圆锥曲线的统一定义解读
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义：1. 什么是圆锥曲线：圆锥曲线是指满足特定条件的曲线，它利用三角函数与立体几何图形结合生成。
简言之，当一条曲线贯穿一个圆孤和一个平面，并在圆上和平面上满足有关关系时，它就是圆锥曲线。
2. 圆锥曲线的数学特征：圆锥曲线是一种曲线，它满足特定的约束关系，可以由方程组表示：r=z/cosθ或r=1/sinθ。
其中，r为曲线上任意点到圆锥的拱顶的距离，z为曲线上任意点到圆锥的中心的距离，θ为曲线上任意点到拱顶的夹角。
3. 圆锥曲线的物理应用：圆锥曲线是多方面用途，在工程应用中有着重要地位，主要是因为圆锥曲线可用来表示周向和纵向的形变，它们也经常用于航空、船舶和汽车的设计。
例如，它可以用来表示飞机机翼的形状。
4. 圆锥曲线的构成：圆锥曲线由一个圆锥和一个平面构成，所以它也常被称为圆锥-平面曲线，是指当一条曲线贯穿一个圆锥和一个平面，并在圆锥上和平面上满足有关关系（且这两个关系上的函数要满足l次可积方程）时，它就称为圆锥曲线。
5. 相关几何定义：圆锥曲线通过以下几何定义确定：它可以由一个圆柱体和一个平面构成，其中圆柱体由一条等流线和一条垂直于它的矢量组成，平面由它的法线矢量和一条曲线组成。
该曲线（椭圆或双曲线）的一条切线扫描等流线，而另一条切线与平面的法线构成的平面垂直；这两条切线将圆柱体分成两个由圆盘和一段圆锥组成的元件。
6. 解析表达式：可以使用两个方程描述圆锥曲线：r=z/cosθ或r=1/sinθ，其中，r为曲线上任意点到圆锥的拱顶的距离；z为曲线上任意点到圆锥的中心的距离；θ为曲线上任意点到拱顶的夹角。
结合几何定义及数学特征，可以更容易地理解两个方程。
2.2.4圆锥曲线的统一定义
δ
A
β αD c
F
l H
在曲线c上任取一点M，过M引锥线的母线， 并与平面σ相交于点A，再由点M做l的垂线MH， H为垂足. 作MD垂直于平面δ于点D，在RT△MDH和 RT△MDA中，设∠HND=β，和∠HND=α，则 S MD=MAcosα, MD=MHcosβ, 即 σ MA = cosβ M MH cosα δ
重点
圆锥曲线统一定义、过程推导及其应用.
难点
圆锥曲线在解体中的应用.
教学内容
知识回顾
我们已经学习过三种圆锥曲线，分别来自 椭圆、抛物线和双曲线.椭圆
抛物线
双曲线
椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大 于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆. 即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}.
椭圆的标准方程有两种，取 决于焦点所在的坐标轴： 焦点在X轴时，标准方程为： y2 x2 + 2 =1 (a>b>0) a2 b 焦点在Y轴时，标准方程为： 2 y2 x + 2 =1 (a>b>0) b2 a
抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等 的动点轨迹叫做抛物线. 标准方程： 右开口抛物线:y2= 2px 左开口抛物线:y2= -2px 上开口抛物线:x2= 2py 下开口抛物线:x2= -2py
圆锥曲线定理：
除了圆之外，每一条圆锥曲线都是平面上 到某个定点F和到某条定直线l的距离的比值等 于常数的点的轨迹. 其中，点F叫做圆锥曲线的焦点，直线l叫 做圆锥曲线的准线.
