2020年湖南长沙高三一模数学试卷(理科)
2020年湖南省长沙市长高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(含答案解析)
2020年湖南省长沙市长高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知复数z 满足(1−i )⋅z =|√3+i|，则z =( )A. 1−iB. 1+iC. 2−2iD. 2+2i2. 已知集合A ={x|1≤x ≤4}，B ={x 2≥9}，则A ∩(∁R B)=( )A. [3,4]B. (−3,4]C. [1,3)D. (−∞,−3]∪[1,+∞)3. 若光线从点A(−3,5)射到直线3x −4y +4=0上，反射后经过点B(2,15)，则光线从A 点反射到B 点所经过的路程为( )A. 5√2B. 5√13C. 5√17D. 5√54. 某校周五的课程表设计中，要求安排8节课(上午4节、下午4节)，分别安排语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻(注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻)，则周五的课程顺序的编排方法共有( )A. 4800种B. 2400种C. 1200种D. 240种5. 过点P(2,1)的直线l 与函数f(x)=2x+32x−4的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. √5 B. 2√5 C. 5 D. 106. 已知两条直线a ，b 和平面α，若a ⊥b ，b ⊄α，则“a ⊥α”是“b//α”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 如右图所示的程序框图中，如果输入三个实数为=3，=7，=2，则输出结果为( )A. 2B. 3C. 7D. x8.函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(x∈R,ω>0,0≤ϕ<2π)的部分图象如图所示，则()A. ω=π2,ϕ=π4B. ω=π3,ϕ=π6C. ω=π4,ϕ=π4D. ω=π4,ϕ=5π49.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y−2)2=1相切，则双曲线的离心率为()A. √2B. 2C. √3D. 310.在数列{a n}中，若对任意的n∈N∗，均有a n+a n+1+a n+2为定值，且a7=2,a9=3,a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=()A. 132B. 299C. 68D. 9911.已知函数f(x)满足f(x)=f′(1)e x−1−f(0)x+12x2，则f(x)的单调递增区间为()A. (−∞,0)B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. (0,+∞)12.已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，ΔABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为()A. √26B. √36C. √23D. √22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.公差d不为0的等差数列{a n}的部分项a k1，a k2，a k3，…构成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=6，则k4=________．14.函数y=x3−2x2+x的单调递减区间是____________．15.已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是抛物线上一点，|AF|=54x0，则x0=______．16.若函数f(x)=ax3−x2+x−5在区间(1,2)上单调递增，则a的范围为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知ba+c =a+b−ca+b．(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若a=15，b=10，求cos B的值．18.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD上的一点，且EB=ED=EC=BC，连接CE并延长交AD于F．(1)若G为PD的中点，求证：平面PAD⊥平面CGF；(2)若BC=2，PA=3，求平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P，Q在椭圆上，P点坐标是(3,1)，△PF1F2的面积为2√2．(1)①求椭圆C的标准方程；②若∠F1QF2=π3，求QF1⋅QF2的值．(2)直线y=x+k与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．20.进入高三，同学们的学习越来越紧张，学生休息和锻炼的时间也减少了．学校为了提高学生的学习效率，鼓励学生加强体育锻炼．某校高中三年级共有学生1000人，其中男生650人，女生350人．为调查该年级学生每周平均体育锻炼时间t(单位：小时)的情况，考虑到性别差异，现采用分层抽样的方法，收集200名学生每周体育锻炼时间t的样本数据．(1)根据这200个样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间t的频率分布直方图(如图所示).其中样本数据分组区间为：(0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12].