一类用单调有界定理求解的数列的极限

上
当且仅当ｘ．＝口”时取等号。
设ｘ女≥口”，则
粕２等ｐ ”ｐ ≯ｋｐ水一ｎ剥ｘ；
一 旦∥
１ ≥一。ｐ
土 ＝口”．
当且仅当坼＝臼’时取等号。
由数学归纳法知，对任意自然数玎都有：ｘ。≥以ｊ。故数列扛。｝有界。又当胛＞１时，
‰ｒ轳等ｐ 吒＋ｐ≯一＝寿ｐｘ；一ｊ 知ｐ ＝努ｐｘｉ，。
因为ｘ，，≥口；，所以口一ｘ？≤ｏ。又因为肼譬一１＞ｏ，所以ｘ。＋ｌ—ｘ。≤ｏ’，即吒＋ｌ≤ｘ。．所以数列扛。｝是单调递增的。
”—＇∞
门—＇∞
０—１）『＋，胛
，”２
，可解得，＝所，即１ｉｍｈ＝ｌｉｍｙ。。
”—＇∞
月—’∞
注例３是命题３的特殊形式，证明类似。 通过以上这简单的三个例子很容易看出它们是各自推广后命题参量的特殊值，还有好多题都可直接根据这些命题很快得 出其极限值。 通过本文可以看到单调有界定理在求一些有特殊形式的极限时常常很有效。
限存在且为ｌ。
一 万１方０６数～据
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例３【１１设ｘｌ＝口，ｙｌ＝６，ｏ＜口＜６，ｐ∈Ⅳ，数列ｂ。）、涉，，）分别定义为
‰－＝瓜“圹半，
证明坚ｍｘ。＝ｌｉｍｎ。
Ｈ·÷ａ）
月—＋∞
例３可以作如下推广：
命题３设ｘＩ＝口，少Ｉ＝６，ｏ＜口＜６，ｐ∈Ⅳ，数列扛。｝、涉，，｝分别定义为
＝把丐， ０—１ｋ＋％
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1.期刊论文 王占京.米香云.WANG Zhan-jing.MI Xiang-yun 关于数列与其子列敛散性的讨论 -河北经贸大学学报
（综合版）2005,5(4)
本文对数列极限的常规结论进行了进一步的研究,得出了关于数列与其子列间更为深入的结论,其构成了数列收敛的新的充分必要条件.
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一类用单调青界定理求觎昀数列的相限
常州工程职业技术学院基础部 吴亚伟
［摘要］文中对某些具有特殊形式的数列作了一般性的推广，应用单调有界定理证明其极限的存在． ［关键词］数列 极限 单调有界定理
１引吾
求数列极限是数学中的一类基本问题，在考研中常见。求极限的方法很多，如定义法、反正法、两边夹、单调有界定理、 柯西准则等。就一类能运用单调有界定理证明的考研题中有关求数列极限的问题在形式上进行了推广，并加以证明。
2.期刊论文 沈林.谢芳 数列积和数列和的极限的求解方法 -科教文汇2008,""(8)
本文就数列的积和极限总结出了四种实用且有效的求解方法,并举出了相应的例子给予说明.
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8.期刊论文 朱杏华.ZHU Xing-hua 数列{n-n√n!}的单调有界性及极限的证明 -高师理科学刊2009,29(2)
讨论数列的单调有界性与极限的方法很多.利用基本极限与比式方法直接证明数列是严格单调递增的且以为极限,而不必借助导数、级数、积分及 Stirling公式等工具.
