1.7简单几何体的再认识

2
11 3 旋转所得到的几何体的 表面积为 π R2. 2
4 1 1 又V球 π R 3 ,V圆锥AO1 AO1 π CO 2 π R 2 AO1 1 3 3 4 1 1 2 V圆锥BO1 BO1 π CO 1 π R 2 BO1 3 4 V几何体 V球 (V圆锥AO1 V圆锥BO1 ) 4 3 1 3 5 3 πR πR πR . 3 2 6
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可 知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A O D1 A1 B1 B
C A
D B O D1 A1 B1
C
略解：
RtB1 D1 D中 : B1 D 2 R，B1 D 2a 3 a 2
C1
C1
(2 R ) 2 a 2 ( 2a ) 2 , 得：R S 4R 2 3a 2
即h 2 R 2 r 2 . S 2 π rh 4 π r R 2 r 2 1 2 2 1 4 4 π r ( R r ) 4 π (r R ) R . 2 4 1 2 2 2 当且仅当 r R ,即r R, h 2R时,圆柱侧面积 2 2 1 4 最大, 最大值是 4 π R 2 π R2. 4
题型分类
题型一
深度剖析
几何体的展开与折叠
【例1】 有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的 圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并
使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,
则铁丝的最短长度为多少？
思维启迪
把圆柱沿这条母线展开，将问题转
化为平面上两点间的最短距离.
解
把圆柱侧面及缠绕其上
的铁丝展开，在平面上得到 矩形ABCD（如图所示）， 由题意知BC=3π cm，
面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另 一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
β
a a 面

α
a
A
面面垂直的性质定理
两个平面垂直,则在一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直. 符号表示:
l b bl

b
l
b

1.回忆复习有关概念
1、直棱柱： 侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱
2、正棱柱： 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱
底面是正多边形，各侧面是全等的三角形的棱锥 3、正棱锥：
被平行于底面的平面所截， 4、正棱台： 正棱锥 截面和底面之间的部分叫正棱台
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体， 它们的侧面展开图还是平面图形，
计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积 之和
探究提高 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所
形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，
然后利用有关公式进行计算.
知能迁移2
已知球的半径为R，在球内作一个内
接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它
的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解 如图为轴截面. 设圆柱的高为h，底面半径为r， h 侧面积为S，则 ( ) 2 r 2 R 2 , 2
如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面 积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
Ｖ锥体＝
如果圆锥的底面半径是ｒ，高是ｈ， 那么它的体积是： 1 Ｖ圆锥＝ 3 πｒ２ｈ
h h
1 Ｓｈ 3
S
S
S
四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
1 V台体= h(s + ss' + s') 3
x s/
s/ s
h
s
如果圆台的上,下底面半径是r1，r2,高是ｈ， 那么它的体积是：
例4 圆台的上、下底面半径分别为2和 4，高为 2 3 ，求其侧面展开图扇环所 对的圆心角 答：1800
例5：圆台的上、下底半径分别是10cm和 20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果 中保留π）
长方体的体积等于它的长、宽、高的积
V长方体= abc
长方体的体积等于它的底面积s和高h的积
a2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=—— 2 2 a。
关键： 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
例4、有三个球,一球切于正方体的各面,一 球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的 各顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面
1 1
D1
C1
A
A
A
A D B
答:可分成棱锥A-D1DC, 棱锥A-D1C1C, 棱锥A-BCD.
C
D
C
C
D B
C
问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积
锥体（棱锥、圆锥）的体积
（底面积S，高h）
V三棱锥 1 sh 3
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四 面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到 面的距离
r
l
长方形
长＝ 2r
宽＝ l
S圆柱侧 S长方形 ＝2rl
r O
l
O
2 r
S表面积 S侧 2S底
S 2 r 2 rl 2 r (r l )
2
圆柱的侧面展开图是矩形
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
—来自最爱你们的小数君
复习
线面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行 .
a
符号表示：
a b a // a // b
b
线面平行的性质定理： 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的 任一平面与这个平面的交线与该直线平行。 符号表示：

线面垂直的判定定理
判定定理 一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
a l b a b A
la l b
l
b

