115.(0)lim,..1.1.1.1n n n n n na a a r a A r B r C r D r ∞+→∞=>=>≥<≤∑若收敛，且存在则__D___6．设幂函数∑=-nn nn x a 1)12(在x=2处收敛，则级数∑∞=-1)2(n n n a ____A____A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 收敛性不能确定7．设级数∑∞=12n n u 收敛，则∑∞=-1)1(n nnnu （ C ） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ． 敛散性不能判定（2211(1)2n n nn n u u u n n +-=⋅≤） 三、填空题：1. 级数 n 1(1)2nnx n ∞=-⋅∑ 的收敛半径为___2___，收敛域为__[-1,3）__.2．部分和数列}{n s 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的__充要_条件，是任意项级数∑∞=1n nu 收敛的__必要__条件。
级数练习题
级 数一、 判断题1．正项级数 ∑∞=1n n u 发散，则其部分和数列趋于无穷大。
（ 对 ）2． 若1lim =∞→n nn v u ，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 同时收敛同时发散。
（ 错 ）3．若级数∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=12n n u 一定收敛。
（ 错 ）4．若正项级数∑∞=1n n u 收敛，则必有1lim1<+∞→nn n u u （ 错 ）1115.(1).n n n n n u u u ∞-+=-≥∑若交错级数收敛，则必有 （ 错 ）116.lim 1,.n n n n nuu u ∞+→∞=>∑若则发散 （对 ） 17.(1).n n n a ∞=-∑若级数收敛，则必为条件收敛 （ 错 ）二、选择题：1．设幂级数∑∞=-1)1(n nn x a 在 x = -1 处条件收敛，则级数∑∞=1n n a ____A_____.A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 收敛性不能确定2．设级数∑∞=1n n a 条件收敛，那么级数∑∞=+12n nn a a ____C____.A. 必定条件收敛B. 必定绝对收敛C. 必定发散D. 敛散性不能确定111122113..()..(||||).().n n n n nn n nn n nn n n n n u v A uv B u v C uv D uv ∞∞==∞∞==∞∞==+++∑∑∑∑∑∑若与都发散，则___C____.发散必发散必发散必发散4．设级数1n n a ∞=∑绝对收敛，则11(1)n n n a n ∞=+∑ （ D ）.A ．发散B ．条件收敛C ．敛散性不能判定D ．绝对收敛115.(0)lim,..1.1.1.1n n n n n na a a r a A r B r C r D r ∞+→∞=>=>≥<≤∑若收敛，且存在则__D___6．设幂函数∑=-nn nn x a 1)12(在x=2处收敛，则级数∑∞=-1)2(n n n a ____A____A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 收敛性不能确定7．设级数∑∞=12n n u 收敛，则∑∞=-1)1(n nnnu （ C ） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ． 敛散性不能判定（2211(1)2n n n n n u u u n n +-=⋅≤）三、填空题：1. 级数 n 1(1)2nnx n ∞=-⋅∑ 的收敛半径为___2___，收敛域为__[-1,3）__.2．部分和数列}{n s 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的__充要_条件，是任意项级数∑∞=1n nu 收敛的__必要__条件。
级数的概念与性质练习题
级数的概念与性质练习题一、选择题1. 对于级数∑n=1∞an，若an>0且an+1/an→a，则该级数的敛散性是（）A. 一定收敛B. 一定发散C. 不能确定D. 以上都可能2. 若级数∑n=1∞an收敛，且∑n=1∞bn发散，则下列说法正确的是（）A. 无法比较级数∑an和∑bn的敛散性B. ∑an和∑bn一定都是收敛的C. ∑an和∑bn一定都是发散的D. ∑an和∑bn的敛散性与∑an+bn的敛散性相同3. 若级数∑n=1∞an绝对收敛，则下列说法正确的是（）A. 对任意正整数N，总有∑n=N∞an<∞B. ∑n=1∞an的任意子项级数都是收敛的C. ∑n=1∞an的任意子项级数都是发散的D. 以上说法都不正确4. 若级数∑n=1∞an与级数∑n=1∞bn的部分和分别为Sn和Tn，且Sn-Tn=cn，则下列说法正确的是（）A. 若cn→0，则∑n=1∞bn收敛时∑n=1∞an也收敛B. 若cn→∞，则∑n=1∞bn发散时∑n=1∞an也发散C. 若cn→1，∑n=1∞an收敛，则∑n=1∞b n绝对收敛D. 若cn→-1，∑n=1∞bn发散，则∑n=1∞an绝对收敛二、填空题1. 对于级数∑n=1∞an，若n→∞时an趋于0，则该级数的敛散性是__________。