9.期刊论文 张国铭 若干个数列之间的联系及其极限 -高等数学研究2009,12(5)
３．２教学手段和方法的改革 首先，应运用现代化的教学手段。多媒体教学是教学现代化 的一项重要内容和手段，运用多媒体辅助教学，可以将大量的图 片和短片作为教学内容的补充，既可以使学生对抽象的知识进 行直观的理解，又大大增加了学生的学习兴趣。 其次，‘房屋建筑学》这门应用性很强的学科，对于应用型本 科院校的学生来说，培养他们的实际动手能力是主要的教学目 的．因此，通过现场教学可以使学生更加直观和深刻的理解所学 的知识。在教学中应当推行。形象化教学”既以周围众多看得见、 摸得着的建筑构件为实例，还可以根据教学内容的需要适当组 织学生阅读施工图纸、标准图集，参观有代表性的建筑，加深学 生对建筑平、立、剖面设计原则和方法以及建筑构件构造做法的 了解，将理论与实践结合起来。最好能在课堂教学结束后安排一 周左右的认识实习，集中全面的强化教学内容，使知识融会贯 通，并为后续课程的开设打下基础． ‘房屋建筑学＞课程内容繁杂，单凭课堂上老师讲，学生听， 势必使学生产生惰性，影响学习效果．在教学中，应反对。填鸭 式”的讲授方法，取而代之的是启发式教学．重点内容深入讲，难 点内容详细讲，简单内容少讲甚至可以不讲以此来培养学生的 自学能力．此外，充分调动课堂气氛，面对出现的问题，让学生各
证明 由０＜一＜ｐ知ｘｌ＞Ｏ且ｐ一五＞Ｏ．由算术——几何平均不等式知
ｏ＜工ｚ＝√ｊ１翮≤圭（ｘ－＋ｐ—ｚ·）＝詈，
假设ｏ＜砟≤罢＠＞１），再次用算术——几何平均不等式知
．ｏ＜ｘ。＝√；＿踊≤兰Ｇ。＋ｐ—ｘ。）＝詈，
由数学归纳法知，对任意正整数胛＞１均有ｏ＜ｘ。≤晏。因而数列扛。）有界。又当玎＞１时，
≥≯瓯＝甑％ｐ。， ｙ『７＋ｌ ２ （Ｐ一１ｈ。＋ｙ，，
当且仅当ｘ。＝少。时取等号。
而当＂＞１时。
孥 痒 立“
正业嘿：延坐必 ｙ月＋ｌ—ｙ＂２
Ｈ
即ｚＨ≤石月＋ｌ，
：丝Ｇ。一¨≤ｏ，
ｐ
即儿≥儿＋Ｉ·故有
ｘ。≤ｘ。＋ｌ≤ｙ。＋ｌ≤ｙ。
而当”＝１时，由于０＜一＝口＜６＝ｙ１，所以就有
少２ ２ ◇一１ｈ。＋ｙ ＜ｙ
故ｘ。≤ｘ川ｂ１），即数地：｝单丑调Ｘ＂递：增正。由匠Ｘ” 数丑列觯：调√、有『 界吒譬定理２知～挣！鳃％ｘ㈨。一存” －在，设为口，对矗＋１＝嗣两边同
时取极附口＝凰习，可解得。＝詈或日＝ｏ（㈨。故嬲铲詈。 注 由命题－得例·的极限存在且为三。
例２【‘】慷门大学，２００２年研究生入学试题）证明数列扛。）收敛，其中而＝１，
由数列的单调有界定眇蛳钝跏，帆Ｉ＝等“＋≯懒同时
取极限得：ｆ：旦二！ｆ＋旦ｆｌ～，可解得ｆ：ａ÷。所以说数列极限存在且为日÷。
ｐ
ｐ
注 由以上命题２易得例２中的数列｛石。）极限存在且为√ｉ．
推论【２】当五＞ｏ，矗＋。＝丢［（七一１ｈ。＋ｘ，‘】，刀≥１时，数列｛“）极限存在且为·。
利用这爪推论很容易便可知对于数列㈧：ｈ，＝；（２Ｌ＋割（口＞吣。＞。）的乏
揭示了若干个数列之间的联系,找到了形成这些数列的背景,求出了这些数列的极限;而后又提供两个例子作为所获得的结论的应用,且其中的一个例 子是对一道典型题的错误解法的再讨论.
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讨论m次算术平均数列(1)、m次几何平均数列(2)、m次调和平均数列(3)的极限计算方法,得到三个极限的计算公式(4)、(5)、(6).
２主要内容
例ｌ¨（２００２年全国硕士研究生入学考试数学二试题）设ｏ＜ｘｌ＜３，ｘ川＝√石雨， 本节主要针对考研的一些特殊类型数列通过观察、猜想对其进行一般化的推广，并加以证明。
Ｇ＝１，２，…）．证明：数列扛。）的极限存在并求出此极限．
例ｌ可以作如下推广：
命题１若ｏ＜＿＜ｐ，％＋。＝√Ｚ瓦ｉｊ习，０＝１，２，…），则数列扛。）的极限存在且为导。
5.期刊论文 胡莹晶.吴玉海.HU Ying-jing.WU Yu-hai 关于数列{Γ(n+1/2)/√nΓ(n/2)}+∞n=1的极限 -大学数学
2008,24(6)
用单调有界定理证明了数列{Γ(n+1/2)/√nΓ(n/2)}+∞n=1的奇子列和偶子列极限的存在性,并给出了该数列的极限为1/√2.本文所得结果对帮助学 生更好理解概率统计论中t分布密度函数的极限函数的证明有一定指导作用.
