勾股定理和二次根式
初三数学知识点梳理
初三数学知识点梳理初三数学学问点梳理第一篇二次根式、勾股定理、四边形、一次函数和数据的分析。
(1)二次根式(2)勾股定理：解直角三角形，解直角三角形的学问是近几年各地中考命题的热点之一，考察题型为选择题，填空题，应用题为主，分值一般8-12分，难易度为难。
【考察内容】①常见锐角的三角函数值的计算②依据图形计算距离，高度，角度的应用题③依据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的学问解决问题。
(3)四边形：初中数学中考中的重点内容之一，分值一般为10-14分，题型以选择，填空，解答证明或融合在综合题目中为主，难易度为中。
【考察内容】①多边形的内角和，外角和等问题②图形的镶嵌问题③平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性质和判定。
(4)一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。
中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式敏捷，综合应用性强。
甚至有存在探究题目出现。
【考察内容】①会画一次函数的图像，并把握其性质。
②会依据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。
③能用一次函数解决实际问题。
④考察一次函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。
(5)数据的分析二次函数、一元二次方程、旋转、圆和概率初步。
(1)二次函数：二次函数的图像和性质是中考数学命题的热点，难点。
试题难度一般为难。
常见选择，填空题分值为3-5分，综合题分值为10-12分。
【考察内容】①能通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
②能用数形结合，归纳等熟识思想，依据二次函数的表达式(图像)确定二次的开口方向，对称轴和顶点的坐标，并获得更多信息。
③综合运用方程，几何图形，函数等学问点解决问题。
(2)一元二次方程：中考分值约为3-5分，题型主要以选择，填空为主，极少出现简答，难易度为易。
【考察内容】①方程及方程解的概念②依据题意列一元一次方程③解一元一次方程。
(3)旋转：图形的平移，旋转是中考题的新题型，热点题型，在试题比重，逐年上升。
二次根式最简定义
二次根式最简定义二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
二次根式也可以表示为a的平方根，它是数学中一个重要的概念。
我们来了解一下什么是根式。
根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
√a读作“根号a”，表示a的非负平方根。
根式在数学中经常出现，它可以简化复杂的运算，并且在解决实际问题中也具有重要的作用。
而二次根式就是根式的一种特殊形式。
它的底数a是一个非负实数，指数是2，表示对a进行平方根运算。
二次根式可以简化为√a，其中a是一个非负实数。
二次根式有一些特殊的性质和运算规律。
首先，二次根式的结果总是非负的，即结果大于等于0。
这是因为二次根式是对非负实数进行平方根运算，所以结果必然是非负的。
二次根式具有乘法和除法的运算规律。
对于两个非负实数a和b，有以下运算规律：1. 乘法规律：√(a*b) = √a * √b。
这意味着两个二次根式的乘积等于它们的底数的乘积的二次根式。
2. 除法规律：√(a/b) = √a / √b。
这意味着一个二次根式除以另一个二次根式等于它们的底数的商的二次根式。
除了乘法和除法规律，二次根式还可以进行加法和减法运算。
对于两个非负实数a和b，有以下运算规律：1. 加法规律：√a + √b 不能再进行简化。
2. 减法规律：√a - √b 也不能再进行简化。
需要注意的是，二次根式的运算结果不一定是二次根式。
例如，√2 + √3 就不能再进行简化，但它不是一个二次根式。
在实际问题中，二次根式经常出现。
例如，在几何学中，勾股定理就涉及到二次根式。
勾股定理表达了直角三角形的边长之间的关系，其中就包括二次根式。
又如，在物理学中，速度、加速度等概念的计算中，也经常会使用到二次根式。
二次根式是数学中一个重要的概念，它可以简化复杂的运算，并在解决实际问题中发挥重要作用。
我们需要熟练掌握二次根式的性质和运算规律，才能更好地应用于实际问题的求解中。
计算100题(勾股定理、二次根式、不等式)
1 _______; 2 _______; 3 _______; 4 _______; 5 _______; 6 _______; 7 _______; 8 _______; 9 _______; 10 ______; 11 _______; 12 _______; 13 _______; 14 _______; 15 _______; 16 _______; 17 _______; 18 _______; 19 _______; 20 _______; 21 _______; 22 _______; 23 _______; 24 _______; 25 _______; 26 _______; 27 _______; 28 _______; 29 _______; 30 _______; 31 _______; 32 _______; 33 _______; 34 _______; 35 _______; 36 _______; 37 _______; 38 _______; 39 _______; 40 _______; 41 _______; 42 _______; 43 _______; 44 _______; 45 _______; 46 _______; 47 _______; 48 _______; 49 _______; 50 _______; 51 _______; 52 _______; 53 _______; 54 _______; 55 _______; 56 _______; 57 _______; 58 _______; 59 _______; 60 _______; 61 _______; 62 _______; 63 _______; 64 _______; 65 _______; 66 _______; 67 _______; 68 _______; 69 _______; 70 _______; 71 _______; 72 _______; 73 _______; 74 _______; 75 _______; 76 _______; 77 _______; 78 _______; 79 _______; 80 _______; 81 _______; 82 _______; 83 _______; 84 _______; 85 _______; 86 _______; 87 _______; 88 _______; 89 _______; 90 _______; 91 _______; 92 _______; 93 _______; 94 _______; 95 _______; 96 _______; 97 _______; 98 _______; 99 _______; 100 _______;
二次根式于勾股定理结合类型
二次根式于勾股定理结合类型
二次根式和勾股定理是高中数学中常见的两个概念，它们之间没有直接的结合类型。
但是在解决一些具体的几何问题时，可能会涉及到同时使用二次根式和勾股定理。
二次根式是指形如√a的数，其中a为正实数。
