北京大学附属中学(荣誉班)2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题

北大附中2016-2017学年第2学期期末考试试卷

数学荣誉课程2（元培荣誉课程）

一、填空题（每空4分，共10空，40分）

1．在ABC △

中，a

b =30A =︒，则边长

c =__________．

2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =+，则2017a =__________．

3．已知二维直角坐标系中的点A 坐标为2(,32)a a a -+，a ∈R ，则A 不可能在第__________

象限．

4．由1y x x =+，0x >的最小值是2，21y x x =+，0x >

，31y x x =+，0x >的

，可以归纳出1n

y x x =+，0x >的最小值是__________． 5．设地球的半径长度为单位1，地球表面上的两点A 、B 位于北纬45︒的纬线圈上，其经度分

别为东经150︒、西经120︒，则这两个点的球面距离为__________．

6．如图为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为：__________．

主视图

7．对于直线a 、b 和平面α，以下四个命题中正确的个数为__________个： ①若a α∥，b a ∥，则b α∥；

②若a α⊂，{}b A α= ，则a 与b 异面； ③若a b ∥，b α⊥，则a α⊥； ④若a b ⊥，a α⊥，b α⊄，则b α∥． 8．直线960ax y +-=与直线20x ay +-=平行，则a =__________．

9．在平面直角坐标系中，动点A 到点(0,3)-的距离不大于2，则A 到原点距离的最大值为

__________．

10．在平面直角坐标系中，已知圆A 过直线y x =和圆224x y +=的交点，且被交点所在的弦

在圆A 中所对的圆心角为π3

，则圆A 的标准方程为__________． 二、解答题（共6题，70分，其中第6题为附加题．只写结果不写过程不得分）

11． 设数列{}n a 的首项12a a =≠-，且满足关系：121n n n

a n a a n +⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，注意公式中有

文字

（1）（2分）求2a ，3a ．

（2）（5分）设212n n b a -=+，证明{}n b 为等比数列并求其通项公式．

（3）（5分）求数列{}n a 的通项公式．

12．已知函数()2()0,a f x x x a x

=+>∈R 的最小值为3． （1）（5分）求a 的值．

（2）（7分）解不等式()5f x >．

13．已知如图所示的多面体中，四边形ABCD 是菱形，四边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，π3

BAD ∠=． F

E

D C B

A

（1）（4分）求证：平面BCF AED ∥平面．（注意排除重合情况） （2）（8分）若BF BD a ==，求四棱锥A BD EF -的体积．

14．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD △为等边三角形，2AD D E AB ==，F 为CD 的中点．

（1）（6分）求证：AF ∥平面BCE ．

（2）（5分）求证：平面BCE ⊥平面CDE

15．如图所示，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，4BC =，E 是PD 的中点．

P

E

D C

B A

（1）（9分）求二面角E AC D --的余弦值． （2）（4分）求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值．

16．（本题为附加题，共10分）在以下两个题目当中任选1题作答（解答时需注明所选题目）： （1）写出三元均值不等式的形式并证明．（默认已知二元均值不等式） （2）证明半径已知的球面上两个定点之间所构成的圆弧（圆弧位于已知球表面）中，大圆所对应的劣弧最短．（提示：取倒数、利用锐角θ满足sin tan θθθ<<证明．此题如果用导数证明将酌情减分）