第三章 静定梁与静定刚架

24
4kN/m
20kN
10kN C
E
F
D
6kN
6kN
A
B
3kN
13kN
9kN
14kN
1.5m 1.5m 1m 1.5m 1.5m 1m
3m
对于AC段梁:
MB 0
1
27
FyA 3 (201.5 31) 3 9kN()
Fy 0 FyB 14kN() 25
3）内力图如下图示
3
A
C
B
4.5
13.5
B
36 kN
§3-1 单跨静定梁
(5) 计算分布荷载作用梁段的弯矩最大值。
20 kN
AC
15 kN/m
32 kN m
B
D
E
G
2m 2m 44 kN
4m
2m 2m
36 kN
44 kN
24 kN
+
A
C
H D
E_
B
FS图
36 kN
DE段梁的弯矩最大截面就在剪力为零处，剪力为零的
截面H的位置可由比例求出，其值为 xH =1.6 m 。最大弯
D
B
F yA
F yC
FyD FyB
§3-1 单跨静定梁
1. 任意截面的内力计算
通常先求出支座反力，采用截面法，建 立平衡方程，计算控制截面的内力。
内力符号规定如下： 轴力以拉力为正； 剪力以绕微段隔离体顺时针转者为正； 当弯矩使杆件下侧纤维受拉者为正。
FS
F'S
FS
F'S
FN
+
F'N
-
M
M'
M FN
dFs dx
q(x)
当某截面的剪力为dx零时，即———dM=0。该截面的弯矩即 为这一梁段中的极大值（或极小值）。
§3-1 单跨静定梁
dM dx
FS,
dFS q(x), dx
dFN p(x) dx
梁上 无外力 均布力作用
情况
(q向下)
集中力作用
处(FP向下)
集中力 偶M作 用处
铰处
斜直 剪力图 水平线 线(
作内力图：1 由内力方程式画出图形; 2 利用微分关系画出图形。
§3-1 单跨静定梁
3. 荷载与内力的微分关系
在荷载连续分布的梁段上截取一微段梁
q(x)
由平衡方程ΣY=0 和ΣMA=0 可得
A dx q(x)
dFs q(x) dx
dM dx
Fs
Fs M A dx
Fs+dFs M+dM
合并写成
d2M dx 2
矩 MH 为：
1
MH
44(4 1.6)
20(2 1.6) 151.6
1.6 2
155.2
kN m
§3-2 静定多跨梁受力分析
一、静定多跨梁的构造特征和受力特征
1. 构造特征
静定多跨梁由两部分组成，即基本部分和附属部分。组成 的次序是先固定基本部分，再固定附属部分，见下图。
A
B
B A
基本部分
(3)计算各控制截面的内力值。
§3-1 单跨静定梁
注意：
1）集中力作用的截面其左、右两侧的剪力是不同的，两 侧相差的值就是该集中力的大小。
2）集中力矩作用截面的两侧弯矩值也是不同的，其差 值就是集中力矩的大小。
3）各截面的剪力等于截面左边所有各力在垂直于杆轴
方向投影的代数和。
20 kN
FSA 44 kN FSC左 44 kN
20 kN
AC
15 kN/m
32 kN m
B
D
E
G
2m 2m
4m
2m 2m
MA 0
44 kN
36 kN
MC 44 2 88 kN m
MD 44 4 20 2 136 kN m
ME 44 8 20 6 15 4 2 112 kN m
MG右 4410 20 8 15 4 4 32 72 kN m
AC
2m
D
2m
FSC右 44 20 24 kN
44 kN
FSD 44 20 24 kN
15 kN/m
32 kN m
B
E
G
4m
2m 2m
36 kN
FSE 44 20 15 4 36 kN
FSB 44 20 15 4 36 kN
§3-1 单跨静定梁
计算各控制截面的弯矩，各截面的弯矩等于该截面左边 所有各力对截面形心力矩的代数和。
MG左 4410 20 8 15 4 4 40 kN m MB 0
§3-1 单跨静定梁
（4）作内力图。 20 kN
AC D
2m 2m 44 kN
15 kN/m
32 kN m
B
E
G
4m
2m 2m
36 kN
40
88
72
136
30 112
M图(kN·m)
44 kN
+
A
C
24 kN
H D
FS图
E_
F yB
（a）静定梁
Fx M Fy
（b）静定刚架
§3-1 单跨静定梁
静定结构的基本特征
几何特征 几何不变且无多余联系。 静：力特征：未知力的数目=独立平衡方程式的数目。 超静定结构是有多余约束的几何不变体系,其 反力和任意一截面的内力不能由静力平衡条件 唯一确定。
滚轴支座
F xA
计算简 图
Fy
A
C
m
m
l
l
l
§3-1 单跨静定梁
4. 叠加法作弯矩图（section superposition method）
如何作DE段 弯矩图?
