常系数线性方程组基解矩阵的计算解析
常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法
常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法常数矩阵微分方程基解矩阵是指对于一个m阶常系数矩阵微分方程组x′(x)=xx(x)，其中x(x)为x的函数，x为常数矩阵，基解矩阵是一组线性无关的解所构成的矩阵。
计算常数矩阵微分方程基解矩阵的方法主要有以下几种：常数变易法、指数矩阵法、特征值法。
一、常数变易法
使用常数变易法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.假设基解矩阵为x(x)，则存在常数矩阵x，使得
x(x)=xx^xx。
2.对基解矩阵进行求导，并代入微分方程，得到
xxx(x)(x)=xx(x)，其中x(x)(x)表示第n阶导数。
3.解出x(x)(x)，得到x的表达式。
4.代入x=0时的初始条件，求解得到x的具体值。
5.将x代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。
二、指数矩阵法
使用指数矩阵法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。
2.将特征值分别代入指数函数的表达式中，得到特征向量的指数函数形式。
3.将特征向量的指数函数形式构成的矩阵x和其逆矩阵x^(-1)代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。
三、特征值法
使用特征值法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。
2.将特征向量的形式代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。
在实际计算中，选择哪种方法取决于方程的形式、矩阵的性质和计算的复杂程度。
以上三种方法均可得到常数矩阵微分方程的基解矩阵，计算方法相对较为简单，但对于高阶矩阵微分方程，计算工作量可能较大，需要根据具体情况选择合适的方法。
李金城 25 数学08-1 常系数线性微分方程组的矩阵解法
摘要在常微分方程中，介绍了解常系数线性微分方程组的消元法，它是解常系数线性微分方程组的最初等的方法，适用于知函数较少的小型微分方程组。
对于未知函数较多时，用消元法则会非常不便，为此应寻求更为有效的方法。
在掌握线性代数的知识后，用矩阵法解常系数线性齐次微分方程组较为方便。
关键词：基解矩阵特征方程特征值特征向量AbstractIn the ordinary differential equation, introduced that understood often the coefficient linear simultaneous differential equation's elimination, it is the solution often the coefficient linear simultaneous differential equation's most primary method, is suitable in knows the function few small simultaneous differential equation. Are many when regarding the unknown function, will be inconvenient with the elimination, for this reason should seek a more effective method. After grasping the linear algebra the knowledge, the coefficient linearity homogeneous simultaneous differential equation is often more convenient with the matrix technique solution.Keywords: basic solution of matrix characteristic equation eigenvalue Characteristic vector第一章：矩阵指数A引言已知常系数线性微分方程组：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n xa x a x a dtdx x a x a x a dtdx x a x a x a dt dx (22112222121212121111)（1） 的求解方法，通常可以用消元法将方程组化为一元的高阶微分方程：0 (111)111=+++--x b dtx d b dt x d n n n nn 来求解。
常系数线性微分方程组的基解矩阵求法的一个注记
常系数线性微分方程组的基解矩阵求法的一
个注记
微分方程是一门学科中重要的概念之一，它能够描述物体
的动态变化特性，其中一类特别重要的是常系数线性微分方程组。
它能够用来描述定义域上的函数变化趋势，也能够描述物
理系统的运动变化特性。
关于常系数线性微分方程组，有一种
求解解析解的方法就是基解矩阵法。
基解矩阵法是一种有效求解常系数线性微分方程组的方法。
他能够有效快速地求解它们的解析解，其操作过程是一种非常
完善的矩阵表示技术。
对于计算量复杂的系统，根据其系统的
特征，首先通过μ（s）这个特征方程，使微分方程组求出μ（s）的特征多项式，然后将这个特征多项式展开，求出特征
根以及相应的特征矢，最后将特征根和特征矢作为基解矩阵的
元素，建立起基解矩阵，从而求出微分方程组的解析解。
基本步骤是，首先求出系统的特征方程μ（s），将它写
成矩阵形式，然后根据其系统特征，将其求解为特征多项式；
接着将特征多项式展开，将其求解为特征根μ1，μ2……μn
以及特征矢α1，α2……αn；最后将特征根和特征矢作为基
解矩阵的元素建立起基解矩阵，从而求出微分方程组的解析解。
它是一个非常有效率的求解常系数线性微分方程组的方法，由于其计算简便、操作快速，它在物理学、数学、计算机、工
程等多个领域都受到广泛使用。
基解矩阵法将极大地改善系统
计算的效率，为科学家解决复杂问题提供了一种得力的方法。
二元常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵
于是 方程 组 （ ） １ 化为
丢 ＝￣ （ ：口 口 （ ， （ Ｐ尸 。 ： ） ） －ｙ 一。 １ ： Ａ ：０ ） 。 ＋
，
ｆ 玺＝， ｌ （口 ＝ｎ
一
ｎ
ｙ （ ： ｌ ） ＋ ） ， ２
＋（ 。 ： 。 ＿０ ０
一
般 的教材 中 ，求 常系数 齐次 线性 微分 方程 组 的基解 矩 阵 的方法 大致 有 ： （ ） 求基 解 矩 阵 ｅ （ ） １ ｍ； ２
利用 系数矩 阵 的特征 根 和特征 向量 求基解 矩 阵 ； （ ） 利 用若 尔 当标 准 形 计算 基 解 矩 阵 ； （ ３ ４）利 用 哈 密顿 一凯莱 定理 计算基 解 矩阵 ｅ． 其 中常用 的是第 二种 方法 。
