图形的全等变换
图形的全等变换
图形的全等变换1、 当对称轴平行时，两次翻折等于一次平移。
（平移的距离=对称轴间距离的2倍）。
2、 当对称轴相交时，两次翻折等于一次旋转。
（旋转角度=对称轴间夹角的2倍）。
3、 当对称轴互相垂直时，两次翻折等于一次中心对称。
三、轴对称1、 常见的轴对称图形及对称轴条数：线段（2）、角（1）、等腰三角形（1）、正n 边形(n)、矩形(2)、菱形(2)、圆(无数)。
2、相关定理：⑴、根据线段的轴对称性，有：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等。
⑵、根据角的轴对称性，有：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
⑶、根据等腰三角形的轴对称性，有：等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角上的角平分线“三线合一”。
⑷、根据等边三角形的轴对称性，有：在Rt △中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、典型例题⑴如图，在正方形ABCD 中，P 为AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，连接EF ，求证：DP=EF 。
⑵如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，求证：CF ⊥DE 。
A B C D EFP AB CD E F⑶如图，在四边形ABCD 中，DC ⊥BC 于C ，若AB=100，∠A=45°，∠DBA=75°，∠CBD=30°，求BC 的长。
⑷如图，正方形ABCD 中，BE 平分∠DBC ，CE=1，求AB 的长。
四、平移1、 相关定理：平行线间的平行线段相等。
推论：平行线间的距离处处相等。
2、 典型例题⑴如图，△ABC 是等边三角形，且DE ，EG ，DF 把它分成四个完全相同的等边三角形，试问：若把△ECF 看着是由△DFA 平移得到的，其平移的方向是 ，平移的距离是 。
⑵如图，△DEF 是由△ABC 沿MN 方向平移得到的，若∠A=60°，∠B=50°，AD=3，EF=4，则∠F= ，∠AOE= ，BE= ，EC= 。
6、全等模型汇总--陆老师
全等模型汇总编辑：陆老师2023.10.15【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.【常见模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 【常见模型】【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【常见模型】【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。
【常见模型】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
【模型图示】公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。
共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。
寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。
两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论： （1）BCD ACE ≅△△ （2）AE BD = （3）AFB DFE ∠=∠ （4）FC BFE ∠平分【常见模型】（等腰）（等边）（等腰直角）一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
(通用)第一阶段7、图形变换及相似、全等
第七部分 图形变换与图形的全等、相似 图形变换一、轴对称：如果某个图形沿一条直线翻折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴.如果两个图形以一条直线为轴翻折，能够彼此重合，那么就说这两个图形成轴对称。
轴对称的特征：轴对称图形的对称轴垂直平分对称点的连线段；两个图形成轴对称，则这两个图形全等。
二、平移：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.平移的特征：平移后对应线段相等且平行或在一条直线上，对应角相等；对应点连线相等且平行或在一条直线上；图形的形状、大小不变。
三、旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角.旋转的特征：旋转时每个点都绕旋转中心旋转相同的角度；对应点到旋转中心的距离相等；图形的形状、大小不变。
四、中心对称：如果一个图形绕着某一定点旋转180°后能与自身重合，那么就称这个图形为中心对称图形；如果一个绕着某一定点旋转180°后能与另一个图形重合，那么就称这两个图形成中心对称.这个定点叫对称中心.中心对称的特征：成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。
五、全等变换：能够完全重合的两个图形叫全等图形.一个图形经过平移、翻折、旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等.全等多边形的对应边相等、对应角相等。
六、位似变换：以一个定点为中心，将一个图形进行放大或缩小的变换，叫位似变换. 这个定点叫位似中心.【位似一定相似，相似不一定位似】【中考试题】：1、直线12+=x y 向下平移2个单位后的解析式是，再向右平移2个单位后的解析式是 .2、如图，O 是边长为1的正△ABC 的中心，将△ABC 绕点O逆时针方向旋转180°得△DEF ，则△DEF 与△ABC 重叠部分(图中阴影部分)的面积为 .3、如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3cm ，AC=5cm ，将△ABC 折叠，使点C 与A 重合，得折痕DE ，则△ABE 的周长等于 cm .4、在同一坐标平面内，下列4个函数①,1)1(22-+=x y②,322+=x y ③,122--=x y ④1212-=x y 的图象不可能 由函数122+=x y 的图象通过平移、轴对称变换得到的是 (填序号).5、如图，矩形ABCO 中，OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC 沿着AC 对折得到△AB ’C ，AB ’交y 轴于D 点，则点B ’的坐标为 .6、如图，将直角边长为5cm 的等腰直角△ABC 绕点A 逆时针旋转15°后，得到△ADE ，则图中阴影部分的面积是 .7、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3.