副题01 分段函数与函数的图象(解析版)

2020届高考数学23题对对碰【二轮精品】 第一篇副题1 分段函数与函数的图像【副题考法】本热点考题类型为选择或填空题，考查分段函数的图象、性质及分段函数求值、函数的图象、分段函数求值、复合函数求值及利用图像性质研究函数的零点、方程的解，难度为容易题或中档题或选择填空题的压轴题，长为1-2个小题，每小题5分，共5到10分.【主题考前回扣】1.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. (3)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称.2.函数图象的基本变换 (1)平移变换y ＝f (x )――→h ＞0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k ＞0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换y ＝f (x )――→0<ω<1，伸ω＞1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――→0<A <1，缩A ＞1，伸y ＝Af (x )． (3)对称变换y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )，y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x )．3.函数零点①定义：对于函数)(x f y =，使0)(=x f 的实数x 叫函数)(x f y =的零点.②几个等价关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． ③函数零点的判定(零点存在性定理）：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数y ＝f (x )在区间（a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．【易错点提醒】1. 分段函数的图象，一定要准确看清楚分界点的函数值.2. 易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.3. 图象变换的几个注意点. (1)混淆平移变换的方向与单位长度. (2)区别翻折变换：f(x)→|f(x)|与f(x)→f(|x|). (3)两个函数图象的对称.①函数y ＝f(x)与y ＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称.②函数y ＝f(x)与y ＝f(－x)的图象关于直线x ＝0(y 轴)对称；函数y ＝f(x)与函数y ＝－f(x)的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称.【副题考向】 考向一 分段函数【解决法宝】分段函数问题常见类型与解题策略：①求函数值，弄清自变量所在的区间，然后代入对应的解析式.求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算. ②求函数值域（最值）分别求出每个区间上的值域（最值），求并集（然后比较大小）.③解不等式，根据分段函数中自变量的取值范围，化为不等式组求解.④求参数，“分段处理”，采用代入法列出各区间上方程.例1 【2020·四川三台中学实验学校开学考】定义在R 上的函数()f x 满足()()()22,012,0x x f x f x f x x --⎧≤⎪=⎨--->⎪⎩，则()2019f =（ ）A ．1-B ．0C ．14-D ．1【分析】根据当0x >时，()()()12f x f x f x =---，得出当0x >时，函数周期为6，()()()2019633633f f f =⨯+=即可得解.【解析】由题知()()111,024f f -==，∴()()()11014f f f =--=-，∴()()()12102f f f =-=-，∴()()()13214f f f =-=-，由题当0x >时，()()()12f x f x f x =---，∴()()()11f x f x f x +=--，所以()()12f x f x +=--，即()()3f x f x =-+，所以()()36f x f x +=-+，即()()6f x f x =+，所以()()()2019633633f f f =⨯+=14=-，故选C 。

考向二 作函数图象【解决法宝】作函数图像有两种方法，①描点法，在利用描点法作函数图像前，先研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、极值、最值和图像的发展趋势，根据图像与性质，取关键点如最值点、极值点、与坐标轴的交点，在坐标系中描出关键点，根据图像的变化趋势用平滑曲线连接关键点，即可得到函数的图像；②图象变化法，若函数的图象可以由常见函数通过平移、伸缩或对折变换得到，常用平移法，若是含由绝对值常化为分段函数处理.例2【2020·海原一中学期末】在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【解析】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 考向三 函数图像识别【解决法宝】在识别图像前，先研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、极值、最值和图像的发展趋势，根据图像与性质，结合特殊点与特殊值对函数的图像进行判断．例3 【2020·四川三台中学实验学校开学考试】函数(),,00,2s ()()in x xe ef x x xππ-+=∈-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数的奇偶性可排除B ，再根据()0,x π∈时()f x 的符号可排除D ，再根据x π→时，()+f x →∞可排除C ，从而得到正确的选项.