板材轧制过程中快速有限元在线算法
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太
瓣蛞牮螋
∞
ｏ
０
２００
４００
６００
８００
１０００ １ ２００
单元数目，价
图２单元数目对计算时间和迭代次数的影响
图４所示为单元数目对轧制力计算误差的影 响。可以看出，随着单元数目的增加轧制力越来越 接近实测值；单元数目为２０～１００时，轧制力计算 误差小于５％；当单元数目２００～６００时，轧制力计 算误差小于３％；单元数目大于６００时，轧制力计 算误差在１％左右。
雳Ｄ｜ｔｏ径ｎｉ。／ｖ （ｒａ速ｍ毒· Ｓ，、 ａ）轧Ｈ０前瑚／ｍ＝紫／厚Ｈ 度ｍ、 ｌＴｌ ８｜ Ｗ槭／” ｍｍ ℃ 筹轧制Ｆ埘ｃ／ｋＮ算值轧Ｆ舄瞄 划ｋＮ恼舅２｜羲确
６２９
２４３０
１８．３７
１１．７ｌ
ｌ ０３５
９６０
１３ ０１３
１３ ３２０
２．３
６４１
１ ５５０
３０．００
１８．３７
１ ０３５
９６９
Ｒｏｉｌｉｎｇ
Ｏｎｌｉｎｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ
０前言
有限元法（Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ，ＦＥＭ）在轧制
·国家自然科学基金重点资助项Ｉｊ（５０５３４０２０）。２００８０７１７收到初稿 ２００９０２２０收到修改稿
万方数据
过程力能参数、变形参数以及组织演变规律等分析 中得到了广泛的应用ｐ击】。ＦＥＭ虽然计算精度高， 但是由于计算效率低而使其在线应用受到了限制。 如何提高ＦＥＭ计算和收敛速度，在保证计算精度 的前提下，实现ＦＥＭ在线应用已经成为科技人员 追求的目标。
ｖｙ＝０：ＤＥ： １，，＝一心ｔａｒｉｆｆ：ＥＧ／ＦＧ：Ｖｘ＝屹２，
匕＝０。
１．３轧制压力 利用自行开发的ＦＥＭ程序求解了轧制力，
并与实测数据进行了比较，如表１所示。表１中Ｐ１ 和Ｐ２分别代表攀钢１ ４５０ ｍｉｌｌ轧机的两组数据，
表１轧制力计算值与实测值比较
数据编号
Ｐ１ Ｐ２ ＢＸ １ ＢＸ ２ ＢＳ １ ＢＳ ２ ＢＳ ３ ＢＳ ４
机械工程学报
第４５卷第６期
快速有限元（Ｆａｓｔ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ，ＦＦＥ）是在ＦＥＭ 基础上提出的通过改善单元、改进算法和改善收敛 稳定性等以加快计算速度的方法。ＨＥＴＭＡＮＩＵＫ
掣‘７】采用虚构区域分解法，解决了对称声学刚性求 解发散问题，缩短了计算时间。ＳＡＳＣＨＡ等［８１基于 形素算法开发了颈椎骨运动快速有限元模型，对颈 椎治疗进行跟踪减少医疗风险。陈璞等【９】提出了刚
度矩阵超方程的细胞稀疏索引存储方法，减少了磁 盘存储空间，一定程度上加快了计算速度。鲍益东 等［１０】基于有限元网格等距原则提出了等距算法，从 而提高了汽车覆盖件等距计算效率。周国发等【ｌｌＪ基 于聚合物多组分成形技术，建立了三维非稳态等温 多相分层充模流动模型，通过分离各场变量分析过 程从而提高ＣＰＵ存储能力和求解效率。
１．１车Ｌ，ＩＪ过程功率泛函 利用刚塑性可压缩材料的变分原理，轧制过程
的功率泛函
≯＝熹ｆｃ磊ｍ￡珞△ｖｆ眦Ｉ Ｔｖｄｌ节∥卅
（１）
式中矿——轧件内部的塑性变形功率 厅——等效应力 言——等效变形速率 ｍ——速度敏感指数 ∥——轧件与轧辊之间的摩擦功率
△Ｋ——轧件与轧辊之间的相对滑动速度 诈——摩擦切应力 西‘——外张力功率 ｒ——张应力，”＋”为前张力，”一”为后张力 ｖ——相应表面处的位移速度 彳——变形面积（弧长） 厶——摩擦接触区面积（长度） 厶——张力作用的面积（厚度）
ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ａｎｄ ｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｄｕｒｉｎｇ ｒｏｌｌｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ．Ｂｕｔ ｏｎｌｉｎｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ
ｌｏｎｇ ｔｉｍｅ ｃｏｎｓｕｍｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ＦＥＭ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｏｌｌｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｆａｓｔ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ（ＦＦＥ）ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ
图２所示为单元数目与计算时间和迭代次数的 关系，图３表示了单元数目从０～１００时的计算时间 变化。可以看出，计算时间和迭代次数有随着单元 数目增加而增加的趋势；单元数目较少，迭代次数 对计算时间影响较小，而单元数目较多时对计算时 间影响较大。由图３可以看出，单元数目在０～１００ 变化时，计算时间小于０．６ Ｓ。
在轧制过程ＦＥＭ快速求解中，刘相华等【ｌ ２‘１３】 提出积分量求解、简化单元、压缩存储和一维搜索 的黄金分割等方法，提高了求解速度。宋叔尼等１１４】 在用可压缩法求解轧制过程时，从数学角度利用严 格凸函数的性质证明了总能耗泛函极值点的唯一 性，从而节省刚塑性有限元求解过程中的静力学条 件检验所耗费的计算时间，加快了计算速度。ＲＯＳＡ 掣”］提出采用Ｎｅｗｔｏｎ Ｒａｐｈｓｏｎ方法时控制速度修 正量，系数矩阵采用压缩存储以及网格重新划分后 节点重新编号使带宽尽量减小等方法解决了收敛稳 定性问题，提高了收敛速度。ＧＵＤＵＲ等［１６】首先利 用神经网络方法训练得到速度参数，将这些速度参 数作为初始速度场求解过程减少了迭代次数，缩短 了计算时间。
Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ，ｈａｒｄｗａｒｅ ａｎｄ ｓｏｔｔｗａｒｅ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｏｎ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｔｉｍｅ ｉｓ ａｌｓｏ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ ＦＦＥ
ｏｎｌｉｎｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｍｏｄｕｌｅ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｉｓ ｗｅｌｌ ｕｓｅｄ ｉｎ ａ ｈｏｔ ｓｔｒｉｐ ｐｌａｎｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ Ｆａｓｔ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ Ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ
０．６
Ｏ．５
０．４ ｌ 厘０．３ 蜮 矗０２
图１板材轧制过程ＦＥＭ网格
２加快ＦＥＭ计算速度
以表１中编号为ＢＳ ４数据为轧制条件，分析了 单元数目以及计算方法对计算时间和计算精度的影 响。计算机操作系统为Ｗｉｎｄｏｗｓ，内存为１ ＧＢ， ＣＰＵ为ＡＭＤ３ ２００＋，频率为１．７ ＧＨｚ。 ２．１单元数目
Ｎｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ １ １ ０００４； （２．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＭｅｔａｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，Ｃｈｉｎａ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ １ １００１６）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ（ＦＥＭ）ｐｌａｙｓ ａ ｖｅｒｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｒｏｌｅ ｉｎ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｐｒｅｓｓｕｒｅ，
１５ ２０６
１５ ５８０
２．４
７２７
１ ０１６
４０．６８
２４．０８
１ ０４１
１ ００８
１２ ５４５
１２ ３９２
１．２
７３４
９３０
４０．６８
２６．１４
１ ２８ｌ
ｌ ０３７
１４ ３１２
１４４１３
０．７
８１０
９００
５３．８９
３６．９６
ｌ ５５０
９３２
２５ ８０３
２６０５０
０．９
８１７
１ ３００
３７．９６
２７．５４
第４５卷第６期 ２００９年６月
机械工程学报
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＭＥＣＨＡＮＩＣＡＬ ＥＮＧＩＮＥＥＲｎｑＧ
Ｖ０１．４５ Ｊｕｎ．
ＮＯ．６ ２００９
ＤｏＩ：１０．３９０１／ＪＭ：Ｅ．２００９．０６．１９３
板材轧制过程中快速有限元在线算法水
李长生１ 宋叔尼１ 梅瑞斌１ 张光亮２刘相华１