点D 是BC 边上一动点(不与B 、C 重合)，过点D 作DE ⊥BC交AB 于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处.当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 .8、如图，已知点C 为直线x y =上在第一象限内的一点，直线12+=x y 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，将直线AB 沿射线OC 方向平移23个单位，求平移后的直线的解析式.9、如图，在等边△ABC 内有一点D ，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AC 重合，点D 旋转到点E ，则∠CDE 的正切值为 .10、如图，P 是矩形ABCD 下方一点，将△PCD 绕P 点顺时针旋转60°后恰好D 点与A 点重合，得到△PEA ，连结EB .(1)判断△ABE 形状,并说明理由；(2)若AB=2，AD=33，求PE 的长.11、如图，已知矩形纸片ABCD ，AD=2，AB=4.将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合，折痕FG 分别与AB 、CD 交于点G 、F ，AE 与FG 交于点O .(1)如图1，求证：A 、G 、E 、F 四点围成的四边形是菱形；(2)如图2，当△AED 的外接圆与△A 相切于点N 时，求证：点N 是线段BC 的中点；(3)在(2)的条件下，求折痕FG 的长.12、已知等腰△OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为)3,33(-，点B 的坐标为)0,6(-.(1)若△OAB 关于y 轴的轴对称图形是△''B OA ，请直接写出A 、B 的对称点''B A 、的坐标；(2)若将△OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数xy 36=的图象上，求a 的值；(3)若△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转30°时点B 恰好落在反比例函数xk y =的图象上，求k 的值.图形的全等一、定义：能够完全重合的两个图形，叫全等形；能够完全重合的两个三角形，叫全等三角形.二、识别：(1)三边对应相等(符号记为“S.S.S.”)；(2)两边和夹角对应相等(符号记为“S.A.S.”)；(3)两角和夹边对应相等(符号记为“A.S.A.”)；(4)两角和其中一个角的对边对应相等(符号记为“A.A.S.”)的两个三角形全等.特殊地，有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等.(记为“H.L.”) 三、性质：(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等.(2)全等三角形对应边上的中线、高分别对应相等，对应角的平分线对应相等； 全等三角形的周长相等，面积相等.【中考试题】：1、下列命题正确的是( )A.三个内角对应相等的两个三角形全等 B .有两边对应相等的两个直角三角形全等 C .一边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 D .一边相等的两个等腰三角形全等2、如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边中点，BD 、CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论：①AG ⊥BE;②BG=4GE;③CHD BHE S S ∆∆=;④∠AHB=∠EHD.其中正确的是 .3、如图，现给出五个等式①AD=BC;②AC=BD;③CE=DE;④∠D=∠C;⑤∠DAB=∠CBA ，请以其中两个为条件，另两个为结论，写出一个正确的命题.(写出已知、求证并证明)4、如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，则EC 的长为 .5、如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，AE=CF ，连结EF 、BF ，EF 与对角线AC 交于点O ，且BE=BF ，∠BEF=2∠BAC .(1)求证：OE=OF ；(2)若BC=32，求AB 的长.6、如图，P 是等边△ABC 内的一点，连结P A 、PB 、PC 并以PB 为角的一边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ .(1)观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论；(2)若P A :PB :PC=3:4:5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由。
初中数学知识点精讲精析 平面图形的全等变换
第五节平面图形的全等变换要点精讲1．全等图形的定义两个图形重叠在一起的时候，无论是顶点、边、角都与对应的顶点、边、角完全吻合，而且大小也要完全相同．2．图形重叠的方式（1）平行移动以固定的方向移动，也就是所谓的平行移动在平面上透过平行移动或垂直移动，使原对象的位置产生移动的现象．（2）旋转移动设一个定点为中心然后旋转，称为旋转移动，平面上透过旋转活动产生位移，而图形与所呈现的图像不变，只是观看的角度变得不一样．（3）翻转将平面图形翻转180°，使图形产生位移，此时图的形状并未改变，但图像会从原来的正面转为反面，可以透过从背面看或用镜子反射的方式进行翻转活动，让学生易于理解．相关链接1．在全等变换下，直线变为直线，线段变为线段，射线变为射线；两直线的平行性、垂直性，所成的角度都不变；共线点变为共线点，且保持顺序关系不变；直线上A、B、C 三点的简比AC：BC不变．2．在全等变换下，三角形、多边形和圆分别变为与它们全等的三角形、多边形和圆；封闭图形的面积不变．典型解析1．如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A 逆时针旋转后能与△ACE重合，那么旋转了_______度．【答案】60．【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠CAB=60°．又∵△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，∴AB绕点A逆时针旋转了∠BAC到AC的位置．∴旋转角为60°．中考案例1．（2012四川宜宾3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC 绕点P 旋转180°得到△DEF ，则点P 的坐标为__________．【答案】（﹣1，﹣1）．【解析】∵将△ABC 绕点P 旋转180°得到△DEF ，∴△ABC 和△DEF 关于点P 中心对称． ∴连接AD ，CF ，二者交点即为点P ．由图知，P （﹣1，﹣1）．或由A （0，1），D （﹣2，﹣3），根据对应点到旋转中心的距离相等的性质得点P 的坐标为（），即（﹣1，﹣1）．针对训练1．如图,将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF,则四边形ABFD 的周长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．122．将点A （－3，＋2）先沿轴向上平移5个单位，再沿轴向左平移4个单位得到点A ′，则点A ′的坐标是___________．3．如图，EF 是△ABC 的中位线，将△AEF 沿AB 方向平移到△EBD 的位置，点D 在BC 上，已知△AEF 的面积为5，则图中阴影部分的面积为___________．4．如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 上，△ABO 是直角三角形，∠ABO=900，点B 的坐标为（－1，2），将△ABO 绕原点O 顺时针旋转900，得到△Al BlO ，则过A1, B 两点的直线解析式为___________．y x5．如图，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ．将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAE ，连接ED ．若BC=10，BD=9，则△AED 的周长是___________．6．如图，在直角△OAB 中，∠AOB=30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=___________．7． 如图，直线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是________．8．长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a 的值为______．参考答案3y x 32=+﹣1．【答案】C【解析】根据平移的基本性质作答．根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，故四边形ABFD的边长分别为AD=CF=1个单位，AB+BC+AC=8；AB+BC+CF+DF+AD=10．故其周长为10．2．【答案】（－7，3）【解析】根据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵不变，上下移，纵坐标加减，横不变即可解的答案：∵点A（-3，-2）先沿y轴向上平移5个单位，再沿x轴向左平移4个单位得到点A′，∴A′的坐标是（－3－4，－2＋5），即：（－7，3）．3．【答案】10【解析】∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∴EF：BC=1：2，∴S△AEF：S△ABC=1：4．∵△AEF的面积为5，∴S△ABC=20．∵将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，∴S△EBD=5．∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF=20﹣5﹣5=10．4．【答案】y=3x＋5【解析】设A（a，0），∵点B 的坐标为（－1，2），∴OA=－a，OB2=12＋22=5，AB2=（－1－a）2+22= a2+2 a+5．∵∠ABO=900，∴OA2= AB2＋OB2，即a2= a2+2 a+5+5，解得a=－5．即A（－5，0）．∵△ABO绕原点O顺时针旋转900，得到△Al BlO，∴Al（0，5）．设过A1 、B 两点的直线解析式为y=kx＋b，则，解得．∴过A 、B 两点的直线解析式为y=3x＋5．5．【答案】19【解析】∵△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，∴根据旋转前、后的图形全等的旋转性质，得，CD= AE，BD=BE．∵△ABC是等边三角形，BC=10，∴AC= BC=10．∴AE＋AD=AC=10．又∵旋转角∠DBE=600，∴△DBE是等边三角形．∴DE=BD=9．∴△AED的周长=DE＋AE＋AD=9＋10=19．6．【答案】70°【解析】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∴∠A1OA=100°．又∵∠AOB=30°，∴∠A1OB=∠A1OA－∠AOB=70°．7．【答案】（﹣1，﹣2）或（5，2）．【解析】当y=0时，，解得x=2；当x=0时，y=3．∴点A（2，0），B（0，3）．∴OA=2，OB=3，根据旋转不变性可得△AOB≌△AO′B′，∴AO′=OA=2，O′B′=OB=3，①如果△AOB是逆时针旋转90°，则点B′（﹣1，﹣2），②如果△AOB是顺时针旋转90°，则点B′（5，2）．综上，点B′的坐标是（﹣1，﹣2）或（5，2）．8．【答案】12或15【解析】解：由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20﹣a，所以第二次操作时正方形的边长为20﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20﹣a，2a﹣20．此时，分两种情况：①如果20﹣a＞2a﹣20，即a＜40，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣20．则2a﹣20=（20﹣a）﹣（2a﹣20），解得a=12；②如果20﹣a＜2a﹣20，即a＞40，那么第三次操作时正方形的边长为20﹣a．则20﹣a=（2a﹣20）﹣（20﹣a），解得a=15．∴当n=3时，a的值为12或15．故答案为：12或15．扩展知识认识和欣赏平移变换、旋转变换、轴对称变换在现实生活实际中的应用，学习运用平移变换、旋转变换、轴对称变换及它们的组合进行一定的图案设计（能画）．应用平移变换、旋转变换、轴对称变换将那些分散、远离的条件从图形的某一部位转移到适当的新位置上，得以相对集中，从而达到化繁为简、化难为易、巧妙解题的目的．。