二次根式在几何中常用于表示长方形或正方形的边长、三角形的边长和高度等。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边长度的平方和。
即在一个直角三角形ABC中，若AB为直角边，AC和BC为其它两边，则有：AB² = AC² + BC²。
结合二次根式与勾股定理的应用通常是通过勾股定理解决直角三角形问题时，其中出现的边长或高度可能包含二次根式，需要对其进行计算。
举例来说，假设在一个直角三角形ABC中，AC = 2√3，BC = √6，求AB的长度。
根据勾股定理，有AB² = AC² + BC²，代入数值得到AB² = (2√3)² + (√6)² = 12 + 6 = 18，因此AB = √18 =
3√2。
在这个例子中，二次根式和勾股定理结合使用，通过勾股定理得到了AB的长度。
第17章勾股定理
勾股定理：勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何语言：在Rt△ABC中，若∠C=90°，则a2+b2=c2。
直角边：a、b斜边：c运算结果：写成最简二次根式的形式1能开方的必须开方2根号里不含分母，分母里不含根号勾股定理的证明：等面积法赵爽外弦图邹元治内弦图总统证法一副三角板勾股定理的应用1设未知数x2用x表示三角形中相关边3根据题意列方程直角边与斜边未定分类讨论1．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为（）A．3B．25C．23D．25或23 x斜边x直角边美丽的勾股树1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B的面积分别为5、3，则最大正方形C的面积是（）A．15B．13C．11D．82．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2022B．2021C．2020D．13．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16B．25C．144D．1694．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）A．B．C．D．两直角边的正多边形的面积和=斜边正多边形的面积5．如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为S1，S2，S3．则它们满足的数量关系为．尺规画实数：1．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（）A．2.2B．5C．1+2D．62．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（）A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间注意起点和方向3．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1−5B．1−5C．−5D．﹣1+5注意起点和方向4.尺规作图：在数轴上分别作出表示17，20，−41的点先把被开方数拆成两个完全平方数之和17=1+1620=4+1641=16+25确定两直角边连接斜边以o为圆心，斜边为半径画弧等面积法：求斜边高ch=ab斜边高：h=ab÷c2．已知：如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，求△ABC 的面积．等腰直角三角形：�：�：�含30°角的直角三角形�：�：�方程的思想：设未知数，根据等量关系列方程1．如图，A，B，H是直线上的三个点，AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，HC＝HD，AB＝5，AC＝2，BD＝3，求AH的长．3．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．1.如图，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．（1）图2中A、B两点表示的数分别为，；（2）请你参考以上方法：①把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形，在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a ＝．（注：小正方形边长都是1，拼接不重叠也无空隙）②在①的基础上，参考图2的画法，在数轴上用M表示数a，图中标出必要线段长．2．阅读下列材料并回答问题．画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4，则我们可以量得直角三角形的斜边长为5，并且发现32+42＝52，事实上，在任何个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中两直角边长分别为a，b斜边长为c，则a2+b2＝c2，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论完成下面的活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为1，3，那么这个直角三角形的斜边长为．（2）一个直角三角形的两条边分别为2，3，那么这个直角三角形的另一边长为．（3）如图，在数轴上画一个直角三角形OBC，∠OCB＝90°，且两条直角边OC和BC的长分别是2和1，设原点为O，以O为原点，斜边长OB为半径画圆交数轴于点A，则线段AC的长度是．勾股定理的证明：等面积法：整体求法=局部面积和1．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．D完全平方公式勾股定理：勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
二次根式与勾股定理
图5
例 7 如图 6，在 △ABC 中， AB AC 2 ， BC 边上有 100 个不同的点 P1，P2，…，P100 ，
记 mi APi 2 BPi PiC(i 1,2,，100），求 m1 m2 … m100 的值．
A
B Pi D
C
图6
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二次根式
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5、勾股定理及其逆定理的应用（重点）
①用于求线段的长；②用于求角的度数；③用于求面积；④用于判定三角
C
形的形状；⑤用于证明两线段垂直；⑥用于证明几条线段间的等量关系；
⑦用于求值 B
6、“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图
DA
形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角
例 5 如图 4，正方形 ABCD中， AE BE，AF 1 AD ，求证： CE EF ． 4
AF
D
E
B
C
图4
用于证明几条线段间的等量关系 例 6 如图 5，在△ABC 中， BAC 90，AB AC ， D 是 BC 上的点． 求证： BD2 CD2 2AD2 ．
A
用于求值
B
E
D
C
60
2
D
1 30
B
C
E
图3
用于判定三角形的形状
例 4 若 三 角 形 的 三 条 边 a，b，c 满 足 关 系 式 a4 b2c2 a2c2 b4 0 ， 则 此 三 角 形 形 状
是
．
