2020年甘肃省第二次诊断考试理科数学
2020年甘肃省陇南市高考数学二诊试卷(理科)(附答案详解) (1)
2020年甘肃省陇南市高考数学二诊试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合M ={x|x <3}，N ={x|x 2>4}，则M ∩N =( )A. (−2,3)B. (−∞,−2)C. (2,3)D. (−∞,−2)∪(2,3)2. 设z =i +(2−i)2，则z −=( )A. 3+3iB. 3−3iC. 5+3iD. 5−3i3. 已知P 为椭圆x 23+y 22=1短轴的一个端点，F 1，F 2是该椭圆的两个焦点，则△PF 1F 2的面积为( )A. 2B. 4C. √2D. 2√24. 设等比数列{a n }的前6项和为6，且a 1=a ，a 2=2a ，则a =( )A. 221B. 17C. 421D. 5215. 2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据： 潜伏期 2天 3天 5天 6天 7天 9天 10天 12天 人数248101616104根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为(精确到个位数)( )A. 6天B. 7天C. 8天D. 9天6. 若函数f(x)=x +log 2(x −a)的定义域为(1,+∞)，则f(3a)=( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 执行如图所示的程序框图，若输人的t =5，则输出的K =( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 设向量CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )9. 若函数f(x)=2acos(2x −π3)−1在[0,π2]上恰有2个零点，则a 的取值范围为( )A. [1,2√33)B. (1,2√33]C. [12,√33)D. (12,√33]10. 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，AB =BD =2，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC =( )A. √2B. 2C. 2√2D. 411. 已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)，直线x =a 与C 的交点为A ，B(B 在A 的下方)，直线x =a 与C 的一条渐近线的交点D 在第一象限，若|AB||BD|=43，则C 的离心率为( )A. 32B. 2C. 1+√174D. √712. 已知函数f(x)=4x 3−3√2x 2+1，则( )A. f(sin2)<f(tan1)<f(tan4.5)B. f(tan4.5)<f(tan1)<f(sin2)C. f(tan1)<f(sin2)<f(tan4.5)D. f(tan4.5)<f(sin2)<f(tan1)二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. (yx −3x)5的展开式中，xy 2的系数为______．14. 设x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y +1≥0x −3≤0，则当z =2x +y 取得最大值时，y =______．15. 若两个正方体的外接球的表面积之和为12π，则这两个正方体的表面积之和为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 定义p(n)为正整数n 的各位数字中不同数字的个数，例如p(555)=1，p(93)=2，p(1714)=3.在等差数列{a n }中，a 2=9，a 10=25，则a n = (1) ，数列{p(a n )}的前100项和为 (2) ．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是矩形，PD ⊥平面ABCD ，E 为AB 的中点．(1)证明：平面PAD ⊥平面PCD ．(2)若AD =1，AB =PD═2，求二面角B −EC −P 的余弦值．18.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2sin2C−2sin2A+sinAsinB+cos2B=1．(1)求cosC；(2)若a=2，c=3，求△ABC的面积．19.甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的2倍，丙的命中率等于甲与乙的命中率之和．若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率为0.18．(1)求甲、乙、丙三人投篮的命中率；(2)现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为X，求X的分布列及数学期望．20.在直角坐标系xOy中，过点(2,0)的直线l与抛物线y2=4x交于A，B两点．(1)证明：直线OA与OB的斜率之积为定值．(2)已知点M(0,−1)，且∠AMB为锐角，求l的斜率的取值范围．21.已知函数f(x)=e x−1−2lnx+x．(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)≥(x−2)3−3(x−2)．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=4+2√2cosα,y=−1+2√2sinα(α为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线L的极坐标方程为θ=7π4(ρ≥0)．(1)求曲线C的极坐标方程与射线L的直角坐标方程；(2)若射线L与曲线C交于A，B两点，求|OA|2⋅|OB|+|OB|2⋅|OA|．23.已知a≠0，函数f(x)=|ax−1|，g(x)=|ax+2|．(1)若f(x)<g(x)，求x的取值范围；(2)若f(x)+g(x)≥|2×10a−7|对x∈R恒成立，求a的最大值与最小值之和．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．求出集合M，N，由此能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={x|x<3}，N={x|x2>4}={x|x<−2或x>2}，∴M∩N=(−∞,−2)∪(2,3)．故选：D．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z=i+(2−i)2=i+4−1−4i=3−3i，则z−=3+3i，故选：A．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的性质，考查焦点三角形的面积，属于基础题．根据方程可得到b，c的值，进而可求出面积．【解答】解：根据条件可得b 2=2，c 2=3−2=1，则b =√2，c =1， 则△PF 1F 2的面积=12×2c ×b =bc =√2， 故选：C ．4.【答案】A【解析】解：∵等比数列{a n }的前6项和为6，且a 1=a ，a 2=2a ， ∴由题意得S 6=a 1(1−26)1−2=63a 1=6，解得a =a 1=221． 故选：A ．由等比数列的前n 项和公式得S 6=a 1(1−26)1−2=63a 1=6，由此能求出a ．本题考查实数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：因为x −=2×2+3×4+5×8+6×10+7×16+9×16+10×10+12×470≈7，所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为7天， 故选：B ．利用平均值的定义求解．本题主要考查了平均值的概念，是基础题．6.【答案】C【解析】 【分析】本题考查函数定义域的求法，考查函数值的求法，是基础题． 由已知求得a ，得到函数解析式，进一步求得f(3a)的值． 【解答】∴f(3a)=3+log 22=4． 故选：C ．7.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得 t =5，K =10，i =1不满足条件K <5，执行循环体，K =11，i =−2 不满足条件K <5，执行循环体，K =9，i =−5 不满足条件K <5，执行循环体，K =4，i =−8 此时，满足条件K <5，退出循环，输出K 的值为4． 故选：D ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量K 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(2√5)2=2×1+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =18． 故选：C ．先根据平面向量的减法法则，将CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示成OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得到OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，将其展开后，利用平面向量数量积运算即可得解．本题考查平面向量的混合运算，考查学生的运算能力，属于基础题．【解析】解：令函数f(x)=2acos(2x−π3)−1=0，得sin(2x−π3)=12a；x∈[0,π2]时，2x−π3∈[−π3,2π3]，令2x−π3=π2，得x=5π12；所以y=sin(2x−π3)在[0,5π12)上单调递增，在(5π12,π2]上单调递减，且f(0)=−√32，f(π2)=√32，f(5π12)=1，令√32≤12a<1，解得12<a<√33；所以a的取值范围是(12,√3 3].故选：D．令函数f(x)=0得sin(2x−π3)=12a，根据x∈[0,π2]时y=sin(2x−π3)的图象与性质，即可得出f(x)有2个零点时a的取值范围．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数零点的应用问题，是中档题．10.【答案】B【解析】解：如图所示，取AD的中点F，连接EF，BF，则EF//AC．则∠BEF为异面直线AC与BE所成的角．∴∠BEF=60°．设BC=x，则BE=EF=√x2+42，BF=√2．∴△BEF为等边三角形，则√x2+42=√2，解得x=2．故选：B．如图所示，取AD的中点F，连接EF，BF，可得EF//AC.于是∠BEF为异面直线AC与BE所成的角．设BC=x，可得BE=EF=√x2+42，在△BEF中即可得出．基础题．11.【答案】B【解析】解：将x=a代入y2a2−x2b2=1，得y=±acb,则|AB|=2acb．将x=a代入y=ab x,得y=a2b，则|BD|=acb+a2b，因为|AB||BD|=43，∴2acac+a2=43，即2ee+1=43，∴e=2．故选：B．先根据题意将A，B，D的纵坐标求出来，进而表示出|AB|，|BD|，然后根据给的比值构造a，b，c的方程，即可求出e的值．本题考查双曲线的几何性质．构造关于a，b，c的方程组，是求离心率、渐近线方程等的基本思路．属于中档题．12.【答案】A【解析】解：函数f(x)=4x3−3√2x2+1，可得f′(x)=12x2−6√2x=12x(x−√22)，当x>√22时，f′(x)>0，函数是增函数，因为√22<sin2≈sin114.6°<1，tan4.5=tan(4.5−π)≈tan1.36>tan1>1，所以f(sin2)<f(tan1)<f(tan4.5)．故选：A．求出函数的导数，判断函数的单调性，然后比较sin2，tan1，tan4.5的大学，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断，三角函数值的大小的比较，是基本知识的考查．13.【答案】−270【解析】解：∵(yx −3x)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r(yx)5−r(−3x)r=令r=3，有T4=C53(−3)3y2x=−270xy2，∴xy2的系数为−270．故填：−270．先利用二项式定理求(yx−3x)5的展开式的通项公式，再求xy2的系数．本题主要考查二项式定理中的通项公式，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=−2x+z，平移直线y=−2x+z，当直线y=−2x+z经过A点时，直线y=−2x+z的截距最大，此时z最大，A(3,4)，则z=2x+y=2×3+4=10，此时y=4．故答案为：4．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，作出图象，利用目标函数的几何意义利用平移法是解决本题的关键．15.【答案】24【解析】解：设两个正方体的边长分别为a，b，则这两个正方体的外接球的半径分别为：√3 2a，√32b.∴4π[(√32a)2+(√32b)2]=12π，解得a2+b2=4．∴这两个正方体的表面积之和=6(a2+b2)=24．设两个正方体的边长分别为a，b，可得这两个正方体的外接球的半径分别为：√32a，√32b.由题意可得：4π[(√32a)2+(√32b)2]=12π，化简即可得出：这两个正方体的表面积之和=6(a2+b2).本题考查了正方体的表面积、外接球有关计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】2n +5227【解析】解：在等差数列{a n }中，a 2=9，a 10=25，公差d =25−910−2=2，∴a n =9+2(n −2)=2n +5．∵a 1=7，a 100=205．a n 为奇数，∴a n =7，9，11，33，55，77，99，111时，p(a n )=1．a n =101，113，115，117，119，121，131，133，141，151，155，161，171，177，181，191，199时，p(a n )=2．在{a n }中，小于100的项共有47项，这47项中满足p(a n )=2的共有47−7=40项， 故数列{p(a n )}的前100项和为：1×8+2×(40+17)+3×(100−8−40−17)=227． 故答案为：2n +5，227．在等差数列{a n }中，a 2=9，a 10=25，公差d =2，利用通项公式可得a n .可得a 1=7，a 100=205.a n 为奇数，通过分类讨论：p(a n )=1.p(a n )=2.p(a n )=3.即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式、新定义、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ⊥CD ， ∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AD ， ∵CD ∩PD =D ，∴AD ⊥平面PCD ， ∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PCD ．(2)解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D −xyz ，如图所示，∵AD =1，AB =PD═2，∴P(0,0,2)，E(1,1,0)，C(0,2,0)， ∴PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−2)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， 设平面PCE 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +y −2z =0EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−x +y =0，取x =1，得n⃗ =(1,1,1)， 平面BCE 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,0,1)，设二面角B−EC−P的平面角为θ，由图知θ为钝角，则cosθ=−|m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=−√33，∴二面角B−EC−P的余弦值为−√33．【解析】(1)推导出AD⊥CD，PD⊥AD，从而AD⊥平面PCD，由此能证明平面PAD⊥平面PCD．(2)以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D−xyz，利用向量法能求出二面角B−EC−P 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)因为2sin2C−2sin2A+sinAsinB+cos2B=1．∴2sin2C−2sin2A+sinAsinB=1−cos2B=2sin2B；由正弦定理得：2c2−2a2+ab=2b2；即a2+b2−c2=12ab；∴cosC=a2+b2−c22ab =14．(2)由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcosC⇒9=4+b−4b×14；解得b=1+√212(负根舍去)∵cosC=14⇒sinC=√154；∴△ABC的面积S=12absinC=√15+3√358．【解析】(1)根据已知条件结合正弦定理即可求出结论；(2)由余弦定理求出b，结合同角三角函数的基本关系求出sinC，即可求出面积．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．19.【答案】解：(1)设甲的命中率为p，则根据题意可得，p×2p=0.18，p=0.3，故甲乙丙投篮的命中率分别为0.3，0.6，0.9；(2)根据题意，X 可能取得值为0，1，2，3，则P(X =0)=(1−0.3)×(1−0.6)×(1−0.9)=0.028，P(X =1)=0.3×(1−0.6)×(1−0.9)+(1−0.3)×0.6×(1−0.9)+(1−0.3)×(1−0.6)×0.9=0.306，P(X =2)=0.3×0.6×(1−0.9)+(1−0.3)×0.6×0.9+0.3×(1−0.6)×0.9=0.504，P(X =3)=0.3×0.6×0.9=0.162， 故X 的分布列为：EX =0×0.028+1×0.306+2×0.504+3×0.162=1.8．【解析】(1)设甲的命中率为p ，则根据题意可得，p ×2p =0.18，求出即可； (2)根据题意，X 可能取得值为0，1，2，3，求出X 的分布列和数学期望，得出答案． 本题考察了离散型随机变量的分布列和数学期望，考察运算能力，中档题．20.【答案】解：(1)证明：由题意可得直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：x =my +2， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立与抛物线的方程：{x =my +2y 2=4x ，整理可得：y 2−4my −8=0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8，x 1x 2=(y 1y 2)216=4，所以k OA ⋅k OB =y1x 1⋅y2x 2=−84=−2，即证直线OA 与OB 的斜率之积为定值−2． (2)由(1)知，y 1+y 2=4m ，因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1+1)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2+1)，且∠AMB 为锐角， 所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，所以x 1x 2+(y 1+1)(y 2+1)=x 1x 2+y 1y 2+(y 1+y 2)+1=4−8+4m +1>0，且0≠−m +2，解得m >34且m ≠2， 所以m 的取值范围(34,2)∪(2,+∞)， 所以l 的斜率的取值范围为(0,12)∪(12,43).【解析】(1)由题意可得直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，由题意求出直线OA ，OB 的斜率之积，将前面所求代入可得直线OA ，OB 的斜率之积为定值；(2)由(1)可得A ，B 的纵坐标之和，要使∠AMB 为锐角，则需MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，求出MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式可得参数m 的范围，进而求出直线l 的斜率的取值范围． 