证明：假定曲线c是平面截一圆锥面所得 的截线，如图，作一圆锥面的内切球，并且与 平面σ相切于点F.设切点圆所在平面 S 为δ，并且σ与平面δ相交于直线l. σ
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
2 12丄2(X ∙ a)a y_ 2b2 2.22b丄 b2・・讨=X — Xa a圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲 线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、 四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e,则当O ：：： e ：：： 1时， 动点P 的轨迹是椭圆：当e=1时，动点P 的轨迹是抛物线；当e 1时，动点P 的轨迹是双曲线；若e = O ,我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值(非零)，则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为 焦点，L 为准线。
二、 四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们 把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们2的半通径为P ,则P =L 。
a2 2如图1 ,将椭圆罕■笃=1(a b O)按向量(a,O )平移a b二椭圆的方程可写成 y 2 = 2 px ' (e 2 -1) χ2( O ：：: e ：：: 1 )2 2类似的，如图2，将双曲线 —--^2 -1(a - O, b - O)按向量(-a, O)平移得到a b得到2(X -a)2a2 2bb2…y = X ~ Xaa•••椭圆的半通径 b 2 IF I M I |= p =—，ab 2~ =1 —eT 双曲线的半通径IF 2M 2I = L , b y =e 2 一1a a∙°∙双曲线方程可写成y = 2 px ∙ (e? 一 1)χ2 (e . 1)对于抛物线y 2 =2px(x .0) P 为半通径，离心率e =1，它也可写成2 2 2y 2 px (e -1) X (e =1)对于圆心在(P ，0)，半径为P 的圆，其方程为(X- p)2 + y 2 = p2，它也可 写成『=2 px 亠(e T)x?(^= 0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y 2 =2px (e 2 -1)x 2 ,其中P 是曲线的半通径长，当e=0，0 ::： e ::： 1， e =1,e . 1时分别表示圆、椭圆、 抛物线、双曲线。
圆锥曲线的定义、概念与定理
圆锥曲线的定义、概念与定理圆锥曲线包括椭圆，抛物线，双曲线。
那么你对圆锥曲线的定义了解多少呢?以下是由店铺整理关于圆锥曲线的定义的内容，希望大家喜欢!圆锥曲线的定义几何观点用一个平面去截一个二次锥面，得到的交线就称为圆锥曲线(conic sections)。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与二次锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果为一点。
6) 当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线(每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线)。
7) 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。
焦点--准线观点(严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质)。
给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。
根据e的范围不同，曲线也各不相同。
具体如下：1) e=0，轨迹为圆(椭圆的特例);2) e=1(即到P与到L距离相同)，轨迹为抛物线 ;3) 0<e<1，轨迹为椭圆;4) e>1，轨迹为双曲线的一支。
圆锥曲线的概念(以下以纯几何方式叙述主要的圆锥曲线通用的概念和性质，由于大部分性质是在焦点-准线观点下定义的，对于更一般的退化情形，有些概念可能不适用。
)考虑焦点--准线观点下的圆锥曲线定义。
圆锥曲线第一定义
圆锥曲线第一定义
《圆锥曲线第一定义》是一个重要的数学概念，它是描述曲线在某一点处的切线性质的一种定义。
圆锥曲线第一定义是指：若一点P处的曲线切线与圆锥的曲线切线具有相同的方向，则称该点P处的曲线是圆锥曲线。
圆锥曲线第一定义的最重要的特点是，它可以用来描述曲线在某一点处的切线性质。
例如，在曲线上的一点P处，若曲线切线的方向与圆锥的曲线切线的方向相同，则该点P处的曲线是圆锥曲线。
圆锥曲线第一定义是一个重要的数学概念，它可以用来描述曲线在某一点处的切线性质，从而更好地理解曲线的特性。
它也可以用来描述曲线的总体特性，从而更好地分析曲线的性质。
同时，它也可以用来求解曲线的极值点，从而更好地分析曲线的分析特性。
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
圆锥曲线间的三个统一之袁州冬雪创作内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导教师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内涵的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论.一、四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的间隔到定直线L 的间隔之比等于常数e ，则当01e <<时，动点P 的轨迹是椭圆：当1e =时，动点P 的轨迹是抛物线；当1e >时，动点P 的轨迹是双曲线；若0e =，我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的间隔为定值（非零），则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为核心，L 为准线.二、四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状.为了实现统一我们把椭圆、双曲线停止平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们的半通径为p ，则2b p a=. 