根据图中数据，求t的平均数并估计该年级学生每周平均体育锻炼时间大于6小时的概率．(2)在样本数据中，有25位女生的每周平均体育锻炼时间t超过6个小时．请填写下面每周平均体育锻炼时间t与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该年级学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.已知函数f(x)=−e x+a(x+1)．(Ⅰ)讨论函数f(x)单调性；(Ⅱ)当f(x)有最大值且最大值大于−a2+a时，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤a<π)，曲线C的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设C与l交于M、N两点(异于O点)，求|OM|+|ON|的最大值．23.设函数f(x)=|2x+2|−|x−2|．(Ⅰ)求不等式f(x)>2的解集；(Ⅱ)若∀x∈R，f(x)≥m恒成立，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，与复数的模化简求得z，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，与复数的模，是基础题．解：根据题意得，z=|√3+i|1−i =21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，故选B．2.答案：C解析：解：B={x|x≤−3，或x≥3}；∴∁R B={x|−3<x<3}；∴A∩(∁R B)=[1,3)．故选：C．可求出集合B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．3.答案：B解析：本题考查光线从A到B的路程，利用轴对称转化成两点间距离公式，属基础题．解：根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于直线3x−4y+4=0的对称点A′到点B的距离，设A关于直线3x−4y+4=0对称的点A′(a,b)，则3×−3+a2−4×5+b2+4=0且b−5a+3×34=−1，解得a=3，b=−3，即A′(3,−3)，所以A′B=√3−22+(15+3)2=5√13．故选B．4.答案：B解析：本题考查分步计数原理和排列的综合运用，属于中档题．分三步，利用相邻问题用捆绑法，特殊位置优先排列，进行求解即可．解：分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置把生物安排，有A 21=2种编排方法；第二步：因为数学和英语在安排时必须相邻，注意数学和英语之间还有一个排列，有5A 22=10种编排方法；第三步：剩下的5节课安排5科课程，有A 55=120种编排方法． 根据分步计数原理知共有2×10×120=2400种编排方法． 故选B ．5.答案：D解析：解：f(x)=2x+32x−4=1+72x−2，∴函数f(x)=2x+32x−4的图象关于点P(2,1)对称，∴过点P(2,1)的直线l 与函数f(x)=2x+32x−4的图象交于A ，B 两点， A ，B 两点关于点P(2,1)对称，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22+1=√5， ∴则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×5=10． 故选：D ． f(x)=2x+32x−4=1+72x−2，可得函数f(x)=2x+32x−4的图象关于点P(2,1)对称，过点P(2,1)的直线l 与函数f(x)=2x+32x−4的图象交于A ，B 两点，A ，B 两点关于点P(2,1)对称⇒OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2即可．本题考查了函数的对称性及向量的运算，属于中档题．6.答案：A解析：解：若a⊥b，b⊄α，a⊥α，则b//α，是充分条件，若a⊥b，b⊄α，b//α，推不出a⊥α，不是必要条件，则“a⊥α”是“b//α”的充分不必要条件，故选：A．分别判断出充分性和不必要性即可．本题考查了充分必要条件，考查线面、线线的位置关系，是一道基础题．7.答案：C解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是判断并输出三个数中最大值。
2020年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷(理科)(一)(5月份)(有答案解析)
20. 从甲、乙两种棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位：mm）组成一个样本，且将纤维长
度超过 315mm 的棉花定为一级棉花．设计了如图茎叶图：
（1）根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论（不必计算）； （2）从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各 2 根，求其中恰有 3 根一级棉花的概率； （3）用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从甲、乙两种棉花中各随机抽取 1 根，求其中 一级棉花根数 X 的分布列及数学期望．
．
故选：D． 画出图，根据弧长公式求解 本小题主要考查球面距离及相关计算、正方体的几何特征等基础知识，考查运算求解能力，考查空 间想象能力、化归与转化思想．属于中档题．
12.答案：A
解析：【分析】 本题考查函数的对称性，函数的零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的单调性和最值，构 造函数法求方程的解及参数范围，属于较难题.