本题考查直线与抛物线的综合应用，及∠AMB 为锐角，用数量积的坐标表示，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=e x−1−2x +1，易知f′(x)=e x−1−2x +1在(0,+∞)上单调递增，且f′(1)=0， 令f′(x)<0，解得0<x <1，则f(x)的单调递减区间为(0,1)； 令f′(x)>0，解得x >1，则f(x)的单调递增区间为(1,+∞)；(2)证明：设g(x)=(x −2)3−3(x −2)(x >0)，g′(x)=3(x −1)(x −3)， 令g′(x)<0，解得1<x <3，令g′(x)>0，解得0<x <1或x >3， ∴当x =1时，g(x)取得极大值，且极大值为2，由(1)知，f(x)min =f(1)=2，故当0<x ≤3时，f(x)≥(x −2)3−3(x −2)， 设ℎ(x)=f(x)−g(x)=e x−1−2lnx −(x −2)3+4x −6(x >3)，则ℎ′(x)=e x−1−2x −3(x −2)2+4，设p(x)=ℎ′(x),p′(x)=e x−1+2x 2−6(x −2)，设q(x)=p′(x),q′(x)=e x−1−4x 3−6， 易知q′(x)在(3,+∞)上单调递增，则q′(x)>q′(3)=e 2−427−6>0，则q(x)在(3,+∞)上单调递增，从而p′(x)>p′(3)=e 2+29−6>0，则ℎ′(x)在(3,+∞)上单调递增， 所以ℎ′(x)>ℎ′(3)=e 2+13>0，则ℎ(x)在(3,+∞)上单调递增，于是ℎ(x)>ℎ(3)=e 2+5−2ln3>0，故当x >3时，f(x)≥(x −2)3−3(x −2)； 综上，f(x)≥(x −2)3−3(x −2)．【解析】(1)求导，令f′(x)<0，求得单调减区间，令f′(x)>0，求得单调增区间； (2)当0<x ≤3时，易得f(x)≥(x −2)3−3(x −2)，当x >3时，通过多次求导，进而判断函数单调性，由此求得最值，由此即可得证．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，多次求导进而判断函数单调性，进一步求得最值是证明的关键，属于中档题目．22.【答案】解：(1)曲线C的参数方程为{x=4+2√2cosα,y=−1+2√2sinα(α为参数).转换为直角坐标方程为(x−4)2+(y+1)2=8，转换为极坐标方程为ρ2−8ρcosθ+2ρsinθ+9=0．射线L的极坐标方程为θ=7π4(ρ≥0).转换为直角坐标方程为y=−x．(2)射线L与曲线C交于A，B两点，所以{ρ2−8ρcosθ+2ρsinθ+9=0θ=7π4，整理得ρ2−5√2ρ+9=0，所以ρA+ρB=5√2，ρAρB=9，所以|OA|2⋅|OB|+|OB|2⋅|OA|=ρA⋅ρB(ρA+ρB)=45√2．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用极径的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)因为f(x)<g(x)，所以|ax−1|<|ax+2|，两边同时平方得a2x2−2ax+1<a2x2+4ax+4，即6ax>−3，当a>0时，x>−12a，当a<0，时x<−12a．(2)因为f(x)+g(x)=|ax−1|+|ax+2|≥|(ax−1)−(ax+2)|=3，所以f(x)+g(x)的最小值为3，所以|2×10a−7|≤3，则−3≤2×10a−7≤3，解得lg2≤a≤lg5，故a的最大值与最小值之和为lg2+lg5=lg10=1．【解析】(1)双绝对值不等式，两边同时平方．(2)恒成立问题转化为最值，然后解绝对值不等式．本题考查绝对值不等式和恒成立问题，属于中档题．。
甘肃省武威2020届高三下学期第二次诊断考试数学(理)试卷
理科数学一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B = ( ).A.}{1x x <B.}{11x x -≤<C.{}2x x ≤D.{}21x x -≤< 2．纯虚数满足()i zz 421-=⋅+，则的共轭复数为（ ）A. 2i -B. 2iC. 4i -D. 4i3．各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，数列{}n a 的前项和为3,232n S S =+.则7a =（ ）A ．82B ．72C ．8D ．15214+4．在ABC ∆中，2CM MB =，0AN CN +=，则（ ）A. 2136MN AB AC =+ B. 2736MN AB AC =+ C. 1263MN AC AB -=D. 7263MN AC AB-=5．把不超过实数的最大整数记为[]x ，则函数[]()f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]1,4 上任取，则[]2x x ⎡⎤=⎣⎦的概率为（ ）A ．14B.13C.12D.236．函数11lg-=x y 的大致图象为( )7．设向量()()1,1,3,3-==b a ，若()()b a b aλλ-⊥+，则实数=λ（ ）A ．3B ．1C ．1±D ．3±8．已知实数，b 满足11122a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A.11a b> B. 22log log a b > C. a b < D. sin sin a b >9．已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 89-B.89C.79D. 79-10．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 作垂直于轴的弦MN ，交双曲线于M 、N 两点，若1MF N ∠=2π，则双曲线的离心率=（ ） A ．2B ．3C ．5 D ．21+11．世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ） A.125- B. 358+- C. 514+- D. 458+- 12．⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=，，2,21log 2,2)(2x x x x x x f a 的值域为，则)22(f 的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21, B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-45, C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,45D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--21,45 二、填空题（每小题5分，共20分）13．将函数()()0,0(),2f x Asin wx A w πϕϕ+>><=的图象向右平移12π个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到()2sin g x x =的图象，则A w ϕ++= ．14．已知数列{}n a ，若数列{}n n a 13-的前项和51651-⨯=n n T ，则5a 的值为 . 15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的商品最少有 种．16．在三棱锥A BCD -中，,,4,AB AC DB DC AB DB AB BD ==+=⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，841,,a a a 成等比数列，数列{}n a 的前10项和为45.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前项和为n T ，求n T .18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均，为棱1BB （不包括端点）上一动点，是AB 的中点． （Ⅰ）若1AD A C ⊥，求BD 的长；（Ⅱ）当在棱1BB （不包括端点）上运动时，求平面1ADC 与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围．19．（本小题满分12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（1）求的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C 的短轴长为23． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，，且满足2OM ON ⋅=（O 为坐标原点）若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln f x a x x =-+，a ∈R ． （1）当2a =时，求函数()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）当1a =-时，令函数()()ln 21g x f x x x m =+-++，若函数()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数的取值范围． [选修4-4：极坐标与参数方程]22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知β为锐角，直线():l R θβρ=∈与曲线C 的交点为（异于极点），l 与曲线M 的交点为，若OA OB ⋅=，求l 的直角坐标方程. [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()()120f x x a x a a=+-->. （1）当1a =时，解不等式()1f x ≤-；（2）若不等式()3f x ≤恒成立，求实数的取值范围.理科数学答案一、选择题（共12小题，每小题5分）二、填空题（共4小题，每小题5分）13、46π+ 14、16 15、16，29 16、三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由841,,a a a 成等比数列可得，8124a a a ⋅=，即()()d a a d a 731121+=+，d a a d d a a 1212121796+=++∴，0≠d ，d a 91=∴． -------------------------3分（1）由数列{}na 的前10项和为45，得454510110=+=d a S，即454590=+d d ，故3,311==a d ，--------------------------------5分 故数列{}na 的通项公式为38+=n a n ；----------------------------------6分（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++==+9181998911n n n n a a b n n n -------------------8分⎪⎭⎫⎝⎛+-+++-+-+-=9181121111111101101919n n T n ---------10分 999191919+=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n n n ---------------------------------12分 18.证明：（Ⅰ），由AC=BC ，AE=BE ，知CE ⊥AB ， 又平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，所以CE ⊥平面ABB 1A 1而AD ⊂平面ABB 1A 1，∴AD ⊥CE ，又AD ⊥A 1C 所以AD ⊥平面A 1CE ，所以AD ⊥A 1E ．易知此时D 为BB 1的中点，故BD=1． --------------------------------5分（Ⅱ）以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴， 过E 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设 BD=t ，则A （-1，0，0），D （1，0，t ），C 1（032）， AD =（2，0，t ），1AC =（13，2），设平面ADC 1的法向量=（x ，y ，z ）， 则1·20·320n AD x tz n AC x z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取x=1，得21,33n t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 平面ABC 的法向量=（0，0，1），--------------------------------9分 设平面ADC 1与平面ABC 的夹角为θ，∴cos θ=··m nm n =222414133tt t ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭2327t t -+()2316t -+由于t ∈（02）,故cos θ∈（217，22]． 即平面ADC 1与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围为（217，2]．----------12分19.（1）由题意知，100(0.00150.00250.00150.001)1a ++++=， 解得0.0035a =， 样本的平均数为：5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元．--------------------------------4分 （2）由题意，从[550,650)中抽取人，从[750,850)中抽取3人． 随机变量X 的所有可能取值有，，，3，()337310k kC C P X k C -==（0,1,2,3k =），所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望35632119()012312012012012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．----------------------------8分 （3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人； 得出以下22⨯列联表：222()100(10251550)505.556 5.024()()()()406025759n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．--------------------12分20.【解析】（1）由题意得：2222232 b a c a b c ===+⎧⎪⎨⎪⎩，···········2分解得23a b ⎧==⎪⎨⎪⎩，∴椭圆C 的标准方程是22143x y +=···········4分 （2）当直线l 的斜率不存在时，(3M ，(0,3N -3OM ON ⋅=-，不符合题意···········5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y由221 432x y y kx +==+⎧⎪⎨⎪⎩消整理得：()22341640k x kx +++=，()()221616340k k ∆=-+>，解得12k <-或12k >，···········6分1221634k x x k +=-+，122434x x k=+，···········7分 ∴1212OM ON x x y y ⋅=+=()()21212124k x x k x x ++++()222222413216124343434k k k k k k +-=-+=+++，···········9分 ∵2OM ON ⋅=，∴221612234k k -=+，···········10分解得2k =±，满足0∆>，···········11分分21.【答案】（1）切线方程为1y x =-；（2 【解析】（1）当2a =时，()()221ln f x x x =-+224ln 2x x x =-++．当1x =时，()10f =，所以点()()1,1P f 为()1,0P ，···········1分 ，因此()11k f '==．···········2分 因此所求切线方程为()0111y x y x -=⨯-⇒=-．···········4分 （2）当1a =-时，()22ln g x x x m =-+，分 ，所以当()0g x '=时，1x =，···········7分 时，()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<； 故()g x 在1x =处取得极大值也即最大值()11g m =-．···········8分，()2e 2e g m =+-，()g x 上的最小值为()e g ，······10分故()g x分 22.【详解】解：（1）由题意知曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=， 即224x y y +=， 所以24sin ρρθ=，即4sin ρθ=，故曲线C的极坐标方程为4sin ρθ=.-----------------------------5分（2）因为曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭， 所以ρ=将θβ=代入，得OB =因为曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，所以4sin OA β=所以OA OB ⋅===则tan 2β=，故l 的直角坐标方程为2y x =--------------------------------10分 23.【详解】（1）()()120f x x a x a a=+-->当1a =，()1f x ≤-可得|2||1|1x x +--≤-若2x -≤则2(1)1x x ----≤-，即31-≤-，显然成立若21x -<<，2(1)1,x x +--≤-可得22x ≤-，故1x ≤-若1x ≥，2(1)1,x x +--≤-可得31≤-，显然不成立.综上所述，(,1]x ∈-∞-（2）()3f x ≤111||2||||22x a x x a x a a a a +--≤+-+=+ 1112|2|2a x a x a a a a∴--≤+--≤+ 要保证不等式()3f x ≤恒成立，只需保证123a a +≤， 解得112a ≤≤ 综上所述，1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。
2020年甘肃省高考数学二诊试卷(理科) (含解析)