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变式：若直角三角形的三边长分别是 n+1，n+2，n+3，求 n。
二次根式,勾股定理,四边形,一次函数.doc
二次根式，勾股定理，四边形，一次函数知识点：二次根式1、二次根式二次根式必须满足：含有二次根号，被开方数a必须是非负数。
2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
第十七章勾股定理知识点：直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余，2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，4、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，知识点：直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
知识点：锐角三角函数的概念1、在△ABC中，∠C=90°①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，2、锐角三角函数的概念------锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数，3、各锐角三角函数之间的关系:（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)，（2）倒数关系tanAtan(90°—A)=14、锐角三角函数的增减性:当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），知识点：解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
小学数学教学备课教案二次根式与勾股定理的应用与证明
小学数学教学备课教案二次根式与勾股定理的应用与证明一、二次根式的引入与概念在小学数学教学中，二次根式是一个重要的概念，它与勾股定理有着密切的关系。
在本次备课教案中，我们将重点讨论二次根式的应用与证明。
首先，我们需要引入二次根式的概念。
二次根式是指形如√a的表达式，其中a是非负实数。
它表示的是满足b^2=a的非负实数b。
例如，√9=3，√16=4。
在小学数学教学中，我们通常以一些生动有趣的例子来引入二次根式的概念，使学生能够更好地理解。
二、二次根式的应用（段落内容自行发挥）三、勾股定理的引入与概念经过引入二次根式的概念后，我们将进一步引入勾股定理的概念及其应用。
勾股定理是三角形中最为重要的定理之一，它能够帮助我们求解各种与三角形有关的问题。
勾股定理的概念是指在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边上的各自长度的平方和。
即在一个直角三角形ABC中，如果AB是直角边，AC和BC是两条其他的边，那么有AB^2=AC^2+BC^2。
这个定理在数学中应用广泛，并且有着许多的证明方法。
四、勾股定理的证明勾股定理的证明是数学中的一个重要环节。
通过证明勾股定理，我们可以帮助学生理解和掌握这个定理的本质，并且培养他们的证明能力。
在小学数学教学中，我们可以通过几何证明、代数证明等不同的方法来证明勾股定理。
例如，几何证明可以利用平行线、相似三角形等几何性质来证明；代数证明可以利用二次根式的概念、代数运算等方法来证明。
通过多种证明方法的引入，可以让学生在不同的思维方式中灵活运用，提高他们的数学思维能力。
五、二次根式与勾股定理的应用与证明实例在教学中，我们可以选取一些实际问题来应用和证明二次根式与勾股定理。
例如，可以选择一道题目：“甲乘以2的二次根式等于乙，乙的平方加上5等于丙，求丙的值。
”让学生运用二次根式和勾股定理的知识来解答这道问题，并进行证明过程的讲解。
通过这样的实例训练，可以帮助学生将二次根式与勾股定理应用于实际问题中，培养他们的问题解决能力和数学思维能力。
二次根式及勾股定理的知识点总结
二次根式的知识点知识点一：二次根式的概念形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√(x2+1)，√(x－1) (x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。
知识点三：二次根式√a(a≥0)的非负性√a(a≥0)表示a的算术平方根，也就是说，√a(a≥0)是一个非负数，即√a≥0(a≥0)。
注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a≥0)的算术平方根是非负数，即√a≥0(a≥0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若√a＋√b=0，则a=0,b=0；若√a＋|b|=0，则a=0,b=0；若√a＋b2=0，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（√a）的性质(√a)2=a(a≥0)文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式(√a)2=a(a≥0)是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若a≥0，则a=(√a)2，如：2=(√2)2，1/2=(√1/2)2.知识点五：二次根式的性质√a2=|a|文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简√a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即√a2=|a|=a (a≥0)；若a是负数，则等于a的相反数-a,即√a2=|a|=－a (a﹤0)；2、√a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，√a2一定有意义；3、化简√a2时，先将它化成|a|，再根据绝对值的意义来进行化简。
七年级二次根式知识点归纳
七年级二次根式知识点归纳二次根式是初中数学中非常重要的一部分知识，它常常出现在代数表达式、分式化简、勾股定理等问题中。
在七年级的数学课程中，学生首次接触二次根式，本文将对此部分内容进行详细的归纳总结。
1. 二次根式的概念及表示方法二次根式是指形如$\sqrt{a}$的数学表达式，其中$a$为非负实数。
二次根式可以用有理化的方法表示为$\sqrt{a}=\frac{\sqrt{a}\times\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{a}{\sqrt{a}}$，其中分母$\sqrt{a}$通常称为二次根式的根数。
2. 二次根式的简化二次根式的简化是指将形如$\sqrt{a}$的二次根式化为最简形式的过程。
有两种情况需要进行二次根式的简化：（1）被开方数$a$是平方数或完全平方数，即$a=b^2$或$a=p\times q^2$，其中$p$为质数，$q$为正整数。
这时，二次根式可以直接化为整数或分数，例如$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
（2）被开方数$a$不是平方数或完全平方数，例如$\sqrt{7}$，$\sqrt{10}$。
这时，需要采用有理化的方法，将二次根式的分母有理化为整数，例如$\sqrt{7}\times\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{7}{\sqrt{7}}$，$\sqrt{10}\times\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=2\s qrt{10}$。
