一类用单调有界定理求解的数列的极限
一类递推数列极限的多种证法
［ 稿 日期 ］０ ７ １ ８ 收 ２ ０ —１ —０
［ 作者简介］邓乐斌 （９ ３ ） 男， １ ６ － ， 湖北房县人 ， 阳师范高等 专科 学校 数学 系主任、 郧 教授 ， 主要 从事 函数论教学研 究．
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邓 乐斌 ， 贾卫 红 ：一 类递 推 数 列极 限的 多种证 法
心 呵 护 的美 丽 花 园 的话 ， 么 求 递 推 数 列 的 极 限 无 疑 是 这 那
既以 ｘ 一ｘ ２ －的 符 号 由 ｃ 一 的 符 号 所 决 定 ， 而 从 ｘ 一 － 的 符 号 就 由 Ｘ－的取 值 情 况 而 决 定 了 ． 具体说来有 ：
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推 数 列 极 限 的 １ 证 明 方 法． Ｏ种
［ 关键 词］ 推 数 列 ； 西 准则 ； 缩数 列 ； 调 有 界 定 理 递 柯 压 单 ［ 围分 类 号 ］ ７ 中 Ｏ１ １ ［ 献标识码１ 文 Ａ ［ 文章 编 号 ］ ０ ８ ６ ７ （０ ７ Ｏ一 Ｏ ２ 一 Ｏ １０ － ０ ２ ２ ０ ）６ Ｏ ３ ３
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数列极限的几种求解方法
数列极限的几种求解方法张宇（渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国）摘要在髙等数学中极限是一个重要的基本概念。
高等数学中其他的一些重要概念，如微分、积分、级数等都是用极限来定义的。
本文主要研究了求极限问题的若干种方法。
在纷繁众多的求极限方法中，同学们往往在求解极限时不知如何下手。
文章内容包括对求解简单极限问题的各种常用方法的总结：利用迫敛性：利用单调有界定理；利用柯西准则证明数列极限：这些方法对解决一般数列极限问题都很适用。
还包括在此基础上探索出来的解决各种复杂极限问题的特姝方法，例如：利用数列的构造和性质求数列的极限：利用定积分定义求数列极限以及利用压缩映射原理等特殊方法求数列极限，这些特殊方法对解决复杂极限有很重要的意义，而且还比较方便。
在实际求解过程中，要灵活运用以上各种方法。
关键词：数列，极限，槪念，泄理。
Solution of the limitAbstract : In the higher mathematics limit is an important basic concepts・ In the higher mathematics, some important concepts of other, such as the differential and integration. series are used to define the limit. This paper mainly studies the problem of several limit .In the numerous and numerous limit method. students often in solving limit doesn't know how to start. Tlie contents include the limit for solving all kinds of simple method using the summary: popularizes forced convergence property. Monotone have defined Daniel, Using the proof of cauchy criterion sequence limit. These methods of solving problems are generally sequence limit. Also included on the basis of exploring the problem solving complex limit methods, such as special stnictures and properties of invariable; the sequence limit, Using the integral definition for sequence limit and use the banach cotraction principle as a special method. these special method sequence limit to solve complex limit is important, but also more convenient. In the actual solving process, using various above methods・Key words: Series, limit, the concept, the theorem.引言极限的概念与运算贯穿了高等数学的始终。
数列nnn的单调有界性及其极限
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一、 预备定理
设 $ +# ， 则
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证明 由 $%’ （ $ 1 $ " …） ， &$’’ ’$ % , (0’% ’ % ’% 1 " $&’
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! !（ （’ ） （’ " $） " # ’ #’ " # ’ "$ #" ! !" " # ’ #’ "’） !" ! 将上式中的 ’ 换成正整数! 即得到不等式 （ ） ， 这就证明了 （ ） 中右边的不等式成立。 0 !
! ! !！ !！ 是严格单调递减的， 且$ ! " 。 因此， 数列 " $$ % ! !
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求数列极限的若干方法
求数列极限的若干方法摘要：本文主要探讨了求数列极限的六种方法:极限定义法，迫敛性，单调有界定理，定积分的定义，施笃茨定理，以及利用函数极限求数列极限的方法，并对每一类方法进行了总结，这将有利于我们更好的学习后续课程。
关键词：极限；迫敛性；定积分数列极限是数学分析中最重要的概念之一，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。
许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。
论文总结出了求数列极限的一些常用方法，为并结合实例进行了说明。
1. 数列极限概述对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，{}n a 能无限地接近某一个常数a ，就称此数列为收敛数列，a 是此数列的极限。
例如，对于数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1，当∞→n 时，n 1能无限地接近于0，则称数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1为收敛数列。
就是说，当n 充分大时，数列的通项n a 与常数a 之差的绝对值可以任意小。
因此有下列数列极限的精确定义。
1.1数列极限的N -ε定义定义1 设{}n a 为数列，a 为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N ,使得当n >N 时有ε<-a a n ，则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为数列{}n a 的极限。
定理1 （唯一性） 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限。
一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只有一个数。
定理 2 （有界性）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n 有M a n <.定理3 （保号性）若)0(0lim <>=∞→a a n n ，则对任何)0,)(,0(''）（或a a a a ∈∈，存在正数N ,使得当N n >时有)(''a a a a n n <>或。
定理 4 （保不等式性）设{}n a 与{}n b 均为收敛数列.若存在正数0N ,使得当0N n >时有n n b a ≤，则n n n n b a ∞→∞→≤lim lim 。
关于数列极限概念5
1.关于数列极限概念，单调有界定理，数列子列知识1.1数列极限概念定义1 设{}n a 为数列，α为定数。
若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n >N 时， |α-n a |<ε则称数列{}n a 收敛于α，定数α称为数列{}n a 的极限，并记作lim n ∞→α=n a 或()∞→→n a n α读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于α或n a 趋于α”例1 证明limn ∞→0n 1=α，这里α为正数。
证 由于 ︱0n 1-α︱=αn1<ε, 可得αε11n >，故对任给的ε>0,只要取111+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=αεN ，则当N n >时，便有： εαα<<N n 11， 即 ︱01-αn ︱<ε，即 ︱01-αn︱<ε,这就证明了limn ∞→0n1=α 例2：证明,0lim =∞→n n q 这里.1<q证：若,0=q 则结果是显然的。