2020年甘肃省高考数学二诊试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|−2≤x≤2}，那么A∩B=()A. {−1,0，1}B. {−1,0，1，2}C. {−1,0，1，2，3}D. {x|−2≤x≤2}2.若复数z=1−i2−i，则在复平面内z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.函数f(x)=−lnx+4x−3的零点个数为()A. 3B. 2C. 1D. 04.如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是()A. 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B. 1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C. 2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D. 2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率5.命题“∃x∈(0,+∞)，x+1x≥3”的否定是()A. ∃x∈(0,+∞)，x+1x ≤3 B. ∃x∈(0,+∞)，x+1x<3C. ∀x∈(0,+∞)，x+1x <3 D. ∀x∈(0,+∞)，x+1x≤36.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2+a8=34，S4=38，则a1=()A. 4B. 5C. 6D. 77. 已知四棱锥P −ABCD 的底面为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB =2√2，PA =PD =AD =3，则四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为( )A. 20πB. 18πC. 16πD. 12π8. 兰州拉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为1000cm 3的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2×100cm 的面条，…，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是( )(单位：cm.每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计)A. 2√1031πB. 2√516πC. 2√1031 D. 2√58π9. 设p 是双曲线x 2a 2−y 29=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x −2y =0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|=5，则|PF 2|=( )A. 1或5B. 1或9C. 1D. 910. 已知偶函数f(x)在区间(−∞,0]单调递减，则满足f(2x −1)≤f(x)的x 取值范围是( )A. [1,+∞)B. (−∞,1]C. (−∞,13]∪[1,+∞)D. [13,1]11. 在区间[−1,1]上随机取一个数k ，使直线y =k(x +3)与圆x 2+y 2=1相交的概率为( )A. 12B. 13C. √24 D. √2312. 在△ABC 中，∠ABC =90°，BC =6，点P 在BC 上，则PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是( ) A. −36 B. −9 C. 9 D. 36二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的对数为________．14. 函数的值域是___________．15. 曲线y =x −cosx 在点(π2,π2)处的切线方程为______． 16. 已知A(3,0),B(2,1),C(1,4)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，∠ABE =60∘，G 为BE 的中点．(1)求证：AG ⊥平面ADF ；(2)若AB =√3BC ，求二面角D −CA −G 的余弦值．18. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asinB +bcosA =0．(1)求角A 的大小；(2)若a =2√5,b =2，求△ABC 的面积．19.已知正项数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足a n2+a n=2S n．(1)求数列{a n}的通项公式；}(2)若数列{b n}是公比为4的等比数列，且b1−a1，b2−a2，b3−a3也是等比数列，若数列{a n+λb n是单调递增数列，求实数λ的取值范围．20.已知函数f(x)=(2−a)(x−1)−2lnx，a∈R．(Ⅰ)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；)上恒成立，求实数a的取值范围．(Ⅱ)若不等式f(x)>0在区间(0,1221.已知动圆C与圆F:(x−2)2+y2=1外切，且与直线x=−1相切．(1)求圆心C的轨迹E；(2)点P(t,4)在轨迹E上，不过点P的直线l交轨迹E于A，B两点，记直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，且满足k1+k2=1，问：直线AB是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22，曲线C的极坐标方程为ρ−6cosθ=0．(1)写出直线l和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点A(1,0)，若直线l与曲线C交于P，Q两点，P，Q中点为M，求|AP||AQ||AM|的值．23.已知函数f(x)=|x+1|−|ax−1|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≤x的解集；(Ⅱ)当x≥12时，f(x)+x2>1，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用交集定义直接求解．解：∵集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|−2≤x≤2}，∴A∩B={−1,0，1，2}．故选：B．2.答案：D解析：解：∵z=1−i2−i =(1−i)(2+i)(2−i)(2+i)=35−15i，∴在复平面内z对应的点的坐标为(35,−15)，位于第四象限．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：本题主要考查了利用导数来判断函数零点的问题，并结合函数的单调性与根的存在性定理，即可得到结果，属于基础题．利用导数研究函数f(x)单调性、极值与最值，进而得到函数的零点个数．解：的定义域为(0,+∞)，又∵f′(x)=−1x+4，令f′(x)=−1x +4=0，x=14，当x<14,f′(x)<0；当x>14,f′(x)>0，∴f(x)在(0,14)单调递减，在(14,+∞)单调递增，∴当x=14时，函数f(x)取得极小值即最小值，而，当x>0且x→0时，f(x)→+∞；当x→+∞时，f(x)→+∞．可简要画出原函数图象看出：函数f(x)=−lnx+4x−3的图象与x轴有2个交点，故零点个数为2个．故选：B．4.答案：D解析：解：对于A，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例．所以西安所占比例为3287>13，故A正确；对于B，由曲线图可知.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确：对于C，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213−116=97例，故C正确：对于D，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了98−8888=544，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了88−7474=737，显然737>544，故D错误．故选：D．根据图表中包含的信息对照选项分析即可判断真假．本题主要考查学生的数据分析能力和图形阅读理解能力，属于基础题．。
甘肃省武威六中2020届 高三 数学 第二次诊断性考试试题 理
甘肃省武威六中高三数学第二次诊断性考试试题 理【会员独享】时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知复数i1i1z -+=，则复数z 的模为 （ ） A ． 2 B ．2 C ．1 D ． 02. 设集合A={15+=k x x ，k ∈N}，B={Q x x x ∈≤,6}，则A ∩B 等于 ( ) A ．{1，4} B ．{1，6} C ．{4，6} D ．{1，4，6}3.设m n == ( )A ．m n > B. m n = C.m n < D. ,m n 的大小不定4. 函数()f x 的定义域为R ，且满足：()f x 是偶函数，(1)f x -是奇函数，若(0.5)f =9，则(8.5)f 等于（ ）A ．-9B ．9C ．-3D ．05. 若关于x 的不等式2log (17)x x a +--≤恒成立，则a 的取值范围是 （ ） A ．3a ≥ B ．3a > C ．3a ≤ D ．3a <6. 用0，1，2，3，4排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是（ ）A ．36B ．32C ．24D ．207若曲线C2上的点到椭圆C1:112132222=+y x 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的方程为 ( )2222222222222222.1.1.1.143135341312x y x y x y x y A B C D -=-=-=-= 8. 已知平面α，β，直线l ，若α⊥β，l αβ=I ，则 ( ) A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α B.垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C. 垂直于平面β的平面一定平行于直线l D. 垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直9. 正方形的两个顶点是一双曲线的焦点，另两个顶点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为） A 1B C 1 D 10．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20,L 为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差，即2012a －5= （ ）A. 2018×2012B. 2018×2011C. 1009×2012D. 1009×2011 11. 已知集合{|,110,2n A x x n n ==≤≤∈N }，{(,)|5,}B x y y x x A ==-∈，在集合B 中随机取两个点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则P 、Q 两点在同一反比例函数图象上的概率是 （ ） A.91 B.454 C.457 D.52 12.定义在R 上的函数()y f x =是增函数，且函数(3)y f x =-的图像关于(3,0)成中心对称，若s,t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≥--，则14s ≤≤时，则3t s +的范围是 （ ） A [-2,10] B [4,16] C [-2,16] D [4,10] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 已知函数(tan )sin cos ,(,22f x x x x ππ=∈-则1()2f = 14．已知：1,0,OA OB OA OB ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r点C 在AOB ∠内,且30,AOC ∠=︒设(,),OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r 则mn= ．15.曲线x y C =:1，0:2=x C ，3C 的参数方程为⎩⎨⎧-==ty t x 1（t 为参数），那么1C ，2C ，3C 围成的图形的面积为 .16.函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域内任意1x ，2x 12()x x ≠，有121212()()(2f x f x x xf x x -+'=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：①()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1()=f x x；④()=x f x e ；⑤()=ln f x x ．其中为恒均变函数的序号是 ．（写出所有．．满足条件的函数的序号） 三、解答题(本大题共6小题，共70分。
2020年甘肃省中考数学二诊试卷 (解析版)
2020年甘肃省中考数学二诊试卷一、选择题1．﹣2019的相反数是（）A．B．2019C．﹣2019D．﹣2．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7B．0.7×10﹣8C．7×10﹣8D．7×10﹣93．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）4．下列各式正确的是（）A．2a2+3a2＝5a4B．a2•a＝a3C．（a2）3＝a5D．＝a5．如图所示，圆锥的主视图是（）A．B．C．D．6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m≤1C．m＞1D．m≥17．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件．设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4（1+x）＝4.5B．1.4（1+2x）＝4.5C．1.4（1+x）2＝4.5D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2＝4.58．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（）A．B．C．2D．9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＜0；②a+b＝0；③4ac﹣b2＝4a；④a+b+c＜0．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．410．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x（0.2≤x≤0.8），EC＝y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．因式分解：x2y﹣4y＝．12．已知一个三角形的两边长是3和4，第三边的长是方程x2﹣6x+5＝0的一个根，则该三角形的周长是．13．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为．14．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是．15．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．16．如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为．（答案不唯一，只需填一个）17．在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是．18．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．三、解答题（共10小题，共66分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（）﹣1﹣2cos30°++（2﹣π）020．化简求值：（﹣1）÷，其中x＝2．21．如图，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AECF是菱形．22．某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．23．为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．24．如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）．作如下操作：①以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB1O1；②以点O为位似中心，将△ABO放大，得到△A2B2O，使相似比为1：2，且点A2在第三象限．（1）在图中画出△AB1O1和△A2B2O；（2）请直接写出点A2的坐标：．25．如图，在某建筑物AC上，竖直挂着“共建文明犍为，共享犍为文明”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行10米到达点E 处，看到条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长（小明的身高不计，结果精确到0.1米）．≈1.732．26．如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC＝∠BED．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知AD＝3，CD＝2，求BC的长．27．已知反比例函数的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围．28．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y 轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．﹣2019的相反数是（）A．B．2019C．﹣2019D．﹣【分析】根据相反数的概念求解可得．解：﹣2019的相反数为2019，故选：B．2．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7B．0.7×10﹣8C．7×10﹣8D．7×10﹣9【分析】由科学记数法知0.000000007＝7×10﹣9；解：0.000000007＝7×10﹣9；故选：D．3．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．故选：A．4．下列各式正确的是（）A．2a2+3a2＝5a4B．a2•a＝a3C．（a2）3＝a5D．＝a【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及二次根式的性质解答即可．解：A、2a2+3a2＝5a2，故选项A不合题意；B、a2•a＝a3，故选项B符合题意；C、（a2）3＝a6，故选项C不合题意；D、＝|a|，故选项D不合题意．故选：B．5．如图所示，圆锥的主视图是（）A．B．C．D．【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A．6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m≤1C．m＞1D．m≥1【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，解得：m≤1．故选：B．7．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件．设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4（1+x）＝4.5B．1.4（1+2x）＝4.5C．1.4（1+x）2＝4.5D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2＝4.5【分析】根据题意可得等量关系：2013年的快递业务量×（1+增长率）2＝2015年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．解：设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，由题意得：1.4（1+x）2＝4.5，故选：C．8．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（）A．B．C．2D．【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．解：∵∠E＝∠ABD，∴tan∠AED＝tan∠ABD＝＝．故选：D．9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＜0；②a+b＝0；③4ac﹣b2＝4a；④a+b+c＜0．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】①根据抛物线开口向下可得出a＜0，由抛物线对称轴为x＝可得出b＝﹣a＞0，结合抛物线图象可知c＞0，进而可得出abc＜0，①正确；②由b＝﹣a可得出a+b ＝0，②正确；③根据抛物线顶点坐标为（﹣，），由此可得出＝1，去分母后即可得出4ac﹣b2＝4a，③正确；④根据抛物线的对称性可得出x＝1与x ＝0时y值相等，由此可得出a+b+c＝c＞0，④错误．综上即可得出结论．解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①正确；②∵b＝﹣a，∴a+b＝0，②正确；③∵抛物线的顶点坐标为（，1），∴＝1，∴4ac﹣b2＝4a，③正确；④∵抛物线的对称轴为x＝，∴x＝1与x＝0时y值相等，∵当x＝0时，y＝c＞0，∴当x＝1时，y＝a+b+c＞0，④错误．综上所述：正确的结论为①②③．故选：C．10．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x（0.2≤x≤0.8），EC＝y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】通过相似三角形△EFB∽△EDC的对应边成比例列出比例式＝，从而得到y与x之间函数关系式，从而推知该函数图象．解：根据题意知，BF＝1﹣x，BE＝y﹣1，且△EFB∽△EDC，则＝，即＝，所以y＝（0.2≤x≤0.8），该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分．A、D的图象都是直线的一部分，B的图象是抛物线的一部分，C的图象是双曲线的一部分．故选：C．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．因式分解：x2y﹣4y＝y（x﹣2）（x+2）．【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x﹣2）（x+2）．故答案为：y（x﹣2）（x+2）．12．已知一个三角形的两边长是3和4，第三边的长是方程x2﹣6x+5＝0的一个根，则该三角形的周长是12．【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．解：解方程x2﹣6x+5＝0得：x1＝1，x2＝5，∵1＜第三边的边长＜7，∴第三边的边长为5．∴这个三角形的周长是3+4+5＝12．故答案为：12．13．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为2．【分析】根据扇形的面积公式S＝lr，其中l＝r，求解即可．解：∵S＝lr，∴S＝×2×2＝2，故答案为2．14．