3. 二次根式的运算（1）二次根式的加减法当两个二次根式的根数相同时，可以直接将根数不变的二次根式相加减，例如$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$，$4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
当两个二次根式的根数不同时，需要进行有理化处理，例如$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{3\sqrt{2}\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=2\sqrt{6}+3\sqrt{6} =5\sqrt{6}$。
人教版八年级下册数学辅导第3次(二次根式与勾股定理综合)
二次根式与勾股定理题型拓展练习例1、在Rt △ABC ，∠C=90°则： ⑴已知a=b=5，求c 2。
⑵已知a=1,c=2, 求b 2。
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a ：b=3：4,c=25, 求 b 。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。
练习：1、在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
2、在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
3、在Rt △ABC ，∠C=90°，c=25，a ：b=3：4，则a= ，b= 。
4、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
5、已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。
6、已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。
例2、已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。
⑴求等边△ABC 的高。
⑵求S △ABC 。
练习、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，在边CD 上适当选定一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在边BC 上一点F 处，且△ABF 的面积是30cm 2．求此时AD 的长．例题3、一个直角三角形的周长为9，斜边为4，求这个三角形的面积。
练习：1、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．2、直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．3、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是_________（3题图） （第4题图） （第5题图） （第6题图）4、如图，在△ABC 中，CE 是AB 边上的中线，CD ⊥AB 于D,且AB=5,BC=4,AC=6,则DE 的长为_______.5、如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是__________6、（2009年湖南长沙）如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．例题3、判断由线段abc 组成的三角形是不是直角直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17 （2）a=13，b=14，c=15 （3）三边长之比为 3∶4∶5；练习： 1、试判断下列三角形是否是直角三角形：⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6；（3）a=5k ，b=12k ，c=13k （k ＞0）。
初二数学二次根式与勾股定理
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二次根式【知识要点】1. 二次根式的有关概念（1）二次根式：形如 （ a ≥0 )的式子叫做二次根式。
（2）最简二次根式满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 练习:化简：（1)= ；（2)= ;（3)= ；(4）= .（5) 下列的根式中，属最简二次根式的是（A B 。
D 。
（3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.若最简二次根式与是同类二次根式，则m = 。
2.； ⑵ （≥0） ⑶； ⑷ （）; ⑸ （） 3. 分母有理化:把分母中的根号化去叫做分母有理化。
练习：化简:；1. 中，字母a的取值范围是__________．2.________．3. 当时，在实数范围内有意义．4. 的倒数是 ；的绝对值是 ．5.的有理化因式是，的有理化因式是 ．6.7.当时，化简的结果是_________．8.化成最简二次根式，结果是___________．9. ，则___________．a 121824482)9(+x 3m 2()=2a a =2a =ab 0,0≥≥b a=b a0,0>≥b a =⨯⨯=333131()()()=-+-⨯=+1212121121x 12x <<1x -+(a b -ab =10.,且＜，化简：。
人教版八年级数学下册课件勾股定理复习课(课2)
c
（1）如果∠A和∠B是邻补角，那么∠A+∠B=180〫.
重难点3：勾股定理逆定理的应用
Ca B
知识梳理
3. 勾股定理逆定理的应用
② 实质：由“数”到“形”的转化； ③ 应用：判定一个三角形是否为直角三角形.
知识梳理
4. 勾股数
勾股数
正整数
判断一组数是不是勾股数的步骤： 看、找、算、判.
重点解析
反走私艇 B 离走私艇 C 12 海里，若走私艇 C
从边的方面判断：如果已知条件与边有关系，则可以通过勾股定理的逆定理进行判断.
两个角都是40〫
重点解析
1.有些命题在不容易确定题设和结论的情况下，可 以先改写成“如果……那么……”的形式，然后确 定题设和结论. 2.判断一个命题是假命题只需要举出一个反例即可.
重点解析
重难点2：勾股定理的逆定理
判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.如果是， 请指出哪个角是直角. （1）在△ABC中，∠A=25〫、∠B=65〫； 解：（1）在△ABC中，因为∠A=25〫、∠B=65〫，所以 ∠C=180〫-∠A-∠B=90〫，所以这个三角形是直角三角形. ∠C是直角.
重点解析
重难点4：勾股数
判断下列各组数是不是勾股数：
深化练习
1.在△ABC中，∠A、 ∠B 、 ∠C的对边分别是a、b、c，下列判断 错误的是（ B ）.
A.如果∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形.
深化练习
A.如果∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形. 解析：因为∠C- ∠B=∠A，所以 ∠C=∠B+∠A. 因为∠C+∠B+∠A=180〫，所以 ∠C+∠C=180〫. 解得：∠C=90〫，所以△ABC是直角三角形.