基于“直观想象”的数学核心素养的培养——以图形的全等变换为例
基于“直观想象”的数学核心素养的培养——以图形的全等变换为例“直观想象”是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、构建抽象结构和进行逻辑推理的基础。
重视“直观想象”核心素养的培养，有利于提高学生运用图形和空间想象进行分析、推理、论证的能力。
图形的全等变换包括平移、轴对称、旋转、中心对称等图形变换，本文以图形全等变换为例，谈谈基于“直观想象”的核心素养在初中数学教学中的培养。
一、积累活动经验，感悟几何直观数学活动经验是指学生个体在具体数学活动基础上获得的经验。
教学时，教师要有意识培养学生的几何直观意识，从几何直观的角度观察、分析、解决问题。
前不久，笔者有幸听取了一节《全等变换》中考复习课，上课伊始，教师先播放了一段视频，画面中一位工作人员正搬动一块瓷砖，瓷砖太重不易搬动，只见他蹲下身子，把瓷砖平放在地面上，先翻折180°，使得保护膜一面着地，再慢慢往前推动，到达目的地边上时，瓷砖的一个顶点与已经堆放在那里的瓷砖的一个顶点重合，绕这点旋转90°，再往上翻折，瓷砖就稳稳地堆放好了。
借助图像，教师引导学生回顾了平移、轴对称、旋转、中心对称等全等变换的概念，在此基础上进一步让学生归纳出各种图形变换的性质。
“胸中有图”从而“心中有数”。
二、关注过程教学，体验空间观念教学过程是数学课程内容的重要组成部分。
老师在空间观念的教学中要重视过程，给学生足够的时间和空间，让他们去探究、去交流、去表达，说出感受，说出想象……通过各种方式留给学生充分感受体验学习过程的空间。
唯有过程充分了，观念和能力才能有所提升。
如图，在△ABC中，点P为BC的中点，延长AB到点D，使得BD=AC，延长AC到点E，使得CE=AB，连接DE。
图1图2图3(1)如图1，连接BE，若∠BAC=60°，试探究BE与AP之间的数量关系并加以证明；(2)请在图2中证明：BC≥ DE。
中考几何图形全等变换探究
三角形中去 ， 因为已知 、 Ⅳ分 别是两边 的 中点 ， 我们 可 以考
虑用 三 角 形 中 位 线 定 理 来 添 辅 助线． 证明 连结 Ａ Ｃ， 取Ａ Ｃ 的 中 点 Ｆ， 再 连结 Ｆ Ｍ、 Ｆ Ｎ， 可 得
对称变换 （ 这里指 的是轴对 称变换 ） 是将 两个 几何 图形 中的一个 图形 看成 是另 一个 图形关 于某 条直 线为 对称轴翻折 １ ８ ０ 。 而得到 的． 用对称变换观点来证 明线段 相等 、 角相 等 、 三角形全等 ……这种 方法叫对称变换法． 例 １ 如图 １ ， 等腰直角 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， ＬＢ Ａ Ｃ为直 角 ， Ｄ 为其内部一点 ， 且 ＬＡ Ｂ Ｄ＝３ ０ 。 ， Ｂ Ｄ：Ｂ Ａ， 求证 ： Ａ Ｄ＝ Ｃ Ｄ ． 分析 由于等腰 直角 三角
形 可看 成 是 一 条 对 角 线 将 正 方
Ｆ Ｍ是 ＡＡ ＤＣ的 中位 线 ， 所 以
ＦＭ ／ ／ — ＣＤ
，
Ｎ
ｃ
１
厶 ＦＭ Ｎ ＝ ＣＰＮ．
图２
又 刚 是 ＡＡ Ｂ Ｃ的中位 线－ ． ． ． Ｆ Ｎ ÷Ａ Ｂ ， Ｆ Ｎ Ｍ＝
二
ＬＢ Ｑ Ｎ ． ‘ ． 。 Ａ Ｂ＝Ｃ Ｄ， ． ’ ． Ｆ Ｍ ：Ｆ Ｎ， Ｆ ＭＮ＝ Ｆ Ｎ Ｍ．
解： 将 ＡＡ Ｂ Ｃ 绕 点
整体 旋 转 １ ８ ０ 。 ， 如 图 ３所 示， 则 点 、 Ｅ、 Ｆ、 Ｇ、 Ｈ所处
的位 置 分 别 为 、 、 ， 、
Ｇ 、 Ｈ ， 三 个 四边 形 Ａ Ｂ ∞ 、
Ｂ Ｅ Ｆ ｃ
Ａ Ｅ Ｃ Ｅ 、 Ａ Ｆ Ｃ Ｆ 均 为 平 行 四
． ．
＝ｙ＋ ｚ ． ① 在 ＡＢ Ｃ Ｈ 中， ‘ ． ’ Ｆ Ｈ／ ／ Ｃ Ｈ ，
在图形的全等变换中有旋转变换
在图形的全等变换中有旋转变换,翻折(轴对称)变换和平移变换一次数学活动课上老在图形的全等变换中，有旋转变换，翻折（轴对称）变换和平移变换．一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．（1）第一小组的同学发现，在如图1－1的矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，Rt △ADC可以由Rt △ABC 经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程是．（2）第二小组同学将矩形纸片ABCD 按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF （如图2－1）；再沿GC 折叠，使点B 落在EF 上的点B'处（如图2－2），这样能得到∠B'GC 的大小，你知道∠B'GC 的大小是多少吗？请写出求解过程．（3）第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3－1的方式剪下△ABC ，其中BA ＝BC ，将△ABC 沿着直线AC 的方向依次进行平移变换，每次均移动AC 的长度，得到了△CDE 、△EFG 和△GHI ，如图3－2．已知AH ＝AI ，AC 长为a ，现以AD 、AF 和AH 为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于1515，请你帮助该小组求出a 可能的最大整数值．EFADB C EFADB C B'G（图2－1）（图2－2）A B C DO（图1－1）（4）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题:如图4－1，已知AA'＝BB'＝CC'＝2，∠AOB'＝∠BOC'＝∠COA'＝60°， 请利用图形变换探究S △AOB'＋S △BOC'＋S △COA'与3的大小关系．参考答案AC'BO A' C B'（图4－1）。
全等三角形的图形全等变换
鼓励学生讨论、交流、探究，允许他们有不同的拼图方法和结论，培养其合作精神。
活动九
7.两个全等三角形的综合变换：
学生思考、探究解题思路和方法，小组合作交流;
师作图巡视、指导。
(1)一个长方形沿着一条对角线对折剪开,拼成如图位置的两个三角形,使点B、F、C、D在同一直线上.①求证:AB⊥DE;②若PB=BC,找出一对全等三角形,并证明出它们的正确性。
小结
学生谈感受和收获
培养学生的归纳总结能力
作业
教材P—114 （3）（5）（8）
选做题：上面活动九中的“迁移题”
分层次教学
板书
设计
略
注意渗透分类思想
活动七
5.两个全等三角形的“旋转”加“平移”变换：
学生演示，师作图指导。
特点：三角形旋转任一角度到不同位置再沿着某条直线平移到不同位置。（如图）
已知：等腰△ABC的直角顶点C放在直线a上,作AD⊥a于D,作BE⊥a于E.找出一对三角形,并证明它们是正确的结论.
结论: △ACD≌△CBE;
让学生从实践演示中探究三角形全等的结论，并迁移出其他正确结论。
活动四
2.两个全等三角形的“翻折”变换：
学生演示，师作图指导。
特点：沿着某条直线 “翻折1800”到不同位置。（如图）或沿着过某个点所在的直线“翻折”1800到不同位置。
结论：△ABC≌△ABD; △ABO≌△CDO.
迁移：连接CD,推导出CD被AB垂直平分;AB平分∠CAD。
全等三角形的图形全等变换
课 题
全等三角形的图形全等变换
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空间几何体的相似与全等变换
空间几何体的相似与全等变换几何学是研究空间形体的学科，其中相似与全等变换是其中重要的概念。
本文将围绕空间几何体的相似与全等变换展开讨论，探讨其定义、特点以及应用。
一、相似变换相似变换是指在空间中对一个几何体进行拉伸、缩放或旋转等操作，在保持比例和形状不变的前提下得到的新几何体。
其本质上是一种比例变换，具体表现为原几何体中的任意两条相交线在变换后仍然相交，并且两几何体之间的对应边的比例不变。
以正方体为例，假设有一个正方体ABCDA'B'C'D'，经过相似变换后得到的几何体为A''B''C''D''A'''B'''C'''D'''。
在相似变换中，正方体上的每个顶点在变换后仍然保持在同一个平面上，并且各对应边长之间的比值也保持不变。
相似变换在实际生活中有着广泛的应用，例如建筑设计中的放大缩小、地图的缩放、模型的制作等。
其通过调整几何体的尺寸和形状，使得原始对象与目标对象相似，从而方便了实际应用过程中的计算和观察。
二、全等变换全等变换是指在空间中对一个几何体进行平移、旋转或镜像等操作，使得变换后的几何体与原几何体完全重合的变换方式。
在全等变换中，原几何体上的任意一对对应点之间的距离、夹角和形状都保持不变。
以三角形为例，假设有一个三角形ABC，经过全等变换后得到的几何体为A'B'C'。
在全等变换中，变换后的几何体A'B'C'与原始三角形ABC的对应点之间的距离、夹角和形状完全相同。
全等变换的应用十分广泛，例如在实际测量中，通过全等变换可以得到两个物体之间的距离和角度的关系，从而进行准确的测量。
此外，在计算机图形学中，全等变换用于模型的构建和变换，实现图像的准确呈现。
三、相似变换与全等变换的关系相似变换与全等变换是几何学中两个重要的变换概念，它们之间存在一定的关系。
【数学课件】图形的全等变换
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
随堂小练
1．下列五种运动中，属于平移运动的是( D ) ①温度计中液柱的上升或下降；
②自行车轮子的运动；
③时钟的秒针的运动；
④高层建筑内的电梯的运动；
⑤小球从高处做自由落体运动．
A．①②③ C．③④⑤
B．②③④ D．①④⑤
2．如图 3－2，要将其中的甲图变成乙图，可经过的变换正 确的是( B )
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
平面图形的全等变换利用变换设计图案课件
旋转
平移
先平移后旋转 轴对称后旋转
轴对称
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由一个“十字”通过连续七次平移，前后的图形共同组成 的。
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b
a
红色部分通过两次轴对称所形成的。
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随堂练习
你能用两个圆、两个三角形、 两条平行线设计出一些简单的图案，并 标明你的设计意图吗？
解：1 平移关系：
两盏电灯
两杯冰淇凌
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2 旋转关系：
错位倒置 等价交换 3 轴对称关系：
4 创意设计：
一辆小车
外星人的脸
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穿越云霞的山
归纳：运用平移、旋转、轴对称进行图案设计的步骤： 1、选择基本图形； 2、制定设计思路； 3、遵照平移、旋转或轴对称的基本操作对基本图形 及其组合进行变化，便可得到相应的图案。
关键：在图案中找到“基本图案”，并运用平移、旋转、 轴对称的组合进行变化，检验是否形成给出图案。
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例2、观察下面两幅图案，指出图案中的“基本图案”， 说明整个图案是怎样形成的，你能设计出类似的图案吗？
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解：图一是由一个“树 ”形图案通过三次平移形成的；
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通过本节课的学习，你对生活中处处有数学有新 的认识吗？
你能利用对称、平移、旋转的知识画出精美的几 何图案吗？
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感谢您的观看。
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专题十六全等变换
全等变换包括平移变换、旋转变换、翻折变换（轴对称）等 多种类型。
全等图形与对应元素
全等图形
能够完全重合的两个图形叫做全 等图形。
对应元素
在全等图形中，互相重合的点、 线段、角等几何元素称为对应元 素。
全等变换基本性质
全等变换保持图形的 形状和大小不变。
在全等变换下，图形 的面积、周长等几何 量也保持不变。