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是2．【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．15．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为5米．【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知＝，即＝，解得AM＝5m．则小明的影长为5米．16．如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为AC＝CD．（答案不唯一，只需填一个）【分析】可以添加条件AC＝CD，再由条件∠BCE＝∠ACD，可得∠ACB＝∠DCE，再加上条件CB＝EC，可根据SAS定理证明△ABC≌△DEC．解：添加条件：AC＝CD，∵∠BCE＝∠ACD，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案为：AC＝CD（答案不唯一）．17．在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是4：25或9：25．【分析】分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．解：①当AE：ED＝2：3时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，∴△AEF∽△CBF，∴S△AEF：S△CBF＝（）2＝4：25；②当AE：ED＝3：2时，同理可得，S△AEF：S△CBF＝（）2＝9：25，故答案为：4：25或9：25．18．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或三、解答题（共10小题，共66分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（）﹣1﹣2cos30°++（2﹣π）0【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式＝2﹣2×+3+1＝2﹣+3+1＝3+2．20．化简求值：（﹣1）÷，其中x＝2．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．解：原式＝[﹣]•x（x+1）＝•x（x+1）＝，当x＝2时，原式＝＝2．21．如图，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AECF是菱形．【分析】首先证明四边形AECF是平行四边形，再由已知条件AC⊥EF即可证明四边形AECF是菱形．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AE∥FC．∴∠EAC＝∠FCA．∵EF是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，在△AOE与△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴EO＝FO，∴四边形AECF为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形．22．某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为40，图①中m的值为25；（Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．【分析】（Ⅰ）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生人数，进而求得m的值；（Ⅱ）根据统计图中的数据可以求得这组数据的平均数和众数、中位数；（Ⅲ）根据统计图中的数据可以求得该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．解：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为：4÷10%＝40，m%＝＝25%，故答案为：40，25；（Ⅱ）平均数是：＝1.5h，众数是1.5h，中位数是1.5h；（Ⅲ）800×＝720（人），答：该校每天在校体育活动时间大于1h的学生有720人．23．为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．解：（1）因为有A，B，C3种等可能结果，所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；故答案为．（2）树状图如图所示：共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率＝＝．24．如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）．作如下操作：①以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB1O1；②以点O为位似中心，将△ABO放大，得到△A2B2O，使相似比为1：2，且点A2在第三象限．（1）在图中画出△AB1O1和△A2B2O；（2）请直接写出点A2的坐标：（﹣6，﹣4）．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点O和B的对应点O1、B1即可得到△AB1O1；把A、B的横纵坐标都乘以﹣2即可得到A2和B2的坐标，然后描点即可得到△A2B2O；（2）由（1）可得点A2的坐标．解：（1）如图，△AB1O1和△A2B2O为所作；（2）点A2的坐标为（﹣6，﹣4）．故答案为（﹣6，﹣4）．25．如图，在某建筑物AC上，竖直挂着“共建文明犍为，共享犍为文明”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行10米到达点E 处，看到条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长（小明的身高不计，结果精确到0.1米）．≈1.732．【分析】设BC的长为x，在Rt△BCF和Rt△BcE中，分别表示出FC和EC的长度，根据EF＝10米，列方程求出x的值．解：设BC的长为x，在Rt△BCF中，∵∠BEF＝30°，∴＝tan30°＝，则CF＝x，在Rt△BCE中，∵∠BEC＝60°，∴＝tan60°＝，则CE＝x，∵EF＝10米，∴x﹣x＝10，解得：x＝5≈8.7（米）．答：宣传条幅BC的长约8.7米．26．如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC＝∠BED．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知AD＝3，CD＝2，求BC的长．【分析】（1）AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，从而得出∠BAD＝∠DBC，即∠ABC ＝90°，即可证明BC是⊙O的切线；（2）可证明△ABC∽△BDC，则＝，即可得出BC＝．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的切直径，∴∠ADB＝90°，又∵∠BAD＝∠BED，∠BED＝∠DBC，∴∠BAD＝∠DBC，∴∠BAD+∠ABD＝∠DBC+∠ABD＝90°，∴∠ABC＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠BAD＝∠DBC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴＝，即BC2＝AC•CD＝（AD+CD）•CD＝10，∴BC＝．27．已知反比例函数的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围．【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）利用图象即可得出所求不等式的解集，即为x的范围．解：（1）∵函数y1＝的图象过点A（1，4），即4＝，∴k＝4，∴反比例函数的关系式为y1＝；又∵点B（m，﹣2）在y1＝上，∴m＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），又∵一次函数y2＝ax+b过A、B两点，∴依题意，得，解得，∴一次函数的关系式为y2＝2x+2；（2）根据图象y1＞y2成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．28．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y 轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E），即可求解．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PF＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．。
2020年甘肃省高考二诊理科数学答案
1 2
.
故有当 n N* 时， pn
1
.
2
因此，第 n ( n N*, n 2 ),代开黄花的概率更大.
…12 分
20.(本题满分 12 分)
解：（1）由 f (x) ex[x2 (2a 5)x 8a 5] ，
得: f (x) ex[x2 (2a 3)x 6a] ex (x 2a)(x 3) f (0) 6a 6 ，所以 a 1 .
以 x 2 为准线的抛物线.故其轨迹 G 的方程为 y2 8x .
…………………4 分
（2）依题意直线 l1 ， l2 斜率都存在且均不为 0 ，故设直线 l1 的斜率为 k ，则直线 l2 的
斜率为 1 .直线 AB 的方程为 y 2 k(x 3) ，即为 y k(x 3) 2 . k
1 ，故此时不成立；
③当 2a 2, 即 a 1 时， f (x) 在 (0,2) 上单调递增，依题意则有 f (0) 2e2 ,得
a 5 2e2 . 8
综上, a 的取值范围是 (, 5 2e2 ] . 8
…………………12 分
21.(本题满分 12 分)
解：（1）依题意 EF 等于 E 到直线 x 2 0 的距离，故所求轨迹是以 F(2,0) 为焦点，
…………………………12 分
解：（1）第二代开红花包含两个互斥事件：即第一代开红花后第二代也开红花；第一
代开黄花而第二代开红花，故由
p1
1 2
，得
p2p1ຫໍສະໝຸດ 1 31p1
3 5
7 15
.
………4 分
（2）①由题意可知，第 n 代开红花的概率与第 n 1代的开花的情况相关，故有
pn
pn1
2020年甘肃省高考数学二诊试卷1 (含答案解析)
2020年甘肃省高考数学二诊试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|1⩽x⩽5}，B={x|3⩽x⩽6}，则A∩B=()A. {x|1⩽x⩽3}B. {x|3⩽x⩽5}C. {x|5⩽x⩽6}D. {x|1⩽x⩽6}2.(1+i)(1−i)=()A. 0B. 2C. −2D. 13.设向量a⃗=(5,−7)，b⃗ =(−6,−4)，则a⃗⋅b⃗ =()A. −58B. −2C. 2D. 224.已知函数g(x)=(x2−4x)2，关于x的方程g(x)=a|x−2|−2a有六个零点，则实数a的取值范围是()A. (−8,0)⋃(0,+∞)⋃{−25627} B. (−25627,−8)C. (−25627,0) D. (−8,+∞)5.命题“对∀∈R，x2−3x+5≤0”的否定是()A. ∃x0∈R，x02−3x0+5≤0B. ∃x0∈R，x02−3x0+5>0C. ∀x∈R，x2−3x+5≤0D. ∀x0∈R，x02−3x0+5>06.如图是民航部门统计的2020年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是()A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门7.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1+a4=0，S5=5，则a1=()A. −3B. 2C. 3D. 58.已知四面体A−BCD中，AC=AD，BC=BD，M，E，F分别是CD，AC，AD的中点，N是AB上任意一点，则EF与MN所成的角大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9.若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是面积为4√3的等边三角形，则该圆锥的体积为()A. 24πB. 8√33π C. 8√3π D. 4√3π10.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1(−3,0)，F2(3,0)，点P是双曲线上一点，且|PF1|−|PF2|=2，则该双曲线的渐近线方程为()A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±2√2xD. y=±2√3x11.函数f(x+1)是偶函数，且x≤1时，f(x)=2x，若f(a)<1，则a的取值范围是()．A. (−∞,0)∪(2,+∞)B. (−∞,0)∪(1,2)C. (−∞,0)D. (−∞,0)∪(3,+∞)12.一组数据12，13，x，17，18，19的众数是13，则这组数据的中位数是()A. 13B. 14C. 15D. 17二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的值域是___________．14.已知数列{a n}满足，a1=5，a n a n+1=2n，则a7a3等于______ ．15.已知曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x−y+1=0，则实数a的值为______．16.如图，若∠OFB=π6，OF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是AB、B1C1的中点．(1)求证：BD⊥平面ACC1A1；(2)求证：EF//平面ACC1A1．18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若△ABC的外接圆的半径R=√3，且cosCcosB =2a−cb，分别求出B和b的大小．19.某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据．y关于x的线性回归方程y=bx+a；(2)试根据(1)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．相关公式：，b=∑(ni=1x i−x−)(y i−y−)∑(ni=1x i−x−)2=∑x ini=1y i−nx−y−∑x i2ni=1−nx−2,a=y−−bx−20.已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C于点A、B和点C、D，线段AB、CD的中点分别为M、N．(Ⅰ)求线段AB的中点M的轨迹方程；(Ⅱ)过M、N的直线l是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．21.设函数f(x)=2xlnx−a，a∈R．(Ⅰ)求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若不等式e x f(x)−x2−1≥0，对任意实数x≥1恒成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，点(12,√3)在曲线C：为参数)上，对应参数为φ=π3.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的极坐标为(2,π6).(1)直接写出点P的直角坐标和曲线C的极坐标方程；(2)设A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB，求|OA|2+|OB|2的最小值．23.已知函数f(x)=|x−2|−|x+1|．(Ⅰ)解不等式f(x)>−x；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查集合交集及其运算，属于基础题．直接根据交集的定义进行求解即可．【解答】解：集合A={x|1⩽x⩽5}，B={x|3⩽x⩽6}，所以A∩B={x|3≤x≤5}，故选B．2.答案：B解析：解：(1+i)(1−i)=1−i2=2．故选：B．直接利用平方差公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查向量数量积，考查学生计算能力，属于基础题．利用向量坐标运算a⃗⋅b⃗ =x1x2+y1y2，计算即可．【解答】解：因为a⃗=(5,−7)，b⃗ =(−6,−4)，所以a⃗⋅b⃗ =5×(−6)+(−7)×(−4)=−30+28=−2；故选B．4.答案：B解析：【分析】本题考查了函数零点与方程的应用，首先构造新函数f(x)并确定其图象关于x=2对称，根据已知只需确定x >2时函数有三个零点即可得到a 的取值范围． 【解答】解：令f (x )=(x 2−4x )2−a |x −2|+2a =x 2(x −4)2−a |x −2|+2a ，则 f (4−x )=x 2(4−x )2−a |2−x |+2a =f (x )， ∴f(x)的图象关于x =2对称，当x >2时，需要f (x )=x 2(x −4)2−a (x −2)+2a =x 2(x −4)2−a (x −4)=0有三个不同的根， 即x 2(x −4)−a =0(x ≠4)有两个大于2的根．令y =x 2(x −4)，则y′=2x (x −4)+x 2=3x 2−8x (x ≠4)， 当2<x <83时，y′<0，当x >83时，y′>0，∴y =x 2(x −4)在(2,83)上单调递减，在(83,4)和(4,+∞)上单调递增， 当x =2时，y =−8，当x =83时，y =−25627，又当x =4时，y =0，∴当函数f(x)有六个零点时−25627<a <−8，故选B ．5.答案：B解析： 【分析】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对∀∈R ，x 2−3x +5≤0”的否定是：∃x 0∈R ，x 02−3x 0+5>0．故选B ．6.答案：D解析： 【分析】本题考查了条形统计图和折线统计图的应用，属于简单题．根据条形图和折线图，得到价格及相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【解答】解：由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A 正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B正确；由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C正确；由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D错误．故选D．7.答案：A解析：【分析】根据已知条件用首项和公差表示已知条件，然后求得首项和公差即可求解，属于基础题．【解答】解：∵S5=5，∴a1+a5=2，∵a1+a4=0，∴d=2，代入a1+a4=0中得2a1+3d=0，解得a1=−3，故选A．8.答案：D解析：【分析】本题考查了异面直线所成角.连接AM，BM，CD//EF，EF⊥MN，异面直线EF与MN所成的角为90°．【解答】解：如图，连接AM，BM，∵AC=AD，BC=BD，M为CD的中点，。
2020年甘肃省陇南市高考数学二诊试卷(理科)