如图1，将椭圆22221(0)x y a b a b+=>>按向量（,0a ）平移 得到2222()1x a y a b -+=∴222222b b y x x a a=+ ∵椭圆的半通径211||b F M p a ==，2221b e a=- ∴椭圆的方程可写成2222(1)y px e x =+-(01)e <<近似的，如图2，将双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>按向量(,0)a -平移得到 2222()1x a y a b +-=∴222222b b y x x a a=+ ∵双曲线的半通径222||b F M a =，2221b e a=- ∴双曲线方程可写成2222(1)(1)y px e x e =+->对于抛物线22(0)y px x =>P 为半通径，离心率1e =，它也可写成对于圆心在（P ，0），半径为P 的圆，其方程为222()x p y p -+=，它也可写成2222(1)(0)y px e x e =+-=于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程2222(1)y px e x =+-，其中P 是曲线的半通径长，当0e =，01e <<，1,1e e =>时分别暗示圆、椭圆、抛物线、双曲线.三、四种圆锥曲线的统一核心坐标、准线方程和焦半径公式在同一坐标系下，作出方程2222(1)y px e x =+-所暗示的四种圆锥曲线，如图3，设P 、B 、A 、C 分别是圆的圆心，椭圆的左核心、抛物线的核心、双曲线的右核心统一记为2222(1)y px e x =+-的核心F 则有222(1)(1)11c a a e P OC c a e a c e e --=-===>+++ (1)21p p OA e e ===+，222(1)(01)11a c a e p OB a c e a c e e --=-===<<+++即方程2222(1)y px e x =+-所暗示的四种圆锥曲线的一个核心为(,0)1p F e +，设核心F 相应的准线为x m =，则有OFe m =-. ∴准线L 为(1)p x m e e -==+，对于圆0e =暗示准线L 在无限远处，设点00(,)M x y 为曲线2222(1)y px e x =+-上在y 轴右侧的动点，则点M 对核心F 的焦半径00||()1p mF e x m ex e =-=++. 圆锥曲线的内涵统一，使我们可以将圆、椭圆、双曲线和抛物线有机地接洽起来，从而更好地懂得圆锥曲线的含义，更好地运用圆锥曲线处理实际问题.圆锥曲线中的数学思想方法内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导教师：薛红梅在处理圆锥曲线的有关问题时，数学思想方法尤为重要，通过对我们平时所遇到的例题及习题的归纳、总结，可以得出以下一些关于圆锥曲线问题中的数学思想方法，帮忙我们处理问题.思想方法一：分类讨论思想例1. 给定抛物线22y x =设(,0)A a ()a R +∈，P 是抛物线上的一点，且||PA d =，试求d 的最小值.解：设00(,)P x y (0)x ≥，则2002y x = ∴||d PA ====又a R +∈，00x ≥∴（1）当01a <<时，10a ->，此时有00x =（2）当1a ≥时，此时有01x a =-评注：引起分类讨论的情况有：参数的取值范围、去相对值符号、大小关系不等式等，在讨论中要思维全面，谨严，做到不懂不漏.思想方法二：转化思想例2 已知过点A （―2，―4）且斜率为1的直线L 交抛物线22(0)y px p =>于B 、C 两点，若|AB|、|BC|、|CA|成等比数列，求抛物线方程.解：直线L 的方程为2y x =-设B （11,x y ），22(,)C x y由222y x y px=-⎧⎨=⎩ 得22(2)40x p x -++= ∴122(2)x x p +=+124x x =∵|AB|、|BC|、|CA|成等比数列 ∴||||||||BC CA AB BC = 过A 作直线l '∥x 轴，设B 、C 在l '上的射影分别是B '，C ' 则211||||||||2x x BC B CAB AB x ''-=='+2212||||||||x CA C A BC B A x x '+==''- ∴21222122x x x x x x -+=+- 即22112()(2)(2)x x x x -=++ ∴212121212()42()4x x x x x x x x +-=+++得24(2)1644(2)4p p +-=+++ 化简为2340p p +-=解得1p =知足1∆>或4p =-（舍去）故所求的抛物线方程为22y x =评注：如何将“|AB|、|BC|、|CA|成等比数列”这一条件转化为A 、B 、C 三点坐标间的关系是解题的关键，本题巧妙运用了“投影”方法将这一条件转化为在水平线上的三线段之间的比例关系，从而达到转化的目标.思想方法三：化归思想例3 直线L ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于分歧的两点A 、B.（1）求实数k 的取值范围.（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆颠末双曲线C 的右核心.解：（1）将直线L 的方程1y kx =+代入双曲线C 的方程2221x y -=，得22(2)220k x kx -++=①依题意直线L 与双曲线C 的右支交于分歧两点∴2222220(2)8(2)02220,022k k k k k k k ⎧⎪-≠⎪∆=-->⇒-<<⎨⎪⎪->>--⎩2）设A 、B 两点的坐标分别为1122(,)(,)x y x y则由①可得 12222kx x k +=-，12222x x k =-② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆颠末双曲线C 的右核心F （c ，0）则由FA⊥FB 得1212()()0x c x c y y --+=整理得：221212(1)()()10k x x k c x x c ++-+++=③把②式及2c =代入③式化简得：2560k +-=∴k =或(2,k =-（舍去）∴k =使得以AB 为直径的圆颠末双曲线C 的右核心F. 评注：处理数学问题的过程，实质就是在不竭转化与化归的过程.应在解题时注意思维调控，恰当转化解题途径，使解题更加便捷.思想方法四：数形连系思想例 4 函数y 的最大值是________.分析：原式定曲线2y x =上的动点(,)p x y 到两定点A （3，2），B （0，1）的间隔之差，要求其最大值.