第5章 频率特性法

2
5.2.5由对称性获得特性曲线
• 基本环节中的微分环节、一阶微分环节、 二阶微分环节分别与积分环节、惯性环节、 二阶振荡环节具有关于横轴对称的特性 。
微分环节伯德图 一阶微分环节伯德图 二阶微分环节伯德图
5.2.6时滞环节
时滞环节增益为 G( s) e 频率特性函数为
s
G( j) e
伯德图的绘制（续）
• 绘制相位曲线图步骤：
–
–
画相位曲线在低频段的渐近线，为n×90°。
画近似相位曲线，在每个转折频率处改变 ±90°（一阶）或±180°（二阶）。 确定各单个相位曲线的渐进线，使得相位的 改变与上步骤一致，画每个相位曲线草图。 在图上把每个相位曲线相加。
–
–
伯德图的绘制举例
• 例5.1已知系统开环传递函数，绘制伯德图。
1 1 Am H (s) Am H (s) s j s j s j s j s j s j
1 H ( j ) H ( j ) Am j 2 s j s j
4.前馈校正
校正方案（续3）
5.前置校正
6.干扰补偿
校正方法
• 确定校正装置的结构和参数的过程称为选 择校正方法。目前主要有分析法和综合法 两类。
A( ) 1
j
( )
时滞环节伯德图
5.2.7开环传递函数伯德图的绘制
• 绘制幅值曲线图步骤：
1. 将所有转折频率点求出，并按从小到大排 序（即将G(s)写成典型环节乘积形式）。 2. 确定20lgK及首段斜率：看sn项，斜率为 n×20db/dec。
3. 依据转折频率位置及环节斜率依次画出幅 频特性图。 注意：典型形式要写成时间常数形式。
无差度的确定
若首段斜率为－20×v db/dec，则其中v为开环 传递函数的积分环节个数或型数。
误差系数的计算
系统对数幅频特性不论其形状如何，其首段( 或延长线)与1交点所对应的分贝值一定为 20lgK， 两种常用计算方法 1.首段延长线法 当首段为0dB/dec时，其首段所对应的 分贝值即为20lgKp。 当首段为-20db/dec时，将其延长与横 轴相交，交点所对应的频率值即为Kv。 首段-40db/dec其延长交点频率值为 Ka
5.1.1频率响应
H ( j) A()e j ( )
拉氏反变换后为 1 j ( ) 1 1 j ( ) Am A( ) e e j2 s j s j 1 j[t ( )] j[t ( )] Am A( ) e e j2 Am A() sin[t ()]
相频特性则分别绘出各 环节相频曲线逐点叠加 即可。
从伯德图求开环传递函数
步骤：由首段确定积分环节个数，对应每个 转折频率点斜率变化值确定基本环节，最后 确定K值。 例5.2已知某最小相位系统的伯德图，求其开 环传递函数。
1 100( s 1) 5 G(s) 1 1 s( s 1)( s 1) 2 20
系统性能分析举例
例5.5某单位负反馈系统测得开环幅频特性图 如图所示，试分析其性能。 1
100( s 1) 6 G(s) 1 1 s( s 1)( s 1) 2 60
解：求ωc有 20 lg100 20 lg 2 40 lg 3 20 lg 6 100
c
3
c
系统性能分析举例（续）
中频段的斜率
如果开环幅频特性是以-20dB/dec通过c的，而 且c两侧足够宽，即低、高频对中频影响可忽 略不计，则开/闭环传递函数可以近似表示为
k c G( s ) s s
c
s
H (s) 1
c
s

1 1
c
s 1
相当于一阶系统，系统是完全稳定的
中频段的斜率（续1）
伯德图研究系统频率响应的优点
• 动态补偿器的设计可以完全以伯德图为 依据。 • 伯德图可以由实验的方法获得。 • 串联系统的伯德图可简单相加而得，这 非常方便。 • 对数尺度允许伯德图表示相当广的频率 范围，而线性尺度很难做到。
5.2基本环节的频率特性分析
5.2.1比例环节 比例环节的增益为G(s)=K 频率特性函数为G(j)=K
主要内容
• • • • • • 频率特性及频率特性法的基本概念 基本环节的频率特性分析 频率特性指标 开环频率特性的系统分析 控制系统的频率法校正 系列设计举例
5.1频率特性及频率特性法
对线性系统输入正弦信号，其输出的稳态响应 称为系统的频率响应。 设施加的正弦输入信号为 r (t ) Am sint Am 则频率响应为 Css (s) H (s) R(s) H (s) 2 s 2
首段延长线法（续）
20 lg K a 20 lg | G ( j a ) | 40 lg1 lg a
20 lg K a 40 lga
a Ka
ωa
正增益斜率计算法
曲线 B为Ⅰ型系统 C 为Ⅱ型系统 曲线 A为 0型系统 2 cc c 20 lg K20 20 lg 40 lg 20 lg lg K 40 lg 20 lg v 20 lg K p a1 40 lg 2 20 lg 1 1 22 2 2 2 2 c 2 a c K vK p K 2 c 2 c 2 1 1 2 1
伯德图
• 伯德图(又称为频率特性的对数坐标图) :伯 德图将幅频特性和相频特性分别绘制。 • 幅频特性坐标横轴取信号角频率的对数 lg标定，但标写的数值为值。纵轴以分 贝为单位等分标定，其值为20lgA()dB 。 • 相频特性横轴和幅频特性相对应，纵轴为 φ()的度数。 • 常采用折线方式来近似绘制 。
2.由伯德图计算
例5.4对例5.3采用幅频特性曲线方法求取c
解：做G(s)的幅频特性曲线
20 lg 2 40 lgc
c 2 1.414
5.4.4系统性能分析
• 一般步骤：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 获取系统开环传递函数的伯德图 判定系统稳定性 若系统稳定确定系统所适用的公式 由低频段确定系统稳态性能 由中频段确定动态性能 由高频段确定抗干扰能力
p% e
/ 1 2
100% 14.7%
ts
3
n
0.211
5.5控制系统的频率法校正
对已有的系统通过增加一些装置的方式改善其 性能，提高其指标的过程称为对原有系统进行 校正，所增加的装置称为校正装置。 1. 串联校正
校正方案（续1）
2.并联校正
3.反馈校正
校正方案（续2）
10
2
Frequency (rad/sec)
5.2.3积分环节
1 积分环节增益为 G(s) s
频率特性函数为
1 1 G( j ) e j
j