2020 年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（理科）（一）（5 月份）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|（x+1）（x-2）≤0}，B={-1，0，1，2，3}，则 A∩B=（ ）
A. {-1，0，1}
B. {-1，0，1，2} C. {0，1，2}
8.答案：C
解析：【分析】 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设此等差数列{an}的公差为 d，则 a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+
公式即可得出． 【解答】
d=85.5，解得：d，a1．利用通项
2020届湖南省长沙市高三上学期期末数学(理)试题及答案
长沙市2020届高三年级统一模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}121x A x -=>，{}220B x x x =-≤，则A B =I （ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (0,3]D. (1,2]2.在复平面内，复数11iz =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ）． A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足2CF FB =u u u r u u u r ，那么EF =u u u r( )A. 1123AB AD -u u u r u u u r B. 1132AB AD +u u ur u u u r C. 1223AB AD -u u ur u u u rD. 1142AB AD +u u ur u u u r4.函数21x x y e+=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）A. B . C.D.5.在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为( )A. 12B.2π C.12π- D. 22π-6.()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为( )A. 14B. -14C. 16D. -167.已知α为锐角，且()cos 11α+︒=，则α的值为( ) A. 20︒ B. 40︒C. 50︒D. 70︒8.设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，2F 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为( )A.B.2 C.12D.9.设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，1AA =所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A. 24π B. 18πC. 26πD. 16π10.设n S 是数列{}n b 的前n 项和，若2nn na S +=，()*2122N n b n n a a n ++=-∈，则数列1n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为( )A. 9798B.9899 C. 99100D. 10010111.已知函数()1212log ,18212,x x x f x x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩，，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ）A.2B.12C.D.12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FA FC =（ ） A.54B.43C.32D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()()2log 21cos xf x ax x a R =-++∈为偶函数，则a =______.14.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3S ，9S ，6S 成等差数列，256a a +=，则8a =______. 15.若()()()2sin 20f x x ϕϕ=+>的图象关于直线12x π=对称，且当ϕ取最小值时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是______.16.在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为______.三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+. （1）求角C 的值；（2）若26a b +=，且ABC ∆ABC ∆的周长.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =，1AB B C ⊥.（1）求证：AO ⊥平面11BB C C ；（2）设160B BC ∠=︒，若直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为45︒，求二面角111A B C B --的余弦值.19.已知椭图1C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点与抛物线2C ：()220y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为12，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为42（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）过点()4,0A -的直线l 与椭圆1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论.20.某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同. （1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过()*N n n ∈次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望. 21.已知函数()()()1xxf x ae ea x a R -=--+∈，()f x 既存极大值，又存在极小值.（1）求实数a 的取值范围；（2）当01a <<时，1x ，2x 分别为()f x 的极大值点和极小值点.且()()120f x kf x +>，求实数k 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为x t y kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为3x mmy k ⎧=⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C . （1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭点Q 为曲线1C 上的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最大值.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()1f x x =-.（1）求不等式()32f x x ≥-的解集；（2）若函数()()5g x f x x =+-的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证：224a bb a+≥.长沙市2020届高三年级统一模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}121x A x -=>，{}220B x x x =-≤，则A B =I （ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (0,3]D. (1,2]【答案】D 【解析】【详解】由{}x 1A x 21-=>，{}2B x x 2x 0=-≤得：()1,A =+∞，[]0,2B =，所以(]A B 1,2⋂=，故选D.2.在复平面内，复数11iz =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ）． A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数21i111i i i +=+=-，其对应的点是(1,1)-，位于第四象限． 