现设.10<<q 记,11-=qh 则.0>h 我们有,)1(10nn h q q +==-并由nh h n+≥+1)1(，得到.111nh nh q n <+≤对任给的,0>ε只要取,1hN ε=则当N n >时，由上式得.0ε<-n q 这就证明了0lim =∞→n n q1.2单调有界定理及其证明定义2 若数列{}n a 的各项满足关系式:)(11n ++≥≤n n n a a a a ,则称{}n a 为递增（递减）数列。
递增数列和递减数列统称为单调数列。
如⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1为递减数列，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n 为递增数列，而⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n 1n）（则不是单调数列。
定理1：（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限。
证明：不妨设{}n a 为有上界的递增数列。
由确界原理，数列{}n a 有上确界，记}n a sup =α，下面证明α就是{}n a 的极限。
数列极限的几种求法
数列极限的几种求法摘要本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法．学习并掌握这些方法，对于学好数学分析颇有益处．关键词数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列中图分类号Ｏ171Several Methods of Sequence limitAbstract：Through examples，summarized several series method for finding the limit．Learn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studying．Keywords：Sequence limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence１引言极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态．极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特（Democritus）是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面．年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识．马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”．谟克里特以探求真理为最大快乐，他有句名言：“宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位．”在他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成，利用这一理论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽．公元前五世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度．实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合．稍后，另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤．这种以直线形逼近曲边形的过程表明，当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想．公元前４世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”．穷竭法成功地运用于面积的计算．这些都可以看作是近代极限理论的雏形．朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载．如，中国古代的《墨经》中载有“穷，或有前，不容尺也”，《庄子·天下》中载有“一尺之棰啊，日取其半，万世不竭”．公元３世纪的中国数学家刘徽所创的割圆术，从圆内接正六边形出发割圆，得到圆内接6*2n 边形序列，并指出割得越细，正多边形的面积与圆面积之差就越小，“之又割，以至于不可割．则与圆和体，面无所失矣”……，其中包括了深刻的极限思想． ２ 基本概念定义１ 若函数f 的定义域为全体正正数集合N +，则称:f N R +→ 或 (),f n n N +∈为数列．因正整数集N +的元素可由小到大的顺序排列，故数列()f n 也可写作12,,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅或简单地记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项．定义２ 设{}n a 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N ，使得当n N <时，不等式n a a ε-<都成立，那么就称常数a 是数列{}n a 的极限，或者称数列{}n a 收敛于a ，记为lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞．若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列．３ 数列极限的几种求法极限论包括数列极限和函数极限两类，其中计算数列极限有着多种多样的方法，除了要熟练运用极限的四则运算法则，极限和无穷小量之间的关系和初等函数的连续性以外，还要掌握和应用更多的方法和技巧．在这里，主要总结了以下几种方法：（１）四则运算法；（２）变量替换法；（３）初等变形法；（４）利用重要极限求数列极限；（５）单调有界数列法；（６）利用定积分求数列极限；（７）利用两边夹定理法；（８）级数法．下面通过实例讲述数列极限的若干种求法．（１）用四则运算法则求极限定理 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n a b +，{}n n a b -，{}n n a b ⋅ 也都是收敛数列，且有 ()lim lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±，()lim lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅．例１求n ．解==()111,n n +→→∞．得12n n ==． （２）用变量替换求极限有时候，为了将已知的极限化简，转化成为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程．例２ 设11n a -<<，)1,2,n a n ==⋅⋅⋅ 求(i) ()lim 41n n n a →∞-；(ii) ()12lim n n a a a →∞⋅⋅⋅⋅．解 可令()0cos ,0,a ααπ=∈，则1cos 2a α===． ()cos,1,2,2n na n α==⋅⋅⋅．于是（i ） ()22011lim 41cos lim 24arccos 222n nnn n a αα→∞→∞⎛⎫-=⋅== ⎪⎝⎭． （ii ） ()122lim lim cos cos cos 222n n n n a a a ααα→∞→∞⎛⎫⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭2cos cos cos sin 2222lim sin 2n n n n ααααα→∞⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭01sin sin 2lim sin 2n n nαααα→∞===． （３）运用初等变形求极限对于某些较繁的数列{}n a ，可用初等数学的方法将其变形，转化为一个简单的数列，然后再对之求极限．例３ 求极限222111lim 11123n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解 因为22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1325112233n n n n -+⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯ ⎪⎝⎭． ∴ 222111lim 11123n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111lim 22n n n →∞+=⨯=．（４）利用重要极限求数列极限两个重要极限分别为（i ）0sin lim 1x xx→=；（ii ）1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．例４ 求()20lim 1xx x →+．解 ()()()21120lim 1lim 11xx x x x x x x e →→⎡⎤+=+⋅+=⎢⎥⎣⎦． （５）利用单调有界数列法求极限这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为：①判定数列是单调有界的，从而可设其极限为A ；②建立数列相邻两项之间的关系式；③在关系式两端取极限，得到一个关于A 的方程，若能解出A ，问题得解．例５ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中()0a >的极限．解 设)011,0,1,2,n x x x n +===⋅⋅⋅==⋅⋅⋅． 