本文讨论 的是二元常系数齐次线性微分方程组 ，我们给出一种变换 ，将二元常系数齐次线性微分 方 程组 化为 一个 与之 等价 的二 阶常 系数齐 次 线性微 分 方程 ，然后 利用 矩 阵 Ａ的特征 根 给 出二 元 常系 数
齐次线性微分方程组的基解矩阵的表达式 ，同时也给出求二元常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵
第３ １卷 第 ３期 ２ １ 年 ９ 月 ００
渤海大 学学报 （自然科 学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｏ ａ Ｕ ｉｅｓｙ （ ａ ｒ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｏ ｈ ｉ ｎｖｒ ｔ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｂ ｉ ｕｌ ｅ ｉ
Ｖ０ ． ３１ Ｎｏ ３ １ ． Ｓｅ ｐ． ２ ０ ０１
中图分 类号 ： ７ ． ０１５ １ 文 献标 识码 ： Ａ 文 章编 号 ：６ ３— ５ ９ ２ １ ） ３— ２ １一 ４ １７ ０ ６ （ ０ ０ ０ ０ ４ ｏ
线性方程组的解法与矩阵的特征值与特征向量
线性方程组的解法与矩阵的特征值与特征向量线性方程组是数学中的重要概念，它描述了线性关系的一种形式。
解决线性方程组可以帮助我们理解和解决各种实际问题，并且在数学和工程等领域有着广泛的应用。
而矩阵的特征值与特征向量则是矩阵理论中的重要内容，它们与线性方程组之间有着密切的联系。
本文将介绍线性方程组的解法以及矩阵的特征值与特征向量的相关知识。
一、线性方程组的解法1.1. 高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的基本方法之一。
它通过消元操作将线性方程组化为最简形式，从而求出方程组的解。
具体步骤如下：步骤一：写出线性方程组的增广矩阵。
步骤二：利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形式。
步骤三：从最后一个非零行开始，利用回代法求解方程组的解。
1.2. 矩阵的逆另一种解决线性方程组的方法是使用矩阵的逆。
如果矩阵A可逆，那么我们可以通过左乘矩阵A的逆来求解线性方程组Ax=b，即x=A^(-1)b。
1.3. 克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组的另一种方法。
它利用矩阵的行列式来求解方程组的解。
具体步骤如下：步骤一：计算系数矩阵A的行列式D。
步骤二：计算替换掉系数矩阵A的第i列为常数向量b后的行列式D_i。
步骤三：方程组的解为x_i=D_i/D。
二、矩阵的特征值与特征向量2.1. 特征值与特征向量的定义给定n阶矩阵A，如果存在非零向量x使得Ax=λx，其中λ为常数，那么向量x称为矩阵A的特征向量，常数λ称为矩阵A的特征值。
2.2. 特征值与特征向量的计算要计算矩阵A的特征值与特征向量，可以通过以下步骤进行：步骤一：求解矩阵A-λI的零空间，其中I为单位矩阵。
步骤二：将零空间中的向量标准化，得到单位特征向量。
步骤三：通过将特征向量代入矩阵A-λI的定义式，计算对应的特征值。
2.3. 特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在矩阵理论中有着广泛的应用。
例如，它们可以用于矩阵的对角化，从而简化矩阵的计算；它们还可以用于解决微分方程和差分方程等应用问题。
初中数学知识点线性方程组的矩阵表示与解法
初中数学知识点线性方程组的矩阵表示与解法线性方程组是初中数学中一个重要的知识点，它在实际问题中有着广泛的应用。
在解决线性方程组的过程中，矩阵的表示和解法是常用的工具和方法。
下面将介绍线性方程组的矩阵表示以及一些解法。
一、线性方程组的矩阵表示线性方程组可以用矩阵表示，这样能够简化计算过程，使得问题更加清晰。
假设有一个包含m个方程和n个未知数的线性方程组，可以用如下形式表示：A · X = B其中，A是一个m行n列的矩阵，称为系数矩阵；X是一个n行1列的矩阵，称为未知数矩阵；B是一个m行1列的矩阵，称为常数矩阵。
二、线性方程组的解法解线性方程组的方法有很多种，常见的有高斯消元法、逆矩阵法和克拉默法则。
1. 高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一。
它的基本思想是通过一系列的行变换将系数矩阵A化为一个上三角矩阵R，进而求得未知数矩阵X的解。
具体步骤如下：（1）将方程组写成增广矩阵形式，即[A | B]。
（2）选取第一个非零元素a11为主元素，将第1行整行乘以1/a11，使主元素成为1。
（3）利用第一个方程的倍数和减去其他方程的相应倍数，使得第1列的其他元素变为0。
（4）选取第2列第2个非零元素a22为主元素，重复步骤（2）和（3），依此类推，直到完成将A化为上三角矩阵R。
（5）通过回代法求解未知数矩阵X。
2. 逆矩阵法逆矩阵法是利用矩阵的逆来求解线性方程组的方法。
当系数矩阵A可逆时，可以通过以下公式求解未知数矩阵X：X = A⁻¹ · B其中，A⁻¹表示矩阵A的逆矩阵。
但需要注意的是，当系数矩阵A不可逆时，逆矩阵法无法使用。
3. 克拉默法则克拉默法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法。
对于一个n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵A的行列式不等于0，则可以通过以下公式求解未知数矩阵X：Xi = |Ai| / |A|其中，Xi表示未知数矩阵X的第i个元素；|Ai|表示将第i列的元素替换为常数矩阵B后，系数矩阵A的行列式；|A|表示系数矩阵A本身的行列式。
关于常系数线性微分方程组特解的求法
…, bn) Tf ( x) , 在 (3) 中的第一个独立方程组如写成算子的形
式 ,则为
( D - λ1) z1 = z2 + b1 f
( D - λ1) z2 = z3 + b2 f
…
(4)
( D - λ1) zs1 - 1 = zs1 + bs1 - 1 f
( D - λ1) zs1 = bs1 f
1 考虑常系数线性非齐次方程组
dY dx
=
AY( x)
+
F( x)
,
(1)
其中 Y ( x ) = ( y1 ( x ) , y2 ( x ) , …, yn ( x ) ) T , A =
( ai , j) n ×n , F ( x) = ( f 1 ( x) , f 2 ( x) , …, f n ( x) ) T , f i ( x) ∈C[ a , b ]. 大家知道 ,如果已经求得了 (1) 对应齐次
Φ- 1 ( x) 时 ,由于 Φ( x) 是函数矩阵 , 故即使在 n = 2
时 ,也将导致十分繁复的计算 , 如 [ 1 ]. 而我们知道 ,
在一定的条件下 , (1) 可以用消元法将它化为某个分
量 ,例如 y1 ( x) 的 n 阶线性微分方程. 而对于高阶非 线性微分方程来说 ,当自由项为某类特殊函数时 ,就
J1
T- 1AT =
J 2 ω
,
J r
Ξ 收稿日期 :2001 - 04 - 16 作者简介 :吴顺唐 (1938 —) ,男 ,教授.
