AR谱分析与自适应谱线(第五章)

z-1
…
z-1
bq
xk
图5-2
产生MA(q)序列的模型结构
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AR谱分析与自适应谱线增强器
（3）自回归滑动平均模型 由式（5.1.1）和（5.1.2）， 即可得到自回归滑动平均模型 ARMA( p ， q ) 序列 {x k } 所满足 的差分方程
xk a1xk 1 a p xk p wk b1wk 1 bq wk q（5.1.3）
第五章 AR谱分析与自适应谱线增强器
5.1
5.2 5.3
时间序列的参数模型与谱估计
自适应谱线增强器 谱线检测与谱线跟踪问题
本章小结
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AR谱分析与自适应谱线增强器
利用给定的样本数据估计一个平稳随机过程的功率谱密 度称为谱分析；而能够将正弦波信号从宽带噪声分离出来的 自适应噪声抵消器，称为自适应谱线增强器。谱分析和自适 应谱线增强器在雷达、声纳、生物医学工程、故障诊断技术 等各个领域中得到了广泛应用。 谱分析方法分为两大类： 非参数化 方法和 参数化 方法。 非参数化功率谱分析（或周期图谱法）称为经典谱分析，其 主要优点是物理概念明确，计算方法简单，其缺点是频率分 辨力低；而现代谱分析一般是指基于模型的参数化谱分析， 它具有数据短、频率分辨力高的特点。 本章主要平稳随机过程自回归（AR）谱分析方法及其在 谱线检测、跟踪和识别中的应用。
i 1 2M
在上式中，以（xi-k - wi-k）代替sk-i，得
xk ai xk i wk ( ai ) wk i
i 1 i 1 2M 2M
（5.1.5）
上式可用图 5-5 所示的模型来表示。这表明，白噪声中的正 弦波过程{xk}是一个特殊的ARMA(2M，2M)序列，模型中包 含相同的AR和MA参数。 用特殊的 ARMA 模型描述白噪声中 M 个正弦波，比用
式中{ wk }~ WN(0，σ 2), bi（i=1，2，… ，q）为常数, 则称 {xk}为 q 阶滑动平均归序列或 MA(q) 序列。 图5-2是产生MA(q)序列的模型结构。MA(q)序列 {xk} 是 白噪声通过FIR滤波器所产生的输出，因而它一般是有色噪 声。
wk z-1 b1
z-1
b2
sk ai sk i 0
i 1 2M
这样的过程称为可预测过程，又称为退化的AR序列，即
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A(z-1)sk=0
当输入序列{xk }为受白噪声 wk ―污染”的 M 个实正弦波 之和时，xk 可表示为
xk sk wk ai sk i wk
5.1.1 三种时间序列模型及其相互联系
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（1）自回归模型 如果时间序列 {xk}能用下述n 阶差分 方程描述 xk a1xk 1 a2 xk 2 a p xk p wk （5.1.1） 则称{xk}为 p 阶自回归序列或 AR(p)序列。其中，wk 是均值 为零、方差为σ2 的白噪声序列，记为{wk} ~ WN(0，σ 2 )； ai（i=1，… ，p）为常数。产生AR(p) 模型如图5-1所示。
Rx (1) Rx (0) R (1) R x ( 0) x Rx Rx (2M ) Rx (2M 1) Rx (2M ) Rx (2M 1) Rx (0)
的最小特征值分解λmin，即找到σw2。 （2）解方程组（5.1.8），a 就是ARMA模型的系数。 （3）求多项式方程
Rx (m) E[ xk xk m ]
2 w 0m 2 si cos(i m), m 1, 2,, M m1 M
式中，采用等采样间隔，通常记为Δt =1；σsi2 为第i 个正弦 波的功率。令上式中m 依次等于1，2，…，M，可得 M 个 方程，写成矩阵形式，有（显然，当m > 0时，δ0m=0)
wk +
+
xk
z -1 z- 1 z- 1 z- 1 … an
a1
a2
图5-1
产生AR(p)序列的模型结构
（2）滑动平均模型 时间序列{xk} 若能用下述 n 阶差分 方程描述：
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xk wk b1wk 1 b2 wk 2 aq xk q （5.1.2）
产生ARMA（p，q）序列的模型结构如图5-3所示
wk z- 1 b1 z- 1 b2 z- 1
xk
… bq
a1
z- 1
a2
z- 1
… ap z- 1
图5-3 产生ARMA(p，q)序列的模型结构
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以上介绍了三种广泛应用的时间序列模型。为了说明这 三种模型的实用性以及它们之间的联系，下面我们不加证明 地给出以下几个重要的结论： （1）任何一个有限方差的实值平稳 ARMA或MA序列都 可近似地表示成唯一的、阶数足够大的 AR 序列；同样，任 何 ARMA 或 AR 序列也可用阶数足够大百度文库 MA 序列来近似表 示。这就是著名的Wold分解定理。 （2）基于Wold分解定理，总可以选择阶数足够高的 AR 模型来合理逼近任意平稳的时间序列，而建立 AR 模型比 ARMA或MA模型在计算上要简单的多。 正是基于这个缘故，关于有理式传递函数的模型大多采 用AR模型来近似，特别是在大信噪比的条件下，AR(p) 与 ARMA(p，q) 模型的精度没有本质上的差别。
wk z- 1 -a1 z- 1 -a2 z- 1 … -a2M a1 z- 1 a2 z- 1 … a2M z- 1 xk
图5-5
与图5-4信号模型对应的ARMA序列结构
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这种方法避免了FFT分析方法中采用的周期延拓、或强 制规定观测区间以外的数据为零所带来的弊端。ARMA模型 这种自然的周期延拓相当于增加了有效数据的长度，从而具 有较好的频率分辨力。 下面推导基于特殊ARMA模型的谱估计算法。 考虑式（5.1.5），令