则{}n x 是单调有界数列，它要有极限，设其极限为A ．在1n x +=A =，即20A A a --=．所以12A ±=． 因为0A >，所以12A +=，即1lim 2n n x →∞+=．（６）利用定积分求数列极限若一个数列{}n a 是一个和式的形式，且每一项可提出一个1n或其他形式的代数式，提出这些代数式后，剩下的可表示为一个通式，则可方便的用定积分法求解．例６求1lim n n →∞⋅⋅⋅+． 解原式1101lim n n i n →∞===112xdx π===．（７）利用两边夹定理求数列极限当一数列极限不易直接求出时，可考虑将求极限的数列作适当的放大和缩小，使放大、缩小所得的新数列易于求极限，且两端的极限值相等，则原数列的极限值存在，且等于它们的公共值．例７ 求22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪++++++⎝⎭． 解 因为()()2222112121222n n n nn n n n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥=+++++++++，()()222221121212121n n n nn n n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤=++++++++++． 又因为 ()()()()2111limlim 22221n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++．所以 222121lim 122n n n n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪++++++⎝⎭． （８）用级数展开式求数列极限级数是一个无穷序列和的形式，其部分和就是一个序列．有时为了方便可将数列极限看作是某个级数的部分和，这样能更方便、更简捷的求出数列的极限．例８ 计算21lim 1sin n n n n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭．解 由泰勒公式知：()()33sin ,3!x x x o x x =-+→∞．令1x n =得，()()2111sin 1,3!n n O n n ⎛⎫-=+→∞ ⎪⎝⎭．则211lim 1sin 6n n n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭为所求． 总之，极限的求法很多，但如果在解题过程中能根据算式的特点注意使用适当的解题方法，则可以化难为易，使问题得到圆满解决，并可提高解题效率．参 考 文 献[1]华东师范大学数学系．数学分析（上册，第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，2006． [2]黄丹妹．试论极限的计算方法数列篇［Ｊ］．福建：福建省侨兴轻工学．2005(07)：18-20． [3]魏立明．一类数列极限求法的研究［Ｊ］．广西贺洲．梧州师范高等专科学校．2004(11)：75-77．[4]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，1993． [5]孙 涛．数学分析经典习题解析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，2004． [6]陈文灯．数学复习指南［Ｍ］．北京：世界图书出版社，2005． [7]蔡子华．考研复习大全［Ｍ］．北京：现代出版社，2004．。
用单调有界准则求数列极限
用单调有界准则求数列极限
单调有界准则求数列极限：
1、定义：单调有界准则（Monotonic Bounded Criterion）是利用一系列
上升或下降的有界数列作为依据来求解数列极限的一种准则。
2、假设：假定(a_n)是在区间[M,N]上有界的单调递增数列，其成长速
度越来越接近，则有a_n的极限存在，其极限值介于M与N之间；假
定(a_n)是在区间[M,N]上有界的单调递减数列，其成长速度越来越接近，则有a_n的极限存在，其极限值介于M与N之间；
3、性质：
（1）当a_n为上升数列时，极限值不会小于M，也不会大于N；
（2）当a_n为下降数列时，极限值不会小于M，也不会大于N；
（3）当a_n在M处取得局部最大值，或者在N处取得局部最小值时，可得出结论：极限值为M或N；
（4）当a_n在区间[M,N]内趋近于某一固定值L，则可以得到极限L；
4、应用：
（1）由定义可以看出，单调有界准则求数列极限与有界性紧密相关，只有满足有界条件的数列，才能满足单调有界准则的条件，从而求出其序列极限；
（2）对于上升或者下降的数列非常有用，而且单调有界准则具有计算量小、容易理解等优点；
（3）它还可以结合起始数列限定范围内所有可能的极限，具有很强的证明性。
5、示例：
令a_n={1+1/n， n=1，2，3，…}，M=1，N=2，那么由单调性及上下界可知此序列的极限落在[1,2]闭区间上，而整数M在该闭区间中，故有极限等于1。
极限的多种求法
(b≠0) （2）几个基本极限。
， (|q|<1)，
=b(b为常数)。
1.2.5 利用级数展开式求数列极限
级数是一个无穷序列的和的形式，其部分和就是一个
数 列。有时 为了方便 可 将 数 列 极限 看 作是 某 个 级 数 的 部
分和，这样能更方便、更简捷地求出数列的极限。
例3：求
极限lim n→∞
创新教育
科技创新导报 2018 NO.22
Science and Technology Innovation Herald
则称函数 f当x 趋于+∞时以T 为极限，记作 f(x)→T(x→+∞)。
=T 或
例4：证明:
=-
证 明：任 给ε> 0 , 由于
arctanx
-
-
π 2
ε ，等 价 于 -ε=--
义，T为定数，若对任给的ε＞0，存在正整数δ(＜δ'),使得
当0<|x-x0|<时有|f(x)-T|＜ε，则称函数f当x趋于x0时以T为
极限，记作
=T或f(x)→T(x→+∞)。
2.1.2 利用极限的四则运算求函数极限
如果
=M,
=N,那么
=M±N，
=M·N
(b≠0) =c·M(c为常数)
2.1.3 利用两个重要极限求函数极限
存在正整数N，使得当n﹥N时有|an|收敛于a,定数a称为数列
{an}的极限，并记作
lim
n→∞
an
,或a∞n→a(n→∞),读作“当n趋于无
穷大时，{an}的极限等于a或an趋于a”。
1.2 求数列极限的基本方法
1.2.1 利用定义求数列
浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系
浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。
在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；在求解函数极限时，其方法与数列极限有着相同之处，同时又有所区别。
本文重点在于分析数列极限与函数极限在解题中的相似之处与不同之处，同时研究数列极限与函数极限的关系。
关键词：数列极限；函数极限；区别；联系目录1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处 (3)1.1 定义法在极限解题中的应用 (3)1.1.1 定义法概述 (3)1.1.2 定义法解题实例分析 (3)1.2 迫敛性在极限解题中的应用 (4)1.2.1 迫敛性概述 (4)1.2.2 迫敛性解题实例分析 (4)1.3 积分中值定理在极限解题中的应用 (5)1.3.1 积分中值定理概述 (5)1.3.2 积分中值定理实例分析 (6)1.4 本章小结 (6)2 数列极限与函数极限在解题中的不同之处 (7)2.1 存在条件不同 (7)2.1.1 数列极限存在条件 (7)2.1.2 函数极限存在条件 (9)2.2 特殊形式的极限 (10)2.2.1 数列极限的特殊解法研究 (10)2.2.3 两个重要形式的函数极限解法研究 (12)3数列极限与函数极限的关系 (13)3.1海涅定理 (13)3.2海涅定理的应用 (14)4 结论 (16)1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处数列极限与函数极限在解题过程中，存在着很多的相似之处。
主要表现在数列极限与函数极限的解题过程中，其方法的运用方面存在着很多的共同点。
下面将重点分析进行数列极限与函数极限的解题过程中，定义法以及利用数列迫敛性在数列极限与函数极限中的运用。
1.1 定义法在极限解题中的应用 1.1.1 定义法概述数列极限的N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a 。
数列极限存在的条件
1 2
n
2
n
2
2n 2n
1
n1
n 1 n2
1
n2
1
n1
2n
n 1 1 n 2
n1 n2 2n
n3 4n2 4n 1 1, n3 4n 2 4n
yn ↘.
显然有 xn yn . n, 有 xn yn y1 4. 即数列{ yn }有上界. 评註: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处.
1 ↘.
1
1
n
xn
1
1
1
2
n
n
2
证法四 ( 仍利用均值不等式 )
n个
1
1
n
1
1
1
1
1
1
n n n n
n1
1
n1
1 n
1
n
2 n1
1
1
n1
.
n 1 n 1 n 1
xn xn1 ,
即 xn ↗.
“均值不等式妙用两则”.
证法五 先证明：对 0 a b 和正整数 n ，有不等式
a1
a2
a n1
1
1, n 1
an 1,
可仿上证得 n 3 时
1
1 n
n
↗。
( n 1时无意义, n 2 时诸 ai = 0 , 不能用均值不等式. ) 当 n 2 时, 由
1
1 1 n
1 1 n
1 n2
1,
1
1 n
1 1
1
.
n
1
1n
n
1
1
1
n
.