叠加法要点：以梁 段两端的弯矩值的 连线作为基线，在 此基线上迭加简支 梁在此分布荷载作 用下的弯矩图，即 得最终的弯矩图。
§3-1 单跨静定梁
分段叠加法作弯矩图
q A
C
DE
组成次序图
4kN/m F
23
2）求附属部分和基本部分的约束力
4kN/m
20kN
C
10kN E
D
6kN
F 6kN
A
B
3kN
13kN
9kN
14kN
1.5m 1.5m 1m 1.5m 1.5m 1m
3m
对于CE段梁:
MD 0 Fy 0
FyC
1 (101.5 61) 3
9 3
3kN ()
FyD 13kN()
70
A BC 15 55
D E FG 10
15 HK
50 FQ图（kN）
40 L
L 25
31
例3-2-3 求x的值，使梁正、负弯矩峰值相等。 q
A
EB
C
l－x
x
l
q
A q(l-x)/2
B
E
q(l-x)/2
q
解：
BD跨为基本部分，AB跨 为附属部分。
B
C
FyC
D
D FyD
32
AB跨跨中弯 矩ME为：
80kN 40kN·m
40kN
20kN/m
CD
E FH
L
G
K
组成次序图
40kN·m
27
2）求附属部分和基本部分的约束力
40kN·m
40kN
D 10kN
F
E 10kN 40kN
20kN/m
A FyA 15kN
C B
FyC
125kN
80kN D
H
L
F
G
K
FyH 40kN·m
FyL
65kN
25kN
梁各部分的受力如上图示，作用于铰结点D的集中力（ 80kN）可看作直接作用于基本部分AD上。
28
对于AD段梁：
40kN
10kN
A
C
80kN
FyA= 15kN
B
D
FyC= 125kN
2m 2m 2m
MC 0
FyA
1 4
(40
2
70
2)
60 15kN () 4
Fy 0 Fyc 125kN()
29
对于FL段梁： 10kN 40kN 20kN/m
H
L
FG FyH= 65kN
K 40kN·m
C
D
附属部分1
C
附属部分2 D
21
2. 受力特征 由静定多跨梁的组成顺序可以看出，若荷载作用在基本
部分上，则附属部分不受力；若荷载作用在附属部分上， 则基本部分同样受力。
因此，静定多跨梁的内力分析应从附属部分开始，即首 先要求出附属部分传给基本部分的力。
二、内力分析
解题步骤： 1）画组成次序图 ；
)
一般 抛物 弯矩图 为斜 线(
直线 下凸)
为 零 处
有突
变(突 变值=
FP)
如 变 号
无 无变化 影
响
有 有尖 有 有突变 极 角(向 极 （突变 为零 值 下） 值 值=M）
§3-1 单跨静定梁
作内力图的步骤：
(1) 求出梁的支座反力。（有时可不用先求出来） (2) 找出梁的控制截面。
控制截面选取的原则是每段梁上的荷载必须是连 续的，因此梁上的集中荷载作用点，分布荷载的 起始点和终点都是梁段的控制截面。
FSⅣ 44 20 15 4 36 kN
MⅣ 4410 208 15 4 4 32 72 kN m
截面Ⅳ-Ⅳ的内力
20 kN
A FxA =0
CD Ⅰ
FyA= 44 kN 2m 2m
15 kN/m Ⅱ
4m
3m
3m
32 kN m
EG
B
ⅢⅣ
FyB = 36 kN
2m 2m
也可以由截面Ⅳ-Ⅳ以
CD跨最大弯矩为：
Mmax (0.414215)2 ql2 q(0.414215l)2 / 2
0.085787ql2
34
§3-3 静定平面刚架
1. 刚架的特点
刚架由：若干直杆联结而成的结构，其中全部或部份 结点为刚结点。
联结于刚性结点各杆之间不能产生相对转动，各杆
之间的夹角在变形过程中始终保持不变。刚性结点可
ME
1 8
q(l
x)2
BD跨支座C负弯 矩MC为：
AE q(l-x)/2
l－x
q
B q(l-x)/2=0.4142 ql q
B
C
FyC
x
D FyD 0.4142 l
l
令ME=MC 得：
MC
1 2
q(l
x)x
1 2
qx2
1 q(l x)2 1 q(l x)x 1 qx2
8
2
2
x2 6lx l 2 0
右隔离体的平衡条件 求得。
20 kN Fs1
FSⅣ B
MⅣ
FyB =36 kN
§3-1 单跨静定梁
2. 内力图