2020年甘肃省陇南市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合{|3}M x x =<，2{|4}N x x =>，则(M N =I ) A ．(2,3)- B ．(,2)-∞-C ．(2,3)D ．(-∞，2)(2-⋃，3)2．（5分）设2(2)z i i =+-，则(z = ) A ．33i +B ．33i -C ．53i +D ．53i -3．（5分）已知P 为椭圆22132x y +=短轴的一个端点，1F ，2F 是该椭圆的两个焦点，则△12PF F 的面积为( )A ．2B ．4CD ．4．（5分）设等比数列{}n a 的前6项和为6，且1a a =，22a a =，则(a = ) A ．221B ．17C ．421D ．5215．（5分）2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据：根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）( ) A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天6．（5分）若函数2()log ()f x x x a =+-的定义域为(1,)+∞，则(3)(f a = ) A ．2B ．3C ．4D ．57．（5分）执行如图所示的程序框图，若输人的5t =，则输出的(K = )A ．1B ．2C ．3D ．48．（5分）设向量2CA OB =u u u r u u u r ，||25OA =u u u r 1OA OB =u u u r u u u rg ，则(OA OC =u u u r u u u r g) A ．14 B ．16 C ．18 D ．209．（5分）若函数()2cos(2)13f x a x π=--在[0，]2π上恰有2个零点，则a 的取值范围为()A ．[123B ．(123C ．1[23D ．1(23]10．（5分）在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，2AB BD ==，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60︒，则(BC = ) A 2B ．2C ．22D ．411．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，直线x a =与C 的交点为A ，(B B 在A 的下方），直线x a =与C 的一条渐近线的交点D 在第一象限，若||4||3AB BD =，则C 的离心率为() A ．32B ．2C 117+D 712．（5分）已知函数32()4321f x x x =-+，则( ) A ．(sin 2)(tan1)(tan 4.5)f f f << B ．(tan 4.5)(tan1)(sin 2)f f f << C ．(tan1)(sin 2)(tan 4.5)f f f << D ．(tan 4.5)(sin 2)(tan1)f f f <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．（5分）5(3)yxx-的展开式中，2xy 的系数为 ．14．（5分）设x ，y 满足约束条件101030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪-⎩……„，则当2z x y =+取得最大值时，y = ．15．（5分）若两个正方体的外接球的表面积之和为12π，则这两个正方体的表面积之和为 ．16．（5分）定义()p n 为正整数n 的各位数字中不同数字的个数，例如(555)1p =，(93)2p =，(1714)3p =．在等差数列{}n a 中，29a =，1025a =，则n a = ，数列{()}n p a 的前100项和为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥平面ABCD ，E 为AB 的中点． （1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ．（2）若1AD =，2AB PD ===，求二面角B EC P --的余弦值．18．（12分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知222sin 2sin sin sin cos21C A A B B -++=．（1）求cos C ；（2）若2a =，3c =，求ABC ∆的面积．19．（12分）甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的2倍，丙的命中率等于甲与乙的命中率之和．若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率为0.18．（1）求甲、乙、丙三人投篮的命中率；（2）现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为X ，。
2020年甘肃省中考数学二诊试卷及答案解析
2020年甘肃省中考数学二诊试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2019的相反数是（）A．B．2019C．﹣2019D．﹣2．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7B．0.7×10﹣8C．7×10﹣8D．7×10﹣93．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）4．（3分）下列各式正确的是（）A．2a2+3a2＝5a4B．a2•a＝a3C．（a2）3＝a5D．＝a5．（3分）如图所示，圆锥的主视图是（）A．B．C．D．6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m≤1C．m＞1D．m≥17．（3分）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件．设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4（1+x）＝4.5B．1.4（1+2x）＝4.5C．1.4（1+x）2＝4.5D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2＝4.58．（3分）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（）A．B．C．2D．9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＜0；②a+b＝0；③4ac﹣b2＝4a；④a+b+c＜0．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．410．（3分）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x（0.2≤x≤0.8），EC＝y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）因式分解：x2y﹣4y＝．12．（3分）已知一个三角形的两边长是3和4，第三边的长是方程x2﹣6x+5＝0的一个根，则该三角形的周长是．13．（3分）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为．14．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O 的半径是．15．（3分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．16．（3分）如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为．（答案不唯一，只需填一个）17．（3分）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是．18．（3分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．三、解答题（共10小题，共66分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（5分）计算：（）﹣1﹣2cos30°++（2﹣π）020．（6分）化简求值：（﹣1）÷，其中x＝2．21．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AECF是菱形．22．（6分）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．23．（5分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．24．（7分）如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）．作如下操作：①以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB1O1；②以点O为位似中心，将△ABO放大，得到△A2B2O，使相似比为1：2，且点A2在第三象限．（1）在图中画出△AB1O1和△A2B2O；（2）请直接写出点A2的坐标：．25．（5分）如图，在某建筑物AC上，竖直挂着“共建文明犍为，共享犍为文明”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行10米到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长（小明的身高不计，结果精确到0.1米）．≈1.732．26．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC＝∠BED．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知AD＝3，CD＝2，求BC的长．27．（8分）已知反比例函数的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围．28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．2020年甘肃省中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2019的相反数是（）A．B．2019C．﹣2019D．﹣【解答】解：﹣2019的相反数为2019，故选：B．2．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7B．0.7×10﹣8C．7×10﹣8D．7×10﹣9【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9；故选：D．3．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【解答】解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．故选：A．4．（3分）下列各式正确的是（）A．2a2+3a2＝5a4B．a2•a＝a3C．（a2）3＝a5D．＝a【解答】解：A、2a2+3a2＝5a2，故选项A不合题意；B、a2•a＝a3，故选项B符合题意；C、（a2）3＝a6，故选项C不合题意；D、＝|a|，故选项D不合题意．故选：B．5．（3分）如图所示，圆锥的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A．6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m≤1C．m＞1D．m≥1【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，解得：m≤1．故选：B．7．（3分）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件．设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4（1+x）＝4.5B．1.4（1+2x）＝4.5C．1.4（1+x）2＝4.5D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2＝4.5【解答】解：设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，由题意得：1.4（1+x）2＝4.5，故选：C．8．（3分）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（）A．B．C．2D．【解答】解：∵∠E＝∠ABD，∴tan∠AED＝tan∠ABD＝＝．故选：D．9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＜0；②a+b＝0；③4ac﹣b2＝4a；④a+b+c＜0．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①正确；②∵b＝﹣a，∴a+b＝0，②正确；③∵抛物线的顶点坐标为（，1），∴＝1，∴4ac﹣b2＝4a，③正确；④∵抛物线的对称轴为x＝，∴x＝1与x＝0时y值相等，∵当x＝0时，y＝c＞0，∴当x＝1时，y＝a+b+c＞0，④错误．综上所述：正确的结论为①②③．故选：C．10．（3分）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x（0.2≤x≤0.8），EC＝y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意知，BF＝1﹣x，BE＝y﹣1，且△EFB∽△EDC，则＝，即＝，所以y＝（0.2≤x≤0.8），该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分．A、D的图象都是直线的一部分，B的图象是抛物线的一部分，C的图象是双曲线的一部分．故选：C．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）因式分解：x2y﹣4y＝y（x﹣2）（x+2）．【解答】解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x﹣2）（x+2）．故答案为：y（x﹣2）（x+2）．12．（3分）已知一个三角形的两边长是3和4，第三边的长是方程x2﹣6x+5＝0的一个根，则该三角形的周长是12．【解答】解：解方程x2﹣6x+5＝0得：x1＝1，x2＝5，∵1＜第三边的边长＜7，∴第三边的边长为5．∴这个三角形的周长是3+4+5＝12．故答案为：12．13．（3分）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为2．【解答】解：∵S＝lr，∴S＝×2×2＝2，故答案为2．14．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O 的半径是2．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．15．（3分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为5米．【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知＝，即＝，解得AM＝5m．则小明的影长为5米．16．（3分）如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为AC＝CD．（答案不唯一，只需填一个）【解答】解：添加条件：AC＝CD，∵∠BCE＝∠ACD，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案为：AC＝CD（答案不唯一）．17．（3分）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是4：25或9：25．【解答】解：①当AE：ED＝2：3时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，∴△AEF∽△CBF，∴S△AEF：S△CBF＝（）2＝4：25；②当AE：ED＝3：2时，同理可得，S△AEF：S△CBF＝（）2＝9：25，故答案为：4：25或9：25．18．（3分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或三、解答题（共10小题，共66分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（5分）计算：（）﹣1﹣2cos30°++（2﹣π）0【解答】解：原式＝2﹣2×+3+1＝2﹣+3+1＝3+2．20．（6分）化简求值：（﹣1）÷，其中x＝2．【解答】解：原式＝[﹣]•x（x+1）＝•x（x+1）＝，当x＝2时，原式＝＝2．21．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AECF是菱形．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AE∥FC．∴∠EAC＝∠FCA．∵EF是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，在△AOE与△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴EO＝FO，∴四边形AECF为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形．22．（6分）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为40，图①中m的值为25；（Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为：4÷10%＝40，m%＝＝25%，故答案为：40，25；（Ⅱ）平均数是：＝1.5h，众数是1.5h，中位数是1.5h；（Ⅲ）800×＝720（人），答：该校每天在校体育活动时间大于1h的学生有720人．23．（5分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．【解答】解：（1）因为有A，B，C3种等可能结果，所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；故答案为．（2）树状图如图所示：共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率＝＝．24．（7分）如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）．作如下操作：①以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB1O1；②以点O为位似中心，将△ABO放大，得到△A2B2O，使相似比为1：2，且点A2在第三象限．（1）在图中画出△AB1O1和△A2B2O；（2）请直接写出点A2的坐标：（﹣6，﹣4）．【解答】解：（1）如图，△AB1O1和△A2B2O为所作；（2）点A2的坐标为（﹣6，﹣4）．故答案为（﹣6，﹣4）．25．（5分）如图，在某建筑物AC上，竖直挂着“共建文明犍为，共享犍为文明”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行10米到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长（小明的身高不计，结果精确到0.1米）．≈1.732．【解答】解：设BC的长为x，在Rt△BCF中，∵∠BEF＝30°，∴＝tan30°＝，则CF＝x，在Rt△BCE中，∵∠BEC＝60°，∴＝tan60°＝，则CE＝x，∵EF＝10米，∴x﹣x＝10，解得：x＝5≈8.7（米）．答：宣传条幅BC的长约8.7米．26．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC＝∠BED．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知AD＝3，CD＝2，求BC的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的切直径，∴∠ADB＝90°，又∵∠BAD＝∠BED，∠BED＝∠DBC，∴∠BAD＝∠DBC，∴∠BAD+∠ABD＝∠DBC+∠ABD＝90°，∴∠ABC＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠BAD＝∠DBC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴＝，即BC2＝AC•CD＝（AD+CD）•CD＝10，∴BC＝．27．（8分）已知反比例函数的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵函数y1＝的图象过点A（1，4），即4＝，∴k＝4，∴反比例函数的关系式为y1＝；又∵点B（m，﹣2）在y1＝上，∴m＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），又∵一次函数y2＝ax+b过A、B两点，∴依题意，得，解得，∴一次函数的关系式为y2＝2x+2；（2）根据图象y1＞y2成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PF＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD ＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x ＝，其最大值为，此时点E （，﹣）．第21页（共21页）。
2020届甘肃省高三第二次高考诊断考试数学(理科)试题(含解析)
16.“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，它的离心率为 ，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，则 ______．
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（1）求 ；
（2）①证明：数列 为等比数列；
②第 代开哪种颜色花 概率更大？
20.已知函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求实数 的值；
（2）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
21.已知圆 与圆 相外切，且与直线 相切．
（1）记圆心 的轨迹为曲线 ，求 的方程；
（2）过点 的两条直线 与曲线 分别相交于点 和 ，线段 和 的中点分别为 .如果直线 与 的斜率之积等于1，求证：直线 经过定点．
解得 或 ，
所以使 成立的 的取值范围为 ，
故选：B.
