10组合变形

z
y
Mymax
31 cmax B 9 . 98 MPa
y
Mzmax
三、斜弯曲的变形
中性轴
a P z x z
D1
fz
b
f
Py y
Py L3
z
D2
P
y
P
fy
3 P L f f y2 f z2 ( ) 2 ( z ) 2 3EI z 3EI y
32
结论：正是由于Iy≠Iz ，b≠，才有载荷与变形方向不 一致，导致斜弯曲的发生。
般组合变形强度的原理和方法。
19
计算组合变形强度要求熟练掌握以下内容：
（1）绘制简单变形内力图； （2）简单变形横截面的应力分布规律； （3）应力状态理论； （4）强度理论。
20
§9-2 斜弯曲
x
z
一、概念
P
y
外力：作用线与形心主惯性轴不重合； 内力：弯矩矢不与形心主惯性轴重合 变形：挠曲线不与荷载线共面。
载荷偏离对称轴一很小的角度，最大正应力就会有很大 的增加 ( 增加 84.9 ％ ) ，这对于梁的强度是一种很大的威胁。 这就是为什么吊车起吊重物只能在吊车大梁垂直下方起吊， 而不允许在大梁侧面斜方向起吊的原因。
39
§9-3 拉（压）弯组合

P
一、概念
x
外力：轴向，横向 内力：轴力，弯矩，剪力（忽略）
40
一、轴向力与横向力同时作用
1、外力分析
2、内力分析 危险截面： A: N=Pcos, M=Plsin 3、应力分析：
A
B

x
l
P
Pcos
N Pcos Psin
危险点： A 截面上缘，单向应力状态
4.强度条件： N M max
A W
41
M
Plsin

max
6 1650 1 6 2 800 1 2 9 90 180 10 180 90 2 10 9 9 .98 10 6 N /m 2 tmax A 9 .98 MPa
M z max M y max Wz Wy p2l 2 p1l 2 2 bh / 6 hb / 6
p x , y
故对于薄壁圆筒可作为二向应力状态处理，
pd pd , 3 0 1 , 2 4t 2t
单元体在内壁侧面受内压p作用，因p值比x、y小得多，可略 去。三个主应力是：
pd pd 1 , 2 , 3 0 2t 4t
pd 0 [ ], 由第三强度理论： r 3 2t t 11.25mm
80 10 3 cos 5 4 80 10 3 sin 5 4 213 .7 MPa 160 MPa 2 3 4 692.2 (10 ) 4 70.758 (10 2 ) 3
pl sin a pl cos a 4W y 4Wz
a
P z Pz y Py
y
解：1.外力分析 Pz P sin a
Pyl/4
Mz
Py P cos a
2.内力分析
x
M y max Pl sin a / 4
M z max Pl cos a / 4
36
P A B z
a
P z
C Pz
A
l/2
My Pzl/4
l/2 y x
B y Py D 3.应力分析
My x PzL
24
M y PZ L PL sin M sin
M z Py L PL cos M cos
D1
x
D2
z Pz
z

P
D1
y

P
Py y
D1

z
D2
25
Mz
y
z D2
y
My
3 应力分析 Mz y M y cos Iz Iz Myz M z sin Iy Iy M M sin max cos max Wy Wz
11
压弯组合
拉扭组合
12
拉弯组合
13
偏心压缩
14
P
压弯组合
q
h
15
水坝
弯扭组合
16
弯扭拉组合
17
三、组合变形强度研究方法
方 法：叠加法
2. 小变形。
前提条件：1. 受力后材料变形服从虎克定律；
四、组合变形的研究步骤
1、外力分析：分析构件由几种基本变形组成 2、内力分析：分析各基本变形的内力，确定危险截面 3、应力分析：分析危险截面的应力，确定危险点
x z P y

M M cos sin Iz Iy
26
斜弯曲的正应力分布为一平面
D1
x
D2
D1
max max
z
P
y
max max
max
M y max Wy
M y max Wy
D2
M z max Wz
M z max Wz
N M A W
查表P406，16号，W=141cm3 ，A=26.1cm2 考虑N，M作用校核：
max
N M max 40 103 12 103 4 A W 26.1 10 14110 6
100 . 5 M Pa [ ] 100 M Pa
Pyl/4 Mz
max
x
M z max A Wy Wz pl sin a pl cos a 4W y 4Wz
M y max
37
P
a
B z
P
C
A
A
l/2 4.强度分析
z
Pz y B y Py D
l/2
32a热轧普通工字钢：Wy=70.758cm3， Wz=692.2cm3。
max
max
N M A W
例9-3：工字钢AB梁，[]=100MPa，试选工字梁型号。 解：1.外力分析
tga 0.8 0.32 2.5
D
0.8m
MA 0
a
2.5m TC XC
C
1.5m
B
P (2.5 1.5) YC 2.5 0 A P (2.5 1.5) YC 12 .8 kN 2.5 YC XC 40 kN tga
100 .5 100 0 .5 % 5 % 100
43
16号工字钢满足要求
二、偏心拉伸
P
N M A W
e
P
P Pe
N A
P Pe
M W
44
max
例3：图示单向与纯剪切组合应力状态，是一种常见的
应力状态，在梁的弯曲、在圆轴的扭转与弯曲组合变形、
扭转与拉伸组合变形中经常会遇到，试分别根据第三与 第四强度理论建立相应的强度条件。
解：
x , y 0, x
根据平面应力状态公式，极值正应力为：
max
1 ( 2 4 2 ) min 2
9
主要内容
§9-1 概述 §9-2 斜弯曲 §9-3 拉压与弯曲变形组合 §9-4 弯曲与扭转组合变形
10
§9-1 概述
一、简单变形（基本变形）
二、组合变形
同时发生两种或两种以上简单变形的变形构件。 组合变形的形式典型形式。 1. 斜弯曲； 2. 拉（压）弯组合（偏心拉压）； 3. 弯扭组合。
29
tmax
z
Mz
cmax
M My
y
2 My M z2
M tmax＝ ＝ W
W
2 My M z2
M cmax＝ ＝ W
W
例9-1 已知：矩形截面悬臂梁，截面宽度b=90mm、高度 h=180mm、长度l=1m，外载荷P1=800N和P2=1650N。 试求：梁内最大正应力及其作用位置。 解：1.外力分析 2.内力分析，画弯矩图
33
P z fz z
P z

