可测函数结构 Lusin定理

由于E有界，设E ⊂ B(0,k).令 ⎧1, ⎪ |x| ⎪ ϕ ( x) = ⎨2 − , k ⎪ ⎪0, ⎩ 代替前面的g ( x)便可得证。 | x |≤ k k <| x |≤ 2k , 2k <| x |
可证明ϕ ( x)是R n的具有紧支集的连续函数，用g ( x)ϕ ( x)
例 对 E=R1 上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在 E上的连续函数列{fi(x)}使fi(x)→f(x) a.e.于E
1 n
→ 0( n → ∞ )
注：此结论即为 鲁津定理的逆定理
从而 f(x)在 E − E ′ 上可测， 进一步 f(x)在
∞ n =1
E = ( E − E ′) ∪ ( ∪ E n )
上可测。
∞ n =1
ε
2n
且 ϕ n ( x ) 在 Fn 上 连 续
∞ ∞ n =1 n =1
令 F = ∩ Fn， 则 F ⊂ E， 且 m ( E − F ) = m ( E − ∩ Fn ) = m ( ∪ ( E − Fn )) ≤
∑ m(E − F ) < ∑
n =1 n
∞
∞
ε
2n
=ε
n =1
由{φn(x)} 在F连续及一致收敛于f (x) ， 易知f(x)在闭集F上连续。
m(E − F ) ≤
= ∪ Fi
i =1 n
上连续
∑ m ( E i − Fi ) <
i =1
n
∑
i =1
n
ε
n
=ε
鲁津定理的证明
(2)当f(x)为有界可测函数时， 存在简单函数列{φn(x)} 在E上一致收敛于f(x)， 利用(1)的结果知
∀ ε > 0, 及 每 个 ϕ n ( x )， 存 在 闭 集 Fn ⊂ E， 使 m ( E − Fn ) <
2M 因 为 | f ( x ) − g 1 ( x )| ≤ ， 3
所以
1 2M |g 2 ( x)| ≤ , 3 3
x ∈ R n，
x ∈ F。
2 2M 2 2 = ( ) M, |f ( x) − g1 ( x) − g 2 ( x)| ≤ 3 3 3
依此类推,可得到连续函数列{g k ( x)}满足 1 2 k −1 |g k ( x)| ≤ ( ) M , 3 3
M C = {x ∈ F | − M ≤ f ( x) ≤ − }. 3
则 因 为 f 连 续 ， A与 C 为 闭 集 .
作函数
⎛M g1 ( x) = ⎜ ⎝ 3
⎞ d ( x, C ) − d ( x, A) , ⎟ ⎠ d ( x, C ) + d ( x, A)
x∈R .
n
因为A与C不交，在整个Rn 上, d(x,A)+d(x,C)≠0,且 d(x,A)，d(x,C)连续。
令 f ( x) =
∑cχ
i =1 i
n
Ei
( x ) ( 其中 E = ∪ E i , E i 可测且两两不交）
i =1
n
∀ε > 0, 及每个Ei ,作Ei中的闭子集 Fi ,使m( Ei − Fi ) < ε ， = 1, 2, n (i
, n)
当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续， 而Fi为两两不交闭集，故f(x)在 F 显然F为闭集，且有
|f ( x ) − ∑
i =1 k
x ∈ R n，
x ∈ F.
Hale Waihona Puke Baidu
2 k gi ( x)| ≤ ( ) M , 3
由前一式和Weierstrass M-判别法, 可知∑ gi ( x)在整个R 上一致收敛，
n i =1 ∞
后一式说明在F 上这个级数又收敛到f .
因此∑ gi ( x)的和函数g 在整个R n上连续,
证明：由鲁津定理的推论知
∀
1 n
, ∃ 闭集 F n ⊂ E ，及 E 上的连续函数
1 n
1 n
g n (x)
→ 0( n → 0)
使在 F n 上 g n ( x ) = f ( x ) 且 m ( E − F n ) <
从 而 ∀ σ > 0, mE (| g n − f |≥ σ ) ≤ m ( E − Fn ) <
定义3.4 设f ( x)在R n上的某个集合E有意义，称集合
{ x ∈ E | f ( x) ≠ 0}的闭包为f 的支撑或支集，记为 supp f , supp f = { x ∈ E | f ( x) ≠ 0} .