【点睛】本题考查了函数单调性与对称性的综合应用，由单调性解不等式，正确画出函数图像示意图是解决此类问题常用方法，属于中档题.
11.某人以 的速度向北偏东 方向徒步前进，某一时刻收到短信提示，在其正东方 处有一信号干扰源，干扰区域半径为 ，则该人在接下来4小时中，随机拿出手机拨打电话，不被干扰的概率为（ ）
又 为底面 外接圆的直径,故此四棱锥的外接球球心在平面PAC中，即三角形PAC外接圆圆心.
设球半径为 ,则 ,故表面积为 .
故选：C
【点睛】本题主要考查了锥体外接球的计算,需要根据题意判断外接球球心的位置,再用正弦定理求解半径即可.属于中档题.
甘肃省2020届高三年级第二次诊断考试数学(理科)试题(含答案)
2020年甘肃省第二次高考诊断考试数学试卷（理）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}21≤≤-=x x A ，{}1,1-=B ，则B A =A ．{}11≤≤-x xB ．{}1,0C ．{}1,0,1-D ．{}1,1-2．复数ii z -=22在复平面内表示的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．定义在R 上的奇函数)(x f ，当0>x 时，x x f lg )(=，则函数)(x f 的零点个数为A ．4B ．3C ．2D ．14．2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga ）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是A ．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B ．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C ．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D ．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标5．命题“0cos 2020),0[2>-+∞∈∀x x x ，”的否定为A ．0cos 2020),0[0200<-+∞∉∀x x x ，B ．0cos 2020),0[0200≤-+∞∈∀x x x ，C ．0cos 2020),0[0200≤-+∞∉∃x x x ，D ．0cos 2020),0[0200≤-+∞∈∃x x x ，6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2410442==+S a a ，，则1a 的值为A ．9B ．1C ．9-D ．2-7．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，PAC BC AB ∆==,1,3为等边三角形，若四棱锥ABCD P -的体积为1，则此四棱锥的外接球表面积为A ．34πB ．38πC ．316π D ．π3 8．兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为1000cm 3的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2×100cm 的面条，……，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（单位：cm ．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）A ．π31102B ．π1652C ．31102D ． π852 9．已知21F 、F 分别是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，)0,2(1-F ，若双曲线的左支上有一点P ，满足221-=-PF PF ，则该双曲线的渐近线方程为A ．x y 3±=B ．x y 33±=C ．x y 3±=D ．x y 31±= 10．定义在R 上的函数)(x f y =在]1,(-∞上单调递减，且)1(+x f 是偶函数，则使)3()12(f x f >-成立的x 的取值范围是A ．),1(+∞B ．),2()0,(+∞-∞C ．)1,0(D ．)0,(-∞11．某人以1km/h 的速度向北偏东60°方向徒步前进，某一时刻收到短信提示，在其正东方3km 处有一信号干扰源，干扰区域半径为3km ，则该人在接下来4小时中，随机拿出手机拨打电话，不被干扰的概率为A ．23B ．43C ．232-D ．434- 12．如图，在ABC ∆中，M 是AC 的中点，N 在边BC 上，且BN BC 3=，BM 与AN 交于点P ，若PN BP BC AB ⋅=⋅24，则BC AB的值是A ．33B ．3C ．31 D ．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年甘肃省高考数学二诊试卷(二)(有答案解析)
2020年甘肃省高考数学二诊试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=（1+i）2，则|z|=（）A. 0B. 1C. 2D. 32.集合M={x|x＞0，x∈R}，N={x||x-1|⩽2，x∈Z}，则M∩N=（）A. {x|0＜x⩽2，x∈R}B. {x|0＜x⩽2，x∈Z}C. {-1，-2，1，2}D. {1，2，3}3.已知向量，向量，若，则m=（）A. B. C. D.4.在等差数列{a n}中，已知a1与a11的等差中项是15，a1+a2+a3=9，则a9=（）A. 24B. 18C. 12D. 65.南北朝数学家祖暅在推导球的体积公式时构造了一个中间空心的几何体，经后继学者改进后这个中间空心的几何体其三视图如图所示．现用一与下底面平行且与下底面距离为h（0＜h＜2）的平面去截该几何体，则截面面积是（）A. 4πB. πh2C. π（2-h2）D. π（4-h2）6.若实数x，y满足约束条件则z=x+y的最大值与最小值之和为（）A. 4B. 16C. 20D. 247.已知，则=（）A. B. C. D.8.根据如下样本数据：x12345y a-1-10.5b+1 2.5得到的回归方程为．样本点的中心为（3，0.1），当x增加1个单位，则y近似（）A. 增加0.8个单位B. 减少0.8个单位C. 增加2.3个单位D. 减少2.3个单位9.如图是函数y=x与函数在第一象限的图象，则阴影部分的面积是（）A. B. C. D.10.（1-2x）3（2+x）4展开式中x2的系数为（）A. 0B. 24C. 192D. 40811.若双曲线的渐近线与圆（x-3）2+y2=1无交点，则C的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.12.已知函数，x∈[-2，2]，奇函数y=g（x）的图象如图所示，若函数y=f（g（x））与y=g（f（x））的零点个数分别为m，n，则m+n的值是（）A. 5B. 6C. 9D. 12二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数若af（a）＞0，则实数a的取值范围是______．14.数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，a n＞0，且，则S2019=______．15.直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，，则异面直线AC′与B′C所成角的余弦值为______．16.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x+4y+25=0上存在点M，使得∠AMB=90°，则实数p的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a（1+cos B）=b cos A．（Ⅰ）求角A范围；（Ⅱ）求函数的值域．18.某精准扶贫帮扶单位，为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助精准扶贫户利用互联网电商渠道销售当地特产苹果．苹果单果直径不同单价不同，为了更好的销售，现从该精准扶贫户种植的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间[50，95]内（单位：mm），统计的茎叶图如图所示：（Ⅰ）从单果直径落在[72，80）的苹果中随机抽取3个，求这3个苹果单果直径均小于76mm的概率；（Ⅱ）以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率．直径位于[65，90）内的苹果称为优质苹果，对于该精准扶贫户的这批苹果，某电商提出两种收购方案：方案A：所有苹果均以5元/千克收购；方案B：从这批苹果中随机抽取3个苹果，若都是优质苹果，则按6元/干克收购；若有1个非优质苹果，则按5元/千克收购；若有2个非优质苹果，则按4.5元/千克收购；若有3个非优质苹果，则按4元/千克收购．请你通过计算为该精准扶贫户推荐收益最好的方案．19.等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，DE垂直AB交AC于E，如图①．将△ABC沿DE折起，使A到达P的位置，且使平面PDE⊥平面DBCE，连接PC，PB，如图②．（Ⅰ）若F为PB的中点，DB=DP，求证：DF⊥PC；（Ⅱ）若BC=4，当三棱锥P-DBC的体积最大时，求二面角B-PE-C的余弦值．20.椭圆经过点，左、右焦点分别是F1，F2，P点在椭圆上，且满足∠F1PF2=90°的P点只有两个．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F2且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在一点N（n，0），使得∠ANB的角平分线是x轴？若存在求出n，若不存在，说明理由．21.函数f（x）=2x2-ax+1+ln x（a∈R）．（Ⅰ）若a=5时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）-2ln x，若函数g（x）在上有两个零点，求实数a 的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，若M（2，1）是AB的中点，求直线l的斜率．23.设函数f（x）=|a-3x|（a∈R）．（Ⅰ）若不等式f（x）＜b的解集是{x|1＜x＜3}，求a，b的值；（Ⅱ）设ϵ＞0，，，求证：|x+2y-（a+2b）|＜ϵ．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．由复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z=（1+i）2=2i，∴|z|=2．故选：C．2.答案：D解析：解：解绝对值不等式|x-1|⩽2得：-1≤x≤3，又x∈Z，所以N=，又M={x|x＞0，x∈R}，所以M∩N=，故选：D．由绝对值不等式的解法及集合交集的运算得：N=，又M={x|x＞0，x∈R}，所以M∩N=，得解．本题考查了绝对值不等式的解法及集合交集的运算，属简单题．3.答案：B解析：【分析】本题考查了向量的平行的坐标表示，属于基础题．根据向量的平行即可求出．【解答】解：向量，向量，若，则1×+m=0，解得m=-，故选B．4.答案：A解析：【分析】本题考查等差数列的第9项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵在等差数列{a n}中，a1与a11的等差中项是15，∴=a1+5d=15，①∵a1+a2+a3=9，∴a1+d=3，②联立①②，得a1=0，d=3，∴a9=a1+8d=0+24=24．故选：A．5.答案：D解析：解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，截面为圆环，小圆半径为r，大圆半径为2，设小圆半径为r，则=，得到r=h，所以截面圆环的面积为4π-πh2=π（4-h2）；故选：D．由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，明确其半径求面积．本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的求法；关键是明确几何体形状，然后得到截面的性质以及相关的数据求面积．6.答案：C解析：解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：A（7，9），B（1，3），C（3，1）由z=-x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为Z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大值为16，经过B时取得最小值：4，则z=x+y的最大值与最小值的之和为：20．故选：C．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．7.答案：C解析：解：已知，则：2sinα•cosα+sinα=0，所以：，所以：，故：=．故选：C．直接利用三角函数关系式的变换与和角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数的关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.答案：A解析：解：由题意知，=×（1+2+3+4+5）=3，=×[（a-1）+（-1）+0.5+（b+1）+2.5]==0.1，…①又回归直线方程过样本中心点（3，0.1），得3b+a=0.1；…②由①②联立，解得a=-2.3，b=0.8，所以回归直线方程为=0.8x-2.3；所以当x增加1个单位时，y近似增加0.8个单位．故选：A．由题意知、的值，代入回归直线方程中求出b和a的值，再判断正确的选项是什么．本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．9.答案：A解析：解：由，得两函数的交点为（0，0），（1，1）．所以阴影部分的面积S==（-）|=．故选：A．先求出y=x和的交点．阴影部分的面积是函数y=在x∈[0，1]上的积分．本题考查了定积分，找到积分区间和被积函数是解题关键．本题属于基础题．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查二项展开式的通项公式，属于基础题．把（1-2x）3和（2+x）4分别按照二项式定理展开，可得展开式中x2的系数．【解答】解：∵，∴展开式中x2的系数为24-6×32+12×16=24，故选：B．11.答案：C解析：解：双曲线的渐近线bx±ay=0与圆（x-3）2+y2=1无交点，可得：，即：8b2＞a2，8c2-8a2＞a2，可得8c2＞9a2，e=＞1，可得e＞．故选：C．求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆（x-3）2+y2=1无交点，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.