由
1
高等数学极限的计算方法
高等数学极限的计算方法在高等数学中，极限是一个至关重要的概念，它在微积分、实分析等领域有着广泛的应用。
计算极限是解决各种数学问题的基础，不仅能帮助我们理解数学运算的本质，还能为我们提供解决各种实际问题的有效方法。
本文将介绍高等数学中极限的计算方法，包括常见的极限计算技巧和方法。
1. 极限的定义与基本性质在数学中，极限描述了一个函数在某个点或无穷远处的趋势和性质。
通常来说，一个函数f(x)在点a处的极限是指当自变量x趋近于a时，函数f(x)的取值趋近于某一个确定的常数L。
极限的计算可以让我们理解函数在某一点的性态，以及函数的整体变化规律。
极限的计算有一些基本性质，例如极限的唯一性、四则运算法则、复合函数的极限等。
这些性质是极限计算的基础，我们需要灵活应用这些性质来求解各种极限问题。
2. 常用的极限计算方法2.1 代数化简法代数化简法是求解极限问题时最常用的方法之一。
通过巧妙地对极限表达式进行代数化简，我们可以将复杂的极限问题转化为简单的计算问题。
这种方法通常适用于幂函数、指数函数、对数函数等类型的极限计算。
2.2 单调有界原理单调有界原理是一类非常有用的求解极限问题的方法。
该原理指出，如果一个数列是单调有界的，那么这个数列必定收敛。
通过应用单调有界原理，我们可以快速求解一些特定类型的极限问题。
2.3 夹逼定理夹逼定理是求解极限问题中的经典方法之一。
夹逼定理指出，如果函数f(x)在某一点附近被另外两个函数夹在中间，并且这两个函数的极限值相等，那么f(x)的极限也应该等于这个共同的极限值。
夹逼定理在处理一些复杂的极限问题时非常有用。
2.4 泰勒展开法泰勒展开是一种将一个函数在某一点附近用无穷次可微函数展开的方法。
通过泰勒展开，我们可以将函数转化为一个多项式进行计算，从而求解函数在某一点的极限值。
泰勒展开法通常适用于一些难以直接计算的函数极限问题。
3. 实例分析与练习为了更好地理解极限的计算方法，我们将通过几个实例来演示不同的求解技巧：实例一求解$\\lim_{x \\to 0}\\dfrac{\\sin x}{x}$通过泰勒展开法，我们可以将$\\sin x$在x=0附近展开为$\\dfrac{sin x}{x} = 1 - \\dfrac{x^2}{3!} + \\cdots$因此，$\\lim_{x \\to 0}\\dfrac{\\sin x}{x} = 1$实例二求解$\\lim_{x \\to +\\infty}\\dfrac{3x^2 + 2x + 1}{4x^2 - x + 5}$通过单调有界原理，我们可以发现当$x \\to +\\infty$时，分子中的x2项和分母中的x2项决定了整个表达式的趋势。
有关数列极限的几个典型例题
ｌ —＝－ ｎ！ 二！ ＝ ｆ＋１ 一 ｌ ｌ ｉ— ｌ — ＋ ． ｌ ｎ ＋ ： ｍ ａ ｒ ｉ （— ａ ｒ １ 【＋ …— ＝ １ １一 ｉ ，～ — 一 ｍ
ｎ— ＋ ∞
例２： ｌ ｘ＝ Ｈ． ＞ （ ｌ２３…） ｔｒ ． ｉ ￣ ｍ Ａ， Ｘ ０ｎ ， ， ，］ 弋 ： ＝ ， ￣ｌ ｉ ａ
２１ ｇ ０ 考 试 周 ｕ ０ － ａ １ ７ｉ ￣ ￣ 千
有 关 数 列 极 限 的 几 个 典 型 例 题
岳 静
（ 迁 高 等 师 范 学校 ， 苏 宿 迁 宿 江
摘 要 ： 者 通 过 实例 分 析 了数 列 收 敛 和 发 散 时通 项 的 作 些 特 点 ， 讨 论 数 列 不 满 足 单 调 有界 定 理 、 敛 定理 、 西 并 迫 柯 收 敛 准 则 和 两 个 重要 极 限的 条 件 时 的 收 敛性 问题 ． 关 键 词 ： 列 极 限 单调 有 界 定 理 迫 敛 定理 柯 西 收 数
（ ＋ ： Ｉ ） Ｉ ＋
数 列 收敛 性 问 题 在 高 等 数 学 教 学 中 既是 难 点 又 是 重 点 ，
数 列 收敛 问题 的判 别 方 法 通 常 有 以下 几 种 ： 调 有 界 定 理 、 单 迫 敛 定 理 、 西 收敛 准则 和 两 个 重 要 极 限 等 ． 决 问 题 的关 键 是 柯 解 如 何 正 确 理 解 并 选 择 合 适 的方 法 ． 文 通 过 一 些 典 型 例 题 来 本 讨 论 数 列 的收 敛 性 问 题 ． 例１ ．若 ｌ Ａ， 其 中 Ａ是 有 限 数 、 ｏ或 一 。 ｉ ＝ ｍｘ ＋。 。，则 有 ｌ ｉ ｍ
＝ Ａ
于是ｌ 弋×２ ｘ＝ｍ “ ｉ ／ｘ ｌ ｅ ｍ ｌ… ｉ
数列极限的17种典型种方法
求数列极限的一些典型方法在数学分析的学习过程中, 极限的思想和方法起着基础性的作用，极限的基本思想自始至终对解决分析学中面临的问题起关键作用，而数列极限又是极限的基础.涉及到数列极限的问题有很多，包括数列极限的求法、给定数列极限存在性的证明等.数列极限的证明和求解是较为常见的一种题型，数列极限反应的是数列变化的趋势，其证明和求解也是数学分析题中的重点，主要原因是其证法与求法没有固定的程序可循，方法多样，技巧性强，涉及知识面较广，因此在数学刊物上常可看到这类文章，但大多是对某一些或某一类数列极限的证明或求解，很少系统地探索数列极限证法和求法的基本技巧和方法.随着社会的快速发展及数学本身的发展,迫切地需要对这些方法进行归纳. 当前,有不少文献对数列极限求解方法做了一些探讨,如文献[1]-[10],但是方法的应用举例较少,不全面. 在高等数学竞赛及研究生入学考试中, 数列极限求解方法是经常出现的一种题型. 这些都说明: 数列极限求解方法是一个重要的研究课题. 本文作者将对有关数列极限求解的方法做比较全面系统的归纳,同时举例进行说明.本文归纳了17种方法.1.定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a .记作：lim n n a a →∞=.否则称{}n a 为发散数列.例1.求证1lim 1,nn a →∞=其中0a >.证：当1a =时，结论显然成立.当1a >时，记11na α=-，则0α>，由()1111(1)nna n n ααα=+≥+=+-得111na a n --≤，任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11n a ε-<即1lim 1,nn a →∞=当1111101,1,lim 1,lim 1lim n n n n nn a b b b a ab→∞→∞→∞<<=>=∴==时，令则由上易知综上，1lim 1,nn a →∞=0a >例2.求7lim!nn n →∞解：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤=-7777717177100,,0!6!6!!6!n n N n N n n n n εε⎡⎤∴-≤∴∀>∃=>-≤⎢⎥⎣⎦则当时，有<ε 7lim 0!nn n →∞∴= 用定义求数列极限有几种模式：（1）0>∀ε，作差a an-，解方程ε<-a a n ，解出()εf n >，则取()εf N =或() ,1+=εf N（2）将a an-适当放大，解出()εf n >；（3）作适当变形，找出所需N 的要求。