2
积分环节伯德图
5.2.4二阶振荡环节
二阶振荡环节增益为
1 G( s) 2 2 T s 2Ts 1 频率特性函数为 1 G ( j ) 1 (T ) 2 j 2T
5.3频率特性指标
开环频率特性指标
闭环频率特性指标
M称为复现频率 b称为截止频率 Mr称为相对谐振
峰值
5.4开环频率特性的系统分析
低频段：在开环对数幅频特性中使闭环取得复 现带的频率区间称为低频段，即0→M区间的 幅频曲线。
低频段主要影响系统的稳态特性，即误差，因 此由低频段可以确定系统的无差度，可以确定 误差系数Kp、Kv、Ka。
如果以-40dB/dec穿越c且有足够宽度，则
k G (s) 2 s s
c2 2
G(s) H ( s) 2 2 1 G ( s ) s c
2 c
系统是不稳定的，因此中频段不宜过宽，否则 超调量与过渡时间都会明显增大。 实际系统最好以-20dB/dec斜率通过c，这样 可使系统有足够的相位裕度。
ω=1
5.4.2高频段
• 高频段是能使|H(jω)|≈|G(jω)|的频率区域。 在开环幅频特性中对应的信号频率很高。 • 高频段对于系统的稳态性能、动态性能影 响不大，但它对高频信号的抑制作用，对 于系统的抗干扰能力具有重要意义。 • 高频段斜率越大系统抗干扰能力越好。
5.4.3中频段
• 中频段从概念上讲指低、高频中间的信号 频率范围，从闭环幅频角度看可以认为低 频段和中频段的界限为M ，中频段和高频 段的界限为b。 • 中频段在闭环幅频特性中为M→b之间范 围，而从开环幅频特性看，其标志为c， 故开环幅频特性中c两侧一定频率范围内 为中频段。
比例环节伯德图
5.2.2惯性环节
1 惯性环节增益为 G(s) Ts 1 1 对数幅频 L( ) 20 lg 20 lg 1 (T ) 2 1 (T ) 2 特性：
1 当 (T )2 1 时，即 T 1 L( ) 20 lg1 0 T 1 2 当 (T ) 1 时，即 T
得相位裕度为 180 (c ) 54.2

该系统是稳定的。为Ⅰ型系统，有Kv=100 具有闭环主导极点的三阶系统，应用二阶近似 公式可求取时域指标为： c tg 26.873 4 0.5302 n 4 2 2 4 1 2 2 ( tg ) 1
分 惯性 二阶振荡
20lgK=29.5db，存在积分环节，故在w=1处 做29.5db点，过该点做-20dB/dec斜率直线L1
伯德图的绘制举例（续1）
列写其余环节转折频率
二阶振荡环节转折频率
惯性环节转折频率
1 2
2 2
一阶微分 惯性环节 二阶振荡 积分环节
一阶微分环节转折频率
百度文库
3 3
1 1 L( ) 20 lgT 20 lg 20 lg T T
惯性环节的伯德图（续1）
Bode Diagram
L(ω)
Magnitude (dB)
0
1/10T
1/T
10/T
-10
-20
-30
Φ(ω)
Phase (deg)
-40 0
-45
-90 10
-2
10
-1
10
0
10
1


5.1.2基本概念
频率特性法是通过系统开环的频率特性图像 来对系统性能指标进行分析以及对系统加以 综合、校正的方法。它避免求解闭环极点， 其图形化方式具有极强的直观性。 频率特性法使得可以通过实验所确定的系统 频率响应来推断未知系统的传递函数。而且 设计者可以控制系统的带宽，以及控制系统 对不期望噪声和扰动响应的某些指标。 频率特性法的不足在于频域和时域之间缺乏 直接联系，需要靠各种设计准则来调整频率 响应特性以达到满意的暂态响应。
A( ) 1 [1 (T ) 2 ]2 (2T ) 2
2T ( ) arctan 1 (T ) 2
二阶振荡环节伯德图
1 当 (T ) 1 时，即 T 1 L( ) 20 lg1 0 T 1 2 当 (T ) 1 时，即 T 1 2 L( ) 20 lg(T ) T 1 40 lg 40 lg T
10(s 3) G( s) 1 1 2 1 s s 1 s s 1 2 2 2
解：将G(s)变换成典型环节之积形式有
1 1 1 1 G( s) 10 3 s 1 1 1 2 1 3 s 比例 s 1 s s 1 一阶微分积 2 2 2
ωc的计算
1. 精确计算 | G ( jc ) | 1
例5.3已知单位负反馈系统开环传递函数为确 2 定其c G(s)
1 s( s 1)( s 1) 5 10 1 解：由G(s)令 | G( jc ) | 2 2 c 1 c 25 c
解得c =1.23
ωc的计算（续）