cos2 cos1 cos2 cos22 1 cos M1 cos M2
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cosM s21 Rx (1) cos2M s22 Rx (2) （5.1.9） 2 R ( M ) cos MM sM x
( z z )( z z ) a z
i * i i 1 i 0 i
M
2M
2 p i
ai z i 0
i 0
2M
（5.1.4）
的根决定。易知，|zi|=1, 且系数是对称的，即 ak=a2M-k ，其 中， (0 ≤ k≤ M)。 与式（5.1.4）对应的差分方程是
量，它在一次实现中为常量。将上式代入三角恒等式 A sin( k ) A sin[(k 2) ] 2 A cos sin[(k 1) ] 可得二阶差分方程
sk 2 cos sk 1 sk 2 0
对上式的两边取 z － 变换，得 (1 2 cos z 1 z 2 )S ( z) 0 这样，就得到特征多项式
1 a1z a2 z 2 a2 M z 2 M 0
的根zi，zi* （i=1，2，…，M）；将这些根记为
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zi exp(j i ) 和 zi* exp( ji ), i 1, 2, , M
由此可确定各正弦波的频率ωm。 （4）计算式（5.1.5）的自相关函数。当{ wk }~ WN(0,σ2) 时，有
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5.1 时间序列的参数模型与谱估计
相当多的平稳随机过程都可以看作线性系统对白噪声激 励的响应，而这种响应按发生的时序排列就可得到 时间序 列；如果用线性差分方程来描述时间序列的因果关系所得到 数学模型，则称之为自回归-移动平均（Autoregressive Mov －ing Average — ARMA）模型。 假设时间序列可以用具有有限个参数的模型近似地描 述，那么，在估计出这些参数的同时，近似地估计了时间序 列的本身，包括它的功率谱。这样，谱估计问题就简化为参 数估计问题。
1 2 cos z 1 z 2 0
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它有一对共轭复数根，即 z1, 2 cos jsin exp( j) 由此可决定正弦频率 i tg1[Im(zi ) / Re(zi )], i 1, 2 通常取正频率。显然，若M 个实正弦波没有重复频率的话， 则该M 个频率应该由特征多项式
x [ xk , xk 1 ,, xk 2 M ]T a [1,a1 ,a2 ,,a2 M ]T w [ wk , wk 1 ,, wk 2 M ]T
则式（5.1.5）可写成
x Ta w Ta
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（5.1.6）
用向量 x 左乘式（5.1.6）两边，并取数学期望
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联立求解，就可估计出各个正弦波的功率σsi2 。 上述谱估计算法具有无限的分辨力。但皮萨连柯谱估计 方法会遇到一系列困难。① 输入序列{xk }的各个相关函数 Rx(k) 事先不能准确知道。因此，计算步骤中的Rx(k) 必须代 之以它们的估计值；② 当谱线根数 M 未知或当噪声是有色 时，也会带来估计误差；③ 确定方程（ 5.1.8 ）的最小特征 值的计算量较大。 幸运的是皮萨连柯谱估计（即特殊的 ARMA谱估计）与 实际广泛使用的 AR 谱估计有密切的关系，阐明它们之间的 联系有助于寻找改善AR谱估计的途径。
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FFT 分析法有两个明显的优点: 其一， M个正弦波即使不具有谐波关系，模型也是精确 的； 其二，当观测到N个数据 {xk} （k=0，1，…，N-1）， 并由此做出2M个参数 ai（i=0， 1 ， … ， 2 M ）的估计时， 由 估计参数所构成的 ARMA 模型 便可自动地产生观测数据以 外 的数据。
sin(ω1 k+υ1) sin(ω2 k+υ2) sin(ωM k+υM) 图5-4
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A1 A2
wk
Σ
+
xk
AM
+
…
背景噪声加正弦波模型
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…
先考虑单个正弦波的情况，即 并假定初始相位 υ k
sk A sin( k ) 是在（ - π ， π ）均匀分布的独立随机变
2 E[xwT ] E[(s w)wT ] E[wwT ] w I
将上述关系代入（5.1.7），得到 Rx 的特征方程
2 Rx a w a
（5.1.8）
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上式表明，σw2 是自相关矩阵 Rx 的特征值，而a 是对应 该特征值的特征向量。归纳起来，皮萨连柯谱估计的步骤为 （1）计算矩阵
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5.1.2
ARMA谱估计
在谱线检测与跟踪问题中，考虑的问题是输入序列{xk } 含有背景噪声 wk 成分和 M 个正弦波成分，如图5-4所示。 其中， M 个正弦波可以不具有谐波关系。因而，用经典的 FFT分析方法这种信号很难获得高的频率分辨力。 下面证明，当 wk 为白噪声时，输入序列 {xk}可用基于 ARMA 模型的谱估计方法，也即皮萨连柯（ Pisarenko ）谱 估计来精确地描述。
E[ xxT ]a E[ xwT ]a
（5.1.7）
若记 Rx(m)=E[xk ·xk-m], 则有
Rx (1) R x ( 0) R (1) R x ( 0) x T Rx E[ xx ] Rx (2M ) Rx (2M 1) Rx (2M ) Rx (2M 1) R x ( 0)