用柯西收敛原理证明实数完备性的其它定理
用柯西收敛原理证明实数完备性的其它定理柯西收敛原理可以用来证明实数完备性的很多定理，下面以一些常见的例子进行说明。
1. 单调有界数列定理：设有一实数数列{a_n}，若该数列单调递增且有上界，则该数列必有极限。
类似地，若该数列单调递减且有下界，则该数列必有极限。
证明：设{a_n}为单调递增且有上界的实数数列。
根据柯西收敛原理，对于任意ε>0，存在N，使得当n,m>N时，有|a_n -a_m|<ε。
由于{a_n}单调递增，所以对于任意的n, m>N，有a_n < a_m，因此0 ≤ a_m - a_n < ε，即a_n是柯西数列。
根据实数的完备性，柯西数列必有极限，即{a_n}收敛。
2. 上确界和下确界定理：设E是实数集合，若E有上界，则必有上确界；若E有下界，则必有下确界。
证明：设E为实数集合且有上界。
定义数列{a_n}，其中a_n为E中的任意一个元素，并且a_n < a_(n+1)。
根据柯西收敛原理，数列{a_n}是柯西数列，因此存在极限L。
由于E有上界，所以对于任意的n，有a_n ≤ L ≤ b，其中b是E的上界。
因此L是E的一个上界。
另一方面，对于任意的ε>0，存在N，使得当n>N时，有|a_n - L| < ε。
取ε = (b - L)，则对于任意的n>N，有a_n > L - ε = L - (b - L) = 2L - b。
因此L ≤ a_n ≤ b，即L是E的上确界。
3. 紧致性定理：设E为实数集合，若E有上界，则存在收敛子列收敛于上确界。
证明：设E为实数集合且有上界。
根据实数的完备性，E中的任意数列都有收敛子列。
记E的上确界为M，对于任意的ε>0，存在E中的数列{a_n}，使得lim(a_n) = M。
根据柯西收敛原理，存在N，使得当n,m>N时，有|a_n - a_m|<ε。
因此，由lim(a_n) = M可知，对于任意的ε>0，存在N，使得当n>N时，有|a_n - M|<ε。
一类递推数列极限存在的充分条件
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数列 、 限 与数 学 归纳法 是 中学 数学 的 极
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数学分析2.3数列极限存在的条件
第二章数列极限2 数列极限存在的条件若数列{a n}的各项满足a n≤a n+1(a n≥a n+1)，则称{a n}为递增(递减)数列。
递增数列和递减数列统称为单调数列。
定理 2.9(单调有界定理)：在实数系中，有界的单调数列必有极限，且其极限就是它的上(下)确界.证：若{a n}为有上界的递增数列. 由确界原理可知，{a n}有上确界，记a=sup {a n}. 则对∀ε>0，有{a n}中的某一项a N，使得a-ε<a N.∵{a n}递增，∴当n≥N时，有a-ε<a N≤a n.又{a n}有上界，∴对一切a n，都有a n≤a<a+ε.综上，当n≥N时，有a-ε<a n <a+ε, ∴=a.若{a n}为有下界的递减数列. 由确界原理可知，{a n}有下确界，记b=inf {a n}. 则对∀ε>0，有{a n}中的某一项a N，使得b+ε>a N.∵{a n}递减，∴当n≥N时，有b+ε>a N≥a n.又{a n}有下界，∴对一切a n，都有a n≥b>b-ε.综上，当n≥N时，有b-ε>a n >b+ε, ∴=b.例1：设a n=1，n=1,2,…，其中实数a≥2. 证明数列{a n}收敛. 证：∵a n-1-a n=(1)- (1)=>0.∴{a n}递增. 又a n≤1≤1=2<2，n=1,2,…，∴{a n}有上界. 由单调有界定理可知{a n}收敛.例2：证明数列,,……收敛，并求其极限.n个根号证：记a n=，且a1=<2, 可设a n<2，则有a n+1=<<2，从而对一切n，有a n<2，即{a n}有界。
又a1=>0，a2=>=a1>0，可设a n>a n-1，即a n-a n-1>0；则a n+1-a n=>0，∴{a n}递增.由单调有界定理可知，数列{a n}有极限，记为a. 由=2+a n，对两边取极限得a2=2+a，解得a= -1或a=2. 由数列极限的保不等式性知，a= -1不合理，舍去. ∴.例3：设S为有界数集. 证明：若sup S=a∉ S，则存在严格递增数列{x n}⊂S，使得=a.证：∵sup S=a，∴∀ε>0，∃x∈S，使x>a-ε. 又a∉ S，∴x<a，从而有a-ε< x<a，取ε1=1，则∃x1∈S，使得a-ε1< x1<a，再取ε2=min{,a- x1}>0，则∃x2∈S，使得a-ε2< x2<a，且有x2> a-ε2≥a-(a- x1)= x1.如上循环进行可得x n-1∈S，取εn=min{,a- x n-1}>0，则∃x n∈S，使得a-εn< x n<a，且有x n> a-ε2≥a-(a- x n-1)= x n-1. 至此得到严格递增数列{x n}⊂S，且满足a-εn< x n<a<a+εn，∴=a.例4：证明存在.证：建立不等式b>a>0，对任一正整数n有，b n+1-a n+1<(n+1)b n(b-a)，即a n+1> b n[(n+1)a-nb] (1)以a=1，b=1代入(1)式，得，∴递增；再以a=1，b=1代入(1)式，得1>=，∴<4.∴有界；根据单调有界定理可知：收敛。
数列极限收敛准则(单调有界收敛准则)
数列极限
§2.1 数列极限的定义 §2.2 收敛数列的性质
§2.3 极限存在准则
§2.3
数列极限存在的准则
夹逼准则
2 3
单调有界准则
数列及子数列
1
Hale Waihona Puke 收敛准则 1 lim 1 e n n
n
定理5（单调有界准则） 单调有界数列必有极限
{a n }
单调递增有上界M 单调递减有下界N
而 lim n
1 0, 则由夹逼准则, n 2
lim a n 3
n
3 , ,a 2 3 , , 例15. 设 a1 2, a2 2 a n 1 an 1 an 存在,并求其值. 求证: lim n
2k 2k 2 3( a 2 k a 2 k 2 ) , a 2 k 2 a 2 k 与 a 2 k a 2 k 2同 号 , ( 2 a 2 k 3)( 2 a 2 k 2 3) 7 ) ( 2 3 ) 0, a a ( 2 a a 与 a a 同 号 , 以此类推 2 k 2 2 k 4 2 4 2 16 2
则x n 递 增 .
再证数列有上界,即 x n 1 c 设n = k 时成立, 即 x k 1 c 当n = k+1时,
1 c 也成立. 则数列有上界.
例13 c 0, x n c c c 证明数列 收敛, n个 并求极限 (P27 例18) 证: 1)递推公式：x1 c , x n 1 c x n ( n 1, 2 , ), 2)利用数学归纳法证明：数列递增有上界, 则数列收敛.