二次根式与勾股定理
分式应用题与勾股定理第一部分：分式方程的应用一．常规工程问题1、为了支援抗灾，某公司主动承担灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成。
（1）按此计划，该公司平均每天生产帐篷多少顶？（2）生产2天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时，通过技术革新等技术手段使每人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成任务。
求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？二、方案决策型1、某项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：（1）甲对单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独做好也正好如期完成.在不耽误施工情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？第二部分：勾股定理的计算与应用1、理解勾股定理的实际意义①、。
求边，中，在c b a A ABC ,5,1390==︒=∠∆的周长。
，求，高，中，变式：在ABC AD AC AB ABC ∆===∆1213152、利用勾股定理解“折叠问题”②如图，把矩形纸条ABCD 沿EF GH ，同时折叠，B C ，两点恰好落在AD 边的P 点处，若90FPH =∠，8PF =，6PH =，则矩形ABCD 的边BC 长为？变式：在矩形纸片ABCD 中，AB =33，BC =6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE =30°．（1）求BE 、QF 的长；（2）求四边形PEFH 的面积．、A E P D G HF BAC D变式：三角形ABC 是等腰三角形，AB =AC =13，BC =10，将AB 向AC 方向对折，再将CD 折叠到CA 边上，折痕为CE ，求三角形ACE 的面积。
勾股定理及二次根式综合复习（含答案）
勾股定理及⼆次根式综合复习（含答案）勾股定理及⼆次根式复习⼀、知识梳理：（⼀）勾股定理：1、勾股定理定义：如果直⾓三⾓形的两直⾓边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.即直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅勾：直⾓三⾓形较短的直⾓边股：直⾓三⾓形较长的直⾓边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三⾓形的三边长a ，b ，c 有下⾯关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。
2. 勾股数：满⾜a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15；5,12,13 3. 判断直⾓三⾓形：如果三⾓形的三边长a 、b 、c 满⾜a 2+b 2=c 2 ，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。
（经典直⾓三⾓形：勾三、股四、弦五）其他⽅法：（1）有⼀个⾓为90°的三⾓形是直⾓三⾓形；（2）有两个⾓互余的三⾓形是直⾓三⾓形。
⽤它判断三⾓形是否为直⾓三⾓形的⼀般步骤是：（1）确定最⼤边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直⾓的三⾓形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三⾓形为钝⾓三⾓形（其中c 为最⼤边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三⾓形为锐⾓三⾓形（其中c 为最⼤边）4.注意：（1）直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半（2）在直⾓三⾓形中，如果⼀个锐⾓等于30°，那么它所对的直⾓边等于斜边的⼀半。
（3）在直⾓三⾓形中，如果⼀条直⾓边等于斜边的⼀半，那么这条直⾓边所对的⾓等于30°。
5. 勾股定理的作⽤：（1）已知直⾓三⾓形的两边求第三边；（2）已知直⾓三⾓形的⼀边，求另两边的关系；（3）⽤于证明线段平⽅关系的问题；（4）利⽤勾股定理，作出长为n 的线段. （⼆）⼆次根式：1.⼆次根式的概念：形如a （a≥0）的式⼦叫做⼆次根式（⼆次根式中，被开⽅数⼀定是⾮负数，否则就没有意义，并且根式a ≥0）2.最简⼆次根式：同时满⾜：①被开⽅数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开⽅数中不含能开得尽⽅的因数或因式．这样的⼆次根式叫做最简⼆次根式． 3. 同类⼆次根式：⼏个⼆次根式化成最简⼆次根式后，如果被开⽅数相同，这⼏个⼆次根式就叫同类⼆次根式． 4．⼆次根式的性质：①a a ≥≥00（）②()a a a 20=≥（）③a aa aaa a200==>=-<||（）（）（）④ab a b a b=?≥≥（，）00⑤babaa b=>≥（，）005．分母有理化及有理化因式：把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有⼆次根式的代数式相乘，?若它们的积不含⼆次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．6.⼆次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开⽅数中有的因式能够开得尽⽅，那么，就可以⽤它的算术根代替⽽移到根号外⾯；如果被开⽅数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外⾯，反之也可以将根号外⾯的正因式平⽅后移到根号⾥⾯．（2）⼆次根式的加减法：先把⼆次根式化成最简⼆次根式再合并同类⼆次根式．（3）⼆次根式的乘除法：⼆次根式相乘（除），将被开⽅数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开⽅数并将运算结果化为最简⼆次根式．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适⽤于⼆次根式的运算．7.使分母不带根号（分母有理化）常⽤⽅法：①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后，其结果不再含根号的因式。
初中八年级下册数学知识点
初中八年级下册数学知识点
1. 勾股定理：勾股定理是一个基本的几何定理，用于描述直角三角形中三条边的关系。
在八年级下册，学生将学习如何使用勾股定理解决实际问题。
2. 二次根式：二次根式是数学中的一种表达式，表示一个数的平方根。
学生需要掌握二次根式的性质、运算规则以及与实数的关系。
3. 一元二次方程：一元二次方程是包含一个未知数的二次方程。
学生需要掌握一元二次方程的解法、应用以及与现实生活的关系。
4. 平面直角坐标系：平面直角坐标系是一个基本的数学工具，用于描述平面上的点的位置。
学生需要掌握如何使用坐标系表示点的位置，以及如何通过坐标系解决实际问题。
5. 一次函数与反比例函数：一次函数和反比例函数是两种基本的函数形式。
学生需要掌握它们的性质、图像以及在实际生活中的应用。
6. 数据的收集与整理：学生需要掌握如何收集和整理数据，以及如何使用图表来表示数据。
这将帮助他们更好地理解和分析现实生活中的问题。
以上是初中八年级下册数学的主要知识点。
在学习过程中，学生需要注重理解和应用，通过大量的练习来巩固所学知识。
八年级数学下册期中专题复习学案(二次根式,勾股定理,平行四边形)(有答案)【精品】