利用平行线、同位角、内错角 等性质，结合全等变换来证明 线段或角相等。
通过构造全等三角形来证明线 段或角相等，如倍长中线法、 截长补短法等。
证明图形重合或对称
利用全等变换的性质，通过旋转、翻 折等变换来证明两个图形重合或对称。
利用中心对称或轴对称的性质，结合 全等变换来证明图形重合或对称。
通过证明两个图形完全重合来得出它 们对称的结论。
VS
性质
旋转中心、旋转方向、旋转角度为旋转的 三要素。旋转只改变图形的位置，不改变 图形的形状和大小。经过旋转，图形上的 每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相 同的角度，任意一对对应点与旋转中心的 连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转 中心的距离相等。
翻折变换概念及性质
概念
翻折变换是指把一个图形沿着某一条直线折叠过来，直线两旁的部分能够相互 重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
通过全等变换，将方程或不等式转换为更容易解的形式，从而快速找到 解。
常见的全等变换包括移项、合并同类项、去括号等，以及利用等式的性 质进行变换。
在解决方程或不等式问题时，需要注意保持解的范围和精度，避免出现 错误解或无解的情况。
利用全等变换进行代数式证明
通过全等变换，将待证明的代数式转换 为已知成立的形式，从而完成证明。
人教版九年级数学上册《23章 旋转 图形的全等变换：平移、轴对称和旋转复习》优质课教案_13
图形的全等变换：平移、轴对称和旋转复习(第1课时)一、内容与内容解析内容：图形的平移、轴对称、旋转变换主要知识点：图形平移、轴对称、旋转的性质；内容解析：几何是研究物体形状、大小及位置关系的一门学科. 如果只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，这样的变化叫做全等变换.基本的全等变换有平移、轴对称与旋转.研究的思路：定义——分离要素——研究性质——用坐标表示变换. 研究的内容：变换前后图形间的关系、对应点间的关系.研究的方法：画出变换前后的图形——观察——猜想——验证说明.重点是研究图形变化下的不变性.基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：图形变换相关知识的整理.二、目标与目标解析目标：1.理解图形的平移、轴对称、旋转的概念.2.掌握图形的平移、轴对称、旋转的性质，会用坐标表示图形的平移、轴对称和中心对称.3.了解全等变换的研究过程，体会全等变换的研究思路、内容与方法.目标解析：目标1 要求学生能通过画图理解图形的平移、轴对称、旋转等概念.目标 2 理解图形的平移、轴对称、旋转的性质并会这些性质来研究其它的几何图形；会用坐标表示多边形的平移、轴对称、中心对称前后位置关系.目标3 会用图形研究的一般方法研究图形的全等变换.三、教学问题诊断分析图形的三大全等变换是几何研究的主要内容之一，三者在研究思路、研究内容与研究方法上有着极大的相似性.学生能根据变换的图形得出一些具体的结论，但缺乏对知识的整理与归纳，存在在脑中的是散点式的知识，无法形成网状结构，建构知识系统.复习不是简单的知识重复，而是要生成知识体系与通用方法.基于以上分析，可以确定本节课的教学难点是：建构三大全等变换的知识系统，探究复习的一般策略.四、教学过程设计1. 课题引入问题1复习有什么作用？师生活动：学生个别回答，师生共同总结复习主要作用：（1）知识更具有系统性；（2）方法更具有一般性.设计意图：点出复习的作用与目的.问题2 对于三种全等变换，怎样复习比较好？师生活动：教师引导学生得出全等变换复习的基本方法：（1）抓住共性，分清区别；（2）能有一般的复习策略.设计意图：使学生初步体会用一般方法进行复习研究. 问题3 回顾三种全等变换学习，经历了怎样的学习历程？师生活动：学生讨论、教师引导得出研究全等变换的思路：定义——分离要素——研究性质——应用（用坐标表示变换）.设计意图：要使学生明白这种研究数学的思路也是研究数学的一般思路. 2.知识回顾与整理问题4 如图(1)，(2)，(3)中的一个三角形是又另一个三角形怎样变化得到的？师生活动：学生回顾三种图形的变换. 设计意图：借助图形直观，引出相关概念. 问题5 分别说说在各个图中你能得到的结论？师生活动：学生列举，教师板书（有意识的将学生所举结论分类） 设计意图：知识回顾是一个零散的过程，它需要经历列举与整理的阶段. 问题6 针对同学们刚才所列的结论，请你归纳研究内容.师生活动：教师引导学生得出全等变换研究的主要内容是：变换前后图形间的关系、对应点所连线段的特征.设计意图：抓住全等变换的主要内容，并将知识进行，使学生从整体上把握复习方向. 问题7 列表比较全等变换的定义、基本要素、性质. 师生活动：教师引导学生得出表格.C图(1)D图(3)C 图(2)问题8 你是如何得到全等变换的结论？师生活动：教师引导得出研究性质的方法：画出变换前后的图形——观察——猜想——验证说明.设计意图：用已有几何研究经验来回顾图形变换的研究方法.进而总结复习的一般策略：（1）理清研究思路；（2）整合研究内容；（3）归纳研究方法.3. 策略迁移运用一般复习的策略，请你说说成中心对称的图形是怎样得到的，有什么性质？ 师生活动：学生独立完成下表设计意图：再次体会复习的一般策略.追问 常见的轴对称图形与中心对图形有哪些？ 4. 知识应用例1 如图，△ABC 中，三个顶点的坐标分别为点A (-3，-2)，B (-2，-1)，C (-1，-4)，（1）将△ABC 先向左平移1个单位，再向上平移6个单位，画出平移后的△111A B C ；（2）记△ABC 关于x 轴对称的三角形为△222A B C ，画出△222A B C ；（3）已知△333A B C 可以由△222A B C 绕某一点顺时针旋转一定角度得到，求出旋转中心的坐标与旋转角度.