3 , ,a 2 3 , , 例15. 设 a1 2, a2 2 a n 1 a
单调有界定理求极限
一类用单调有界定理求解的数列的极限刘丽 01211209（徐州师范大学 数学系 徐州221116）摘要 文中对某些具有特殊形式的数列作了一般性的推广,应用单调有界定理证明其极限的存在. 关键词 数列;极限;单调有界定理.1 引言求数列极限是数学中的一类基本问题,在考研中常见.求极限的方法很多,如定义法、反正法、两边夹、单调有界定理、柯西准则等.就一类能运用单调有界定理证明的考研题中有关求数列极限的问题在形式上进行了推广,并加以证明.另外还讨论了一类与积分有关的数列的极限问题.2 主要内容本节主要针对考研的一些特殊类型数列通过观察、猜想对其进行一般化的推广,并加以证明.例[]11 (2002年全国硕士研究生入学考试数学二试题)设301<<x ,()n n n x x x -=+31,() ,2,1=n .证明:数列{}n x 的极限存在并求出此极限.例1可以作如下推广: 命题 1 若p x <<10,()n n n x p x x -=+1,() ,2,1=n ,则数列{}n x 的极限存在且为2p . 证明 由p x <<10知0011>->x p x 且.由算术—几何平均不等式知()()221011112p x p x x p x x =-+≤-=<, 假设20px k ≤<()1>k ,再次用算术—几何平均不等式知 ()()2210px p x x p x x k k k k k =-+≤-=<,由数学归纳法知,对任意正整数1>n 均有20px n ≤<,因而数列{}n x 有界.又当1>n 时,()111≥-=-=-=+nn nnn n nn x px x p x x p x x x , 故1+≤n n x x ()1>n ,即数列{}n x 单调递增.由数列的单调有界定理知n n x ∞→lim 存在,设为a ,对()n n n x p x x -=+1两边同时取极限得:()a p a a -=,可解得2pa =或0=a （舍去）.故2lim p x n n =∞→.注 由命题1立得例1的极限存在且为23. 例[]12()年研究生入学试题厦门大学，2002 证明数列{}n x 收敛,其中11=x ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n x x x 3211, ,2,1=n ,并求极限n n x ∞→lim . 通过观察、猜想、分析可将例2推广为以下更一般的形式: 命题 2 若N p x a ∈>>,0,01,定义pn n n x pa x p p x -++-=111, ,2,1=n ,则数列{}n x 存在极限且为pa 1.证明 由01>x 可知()p a x a x p p x a x p p x p a x p p x p p p p p 1111111111121111=⋅⋅⋅≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=----,当且仅当pa x 11=时取等号.设pa x k 1≥,则()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=--+111111p k k p k k k x a x p p x p a x p p x=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++--111p k p kk k x a x x x p 个 p a x a x p p p p kp k 1111=⋅⋅⋅≥--, 当且仅当pa x k 1=时取等号.由数学归纳法知,对任意自然数n 都有:pa x n 1≥.故数列{}n x 有界.又当1>n 时,111111---+-=-=-+-=-p n p n n p n n p n n n n px x a x p px a x x p a x p p x x , 因为pa x n 1≥,所以0≤-p n x a .又因为01>-p n px ,所以01≤-+n n x x ,即n n x x ≤+1.所以数列{}n x 是单调递增的.由数列的单调有界定理知:n n x ∞→lim 存在,设为t ,对pn n n x pa x p p x -++-=111两边同时取极限得:p t pa t p p t -+-=11,可解得pa t 1=.所以说数列极限存在且为p a 1. 注 由以上命题2易得例2中的数列{}n x 极限存在且为3. 推论[]2 当01>x ,()[]knn n x x k kx -++-=1111,1≥n 时,数列{}n x 极限存在且为1. 利用这个推论很容易便可知对于数列{}n x :⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+211231n n n x x x ()0,01>>x a 的极 限存在且为1.例[]33 （广西师范大学研究生入学试题） 若()(),,,,031313131121 a a a aa a a +=+=>(),313121--+=n n n a a a ,试证明数列{}n a 收敛于方程313x x x +=的一个正根.首先可以通过观察,将参量一般化便可推广得到如下结论:命题 3 若 ,,,,,011111121121ppppppn n n x x x a x x a a x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>--,0>p ,则数列{}n x 为单调有界数列,必存在极限. 证明 分两种情况: （i ）当a x ≥1,因为ppa x x 1112⎪⎭⎫ ⎝⎛+=, ppa a x 111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,即p a x x p 112+=, p a a x p 11+=, 所以0111211≥-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-a x a a a x x x p p p p ,即pp x x 12≥,故有12x x ≥.假设当k n ≤时,均有k k x x ≥+1()N k k ∈≥,1,则当 1+=k n 时,有ppk k k x x x 1111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+, 即p k k pk x x x 111-++=, 所以()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-------+p p p p k k k k k k k k p kp k x x x x x x x x x x11112112111,由ppk k k k x x x x 11211,---≥≥⇒pk p k x x ≥+1⇒k k x x ≥+1.由数学归纳法可知,对任意自然数n 均有n n x x ≥+1.所以数列{}n x 是单调递增的数列.下证数列{}n x 有界.令()px x x x f p1--=,因为()0111111<-=--=p pf , ()022221>--=ppf ,由根的存在原理知()()2,1在x f 内必有一正根,而在()+∞,2上无根,设()x f M 是最大的正根.由a x ≥1,即pa a a a a a p pp≥+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+111得,所以()01≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p a a a a f p .又0>a ,所以M a ≤,但是p M MM p=+1,①p p M M M a a x p p =+≤+=111 ,即 M x ≤1;② 假设当k n ≤时均有()N k k M x k ∈≥≤,1,,则当1+=k n 时,有p k k p k M M M x x xpp =+≤+=-+1111,即M x k ≤+1.由①②及数学归纳法可知,对一切自然数n 均有M x n ≤成立.所以数列{}n x 是单调递增且有上界的数列.（ii ） 当a x <1时,同理可证数列{}n x 是单调递减且有下界的数列.由（i ）（ii ）可知数列{}n x 是单调有界数列,从而命题3得证.注 由以上的命题3可知例3中的数列{}n a 是单调有界数列,则必收敛,设l a n n =∞→lim ,对()313121--+=n n n a a a 两边同时取极限的得:()3131ll l += 即 313l l l +=.所以l 是方程313x x x +=的一个正根,从而例3得证.例[]34 （中国科技大学、北京邮电学院考研试题） 已知60=a ,16-+=n n a a ,() ,2,1=n .证明n n a ∞→lim 存在并求其值.例4可以作如下推广:命题 4 若00=x ,p n n x a x +=+1,() ,2,1,0,,0=∈>n N p a ,则数列{}n x 极限存在且为0=--a l l p 的正根.证明 由p n n x a x +=+1得n pn x a x +=+1.又00=x ,0>a ,则001>=+=ppa a x .由递推关系知0≥n x .因函数px y =是递增函数,则由()111--+-=+-+=-n n n n p n p n x x x a x a x x知 p n p n x x -+1 与 1--n n x x 的符号相同.