2. 若级数∑n=1∞an收敛，则∑n=1∞(3an+2)的部分和Sn等于__________。
3. 若级数∑n=1∞an绝对收敛，则∑n=1∞|an|的部分和Sn满足__________。
4. 若级数∑n=1∞an收敛，且bn=an+1/an，则级数∑n=1∞bn的部分和Tn等于__________。
三、计算题1. 判断级数∑n=1∞(1/4)^n的敛散性，并求出其和。
2. 判断级数∑n=1∞(n^2+1)/(n^3+1)的敛散性，并求出其和。
3. 设级数∑n=1∞an收敛，且an>0，证明级数∑n=1∞√an也收敛。
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题型：4月1日1.判断下列级数的敛散性(绝对收敛和条件收敛)【正项级数、交错级数、任意数项级数】2.求下列幂级数的收敛半径、收敛区间3.求下列幂级数的和函数4.将函数f(x)展成x的幂级数或者x-a（a为常数）的幂级数内容：4月1日一．常数项级数1.级数的概念与性质2.级数敛散的判别法二．函数项级数与幂级数1．函数项级数、收敛域、和函数的概念2．幂级数的收敛半径、收敛区间以及收敛域3．幂级数的性质4．函数的幂级数展开例题讲解：4月2日~5日题型一判定级数的敛散性题型二求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域题型三求幂级数的和函数题型四求函数的幂级数的展开式自测题八：4月5日一．填空题 二．选择题 三．解答题4月1日无穷级数练习题一．选择题1、设常数0λ>，而级数21n n a ∞=∑收敛，则级数1(1)nn ∞=-∑是（ ）。
（A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关2、设2n n n a a p +=，2n nn a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。
（A ）若1nn a∞=∑条件收敛，则1nn p∞=∑与1nn q∞=∑都收敛。
（B ）若1nn a∞=∑绝对收敛，则1nn p∞=∑与1nn q∞=∑都收敛。
（C ）若1nn a∞=∑条件收敛，则1nn p∞=∑与1nn q∞=∑的敛散性都不一定。
（D ）若1nn a∞=∑绝对收敛，则1nn p∞=∑与1nn q∞=∑的敛散性都不定。
3、设0,1,2n a n >=，若1nn a∞=∑发散，11(1)n n n a ∞-=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。
（A ）211n N a∞-=∑收敛，21nn a∞=∑发散. （B ）21nn a∞=∑收敛，211n n a∞-=∑发散.（C ）2121()n n n aa ∞-=+∑收敛. （D ）2121()n n n a a ∞-=-∑收敛.4、设α为常数，则级数21sin()(n n n α∞=∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关.5、级数1(1)(1cos )nn n α∞=--∑（常数0α）是（ ）（A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6、设(1)ln(1nn u =-+，则级数 （A ）1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛. （B ）1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散.（C ）1nn u∞=∑收敛而20nn u∞=∑发散. （D ）1nn u∞=∑发散而21nn u∞=∑收敛.7、已知级数12111(1)2,5n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑，则级数1n n a ∞=∑等于（ ）。
（A ）3. （B ）7. （C ）8. （D ）9.二．填空题1．级数⋅⋅⋅-+-+-5645342312的一般项是 。
2．级数⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+86426424222x x x x x 的一般项为 。
3．级数)21)1(1(1n n n n -+∑∞=的和为 。
4．∑∞=11n p n ，当p 满足条件 时收敛。
5．∑∞=--11)1(n n n 的和为 。