答案：D解析：解：作出f（x）的图象如图：由f（x）=0得x1=1或x2=-1，由g（x）=0得x1=0或0＜x2＜1，或-1＜x3＜0，由y=f（g（x））=0得g（x）=1或g（x）=-1，当g（x）=1时，此时g（x）有3个根，当g（x）=-1时，此时g（x）有3个根，即y=f（g（x））共有6个零点，即m=6，由y=g（f（x））=0得f（x）=0或0＜f（x）＜1，或-1＜f（x）＜0，当f（x）=0时，此时f（x）有2个根，当0＜f（x）＜1时，此时f（x）有2个根，当-1＜f（x）＜0时，此时f（x）有2个根，即y=g（f（x））共有6个零点，即n=6，则m+n=6+6=12，故选：D．作出f（x）的图象，结合f（x）和g（x）的零点分别进行计算即可．本题主要考查函数零点个数的判断，结合函数与方程之间的关系，研究函数图象是解决本题的关键．13.答案：（-1，0）∪（0，+∞）解析：解：函数若f（x）＜0，则或，解得0＜x＜1或-1＜x≤0，故-1＜x＜1，f（x）＜0故当x＞1或x＜-1时，f（x）＞0，∵af（a）＞0，∴或，即a＞1或-1＜x＜0，故x的范围为（-1，0）∪（0，+∞）．故答案为：（-1，0）∪（0，+∞）．先求出f（x）＞0或f（x）＜0的解，再由af（a）＞0，可得或，解得即可．本题考查了分段函数的问题，不等式的解法，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．14.答案：22019-1解析：解：由，得a n+1（a n+1-2a n）+a n+1-2a n=0，∴（a n+1-2a n）（a n+1+1）=0，∵a n＞0，∴a n+1=2a n，则数列{a n}是以a1=1为首项，以2为公比的等比数列，则．故答案为：22019-1．由已知数列递推式可得a n+1=2a n，则数列{a n}是以a1=1为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的前n项和公式求解．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．15.答案：解析：解：以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，由AB=4，BC=2，BB′=，则A（4，0，0），C（0，2，0），C′（0，2，），B′（0，0，），∴=（-4，2，），=（0，2，-），∴cos＜，＞===-．由异面直线所成角的范围知，异面直线AC′与B′C所成角的余弦值为．故答案为：．由题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线AC′与B′C所成角的余弦值．本题考查异面直线及其所成角，训练了利用空间向量求解异面直线所成角，是中档题．16.答案：p≥10解析：解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为A（，0），其准线方程为x=-，可得B（-，0），以AB为直径的圆方程为x2+y2=，在直线3x+4y+25=0上存在点M，使得∠AMB=90°，可得直线与圆有交点，可得O到直线的距离不大于，即≤，解得p≥10．故答案为：p≥10．求得抛物线焦点和准线方程，可得A，B的坐标，求得以AB为直径的圆方程，由题意可得可得直线与圆有交点，可得O到直线的距离不大于，解不等式可得所求范围．本题考查抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17.答案：解：（I）∵a（1+cos B）=b cos A，由正弦定理可得：sin A（1+cos B）=sin B cos A，化为：sin A=sin（B-A），∵在锐角三角形ABC中，∴A=B-A，C=π-（A+B）=π-3A，∴0＜B=2A＜，0＜π-3A＜，解得：＜A．∴角A范围是（，）．（II）函数=2cos2A+sin2A=（1+cos2A）+sin2A=2sin （2A+）+．∵A∈（，），∴（2A+）∈．∴sin（2A+）∈．∴f（A）∈（2，2+）．解析：（I）由a（1+cos B）=b cos A，由正弦定理可得：sin A（1+cos B）=sin B cos A，利用和差公式化为：sin A=sin（B-A），根据锐角三角形ABC的性质、三角形内角和定理即可得出角A范围．（II）利用倍角公式和差公式化简函数f（A），再根据角A范围即可得出．本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、三角形内角和定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）单果直径落在[72，80）内的苹果有15个，从中随机抽取3个，共有种方法，苹果单果直径小于76mm的有7个，从中抽取3个，共有种方法，计算所求的概率为P==；（Ⅱ）方案A：所有苹果均以5元/千克收购；方案B：由题意知从这批苹果中随机抽取1个是优质苹果的频率为，则从这批苹果中随机抽取3个苹果，都是优质苹果的概率为P1=•=，有1个非优质苹果的概率是P2=••=，有2个非优质苹果的概率为P3=••=，有3个非优质苹果的概率为P4=•=，所以计算方案B的收购价格为6×+5×+4.5×+4×=5.456（元），通过比较知应用方案B收益更好些．解析：（Ⅰ）由茎叶图中的数据，计算出所求的概率值；（Ⅱ）方案A的苹果收购均价已知，计算方案B的苹果收购均价，先求分布列，再计算均值（数学期望），再比较得出结论．本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的概率分布列及数学期望问题，是中档题．19.答案：（I）证明：∵平面PDE⊥平面DBCE，平面PDE∩平面DBCE=DE，PD⊥DE，∴PD⊥平面DBCE，又BC⊂平面DBCE，∴PD⊥BC，又BC⊥DB，PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，又DF⊂平面PBD，∴DF⊥BC，∵PD=BD，F是PB的中点，∴DF⊥PB，又PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，∴DF⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴DF⊥PC．（II）解：设BD=m，则PD=4-m，S△DBC=2m，∴V P-DBC==m（4-m），由基本不等式可知，当m=4-m即m=2时，V P-DBC取得最大值，以D为原点，以DE，DB，DP为坐标轴建立空间坐标系D-xyz，则B（0，2，0），P（0，0，2），E（2，0，0），C（4，2，0），∴=（0，-2，2），=（-2，0，2），=（2，2，0），设平面PBE的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1可得=（1，1，1），同理可得平面PEC的法向量为=（1，-1，1）．∴cos＜＞===，∴当三棱锥P-DBC的体积最大时，二面角B-PE-C的余弦值为．解析：本题考查了线面垂直的判定和性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．（I）先证明BC⊥平面PBD得出BC⊥DF，再证明DF⊥平面PBC得出DF⊥PC；（II）根据基本不等式得出当DB=2时，棱锥体积最大，再建系求出平面PBE和平面PCE 的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．20.答案：解：（Ⅰ）由题意可得a=，又∠F1PF2=90°的P点只有两个，∴点P一定在椭圆的上顶点或下顶点，∴b=c，∴b=c=1，∴椭圆C的方程为+y2=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F2（1，0），设直线l的方程为x=my+1，且m≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组，消x可得（m2+2）y2+2my-1=0，∴y1+y2=-，y1y2=-，∴k AN+k BN=+=+==0，∴2my1y2+（1-n）•（y1+y2）=0，∴--=0，即2-n=0，则n=2，故x轴上是存在一点N（2，0），使得∠ANB的角平分线是x轴．解析：（Ⅰ）由题意可得a=，再根据满足∠F1PF2=90°的P点只有两个，可得b=c=1，可得椭圆方程，（Ⅱ）假设存在定点N（n，0），使得k AN+k BN=0恒成立．运用直线的斜率公式，化简整理，结合韦达定理，即可得出结论．本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21.答案：解：（Ⅰ）当a=5，f（x）=2x2-5x+1+ln x，（x＞0），则f′（x）=4x-5+==，由f′（x）＞0得x＞1或0＜x＜，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得＜x＜1，此时函数单调递减，即函数的单调递增区间为（1，+∞），（0，），单调递减区间为（，1）．（Ⅱ）g（x）=f（x）-2ln x=2x2-ax+1+ln x-2ln x=2x2-ax+1-ln x，由g（x）=0得2x2+1-ln x=ax，即a=，设h（x）=，，函数的导数h′（x）===，函数m（x）=2x2+ln x-2在（0，+∞）上为增函数，且当x=1时，m（1）=2+ln1-2=0，当1＜x≤e时，m（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）为增函数，当≤x＜1时，m（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）为减函数，即当x=1时，h（x）取得极小值，极小值为h（1）=2+1=3，当x=e时，h（e）==2e，当x=时，h（）==+2e＞h（e），要使a=h（x）在，上有两个交点，得3＜a≤2e，即实数a的取值范围是（3，2e]．解析：（Ⅰ）求出函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（Ⅱ）求出g（x）的解析式，结合函数与方程之间的关系，利用参数分离法进行求解即可．本题主要考查导数的应用，结合函数单调性和导数之间的关系，以及利用参数分离法进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．22.答案：解：（Ⅰ）由ρ=2cosθ+2sinθ（ρ＞0）得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，得曲线C的直角坐标方程为：x2+y2-2x-2y=0；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C得：t2+t[2cosθ+（2-2）sinθ]+1-2=0，设A，B对应的参数为t1，t2，,则,，因为M为AB的中点，则,，所以t1+t2=-[2cosθ+（2-2）sinθ]=0，解得tanθ=，即直线l的斜率为．解析：本题考查极坐标方程和直角坐标方程的相互转化，参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中挡题．（Ⅰ）利用极坐标方程和直角坐标方程的转化方法得出结论；（Ⅱ）直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义得出结论．23.答案：解：（Ⅰ）不等式|a-3x|≤b成立，则-b＜3x-a≤b，即＜x＜，∵不等式f（x）＜b的解集是{x|1＜x＜3}，∴=1且=3，解得a=6，b=3．证明：（Ⅱ）：|x+2y-（a+2b）|=|（x-a）+2（y-b）|≤|x-a|+2|y-b|＜+=ɛ．解析：（Ⅰ）解绝对值不等式，再根据不等式的解集和方程根的关系即可求出a，b的值，（Ⅱ）根据绝对值三角不等式即可证明．本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，属于基础题．。
2020届甘肃省陇南市高三第二次诊断考试数学(理)试题(解析版)
【点睛】
本小题主要考查正方体外接球表面积的有关计算，属于基础题.
【详解】
取 的中点 ，连接 ， ，如下图所示：
则 ， 为异面直线 与 所成的角，所以 .
设 ，则 ， ，
从而 为等边三角形，则 ，
解得 .故 .
故选：B.
【点睛】
本题考查由线线角求线段长度，涉及由线面垂直推线线垂直，属中档题.
11．已知双曲线 ： ，直线 与 的交点为 ， （ 在 的下方），直线 与 的一条渐近线的交点 在第一象限，若 ，则 的离心率为（）
【详解】
依题意可得 ，则 ，
所以 的面积为 .
故选：A.
【点睛】
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
4．设等比数列 的前6项和为6，且 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先求得等比数列 的公比，然后根据等比数列前 项和公式列方程，解方程求得 的值.
【详解】
的展开式中 的项为 .
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查利用二项式展开式的通项公式求二项式展开式中指定项的系数，属于基础题.
14．设 满足约束条件 则当 取得最大值时， _______.
【答案】4
【解析】画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.
【详解】
由 同理
， ，
取最大值．此时
故答案为： ．
【点睛】
本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.
甘肃省陇南市2020届高三第二次诊断考试数学(理)试题含答案
B.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(2,3)
A.3+3i
B.3-3i
C.5+3i
D.5-3i
3.已知 P 为椭圆
x2 3
+
y2 2
= 1 短轴的一个端点 , F1, F2 是该椭圆的两个焦点,则 △PF1F2 的面积为
A.2
B.4
C. 2
D.2 2
人数
2
4
8
10
16
16
10
根据表中数据,可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为(精确到个位数)
A.6 天
B.7 天
C.8 天
D.9 天
6.若函数 f (x) = x + log2 (x − a) 的定义域为(1,+∞),则 f(3a)=
A.2
B.3
C.4
D.5
7.执行如图所示的程序框图,若输人的 t=5,则输出的 K=
B.(1, 2 3 ] 3
C.[1 , 3 ) 23
D.(1 , 3 ] 23
10.在四面体 ABCD 中,AB⊥平面 BCD,BC⊥BD,AB=BD=2,E 为 CD 的中点,若异面直线 AC 与 BE 所成的角为
60°,则 BC=
A. 2
B.2
C.2 2
D.4
11.已知双曲线 C:
y2 a2
−
x2 b2
(1)求 f(x)的单调区间;
(2)证明: f (x) ≥ (x − 2)3 − 3(x − 2) .