||||||y AP PB AB =-≤==max y 评注：操纵问题模子的几何意义，借助图形性质来处理问题，可以使抽象问题详细化，复杂问题简单化.思想方法五：函数与方程思想例5 斜率为2的直线与等轴双曲线2212x y -=相交于两点12,P P ，求线段12PP 中点的轨迹方程.解：设直线方程为2y x m =+代入双曲线方程得2234120x mx m +++=∵直线与双曲线相交于12,P P∴22(4)43(12)0m m ∆=-⨯⨯+>∴6m >或6m <-设12,P P 的坐标为11(,)x y 22(,)x y ，线段12PP 中点为(,)x y 则12223x x x m +==-且4x <-或4x >∴32m x =- 代入直线方程得： 所求轨迹方程为12y x = （4x >或4x <-） 思想方法六：构造思想例6 已知,x y 知足2211625x y +=，求3y x -的取值范围. 解：令3y x -=b ，则3y x b =+ 原问题转化为：在椭圆2211625x y +=相切时，有最大截距与最小截距 由22311625y x bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得2216996164000x bx x ++-= 由0∆= 得13b =±∴3y x =的取值范围为[－13，13]评注：应用构造思想解题的关键有①要有明白方向，即为何构造②要弄清条件的实质特点，以便停止逻辑组合.思想方法七：对称思想例7 在直线L ：90x y --=上任取一点M 过M 且以椭圆221123x y +=的核心为核心作椭圆.问M 在何处时，所作的椭圆长轴最短，并求出其方程. 解：∵221123x y +=的两核心12(3,0),(3,0)F F -，1F '是1F 关于L 的对称点又11F F '的直线方程为30x y ++=与90x y -+=联立，求得1(9,6)F '-，这时12F F '的方程为230x y +-=23090x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 得(5,4)M =- 这时122||a F F '==∴椭圆方程为2214536x y += 评注：用对称思想解题，不但可以操纵对称的性质，沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的处理.思想方法八：参数思想例8 在椭圆2244x y x +=上，求使22z x y =-取得最大值和最小值的点P 的坐标. 解：将已知方程转化为22(2)141x y -+= 设椭圆上动点P 为(22cos ,sin )θθ+∴22z x y =-=222241(22cos )sin 5cos 8cos 35(cos )55θθθθθ+-=++=+-∴当4cos 5θ=-，即点P 坐标为23(,)55或23(,)55-时，min 15z =- 当cos 1θ=，即点P 坐标为（4，0）时，max 16z =评注：参数法是很重要的一种方法，特别是求最值问题、不等式问题，引入参数往往能减少变元，防止繁琐的运算.总之，数学思想方法会有很多，而且分歧的题目也会有分歧的方法，在解题过程中不竭地反思，总结经历，对规律性的东西加以归纳整理，在平时操练或测验中加以应用，必定可以以简驭繁，事半功倍，使解题建立在较高水平上.。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义一、椭圆的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()01ce e a=<<时,这个点的轨迹是椭圆.一般称之为椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率. 2.推导过程:例1 点()M x y ,与定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数()0ca c a>>,求点M 的轨迹.解:设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭. 由此得222()x c y c aa x c-+=-. 将上式两边平方,并化简,得22222222()()a c x a y a a c -+=-. 设222a cb -=,就可化成22221(0)x y a b a b+=>>.这是椭圆的标准方程,所以点M 的轨迹是长轴长为2a ,短轴长为2b 的椭圆. 二、双曲线的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()1ce e a=>时,这个点的轨迹是双曲线圆.一般称之为双曲线的第二定义,定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e 是双曲线的离心率. 2.推导过程:例2 点()M x y ,到定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数()0cc a a>>,求点M 的轨迹. 解:设d 是点M 到直线l 的距离.根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭, 由此得222()x c y c aa x c-+=-,化简,得22222222()()c a x a y a c a --=-. 设222c a b -=,就可化为22221(00)x y a b a b-=>>,这是双曲线的标准方程,所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线(如图1).对于双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，,相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c =,根据双曲线的对称性,相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-,所以双曲线有两条准线.三、几点说明:1.圆锥曲线的统一定义:平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离之比等于常数e 的点的轨迹:0<e <1时, 它表示椭圆；e >1时, 它表示双曲线；e =1时, 它表示抛物线,这里e 为离心率, F 为焦点,l 为准线2.第二定义中的定直线是任意直线,定点也是任意的(不在定直线上),这样得到的圆锥曲线方程不一定是标准形式.3.应用圆锥的第二定义要把握两个关键点:①必须是点到焦点的距离与点到相应准线的距离的比；②必须是焦点距与对应准线距的比.四、第二定义的典型应用 1、直接应用与求焦点弦长.