基本不等式--教学课件

ab 我们已经知道了 ab , 的大小 2 2 2 a b 关系，那么它们与 的大小关系 2 如何？先猜猜，再试着证证，想想能否也 用几何图形对它加以解释！
1 例2： 当 x>0 时， x 的最小值 x
为 2 ，此时x= 1 。
思考：当 x<0时表达 式又有何 最值呢？
例3
求：
x 2
结论2：两个正变量和为定值，则积有最大 值，当且仅当两值相等时取最值。
• 应用基本不等式求最值的条件：
•
一正
二定
三相等
a与b为正实数
积定和小
和定积大
若等号成立， a与b必须能 够相等
总结提炼、归纳新知：
本节课你学到了哪些数学知识和数学思想？
布置作业： 必做题：P100，第1，2题 选做题（延时探究）：
a 2 b2
b
a
得
赵爽：弦图
a b 2ab
2 2
变化的弦图
当正方形EFGH缩为一个 点，即a=b时，这时有 2 2 a b 2ab
证明：（作差比较法）
几何解释
代数证明
a b 2ab
2 2
( a , b R)
形
数
运用新知、深入探究：
问题5：
当 a 0, b 0 时，能用 a 、 b 分别代替 b 吗？会得到什么结果？ 中的 a 、
问题7： a 2 b2 2ab 我们可以通过弦
图给以几何解释， ab ab a 0, b 0 那么 2 也能有它合理的几何解释吗？ 同学们试着从下图中去发现！
D
设AC=a，BC=b
B
A
a
O
ab
C
b
动态演示
E
几何解释
2 2
代数证明
a b 2ab
( a , b R)
（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园， 如何设计篱笆的长和宽，菜园的面积最大？最 大面积是多少?
解：设矩形菜园的长为x m,宽为y m ,
则2(x+y)=36,x+y=18, 矩形菜园的面积为xy m .
2
x y 18 xy 9 2 2
xy 81
当且仅当x=y,即x=9，y=9时等号成立。 因此，这个矩形的长、宽为都9m时，菜园的面积最大，最 大面积是81m2
若 若 a∈ a>0 R,bb>0 ∈R
2 2 那么 那么 a a+ +b b ≥2 ≥2
ab a b
பைடு நூலகம்
（当且仅当a=b时，取“=”号）
几何解释
代数证明
a 2 b2 2ab
( a , b R)
a b 2 ab (a 0, b 0)
ab ab (a 0, b 0) 2
形
数
问题6：替换得到的不等式一定成立吗？ 能否利用不等式的性质进行证明？
求证： a b ab (a 0, b 0) 2 证明： 要证 分析法：执果索因 a b 2 ab 只要证 只要证 只要证
2 ab
a b
显然（*）是成立的。当且仅当a=b时， （*）中的等号成立。
几何解释
ab
时等号成立
ab ab (a 0, b 0) 2
几何解释 代数证明
时 等号成立
ab

a b

2
0
形
数
深入生活、解决问题：
例题（1）用篱笆围一个面积为100 m 的矩形菜园， 如何设计篱笆的长和宽，能使所用篱笆最短，最短 的篱笆是多少？
解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
创设情境、体会感知：
上图是2002年在北京召开的第24届国际数学 家大会的会标。会标是根据中国古代数学家 赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去 像一个风车，代表中国人民热情好客。
ICM2002 问题1： 同学们能从会
标中抽象出什么样的几 何图形？
赵爽：弦图
ICM2002会标
观察发现、寻找关系：
2
ab ab 2
则面积为xy=100 m ，篱笆的长为2（x+y）m.
2
x y 2 xy 2 100 20
2x y 40
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，
最短的篱笆是40m.
结论1：两个正变量积为定值，则和有最小 值，当且仅当两值相等时取最值。
2
1 x 2
2
的最值？
结论 已知 x、y都是正数，
（1）如果积 xy是定值P,那么当x=y时，
和x+y 有最小 值
2 p （积定和最小）
（2）如果和x+y 是定值S,那么当x=y
时，积 xy有最大值
1 2 （和定积最大） S 4
2 2
代数证明
a b 2ab
( a , b R)
a b 2 ab (a 0, b 0)
ab ab (a 0, b 0) 2
ab
时等号成立
代数证明
形
数

a b

2
0
ab ab (a 0, b 0) 2
基本不等式
算术平均数 几何平均数
文字表述：两个正数的算术平均数 不小于几何平均数。