《第十六章二次根式》专题复习知识结构图重难点 1 二次根式有意义的条件例1．若式子m＋1＋(m－2)0有意义，则实数m的取值范围是( ) A．m＞－2 B．m＞－2且m≠1C．m≥－1 D．m≥－1且m≠2【方法指导】1．使得式子x4－x有意义的x的取值范围是( )A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜42.要使式子x＋3x－1＋(x－2)0有意义，则x的取值范围为．3．使代数式1x＋3＋4－3x有意义的整数x有．重难点2 二次根式的非负性例2. 若a－1＋b2－4b＋4＝0，则ab的值等于( )A．－2 B．0 C．1 D．2【方法指导】这类问题主要利用非负数的和为0，进而得出每一个非负数的式子为0，从而构造方程求未知数的值，通常利用的非负数有：(1)||x≥0； (2)x2≥0； (3)x≥0.针对练习：4．若a ＋b ＋5＋|2a －b ＋1|＝0，则(b －a )2 020＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－52 020 D ．52 0205．已知y ＝x －4＋4－x ＋2，则 xy的值为 ．6．已知|a －5|＋b ＋3＝0，那么点P (a ，b )在第 象限． 7.已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：()()b a b a ---++22123.重难点3 二次根式的运算例3．计算：()22331312-+⨯-【方法指导】二次根式的运算中，多项式乘法法则、除法法则以及乘法公式仍然适用． 针对练习： 8．计算： （1）4821319125+- （2）()()2222336-++- （3）()()362546322÷++-重难点 4 与二次根式有关的化简求值例4. 先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷--y x x y xy x xy x x y 1122222，其中32,32-=+=y x .将二次根式的运算与分式的化简求值相结合考查，是最常见的考查形式．当未知数的值是无理数时，求值时就用到二次根式的运算． 针对练习：9．先化简，再求值：12212122++-÷⎪⎭⎫⎝⎛+---a a a a a a aa ，其中2=a .重难点 5 与二次根式有关的规律探究例5．先阅读，再解答：由()()()()235353522=-=-⋅+可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可能不含有二次根式．在进行二次根式计算时，可以利用这种运算规律化去分母中的根号，例如：()()23232323231-=-+-=+，根据以上运算请完成下列问题：(1)2019-2017(填“＞”或“＜”)； (2)利用你发现的规律计算下面式子的值：()12019201820191341231121+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++++++．针对练习：10.观察下列各式：514513,413412,312311=+=+=+,…，请你将发现的规律用含自然数n(n ≥1)的代数式表示出来： ．《第十七章 勾股定理》专题复习。
人教版数学八下知识点总结
人教版数学八下知识点总结第十六章二次根式。
1. 二次根式的定义。
- 形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。
被开方数a必须是非负数。
2. 二次根式的性质。
- √(a)(a≥0)是一个非负数，即√(a)≥0。
- (√(a))^2=a(a≥0)。
- √(a^2)=| a|=a(a≥0) -a(a < 0)。
3. 二次根式的乘除。
- 二次根式乘法法则：√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)。
- 二次根式除法法则：√(a)÷√(b)=√(frac{a){b}}(a≥0,b > 0)。
4. 二次根式的加减。
- 先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
第十七章勾股定理。
1. 勾股定理。
- 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2。
2. 勾股定理的逆定理。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
3. 勾股数。
- 满足a^2+b^2=c^2的三个正整数，称为勾股数，如3、4、5；5、12、13等。
第十八章平行四边形。
1. 平行四边形的性质。
- 平行四边形的对边平行且相等。
- 平行四边形的对角相等，邻角互补。
- 平行四边形的对角线互相平分。
2. 平行四边形的判定。
- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3. 矩形的性质。
- 矩形的四个角都是直角。
- 矩形的对角线相等。
4. 矩形的判定。
- 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
- 对角线相等的平行四边形是矩形。
- 有三个角是直角的四边形是矩形。
5. 菱形的性质。
- 菱形的四条边都相等。
专题03 二次根式及勾股定理中的数学思想方法讲义(原卷版)
专题03 二次根式及勾股定理中的数学思想方法讲义典例解析1.【勾股定理】【方程思想】【例1】（2021·辽宁沈阳市期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（ ）尺． A ．26B ．24C ．13D ．12【例2】（2021·陕西宝鸡市期末）如图，在长方形ACD 中，3AB cm =，9AD cm =，将此长方形折叠，便点D 与点B 重合，折痕为EF ，则ABE △的面积为（ ）cm 2． A ．12B ．10C ．6D ．15【例3】如图，在平面直角坐标系中，点P 为x 轴上一点，且到A （0，2）和点B （5，5）的距离相等，则线段OP 的长度为（ ）A ．3B ．4C ．4.6D ．【变式】（2021·浙江）如图，一棵高5米的树AB 被强台风吹斜，与地面BC 形成60︒夹角，之后又被超强台风在点D 处吹断，点A 恰好落在BC 边上的点E 处，若2BE =，则BD 的长是（ ）A ．2B ．3C ．D ．【分类讨论思想】【例1】（2021·北京延庆区期末）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1.点Q 在直线BC 上，且AQ ＝2，则线段BQ 的长为（ ）A B C 11 D 11【变式1】（2020·山东青岛市期中）若实数m 、n 满足|m ﹣3|+0，且m 、n 恰好是Rt ABC 的两条边长，则ABC 的周长是（ ） A ．5B ．5C ．12D ．12或【例2-1】（2020·浙江嘉兴市期末）在Rt ABC 中，90,8cm,4cm C BC AC ∠=︒==，在射线BC 上一动点D ，从点B 出发，以1厘米每秒的速度匀速运动，若点D 运动t 秒时，以A 、D 、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为_____________秒．【例2-2】（2021·辽宁沈阳市期末）已知等腰三角形的两边长分别为a ，b ，且a ，b满足2(2313)0a b +-=，则此等腰三角形的面积为____．【变式2-1】（2021·江苏南京期末）（基础模型）（1）如图，在△ABC 中，,AB AC CD AB =⊥，垂足为D ，BE AC ⊥，垂足为E ．求证：ACD ABE ≅△△．（模型拓展）（2）在平面直角坐标系中，两条互相垂直的直线1l 与2l 都经过点()4,3M ，直线1l 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，直线2l 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ． ①如图，点M 是线段AB 的中点，求线段AC 的长度；②连接AD ，如果ABD △是等腰三角形，直接写出点B 的坐标．【变式2-2】（2020·成都市期中）如图1，中，于点D ，且，（1）证明：是等腰三角形；ABC CD AB ⊥ABC（2）已知平方厘米，如图2，动点M 从点B 出发以每秒的速度沿线段向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M 运动的时间为t （秒）， ①若的一边与平行，求t 的值；②若点E 是边的中点，当在点M 运动的过程中，为等腰三角形时直接写出t 的值.【例3-1】（2021·陕西宝鸡市期末）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝ 90°， ∠ADC ＝ 90°，∠BCD ＝ 60° ，BC ＝CD ，P 为四边形ABCD 边上的任意一点，当AB ＝4， ∠APB ＝30°时，BP 的长是__________．【例3-2】（2020·吉林长春市期末）如图，在中，AB=AC=5cm ，BC=8cm ，AD ⊥BC 于D ．点在边上从点出发，以0.25cm/s 的速度向终点C 运动，设点的运动时间为．（1）求线段的长．（2）求线段的长．（用含的代数式表示） （3）求为何值时，点与顶点的连线与的腰垂直．【变式3-1】（2019·渠县月考）如图，在ABC 中，，6cm BC，动点P 从点C 出发，10ABC S △1cm BA AC DMN BC AC MDE ABC P BC B P (s)t AD DP t t P A PA ABC按C A B C →→→的路径运动，且速度为2cm s ，设运动时间为(s)t ． （1）求ABC 的面积； （2）求AC 边上的高BD 的长；（3）当t 为何值时，APC △的面积为29.6(cm )；（4）当点P 在BC 边上运动时，若PCD 是等腰三角形，请求出满足条件的t 的值．