（１．东北大学轧制技术及连轧自动化国家重点实验室沈阳 １１０００４： ２．中国科学院金属研究所沈阳 １ ｌ００１６）
采用Ｎｅｗｔｏｎ．Ｒａｐｈｓｏｎ方法求解泛函式（１）的最 小值，通过迭代与搜索得到近似真实的速度场，由 速度场计算应变速率和应力场，从而得到轧制力。 １．２边界条件
图１所示为￥ＬＮ过程的ＦＥＭ网格。其中Ｄｏ为 板材轧前厚度，Ｄ１为板材轧后厚度，ａ为咬入角。 速度边界条件是，ＡＢ／ＣＤ：ｖｘ＝ｖｘｌ，ｖｙ＝０；ＢＤ：
本文在刚塑性有限元（Ｒｉｇｉｄ ｐｌａｓｔｉｃ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ，ＲＰＦＥＭ）求解轧制过程研究工作基 础上开发了板材轧制过程ＦＦＥ模型，分析了计算方 法和计算机配置等对计算时间的影响。制定了某热 轧带钢厂轧制过程轧制力设定技术的ＦＦＥ在线应用 方案，应用效果良好。
１轧制过程ＦＥＭ求解
摘要：有限元法（Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ，ＦＥＭ）在轧制过程力能参数、变形参数、温度参数以及组织演变等模拟与预测中发挥 了重要作用，但由于有限元求解问题时所需的计算时间较长而无法实现轧制过程参数的在线计算。快速有限元（Ｆａｓｔ ｆｍｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ，ＦＦＥ）方法具有计算精度高和计算速度快等优点。基于刚塑性有限元（Ｒｉｇｉｄ ｐｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ，ＲＰＦＥＭ）方 法开发了板材轧制过程ＦＦＥ程序。讨论了单元数目对计算时间和计算精度的影响规律，研究加快计算收敛速度和减少搜索 时间的在线算法，包括采用阻尼Ｎｅｗｔｏｎ－Ｂｒｕｎｔ法相结合减少一维搜索时间；采用改进循环中点求积Ｎｅｗｔｏｎ法为 Ｎｅｗｔｏｎ．Ｒａｐｈｓｏｎ迭代法寻求比较好的初始值；采用信赖域Ｎｅｗｔｏｎ混合迭代法以及改进的Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解使Ｈｅｓｓｉａｎ矩阵强迫 正定以加快收敛速度；研究计算机操作系统、软硬件条件对计算时间的影响。开发的ＦＦＥ在线设定模块在某热轧带钢厂取 得良好的应用效果。 关键词：有限元法快速有限元算法轧制在线计算 中图分类号：ＴＧ３０１
４０ ５０ ６０ ７０ ８０
单元数目，阶
图３单元数目对计算时间的影响
９０ １００
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Ｏ
８ ６
４
２
。咎糊磷琳基
Ｏ
２
０
１００ ２【ｍ
３００ ４００
ｗｉｔｈ ｈｉｇｈ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ａｎｄ ｆａｓｔ ｓｐｅｅｄ．Ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｒｉｇｉｄ ｐｌａｓｔｉｃ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ（ＲＰＦＥＭ），ｔｈｅ ＦＦＥ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｓｔｒｉｐ ｒｏｌｌｉｎｇ ｉｓ
ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ，Ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔ ｎｕｍｂｅｒｓ ｏｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｔｉｍｅ ａｎｄ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ａｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｏｎｌｍｅ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｎｇ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｒｅｄｕｃｉｎｇ ｓｅａｒｃｈ ｔｉｍｅ ａｒｅ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｄａｍｐｅｄ Ｎｅｗｔｏｎ ａｎｄ Ｂｒｕｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ｏｎｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｅａｒｃｈｔｉｍｅ；ｔｈｅ ｂｅｔｔｅｒ ｉｎｉｔｉａｌ ｖａｌｕｅ Ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ａｄｏｐｔｉｎｇ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｍｉｄ—ｐｏｉｎｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ Ｎｅｗｔｏｎ ｍｅｔｈｏｄ；ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｎｅｗｔｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｔｈ ｔｒｕｓｔ ｒｅｇｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｆｏｒｃｅｄ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ Ｈｅｓｓｉａｎ ｍａｔｒｉｘ ｍｅｔｈｏｄ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｉｍｅ
Ｏｎｌｉｎｅ Ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ｂｙ Ｆａｓｔ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ ｉｎ Ｓｔｒｉｐ Ｒｏｌｌｉｎｇ
ＬＩ Ｃｈａｎｇｓｈｅｎ９１ ＳＯＮＧ Ｓｈｕｎｉｌ ＭＥＩ Ｒｕｉｂｉｎｌ ＺＨＡＮＧ Ｇｕａｎｇｌｉａｎ９２ Ｌ１－Ｕ Ｘｉａｎｇｈｕａｌ （１．Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｒｏｌｌｉｎｇ ａｎｄ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，
ｌ ５５０
９２１
２５ ４５７
２５ １１０
１．３
８３７
１ ７００
３２．６３
２２．３５
Ｉ ６２８
９１８
２５４２６
２５ １１０
１．２
８１０
１ ０００
５３．７０
３７．８２
１ ５５０
９３８
２４６４７
２４ １４０
２．１
万方数据
２００９年６月
李长生等：板材轧制过程中快速有限元在线算法
ＢＸｌ和ＢＸ２分别代表本钢ｌ ７００ ｍｌｎ轧机的两组数 据，ＢＳＩ～ＢＳ４分别代表宝钢２ ０５０ ｍｍ轧机的四组 数据。可以看出，最大轧制力计算误差值为２．４％。
№０
鼍
屹Ｏ
厘
譬
琳
∞
太
瓣蛞牮螋
∞
ｏ
０
２００
４００
６００
８００
１０００ １ ２００
单元数目，价
图２单元数目对计算时间和迭代次数的影响
图４所示为单元数目对轧制力计算误差的影 响。可以看出，随着单元数目的增加轧制力越来越 接近实测值；单元数目为２０～１００时，轧制力计算 误差小于５％；当单元数目２００～６００时，轧制力计 算误差小于３％；单元数目大于６００时，轧制力计 算误差在１％左右。
雳Ｄ｜ｔｏ径ｎｉ。／ｖ （ｒａ速ｍ毒· Ｓ，、 ａ）轧Ｈ０前瑚／ｍ＝紫／厚Ｈ 度ｍ、 ｌＴｌ ８｜ Ｗ槭／” ｍｍ ℃ 筹轧制Ｆ埘ｃ／ｋＮ算值轧Ｆ舄瞄 划ｋＮ恼舅２｜羲确
６２９
２４３０
１８．３７
１１．７ｌ
ｌ ０３５
９６０
１３ ０１３
１３ ３２０
２．３
６４１
１ ５５０
３０．００
１８．３７
１ ０３５
９６９
Ｒｏｉｌｉｎｇ
Ｏｎｌｉｎｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ
０前言
有限元法（Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ，ＦＥＭ）在轧制
·国家自然科学基金重点资助项Ｉｊ（５０５３４０２０）。２００８０７１７收到初稿 ２００９０２２０收到修改稿
万方数据
过程力能参数、变形参数以及组织演变规律等分析 中得到了广泛的应用ｐ击】。ＦＥＭ虽然计算精度高， 但是由于计算效率低而使其在线应用受到了限制。 如何提高ＦＥＭ计算和收敛速度，在保证计算精度 的前提下，实现ＦＥＭ在线应用已经成为科技人员 追求的目标。
ｖｙ＝０：ＤＥ： １，，＝一心ｔａｒｉｆｆ：ＥＧ／ＦＧ：Ｖｘ＝屹２，
匕＝０。
１．３轧制压力 利用自行开发的ＦＥＭ程序求解了轧制力，
并与实测数据进行了比较，如表１所示。表１中Ｐ１ 和Ｐ２分别代表攀钢１ ４５０ ｍｉｌｌ轧机的两组数据，
表１轧制力计算值与实测值比较
数据编号
Ｐ１ Ｐ２ ＢＸ １ ＢＸ ２ ＢＳ １ ＢＳ ２ ＢＳ ３ ＢＳ ４
机械工程学报
第４５卷第６期
