边界层

1 1
∆ ∆
∂u ∂v + = 0 ∂x ∂y
边界条件中， y=0，u=υ=0；y=δ，u=u(x)，对沿平壁面而言 y=δ， u=1。 上式即为层流边界层微分方程，又称为普朗特边界层方程，由普朗特 在1904年提出。
∂p = 0，即边界层横截面 ∂y 上各点压力相等，即p=f(x)，而边界层外边界上及边界层以外，由势流
2
则 再由于
dU e dp = − ρU e dx dx
δ = ∫ dy
0
δ
则右边第1项可写成
δ
dU e dp = −ρ dx dx
∫
δ
0
dy = − ρ
dU e dx
∫
δ
0
U e dy
再对左边第二项做了变换，U e
d δ d δ dU e ρ u d y = ρ U u d y − e dx ∫0 dx ∫0 dx
第八章
边界层理论
主要内容
边界层的基本概念 不可压层流边界层方程 边界层动量积分方程 平板层流边界层近似计算 平板紊流边界层近似计算 平板混合边界层近似计算 边界层的分离现象
§8—1
边界层的基本概念
当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时， 一般雷诺数很大。由
Re = 惯性力 Vl = 粘性力 v
V∞ & 在边界层外边界上， V (x ) =
∂u =0 ∂y
τ =µ
∂u =0 ∂y
粘性忽略，无旋流动。
边界层内
u = u ( x, y )
∂u ∂y 非常大，粘性力和惯性力相比不能忽略，有旋涡
3.边界层厚度δ 边界层内流动趋近于外部流动是渐进的，而不是截然分开的。 约定与同一截面上外部主流速度相差 1% 的地方为边界层外边界。 以此来定义为边界层厚度δ 。
∂x 1
∂u
源自文库
∂υ
∂x
假定边界层内流动全是层流，且忽略质量力，那么，对于不可压流体定常二 元绕流流动并忽略质量力时，N-S方程和连续方程为：
1 ∂p ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u u + v( 2 + 2 ) =− +υ ρ ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x 1 1 1 1 2 ∆ 1 ∆ ∆ 1 1 ∆2
CD面流出的流体质量 ： m CD = ∫0
δ
∂ δ ρ u dy + ∫ ρ u dy dx 0 ∂x
∂ δ 2 ∫0 ρu dy dx ∂x
K AB = ∫ ρu 2 dy
0
δ
动量： K CD = ∫ ρu 2 dy +
0
δ
流进控制面的流体质量=流出控制面的流体质量 对定常流，由质量守恒：
+ = 0 ，u~1， 并且边界层内，由u≥υ，故认为或由连续方程 ∂x ∂y υ~△ ∵x~1并且我们认为u~1，而y~△，必然是υ~△，这样才能满足连续方 1 ∆ 程，∂ u ∂ υ + =1 + =0 ，1 ∆ 。 ∂x ∂y dy ∆y = lim 注意：导数又称为微商，例如 dx ∆x→0 ∆x ，类似地在进行数量级比较 时，我们可以写成 ∂ u ~ 1 ，即 ∂y 是1的数量级。
K CD − K AB − K AC
∂ δ ∂ δ 2 = ∫ ρu dy − U e ρ u d y dx ∫ 0 0 ∂x ∂x
d ( pδ ) δ = − + x F p d CD CD面： dx
而控制体在x方向的受力为：
AB面：FAB=p·δ·1
∫
δ
0
ρu d y
按上述变换代入动量积分关系式可得
dU e d δ 2 d δ ρ u d y − ρ uU d y + e dx ∫0 dx ∫0 dx
∫
δ
0
dU e ρudy − ρ dx
∫ U dy = − τ
0 e
δ
w
即
dU e δ d δ =τw ρ ∫0 (U e − u )dy ρ ∫0 u (U e − u )dy + dx dx
则AC面流进的流体质量，由mAB+mAC=mCD
m AC = m CD − m AB ∂ δ = ( ρudy )dx ∂ x ∫0
动量=质量流量×速度
K AC
∂ δ = U e ( ∫ ρudy ) dx ∂x 0
其中Ue为边界层外边界上的速度。