10
常熟高专学报 2001 年
λ1 1
其中
λ2 1 J i = ω
λi si ×si 为 Jordan 块. 注意 ,当 F ( x) = ( f ( x) , 0 , …, 0) T 时 ,
数学(本科)毕业论文题目汇总
数学毕业(学位)论文题目汇总一、数学理论1。
试论导函数、原函数的一些性质。
ﻫ２。
有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。
ﻫ3。
数学中一些有用的不等式及推广.4。
函数的概念及推广.ﻫ5。
构造函数证明问题的妙想。
6.对指数函数的认识。
ﻫ7。
泰勒公式及其在解题中的应用。
8。
导数的作用。
9。
Ｈiｌbert空间的一些性质。
ﻫ10。
Banaｃｈ空间的一些性质。
ﻫ１1。
线性空间上的距离的讨论及推广。
12。
凸集与不动点定理．ﻫ１3。
Hｉlberｔ空间的同构．ﻫ1４。
最佳逼近问题。
ﻫ１5。
线性函数的概念及推广．ﻫ1６.一类椭圆型方程的解．18.线性赋范空间上的模等价。
1７。
泛函分析中的不变子空间。
ﻫ19.范数的概念及性质．２0。
正交与正交基的概念。
22。
隐函数存在定理的再证明。
ﻫ２3.线性空间的等距同构。
2１。
压缩映像原理及其应用.ﻫ24。
列紧集的概念及相关推广。
２５。
Lebｅsguｅ控制收敛定理及应用。
26。
Lebｅｓｇue积分与Rieｍann积分的关系。
27。
重积分与累次积分的关系.28。
可积函数与连续函数的关系。
２９。
有界变差函数的概念及其相关概念。
ﻫ30。
绝对连续函数的性质。
3１.Lｅbesguｅ测度的相关概念。
33。
可测函数的定义及其性质。
ﻫ３４．分部积分公式的32。
可测函数与连续函数的关系。
ﻫ推广。
35。
Fatoｕ引理的重要作用。
36.不定积分的微分的计算。
ﻫ37。
绝对连续函数与微积分基本定理的关系。
ﻫ3８。
Ｓchwartz 不等式及推广。
39。
阶梯函数的概念及其作用.40。
Fourｉer级数及推广。
ﻫ４1.完全正交系的概念及其作用。
ﻫ42。
Ｂanach空间与Hｉlbe ｒｔ空间的关系。
44。
数学分析中的构造法证题术,43。
函数的各种收敛性及它们之间的关系。
ﻫ4５。
用微积分理论证明不等式的方法4６.数学分析中的化归法47。
微积分与辩证法49。
在上有界闭域的D中连续函数的性质４8. 积分学中一类公式的证明ﻫ51。
常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法
常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法是一种求解线性齐次微分方程组的方法，其基本思想是通过构造一个系数矩阵并进行矩阵运算来得到方程组的解向量。
本文将详细介绍常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法，并解释其原理和应用。
1.矩阵的定义和运算在介绍矩阵解法之前，我们先回顾一下矩阵的基本定义和运算。
矩阵是由若干个数按照特定顺序排列形成的矩形阵列，通常用大写字母表示。
一个m × n（m行n列）的矩阵可以表示为A=[aij]m×n，其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵的加法：设A和B是相同规格的矩阵，则它们的和记作A+B，它的第i行第j 列的元素是Ai,j+Bi,j。
矩阵的数乘：设A是一个m×n的矩阵，k是一个常数，则kA的第i行第j列的元素是kaij。
矩阵的乘法：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则AB是一个m×p 的矩阵，其中矩阵AB的第i行第j列的元素是A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
矩阵的转置：设A是一个m×n的矩阵，记作AT，则AT是一个n×m的矩阵，其中AT的第i行第j列的元素是A的第j行第i列的元素。
2.常系数线性齐次微分方程组的矩阵形式假设我们有一个常系数线性齐次微分方程组，形如：y'=Ay其中，y是一个向量函数，A是一个n×n的常数矩阵，y'是y的导数。
为了求解该方程组的解向量y，我们可以把方程组写成矩阵形式：y'-Ay=0或者y'-Ay=O其中，O是一个n×n的零矩阵。
3.矩阵的特征值和特征向量在解释常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法之前，我们先来介绍一下矩阵的特征值和特征向量。
定义：设A是一个n×n的矩阵，如果存在一个非零向量x和一个实数λ，使得Ax=λx，则称λ是A的特征值，x是A对应于特征值λ的特征向量。
常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解
常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解徐进（华中师范大学数学与统计学学院，湖北武汉430079）摘要：利用约当标准型求解常系数齐次线性微分方程组基解矩阵．给出了一种求解常系数齐次线性微分方程组的解决途径．关键词：常系数线性微分方程组；基解矩阵；约当标准型中图分类号：O175.1文献标识码：A 文章编号：1673-014304-0017-030引言由于线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，而众多教科书上往往因为篇幅有限，没有利用约当标准型求解的具体形式．本文力图给出通过约当标准型对常系数齐次线性微分方程组求基解矩阵给出一个全面而清晰的认识．1常系数线性微分方程组基解矩阵设常系数线性微分方程组如下：dd x=A aij,n .定理1矩阵指数函数e xA 是常系数齐次线性微分方程组(1)的一个基解矩阵．由线性代数的基本知识，对于每一个n 阶矩阵A ，存在n 阶非奇异矩阵P ，使得A =PJP J 1J2,J 为约当标准型．得到e xA =e PxJPxA是方程组(1)的一个基解矩阵，则对于任意一个非奇异的n 阶常数矩阵C ，矩阵xC 也是(1)的一个基解矩阵．2利用约当标准型求解基解矩阵通过以上定理及推论知道e xA 为方程组(1)的解，则对于n 阶非奇异矩阵p、i1是n i阶矩阵，，m ;n 1+n 2+，则J i 有如下的分解式：第33卷第4期2005年12月江汉大学学报(自然科学版)Journal of Jianghan University (Natural Sciences )Vol.33No.4Dec.,2005收稿日期：2005－06－30作者简介：徐进(198218江汉大学学报（自然科学版）总第33卷J i=ii011ixJ i，有：0101+x 211n i!xJ i=ixx ni1x ni2.