梁的内力图——弯矩图、剪力图、轴力图。 内力图的含义？需彻底弄清，以免与后面的影 响线混淆概念。
弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正 负号
轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧，但需标 明正负号
M图（kN·m）
6 DE
9
6
3
BC
DE
7 11
FQ图（kN）
F 4.5
F 6
26
例3-2-2 作图示静定多跨梁的M图和FQ图。
40kN
80kN
40kN·m 40kN
20kN/m
A
C
B
D
H E FG
KL 40kN·m
2m 2m 2m 2m 2m 1m1m 2m 2m
解：
1）作组成次序图
40kN A
B
2）从附属部分开始求出约束力，并标注于图中。注意附 属部分传给基本部分的力。
3）对于每一段单跨梁，用分段叠加法作M 图。
22
例3-2-1 作图示静定多跨梁的M图和FQ图。
20kN
10kN
4kN/m
A
BC
D
E
F
1.5m 1.5m 1m 1.5m 1.5m 1m
3m
解： 1）作组成次序图
20kN
A
B
10kN
第三章 静定梁与静定刚架
§3-1 单跨静定梁 §3-2 多跨静定梁 §3-3 静定平面刚架 §3-4 少求或不求反力绘制弯矩图 §3-5 静定结构的特性
§3-1 单跨静定梁
静定结构定义
在荷载等因素作用下，其全部支座反力和 任意一截面的内力均可由静力平衡方程唯一确 定的结构。
F F F xA
F yA
FyL= 25kN
1m1m 2m 2m
ML 0
FyH
1 (40 5 10 6 20 21 40) 4
1 (200 60 40 40) 65kN() 4
Fy 0
FyL 25kN() 30
3）内力图如下图示
140
60
A
30
30 20 E 10
B C D 20 F G H K
M 图（kN·m）
梁上某一截面的剪力数值上等于该截面左侧（或右侧）所 有外力在沿截面的切线方向投影的代数和。 （左上右下）
如果荷载不垂直于杆轴线，则梁的内力就会有轴力。梁上 某一截面的轴力数值上等于该截面左侧（或右侧）所有外力 在沿截面的法线方向投影的代数和。
§3-1 单跨静定梁
按照这个规律，写出截面Ⅳ-Ⅳ的内力为：
以承受和传递弯矩。
F
平面—刚—架若刚架各杆的
轴线在同一平面内，而且荷
F
载也可以简化到此平面内， 即称为平面刚架。
保持角度不变
§3-3 静定平面刚架
2.静定平面刚架(frame)
F'N M'
§3-1 单跨静定梁
20 kN
A FxA =0
CD Ⅰ
FyA= 44 kN 2m 2m
15 kN/m Ⅱ
4m
32 kN m
EG
B
ⅢⅣ
FyB = 36 kN
2m 2m
3m
3m
计算梁上任一截面内力的规律如下：
梁上某一截面的2弯0 kN矩F数s1 值上等于该截面左侧（或右侧）所 有外力对该截面形心的力矩的代数和。(左顺右逆)
(3) 计算出各控制截面的内力值。
(4) 根据梁段上荷载的情况把各相邻控制截面点联 线即成相应的剪力图和弯矩图。
§3-1 单跨静定梁
应熟记常用单跨梁的弯矩图
FP
a
FP
A
a
bB
l
ql2
2
q
A
B
l
§3-1 单跨静定梁
F
A
B
Fab
a
lb
l
q
A
B
ql2
8 l
§3-1 单跨静定梁
almm
A
B
bl m
a
b
B l
q
ql
l
l
l
1 ql2 4
C
1 ql 2
§3-1 单跨静定梁
例3-1 试作图示简支的内力图。（课后）
20 kN
AC D
2m 2m
15 kN/m
32 kN m
B
EG
4m
2m 2m
44 kN
36 kN
解：(1)求支座反力。 FyB 36 kN FyA 44 kN
(2)将梁分段，A、C、D、E、G、B 点为控制截面点。
x 0.17157l
MC M E 0.085787ql2 33
对于BD杆：
MC 0
0.414215 ql
B
C
FyC
0.17157l
q
D FyD 0.414215 l l
FyD
1(1 l2
ql 2
0.414215ql
Hale Waihona Puke Baidu
0.17157l
1 2
q [0.17157l]2 )
0.414215ql