则单位时间内通过控制面的x方向的动量变化为：出口动量—入口动量
∂p =0 ∂y
d δ 2 d δ dp ρu dy − U e ∫ ρudy = −δ −τ w ∫ 0 0 dx dx dx
由于在推导过程 中，未对τ w 作任 何本质的假设， 所以上式适用于 层、紊流。
二、边界层的位移厚度和动量损失厚度
先改写动量积分关系式， 1 2 由势流伯努到方程： p + ρU e = const
图 8-4 圆管入口段的流动
§8—2
∂u
不可压层流边界层方程
由于在边界层以外， ∂ y 很小，可认为是无旋运动，则可利用理想流体的势流 理论进行处理。所以，对流体的流动阻力，我们可近似地认为全部发生在 边界层以内。(这就是研究边界层内的流动的意义之一) 前提：在边界层以内，取值范围：0≤x≤l，0≤y≤l，由于x≥y，我们认为 x的数量级是1，y的数量级是△，并且认为：△比1低一个数量级。 即：x~1，y~△
dp = 0则整个流场压力处处相等。 dx 边界层微分方程虽然是在平壁的情况下导出的，但对曲率不太大的
dU e = ，， 0 dx
曲线壁面仍然适用。此时，x轴沿壁面方向，y轴沿壁面法线方向。
§8—3 边界层动量积分方程
一、边界层动量积分方程
由卡门在1921年提出。
推导前提：二元定常，忽略质量力，且u>>υ(由边界 层微分方程的数量级比较可看出)，所以只考虑x方向 的动量变化，不引入y方向的流速υ。
U e- u
δ 1 ⋅ U e = ∫ (U e − u )dy
0
δ
y
δ
δ
1 δ1 = Ue
∫ (U
0
δ
e
− u )dy = ∫
0
u 1 − dy U e
δ1
x V
δ1就称为位移厚度又称排挤厚度。比较 图 8-6 边界层位移厚度 同一平板表面的粘性流体和理想势流流 动，由于粘性流体边界层内的流动受阻， 在无穷远处来流中每一条确定的流线在理想势流流场中的位置被向外排 挤了一段距离。
则在这些流动中，惯性力 >>粘性力，所以可略去粘 性力。但在紧靠物体壁面 存在一流体薄层，粘性力 却与惯性力为同一数量级。 所以，在这一薄层中，两 者均不能略去。这一薄层 就叫边界层，或叫速度边 界层，由普朗特在1904年 发现。
Y U
外部流动区域
δ ( x)
边界层
前缘
X
图8-1 平板绕流
1.流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流 速度，这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。 2. 整个流场分为两部分 外部流动区域
x ↑→ δ ↑
δ
L
δ
L << 1
1 Re
薄层性质，其中L为物体的长度
Y U
∼
外部流动区域
翼弦长几米， 厚约几个 cm； δ 轮船长几百米，δ 厚约几m； 透平叶片， δ 约几个mm
δ ( x)
前缘
边界层
X
图 8-2 边界层厚度
4．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层,以及初始部 分为层流，然后是紊流的混合边界层。边界层由层流向紊流的转变， 决定于Re的大小 。 ∂u 由于在边界层内，流体在物体表面法线方向(即 ∂ y )速度梯度很大， 所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度 梯度很小。所以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽 略不计，所以可认为，边界层外的流动是无旋的势流。
dδ dp ∂p dx dp =p+ dx − τ w d x p dx − τ w dx = −δ dδ − δ + 2 d d d ∂ x x x x
其中略去了二阶微量。那么，由动量定理，得到定常运动条件下边界层 的动量积分关系式： ∂ δ 2 ∂p ∂ δ ρ u d y − U ρ u d y = − δ −τ w e ∫ ∫ 0 0 ∂x ∂x ∂x 由于在边界层内， ∴p=p(x)，且δ=δ(x)，所以，上述偏导数可改写成：
o
层流边界层
过渡区
紊流边界层