设n 阶非奇异矩阵P 为：P=r 1n 1r 1n 1+1r 1n 1+2r 1n 1+n 2+1+1r 2n 1r 2n 1+1r 2n 1+2r 2n 1+n 2+1+1r 3n 1r 3n 1+1r 3n 1+2r 3n 1+n 2+1+1r nn 1r n n1+1r n n 1+2r n n 1+n 2+1+1,于是e xJ1e xJ2=P1xx 21x1n 1!ex n111x1xe2xxe2!ex n212x2n 2!exe2xm xxe2!ex nm1mx2n m!exem x2005年第4期徐进：常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解19分析第一个矩阵块P e1xx21x1n1!ex n122x1xe=1x+r12e1n1!e2n1!e+r1n1e1x r21e1x r21x n111x+r22x n121x+1xrn1e1x+rn2e1n1!e2n1!e+rn n1e.3结论经过对第一个矩阵块Pi相关的n i列都具有下列形式：1!+x ni1r ni，其中j=0,1,11,m）时，A具有单的特征根的形式.参考文献：[1]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版社，1991.[2]Yan G Z,Deng Y B,Zhu C J.Ordinary differential equations[M].Wuhan:Central China Normal University,2002.Calculation of Basic Solution Matrix of Linear HomogeneousSystem with Constant CoefficientsXU Jin(Department of Mathematics and Statistics,Central China Normal University,Wuhan430079,China)Abstract：The basic solution matrix of linear homogeneous system with constant coefficients is found completely through using Jordan canonical form.Key words：linear homogeneous system with constant coefficients;basic solution matrix;Jordan canonical form。
常系数线性微分方程的求解
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（’!）
利用通常的比较系数法要求出通解（’!）是相当困难的，作变量代换后把求解方程（’#）的问题
变得得容易了。
参考文献：
［’］ 王高雄等8常微分方程8北京：高等教育出版社，!###
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常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法
常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法摘要高阶的线性微分方程可通过变量代换转化为一阶线性微分方程组，通过向量的引入及广泛的应用矩阵代数矩阵理论可将一阶线性微分方程组简化为一阶的矩阵微分方程，这给微分方程的形式和计算带来了很大方便。
计算一阶矩阵微分方程关键就是求其基解矩阵，目前常数矩阵的基解矩阵研究已达到成熟。
本文将对常数矩阵微分方程的基解矩阵的求法做系统的总结，包括相似对角化方法，分解初值的方法，若尔当标准型方法，待定系数法以及拉普拉斯变换法等方法。
关键词：矩阵; 微分方程; 基解矩阵；计算方法computational method to solve the fundamental solution matrix of Constant matrix differentialequationAbstractAccording to variable transformation, we can change the high-order linear differential equations into the first order differential equations ,then we introduce the vetor and apply the matrix theory of matrix algebra to change the first order differential equations into the first matrix differential equation,which make great convenience in the computation and the form of differential equation.The key to solve the first order differential equation is to find out its fundamental solution matrix.Nowadays,the scientists of mathe have been developed the deep research of fundamental solution matrix of constant matrice.This paper mainly has a comprehensive summarize on the methods to solve the fundamental solution matrix of constant matrice differentialequation,including the method similar to the diagonal,the method to decomposite value, the Jordan Standard Method, the method of undetermined coefficients and the method of Laplace transform and so on.Key words:matrix; differential equation; fundamental solution matrix;the method tocomputate1目录第1章引言 ........................................................................... ..................................................................... 1 第2章基本概念及定理 ........................................................................... . (3)2.1基本定义 . ......................................................................... ............................................ 3 2.2基本定理 . ......................................................................... ............................................ 