快速有限元（Ｆａｓｔ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ，ＦＦＥ）是在ＦＥＭ 基础上提出的通过改善单元、改进算法和改善收敛 稳定性等以加快计算速度的方法。ＨＥＴＭＡＮＩＵＫ
掣‘７】采用虚构区域分解法，解决了对称声学刚性求 解发散问题，缩短了计算时间。ＳＡＳＣＨＡ等［８１基于 形素算法开发了颈椎骨运动快速有限元模型，对颈 椎治疗进行跟踪减少医疗风险。陈璞等【９】提出了刚
度矩阵超方程的细胞稀疏索引存储方法，减少了磁 盘存储空间，一定程度上加快了计算速度。鲍益东 等［１０】基于有限元网格等距原则提出了等距算法，从 而提高了汽车覆盖件等距计算效率。周国发等【ｌｌＪ基 于聚合物多组分成形技术，建立了三维非稳态等温 多相分层充模流动模型，通过分离各场变量分析过 程从而提高ＣＰＵ存储能力和求解效率。
１．１车Ｌ，ＩＪ过程功率泛函 利用刚塑性可压缩材料的变分原理，轧制过程
的功率泛函
≯＝熹ｆｃ磊ｍ￡珞△ｖｆ眦Ｉ Ｔｖｄｌ节∥卅
（１）
式中矿——轧件内部的塑性变形功率 厅——等效应力 言——等效变形速率 ｍ——速度敏感指数 ∥——轧件与轧辊之间的摩擦功率
△Ｋ——轧件与轧辊之间的相对滑动速度 诈——摩擦切应力 西‘——外张力功率 ｒ——张应力，”＋”为前张力，”一”为后张力 ｖ——相应表面处的位移速度 彳——变形面积（弧长） 厶——摩擦接触区面积（长度） 厶——张力作用的面积（厚度）
ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ａｎｄ ｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｄｕｒｉｎｇ ｒｏｌｌｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ．Ｂｕｔ ｏｎｌｉｎｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ
ｌｏｎｇ ｔｉｍｅ ｃｏｎｓｕｍｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ＦＥＭ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｏｌｌｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｆａｓｔ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ（ＦＦＥ）ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ
图２所示为单元数目与计算时间和迭代次数的 关系，图３表示了单元数目从０～１００时的计算时间 变化。可以看出，计算时间和迭代次数有随着单元 数目增加而增加的趋势；单元数目较少，迭代次数 对计算时间影响较小，而单元数目较多时对计算时 间影响较大。由图３可以看出，单元数目在０～１００ 变化时，计算时间小于０．６ Ｓ。
在轧制过程ＦＥＭ快速求解中，刘相华等【ｌ ２‘１３】 提出积分量求解、简化单元、压缩存储和一维搜索 的黄金分割等方法，提高了求解速度。宋叔尼等１１４】 在用可压缩法求解轧制过程时，从数学角度利用严 格凸函数的性质证明了总能耗泛函极值点的唯一 性，从而节省刚塑性有限元求解过程中的静力学条 件检验所耗费的计算时间，加快了计算速度。ＲＯＳＡ 掣”］提出采用Ｎｅｗｔｏｎ Ｒａｐｈｓｏｎ方法时控制速度修 正量，系数矩阵采用压缩存储以及网格重新划分后 节点重新编号使带宽尽量减小等方法解决了收敛稳 定性问题，提高了收敛速度。ＧＵＤＵＲ等［１６】首先利 用神经网络方法训练得到速度参数，将这些速度参 数作为初始速度场求解过程减少了迭代次数，缩短 了计算时间。
Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ，ｈａｒｄｗａｒｅ ａｎｄ ｓｏｔｔｗａｒｅ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｏｎ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｔｉｍｅ ｉｓ ａｌｓｏ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ ＦＦＥ
ｏｎｌｉｎｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｍｏｄｕｌｅ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｉｓ ｗｅｌｌ ｕｓｅｄ ｉｎ ａ ｈｏｔ ｓｔｒｉｐ ｐｌａｎｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ Ｆａｓｔ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ Ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ
０．６
Ｏ．５
０．４ ｌ 厘０．３ 蜮 矗０２
图１板材轧制过程ＦＥＭ网格
２加快ＦＥＭ计算速度
以表１中编号为ＢＳ ４数据为轧制条件，分析了 单元数目以及计算方法对计算时间和计算精度的影 响。计算机操作系统为Ｗｉｎｄｏｗｓ，内存为１ ＧＢ， ＣＰＵ为ＡＭＤ３ ２００＋，频率为１．７ ＧＨｚ。 ２．１单元数目
Ｎｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ １ １ ０００４； （２．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＭｅｔａｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，Ｃｈｉｎａ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ １ １００１６）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ（ＦＥＭ）ｐｌａｙｓ ａ ｖｅｒｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｒｏｌｅ ｉｎ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｐｒｅｓｓｕｒｅ，
１５ ２０６
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第４５卷第６期 ２００９年６月
机械工程学报
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＭＥＣＨＡＮＩＣＡＬ ＥＮＧＩＮＥＥＲｎｑＧ
Ｖ０１．４５ Ｊｕｎ．
ＮＯ．６ ２００９
ＤｏＩ：１０．３９０１／ＪＭ：Ｅ．２００９．０６．１９３
板材轧制过程中快速有限元在线算法水
李长生１ 宋叔尼１ 梅瑞斌１ 张光亮２刘相华１
（１．东北大学轧制技术及连轧自动化国家重点实验室沈阳 １１０００４： ２．中国科学院金属研究所沈阳 １ ｌ００１６）
采用Ｎｅｗｔｏｎ．Ｒａｐｈｓｏｎ方法求解泛函式（１）的最 小值，通过迭代与搜索得到近似真实的速度场，由 速度场计算应变速率和应力场，从而得到轧制力。 １．２边界条件
图１所示为￥ＬＮ过程的ＦＥＭ网格。其中Ｄｏ为 板材轧前厚度，Ｄ１为板材轧后厚度，ａ为咬入角。 速度边界条件是，ＡＢ／ＣＤ：ｖｘ＝ｖｘｌ，ｖｙ＝０；ＢＤ：
本文在刚塑性有限元（Ｒｉｇｉｄ ｐｌａｓｔｉｃ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ，ＲＰＦＥＭ）求解轧制过程研究工作基 础上开发了板材轧制过程ＦＦＥ模型，分析了计算方 法和计算机配置等对计算时间的影响。制定了某热 轧带钢厂轧制过程轧制力设定技术的ＦＦＥ在线应用 方案，应用效果良好。
１轧制过程ＦＥＭ求解
摘要：有限元法（Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ，ＦＥＭ）在轧制过程力能参数、变形参数、温度参数以及组织演变等模拟与预测中发挥 了重要作用，但由于有限元求解问题时所需的计算时间较长而无法实现轧制过程参数的在线计算。快速有限元（Ｆａｓｔ ｆｍｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ，ＦＦＥ）方法具有计算精度高和计算速度快等优点。基于刚塑性有限元（Ｒｉｇｉｄ ｐｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ，ＲＰＦＥＭ）方 法开发了板材轧制过程ＦＦＥ程序。讨论了单元数目对计算时间和计算精度的影响规律，研究加快计算收敛速度和减少搜索 时间的在线算法，包括采用阻尼Ｎｅｗｔｏｎ－Ｂｒｕｎｔ法相结合减少一维搜索时间；采用改进循环中点求积Ｎｅｗｔｏｎ法为 Ｎｅｗｔｏｎ．Ｒａｐｈｓｏｎ迭代法寻求比较好的初始值；采用信赖域Ｎｅｗｔｏｎ混合迭代法以及改进的Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解使Ｈｅｓｓｉａｎ矩阵强迫 正定以加快收敛速度；研究计算机操作系统、软硬件条件对计算时间的影响。开发的ＦＦＥ在线设定模块在某热轧带钢厂取 得良好的应用效果。 关键词：有限元法快速有限元算法轧制在线计算 中图分类号：ＴＧ３０１
４０ ５０ ６０ ７０ ８０
单元数目，阶
图３单元数目对计算时间的影响
９０ １００
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Ｏ
