复变函数与积分变换期中考试题()附答案

得分

得分

«复变函数与积分变换»期中考试题

电子信息专业2015年11月

题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分

一．填空题（每小题3分，共计15分）

1．231i -的幅角是 ； 2,1,0,23

±±=+-

k k ππ

2.)1(i Ln +-的主值是 ；i 4

32ln 21π

+ 3.

211)(z

z f +=，

=)0()5(f ；0 4．以原点为中心，焦点在实轴上，长半轴短半轴分别为a ，b 的椭圆曲线方程是 （用复数形式表示！！！）；

z=acost+ibsint t ∈[0,2π]

5．

=⎰+i

11

z)dz z(e^ ；ie^(1+i)=ie(cos1+isin1)

二．选择题（每小题3分，共计15分）

1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；B

（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；

（C ）

y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.

2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰C

z z f ； D

（A ）

23-z ； （B ）2

)

1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .

3．若c 为不经过1与-1的正向曲线，则⎰+-c

dz 1)^2)(z 1（z

z 为（）

；D

（A ）πi/2； (B ）-πi/2； （C ）0； (D)以上的都可能.

４．下列结论正确的是( )；B

（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰

C

dz z f ；

（C ）如果0)(=⎰

C

dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；

（D ）函数

),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是

),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．

5．函数)(z f 在z 点可导是)(z f 在点z 解析的（）．B (A) 充分不必要条件;(B) 必要不充分条件; (C) 充分必要条件;(D) 即不充分也不必要条件.

三．按要求完成下列各题（共计40分）

（1）设)()(2

2

2

2

y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求

d

c b a ,,,;

解：因为)(z f 解析，由C-R 条件

y v x u ∂∂=∂∂ x

v

y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+

,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c

给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

得分

（2）．计算

⎰

-C

z

z z z e d )

1(2

其中C 是正向圆周：2=z ； 因为函数z z e z f z

2

)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆

2

1,c c 且位于c 内

⎰⎰⎰-+-=-21

d )1(d )1(d )1(222C z C z C z

z z z e z z

z e z z z e i z e i

z e i z z

z z πππ2)1(2)(20

2

1=-+'===

（3）计算积分

c

2

d 1

-z z

4πsin

z ,其中|z|=2；

（4）求积分⎰=1d z z

z z

e ，并证明p.d θ）sin θ（cos p

=⎰

四、（本题10分）设复数z1，z2，z3对应等边三角形的三个顶点得分

试求证： z1^2+z2^2+z3^2-z1z2-z2z3-z3z1=0.

五．（本题14分）用解析函数与调和函数的关系解问题

验证3xy^2-x^3y)u(x,=是调和函数，并求以）y u(x,为实

部的解析函数)(z f ，使之适合i )

0(=f .

得分

六、（本题6分）将一对二元实变函数

2

^2^,y^2x^22x u y x y

v +=+=

化为一个复变函数.

得分