4 第3章基解矩阵的求解 ........................................................................... . (5)3.1 利用相似对角化求解 ........................................................................... ................................... 5 3.2利用特征值与特征向量公式 . ......................................................................... ........................ 6 3.3利用分解初值的方法 ........................................................................... .................................... 7 3.4利用若尔当标准型求解 . ......................................................................... ............................... 12 3.5待定系数法 ........................................................................... .................................................... 16 3.5.1利用特征多项式或最小多项式法 ........................................................................... .. 16 3.5.2利用putzer 定理 ........................................................................... ................................ 19 3.6拉普拉斯变换法 ........................................................................... ........................................... 22 参考文献 . ......................................................................... (24)致谢 ........................................................................... ................................................... 错误！未定义书签。
基于Matlab常系数线性微分方程组的求解
基于Matlab常系数线性微分方程组的求解严水仙【摘要】在常微分方程课程教学中,常系数线性微分方程组可以通过线性代数的理论、矩阵指数、拉普拉斯变换等方法进行求解.本文主要叙述利用Matlab数学软件在求解常系数线性微分方程组中的应用.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2018(039)003【总页数】5页(P10-14)【关键词】常系数线性微分方程;Matlab;矩阵指数【作者】严水仙【作者单位】赣南师范大学数学与计算机科学学院,江西赣州341000【正文语种】中文【中图分类】O175微分方程课程是高校不少理工科专业(如数学、力学、控制等) 的重要基础理论课程.常微分方程是描述自然科学、工程技术和社会科学中的运动、演化和变化规律的重要连续型模型. 物理、化学、材料、医学、经济学等领域中的许多原理和规律都可以描述成相应的微分方程, 如生物种群中的生态平衡、流行病存在的阈值定理、化学反应中的稳定性、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等.描述、认识和分析其中的规律可以通过研究相应的微分方程数学模型来实现.[1]在微分方程的理论中，线性微分方程组是非常值得重视的一部分内容，它是了解并掌握非线性微分方程、非线性动力系统、非线性控制等课程的基础. 常系数线性微分方程组的求解是线性微分方程组理论中最简单、最直观的部分，熟悉并掌握常系数线性微分方程的求解将有利于更好的理解线性系统的基本理论.Matlab是由美国的Cleve Moler博士等[2-3]于1980年提出的以矩阵运算为基础，把计算、程序设计等融合到了一个简单易用的交互式工作环境中.可实现工程计算、算法研究、符号运算、建模和仿真、原型开发、数据分析及可视化、科学和工程绘图、应用程序设计等功能.Matlab强大的运算功能和图形使其成为目前世界上应用最为广泛的科学计算软件之一, 在教学中能快速的计算方程的解并描绘直观的几何图形.[4-6]鉴于此,本文主要介绍借助于Matlab来求解常系数线性微分方程组，通过利用Matlab命令，计算系数矩阵的特征值、特征向量、矩阵指数求解线性微分方程组.1 常系数线性微分方程的基本理论[1]定理1[1] 如果A(t)是n×n阶矩阵函数，f(t)是n维列向量函数.它们都在区间a≤t≤b上连续，则对区间a≤t≤b上的任意t0∈[a,b]及任一常数n维列向量η,方程组x′=A(t)x+f(t)(1)存在唯一解φ(t)，定义于整个区间a≤t≤b上，且满足初值条件φ(t0)=η.定理2[1] 齐次线性微分方程组x′=A(t)x一定存在n个线性无关的解x1(t),x2(t),…,xn(t).定理 3[1] 齐次线性微分方程组x′=A(t)x一定存在一个基解矩阵Φ(t).如果ψ(t)是方程组的任意解，那么ψ(t)=Φ(t)c,(2)这里c是确定的n维常数列向量.定理4[1] 如果Φ(t)，ψ(t)在区间a≤t≤b上是x′=A(t)x的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异n×n常数矩阵C，使得在a≤t≤b区间上ψ(t)=Φ(t)C.定理5[1] 设Φ(t)是齐次线性微分方程组x′=A(t)x的基解矩阵，是非齐次线性微分方程组x′=A(t)x+f(t)的某一个解，则方程组x′=A(t)x+f(t)的任一解φ(t)都可表示为(3)这里c是确定的n维常数列向量.矩阵指数exp A的定义和性质：如果A是一个n×n常数矩阵，则定义为矩阵指数，其中E为n阶单位矩阵，且规定A0=E,0!=1,对于所有元均为0的矩阵，易知expO=E.根据矩阵指数的定义及级数的收敛性，易知对一切矩阵A都是绝对收敛，在t的任何有限区间上是一致收敛.矩阵指数expA有如下性质：(Ⅰ)如果矩阵A,B是可交换的矩阵，即AB=BA,则exp(A+B)=exp A exp B. (Ⅱ)对于任何矩阵A,(exp A)-1存在，且(exp A)-1=exp(-A).