故选D ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足2CF FB =u u u r u u u r ，那么EF =u u u r( )A. 1123AB AD -u u ur u u u rB. 1132AB AD +u u ur u u u rC. 1223AB AD -u u ur u u u rD. 1142AB AD +u u ur u u u r【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果．【详解】解：在CEF ∆中，EF EC CF =+u u u r u u u r u u u r.因为点E 为DC 的中点，所以12EC DC =u u u r u u u r.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以23CF CB =u u u r u u u r，所以121212232323EF DC CB AB DA AB AD =+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选：C.【点睛】本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属于基础题．4.函数21x x y e+=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】因为函数为偶函数，所以去掉D,因为当0x > 时22112,02x x x x x y y x e e++=='-=⇒= ，所以当(0,2)x ∈ 时0y '> ，去掉B;当(2,)x ∈+∞ 时0y '< ，去掉C ，因此选A.5.在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为( )A. 12B. 2πC.12π- D. 22π-【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4． 图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和， 其面积为21181112442ππ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭．∴所求概率24142P ππ-==-． 故选：C ．【点睛】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，属于基础题．6.()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为( )A. 14B. -14C. 16D. -16【答案】A 【解析】 【分析】把511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭按照二项式定理展开，可得()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项．【详解】解：Q ()()5543251311010513111x xx x x x x x ⎛⎫=+-+-+- ⎪⎛⎝⎫- ⎪⎝⎭⎭+，故它的展开式中的常数项为351(1)14⨯+⨯-=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7.已知α为锐角，且()cos 11α+︒=，则α的值为( ) A. 20︒ B. 40︒ C. 50︒ D. 70︒【答案】B 【解析】 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果．【详解】解：由()cos 11α+︒=可得cos10cos 1cos10α︒+︒=︒，即2sin 40cos 1cos10α︒=︒，所以cos10sin80cos 2sin 402sin 40α︒︒==︒︒2sin 40cos 40cos 402sin 40︒︒==︒︒， 又α为锐角，故40α=︒，故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，2F 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为( ) A.3 B.22 C.12D.5 【答案】D 【解析】 【分析】当P ，E ，1F 共线时，此时2PEF ∆的周长的最小，即可得到23a b =，再根据离心率公式计算即可． 【详解】解：2PEF ∆的周长为2221||||||||||||PE PF EF PE PF EF ++=++， 当P ，E ，1F 共线时，此时周长最小， 2121||||||||||23PE PF EF PF PF a b ∴++=+==，22249()a a c ∴=-，2259a c =5c e a ∴==， 故选：D ．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，9.设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，1AA =所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A. 24π B. 18π C. 26π D. 16π【答案】C 【解析】 【分析】直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积． 【详解】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC 的中点O '，则外接圆的半径2BC r =，而2AB AC ==，90BAC ∠=︒，所以BC =所以r =过BC 的中点做垂直于底面的直线交中截面与O 点，则O 为外接球的球心， 由题意得：22219132222AA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以外接球的表面积2426S R ππ==，故选：C ．【点睛】考查直棱柱的外接球的求法及球的表面积公式，属于中档题．10.设n S 是数列{}n b 的前n 项和，若2nn na S +=，()*2122N n b n n a a n ++=-∈，则数列1n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为( )A .9798 B.9899 C. 99100D. 100101【答案】C 【解析】 【分析】利用两式作差1122n n n a a ---=，代入求出1n b n =+，再利用裂项相消法求出和即可． 【详解】解：当2n ≥时，1112n n n a S ---+=，则()1111222n n n n n n n a a S S -----+-=-=，即1122n n n a a ---=，则12log 21n n b n +==+，从而1111n nb n n =-+， 故129911111111129922399100b b b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-1991100100=-=. 故选：C ．【点睛】考查数列的性质，裂项相消法求数列的和，注意式子的灵活变换，属于中档题．11.已知函数()1212log ,18212,x x x f x x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩，，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ）A.2B.12C.4D.3【答案】B 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，结合图像，根据()()()f a f b a b =<，求得,a b 的取值范围.令()()(]2,4t f a f b ==∈，将,a b 用t 表示，由此求得ab 的表达式，进而利用导数求得ab 的最小值.【详解】画出()f x 图像如下图所示，令122log 4x +=，解得14x =.所以1124a b ≤<<≤. 令()()t f a f b ==，由图可知(]2,4t ∈.122log 2bt a =+=， 所以24,log 2t a b t ==.所以()24log 242tt ab t =<≤. 构造函数()()24log 142tt h t t =≤≤（稍微放大t 的范围）.()2'11ln 2log ln ln 2ln 24422t tt t t t h t -⋅-⋅⋅=⋅=⋅. 令()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅，()'2110ln 2m t t t=--<⋅， 所以()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅在[]1,4上递减.而()()()218ln 2110,4ln 24ln 2m m -⋅=>=⋅.由于ln ln ln e <<， 所以1ln 212<<，()21ln 214<<，()228ln 28<⋅<，所以()()218ln 2404ln 2m -⋅=<⋅. ()()140m m ⋅<， 故存在()01,4t ∈，使()00m t =.所以()h t 在[)01,t 上递增，在(]0,4t 上递减.所以对于()24log 242t ty t =<≤来说，最小值只能在区间端点取得. 当2t =时，224log 212=； 当4t =时，244log 4122=. 所以()24log 242t t ab t =<≤的最小值为12. 