【解析】函数的定义域关于原点对称，且()()()2sin x xe ef x f x x -+-==--， 故()f x 为奇函数，其图像关于原点对称，所以排除B. 又当()0x π∈，时，sin 0,0xxx e e->+>，所以()0f x >，故排除D.又当x π→时，()+f x →∞，故排除C ，综上，选A.考向四函数零点与方程的解【解决法宝】1.函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.2.判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f(x)＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.例4【2019·上海华师大二附中月考】已知函数2,01,()1, 1.x xf xxx⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x的方程1()()4f x x a a R=-+∈恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为A．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】画出()f x图象及直线14y x a=-+，借助图象分析．【解析】如图，当直线14y x a=-+位于B点及其上方且位于A点及其下方，或者直线14y x a=-+与曲线1yx=相切在第一象限时符合要求．即1124a≤-+≤，即5944a≤≤，或者2114x-=-，得2x=，12y=，即11224a=-⨯+，得1a=，所以a的取值范围是{}59,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选D．【副题集训】1. 【2020·山东菏泽期末】设函数()f x 的定义域为R ，满足()()2 2 f x f x +=，且()()[]12,0,1ln(2),1,2x x f x x x +⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩则()f e =（ ） A ．12e + B ．2e C ．12e -D ．()ln 2e +【答案】B【解析】()()122222e e f e f e -=-=⋅=，故选B .2. 【2020·河南许昌期末】已知函数()()1222,1{log 1,1x x f x x x --≤=-+>，且()3f a =-，则()6f a -=（ ）A ．74-B ．54-C ．34-D ．14-【答案】A【解析】()13223x f a -=-∴-=-()2log 137a a -+=-∴=，()()2761224f a f -∴-=-=-=-，故选A.3.【2019届广东省东莞市期末】设函数，则满足的的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】当时，，由此排除D 选项.当时，，由此排除B 选项.当时，，由此排除A 选项.综上所述，本小题选C.4. 【2020·山东枣庄八中月考】||4cos x y x e =-图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】显然||4cos x y x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称，当0x >时4si (4si n n )xxy x x e e =-'+=--，显然当(]0,x π∈时，0y '<，当(,)x π∈+∞时，34x e e e π>>>，而4sin 4x ≥-，所以(4sin )0x y x e -+'<=，∴(4sin )0x y x e -+'<=在(0,)+∞上恒成立，∴||4cos x y x e =-在(0,)+∞上单调递减．故选D ．5.【2020·陕西铜川期末】函数(01)xxa y a x=<<的图像的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】,0,0x x x a x xa y x a x ⎧>==⎨-<⎩且10a >>，根据指数函数的图象和性质， 当()0,x ∈+∞时，函数为减函数，当(),0x ∈-∞时，函数为增函数，故选D ． 6. 【2019届安徽皖东名校联盟第二次联】若函数图象与函数的图象关于原点对称，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设是函数的图象上任意一点，其关于原点对称的点是.因为点 在函数的图象上，所以，可得故选D.7.【2020·甘肃天水一中期末】函数ln ||()x f x x x=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意知，函数ln ||()x f x x x =+，满足ln ||ln ||()()()x x f x x x f x x x--=-+=-+=--， 所以函数()y f x =为奇函数，图象关于原点对称，所以B 选项错误；又因为(1)10f =>，所以C 选项错误；又因为ln 2(2)202f =+>，所以D 选项错误，故选A. 8. 【2020·山东聊城期中】已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( )A ．0B ．6C ．12D ．18【答案】D 【解析】()211211x g x x x -==+--，由此()g x 的图像关于点()1,2中心对称，()12y f x =+-是奇函数()()1212f x f x -+-=-++，由此()()114f x f x -+++=，所以()f x 关于点()1,2中心对称，1266x x x +++=，12612y y y +++=，所以12612618x x x y y y +++++++=，故选D9.