例 1 (1)椭圆22110064x y +=上有一点P ,它到椭圆的左准线的距离等于10,则点P 到它的右焦点的距离为 ；(2)过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,A x y B x y ,,,若126x x +=,则AB 的长为 .解:(1) 解:∵2210064a b ==，,∴22100646c a b =-=-=.∴63105c e a ===. 依椭圆的第二定义,设P 点到椭圆左焦点的距离为x ,则3105x =.∴6x =. ∴点P 到椭圆右焦点距离为210614⨯-=.(2)设AB 的中点为E,点A 、E 、B 在抛物线准线l :1x -=上的射影分别为G 、H 、M.由第二定义知:8)1(2x x 2|EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |21=--+==+=+=. 2、求离心率及其取值范围.例2 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为1F ,右准线为l 1,若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离,求椭圆的离心率.解:如图,AB 是过F 1垂直于x 轴的弦,|C F |1为F 1到准线l 1的距离,AD ⊥l 1于D,则|AD|=|F 1C|,由题意知|AB |21|AF |1=.由椭圆的第二定义知:21|AB ||AB |21|C F ||AB |21|AD ||AF |e 11==== 例3 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>,12F F ,分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P ,使∠F 1PF 2=90°,求椭圆的离心率e 的取值范围.解:设点P(00y x ，),则由第二定义得0201ex a c a x e |PF |+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=,0022ex a x c a e |PF |-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 因为21F PF ∆为直角三角形,所以2212221|F F ||PF ||PF |=+.即222020c 4)c 2()ex a ()ex a (==-++解得2222e a c 2x -=,由椭圆方程中x 的范围知220a x 0≤≤.2222a e a c 20<-≤∴,解得1e 22<≤. 3、求点的坐标例4 双曲线2213y x -=的右支上一点P ,到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2:1,求点P 的坐标.解:设点P(00y x ，)(0x 0>),双曲线的左准线为l 1:21x -=,右准线为l 2:21x =,则点P 到l 1、l 2的距离分别为21x d 21x d 0201-=+=，.所以,1221x 21x d d PF PF 002121=-+==,解得23x 0=. 将其代入原方程,得215y 0±=.因此,点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±21523，. 4、求最值例5 已知点()23A -，,设点F 为椭圆2211612x y +=的右焦点,点M 为椭圆上一动点,求2MA MF +的最小值,并求此时点M 的坐标.解:如图,过点A 作右准线l 的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M.∵椭圆的离心率21e =∴由第二定义得|MN ||MF |2= ∴|MF |2|AM |+的最小值为|AN|的长,且1082|AN |=+=∴|MF |2|AM |+的最小值为10,此时点M 的坐标为(32,3).巩固练习:1.椭圆222214x y b b+=上一点到右准线的距离是23b ,则该点到椭圆左焦点的距离为 .解:设该椭圆的的左右焦点分别是12,F F ,该椭圆的离心率为3e =,由圆锥曲线的统一定义可知,23232332PF e b b b =⋅=⨯=所以,12443PF b PF b b b =-=-=即该点到椭圆左焦点的距离为b .2.点P 在椭圆225x +29y =1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 的横坐标是_____.12253.椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则2PF 等于 .27解法一:(如下图)设椭圆的右焦点为F 1,左焦点为F 2,过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x +y 2=1,∴a =2,b =1,c =3.∴F 1(3,0).设P (3,y P )代入42x +y 2=1,得y P =21,∴P (3,21),|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4,∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二:椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23,∴|PF 2|=27. 解法三:由解法一得P (3,21),又F 2(－3,0),∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.4.如果双曲线264x －236y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8,那么P 到它的右准线距离是 .532解析:利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为e 8=8×108=532. 5.点M 与点()4,0F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程为 . 解:可知原条件⇔M 点到(4,0)F 和到4x =-距离相等,由抛物线的定义,点M 的轨迹是以(4,0)F 为焦点,4x =-为准线的抛物线.∴8=p ∴所求方程是x y 162=.6.已知P 为抛物线24y x =上任一动点,记点P 到y 轴的距离为d ,对于给定点A (4,5),则PA d +的最小值为 .134-7.已知点()()3220A F ，,，,在双曲线2213y x -=上求一点P ,使12PA PF +的值最小.解:∵1a b ==，∴2c =,∴2e =.