而 1--n n x x 的符号又与 pn p n x x 1-- 的符号相同,故依次下去便知最终与 12x x -的符号相同.而01112>=-+=-+=-pp p p p a a a a x x a x x ,即pp x x 12>,所以 012>-x x ,从而 01>-+p n p n x x ,于是便有n n x x >+1,故数列{}n x 是单调递增数列.又11+<=ppa a x ,假设当k n ≤时都有 1+<p k a x 成立,则当 1+=k n 时,()1111+=+<++<+<+ppppp p p k k a a a a x a x ,由数学归纳法知,对一切自然树n 都有 1+<pn a x ,即数列{}n x 有界.由数列的单调有界定理知数列{}n x 必存在极限,设l x n n =∞→lim ,对p n n x a x +=+1两边同时取极限的得 l a l p+= 即 0=--a l l p.所以数列{}n x 收敛于方程0=--a l l p的正根.推论 若00=x ,0>a ,n n x a x +=+1() ,2,1,0=n ,则数列{}n x 的极限存在且收敛于方程02=--a x x 的一个正根,即2411lim ax n n ++=∞→ .注 利用该推论易知例4中的数列{}n a 的极限存在且为3.文[4]、[5]中的一些题也可由此推论直接得出.例[]15 设a x =1,b y =1,b a <<0,N p ∈,数列{}n x 、{}n y 分别定义为n n n y x x =+1, 21nn n y x y +=+, 证明n n n n y x ∞→∞→=lim lim .例5可以作如下推广:命题 5 设a x =1,b y =1,b a <<0,N p ∈,数列{}n x 、{}n y 分别定义为p n p n n y x x 11-+=, ()py x p y nn n +-=+11,则仍有 n n n n y x ∞→∞→=lim lim 成立.证明 由已知 110y b a x =<=< 可得 01>x ,01>y .假设当 k n ≤ 时均有0>k x ,0>k y ,()N k k ∈≥,1,则当1+=k n 时有011>=-+p k p k k y x x , ()011>+-=+py x p y kk k ,由数学归纳法知,对任意自然数n 都有0>n x ,0>n y 成立.由算术—几何平均不等式知()0111111>==⋅⋅≥+-=+--+n p n p n p n p n nn n x y x y x p ppy x p y , 当且仅当n n y x =时取等号.而当1>n 时,111≥==-+pnnnpn p n nn x y x y x x x , 即1+≤n n x x , ()()()()011111≤--=-+-=-+-=-+n n nn nn n n n y x pp py p x p ypy x p y y , 即1+≥n n y y .故有n n n n y y x x ≤≤≤++11.而当1=n 时,由于110y b a x =<=<,所以就有11112x y x x p p >=-, ()11121ypy x p y <+-=,因此对任意自然数n 都有下式成立b y y y y y x x x x x a n n n n =<≤≤≤≤≤≤≤≤≤<=++12311321 ,所以数列{}n x 、{}n y 均为单调有界数列.故由数列的单调有界定理知n n x ∞→lim 、n n y ∞→lim 存在,分别设为l 、m ,对()py x p y nn n +-=+11两边同时取极限得()pm l p m +-=1,可解得 m l =,即n n nn y x∞→∞→=lim lim .注 例5是命题5的特殊形式,证明类似.通过以上这简单的五个例子很容易看出它们是各自推广后命题参量的特殊值,还有好多题都可直接根据这些命题很快得出其极限值.。
单调收敛定理例题
选择题设数列{a_n}单调递增且有上界，根据单调收敛定理，该数列：A. 一定发散B. 一定收敛于一个正数C. 一定收敛于一个有限的数（正确答案）D. 可能收敛也可能发散若数列{b_n}是单调递减的，并且存在下界，那么根据单调收敛定理，该数列：A. 必然无界B. 必然收敛于一个负数C. 必然存在极限（正确答案）D. 必然发散根据单调收敛定理，一个单调且有界的数列：A. 必然无极限B. 极限可能不存在C. 极限一定存在且唯一（正确答案）D. 极限可能不唯一设数列{c_n}单调递增，若该数列有界，则它的极限：A. 一定大于数列中的任何一项B. 一定小于数列中的任何一项C. 一定存在且为有限数（正确答案）D. 一定不存在若数列{d_n}是单调递减且有下界的，那么它的极限：A. 一定大于数列的首项B. 一定小于数列的末项C. 一定存在且不小于数列的任何一项（正确答案）D. 可能不存在根据单调收敛定理，一个单调增加且无上界的数列：A. 必然收敛B. 必然发散（正确答案）C. 可能收敛也可能发散D. 必然有界设数列{e_n}单调递减，若该数列的极限存在，则这个极限：A. 一定大于数列中的任何一项B. 一定等于数列中的某一项C. 一定小于或等于数列中的任何一项（正确答案）D. 一定小于数列中的任何一项若数列{f_n}是单调递增的，且存在上界M，那么根据单调收敛定理，对于任意正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有：A. |f_n| > MB. f_n > MC. |f_n - M| < ε（正确答案）D. f_n < M - ε根据单调收敛定理，若数列{g_n}单调递减且有下界，则它的极限：A. 一定大于数列的任意一项B. 一定等于数列的某一项或为其上界C. 一定不小于数列的任意一项且为其上界（正确答案）D. 可能小于数列的某些项。
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一 万１方０８数～据
一类用单调有界定理求解的数列的极限
作者பைடு நூலகம் 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
吴亚伟 常州工程职业技术学院基础部
科技信息（学术版） SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 2007，""(29) 0次
参考文献(2条)
1.贺冬冬.程伟健 算术-几何平均不等式在解极限问题中的应用[期刊论文]-大学数学 2004(03) 2.叶慧芬 递推式数列的极限及应用[期刊论文]-台州学院学报 2004(06)
抒己见，集思广议，有利于培养学生的学习主动性和创造性，让 学生体会到他们不仅仅是知识的旁观者，而是实实在在的融入 到了所学的内容中．
４、结语 应用型本科院校的教育方式不同于培养学术性、研究型人 才的本科教育。身为这类院校中《房屋建筑学＞的任课教师，针对 教学中凸现的问题提出了一些建议。但在实际教学中，不同的学 校会存在着学时安排、教学对象不同等问题，在不同的教学阶 段，随着培养计划、专业增减等调整，也还会有新问题不断出现， 这就需要任课教师及时地调整教育教学的理念，改进教学方法 和手段，根据社会对毕业生的需求，夯实专业基础、拓宽专业范 围，重视学生工程技术应用能力的培养，为社会输出合格的专门 人才．
上
当且仅当ｘ．＝口”时取等号。
设ｘ女≥口”，则
粕２等ｐ ”ｐ ≯ｋｐ水一ｎ剥ｘ；
一 旦∥
１ ≥一。ｐ
土 ＝口”．
当且仅当坼＝臼’时取等号。
由数学归纳法知，对任意自然数玎都有：ｘ。≥以ｊ。故数列扛。｝有界。又当胛＞１时，
‰ｒ轳等ｐ 吒＋ｐ≯一＝寿ｐｘ；一ｊ 知ｐ ＝努ｐｘｉ，。
因为ｘ，，≥口；，所以口一ｘ？≤ｏ。又因为肼譬一１＞ｏ，所以ｘ。＋ｌ—ｘ。≤ｏ’，即吒＋ｌ≤ｘ。．所以数列扛。｝是单调递增的。
6.期刊论文 霍东华 数列的非正常上、下极限的一点应用 -牡丹江师范学院学报（自然科学版）2006,""(2)
对文献[1]中的一个问题进行了详细的讨论,相应地得到一个完美的结果.
7.期刊论文 张之红 数列的极限与函数的不动点 -科教导刊2010,""(15)
在常见数学分析的教科书中,关于求数列的极限方法介绍了不少,如单调有界定理、柯西收敛准则、两边夹法则等,另外还有将数列的极限转化为函数 的极限,再用洛比达法则来求取的方法.但对于求上、下极限,各种教材均把它作为一种新的概念介绍,虽对其定义及性质有较详细的论述,但对如何运用上 、下极限来判断数列的敛散性及如何求极限值这些方面则介绍甚少.本文将求迭代数列的极限与求某函数的不动点联系在一起,给出几个定理,将求迭代数 列的极限问题转化为求某一函数的不动点问题,并举例介绍了这种在求(证)数列极限方面的应用,使证明迭代数列的敛散性的过程得到简化.
因此对任意自然数胛都有下式成立
万方数据
一１０７一
科技信息
高校理科研究
臼＝ｘＩ＜ｘ２≤ｘ３≤…≤ｘ月≤石月＋ｌ≤∥』Ｉ＋ｌ≤ｙ＂≤…≤ｙ３≤ｙ２＜ｙｌ＝６，
所以数列扛。｝、涉，，｝均为单调有界数列。
０—１ｈ，＋此
故由数列的单调有界定理知ｌｉｍｘ，，、ｌｉｍｙ。存在，分别设为，、聊，对此＋ｌ＝
两边同时取极限得
故ｘ。≤ｘ川ｂ１），即数地：｝单丑调Ｘ＂递：增正。由匠Ｘ” 数丑列觯：调√、有『 界吒譬定理２知～挣！鳃％ｘ㈨。一存” －在，设为口，对矗＋１＝嗣两边同
时取极附口＝凰习，可解得。＝詈或日＝ｏ（㈨。故嬲铲詈。 注 由命题－得例·的极限存在且为三。
例２【‘】慷门大学，２００２年研究生入学试题）证明数列扛。）收敛，其中而＝１，
揭示了若干个数列之间的联系,找到了形成这些数列的背景,求出了这些数列的极限;而后又提供两个例子作为所获得的结论的应用,且其中的一个例 子是对一道典型题的错误解法的再讨论.
