运筹学1-3(1)

是可行域的顶点⇒ ②．证 X 是可行域的顶点⇒X 是基可行解 （等价于证：X 不是基可行解⇒ X 不是可行域的顶点） 设 X 不是基可行解
s
∑P x
j =1 j
j
=b
(s ≤ n) s
存在不全为 0 的一组实数α 1 ,L ,α s ，使
∑α
j =1 s
s
j
Pj = 0
s
用一正数θ乘以上式与前式相加减可得： 用一正数θ乘以上式与前式相加减可得：
i i =1 i =1 k k
因此 C X =C ∑ α i X = ∑ α i CX i
0
i i =1 i =1 k k
在所有的顶点中必然能找到某一个顶点 Xm，使得 CXm 是所有 CXi 中 最大者。并且将 Xm 代替上式中的所有 Xi，就得到
∑α i CX ≤
i i =1
k
α i CX m = C Xm ∑
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练习
X1和X2 (X1 ≠X2)为某一线性规划问题的最优 证明该线性规划问题有无穷多个最优解。 解，证明该线性规划问题有无穷多个最优解。
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∑( x
j =1
j
+ θα j )Pj = b ,
∑( x
j =1
j
− θα j )Pj = b
即可得 X1பைடு நூலகம்( x1 + θα 1 , x2 + θα 2 ,L , x s + θα s ,0 ,L ,0 ) X2=( x1 − θα 1 , x2 − θα 2 ,L , x s − θα s ,0 ,L ,0 ) X1≠ X2，只要θ充分小，X1、X2 都为可行解， 只要θ充分小， 都为可行解，
X 1 ,L , X K 的凸组合。 则称X 的凸组合。 则称 为
二维空间
两点连线上的任何一点都是这两点的凸组合
X = αX 1 + ( 1 − α ) X 2 (0 ≤α ≤ 1)
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•凸集 凸集
设 K ⊂ E n ，若任意两点 X 1 ∈ K , X 2 ∈ K 的凸组合属 于 K，即 ，
j =1 j
j
=b
(s ≤ m) , P1，…，Ps 线性无关
不是顶点， 为可行解， 设 X 不是顶点，则有 X1，X2 为可行解，X1≠ X2， 由 得 故
X = αX 1 + ( 1 − α ) X 2 ≥ 0 ( 0〈α 〈1 ) ax 1j + ( 1 − α ) x 2 = 0 (j > s) j x 1j = x 2 = 0 (j > s) j
顶点。 顶点。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
图中红粗线和红点是顶点。 图中红粗线和红点是顶点。
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3-2 基本定理
若线性规划问题存在可行解， 定理 1 若线性规划问题存在可行解，则所有可行解的集合 ——可行域 是凸集。 ——可行域 D = {X| AX= b，X ≥0 }是凸集。 是凸集 证明： 证明： 设 X1∈D，X2 ∈D，则 A X1=b，A X2=b，X1 ≥0，X2 ≥0 ， ， ， 1 2 故 AX =A[αX + ( 1 − α ) X ] 1 2 =αAX + ( 1 − α ) AX = b
1 1 1 2 X = X + X ，即 X 不是顶点，得证。 是顶点，得证。 2 2
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是有界凸集， 引理 2 若 K 是有界凸集，则任何一点 X ∈ K 可表示为 K 的顶点 的凸组合。 证略） 的凸组合。 证略） （
X2 X X4
0
X1
X3
图中， 图中，
X = αX 4 + ( 1 − α ) X 2 X = α1 X + α 2 X + α 3 X
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•
顶点（极点） 顶点（极点）
是凸集， 设 K 是凸集，X∈ K，若 X 不能用 K 的其它两点的凸组 ， 合 表 示 ， 即 不 存 在 X1∈ K ， X2∈ K(X1≠ X2) ， 能 使
X = α X 1 + ( 1 − α ) X 2 ( 0〈 α 〈 1) ，则称 X 为 K 的一个
i =1
k
由此得到 C X0 ≤ C Xm 根据假设 C X(0)是最大值，所以只能有 即目标函数在顶点 Xm 处也达到最大值。
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C X0 =C Xm