设点P 到与焦点(20)F ，相应的准线的距离为d ,则2PFd=, ∴12PF d =.∴12PA PF PA d +=+,该问题就转化为在双曲线上求点P ,使点P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小,即直线PA 垂直于准线时符合题意,∴23P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.8.定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动,设点M 为线段AB 的中点,求点M 到y 轴的最小距离. 解:抛物线焦点1(,0)4F ,准线l :14x =-, 设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ,设点00(,)M x y , 则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥,又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥, 又101|4MM x =+,||3AB =,∴01342x +≥,所以054x ≥,即0x 的最小值是54.∴点M 到y 轴的最小距离是54,当且仅当AB 过点F 是取得最小距离.9.已知双曲线22x a -22y b=1的离心率e >12+,左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为l ,能否在双曲线的左支上找一点P ,使得212PF PF d =⋅(其中d 是P 到l 的距离)?解:设在左支上存在P 点,使|PF 1|2=|PF 2|·d ,由双曲线的第二定义知d PF ||1=||||12PF PF =e ,即|PF 2|=e |PF 1|. ①再由双曲线的第一定义,得|PF 2|－|PF 1|=2a . ②由①②,解得|PF 1|=12-e a ,|PF 2|=12-e ae ,∵|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,∴12-e a +12-e ae≥2c . ③ 利用e =ac,由③得e 2－2e －1≤0,解得1－2≤e ≤1+2.∵e >1, ∴1<e ≤1+2与已知e >1+2矛盾.∴在双曲线的左支上找不到点P ,使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项.10.已知点P 在双曲线221169x y -=上,并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰好是P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,求P 点的横坐标.M1M。
圆锥曲线知识点
圆锥曲线知识点圆锥曲线是数学中一个重要的概念，它指的是平面上由一个动点P 与一个定点F和一条定直线L确定的一类曲线。
圆、椭圆、抛物线和双曲线都是圆锥曲线的具体例子。
本文将介绍圆锥曲线的定义、特征以及它们在现实生活中的应用。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面几何中的重要概念，它由一个定直线L和一个定点F以及平面上P点的轨迹组成。
其中，定直线L称为准线，定点F称为焦点，而曲线上的点P为动点。
根据焦点与准线之间的距离关系，圆锥曲线可以分为四种类型。
1. 圆：当焦点F与准线L上的点重合时，即F为L的中点时，形成的曲线为圆。
圆锥曲线上的所有点到焦点F的距离都相等，这是圆的特征。
2. 椭圆：当焦点F到准线L的距离小于曲线上点P到焦点F的距离之和时，形成的曲线为椭圆。
椭圆是我们生活中常见到的圆形，特点是离焦点F 越远的点到焦点F的距离与到准线L的距离之和越大。
3. 抛物线：当焦点F到准线L的距离等于曲线上点P到焦点F的距离时，形成的曲线为抛物线。
抛物线可以看作是圆锥曲线的一种极端情况，具有开口向上或向下的特点。
4. 双曲线：当焦点F到准线L的距离大于曲线上点P到焦点F的距离之和时，形成的曲线为双曲线。
双曲线的特点是离焦点F越远的点到焦点F的距离与到准线L的距离之和越大。
二、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有许多重要的性质，其中一些性质如下：1. 焦点与准线之间的距离关系：对于椭圆和双曲线而言，焦点F到准线L的距离是一个恒定值。
而对于抛物线而言，焦点F到准线L的距离等于焦距的两倍。
2. 离心率：离心率是一个衡量圆锥曲线形状的重要参数。
对于椭圆而言，离心率介于0和1之间；对于双曲线而言，离心率大于1；而对于抛物线而言，离心率等于1。
3. 对称性：圆锥曲线具有一定的对称性。
例如，椭圆具有关于两个对称轴的对称性，而抛物线具有关于焦点和准线的对称性。
4. 焦点与直线之间的关系：对于给定的圆锥曲线上的一点P，焦点F到点P的连线与准线L之间的夹角相等。
圆锥曲线的统一定义
左焦点的距离为14，求P点到右准线的距离.
x2 y2 上一点P到 1 64 36
(2)椭圆
x2 y 2 1 25 9
的左右焦点分别为F1、F2
90° , 求ΔF1PF2的面积. 60 P为椭圆上一点,且∠F1PF2=90°
轨迹方程的思考:
例2.已知点P到定点F(1,0)的距离与它到定直线
l1
y
l2 M2 P
M1
P
O
d2
M2 x F1
d2
F1
.
.
F2
.
M1
O
.
F2 P′
x
d1
a 准线: x c
2
PF1 PF2 e 定义式: d1 d2
标准方程
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
图形
焦点坐标
准线方程
a2 x c a2 y c a2 x c
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定 直线l (F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛 物线,此时PF/d=1.
探究与思考:
若PF/d≠1呢?
在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样 一个式子：
2、左焦点与左准线对应，右焦点与右准线对应，不能混淆， 否则得到的方程不是标准方程。
3、离心率的几何意义：曲线上一点到焦点的距离与到相应 准线的距离的比。
x y 2 1(a b 0) 2 a b
l1 d1 y l2
2
2
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
l : x 5的距离的比是常数
圆锥曲线统一的定义方程及性质例析