(Ⅲ)如果T是非奇异矩阵(可逆矩阵)，则exp(T-1AT)=T-1(exp A)T.设常系数线性微分方程组为x′=Ax(4)其中A是n×n阶常数矩阵,x=(x1,x2,…,xn)T.定理6 矩阵Φ(t)=exp At(5)为方程组(4)的基解矩阵，且Φ(0)=E.证明由矩阵指数的定义易得Φ(0)=E.(1.5)式对t求导，我们得到Φ′=(exp A t) exp At=AΦ(t),所以Φ(t)=exp At是方程(4)的解矩阵.又因为det Φ(0)=det E=1,因此Φ(t)是(4)的基解矩阵.定理6已经给出了常系数线性微分方程组(4)的基解矩阵，但是exp At是由At的矩阵级数定义的，矩阵中的每个元是什么没有具体给出，下面我们讨论exp At的计算方法.2 常系数线性微分方程组基解矩阵的求解定理7 如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,…,vn，它们对应的特征值分别为λ1,λ2,…,λn(不必各不相同)，那么矩阵ψ(t)=[eλ1tv1,eλ2tv2,…,eλntvn],(-∞≤t≤+∞)是常系数线性微分方程组(4)的一个基解矩阵.证明因为λ1,λ2,…,λn为矩阵A的特征值，对应的特征向量为v1,v2,…,vn，有det(λiE-A)=0,且(λiE-A)vi=0,i=1,2,…,n.又因为eλit≠0，则λieλitvi=Aeλitvi，即φi(t)=eλitvi是方程组(4)的一个解.因此，矩阵ψ(t)=[eλ1tv1,eλ2tv2,…,eλntvn]是(4)的一个解矩阵.v1,v2,…,vn是矩阵A线性无关的特征向量组，所以det ψ(0)=det[v1,v2,…,vn]≠0，因此可知，ψ(t)=[eλ1tv1,eλ2tv2,…,eλntvn]是(4)的一个基解矩阵.由此可知，Φ(t)=exp At和ψ(t)=[eλ1tv1,eλ2tv2,…,eλntvn]均为方程组(4)的基解矩阵，根据定理4的结论可知，存在一个非奇异的常数矩阵C,使得Φ(t)=expAt=ψ(t)C.令t=0，我们得到C=ψ-1(0)，因此exp At=ψ(t)ψ-1(0).所以，常系数线性微分方程的求解转化为求系数矩阵的特征值和特征向量.例1 求下列方程组的基解矩阵解系数矩阵为的特征方程为系数矩阵的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=3.设λ1=1时对应的特征向量v1=(a,b,c)T，则(λ1E-A)v1=0，解得特征向量为其中c1为参数.设λ2=2时对应的特征向量v2=(a,b,c)T，则(λ2E-A)v2=0，解得其中c2为参数. 设λ3=3时对应的特征向量v3=(a,b,c)T，则(λ3E-A)v3=0，解得其中c3为参数.由定理7知，方程组的基解矩阵为：根据定理3，方程组的通解为φ(t)=ψ(t)C,其中C=(c1,c2,c3)T.常系数线性微分方程的求解实际就是求系数矩阵的特征值和特征向量，或者通过拉普拉斯变换法求解以及直接求解系数矩阵的矩阵指数exp(At). 然而，不管矩阵的的特征值、特征向量、拉普拉斯变换、还是矩阵指数，直接求解均比较复杂，特别是系数矩阵的特征值出现重根、复根等情况时，求解通解就显得更为困难.下面介绍使用Matlab数学软件求解常系数线性方程组.3 Matlab在求解常系数微分方程中的应用根据线性代数、高等代数的理论，矩阵对角化过程是一个复杂的计算过程，特别是系数矩阵的特征值出现重根、复根等情况时，特征向量计算比较麻烦. 学习使用Matlab软件在求解数学问题的原理将能够让学生更好的理解数学思想，减少重复性计算等. 下面将介绍几个利用Matlab计算基解矩阵的例子.例2 求下列线性微分方程组满足初始条件φ(0)=η的解其中解在Matlab软件中直接输入如下命令，>> A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6];>> syms t;>> expm(A*t) %运行得线性方程组的基解矩阵exp(At)ans =[3*exp(-t) - 3*exp(-2*t) + exp(-3*t), (5*exp(-t))/2 - 4*exp(-2*t) + (3*exp(-3*t))/2, exp(-t)/2 - exp(-2*t) + exp(-3*t)/2][6*exp(-2*t) - 3*exp(-t) - 3*exp(-3*t), 8*exp(-2*t) - (5*exp(-t))/2 - (9*exp(-3*t))/2, 2*exp(-2*t) - exp(-t)/2 - (3*exp(-3*t))/2][3*exp(-t) - 12*exp(-2*t) + 9*exp(-3*t), (5*exp(-t))/2 - 16*exp(-2*t) +(27*exp(-3*t))/2, exp(-t)/2 - 4*exp(-2*t) + (9*exp(-3*t))/2]即得方程组的基解矩阵所以方程组的通解为φ(t)=exp(At)C,其中C=(c1,c2,c3)T.初始条件φ(0)=η代入φ(t)=exp(At)C，易得C=(1,2,2)T，故满足初始条件的解为例3 求下列线性微分方程组的通解解在Matlab软件中直接输入如下命令，>> A=[3 -1 1;2 0 1;1 -1 2];>> syms t;>> expm(A*t) %运行得线性方程组的基解矩阵exp(At)ans =[exp(2*t) + t*exp(2*t), - exp(2*t) - t*(exp(2*t) - exp(2*t)/t), exp(2*t) +t*(exp(2*t) - exp(2*t)/t)][exp(2*t) - exp(t) + t*exp(2*t), exp(t) - exp(2*t) - t*(exp(2*t) - exp(2*t)/t), exp(2*t) + t*(exp(2*t) - exp(2*t)/t)][exp(2*t) - exp(t), exp(t) - exp(2*t), exp(2*t)].即得方程组的基解矩阵所以方程组的通解为φ(t)=exp(At)C,其中C=(c1,c2,c3)T. 由此可知，通过使用Matlab软件求解常系数线性微分方程组的通解变得简单、直观.在常微分方程的理论和应用上，微分方程组的解在t→∞时解的性态的研究是很重要的内容，其对非线性方程的理论有着非常重要的应用.4 常系数线性方程组的稳定性定理定理8 常系数线性微分方程组(4)的解有下列性质:(Ⅰ)如果系数矩阵A的特征值的实部都是负的，则(4)的任一解当t→∞时都趋于零(稳定)；(Ⅱ)如果系数矩阵A的特征值的实部至少有一个是正的，则(4)至少有一个解t→∞时趋于无穷(不稳定)；(Ⅲ)如果系数矩阵A的特征值的实部都是非正，但有零根或具有零实部的根，则(4)的解在t→∞时不能判定(不确定).根据定理8，很容易判定常系数线性微分方程组解的性态.当t→∞时，例1、3的解趋于无穷，例2的解趋于零.由Matlab软件也可直接描述出方程组解的变化趋势.下面画出例2的解曲线图.