【2019届辽宁省六校协作体期末】若函数且的值域是，则实数a 的取值范围是 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】当时，，要使的值域是，则当时，恒成立，即，若，则不等式不成立，当时，则由，则，，，即，故选D ．10.【2020·湖南长沙一中期末】已知函数()22(1),0log ,0x x fx x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩，若方程f （x ）＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则()3122341x x x x x ++的取值范围为（ ） A ．（﹣1，+∞） B ．（﹣1，1]C ．（﹣∞，1）D ．[﹣1，1）【答案】B【解析】作函数f （x ）的图象如图所示，∵方程f （x ）＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，∴x 1，x 2关于x ＝﹣1对称，即x 1+x 2＝﹣2，0＜x 3＜1＜x 4，则|log 2x 3|＝|log 2x 4|，即﹣log 2x 3＝log 2x 4，则log 2x 3+log 2x 4＝0，即log 2x 3x 4＝0，则x 3x 4＝1，当|log 2x|＝1得x ＝2或12，则1＜x 4≤2；12≤x 3＜1；故()3123323431112,12x x x x x x x x ++=-+<；则函数y ＝﹣2x 3+31x ，在12≤x 3＜1上为减函数，则故当x 3＝12取得y 取最大值y ＝1，当x 3＝1时，函数值y=﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1]，故选B ．11. 【2019届河南省驻马店市期末】已知函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，当x ≤0时，f （x ）＝2x 3+3x 2+2，∴f ′（x ）＝6x 2+6x=)1(6+x x ，当1-<x 时，)(x f '＜0，当01<<-x 时，)(x f '＞0，故函数f （x ）在[﹣2，0]上的最大值为f （﹣1）＝3；要使函数f （x ）在[﹣2，2]上的最大值为3，则当时，的值必须小于等于3，又单调，即当x ＝2时，e 2a 的值必须小于等于3，即e 2a ≤3，解得a ∈，故选C ．12. 【2020·广东韶关期末】如图，已知函数()f x 的图象关于坐标原点对称，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．2()ln f x x x =B ．()=ln f x x xC ．ln ()x f x x=D ．()xef x x=【答案】C【解析】由图象知，函数()f x 是奇函数，排除A ，B ；当(0,)x ∈+∞时，||()x ef x x=显然大于0，与图象不符，排除D ，故选C.13.【2020·广东河源二中期中】函数()f x 的图像向右平移一个单位长度，所得图像与xy e =关于x 轴对称，则()f x =（ ） A ．1e x -- B ．1e x +- C ．1e x --- D ．1e x -+-【答案】B【解析】xy e =关于x 轴对称得出xy e =-，把xy e =-的图象向左平移1个单位长度得出1x y e +=-，1()x f x e +∴=-，故选B ．14.【2020·安徽六安一中月考】已知函数12 ,?0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若方程()()220f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围 A ．()4,2-- B ．(4,22)--C ．()3,2--D ．(3,22)--【答案】 D【解析】画出函数()f x 的图象如下图所示．由题意知，当1x =-时，()12f -=；当1x =时，()11f =．设()t f x =，则原方程化为220t bt ++=，∵方程()()220fx bf x ++=有8个相异实根，∴关于t 的方程220t bt ++=在(1,2)上有两个不等实根．令2()2g t t bt =++，(1,2)t ∈．则280122(1)30(2)260b b g b g b ⎧∆=->⎪⎪<-<⎪⎨⎪=+>⎪=+>⎪⎩，解得322b -<<-．∴实数b 的取值范围为()3,22--．选D ． 15. 【2019届湖北省十堰市元月调研考】已知函数 ，若方程恰有5个不同的根，则的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】当时，，∴，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，当时，的图象恒过点，当，时，，当，时，，作出大致图象如图所示.方程有5个不同的根，即方程有五个解，设，则.结合图象可知，当时，方程有三个根，，（∵，∴），于是有一个解，有一个解，有三个解，共有5个解，而当时，结合图象可知，方程不可能有5个解.综上所述：方程在时恰有5个不同的根，故选B16.【2020·广东月考】函数2()4(2)3xf x x x ⎛⎫=--+⋅ ⎪⎝⎭的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】令()0f x =，得24(2)3x x x ⎛⎫-=+⋅ ⎪⎝⎭，显然2x =-不是该方程的根，故4223xx x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，在同一直角坐标系中分别作出42,23xx y y x -⎛⎫== ⎪+⎝⎭的图象如下所示，观察可知，它们有2个交点，即函数2()4(2)3xf x x x ⎛⎫=--+⋅ ⎪⎝⎭有2个零点，故选C.17.