若f 的支集是R n的有界闭集, 则称f 是具有紧支撑的.
推论 设f 在E ⊂ R n ,E有界, 则∀ε > 0, 存在具有紧支撑的 连续函数g,使得 m { x ∈ E | f ( x) ≠ g ( x)} < ε . 证明： 由定理3.14知,存在R n的连续函数g(x),使得 m { x ∈ E | f ( x) ≠ g ( x)} < ε .
i =1
∞
且f ( x) = g ( x), x ∈ F , 而|g(x)| ≤ ∑
i =1
∞
M | gi ( x) |≤ 3
2 ( )i −1 = M。 ∑3 i =1
∞
一般情况可先考察 arctan f ( x),它是E上的有界可测函数,
从而在R n上有连续延拓h( x),因此f 在R n上有连续延拓 tanh( x).
第四章 可测函数
第三节 可测函数结构 Lusin定理
可测函数 1. 可测集E上的连续函数定为可测函数 2. 简单函数是可测函数
3. 可测函数总可表示成一列简单函数的极限 （当可测函数有界时，可作到一致收敛）
问题：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？
鲁津定理
设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 ∀ε > 0, ∃闭集F ⊂ E， 使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。 （去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数） 即：可测函数“基本上”是连续函数
M 因此g1 ( x)在R 上连续且 | g1 ( x)| ≤ , x ∈ R n . 3
n
2M 以 及 | f ( x ) − g 1 ( x )| ≤ , x ∈ F. 3
对 f ( x ) − g 1 ( x ) 重 复 以 上 的 方 法 ， 作 相 应 的 连 续 函 数 g 2 ( x ).
鲁津定理的证明
(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换
f ( x) g ( x) = 1+ | f ( x) |
g ( x) ( f ( x) = ) 1− | g ( x) |
则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得我们的结果。 （连续函数类关于四则运算封闭）
注：(1)鲁津定理推论 定理 3.14: 若
∀ 1 ，存在闭集 E n ⊂ E 证明：由条件知， n
使 m( E − E n ) < 1 且 f(x)在En 连 n ∞ 续，当然 f(x)在 En上可测，∪ En，则f 在E′上可测. 令E ′ =
n =1
则 m ( E − E ′) ≤ m ( E − E n ) <
从而 m ( E − E ′ ) = 0
n
f(x)为 E ⊂ R n 上的可测函数， 则 ∀ε > 0,
存在 R 上的连续函数g(x), 使得
m({x ∈ E | f ( x) ≠ g ( x)}) < ε .
（在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数）
| 若f(x)还有界： f ( x)| ≤ M , ∀x ∈ E , 可以满足
| g ( x)| ≤ M , ∀x ∈ R n .
实变函数的三条原理（J.E.Littlewood） （1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并） （2）任一可测函数差不多就是连续函数 （3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列
鲁津定理的证明
证明：由于mE(|f|=+∞)=0 ，故不妨令f(x)为有限函数
(1) 当f(x)为简单函数时，
即g n ( x) ⇒ f ( x)于E
再由Riesz定理，存在{gn(x)} 的子列 {gni(x)} 使gni(x)→f(x) a.e.于E，
令 f i ( x) = g n ( x) ，即得我们所要的结果。
i
设f(x)是E上a.e.有限的实函数，对δ>0， 存在闭集 Eδ ⊂ E ，使 m( E − Eδ ) < δ 且f(x)在 Eδ 上连续， 则f(x)是E上的可测函数
则连续函数g(x) 还
证明: 在Lusin定理的基础上，实际上只需证明, 任何一 个闭集F上的连续函数f(x)都可延拓成为Rn 上的连续函 数。 先考察 | f ( x)| ≤ M , x ∈ F 的情形。
令 M A = {x ∈ F | ≤ f ( x) ≤ M }, 3
M M B = {x ∈ F | − < f ( x) < }, 3 3