八下数学第一章三角形的证明讲义讲解

第一章三角形的证明
1.1等腰三角形（一）
一、问题引入：列举我们已知道的公理：.
（1）公理：同位角，两直线平行.
（2）公理：两直线，同位角.
（3）公理：的两个三角形全等.
（4）公理：的两个三角形全等.
（5）公理：的两个三角形全等.
（6）公理：全等三角形的对应边，对应角. 注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.
二、基础训练：
1. 利用已有的公理和定理证明：
“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.”
2. 议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
（2)等边对等角三线合一
三、例题展示：
在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC，
试猜想EF与AD之间有什么关系?并证明你的猜想.
四、课堂检测：
1. 如图，已知：AB∥CD，AB=CD，
若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个
条件，下列条件中，哪一个不能使
△ABE≌△CDF的是（）
A.∠A=∠B ; B . BF=CE; C. AE∥DF; D. AE=DF.
2. 如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为.
3.（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为.
（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为.
4. △ABC中，AB=AC, 且BD=BC=AD，求∠A的度数.
5. 如图，已知D.E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE
中考真题：已知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE, DG⊥CE,G 是垂足，求证：
（1）G是CE中点.
（2）∠B=2∠BCE.
1.1 等腰三角形（二）
一、问题引入：
1. 在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线.中线.高），你能发现其中一
些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？
2.等腰三角形的两底的角平分线相等吗？怎样证明.
已知：
求证：
证明：
得出定理：
.
问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明
二、基础训练；
1. 请同学们阅读P6的问题（1）.（2），由此得到什么结论？
2. 我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？并与同伴交流，由此得到什么结论？
得出定理： ；简称： .
三、例题展示：
如图，△ABC 中，D.E 分别是AC.AB 上的点，BD 与CE
相交于点O ，给出下列四个条件①∠EBO=∠DCO ；
②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD;④OB=OC,上述四个条
件中，哪两个条件可判定是等腰三角形，请你写出一种情形，并加以证明.
四、课堂检测：
1. 已知：如图，在直角△ABC 中，角C 为45度，AD 垂直于BC,DE 垂直于AB,则图中等腰直角三角形共有（ ）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
2. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=1200, D.E 是BC 上两点，且
第1题 第2题 第3题 第4题
AD=BD，AE=CE，猜想△ADE是三角形.
3. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交与点O，若AB=12，AC=18，
BC=24，则△ABC的周长为（）
A.30
B.36
C.39
D.42
4. 在△ABC中，AB=AC, ∠A=360,BD.CE是三角形的平分线且交于点O，则图
中共有个等腰三角形.
5. 如图：下午14：00时，一条船从处出发，以28海里/小时的速度，向正北航
行，16：00时，轮船到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西280,从B处测得灯塔C在北偏西560,求B处到灯塔C的距离.
1.1 等腰三角形（三）
一、问题引入：
1. 已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形.
2. 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？试着证明你的结论.
得出定理：有一个角是的三角形是等边三角形.
二、基础训练：
做一做：用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.根据操作，思考：在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明.
得出定理：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的.
三、例题展示：
1. 等腰三角形的底角为150，腰长为2a，求腰上的高.
2. 判断：（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半.（）
（2）有一个角是600的三角形是等边三角形.（）
3. 证明三个角都相等的三角形是等边三角形.
四、课堂检测
1. 等腰三角形的底边等于150，腰长为20，则这个三角形腰上的高是.
2. 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠A =300，CD⊥AB，BD=1，则AB= .
3. 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点，DE⊥AC,则AE:EC= .
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=900,沿B点的一条直线BE折叠△ABC，使点C
恰好落在AB的中点D处，则∠A= .
5. 在Rt△ABC中，∠C=300，AD⊥BC，你能看出BD与BC的大小关系吗？
中考真题：已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，DE=1.8，求AB的长.
1.3 线段的垂直平分线（一）
一、问题引入：
“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？
二、基础训练：
议一议：写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题？它是真命题吗？如果是，请证明，并与同伴交流.
三、例题展示：
例：如图在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB.BC延长线于F.E
求证：（1）∠EAD=∠EDA ;
（2）DF∥AC
（3）∠EAC=∠B
四、课堂检测:
1. 已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在
上.
2. 已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC= .
3. △ABC中，∠A=500，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数.
4. △ABC中，DE.FG分别是边AB.AC垂直平分线，则∠B ∠BAE，∠C ∠GAF ，
若∠BAC=1260，则∠EAG= .
5. 如图，△ABC中，AB=AC=17，BC=16，DE垂直平分AB，则△BCD的周长是.
6. 有特大城市A及两个小城市B.C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该
厂到B.C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置.
第1题第4题第5题
中考真题：已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB.BC 于D.E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C
1.3 线段的垂直平分线（二）
一、问题引入：
1. 等腰三角形的顶点一定在上.
2. 在△ABC中，AB.AC的垂直平分线相交于点P，则PA.PB.PC的大小关系是.
3. 在△ABC中，AB=AC，∠B=580，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC= .
4. 已知线段AB，请你用尺规作出它的垂直平分线.
A B
二、基础训练：
1. 三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点，这一点到三个顶点的距离是否
相等？上面的问题如何证明？
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于，这一点到三个顶点的距离.