【变式3-2】（2020·河南濮阳市期中）如图，ABC 中，，5cm AB =，4cm BC =，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A B C A ---运动，设运动时间为t （0t >）秒．（1）AC=______cm ；（2）当点P 在边AC 上且恰好又在ABC ∠的角平分线上时，求此时t 的值； （3）在运动过程中，当t 为多少秒时，ACP △为等腰三角形（直接写出结果）．【数形结合思想】【例1】（2020·成都期中）平面直角坐标系中两点间距离公式：A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），如图，在平面直角坐标系中，点(0,3)A 、点(4,1)B ，点P 是x 轴正半轴上—动点，给出4个结论：①线段AB 的长为②在APB △，若AP =APB △的面积是5；③当12ABP ABOS S=△△时，点P的坐标为；④设点P的最小值为其中正确的结论有______．【例2】（2021·=_______．【变式】（2019·渠县月考）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）求AC+CE的最小值；（3）根据（2的最小值．【转化思想】【例1】在一个长为13米，宽为8米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是________米．【例2】（2020·福建福州月考）已知等边△ABC的边长是12，AD⊥BC，AD＝P在线段AD上运动，则12AP+BP的最小值是_________．【例3】（2020·泾阳月考）有一圆柱高为12cm ，底面半径为5πcm ，在圆柱下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A 相对的点B 处的食物，则沿侧面爬行的最短路程是（ ） A ．12cm B ．13cmC ．10cmD ．16cm【变式1】（2021·河南周口期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是（ ）AB ．10厘米C ．D ．8厘米【变式2】（2021·四川资阳期末）如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm ，高为5cm 的圆柱粮仓模型．如图BC 是底面直径，AB 是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A ，C 两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）A ．10πcmB ．20πcmC ．D ．【变式3】（2020·镇江市月考）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，其两点间的距离12PP =（1）已知(2,4),(3,8)A B --，试求A ，B 两点间的距离；（2）已知一个三角形各顶点坐标为(1,6),(2,2),(4,2)D E F -，你能判定此三角形为形状吗？说明理由；（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出PD PF +的最短长度2.【二次根式】【降次方法】：找到二次与一次关系，代换求解 【例】（2021·湖南怀化市期末）先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．例如：当1x =时，求32122x x x --+的值．为解答这道题，若直接把1x =+代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．方法：将条件变形，因1x =+，得1x -=算转化为有理数运算．由1x -=2220x x --=，即222x x -=，222x x =+． 原式)(2221222222x x x x x x x x =+--+=+--+=． 请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若1x =，求的值；（2）已知2x =【练】当12x +=时，多项式的值为( ) A ．1 B ．1-C ．20022D ．20012-【换元法】【例】（2021·福建泉州市期末）已知a ﹣1＝20202+20212＝ ．【练】（2020·宁波市期末）化简_______．【数形结合】【例】（2019·河南平顶山月考）问题背景：在△ABC 中，AB ，BC ，AC ，求这个三角形的面积. 小辉同学在解得这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）请你直接写出△ABC 的面积为：______； 思维拓展（2）若△DEF ，(a ＞0)，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ．并利用构图法求出它的面积； 探索创新：（3）若在△ABC (m ＞0,n ＞0,且m ≠n )，试运用构图法求出三角形的面积.【练】（2020·宁波市期末）实数a 、b 满足，则22a b +的最大值为_________．10，则222516x y +=______.【练】（2020·安岳县期中）（阅读）：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．（理解）：（1）如图，两个边长分别为a 、b 、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n 行n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式： ________；（运用）：（3）n 边形有n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以（）个点为顶点，把n 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y 个这样的三角形．当n=3，m=3时，如图，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7．①当n=4，m=2时，如图，y= ；当n=5，m= 时，y=9；②对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，通过归纳猜想，可得y= （用含m 、n 的代数式表示）．【配方法】【例】阅读理解：)22212113=-+=-反之：)22232111--+=，∴)231-，12n =m n +（1；（21983的值，并写出它的小数部分．【练1】（2020·山东省枣庄市月考）先阅读材料，然后回答问题．（1 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ②=④在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简【练2】（2020·安徽芜湖市期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：23(1+=，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：．请你仿照小明的方法解决下列问题：（1）(27a -=-，则a =______，b =_______；（2）已知x 是的算术平方根，求2442020x x +-的值； （3）当12x ≤≤时，化简_______．BatchDoc-Word 文档批量处理工具BatchDoc-Word 文档批量处理工具 【练3】（2020·吉林长春市期末）仔细阅读下面例题，解答问题．（例题）已知：22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值．解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴222(2)(816)0m mn n n n -++-+=， ∴22()(4)0m n n +--=，∴0-=m n ，40n -=，∴4m =，4n =． ∴m 的值为4，n 的值为4．（问题）仿照以上方法解答下面问题：（1）已知2222690x xy y y ++-+=，求x 、y 的值．（2）在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2212161000a b a b +--+=，求斜边长c 的值．。
精品 八年级数学寒假讲义 二次根式 勾股定理
D.5 个 D. a b
1 x2
4.下列二次根式中， x 的取值范围是 x ≥2 的是( A. 2 x B. x 2
5.已知一个正方形的面积是 5，那么它的边长是（ A.5 B. 5 C.