８ ６
４
２
。咎糊磷琳基
Ｏ
２
０
１００ ２【ｍ
３００ ４００
ｗｉｔｈ ｈｉｇｈ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ａｎｄ ｆａｓｔ ｓｐｅｅｄ．Ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｒｉｇｉｄ ｐｌａｓｔｉｃ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ（ＲＰＦＥＭ），ｔｈｅ ＦＦＥ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｓｔｒｉｐ ｒｏｌｌｉｎｇ ｉｓ
ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ，Ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔ ｎｕｍｂｅｒｓ ｏｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｔｉｍｅ ａｎｄ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ａｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｏｎｌｍｅ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｎｇ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｒｅｄｕｃｉｎｇ ｓｅａｒｃｈ ｔｉｍｅ ａｒｅ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｄａｍｐｅｄ Ｎｅｗｔｏｎ ａｎｄ Ｂｒｕｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ｏｎｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｅａｒｃｈｔｉｍｅ；ｔｈｅ ｂｅｔｔｅｒ ｉｎｉｔｉａｌ ｖａｌｕｅ Ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ａｄｏｐｔｉｎｇ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｍｉｄ—ｐｏｉｎｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ Ｎｅｗｔｏｎ ｍｅｔｈｏｄ；ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｎｅｗｔｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｔｈ ｔｒｕｓｔ ｒｅｇｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｆｏｒｃｅｄ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ Ｈｅｓｓｉａｎ ｍａｔｒｉｘ ｍｅｔｈｏｄ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｉｍｅ
Ｏｎｌｉｎｅ Ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ｂｙ Ｆａｓｔ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ ｉｎ Ｓｔｒｉｐ Ｒｏｌｌｉｎｇ
ＬＩ Ｃｈａｎｇｓｈｅｎ９１ ＳＯＮＧ Ｓｈｕｎｉｌ ＭＥＩ Ｒｕｉｂｉｎｌ ＺＨＡＮＧ Ｇｕａｎｇｌｉａｎ９２ Ｌ１－Ｕ Ｘｉａｎｇｈｕａｌ （１．Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｒｏｌｌｉｎｇ ａｎｄ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，
ｌ ５５０
９２１
２５ ４５７
２５ １１０
１．３
８３７
１ ７００
３２．６３
２２．３５
Ｉ ６２８
９１８
２５４２６
２５ １１０
１．２
８１０
１ ０００
５３．７０
３７．８２
１ ５５０
９３８
２４６４７
２４ １４０
２．１
万方数据
２００９年６月
李长生等：板材轧制过程中快速有限元在线算法
ＢＸｌ和ＢＸ２分别代表本钢ｌ ７００ ｍｌｎ轧机的两组数 据，ＢＳＩ～ＢＳ４分别代表宝钢２ ０５０ ｍｍ轧机的四组 数据。可以看出，最大轧制力计算误差值为２．４％。