结论： 结论： 线性规划问题的可行域是凸 集（凸多面体），有有限多个 凸多面体），有有限多个 ）， 顶点。顶点对应基可行解。 顶点。顶点对应基可行解。当 可行域有界时， 可行域有界时，必有顶点达到 目标函数最优值。 目标函数最优值。
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的顶点。 定理 2 线性规划问题的基可行解 X 对应于可行域 D 的顶点。 证明： 反证法）不失一般性， （ 证明： 反证法）不失一般性，设 X=( x1，x2， xs，0，…，0) ， ， ①. 证 X 是基可行解 ⇒ X 是可行域的顶点 X 是基可行解，有 是基可行解，
s
∑P x
§3 单纯形法原理
本节重点： 本节重点： 凸组合的概念 凸集的概念 线性规划基本定理
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3-1
基本概念
• 凸组合 设 X 1 ,L , X K ∈ E n 若存在 α 1 ,K ,α k ，0 ≤α i ≤ 1 ， ，且 ∑ α i = 1 ，使
i =1 K
X = α1 X 1 + L + α k X k
X = αX 1 + ( 1 − α ) X 2 ≥ 0 ( 0 ≤ α ≤ 1 ) 为凸集。 所以 X∈D , D 为凸集。
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x ·· x T 引理 1 线性规划问题的可行解 X=(x1， 2， · ， n） 为基可行解的充分必要条件是 X 的正分量所对应的系 数列向量是线性无关的。
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补充
线性规划基本定理： 线性规划基本定理： 线性规划问题
若存在可行解则必定存在基可行解； 若存在可行解则必定存在基可行解；若 存在最优解则必定存在基最优解。 存在最优解则必定存在基最优解。( 证略 )
因此， 因此，下面求解线性规划问题就是求其基 最优解， 当存在无穷多最优解时， 最优解 ， 当存在无穷多最优解时 ， 若能找出 它的所有基最优解， 它的所有基最优解 ， 这些基最优解的任一凸 组合便表示它的一个最优解。 组合便表示它的一个最优解。
Pj x = b ， ∑ Pj x 2 = b ∑ j
j =1 1 j j =1
s
s
二式相减得
Pj ( x 1j − x 2 ) = 0 ∑ j
j =1
s
由 X1≠ X2 知 ∃ j ≤ s 使 x 1 ≠ x 2 ，这与 P1，·，Ps 线性无关矛盾。 ·· 线性无关矛盾。 j j
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证明： 证明： 必要性：由基可行解的定义可知， X 必要性：由基可行解的定义可知， 为基可行解 ⇒ 其 正分量的系数列向量线性无关。 正分量的系数列向量线性无关。 充分性： 充分性： 设可行解 X=( x1，x2，…，xs，0，…，0)T ， 的系数列向量 P1，…，Ps 线性无关，则必有 s ≤ m，当 s = 线性无关， ， m 时，P1，…，Ps 构成的行列式不为 0，X 为基可行解；当 为基可行解； s < m 时，总可从其余的系数列向量中取出 m – s 个与 P1，…，Ps 构成最大线性无关向量组，行列式之值不为 0， 构成最大线性无关向量组 量组， 对应的解恰为 X，由定义它是基可行解。 ，由定义它是基可行解。
1 2
( 0 < α < 1 ), X 4 = λX 1 + ( 1 − λ ) X 3
3
( α i > 0 , i = 1,2 ,3 ,
∑α
i =1
3
i
= 1)
代入上一式可得。 αi (i=1,2,3) 由 X4 代入上一式可得。
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若可行域有界， 定理 3 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在顶点上 达到最优。 达到最优。 证明： 设 X1，X2 ，·，Xk 是可行域的顶点，若 X0 不是顶点，且 ·· 目标函数在 X0 处达到最优 z* =C X0 (标准型是 z* = max z)。 因 X0 不是顶点，所以它可以用 D 的顶点线性表示为 X0= ∑ α i X ，α i ≥0， ∑ α i =1
X = αX 1 + ( 1 − α ) X 2 ∈ K (0 ≤α ≤ 1)
为凸集。 则称 K 为凸集。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
上图中(a)、 是凸集 是凸集， 、 不是凸集 不是凸集， 上图中 、 (b)是凸集，(c)、 (d)不是凸集，任何两 个凸集的交集是凸集，如图(e)。从直观上说， 个凸集的交集是凸集，如图 。从直观上说，凸集没 有凹入部分，其内部没有空洞。 有凹入部分，其内部没有空洞。