故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查指数、对数运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FA FC =（ ） A. 54B. 43C. 32D.【答案】B 【解析】 【分析】设出右焦点F 的坐标和渐近线,OA OB 的方程，由点到直线的距离公式求得BF ，结合直角三角形勾股定理和三角函数的定义、两直线的夹角公式，求得,a b 的关系，由此求得,FA FC 的长，进而求得||||FA FC 【详解】双曲线22221x y a b-=的右焦点(),0F c ，渐近线OB 的方程为b y x a =，即0bx ay -=，渐近线OA 的方程为by x a=-，即0bx ay +=.所以bc BF b c ===，OB a ==，43a AB ==. 所以4tan 3AB AOB OB ∠==，而()tan tan tan tan 1tan tan AOF BOFAOB AOF BOF AOF BOF∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠22431b b a a b a--===-， 解得2b a =或12b a =-（舍去）.所以44102333a a a AFb a =+=+=. 在Rt COF ∆中，由射影定理得2OF BF FC =⋅，所以222225522OFc a b a aFC BF b b a +=====， 所以10||435||32aFA a FC ==. 故选：B【点睛】本小题主要考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直角三角形的射影定理、两直线的夹角公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()()2log 21cos xf x ax x a R =-++∈为偶函数，则a =______.【答案】12【解析】 【分析】 根据题意，由函数奇偶性的定义可得()()f x f x -=，即22()log (21)cos()log (21)cos x x a x x ax x ---++-=-++，据此变形分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数2()log (21)cos x f x x x α=-++，其定义域为R ， 若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，则有22()log (21)cos()log (21)cos x x a x x ax x ---++-=-++， 变形可得：222log (21)log (21)x x ax x -=+-+=，必有12a =； 故答案为：12．【点睛】本题考查函数的性质以及判断，关键是掌握偶函数的定义，属于基础题．14.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3S ，9S ，6S 成等差数列，256a a +=，则8a =______.【答案】3 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q ，讨论1q =不成立，再由等比数列的求和公式，解方程可得q ，再由等比数列的通项公式，即可得到所求值．【详解】解：由题意可知等比数列的公比1q ≠，否则3S ，9S ，6S 不成等差数列， 于是9362S S S =+， ()91211a q q-∴-()()36111111a q a q qq--=+--，解得63210q q --=，解得312q =-或31q =（舍去），又由256a a +=，得88636a a q q +=，解得683166431112q a q ⨯===+-. 故答案为：3【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，注意讨论公比是否为1，同时考查等差数列中项的性质，以及方程思想和运算能力，属于中档题．15.若()()()2sin 20f x x ϕϕ=+>的图象关于直线12x π=对称，且当ϕ取最小值时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是______.【答案】(2⎤⎦ 【解析】 【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的定义域的应用求出结果． 【详解】解：∵函数()()()2sin 20f x x ϕω=+>的图象关于直线12x π=对称，62k ππϕπ+=+，()3k k Z πϕπ=+∈，当ϕ取最小值是3πϕ=，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴042,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 223x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即a的取值范围是(2⎤⎦.故答案为：(3,2⎤-⎦【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16.在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为______. 【答案】811 【解析】 【分析】推导出PB BC ⊥，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ，则AD BC ⊥，AE PC ⊥，DE BC ⊥，推导出AE DE ⊥，从而AE ⊥平面PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13P ABC A PBC PBC V P S AE --∆==g g ，由此能求出结果．【详解】解：Q 在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，222PB BC PC ∴+=，PB BC ∴⊥，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ， 则AD BC ⊥，AE PC ⊥，DE BC ⊥，且36933AD =-=，4DE =，362511AE =-=，222AE DE AD ∴+=，AE DE \^，PC DE E =Q I ，PC ⊂平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，AE ∴⊥平面PBC ，∴四面体P ABC -的体积为：11111861181133232P ABC A PBC PBC V P S AE PB BC AE --∆===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=g g ．故答案为：811．【点睛】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+. （1）求角C 的值；（2）若26a b +=，且ABC ∆ABC ∆的周长.【答案】（1）3π；（2）6或5+【解析】 【分析】（1）结合三角形内角和及诱导公式对已知进行化简可求cos C ，进而可求C ，（2）由已知，结合三角形的面积公式可求，a ，b 然后结合C 的值及余弦定理可求c ，进而可求周长． 【详解】（1）因为()()sin sin a A B C c B C +-=+由正弦定理得()()sin sin 2sin sin sin sin A C C A C A ππ-=-=， 因为sin 0A ≠，所以()sin 2sin C C π-=， 即sin 22sin cos sin C C C C ==. 因为sin 0C ≠，所以1cos 2C =， 因为0C π<<，所以3C π=.（2）由1sin 2ABC S ab C ∆==4ab =. 因为26a b +=，所以426a a+=，解得1a =或2.当1a =时，4b =，由余弦定理得2222cos 13c a b ab C =+-=，c =，所以周长为5+当2a =时，2b =，由余弦定理得2222cos 4c a b ab C =+-=，2c =，所以周长为6.综上，ABC ∆的周长为6或5【点睛】本题主要考查了三角形的内角和及诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题．18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =，1AB B C ⊥.（1）求证：AO ⊥平面11BB C C ；（2）设160B BC ∠=︒，若直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为45︒，求二面角111A B C B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）55-【解析】 【分析】）（1）利用1B C ⊥平面1ABC 可证得1B C AO ⊥，利用三线合一可证得1AO BC ⊥，进而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形11BB C C 是菱形，∴11B C BC ⊥， ∵1AB B C ⊥，1AB BC B =I ，1BC ⊂平面1ABC ，AB Ì平面1ABC ， ∴1B C ⊥平面1ABC ，AO ⊂Q 平面1ABC ，∴1B C AO ⊥，又∵1AB AC =，O 是1BC 的中点，∴1AO BC ⊥，又∵11B C BC O =I ，1B C ⊂平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ， ∴AO ⊥平面11BB C C . （2）∵11//AB A B ，∴直线11A B 与平面11BB C C 所成的角等于直线AB 与平面11BB C C 所成的角.