在Matlab中直接输入命令：>> t=0∶200;>>plot(t,8*exp(-1*t)-13*exp(-2*t)+5*exp(-3*t),′o′,t,-8*exp(-1*t)+26*exp(-2*t)-15*exp(-3*t),′*′,t,8*exp(-1*t)-52*exp(-2*t)+45*exp(-3*t),′k′) %运行即得解在t∈[0,200]随t的变化图.5 小结常系数线性微分方程的求解是常微分方程理论中重要的组成部分，但计算比较复杂,对学生的数学基础要求较高,所以学生学起来比较吃力,容易对学习丧失兴趣.所以,在授课过程中,我们不仅要将基本概念和原理给学生讲通讲透,重点介绍数学思维，数学思想，还要利用计算机的表现能力将抽象的问题具体化，复杂的计算简单化.Matlab教学平台的引入,能够化繁为简,化抽象为具体,加深学生对本课程的掌握程度,提高教学效果,并且引导学生将理论应用于实际.【相关文献】[1] 王高雄,朱思铭,等.常微分方程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2006.[2] 胡良剑,孙晓君.MATLAB数学实验[M].第2版.北京：高等教育出版社，2014.[3] 朱春蓉,郑群珍.Maple在常微分方程教学中的应用[J].河南教育学院学报：自然科学版，2009,18(3):63-64.[4] 闫金亮.Matlab在常微分方程教学中的应用[J].武夷学院学报，2012,31(2):96-100.[5] 张守贵.一类二阶常系数微分方程特解的教学探讨[J].重庆工商大学学报：自然科学版，2012, 29(12):12-15.[6] 徐定华,葛美宝.论微分方程课程的教学设计[J].大学数学, 2010,26(3):1-5.。
常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解
常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解常系数齐次线性微分方程组(ODEs)具有广泛的应用，它描述了一个系统的变化，其基本格式为：ay + by + cy = 0其中，a，b，c是定值。
求解ODEs的方法有固定点定理、积分因子和特征值定理等，其中，基解矩阵是一种基本概念，它们可以帮助我们更容易地求解ODEs。
基解矩阵是一个特定矩阵，它由解ODEs的特征解组成。
特征解是ODEs的根，它们代表着ODEs的解/极限解等。
特征解可以写成： xi(t) = e^rt其中，r是ODEs的特征值，它对应着特征方程的根。
基本基解矩阵由基解向量组成，它们可以写成：X = [x1, x2, x3, ..., xn]其中，x1,x2, ...,xn是ODEs的解向量，它们对应着ODEs的基解。
为了求解ODEs，我们还需要确定一个初值。
这个初值可以写成： X(0) = [x1(0), x2(0), ..., xn(0)]其中，x1(0),x2(0), ...,xn(0)是ODEs的初值向量，它们代表着ODEs的初值状态。
求解ODEs的基解矩阵的基本原理是：利用基解向量组成的基解矩阵，可以将ODEs的求解变为一个线性代数问题，而这个线性代数问题可以用行列式解决。
假设我们要求解ODEs：ay + by + cy = 0称ε为ODEs的特征根，则可写出：ε1= r1,2 = r2,3 = r3其中，r1,r2,r3是ODEs的根，它们组成了特征多项式的特征根。
此时，基解矩阵可以写成：X = [e^r1*t, e^r2*t, e^r3*t]此时，ODEs的初值可以写成：X(0) = [x1(0), x2(0), x3(0)]现在，将基解矩阵和初值向量带入ODEs：ay + by + cy = 0我们可以得出：xe^(r1*t) + ye^(r2*t) + ze^(r3*t) = x1(0)其中，x、y、z是ODEs的未知参数，它们可以用行列式求解。
线性方程组的求解方法详解
线性方程组的求解方法详解线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数都是一次项（与其他未知数之间没有乘法关系）。
解线性方程组的目标是找到满足所有方程的未知数的值。
线性方程组的求解方法有多种，包括高斯消元法、矩阵方法、Cramer法则等。
1.高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的经典方法之一、它通过将线性方程组转化为行简化阶梯形矩阵的形式，从而求得未知数的值。
具体步骤如下：第一步，将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中增广矩阵的最后一列为方程组的常数项。
第二步，选择一行（通常选择第一行）为主元行，并将其系数设置为1第三步，对于其他行，通过消去主元的系数，并使得该列上下的其他系数为零。
这一步称为消元操作。
第四步，重复第三步，直到所有行都被消元为止。
第五步，通过回代法，将最简形的增广矩阵转化为解方程组所需的形式。
从最后一行开始，将未知数的值代入到其他行的系数中，直到所有未知数都求得其值。
2.矩阵方法矩阵方法是一种利用矩阵运算求解线性方程组的方法。
该方法可以通过矩阵的逆矩阵、伴随矩阵等来求解。
具体步骤如下：第一步，将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵写成增广矩阵的形式。
第二步，求解系数矩阵的逆矩阵。
第三步，将逆矩阵和常数矩阵相乘，得到未知数的解向量。
3. Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的方法，可以求解n元线性方程组。
该方法的基本思想是通过计算行列式的值来求解方程组。
具体步骤如下：第一步，计算线性方程组的系数矩阵的行列式值，如果行列式值不为零则方程组有唯一解，如果行列式值为零，则方程组无解或者有无穷多解。
第二步，将系数矩阵的每一列用常数项替换，并计算其行列式值。
第三步，将每个未知数的系数矩阵的行列式值除以原始行列式的值，得到解向量。
4.LU分解法LU分解法是一种将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的方法。
该方法利用了矩阵分解的性质，通过将线性方程组转化为一个简单的形式，从而求得未知数的值。
常系数线性微分方程组的解法
即(p(t)二泌为(5.33)解o (肛-A)c = 0,有非零解
例3试求矩阵入= 特征值和特征向量.
-5 3
解掘特征值就是特征方程
与—3 ~5 一
det(4E — A) =
— X2 — 62 + 34 = 0
常系数线性方程组
筒壬一页帛啊下一页「'惭返回'
证明：由上面讨论知，每一个向量函数
都是(5①.3⑺3)/=的'v[e解j气=,,因le,2外此,・2矩，・阵…・，,n/"J* ]
是(5.33由)的于解*,矩V阵2,,v〃线性无关， de所t 0以(0 = det(e%i, e^v2，…,e^vn)。0 故①⑴是(5.33)的基解矩阵
⑴
(2) ^AB^BA^\eA+B =eAeB.
对任何矩阵A,(expA)T存在,且
(expA)"1=exp (-A).
(3) 若『是非奇异的，则 exp (T-1AT) = T-1(expA)T.
3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理9矩阵
(0)二E.