圆锥曲线统一的定义方程及性质例析作者：周丹来源：《黑龙江教育·中学教学案例与研究》2014年第04期圆锥曲线是解析几何的重要部分，在考试大纲中大部分都是掌握的内容，而且分值占了20多分，足见其作用的重要.教材中主要从椭圆、双曲线、抛物线这三种曲线的定义、方程及性质横向的分别来研究的，可这三种曲线各有特点又都有共性，这就给记忆、证明及应用带来了麻烦，这里想对它们共同的特点，如统一的定义及方程、部分统一性质，从纵向的角度加以探究.圆锥曲线各自都有很多性质，其实性质的证明方法及应用都大同小异，因此对常用的性质进行研究.一、圆锥曲线的几种统一定义及方程1.它们都是平面内到一个定点的距离和到一个定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线.教材中为了能得到椭圆、双曲线的标准方程，选的点和直线方程与抛物线选的不同，表面上看好象此定义不是完全统一的，其实这个点都是它们的焦点，直线都是它们的准线，比值就是离心率 .例1：平面内点M到点F（0，0）的距离和它到直线l∶x=-p（p>0）的距离之比是一个常数e，求点M的轨迹.解：过点M作MH⊥l，H为垂足，设M（x，y）则MF=eMH.即=e|x+p|两边平方，化简得（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（*）.当00，M轨迹是椭圆.当e>1时，（*）式整理得（e2-1）（x-）2-y2=>0，M轨迹是双曲线.当e=1时，（*）式整理得y2=2px+P 2，点M的轨迹是抛物线.评注：此种定义的缺陷：不能表示圆的方程.（*）式为统一方程.2. 一动点与两个定点连线的斜率之积或差为实数的点的轨迹是圆锥曲线.例2：设A（a，0）B（-a，0）（a≠0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是实数P（P≠0），求点M的轨迹.解：设M（x，y）则kAM ·kBM =P即=P（x≠±a），整理得y2-Px2+Pa2=0-=1（*）（x≠±a）.当p=>0时（*）式+=1（x≠±a）为双曲线方程，当p=当p=-1时（*）式x2+y2= a2（x≠±a）为圆的方程.变式：若直线AM，BM的斜率之差是实数p（p≠0），求点M的轨迹.解：-=p，整理得y=（x2-a2），点M的轨迹是抛物线.评注：这种定义源于教材中的例题.动点的轨迹是圆锥曲线，主要是因为它的轨迹方程是关于x，y的二元二次方程.此定义能得到圆、椭圆、双曲线的标准方程.由例题可知，两个定点是椭圆、双曲线的顶点.如果两定点只是椭圆或双曲线上的两个关于原点对称的点，kAM kBM =P，点M的轨迹是什麽呢？变式：已知椭圆+=1（a>b>0），A、B为在椭圆上关于原点对称的两点，直线AM，BM 相交于M，且它们的斜率之积是实数p=-（p≠0），求点M的轨迹.解：设A（m，n）、B（-m，-n），M（x0，y0）.∵A在椭圆上，∴+=1，变形得n2 = b2 (1- )，∴kAM·kBM= ==-，∴+=1，∴点M的轨迹是方程为++=1（x0≠±m）的椭圆.思考：双曲线有这个结论吗？有，同理可证.3. 圆O半径为定长r，A是平面内一定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交与点Q，当P在圆上运动时，点Q的轨迹是什麽？解：QP=QA，①若点A在圆内（QA则OP=OQ+QP=OQ+QA=r>OA，Q的轨迹是以O、A为焦点，r为长轴长的椭圆.②若点A在圆上（QA=r），则点Q与点O重合，Q与点O重合，Q的轨迹就是O点.③若点A在圆外（QA>r），则OP=QP-OQ= QA-OQ =rQ的轨迹是以O、A为焦点，r为实轴长的双曲线.评注：这种定义源于教材中的书后习题，适当建系后可得到曲线方程，但不够完整，无法表示抛物线.二、圆锥曲线的统一性质性质1：圆锥曲线（不包括圆）上过焦点的弦中，通径最短.证明：设曲线上过焦点的弦AB，由例1可知焦点F（0，0）且A、B满足方程（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（*）.设弦AB直线方程若斜率不存在，则x=0 ，此时AB=2ep（通径），若斜率存在，弦AB直线方程y=kx，y=kx（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（1-e2+k2）x2-2e2px-e2p2=0（*），Δ=4e2p2（1+k2），AB==2ep|1+|>2ep，∴AB的最小值是2ep.性质2：圆锥曲线（不包括圆）中，过焦点的弦长与焦点弦的中点到相应准线的距离之比为常数.证明：由性质1可知，过焦点F（0，0）的弦AB=且AB中点的横坐标为，由例1可知曲线的一条准线l∶x=p，设AB中点的横坐标到准线的距离为d=|+p|==即=2e.特别当e=1时，即轨迹为抛物线，以焦点弦为直径的圆与准线相切.性质3：过曲线某点处的切线，结论相似.①过抛物线y2 =2px（p>0）上一点（x0，y0）作切线，切线方程为yy0=p（x+x0）；②过椭圆+=1（a>0，b>0）上一点（x0，y0）作切线，切线方程为+=1；③过双曲线-=1（a，b>0）上一点（x0，y0）作切线，切线方程为-=1；结论②、③与圆的切线结论相似，同样有：④过圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）作其切线，切线方程为 xx0+yy0=r2.证明方法一致，直线与曲线连立Δ=0.上述四个结论，如出一辙，曲线方程与切线方程的关联之处，不言而喻.性质4：以焦半径为直径的圆与以长（实）轴为直径的圆相切.证明：设曲线（椭圆、双曲线）上一点P（x，y）由例1可知焦点F（0，0），且P满足方程（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（*），则PF===e|x+p|，PF的中点坐标M（，），以长（实）轴为直径的圆C的方程为（x-）2+y2=，则CM===|x-|=|x+p-|，由x的范围可知=|e|x+p±|||=|=PF±Rc|，∴以PF为直径的圆与圆C相切.补充：当P在方程y2=2px（p>0）的抛物线上，则以PF为直径的圆与y轴相切.证明：设P（x0，y0），则PF=x0+，PF的中点坐标M（，），∴以PF为直径的圆与y轴相切.。
圆锥曲线的统一定义PPT教学课件
俾斯麦主张采用什么方式 统一德国？
武力，战争
三次王朝战争
普鲁士
1864 丹 麦 1866 奥地利
1870 法 国
王朝战争是战争的一种形式，因参与者是王 国与王国或发起国是君主制国家帝国宪法》（1871年）
德意志帝国的建立（1871，凡尔赛）
x=-5的距离小2,则动点P的轨迹方程是 y2 12x
练一练
1.已知椭圆短轴长是2,长轴长是短轴长的2倍,则
其中心到准线距离是
.