【2019届福建省三明市期末】已知函数则__________．【答案】3 【解析】已知函数, 则==3.18.【2020·辽宁月考】已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数,当(0,)x ∈+∞时,2(1),02()(2)1,2x x f x f x x ⎧-<≤=⎨-+>⎩,则函数2()()()g x f x f x =-的零点个数为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】∵2(]0,x ∈时,2()=(1)f x x -,又()(2)1f x f x =-+,∴当(0,)x ∈+∞时,即将()f x 在区间(0,2]的图象依次向右平移2个单位,同时再向上平移1个单位,得到函数()f x 在(0,)+∞上的图象.关于y 轴对称得到(,0)-∞的图象.如图所示：令()0g x =得,()0f x =或()1f x =,即0y =与1y =两条直线截函数()y f x =图象共6个交点,所以函数()g x 共有6个零点，故选C19.【2020河北廊坊一中期末】已知()f x 是偶函数,当0x ≥时,202()822x x f x x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，，,若(1)(1)f a f -<-,则a 的取值范围是( )A ．()11-，B ．()()2024-，，C ．()()()3113-∞--+∞，，， D ．()(2)02(4)-∞-+∞，，，【答案】D 【解析】根据()f x 是偶函数(1)(1)2f f -==，∴ (1)(1)f a f -<-,即(1)2f a -<，因为()f x 是偶函数,当0x ≥时,202()822x x f x x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，，,根据偶函数图像关于y 轴对称，画出其函数图像,如图:当02x ≤<时,由()2f x =,解得11x =,根据对称可知,21x =-当2x ≥时,由()2f x =,解得33x =,根据对称可知,43x =-保证(1)2f a -<,结合图像可知:∴ 41a x -<或211x a x <-<或41a x ->，即: 13a -<-或111a -<-<或13a ->，解得 2a <-或02a <<或4a >，故选D.20.【2020·安徽淮安中学月考】设函数2019,0()2020,0x e x f x x -⎧+≤=⎨>⎩，则满足()23(2)f x f x -≤-的x 取值范围是______.【答案】(,3][1,)-∞-⋃+∞ 【解析】当0x ≤时，1()2019()2019xx f x ee-=+=+，因此函数是单调递减函数，因此有01()(0)()20192020f x f e≥=+=.当()23(2)f x f x -≤-时，则有222030(1)32x x x x-≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩或220(2)30x x -≤⎧⎨->⎩或220(3)30x x -≥⎧⎨-≥⎩ 解（1）得：13x ≤≤，解（2）得：3x >，解（3）得：3x ≤-，综上所述：()23(2)f x f x -≤-的x 取值范围是(,3][1,)-∞-⋃+∞. 21.【2019届山东省滨州市期末】已知函数若方程恰有4个不同的实根，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】作出函数f （x ）的图象，∵方程f （x ）＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，由图可知a ＜1，x 1+x 2＝﹣2．∵﹣log 2（x 3）＝log 2（x 4）＝a ，∴x 3x 4＝1；∵0＜log 2（x 4）＜1，∴1＜x 4≤2．故x 3（x 1+x 2）x 4，其在1＜x 4≤2上是增函数，故﹣2+1x 4≤﹣1+2；即﹣1x 4≤1，故答案为：（﹣1，1]．22. 【2020·上海奉贤二中月考】己知函数()()110f x xx=->，若关于x 的方程()()2[]230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为_________.【答案】34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】()()110f x x x =->，∴()11,0111,1x xf x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，画出()f x 函数图象:设(),f x t =()()2[]230f x mf x m +++=有三个不同实数解,∴方程2230t mt m +++=有两个根，其中一个在区间()0,1上,一个根为0或在区间[1,)+∞上,若方程2230t mt m +++=一个根为0,∴32m =-,另一根为32,不满足条件. 故方程2230t mt m +++=有两个根,其中一个在区间()0,1上,一个在区间[1,)+∞ 令2()23g t t mt m =+++①当(1)0g ≠时，则(0)230(1)340g m g m =+>⎧⎨=+≤⎩，解得:34,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭②当(1)0g =时，即340m +=,故43m =-,将43m =-代入2230t mt m +++=，可得:241033t t -⋅+=,解得:1222t t ==满足方程2230t mt m +++=两个根中,一个在区间()0,1上,一个在区间[1,)+∞ 综上所述,实数m 的取值范围为:34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦.。