图 8-3 平板上的混合边界层
∂p = 0 ，即认为边界层内各截面上的压力等于同一截面 5.边界层内， ∂y
上边界层外边界上的压力；惯性力和粘性力为同一数量级。
工程上还常常遇到一种管流边界层。如图所示。流体从大容器流入管 道，管道入口呈圆角，则在进口断面上处流速分布均匀。由于粘性， 流体在近壁处形成边界层，且边界层厚度沿流动方向增大。 在离进口距离为L的c-c断面上，边界层基本上扩展至管轴，从进口a-a 至c-c 断面的距离 L称为管道的起始段长度，c-c断面以后则为充分发展 的管流。当起始段边界层为层流时，起始段长度L较大，约为 L/d=0.058Re。若加大管道入口流速，使边界层由层流转变为紊流，起 始段比层流时要小，约为L/d=30。实际在距进口12d，边界层已扩展至 接近管轴，之后边界层的继续扩展就很缓慢，在距进口12d，以后，沿 程阻力系数已与充分扩展时相同，这就是说，紊流起始段很短，影响 也小，一般情况下可以忽略不计，但在工程测量及管道阻力实验时， 需避开起始段的影响。
我们还可以得到一个重要结论，在边界层内 伯努利方程： p +
求导，则： dp 1 dU e dp dU e + ρ 2U e =0⇒ = − ρU e dx 2 dx dx dx 说明层外压力项和惯性项具有同一数量级。 当流体纵掠平板时边界层外主流速度没有变化，此时
1 2 ρU e = const 2
∂p dx dδ F p dx = + AC面： AC ∂x 2 dx
BD面：
FBD = −τ w dx ⋅ 1
负号是因为受力与x轴方向相反
则x方向外力之和为：
∂p dx d ( px ) F = p δ + p + d δ − p δ + dx − τ w dx ∑ x ∂x 2 dx
∂p dx p+ ∂ x 2
C A
pδ dδ
δ ( x)
dy y
x
y
∂ p ∂δ d x δ + dx p+ ∂x ∂x
τw
B
dx
D
x
图 8-5 边界层微元控制体
单位时间内：
AB面流进的流体质量： mAB =
动量 ：
∫
δ
0
ρu ⋅1dy
δ 2 称为动量损失厚度，它的物理意义为：当理想流体流过平板时，
某一断面处通过的质量流量为
δ
δ
∫
δ
0
ρU e dy ；若是粘性流体通过该断面，
其质量流量为 ∫ ρudy ，因此在同一断面损失的理想流体的质量为 0
∫
0
ρ (U e − u )dy ，损失的动量为
∫ ρ (U
0
δ
e
− u )udy ，把这部分动量损失
方程第二项积分的物理意义为：
∫
δ
0
ρu (U e − u )dy 表示了因粘性影响而产生的流体动量的减少量。
ρδ 2 ⋅1⋅U e 2 = ρ ∫ u (U e − u )dy
0
令
δ
δ2 =
1 Ue
2
∫
δ
0
δ u u − u(U e − u )dy = ∫ 1 U dy 0 U e e
下面分析式中两次积分的物理意义： 第一项积分：
∫
δ
0
U e dy − ∫ udy = ∫ (U e − u)dy = ∫ (U e − u )dy ×1
0 0 0
δ
δ
δ
表示速度为Ue的理想流体，流经高度为δ，垂直纸面尺寸为1的截面 的流量与以实际流速u流过同样截面的流量之差。图示如下： 而曲边三角形的面积总可用一个矩形 面积来代替，令
折算为厚度δ2的理想势流所具有的动量。边界层内的流体动量损 失，其数值相当于平板表面上的厚度为δ2的一层理想流体的动量。
§8—4
平板层流边界层近似计算
V ( x)
外部速度
V∞
边界层 边界层
l
δ ( x)
x
图 8-7 平板层流边界层
假定来流 V∞ 流经平板时，平板上下两层形成层流边界层，如图所示。 现在要求的是边界的厚度 δ 的变化规律和摩擦阻力FD。
1 ∂p ∂υ ∂υ ∂ 2υ ∂ 2υ u +υ =− + v( 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂x ∂y ρ ∂y ∆ ∆ ∆ ∆ 1 ∆ ∆2 2 1 ∆ 1 ∆
∂u ∂u ∂ 2u 1 ∂p +v =− +ν u ∂x ∂y ∂y 2 ρ ∂x
∂p =0 ∂y
∂u ∂ υ + =0 ∂x ∂ y