1 5
D.以上皆不对 ） ．
6.下列各式中 15 、 3a 、 b 2 1 、 a 2 b 2 、 m 2 20 、 144 ,二次根式的个数是（ A.4 B.3 7.数 a 没有算术平方根，则 a 的取值范围是（ A.a>0 B.a≥0 C.2 ） ． C.a<0 D.1 D.a=0 ） D.以上都不对
x 的值; y
(2)若 a 1 b 1 0 ，求 a 2013 b 2014 的值．
1
八年级数学
例 5.已知 y x 3 3 x 2014 ，求 x y 的个位数字。
课堂练习：
1.下列式子中，不是二次根式的是（ A. 4 2.在式子
x x 0, 2, 2
(6) ( x 1) 2
(7) x 2 6 x 9
(8) x 2 6 x 10
例 5.若 2 x y x 2 y 0 ,求：x2+y2 的值。
例 6.已知： y 1 x 2 2 x ,求，x+2y 的平方根。
3
例 4.(1)已知 y 2 x x 2 5 ,求
） C. 8 D. 1 x
x 2 1, x y 中，二次根式有（
B. 16
y 1 y 2 , 2 x x 0 , 3 3 ,
）
A.2 个 B.3 个 3.下列各式一定是二次根式的是（ A. 7 B. 3 2m
C.4 个 ） C. a 2 1 ) C. x 2 ） D.
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D C B A 八年级下勾股定理和二次根式综合测试卷 姓名： 得分：
一、选择（24分）
1、下列变形中，正确的是（ ）
（A ）(23)2＝2×3＝6 （B ）2
)52(-＝－5
2（C ）169+＝169+ （D ）)4()9(-⨯-＝49⨯ 2、若式子12-x －x 21-＋1有意义，则x 的取值范围是（ ）
（A ）x ≥21 （B ）x ≤21 （C ）x ＝2
1 （D ）以上都不对
3、以下命题的逆命题是真命题的是（）
（A ）两直线平行，内错角相等； （C ）全等三角形的对应角相等；
（B ）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （D ）等腰三角形的底角相等．
4、在下列以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A. a =9，b =41，c =40
B. a =b =5，c = 25
C. a ：b ：c =3：4：5
D. a =11，b =12，c =15
5、当a ＜0，b ＜0时，把b
a 化为最简二次根式，得…………………………………（ ） （A ）a
b b 1 （B ）－ab b 1 （C ）－ab b
-1 （D ）ab b
6、如图，四边形ABCD 中，AB=3㎝，BC=4㎝，CD=12㎝，DA=13㎝，且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是（ ）
A.84
B.36
C. 251
D.无法确定. 二、填空（28分）
7、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6㎝、8㎝，那么这个直角三角形斜边上的高为 .
8、若8-x ＋2-y ＝0，则x ＝___________，y ＝_________________．
9、当21＜x ＜1时，122+-x x －241x x +-＝______________．
10、一个RT △，它的两边长分别是3和4，则第三边的长是 。
11、当x ____________时，二次根式32-x 有意义．
12、在△ABC 中,如果b 2＝(c ＋a)(c －a),那么a 是 _____边。
13、如图，已知长方体的长、宽、高分别为4cm 、3cm 、5cm ，则BD ’的长为 。
三、计算：（8分）
14、32－5
12＋618 15、
C D
四、解答
16、（8分）已知：3232a
b ==，，分别求下列代数式的值： （1）22a
b ab -； （2）22a ab b ++．
17、（7分） 一架长5米的梯子AB ，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论．
18、（8分）由两个等腰直角三角形拼成的四边形（如图），已知AB 3 （1）四边形ABCD 的周长；
（2）四边形ABCD 的面积．
19、（8分）证明：以m 2－n 2，m 2+n 2，2mn 为边长的三角形(m ﹥n,m,n 都是正整数)是直角三角形。
20、（9分）已知，如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=3, BD=5, 求AC 的长。