抒己见，集思广议，有利于培养学生的学习主动性和创造性，让 学生体会到他们不仅仅是知识的旁观者，而是实实在在的融入 到了所学的内容中．
４、结语 应用型本科院校的教育方式不同于培养学术性、研究型人 才的本科教育。身为这类院校中《房屋建筑学＞的任课教师，针对 教学中凸现的问题提出了一些建议。但在实际教学中，不同的学 校会存在着学时安排、教学对象不同等问题，在不同的教学阶 段，随着培养计划、专业增减等调整，也还会有新问题不断出现， 这就需要任课教师及时地调整教育教学的理念，改进教学方法 和手段，根据社会对毕业生的需求，夯实专业基础、拓宽专业范 围，重视学生工程技术应用能力的培养，为社会输出合格的专门 人才．
一 万１方０８数～据
一类用单调有界定理求解的数列的极限
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
吴亚伟 常州工程职业技术学院基础部
科技信息（学术版） SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 2007，""(29) 0次
参考文献(2条)
1.贺冬冬.程伟健 算术-几何平均不等式在解极限问题中的应用[期刊论文]-大学数学 2004(03) 2.叶慧芬 递推式数列的极限及应用[期刊论文]-台州学院学报 2004(06)
因此对任意自然数胛都有下式成立
万方数据
一１０７一
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臼＝ｘＩ＜ｘ２≤ｘ３≤…≤ｘ月≤石月＋ｌ≤∥』Ｉ＋ｌ≤ｙ＂≤…≤ｙ３≤ｙ２＜ｙｌ＝６，
所以数列扛。｝、涉，，｝均为单调有界数列。
０—１ｈ，＋此
故由数列的单调有界定理知ｌｉｍｘ，，、ｌｉｍｙ。存在，分别设为，、聊，对此＋ｌ＝
两边同时取极限得
参考文献 【１】贺冬冬，程伟健．算术一几何平均不等式在解极限问题中的应用【Ｊ】．大学数学，２００４，２０（３）：１２５—１２６． 【２】叶慧芬．递推式数列的极限及应用［Ｊ】．台州学院学报，２００４，２６（６）：８—９．
（上接第１０９页）将我国目前颁布的节能建筑的标准以及建筑节 能的实施和应用介绍给学生，就可以大大培养他们对建筑节能 的认识以及节约意识。
ＸＮ＋ｌ
％＋ｌ ２
则仍有ｌｉｍｘ。＝ｌｉｍ儿成立。
月—÷∞
”—’∞
证明 由已知０＜ｘｌ＝臼＜６＝Ｊ，ｌ可得ｘｌ＞Ｏ，少Ｉ＞０
假设当刀≤七时均有矗＞ｏ，ｙｔ＞ｏ，＠２１，后∈Ⅳ），则当玎＝七＋１时有
０—１ｋ々＋少。
儿＋ｌ ２
＞Ｏ。
由数学归纳法知，对任意自然数胛都有ｘ。＞０，ｙ。＞０成立。由算术——几何平均不等式知
参考文献 ［１］李振蕾，单承黎，朱赛鸿．‘房屋建筑学＞课程教学的探 讨．河北工业大学成人袭育学院学拉．第２２卷，第１期．２００７年 ３月 ［２］杨子君．‘房屋建筑学）课程教学的探索．河北工程技术 职业学院学报．第４卷，第４期，２００２年７月 ［３］朱文正，韩雁娟．‘房屋建筑学）诹程教学刍议．中山大学 学报论区．２００５年，第２５卷，第３期．
6.期刊论文 霍东华 数列的非正常上、下极限的一点应用 -牡丹江师范学院学报（自然科学版）2006,""(2)
对文献[1]中的一个问题进行了详细的讨论,相应地得到一个完美的结果.
7.期刊论文 张之红 数列的极限与函数的不动点 -科教导刊2010,""(15)
在常见数学分析的教科书中,关于求数列的极限方法介绍了不少,如单调有界定理、柯西收敛准则、两边夹法则等,另外还有将数列的极限转化为函数 的极限,再用洛比达法则来求取的方法.但对于求上、下极限,各种教材均把它作为一种新的概念介绍,虽对其定义及性质有较详细的论述,但对如何运用上 、下极限来判断数列的敛散性及如何求极限值这些方面则介绍甚少.本文将求迭代数列的极限与求某函数的不动点联系在一起,给出几个定理,将求迭代数 列的极限问题转化为求某一函数的不动点问题,并举例介绍了这种在求(证)数列极限方面的应用,使证明迭代数列的敛散性的过程得到简化.
矗＋．＝圭（矗＋妻），门＝，，２，…，并求极来自百度文库！臻％．
万方数据
一１０５一
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高校理科研究
命题２若日＞ｏ．ｘｌ＞ｏ，ｐ∈Ⅳ，定义ｊｃ。ｌ：竺兰ｘ ＋旦ｘ，Ｐ，所：１，２，…，则数列ｂ。｝存在极限且为“ｊ。
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上 ＝口９，
2008,9(1)
通过数列上极限与下极限的概念,讨论了数列上极限与下极限存在的充分必要条件及其一些性质与推论,从而补充了一些关于数列极限的知识.
4.期刊论文 潘晓玮.PAN Xiao-wei 一个包含Smarandache LCM比率数列的极限问题 -西北大学学报（自然科学版）
2007,37(5)
目的 研究一个包含Smarandache LCM比率数列的极限问题.方法 利用初等解析方法.结果 证明lim[T(n,n)]1/n=lim[L(n)]1/n=e.结论 给出二个包含 Smarandache LCM比率数列的极限定理.