设计意图：知道在平面直角坐标系中，通过平移、轴对称和旋转变换后坐标有怎样的变化规律；体会平移、轴对称、旋转的决定因素与特征，并了解平面内任意两个全等图形肯定能通过三大变换中一种或几种变换之后，两个图形能重合.例2 如图6.1-3，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =7，点E 为BC 上一动点，把△ABE 沿AE 折叠，当点B 的对应点B ′落在∠ADC 的角平分线上时，则点B ′到BC 的距离为（ ） A ．1或2 B ．2或3 C ．3或4 D ．4或5设计意图：体会轴对称的性质，知道利用轴对称解决问题时会用到轴对称性质，即对应边或对应角相等.5. 总结提升问题1 全等变换的复习经历了怎样的过程？师生活动：学生思考，教师引导得出：1.知识回顾；2.知识整理；3.策略迁移 设计意图：使学生进一步体会几何复习与研究的一般思路和方法. 问题2 复习的一般策略有哪些？师生活动：师生共同得出复习的一般策略有（1）理清研究思路；（2）整合研究内容；（3）归纳研究方法.设计意图：再次体会几何变换研究的基本思想方法，并推广到一般.B'EDCBA。
几何问题中的等长变换与全等证明
几何问题中的等长变换与全等证明在几何学中，等长变换是指保持长度不变的变换。
全等证明是指通过等长变换来证明两个图形完全相等的过程。
等长变换在几何问题中起着重要的作用，它不仅能够简化证明过程，还能够帮助我们更好地理解几何概念和性质。
一、等长变换的基本概念等长变换是指在平面或空间中，通过平移、旋转、翻转等操作，保持图形的长度不变。
平移是指将图形沿着一条直线移动，旋转是指将图形绕着一个点旋转，翻转是指将图形沿着一条直线翻转。
通过等长变换，我们可以将一个图形变换成另一个图形，而这两个图形具有相同的长度和角度。
这种性质使得我们能够通过等长变换来证明两个图形全等。
二、全等证明的基本思路全等证明的基本思路是通过等长变换将一个图形变换成另一个图形，从而证明它们全等。
在证明过程中，我们需要根据题目给出的条件和已知的几何定理，选择合适的等长变换来进行操作。
例如，在证明两个三角形全等时，我们可以通过平移、旋转和翻转等等操作，将一个三角形变换成另一个三角形。
在这个过程中，我们需要保持三角形的边长和角度不变，以确保它们全等。
三、等长变换的应用等长变换在几何问题中有广泛的应用。
它不仅能够简化证明过程，还能够帮助我们更好地理解几何概念和性质。
例如，在证明两个四边形全等时，我们可以通过平移、旋转和翻转等等操作，将一个四边形变换成另一个四边形。
通过等长变换，我们可以发现它们的边长和角度都相等，从而得出它们全等的结论。
在实际应用中，等长变换也常常用于解决测量问题。
通过等长变换，我们可以将一个复杂的图形转化为一个简单的图形，从而更方便地进行测量和计算。
四、等长变换与全等证明的局限性虽然等长变换在几何问题中有重要的作用，但它也有一定的局限性。
在某些情况下，我们可能无法通过等长变换来证明两个图形全等。
例如，在证明两个多边形全等时，我们可能需要额外的条件或定理来辅助证明。
因为多边形的边长和角度相等并不能保证它们全等，我们还需要考虑到其它因素，如对应边和对应角的关系。
全等变换的方法
全等变换的方法全等变换是数学中常用的一种方法，用于证明两个几何图形或代数表达式完全相等。
全等变换的基本思想是通过一系列基本的变换操作，使得原始图形或表达式与目标图形或表达式在形状、大小、结构等方面完全相同。
全等变换可以应用于几何学、代数学以及其他数学领域的问题中，具有广泛的应用价值。
在几何学中，全等变换包括平移、旋转、翻转和对称四种变换。
平移是指将图形沿着指定的方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
旋转是指围绕一个点或轴进行旋转，使图形在平面上旋转一定的角度。
翻转是指将图形关于某条直线进行对称，即左右翻转或上下翻转。
对称是指将图形关于一个点进行对称，即将图形旋转180度。
通过这四种基本的全等变换操作，可以将一个图形变换为另一个与之完全相同的图形。
在代数学中，全等变换是通过一系列等价的代数变换操作，使得两个代数表达式在形式和结果上完全相等。
常见的代数变换包括合并同类项、分解因式、移项、化简等。
通过这些变换操作，可以将一个复杂的代数表达式转化为一个等价且更简单的表达式。
全等变换在解方程、证明恒等式等数学问题中发挥着重要的作用。
全等变换的应用不仅限于几何学和代数学，还可以扩展到其他数学领域中。
例如，在概率论中，全等变换可以用于证明两个随机变量具有相同的分布函数。
在数值计算中，全等变换可以用于优化算法，通过改变变量的表示形式，使得问题的求解更加简单和高效。
全等变换的基本原理是通过一系列等价的变换操作，将一个图形或表达式转化为与之完全相同的形式。
在进行全等变换时，需要严格遵守变换规则，确保变换的正确性和有效性。
同时，全等变换的过程中需要注意保持图形或表达式的性质不变，避免引入额外的假设或条件。
全等变换是数学中一种重要且常用的方法，可以用于证明两个几何图形或代数表达式完全相等。
通过一系列基本的变换操作，可以将一个图形或表达式转化为与之完全相同的形式。
全等变换在几何学、代数学以及其他数学领域中具有广泛的应用价值。
八年级数学平面图形的全等变换与图案设计鲁教版知识精讲
八年级数学平面图形的全等变换与图案设计鲁教版【本讲教育信息】一. 教学内容：1、平面图形的全等变换——对称、平移、旋转2、利用平面图形的全等变换进行图案设计二. 学习重、难点：平面图形的全等变换的应用既是重点也是难点三. 知识要点讲解：【知识回顾】1、轴对称及轴对称图形（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做对称轴。
