椭圆中焦点三角形性质探究公开课教案

椭圆中焦点三角形性质探究

教材分析：本节是人教版选修2-1第二章2.2椭圆之后专题课，是椭圆知识的延续。焦点三角形蕴含着椭圆很多耳目一新的几何性质，这些性质浑然一体，相得益彰。在全国各地的高考模拟试题及高考试题中以焦点三角形为载体的问题，更是层出不穷，精彩纷呈。故值得我们去探究与总结。

学情分析：

学生已初步具备解析几何思想。也已经掌握椭圆的定义和相关性质，但是对于常考题型，还没有全面了解。焦点三角形是圆锥曲线中一种特殊的三角形，受到其几何图形的影响与三角形面积相关的考点，学生往往自顾不暇，计算繁琐。

教学目标：

1、知识上，能一起探究焦点三角形的常用结论。如三角形形状判断，顶角

问题，面积问题，离心率问题等，体现了知识的整合性

2、思想上，能理解、会应用，体会到一些有用的结论将会为解析几何的解题带来帮助；

3、行动上，笔不离手，认识到有效的计算是解答解析几何问题的必备手段。教学思想：

数学在其自身的发展过程中充满了合情推理和逻辑推理的过程，充满了数学实验的过程，如何使学生在数学学习中受到数学文化的熏陶，体验到数学思想方法的美妙，进而使思维品质得到有效的锻炼，逐步形成用数学看世界的思维方式呢？那么，本节课就是一个很好的载体。圆锥曲线是中学数学的难点和重点，以椭圆双为背景的问题往往是学生学习结合的难点，在学习解析几何初步的过程中，结合新课标要求，学生必须掌握一个经典的知识点及焦点三角形的相关问题，在焦点三角形知识点的探求中，学生会逐步的发现问题，经历搜索解决问题，这正是学习数学的妙处。

课程资源：

导学案：网络上关于“焦点三角形”资源。

教学重点：

发现焦点三角形的题型与解决思路

教学难点：

解析几何与平面几何思想方法的融合

教学方法与工具：

导学案“以学定教”式，小组合作讨论

教学内容：

圆锥曲线在高考中常以大题和小题各出一题的形式来考察，而小题一般是性质的灵活运用。在椭圆之中有一个三角形就是高考常客。

学生活动1：观察图中三角形，尝试发现三角形的顶点与椭圆的关系。定义：椭圆上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；

学生活动2：观察焦点三角形，结合椭圆特征，发现三角形中一些常见结论。

（提示：因为焦点是定点，只有一个顶点为动点，因此与其相关的最值问题层出不穷。因此可以从边、角、周长、面积等角度探究）

总结：关于椭圆焦点三角形的常见问题：

一、焦点三角形的形状与周长问题

二、焦点三角形的顶角问题

三、焦点三角形的面积问题

四、焦点三角形相关的离心率问题一、焦点三角形的形状与周长问题

问题1：椭圆22

11612

x y +=上一点P 到两焦点1,2F F 的距离之差为2，试判断12PF F

的形状.

221(4

x M y y k x A B +== 练习1：已知点，，椭圆与直线交于点、，则ABM的周长为（ ）A.4 B.8 C.12 D.16

p

F 1F 2

设计意图：从相关的基础知识出发，以定义为背景设计习题，让学生感受知识的生长点。

二、焦点三角形的顶角问题

学生活动3：在椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）中，1F 和2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，当点P 在短轴端点时12F PF ∠最大，在长轴端点时

12F PF ∠最小.此时，cos 12F PF ∠有最小值2221b a -.

2222221212

12422PF PF F F m n c PF PF mn

θ+-+-==cos 222222

244244221222()m n m n c a m n c

b m n b m n m n m n m n

+-----====-22

2222112

b b m n a ≥-=-+(m n P ==(,"")

当且仅当即点与短轴端点重合时成立问题2:（2004湖南卷）

2212,:1,84

x y F F C +=是椭圆的焦点的个数为？的点上满足在P PF PF C 21⊥22

1104

x y +=变式:椭圆为呢？设计意图：体会椭圆与解三角形知识间交融。

三、焦点三角形的面积问题

学生活动4：

椭圆两个点椭圆点椭圆积22

1222

12x y 若F 、F 是+=1(a >b >0)的焦，a b P 是上一，且∠F P F =θ，求的面。