b
b
f
y
b
f P

y
fy
f
y
Iz 若Iy > Iz ，b > ，挠度偏向绕最小的形心主惯性轴弯曲。
思考：正方形截面、圆截面梁有无斜弯曲情况？ 结论：对 Iy = Iz 的图形， = b ，无斜弯曲，为平面弯曲。
34
tgb
Iy
tg
P A l/2 l/2 B z
4、强度条件：危险点处于单向应力状态，因此
max
27
max
M y max Wy
M z max Wz
上式不仅对于矩形截面，而且对于槽形截面工字形 截面也是适用的。因为这些截面上由两个主轴平面内的 弯矩引起的最大拉应力和最大压应力都发生在同一点。
对于圆截面，上述公式是否正确
对于圆截面，上述计算公式是不适用的。这是因为， 两个对称面内的弯矩所引起的最大拉应力，最大压应力 不发生在同一点。
4、应力状态分析：求出危险点的三个主应力。
5、强度分析：选择适当的强度理论，进行强度计算。
18
二、组合变形
同时发生两种或两种以上的简单变形。 组合变形的形式有无穷多种，本章学习三种典型 形式。
1. 斜弯曲；
2. 拉（压）弯组合（偏心拉压）； 3. 弯扭组合。
通过这三种典型组合变形的学习，学会计算一
28
？
对 于 圆 截 面 ， 因为过形 心的任意轴均为截面的对称 轴，所以当横截面上同时作 用有两个弯矩时，可以将弯 矩用矢量表示，然后求二者 的矢量和，这一合矢量仍然 沿着横截面的对称轴方向， 合弯矩的作用面仍然与对称 面一致，所以平面弯曲的公 式依然适用。 于 是， 圆 截 面 上 的 最 大 拉应力和最大压应力计算公 式为
21
x z P y
z Pz

P Py y
二、斜弯曲的研究方法
1.外力分析：
将外载沿横截面的形心主轴分解
平面弯曲（绕 z 轴）+ 平面弯曲（绕 y 轴）
Py P cos
22
Pz P sin
23
L
x
z Pz
z
Mz

P y
x
P
Py y z
2 内力分析，画弯矩图 M图画在受压一侧
ห้องสมุดไป่ตู้PyL
主应力为 1 1 2 2 ( 4 ) 3 2
2 0
2 2 4 [ ] 根据第三强度理论 r3
根据第四强度理论 r 4 2 3 2 [ ]
例4：已知一圆柱形薄壁容器的内径d＝1m，内部的蒸 汽压强 p=3.6MPa，材料的许用应力[] = 160MPa，试 分别按第三和第四强度理论设计容器的壁厚t。
由第四强度理论： r 4
3.6 1000 160 2t
2 2 2 1 pd pd pd [ ] 2 2t 4t 4t
r4
3.6 1000 3 160 t 4
t 9.75mm
因此，梁在斜弯曲情形下的强度是不安全的。
38
P
a
B y
P
C
A
A
l/2
y
Py z B z Pz D
l/2
讨论：如果a＝0
pl cos a pl sin a 80 10 3 4 m ax 4 692.2 (10 2 ) 3 4W y 4W z
115 .6 MPa 160 MPa
a
P
y 例9-2：已知生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨支撑， 可以简化为简支梁。图中l=2m。大梁由32a热轧普通工字钢 制成，许用应力 ＝ 160MPa 。起吊的重量 P ＝ 80kN ，并 且作用在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角a＝5。 校核：吊车大梁的强度是否安全。
35
P A l/2 My Pzl/4 x l/2 B z
M 图画在受压一侧
z
Mz P2l My y x
M y max 2Pl 1
M z max P 2l
x
30
2P1l
例12.1 已知：矩形截面悬臂梁，截面宽度b=90mm、高度 h=180mm、长度l=1m，外载荷P1=800N和P2=1650N。 试求：梁内最大正应力及其作用位置。 3.应力分析
P=8kN YC
X 0 X A X C 40 kN XA Y 0 YA YC P 4.8 kN
42
YA
P=8kN
2.内力分析
3 根据强度条件设计截面尺寸
max
3 M 12 10 5 3 3 由Mmax选： W max 12 10 m 120 cm [ ] 100 10 6
横截面应力为

FN 4 pd A dt 4t
d2 p
由平衡方程得

pd 环向应力（Hoop stress） 2t
d d l ( p d ) sin pl sin d 2 tl 2 2 0 0

pd 4t
pd 2t