（2）两个图形的轴对称性：——翻折变换对于两个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴2、平面图形的平移（1）平面图形的平移的意义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
（2）平面图形平移的性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。
注意：在平移的过程中，对应线段及对应点所连的线段也可能在一条直线上。
如图：3、平面图形的旋转（1）平面图形的旋转的意义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形的运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，旋转不改变图形的形状和大小。
（2）平面图形的旋转的性质经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离都相等。
注意：①特殊的旋转——旋转180°，又称中心对称②旋转180°的图形的特征———对应线段平行或共线。
③不论是翻折、平移还是旋转都不改变图形的形状和大小——即：图形全等。
【平面图形的全等变换】我们知道，图形经过对称、平移、旋转后的图形的形状、大小都不变，即：图形全等，我们把这种变换称为全等变换。
问题1：问题2：图中的左右两个图形，它们有什么关系？利用怎样的变换可以将左边的图形变成右边的图形？问题3：图中的左上和右下两个图形经过怎样的变换可以将左上的图形变成右下的图形？方法1、将左上角的图形绕点O旋转180°得到右下角的图形。
新人教版八年级上册《全等三角形》知识点归纳总结
全等三角形一、知识要点：（一）全等变换：只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括以下三种：1、平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
2、对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
3、旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
（二）全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
（三）全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
二、题型分析：题型一：考察全等三角形的定义例题：下列说法正确的是（）A、全等三角形是指形状相同的两个三角形 C、全等三角形的周长和面积分别相等C、全等三角形是指面积相等的两个三角形D、所有的等边三角形都是全等三角题型二：考察全等三角形之间的关系——传递性例题：如果△ABC和△DEF全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等，如果△ABC和△DEF不全等，△DEF 和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）题型三：根据三角形全等求角例1：△ABC中，∠BAC∶∠ACB∶∠ABC＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝______．例2：如图，△ABN≌△ACM，AB=AC，BN=CM，∠B=50°，∠ANC=120°，则∠MAC的度数等于（）A、120°B、70°C、60°D、50°第二节三角形全等的判定一、知识要点：（一）三角形全等的判定公理及推论有：1、“边角边”简称“SAS”2、“角边角”简称“ASA”3、“边边边”简称“SSS”4、“角角边”简称“AAS”5、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。
注：边边角和角角角不成立。
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图形的全等变换
一、基本知识（必记）
1、当对称轴平行时，两次翻折等于一次平移。
（平移的距离=对称轴间距离的2倍）。
2、当对称轴相交时，两次翻折等于一次旋转。
（旋转角度=对称轴间夹角的2倍）。
3、当对称轴互相垂直时，两次翻折等于一次中心对称。
三、轴对称
1、常见的轴对称图形及对称轴条数：
线段（2）、角（1）、等腰三角形（1）、正n边形(n)、矩形(2)、菱形(2)、圆(无数)。
2、相关定理：
⑴、根据线段的轴对称性，有：
线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等。
⑵、根据角的轴对称性，有：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
⑶、根据等腰三角形的轴对称性，有：
等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角上的角平分线“三线合一”。
⑷、根据等边三角形的轴对称性，有：
在Rt △中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、典型例题
⑴如图，在正方形ABCD 中，P 为AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，连接EF ，
求证：DP=EF 。
⑵如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，
求证：CF ⊥DE 。
⑶如图，在四边形ABCD 中，DC ⊥BC 于C ，若AB=100，∠A=45°， ∠DBA=75°，∠CBD=30°，求BC 的长。
A
B
C
D
E
F P A
B
C
D
E
F A
B
C
D。