0(0 = exp At 是(5.33)的基解矩阵，且①
程
类似第四章4.2.2,寻求
尤=Ax, (5.33)
形 口 (p(f) — e%c,c。0, (5.43)
的解，其中常数人和向量c是待定的
将(5.43)代入(5.33)得 人 = Ae^c,
因泌、0,上式变为 (2E - A)c = 0, (5.44)
方程(5.44)有非零解的充要条件是
det(2E -A) = 0,
常系数线性微分方程组的基解矩阵的一种新求法
（ ３ ）
（ ４ ）
［ 收 稿 日期 ］ ２ ｏ １ ２ — １ ｌ — Ｏ ７
［ 基 金 项 目］ 国 家 自然 科 学 青 年 基 金 项 目（ １ １ １ ０ ２ ０ ７ ６ ）
第６ 期
的解 ．
彭庆英 ： 常 系数 线 性微 分方 程组 的基 解矩 阵的 一种新 求 法
１ 引
言
对 于常 系数线性 微分方 程组
一 ．
ｉｘ，
（ １ ）
其 中 Ａ为 × 常数 方 阵 ， 一 （ ￡ ） 是 未知 的 维列 向量 ． 关于 方程组 （ １ ） 的求解 问题 ， 总是 个繁杂 的 问 题， 而求 解 的关键在 于求 其一 个基解 矩 阵． 根据 Ａ 的特 征 向量 的特 点采 取合 适 的方 法尤 为 重要 ， 合 适 的
ｎ －１
ｅ ｘ ｐ Ａ ｔ 一∑口 （ ） Ａ ，
一 ０
（ ５ ）
其中 口 （ ）（ 一 ０ ， １ ， …， 一 １ ）是方 程组
口 ｏ （ ￡ ） ＋口 １ （ ￡ ） １ ＋ …＋ｎ 一 １ （ ） 一 一ｅ
口 １ （ ） ＋２ ｎ ２ （ ） １ ＋３ ａ ３ （ ￡ ） ； ＋… ＋（ ｎ －１ ） ａ 一 １ （ ￡ ） Ａ ： 一ｔ ｅ Ｚ ｌ ，
１ ２ １
定理 ２ 将 计 算基解 矩 阵 ｅ ｘ ｐ Ａ ｔ的 问题 归 结为求 解 齐线性 微分 方程 组 （ ３ ） 满足 初始 条件 （ ４ ） 的初值 问
题 ．由于方 程组 （ ３ ） 是一 个特 殊 的一 阶常 系数齐 次线 性方程 组 ， 其 系数矩 阵
ｌ
１
２
１
微 分方程 组 也是 比较 麻烦 的 ． 通 过改 进将解 微 分方 程 组转 化 为解 线 性 方程 组 的 问 题 ． 进而 得 到一 种 求解
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董治军
（巢湖学院 数学系，安徽 巢湖 238000）
摘 要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过 方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数 t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法.
注1：由定理1，我们可以利用这个基解矩阵推知★的任一解
（t）=（ t）C 这里C打、是一个常数向量.
例1：如果A是一个对角矩阵A= （其中未写出的元均为零）
试找出 =Ax的基解矩阵.
解：由（1.0）可得 t=E+ + + +…=
根据定理1，这就是一个基解矩阵.
例2：试求 = x的基解矩阵.
解：因为A= = + 而且后面的两个矩阵是可交换的，得到
3.有关常系数奇次线性微分方程组★的基本问题
定1：矩阵 （t）= t （1.1）
是★的基解矩阵，且 （0）=E.
证明：由定义易知 （0）=E，将（1.1）对t求导，得 （t）= =A+ t+ +…+ +…=A t = A （t）
这就表明， （t）是★的解矩阵，又 （0）= =1 因此 （t）是★的解矩阵.证毕.
=exp t exp t=
但是 =
所以 级数只要两项，因此 基解矩阵是 t= .
二．基解矩阵的计算
1.基于特征值和特征向量型计算基解矩阵
类似于一阶齐次线性微分方程，希望方程组★有形如 的解，其中 为待定的参数，C为待定的n维非零向量，将之代入方程组，得到 ，即有 （1.2）
要使齐次线性代数方程组（1.2）有非零解向量，应有
一．矩阵指数 的定义和性质：
1.矩阵范数的定义和性质
定义：对于 矩阵A＝ n×n 和n维向量X＝
定义A的范数为 ＝ ， =
设A，B是n×n矩阵，x，y是n维向量，易得下面两个性质：
（1） ≤ ， ≤ ；
（2） ≤ + ， ≤ + .
2.矩阵指数 的定义和性质：
(!)定义：如果A是一个n×n常数矩阵，我们定义矩阵指数 为下面的矩阵级数的和： = =E+A+ +…+ +… （1.0）
事实上，对于一切正整数k，当 ≤c（c是某一整数）时，有 ≤ ≤ ，而数值级数 是收敛的，因而 t= 是一致收敛的.
（2）矩阵指数 的性质：
①若矩阵A，B是可交换的，即AB=BA，则
（A+B）= ；
②对于任何矩阵A， 存在，且 =exp（-A）；
③如果T是非奇异矩阵，则
exp（ AT）= （ ）T .
其中E为n阶单位矩阵， 是A的m次幂，这里我们规定 =E，0！=1 这个级数对于所有的A都是收敛的.因次 是一个确定的非负矩阵，特别的，对所有元均为0的零矩阵0，有exp0=E.
事实上，由上面范数的性质（1），易知对于一切正整数k，有 ≤ ，
又因对于任一矩阵A， 是一个确定的实数，所以数值级数 + + +…+ +… 是收敛的.进一步指出，级数 t= 在t的任何有限区间上是一致收敛的.
Abstract:Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method.
Keyword:linearhomogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent
引言:线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X’＝AX★ 的基解矩阵的计算问题，这里A是 常数矩阵.
（1.3）
称式（1.3）为方程组★的特征方程，称 为A的特征值.称非零向量C为A的对应于特征值 的特征向量.
关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数
Calculation of Basic solution Matrix of Linear Homogeneous System with Constant Coefficients
Zhijun Dong
(Department of Mathematics,Chaohu CollegeAnhui,Chaohu)