高中数列通项公式经典方法_大全

高中数学：《递推数列》经典方法全面解析

类型1 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:已知数列{}n a 满足211=a ，n

n a a n n ++=+211

，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n

a 11+=+，求n a 。

例:已知31=a ，n n a n n a 2

3131

+-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．

类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2

1

(31+++=n n n a a ，求n a 。

类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。特

征根法在求递推数列通项中的运用

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如：

（08年高考）设p 、q 为实数，α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，数列{x n }满足x 1=p,x 2=p 2-q,x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……) 1）……………

2）求数列{x n }的通项公式。

3）若1=p ，4

1=q ，求数列{x n }的前n 项的和s n (09年高考)各项均为正数的数列{}n a 中

都有的正整数且对满足q p n m q p n m b b a a ,,,,,11+=+==，

=+++)1)(1(m n m

n a a a a )

1)(1(q p q p a a a a +++，

1）当时，求通项5

4,21

==b a n a 。

像上述两道题，如果不能顺利求出数列的通项公式，就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字——遗憾。本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一——特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。

类型一、递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为非零常数）。 先把原递推公式转化为)(112112n n n n a x a x a x a -=-+++，其中21,x x 满足

⎩⎨

⎧-==+q

x x p

x x 2121，显然21,x x 是方程02=--q px x 的两个非零根。 1） 如果0112=-a x a ，则0112=-++n n a x a ，n a 成等比，很容易求通项公式。

2） 如果0112≠-a x a ，则{112++-n n a x a }成等比。公比为2x ， 所以1211211)(-+-=-n n n x a x a a x a ，转化成：

)(1122

2

211

2

1a x a x a x x x a n n

n n -=-

--+， ( I )又如果21x x =，则{

1

2

1-+n n x a }等差，公差为)(112a x a -，

所以))(1(1

11221

2

1a x a n a x a n n --+=

-+，即：1

211221)])(1([-+--+=n n x a x a n a a

1

22

11222])()2([

---+=n n x x a x a n x a a 可以整理成通式：1

2)(-+=n n x Bn A a

Ii)如果21x x ≠，则令

11

2

1+-+=n n n b x a ，

A x x =2

1

，B a x a =-)(112,就有 B Ab b n n =-+1，利用待定系数法可以求出n b 的通项公式

2

12

11212121221)()()1(x x x a x a x x x x x x a b n n -----=

-

所以2

22

1211212121221])()()1([

-------=n n n x x x x a x a x x x x x x a a ，化简整理得：

1

22

1211112121)1(----+--=

n n n x x x a x a x x x x a a ， 小结特征根法：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若

21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为

1

211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和

2,1=n ，代入1

2

11--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为12)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入12)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。

简例应用（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，

b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 3

2

,121=

=x x Θ, ∴1

211--+=n n n Bx Ax a 1)3

2(-⋅+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是

⎩⎨

⎧-=-=⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 下面再看特征根法在08年高考题中的应用：

设p 、q 为实数，α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，数列{x n }满足x 1=p,x 2=p 2-q,x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……) 1）……………

2）求数列{x n }的通项公式。