三、例题展示：
（1）如图，在△ABC中，∠A=400,O是AB.AC的垂直平分线的交点，求∠OCB 的度数；
（2）如果将（1）中的的∠A度数改为700，其余的条件不变，再求∠OCB的度数；
（3）如果将（1）中的的∠A度数改为锐角a，其余的条件不变，再求∠OCB 的度数.你发现了什么规律？请证明；
（4）如果将（1）中的的∠A度数改为钝角a，其余的条件不变，是否还存在同样的规律？你又发现了什么？
四、课堂检测：
1. 在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）
A. 三角形三条角平分线的交点；
B. 三角形三条垂直平分线的交点；
C. 三角形三条中线的交点；
D. 三角形三条高的交点.
2. 已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（）
A. 锐角三角形；
B. 直角三角形；
C. 钝角三角形；
D. 不能确定
3. 等腰Rt△ABC中，AB=AC，BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于
点O，则点O到三角形三个顶点的距离是.
4. 已知线段a.b，求作以a为底，以b为高的等腰三角形.
a b
中考真题：已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE，试探究图中相等的线段.
1.4角平分线（一）
一、提出问题：
1. 角平分线的定义：______________________________________
2. 问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？
你是怎样得到的？你能证明它吗？
定理归纳：
问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你能证明它？
定理归纳：
二、基础训练：
用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明.
三、例题解释：
例：如图，已知AD 为△ABC 的
角平分线，∠ABC=90°，EF ⊥AC ，
交BC 于点D ，垂足为F ，DE=DC ，
求证：BE=CF.
四、课堂检测
1. OM 平分∠BOA ，P 是OM 上的任意一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为
D.E ，下列结论中错误的是（ ）
A ：PD=PE
B ：OD=OE
C ：∠DPO=∠EPO
D ：PD=OD
2、如图所示，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ，则下列结论不正确的是（ ）
A:△AEG ≌△AFG B:△AED ≌△AFD
C:△DEG ≌△DFG D:△BDE ≌△CDF F E D C B A
3. △ABC中, ∠ABC.∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________°
4. 与相交的两直线距离相等的点在（）
A：一条直线上B：一条射线上
C：两条互相垂直的直线上D：以上都不对
5. ∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_________.
6. 在RT△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则
D到AB的距离是________.
7. 如图在两条交叉的公路L1与L2之间有两家工厂A.B，现在要修一个货物中
转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试.
中考真题：
如图，梯形ABCD，ABCD，AD=DC=CB，AD.BC的延长线相交于G，
CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，
（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）
（2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由.
1.4 角平分线（二）
基础训练：
1. 如图：设△ABC的角平分线交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上
定理：三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离.
引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a.b.c，则三角形的面积S= .
2. 已知：△ABC中，BP.CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P
到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为.
3. 到三角形三边距离相等的点是（）
A.三条中线的交点；
B.三条高的交点；
C.三条角平分线的交点
D.不能确定
三、例题展示：
例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E. （1）已知：CD=4cm,求AC长
（2）求证：AB=AC+CD
四、课堂检测：
1. 到一个角的两边距离相等的点在.
2. △ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D，BC=21cm，BD:DC=4:3，则D 到AB的距离为.
3. Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC
于E，AB=8cm，则DE+DC= cm.
4. △ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O，则
∠BAO和∠CAO的大小关系为.
5.Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是.
6. 已知：OP 是∠MON 内的一条射线，AC ⊥OM ，AD ⊥ON ，BE ⊥OM ，BF ⊥ON ，垂足分别为C.D.E.F ，且AC=AD 求证：BE=BF
中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品
批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置.
第一章 单 元 检 测
一、填空题（每小题3分）：
1．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，若量得水管
AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC
的长为 米. 2. 如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形 是 三角形.
3. 如图，已知AC=DB ，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是
或 .
4. 命题：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是
___________________________________ ___.
这条逆命题是______命题（填“真”或“假”）
5. 如图，一个顶角为40º的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四
边形，则=∠+∠21_________ ；
6. 在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ，
则∠BAC ＝ ，∠DAC ＝ ，BD ＝ cm ； 第18题图
C B A 第1题 第5题
7. 已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC.∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB
交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC = 10，则△ODE 的周长 为 . 8. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线
MN 与AB 相交于D 点，则∠BCD 的度数是 .
9. △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.若DC=7，则D 到AB 的距
离是 .
10. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD
的长为 .
二、选择题（每小题3分）
1.等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，则它的顶角等于（ ）
A.90°
B.60°
C.120°
D.150°
2.下列两个三角形中，一定全等的是 （ ）
A.有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形
B.两个等边三角形
C.有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形
D.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形
3. 到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（ ）
A.三边中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边上高的交点
D.三边垂直平分线的交点
4. △ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D 若BC=a ，则AD 等于（ ）
A.21
a B.23a C.2
3a D.3a 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ）
A.30°
B.36°
C.45°
D.70°
三、解答题（每题12分）
1. 如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°.求：（1）∠ABC 的度数
（2）AD 和CD 的长.
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°.
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC. AB于点M.N(保留作图痕迹，不写作法).
(2)猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想.
四、证明题（每题10分）
1.已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.
求证：D在∠BAC的平分线上.
2. 已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．
求证：BD＝DE．
五、（本题11分）
阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，
且∠BAE=∠CDE．
求证：AB=CD
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法提示，请任意选择其中一种，对原题进行证明．。