10.期刊论文 吴亚敏 m次平均数列的极限 -高等数学研究2007,10(5)
讨论m次算术平均数列(1)、m次几何平均数列(2)、m次调和平均数列(3)的极限计算方法,得到三个极限的计算公式(4)、(5)、(6).
科技信息
高校理科研究
一类用单调青界定理求觎昀数列的相限
常州工程职业技术学院基础部 吴亚伟
［摘要］文中对某些具有特殊形式的数列作了一般性的推广，应用单调有界定理证明其极限的存在． ［关键词］数列 极限 单调有界定理
１引吾
求数列极限是数学中的一类基本问题，在考研中常见。求极限的方法很多，如定义法、反正法、两边夹、单调有界定理、 柯西准则等。就一类能运用单调有界定理证明的考研题中有关求数列极限的问题在形式上进行了推广，并加以证明。
参考文献 【１】贺冬冬，程伟健．算术一几何平均不等式在解极限问题中的应用【Ｊ】．大学数学，２００４，２０（３）：１２５—１２６． 【２】叶慧芬．递推式数列的极限及应用［Ｊ】．台州学院学报，２００４，２６（６）：８—９．
（上接第１０９页）将我国目前颁布的节能建筑的标准以及建筑节 能的实施和应用介绍给学生，就可以大大培养他们对建筑节能 的认识以及节约意识。
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本文对数列极限的常规结论进行了进一步的研究,得出了关于数列与其子列间更为深入的结论,其构成了数列收敛的新的充分必要条件.
矗＋．＝圭（矗＋妻），门＝，，２，…，并求极限！臻％．
万方数据
一１０５一
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高校理科研究
命题２若日＞ｏ．ｘｌ＞ｏ，ｐ∈Ⅳ，定义ｊｃ。ｌ：竺兰ｘ ＋旦ｘ，Ｐ，所：１，２，…，则数列ｂ。｝存在极限且为“ｊ。
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本文链接：/Periodical_kjxx-xsb200729060.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：ceadf27b-5c34-4494-baab-9dcb01663864
ＸＮ＋ｌ
％＋ｌ ２
则仍有ｌｉｍｘ。＝ｌｉｍ儿成立。
月—÷∞
”—’∞
证明 由已知０＜ｘｌ＝臼＜６＝Ｊ，ｌ可得ｘｌ＞Ｏ，少Ｉ＞０
假设当刀≤七时均有矗＞ｏ，ｙｔ＞ｏ，＠２１，后∈Ⅳ），则当玎＝七＋１时有
０—１ｋ々＋少。
儿＋ｌ ２
＞Ｏ。
由数学归纳法知，对任意自然数胛都有ｘ。＞０，ｙ。＞０成立。由算术——几何平均不等式知
2.期刊论文 沈林.谢芳 数列积和数列和的极限的求解方法 -科教文汇2008,""(8)
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讨论数列的单调有界性与极限的方法很多.利用基本极限与比式方法直接证明数列是严格单调递增的且以为极限,而不必借助导数、级数、积分及 Stirling公式等工具.
9.期刊论文 张国铭 若干个数列之间的联系及其极限 -高等数学研究2009,12(5)
≥≯瓯＝甑％ｐ。， ｙ『７＋ｌ ２ （Ｐ一１ｈ。＋ｙ，，
当且仅当ｘ。＝少。时取等号。
而当＂＞１时。
孥 痒 立“
正业嘿：延坐必 ｙ月＋ｌ—ｙ＂２
Ｈ
即ｚＨ≤石月＋ｌ，
：丝Ｇ。一¨≤ｏ，
ｐ
即儿≥儿＋Ｉ·故有
ｘ。≤ｘ。＋ｌ≤ｙ。＋ｌ≤ｙ。
而当”＝１时，由于０＜一＝口＜６＝ｙ１，所以就有
少２ ２ ◇一１ｈ。＋ｙ ＜ｙ
由数列的单调有界定眇蛳钝跏，帆Ｉ＝等“＋≯懒同时
取极限得：ｆ：旦二！ｆ＋旦ｆｌ～，可解得ｆ：ａ÷。所以说数列极限存在且为日÷。
ｐ
ｐ
注 由以上命题２易得例２中的数列｛石。）极限存在且为√ｉ．
推论【２】当五＞ｏ，矗＋。＝丢［（七一１ｈ。＋ｘ，‘】，刀≥１时，数列｛“）极限存在且为·。
利用这爪推论很容易便可知对于数列㈧：ｈ，＝；（２Ｌ＋割（口＞吣。＞。）的乏
证明 由０＜一＜ｐ知ｘｌ＞Ｏ且ｐ一五＞Ｏ．由算术——几何平均不等式知
ｏ＜工ｚ＝√ｊ１翮≤圭（ｘ－＋ｐ—ｚ·）＝詈，
假设ｏ＜砟≤罢＠＞１），再次用算术——几何平均不等式知
．ｏ＜ｘ。＝√；＿踊≤兰Ｇ。＋ｐ—ｘ。）＝詈，
由数学归纳法知，对任意正整数胛＞１均有ｏ＜ｘ。≤晏。因而数列扛。）有界。又当玎＞１时，
３．２教学手段和方法的改革 首先，应运用现代化的教学手段。多媒体教学是教学现代化 的一项重要内容和手段，运用多媒体辅助教学，可以将大量的图 片和短片作为教学内容的补充，既可以使学生对抽象的知识进 行直观的理解，又大大增加了学生的学习兴趣。 其次，‘房屋建筑学》这门应用性很强的学科，对于应用型本 科院校的学生来说，培养他们的实际动手能力是主要的教学目 的．因此，通过现场教学可以使学生更加直观和深刻的理解所学 的知识。在教学中应当推行。形象化教学”既以周围众多看得见、 摸得着的建筑构件为实例，还可以根据教学内容的需要适当组 织学生阅读施工图纸、标准图集，参观有代表性的建筑，加深学 生对建筑平、立、剖面设计原则和方法以及建筑构件构造做法的 了解，将理论与实践结合起来。最好能在课堂教学结束后安排一 周左右的认识实习，集中全面的强化教学内容，使知识融会贯 通，并为后续课程的开设打下基础． ‘房屋建筑学＞课程内容繁杂，单凭课堂上老师讲，学生听， 势必使学生产生惰性，影响学习效果．在教学中，应反对。填鸭 式”的讲授方法，取而代之的是启发式教学．重点内容深入讲，难 点内容详细讲，简单内容少讲甚至可以不讲以此来培养学生的 自学能力．此外，充分调动课堂气氛，面对出现的问题，让学生各