弹性力学中的有限元法

弹性力学中的有限元法FINITE ELEMENT METHOD

同济大学土木工程学院

第章

第一章弹性力学与有限元

弹性力学的任务

弹性力学的求解体系

弹性力学的解析求解

实际科学和工程求解的需求

有限单元法

弹性力学的求解体系=任意弹性问

15个

()i i ij u u ,,,1+=ε0,+i j ij X σ题均应满足

右边的控制

j j j j 2

ij

ij kk ij μεδλεσ2+=方程

弹性力学问题的求解困难

存在15个未知量，相应地建立了15个基本方程，好像已经完成了弹性力学的任务？！

但是，进一步应用就会发现，时至今日，这15个微分方程组的求解在数学上的遇到困难也是非常巨大的。在随后的100多年的时间里，数学、力学家们为了弹性力学的求解付出了艰苦的劳动和努力。

弹性力学问题的解析求解

平面问题的应力函数解法：

寻找一个满足双调和方程

的应力函数U(亦称Airy应力函数)。则其应力解答为

该应力解答还必须满足应力及位移边界条件。

弹性力学问题的解析求解扭转问题的扭转函数解法：

寻找满足泊松方程

的扭转函数F(x,y)，其应力解为

其应力解还必须满足力的边界条件：

弹性力学问题的解析求解空间轴对称问题的Love位移函数解法：寻找满足双调和方程

的Love位移函数Ψ(r,z)，其位移解为

该位移解还必须满足边界条件

薄板问题的挠曲函数解法：弹性力学问题的解析求解寻找一个满足双调和方程

的挠曲函数w 。则其应力解答为

……

该应力解答还必须满足应

力及位移边界条件。

最小势能原理及近似解法

最小势能原理：在满足位移边界条件(约束所允许的)一切位移中，真实的位移使弹性体的总势能取极值(极小值)。

近似解法：根据最小势能原理与弹性力学求解体系的等价性，可以提出弹性力学的近似解法求解微分方程求泛函的极值

瑞利李兹近似解法瑞利－李兹近似解法

选择一组满足位移边界条件的试探函

数u (x ,y ,z ):

将上述位移函数u (x ,y ,z )代入几何方程求出应变εij 、代入物理方程求出应力σij ,进而可以求得分析物体的总势能Π

()

m m m C B A f V U ,,=+=∏

瑞利李兹近似解法

瑞利－李兹近似解法

利用最小势能原理，对总势能取极值：

可以得到一组以A

m 、B

m

、C

m

为未知系数的代数

方程组。

求解该代数方程组得到系数A m、B m、C m，代u x

回位移函数(,y,z)就可以得到所需的解答。

用瑞利－李兹法求如右图所示的问题，可经过分析假设位移函数如下：

y

弹性力学解法小结

回顾上述的所有解法可以发现：

尽管作了大量的简化和努力，这些解法能够求解的仍是极其简单和少数的弹性力学问题。

适合于任何弹性体的求解控制方程组已完整建立，其求解却如此困难！

实际科学和工程求解的需求

苏州河水闸工程

苏州河水闸工程

四号线原位修复

险情发生后、基坑开挖等对临江花苑桩基承载力的影响(四号线修复)

水电地下洞室群稳定性分析

困扰了无数学者近个世纪的难困扰了无数学者近一个世纪的难题在上世纪五十年代终于得到了圆满的解答，那就是有限单元法的提出。也正是有限单元法的提出才最终使得弹性力学及其相关的一些学科真正走得弹性力学及其相关的些学科真正走向了科学和工程应用。

有限单元法的基本思路弹性力学解法的问题

在于：不论是应力函

数解法、扭转函数解

法、挠曲函数解法，

还是基于最小势能原

理的瑞利－李兹等方

法，其困难在于如何

给出一个在全求解区

域上均成立的试探函

数。

移或应力函数得到了巧妙的解决。

i j

m

x

有限单元法的基本思路

对于任意单元(i ,j ,m )，以结点位移(u i ,u j ,u m )为待定系数，可以给出该单元的插值函数：

m

m j j i i u y x N u y x N u y x N u ),(),(),(++=将上述位移函数代入几何方程

求出单元应变εij 、再代入物理

方程求出单元应力σij 。

进而可以求得单元总势能。

任意单元i j m

有限单元法的意义

有限单元法的出现使理论体系上已经非常完善的弹性力学求解方法真正走向了科学和工程应用。

人们常说，土木工程是一门古老而又年青的学科，指的是……

分析与计算是岩土及地下结构设计的基础，掌握现代有限元的基础理论以及一些功能强大的商用和专用有限元软件(如Ansys、Flac等)的使用，让岩土工程由定性向定量转变，理所当然应该是本专业所必需的要求。

有限元算例

9悬臂梁

9水坝

9房屋

9边坡稳定性分析

9裂纹扩展

9盾构隧道的施工沉降及影响