三．解答题（一）判断下列级数的敛散性1. ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n 31916131 2. ∑∞=++1)3)(1(1n n n 3.)sin (1∑∞=-n nn ππ4.∑∞=++1)3)(1(1n n n 5. ∑∞=17!)!2(n nn n 6. ∑∞=122n n na （a 为常数）7. ∑∞=--112)13(n n n n 8. 3．∑∞=1)(n n na b ，其中0,,),(>∞→→a b a n a a n n 。
9.∑⎰∞=+14411n ndxx（二）判定下列级数是否收敛？若收敛是条件收敛还是绝对收敛？1.∑∞=-+-11)1ln(1)1(n n n 2.∑∞=++111sinn n n ππ4月2日无穷级数练习题1、设幂级数0nn n a x∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为 。
2、幂级数0(21)nn n x∞=+∑的收敛域为 。
3、幂级数211(3)2n n nn n x ∞-=-+∑的收敛半径R = 。
4、幂级数0nn ∞=的收敛域是 。
5、级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为 。
6、级数21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为 。
7、若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（ ）（A ）1nn a∞=∑收敛. （B ）1(1)nnn a∞=-∑收敛. （C ）11n n n a a∞+=∑收敛.（D ）112n n n a a ∞=++∑收敛.8、设幂级数0nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑与13，则幂级数221n nn na xb ∞=∑的收敛半径为（ ） （A ）5. （B（C ）1.3 （D ）1.59．级数∑∞=--1)5(n nnx 的收敛区间（ ）（A ）（4，6） （B ）[)6,4 （C ）(]6,4 （D ）[4，6]10．若级数∑∞=--112)2(n nn a x 的收敛域为[)4,3，则常a =（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）以上都不对。
11．nn x n ∑∞=13∑∞=⋅⋅⋅⋅⋅1)2(642n nn xnn n nn x 2)1(121⋅-+∞=∑ n n x nn)2(1112-++∑∞= 4月3日无穷级数练习题基础题：1、级数0(ln 3)2nnn ∞=∑的和为 。
2、级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的和 。
3、设函数2()(01)f x x x =≤≤，而 1()sin nn S x bn x π∞==∑， x -∞<<∞其中12()sin n b f x n xdx π=⎰，1,2,3n =，则1()2S -等于（ ）。
（A ）12-. （B ）14-. （C ）14. （D ）12.4、设函数2()(01)f x x x =≤≤，而 1()sin nn S x bn x π∞==∑， x -∞<<∞其中12()sin n b f x n xdx π=⎰，1,2,3n =，则1()2S -等于（ ）。
（A ）12-. （B ）14-. （C ）14. （D ）12.5、已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑，2151n n a∞-==∑，则级数1nn a∞=∑等于（ ）。
（A ）3. （B ）7. （C ）8. （D ）9. 9、级数n n xx n )1(11-∑∞=的和函数为（ ）（A ）x x ---)1ln( （B ）)2ln(x - （C ）x ln （D ）以上都不对。
综合题：6、求幂级数1211(1)(1)(21)n n n x n n ∞-=-+-∑的收敛区间与和函数().f x7、求幂级数1211(1)(21)n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数().s x8、求幂级数1211(1)(1)(21)n n n x n n ∞-=-+-∑(1)的收敛区间与和函数()f x 。
9.求下列幂级数的和函数。
1．)1(11<-∞=∑x xn n n 2. )1(14114<+∑∞=+x n x n n3． 1112)1(-∞=-∑+n n n x n n 并求 ∑∞=-+112)1(n n n n4月4日无穷级数练习题基础题：1． )2ln()(x x f +关于x 的幂级数展开式为 ，其收敛域是 。
2．231)(2++=x x x f 展开成x+4的幂级数为 ，收敛域为 。