2. 设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等
分,则此双曲线的离心率为
.
法国国旗
第10课：欧洲大陆的政体改革
课标要求：知道法兰西第三共
和国宪法的主要内容，比较德意志 帝国君主立宪制和法国共和制的异 同。
他在你心目中 的地位如何呢？
巴黎塞纳河畔的拿破仑墓
法国民主共和政体建立的曲折过程
法兰西王国
843—1792.8
法兰西第一共和国
1792.9 —1804
法兰西第一帝 国1804 —1814
波旁王朝复辟
1815 —1830
七月王朝
1830 —1848
法兰西第二共和国
1848 —1852
法兰西第二帝国
| PF2 | e d
所以d=
1
e|PF2|=24
例1已知双曲线 x2 y上2一点1P到左焦点的
64 36
距离为14，求P点到右准线的距离.
分析 : 两准线间距离为 2a2 c
法二 : 设点P到左准线的距离为d
a 8,b 6, c 10,14 e c 5
d
a4
d 14 4 56 又 2a2 2 64 64
圆锥曲线知识点
高中数学选修圆锥曲线知识点圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。
当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。
椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）1．到两定点F1F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a} 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.图形方程标准方程12222=+byax(ba>>0) 12222=-byax(a>0,b>0) pxy22=参数方程为离心角）参数θθθ(sincos⎩⎨⎧==byax为离心角）参数θθθ(tansec⎩⎨⎧==byax⎩⎨⎧==ptyptx222(t为参数) 范围─a≤x≤a，─b≤y≤b |x| ≥ a，y∈R x≥0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0), (-a,0) (0,0)【备注1】双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .（2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222by a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by a x . （3）共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±bya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby ax .椭圆的常用结论： 1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF1F2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即22y a x b K AB-=。
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圆锥曲线的统一定义解读
江苏王冬琴
圆锥曲线的统一定义揭示了椭圆、双曲线、抛物线三种曲线的内在关系，使我们充分感受数学的内在的、和谐的美，有了发现美、欣赏美的意识；统一定义的推导需要娴熟的代数恒等变形的技能，整个推导过程渗透了特殊到一般，具体到抽象的数学思想.
一、圆锥曲线的统一定义
1．定义平面内到一定点F 与到一条定直线l ( 点F 不在直线l 上)的距离之比为常数e 的点的轨迹叫圆锥曲线.
①当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆；②当e= 1 时, 点的轨迹是抛物线；③当e>1 时, 点的轨迹是双曲线，其中常数e叫做圆锥曲线的离心率，定点F叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l就是该圆锥曲线的准线.
2．焦半径：圆锥曲线上的点与焦点的连线段叫做焦半径.
运用圆锥曲线的统一定义，可以推导出曲线上一点到焦点的距离就是焦半径，一般用点的坐标和离心率表示.
3．注意事项
（1）统一定义是充分必要条件，即满足条件的点一定在圆锥曲线上，反之，圆锥曲线上的任意一点也满足条件.
（2）焦点与准线要对应，对于椭圆或双曲线，其上的一点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于它的离心率。
这里的“相应”指的是：“左焦点对应左准线”、“右焦点对应右准线”；特别地，对于焦点在x 轴上的双曲线来说，右支上任意一点到左焦点的距离与这点到左准线的距离之比也等于离心率.
（3）准线与圆锥曲线一定没公共点.
（4）当点F在直线l上时，设平面内动点M到直线l的距离是d，且MF
e
d
=，若1
e>，
则动点M的轨迹是过F点与直线l成等锐角的两条相交直线；若1
e=，则动点M的轨迹是过F点与直线l成等直角的一条直线；若1
e<，则动点M的轨迹不存在.
二、圆锥曲线的几何性质
说明：通径是过圆锥曲线的一个焦点与对称轴垂直的弦叫做通径，焦准距是焦点到对应准线的距离.
三、直线与圆锥曲线的位置关系
利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元二次方程有几个根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系；涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简便.
1．直线:l y kx b =+与圆锥曲线C ：(,)0f x y =交于点111(,)P x y ，222(,)P x y , 由20(0)(,)0
y kx b
Ax Bx C A f x y =+⎧⇒++=≠⎨
=⎩。
（1）当2
40B AC ∆=->时，直线与曲线相交，1212PP x A
=-=， （2）当2
40B AC ∆=-=时，直线与曲线相切； （3）当240B AC ∆=-<时，直线与曲线相离. 2．易错点
（1）当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.当曲线是双曲线或抛物线时，直线与其只有一个公共点不等价于0∆=.故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>.
3．应试技巧 当涉及椭圆或双曲线的一个焦点时，方法一是作出另外一个焦点，得到焦点三角形，运用第一定义解题，方法二是作出对应的准线，运用统一定义解题. 四、圆锥曲线统一定义的应用
运用统一定义可以解以下问题：求最值、轨迹方程、参数的范围、焦点弦长、离心率及其取值范围、判断曲线的形状等.。