A
a
线面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
a b

a a // b b
思维启迪 先分析阴影部分旋转后形成几何体的
形状,再求表面积.
解
如图所示,
过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得
∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R, ∴AC= 3R ,BC=R,CO 3 R, 1 2 2 ∴S球=4π R ,
3 3 S圆锥AO1侧 π R 3R π R 2 , 2 2 3 3 S圆锥BO1侧 π R R π R2 , 2 2 S几何体表 S球 S圆锥AO1侧 S圆锥BO1侧 3 3 11 3 2 2 4π R π R πR π R2 , 2 2 2
§1.7简单几何体的再认识
我忘记不了，和数学、和数学竞赛发生 的一切，它们或许是一场梦，可是，这 是一场值得我们去追逐的梦，我们所走 过的梦，是用一个个音符所点缀出来的 一支歌，我们引吭高歌，我们无所畏惧 ，因为我们都是唱着歌的追梦人啊 ！ 我永远也忘不了，是它们，带给我追逐 梦想的力量，带给我迎难而上的拼劲， 还有一个绚丽夺目的数学世界. 嘿，同 学，前面这条路有些黑，让我们一起走 吧，看到了吧，在你四周这些带着光芒 的人，他们和你一样，和我一样，都是 学数学或数学竞赛的傻子们，“傻子俱 乐部”欢迎你的到来.
AB=4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位
置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.
AC AB 2 BC 2 5 π cm, 故铁丝的最短长度为5π cm.
题型二
旋转体的表面积及其体积
【例2】 如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋
转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.
例5已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体 积，表面积． 解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r，
O A
O
R O O , ABC是 正 三 角 形 ， 2
C
OA
B
2 3 2 3 AB r 3 2 3
例3：一个正三棱台的上、下底面边长 分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱 台的侧面积. A1 O1 C1 D1 B1 分析：关键是 C 求出斜高，注 A 意图中的直角 O E D 梯形 B
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
h源自文库
/
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h'
h'
1 S正 棱 锥 侧 ＝ ch' 2
侧面展开
h'
h'
正五棱锥的侧面展开图
S表面积 S侧 S底
把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？（类比梯形的面积）
h'
h'
1 S正 棱 台 侧 ＝ （c c' )h' 2
(r ' l rl )
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
l
r
O
r 'O’
l
l
r
O
r
'2
O
O
S r 2 rl r (r l )
S ( r r 2 r ' l rl )
S 2 r 2 2 rl 2 r (r l )
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
S表面积 S侧 2S底
正棱柱的侧面展开图
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h
c
a
b
h
h
b
a
c
S直棱拄侧 ＝（a b c) h ch
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正三棱锥的侧面展开图
h
/
a // , a , b
a // b
β a
α
b
面面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行
符号表示： ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ b P a 图形表示：

面面平行的性质定理 如果两个平
行平面同时和第三个平面相交，那么 它们的交线平行。 符号语言： / / a//b a, b
例 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得 到一个正三棱锥A－BCD，求它的体积是正方体体积的 几分之几？
球的表面积和体积
:
球的表面积
S 4πR
4 3 V R 3
2
球的体积:
例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个 顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
S表面积 S侧 S上底 S下底
正四棱台的侧面展开图
h'
例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的 正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 ______;
例2：正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中 截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台， 求棱台的侧面积
r1
r2
l
S圆台侧 ＝S扇环＝（r1 r2 )l
'
2
S ( r r r l rl )
2 '
r' x r xl
x
r ' O’
2r '
2r
rx r ' x r ' l
l
r
O
S侧 r(l x) r ' x (rl rx r ' x)
1 Ｖ圆台＝ 3 πh
(r r 1r 2 r 2 )
2 1
2
五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S
S 0 1 1 V Sh V ( S S S S )h 3 3
S为底面面积， h为柱体高
S为底面面积， S分别为上、下底面 面积，h 为台体高 h为锥体高
V长方体= sh
正方体的体积等于它的棱长a 的立方
V正方体= a3
二：柱体的体积
柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
三:锥体体积
D1
例：如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h. 问：从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥？ D C
扇形
n l l扇＝ 180
2
R扇＝l
l
r
nl 1 S圆 锥 侧 ＝S扇＝ l扇l rl 360 2
2r
l
r O
圆锥的侧面展开图是扇形
S r rl r (r l )
2
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的 侧面展开图是什么 ． 圆台的侧面展开图是扇环
扇环