3.函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ） （A ）∑∞=02!n n n x （B ）∑∞=⋅-02!)1(n nn n x （C ）∑∞=0!n n n x （D ）∑∞=⋅-0!)1(n n n n x 4．)0()(n f存在是f(x)可展开成x 的幂级数的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不是充分条件也非必要条件5．),()(+∞-∞在x f 内展开成x 的幂级数，则下列条件中只有（ ）是必要的。
（A ）)2,1)(0()( =n fn 存在。
（B ）)2,1)(0()( =n fn 处处存在。
（C ）0)(lim )(=∞→x fn n (D)以上都不对6．241xx -展开成x 的幂级数是（ ） （A ）nn x 21∑∞= （B ）nn nx 21)1(∑∞=- （C ）nn x 22∑∞= （D ）n n n x 22)1(∑∞=-综合题：7.将函数1()arctan 1xf x x+=-展为x 的幂级数。
8.将函数111()1arctan 412x f x n x x x +=+-- 展开成x 的幂级数。
9.设21arctan ,0()21,0x x x f x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩试将()f x 展开成x 的幂级数，并求级数21(1)14nn n ∞=--∑的和。
10.将函数)1ln()1()(x x x f ++= 展开成x 的幂级数。
11将)1ln()(x x f +=展开成x=3处的泰勒级数12.将321)(2--=x x x f 展开成x 的幂级数4月5日无穷级数一、单项选择题1．（3分）级数()()+-++-+-!21!6!4!212642n x x x x nn 的和函数是（ ）Ａ．x sin Ｂ．x cos Ｃ．()x +1ln Ｄ．xe2．（3分）若常数项级数∑∞=1n na发散，则（ ）Ａ．可能有lim =∞→n n a Ｂ．一定有0lim ≠∞→n n aＣ．一定有∞=∞→n n a lim Ｄ．一定有0lim =∞→n n a3．（3分）已知级数∑∞=1n nU中，0lim =∞→n n U ，则∑∞=1n nU（ ）Ａ．收敛 Ｂ．发散 Ｃ．条件收敛 Ｄ．可能收敛，也可能发散 4．（3分）设∑∞=1n nU为收敛级数，则下列级数中收敛的级数为（ ）Ａ．()∑∞=+110n nUＢ．∑∞=110n nUＣ．∑∞=110n n U Ｄ．()∑∞=-11021010n n U5．（3分）幂级数()∑∞=-1231n n nnx 的收敛区间是（ ） Ａ．()3,3- Ｂ．()3,3- Ｃ．[]3,3- Ｄ．[]3,3- 6．（3分）设∑==nk kn u S 1，则数列{}n S 有界是级数∑∞=1n n u 收敛的（ ）Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件 7．（3分）幂级数()∑∞=--111n p nn n x 在其收敛区间的端点（ ）Ａ．条件收敛 Ｂ．绝对收敛Ｃ．发散 Ｄ．10≤<p 时条件收敛，1>p 时绝对收敛8．（3分）级数∑∞=1n n n x 在1<x 的和函数是（ ）Ａ．()x -1ln Ｂ．x -11lnＣ．()1ln -x Ｄ．()1ln --x二、填空题（共24分）9．（3分）级数 +-+-324321x x x 的收敛区间为（含端点敛散性）10．（3分）()∑∞=-⋅-1131n nnn n x 的收敛区间是（含端点敛散性）11．（3分）设幂级数为()∑∞=-+-13111n nn x n ，则该幂级数的收敛区间是（含端点敛散性）12．（3分）级数()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-13111n n n n 的敛散性是13．（3分）级数∑∞=0n nu与∑∞=0n nv均为正项级数，n n u v <，若级数∑∞=0n nu 发散，则级数∑∞=0n nv的敛散性是14．（3分）级数∑∞=-2211n n 的和为15．（3分）幂级数()∑∞=+11n nnx 的收敛域是16．（3分）设()x f 是周期为π2的周期函数，它在[)ππ,-上的表达式为()⎩⎨⎧<<≤≤-=ππx x x x f 0,0,0，则()x f 的傅立叶系数的积分表达式为=n a 、=n b三、计算题（共30分）17．（5分）将函数x 2sin 展开成x 的幂级数18．（5分）把函数()x x x f 2cos =展开成x 的幂级数19．（5分）设()()34ln 2++=x x x f ，将()x f 展开成x 的幂级数 20．（5分）将函数()x x x f 2cos =展开成x 的幂级数21．（5分）判别级数∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+123!1n n n n n 的敛散性 22．（5分）把函数()x x f -=61展开成()2-x 的幂级数，并写出幂级数的收敛区间 四、解答题（共16分）23．（8分）判别级数∑∞=+11n n n 的敛散性。