三角函数周期

世界上有许多事物都呈现“周而复始” 的变化规律，如四季更替，星期变化.这种 现象在数学上称为周期性，在函数领域里， 周期性是函数的一个重要性质.
诱导公式 : 对任意的x R, sin(2 x) sin x, cos(2 x) cos x
正弦函数和余弦函数所具有的这 种性质称为周期性．
定义：对于函数f(x)，如果存在一 个—非—零—常——数—T，对于定义域内的 —每—一—个—x 值，都有f(x+T)＝f(x)，那么函数 f(x) 就叫做周期函数，非—零—常——数—T叫做这个 函数的周期。
义域内的一个值,则x kT k Z 也
一定属于定义域, 因此周期函数的定义域一 定无界
例 1 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是 π，且当 x∈0，π2时，f(x)＝sin x，求 f 53π的值．
解 ∵f(x)的最小正周期是 π， ∴f 53π＝f 53π－2π＝f －π3 ∵f(x)是 R 上的偶函数， ∴f －π3＝f π3＝sin π3＝ 23.∴f 53π＝ 23. 小结 解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性， 把自变量 x 的值转化到可求值区间内．
T .
周期求法： • 1.定义法：
• 2.公式法： • 3.图象法:
函数 y=Asin(ωx+φ) 及y=Acos(ωx+φ)
（其中A ,ω,φ为常数，且 A≠0, ω≠0 ）
的周期是:
T 2 ( 0)
函数y=Atan(ωx+φBiblioteka Baidu (A≠0, ω≠0)周期
为
T
练 1.求下列函数的最小正周期
注1: 若T为函数f(x)的周期,则kT(k≠0且 k∈Z) 都是函数f(x)的周期.
注2： 对于一个周期函数f(x),如果在它所 有的周期中存在一个最小的正数，那么这
个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。
周期函数的图象具特征: 重复性
h 60
55
50 50
45
40
35
30
25
2020
15
10 10
习
(1) f (x) sin(2 x ); (2) f (x) 1 cos( x );
5
2 32
(3) y 3 tan(1 x ), x R.
34
2. 若函数 f ( x) sin(kx 的) 最小正
周期为 ，求正数2 的值。5 k
3
3.已知函数
f
x
sin
k 3
x
4
,
使f
函数，你能找出最小正周期吗？
f (x) 5
常数函数没有最小正周期
探究： 正切函数是否为周期函数？ 若是周期函数，其周期为多少？
结论2：正切函数是最小正周期为π 的周期函数.
应用解题
例1 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s) 之间的函数关系如图所示：
(1)求该函数的周期;
(2)求t=10s时钟摆的高度
当ω<0周期为 T 2
(3)
y
2
tan
2
x
4
结论:
函数y=Atan(ωx+φ),x∈R(其中
A,ω, φ为常数，且A≠0,ω ≠ 0)的周
期为 T
(4)f ( x) sin x 1 解:(4)设f ( x) sin x +1的周期为T .
f (x T) f (x)
sin x T sin x 由诱导公式 sin x sin x
h 60
55
50 50
45
40
35
30
25
2020
15
10 10
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
o
12 3
t
解：(1)由图象可知，该函数的周期 为1.5s.
(2)设h=f(t)， 由函数的周期为 1.5s,可知f(10)=f(1+6×1.5)=f(1)=20,
故t=10s时钟摆的高度为20mm.
应用
例2.求下列函数的周期
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
o
12 3
t
结论1: 正弦函数和余弦函数都是周
期函数
2π是周期.
2kπ(k≠0且k∈Z) 都是正弦函数 和余弦函数的周期.
2π是正弦、余弦函数 的最小正周期.
说明:今后所说周期,如不作 特殊说明,均指最小正周期.
问: 是否每一个周期函数都有最小正
周期?
否
下面函数是周期函数吗？如果是周期
令u 2x，则
cos u 2T cos u
对任意实数u都成立，
又 y cos u的周期为2， 2T T 2 ,即T .
等式f ( x T ) f ( x),强调： 自变量x本身加的常数才是周期, 例如:f (2x T ) f (2x),T不是周期,而应写成
f (2x T)
跟踪训练 若 f(x)是以π2为周期的奇函数，且 f π3＝1，求 f －56π 的值．
解 f －56π＝f －56π＋π2＝f －π3＝－f π3＝－1.
问题 满足条件：f(x＋a)＝－f(x) (a 为常数且 a≠0)的函数 y＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是， 说明理由．
1 2
x
6
1 2
T
2 sin
1 2
x
6
令u
1 2
x
6
,
则sin
u
1 2
T
sin
u
由y sin u周期为2
T 2 , 即T 4 .
2
结论:
函数y=Asin(ωx+φ),x∈R及函数
y=Acos(ωx+φ),x∈R(其中A,ω, φ为常 数，且A≠0,ω ≠ 0)的周期为
T 2
(1) f ( x) cos 2x,
(2) f ( x) 2sin( 1 x ),
26
(3)
y
2
tan
2
x
4
(1)f ( x) cos 2x 解:设f ( x) cos 2x的周期为T .
则 f (x T) f (x)
即 cos 2 x T cos 2x
cos 2x 2T cos 2x
(x)的周
期在(2/3, 4/3)内, 则正整数k的最小值和最
大值分别是多少?
解：函数f (x)的最小正周期为6k ，
故
6
k
2 3
,
4 3
，得
9 k 9 ，
2
又k为正整数，
故k的最小值为15，最大值为28.
思考
y=sinx(x∈[0,4π])是周期函数吗？
在周期函数y f ( x)中,T是周期,若x是定
f
2(
x
T 2
)
f (2x),此时 T 才是 2
函数y f ( x)的周期.
(2)f
(
x)
2
sin
1 2
x
6
解:设f
(
x)
2
sin
1 2
x
6
的周期为T
.
f (x T) f (x)
2
sin
1 2
(
x
T
)
6
2
sin
1 2
x
6
2
sin
1 2
x
1 2
T
6
2
sin
1 2
x
6
2
sin