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22､23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
甘肃省陇南市2020届高三第二次诊断考试数学(理)试题(word版含答案)
甘肃省陇南市2020届高三第二次诊断考试数学（理）试题第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合M 2{|3,{|4x x N x x =<〉=>〉,则M ∩N=A.(-2,3)B.(-∞,-2)C.(2,3)D.(-∞,-2)∪(2,3) 2.设21(2),z i =+-则z = A.3+3i B.3-3i C.5+3i D.5-3i3.已知P 为椭圆22132x y +=短轴的一个端点12,,F F 是该椭圆的两个焦点,则12PF F V 的面积为 A.2 B.4 .2C .22D4.设等比数列{}n a 的前6项和为6,且12,2,a a a a ==则a=2.21A 1.7B 4.21C 5.21D 5.2020年1月,某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据:潜伏期2天 3天 5天 6天 7天 9天 10天 12天 人数 2 4 8 10 16 16 10 4A.6天B.7天C.8天D.9天6.若函数2()log ()f x x x a =+-的定义域为(1,+∞),则f(3a)=A.2B.3C.4D.57.执行如图所示的程序框图,若输人的t=5,则输出的K=A.1B,2 C.3D.48.设向量2,CA OB =u u u r u u ur ||OA =u u u r 1,OA OB ⋅=u u u r u u u r 则OA OC ⋅u u u r u u u r =A.14B.16C.18D.20 9.若函数()2sin(2)13f x a x π=--在[0,π2]上恰有2个零点,则a 的取值范围为AB1.[2C1.(2D 10.在四面体ABCD 中,AB ⊥平面BCD,BC ⊥BD,AB=BD=2,E 为CD 的中点,若异面直线AC 与BE 所成的角为60°,则BC=B.2C D.411.已知双曲线C 2222:1(0,0)y x a b a b-=>>,直线x=a 与C 的交点为A,B(B 在A 的下方),直线x=a 与C 的一条渐近线的交点D 在第一象限,若||4||3AB BD =，则C 的离心率为 3.2A B.2CD 12.已知函数32()41,f x x =-+则A.f(sin2)<f(tan1)<f(tan4.5)B.f(tan4.5)<f(tan1)<f(sin2)C.f(tan1)<f(sin2)<f(tan4.5)D.f(tan4.5)<f(sin2)<f(tan1)第II 卷二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.5(3)y x x-的展开式中,2xy 的系数为____. 14.设x,y 满足约束条件10,10,30,x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩则当z=2x+y 取得最大值时,y=___.15.若两个正方体的外接球的表面积之和为12π,则这两个正方体的表面积之和为____.16.定义p(n)为正整数n 的各位数字中不同数字的个数,例如p(555)=1,p(93)=2,p(1714)=3.在等差数列{}n a 中210,9,25,a a ==则n a =____,数列{p(a n )}的前100项和为____.(本题第一空2分,第二空3分)三､解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)如图,四棱锥P-ABCD 的底面是矩形,PD ⊥平面ABCD,E 为AB 的中点.(1)证明:平面PAD ⊥平面PCD.(2)若AD=1,AB=PD==2,求二面角B-EC-P 的余弦值.18.(12分)18.(12分)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知2sin 2C-2sin 2A+sinAsinB+cos2B=1.(1)求cosC;(2)若a=2,c=3,求△ABC 的面积.19.(12分)甲､乙､丙三人投篮的命中率各不相同,其中乙的命中率是甲的2倍,丙的命中率等于甲与乙的命中率之和.若甲与乙各投篮一次,每人投篮相互独立,则他们都命中的概率为0.18.(1)求甲､乙､丙三人投篮的命中率;(2)现要求甲､乙､丙三人各投篮一次,假设每人投篮相互独立,记三人命中总次数为X,求X 的分布列及数学期望.20.(12分)在直角坐标系xOy 中,过点(2,0)的直线l 与抛物线24y x =交于A,B 两点.(1)证明:直线OA 与OB 的斜率之积为定值.(2)已知点M(0,-1),且∠AMB 为锐角,求l 的斜率的取值范围.21.(12分)已知函数1()2ln .x f x e x x -=-+(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:3()(2)3(2)f x x x ≥---.(二)选考题:共10分.请考生在第22､23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为4,1x a y α⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩(α为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知射线L 的极坐标方程为7(0).4πθρ=≥ (1)求曲线C 的极坐标方程与射线L 的直角坐标方程;(2)若射线L 与曲线C 交于A,B 两点,求|OA|2·|OB|+|OB|2·|OA|.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知a ≠0,函数f(x)=|ax-1|,g(x)=|ax+2|.(1)若f(x)<g(x),求x 的取值范围;(2)若f(x)+g(x)≥|2×10a -7|对x ∈R 恒成立,求a 的最大值与最小值之和.。
甘肃省武威2020届高三第二次诊断考试 数学(理)(含答案)
甘肃武威2020届高三第二次诊断考试理科数学试题一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B U = ( ).A.}{1x x <B.}{11x x -≤< C .{}2x x ≤ D .{}21x x -≤< 2．纯虚数z 满足()i zz 421-=⋅+，则z 的共轭复数为（ ）A. 2i -B. 2iC. 4i -D. 4i3．各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，数列{}n a 的前n 项和为3,232n S S =+.则7a =（ ）A ．82B ．72C ．8D ．15214+4．在ABC ∆中，2CM MB =u u u u r u u u r ，0AN CN +=u u u r u u u r u r ，则（ ）A. 2136MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB. 2736MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rC. 1263MN AC AB -=u u u u r u u u r u u u r D. 7263MN AC AB-=u u u u r u u u r u u u r5．把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数[]()f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]1,4上任取x ，则[]2x x ⎡⎤=⎣⎦的概率为（ ）A ．14B.13C.12D.236．函数11lg-=x y 的大致图象为( )7．设向量()()1,1,3,3-==b a ρρ，若()()b a b a ρρρρλλ-⊥+，则实数=λ（ ）A ．3B ．1C ．1±D ．3±8．已知实数，b 满足11122a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A.11a b> B. 22log log a b > C. a b < D. sin sin a b >9．已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 89-B.89C.79D. 79-10．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 作垂直于x 轴的弦MN ，交双曲线于M 、N 两点，若1MF N ∠=2π，则双曲线的离心率e =（ ）A ．2B ．3C ．5 D ．21+11．世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ） A.125- B. 35+- C. 51+- D. 45+-12．⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=，，2,21log 2,2)(2x x x x x x f a 的值域为R ，则)22(f 的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-45,C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,45D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--21,45 二、填空题（每小题5分，共20分）13．将函数()()0,0(),2f x Asin wx A w πϕϕ+>><=的图象向右平移12π个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到()2sin g x x =的图象，则A w ϕ++= ．14．已知数列{}n a ，若数列{}n n a 13-的前n 项和51651-⨯=n n T ，则5a 的值为 . 15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的商品最少有 种．16．在三棱锥A BCD -中，,,4,AB AC DB DC AB DB AB BD ==+=⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，841,,a a a 成等比数列，数列{}n a 的前10项和为45.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均2，D 为棱1BB （不包括端点）上一动点，E 是AB 的中点． （Ⅰ）若1AD A C ⊥，求BD 的长；（Ⅱ）当D 在棱1BB （不包括端点）上运动时，求平面1ADC 与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围．19．（本小题满分12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（1）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C 的短轴长为23． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，且满足2OM ON ⋅=u u u u v u u u v（O 为坐标原点）若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln f x a x x =-+，a ∈R ． （1）当2a =时，求函数()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）当1a =-时，令函数()()ln 21g x f x x x m =+-++，若函数()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围． [选修4-4：极坐标与参数方程]22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知β为锐角，直线():l R θβρ=∈与曲线C 的交点为A （异于极点），l 与曲线M 的交点为B ，若162OA OB ⋅=，求l 的直角坐标方程. [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()()120f x x a x a a=+-->. （1）当1a =时，解不等式()1f x ≤-；（2）若不等式()3f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.高三理科数学第二次诊断考试参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分）二、填空题（共4小题，每小题5分）13、46π+ 14、16 15、16，29 16、三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由841,,a a a 成等比数列可得，8124a a a ⋅=，即()()d a a d a 731121+=+，d a a d d a a 1212121796+=++∴，0≠d Θ，d a 91=∴． -------------------------3分 （1）由数列{}na 的前10项和为45，得454510110=+=d a S，即454590=+d d ，故3,311==a d ，--------------------------------5分 故数列{}na 的通项公式为38+=n an；----------------------------------6分 （2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++==+9181998911n n n n a a b n n n -------------------8分⎪⎭⎫⎝⎛+-+++-+-+-=9181121111111101101919n n T n Λ ---------10分999191919+=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n n n ---------------------------------12分 18.证明：（Ⅰ），由AC=BC ，AE=BE ，知CE ⊥AB ， 又平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，所以CE ⊥平面ABB 1A 1而AD ⊂平面ABB 1A 1，∴AD ⊥CE ，又AD ⊥A 1C 所以AD ⊥平面A 1CE ，所以AD ⊥A 1E ．易知此时D 为BB 1的中点，故BD=1． --------------------------------5分（Ⅱ）以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴， 过E 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设 BD=t ，则A （-1，0，0），D （1，0，t ），C 1（032），AD u u u v =（2，0，t ），1AC u u u u v =（132），设平面ADC 1的法向量n v=（x ，y ，z ）， 则1·20·320n AD x tz n AC x z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，取x=1，得233n t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭v ， 平面ABC 的法向量m v=（0，0，1），--------------------------------9分设平面ADC 1与平面ABC 的夹角为θ，∴cos θ=··m nm nv vv v 222414133tt t⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭2327t t -+()2316t -+由于t ∈（02）,故cos θ∈（217，22]． 即平面ADC 1与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围为（217，22]．----------12分19.（1）由题意知，100(0.00150.00250.00150.001)1a ++++=，解得0.0035a =， 样本的平均数为：5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元．--------------------------------4分 （2）由题意，从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人． 随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3，()337310k kC C P X k C -==（0,1,2,3k =）， 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望35632119()012312012012012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．----------------------------8分 （3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人； 得出以下22⨯列联表：222()100(10251550)505.556 5.024()()()()406025759n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．--------------------12分20.【解析】（1）由题意得：2222232 b a c a b c ===+⎧⎪⎨⎪⎩，···········2分解得23a b ⎧==⎪⎨⎪⎩，∴椭圆C 的标准方程是22143x y +=···········4分（2）当直线l 的斜率不存在时，(3M ，(0,3N -3OM ON ⋅=-u u u u v u u u v，不符合题意···········5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y由221 432x y y kx +==+⎧⎪⎨⎪⎩消y 整理得：()22341640k x kx +++=， ()()221616340k k ∆=-+>，解得12k <-或12k >，···········6分1221634k x x k +=-+，122434x x k=+，···········7分 ∴1212OM ON x x y y ⋅=+=u u u u v u u u v()()21212124k x x k x x ++++ ()222222413216124343434k k k k k k+-=-+=+++，···········9分 ∵2OM ON ⋅=u u u u v u u u v ，∴221612234k k -=+，···········10分解得k =，满足0∆>，···········11分···········12分21.【答案】（1）切线方程为1y x =-；（2）实数m【解析】（1）当2a =时，()()221ln f x x x =-+224ln 2x x x =-++． 当1x =时，()10f =，所以点()()1,1P f 为()1,0P ，···········1分，因此()11k f '==．···········2分因此所求切线方程为()0111y x y x -=⨯-⇒=-．···········4分 （2）当1a =-时，()22ln g x x x m =-+，···········6分 ，所以当()0g x '=时，1x =，···········7分时，()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<；故()g x 在1x =处取得极大值也即最大值()11g m =-．···········8分，()2e 2e g m =+-，()g x上的最小值为()eg，······10分故()g x所以实数m···········12分22.【详解】解：（1）由题意知曲线C的直角坐标方程为()2224x y+-=，即224x y y+=，所以24sinρρθ=，即4sinρθ=，故曲线C的极坐标方程为4sinρθ=.-----------------------------5分（2）因为曲线M的极坐标方程为2sin23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，所以ρ=将θβ=代入，得OB=因为曲线C的极坐标方程为4sinρθ=，所以4sinOAβ=所以OA OB⋅===则tan2β=，故l的直角坐标方程为2y x=--------------------------------10分23.【详解】（1）Q()()120f x x a x aa=+-->当1a=，()1f x≤-可得|2||1|1x x+--≤-若2x-≤则2(1)1x x----≤-，即31-≤-，显然成立·11· 若21x -<<，2(1)1,x x +--≤- 可得22x ≤-，故1x ≤-若1x ≥，2(1)1,x x +--≤- 可得31≤-，显然不成立.综上所述，(,1]x ∈-∞-（2）Q ()3f x ≤ ∴111||2||||22x a x x a x a a a a +--≤+-+=+ 1112|2|2a x a x a a a a ∴--≤+--≤+ 要保证不等式()3f x ≤恒成立，只需保证123a a +≤， 解得112a ≤≤ 综上所述，1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。