概率第5讲

第五讲 大数定律与中心极限定理

内容提要

（1）依概率收敛（定义及判断）

（2）Chebyshev 不等式（计算及应用）

（3）大数定律（Chebyshev 大数定律，Bernoulli 大数定律,Khinchine 大数定

律）

（4）中心极限定理（Lindeberg-Levy 中心极限定理, De Moivre-Laplace 中心

极限定理,近似计算）

典型问题

问题1: Chebyshev 不等式与大数定律的相关问题

问题2: 中心极限定理及其应用题

典型例题

例5.1.选择题：

（1）设随机变量X 的方差为2, 则根据切贝雪夫不等式有估计P {|X -E X |≥2} ≤

（A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）8

1 （2）设随机变量独立同分布，其分布函数为

L L ，n X X X ,,,21∞<<∞−+=x b

x a x F ,arctan 1

)(π，0≠b 则辛钦大数定律对此序列

（A ）适用 （B ）当常数a 和b 取适当数值十适用

（C ）不适用 （D ）无法判别 (3) 设随机变量相互独立, n X X X ,,,21L n n X X X S +++=L 21, 则根据列维-林德伯格(Levy-Lindeberg)中心极限定理, 当n 充分大时, 近似服从正态分布, 只要

n S n X X X ,,,21L (A)有相同的数学期望, (B)有相同的方差,

(C)服从同一指数分布, (D)服从同一离散型分布.

(5) 设为独立同分布的随机变量序列，且L L ，n X X X ,,,21),2,1(L =i X i 服从参数为1≠λ的指数分布，则

（A ）)()(lim 1x x n n X P n i i n Φ=≤−∑=+∞→λ （B ）)()(lim 1

x x n

n X P n i i n Φ=≤−∑=+∞→

（C ）)()(lim 1

x x n X P n i i n Φ=≤−∑=+∞→λλ （D ）)()(lim 1x x n X P n i i n Φ=≤−∑=+∞→λ

λ

例5.2. 填空题：

(1) 随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2, 方差分别为1和4, 而相关系数为-0.5, 则根据切比雪夫不等式≤≥+)6|(|Y X P .

(2) 已知随机变量X 的数学期望为10，方差DX 存在且9.0)4020(≤<<−X P ，则 ≥DX .

(3) 设为独立同分布的随机变量序列，且L L ，n X X X ,,,21),2,1(L =i X i 服从参数

为2的指数分布，则当时，∞→n ∑==n i i n X n Y 1

21依概率收敛于 .

(4) 设为独立同分布的随机变量序列，且L L ，n X X X ,,,21),2,1(L =i X i 服从参数

为0>λ的泊松分布，若∑==n

i i X n X 1

1，则对任意实数x ，有≈<)(x X P .

例5.3. 设随机变量X 的数学期望为µ，方差为，

2σ(1)利用切比雪夫不等式估计：X 落在以µ为中心，σ3为半径的区间 内的概率不小于多少？

(2)如果已知，对上述概率，你是否可得到更好的估计？ ),(~2σµN X

例 5.4. 利用切比雪夫不等式来确定，当抛掷一枚均匀硬币时，需抛多少次，才能保证正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90%，并用正态逼近去估计同一问题。

例 5.5. 设为独立同分布的随机变量序列，且

，令L L ，n X X X ,,,21L ,2,1,,2

===i DX EX i i σµ∑=+=n i i n iX n n Y 1)1(2，试证明： µP n Y →例5.6. 设为一列独立同分布的随机变量序列，其概率密度函数为

}{n X

⎩⎨⎧<≥=−−a

x a x e x f a x 0)()

(令，试证：.

},,,min{21n n X X X M L =a M P n →

例5.7. 在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时，其家属可向保险公司领取1000元的赔偿费。试求：

（1）保险公司没有利润的概率为多大？

（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？

例5.8. 已知生男孩的概率近似地等于0.515，求在10000个婴孩中，男孩不多于女孩的概率.

例 5.9. 某药厂断言，该工厂生产的某种药品对于医治一种疑难的疾病的治愈率为0.8，某医院试用了这种药品进行治疗，该医院任意抽查了100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，医院就接受药厂的这一断言，否则就拒绝这一断言。问：

（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.8，那么，医院接受这 一断言的概率是多少？

（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，那么，医院接受这 一断言的概率是多少？

例 5.10. 一生产线生产的产品成箱包装, 每箱的重量是随机的, 假设每箱平均重50kg, 标准差为5kg. 若用最大载重量为5吨的汽车承运, 试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.(). 977.0)2(=Φ例5.11. 一家有800间客房的大宾馆的每间客房内装有一台2kW （千瓦）的空调机，若该宾馆的开房率为70%，试问应供应多少千瓦的电力才能以99%的概率保证有充足的电力开动空调机？

例5.12. 设有30个电子器件，他们的使用寿命（单位：小时）均服从平均寿命为10小时的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用等等. 令T 为30个器件使用的总计时间，求T 超过350小时的概率. 3021,,,T T T L