∵AO ⊥平面11BB C C ，∴直线AB 与平面11BB C C 所成的角即为ABO ∠， 即45ABO ∠=︒.不妨设菱形11BB C C 的边长为2，则在等边三角形1BB C 中3BO =，11CO B O ==，在Rt ABO ∆中，3AO BO ==，以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则()10,1,0B ，()0,1,0C -，()13,1,3A -，()13,0,0C -，()113,0,3A B =-u u u u r ，()113,1,0B C =--u u u u r，设平面111A B C 的一个法向量为()1,,n x y z =u r，则11111133030n A B x z n B C x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩u v u u u u v u v u u u u v ，可得()11,3,1n =-u r ， 而平面11BB C C 的一个法向量为()20,0,1n =u u r，则112122cos ,55n n n n n n ⋅===u r u u r u r u u r u r u u r， ∴二面角111A B C B --的余弦值的大小为5-.【点睛】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.已知椭图1C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点与抛物线2C ：()220y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为12，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为42（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）过点()4,0A -的直线l 与椭圆1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论.【答案】（1）22143x y +=， 28y x =；（2）是，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出a ，b ，即可得到椭圆方程抛物线方程；（2）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，1(E x ，1)y -，求得直线EN 的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点． 【详解】解：（1）设椭圆1C 的半焦距为c ，依题意，可得2p a =，则2C ：24y ax =， 代入x c =，得24y ac =，即y =±=则有222212ac c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，2,a b ∴==所以椭圆1C 的方程为22143x y +=，抛物线2C 的方程为28y x =.（2）依题意，当直线l 的斜率不为0时，设其方程为4x ty =-，联立2243412x ty x y =-⎧⎨+=⎩，得()223424360t y ty +-+=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,E x y -，由>0∆，解得2t <-或2t >， 且1222434ty y t +=+，1223634y y t =+， 根据椭圆的对称性可知，若直线EN 过定点，此定点必在x 轴上，设此定点为(),0Q m ， 因斜率NQ EQ k k =，得2121y y x m x m-=--，即()()12210x m y x m y -+-=，即()()1221440ty m y ty m y --+--=，即()()1212240ty y m y y -++=，即()2236242403434tt m t t ⋅-+⋅=++，得()()3410m t m t --=--=， 由t 的任意性可知1m =-.当直线l 的斜率为0时，直线EN 的方程即为0y =，也经过点()1,0Q -， 所以当2t <-或2t >时，直线EN 恒过一定点()1,0Q -.【点睛】本题考查椭圆以及抛物线的方程和简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．20.某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同. （1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过()*N n n ∈次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）135512；（2）分布列见解析，3334n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量1~(5,)4X B ，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，⋯，n ，1(0)4P ξ==，31(1)44P ξ==⨯，231(2)()44P ξ==g ，⋯，131(1)()44n P n ξ-=-=g ，3()()4n P n ξ==，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【详解】解：（1）因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为14， 用X 表示“抽取的5辆汽车中蓝颜色汽车的个数”，则X 服从二项分布，即15,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:， 所以抽取的5辆汽车中有2辆是蓝颜色汽车的概率32253113544512P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .()104P ξ==，()31314416P ξ==⨯=，()231244P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()131144n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()34nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为：23313131123444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13131444n nn n -⎛⎫⎛⎫++-⨯⋅+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭L ， （1） ()23133131311224444444n E n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()13131444nn n n +⎛⎫⎛⎫+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）（1）-（2）得：231131313131444444444n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()1333114444n n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2313131314444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131314444n n-⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ， 2313333344444n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331443313414nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 所以3334nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．21.已知函数()()()1xxf x ae ea x a R -=--+∈，()f x 既存在极大值，又存在极小值.（1）求实数a 的取值范围；（2）当01a <<时，1x ，2x 分别为()f x 的极大值点和极小值点.且()()120f x kf x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()()0,11,+∞U ；（2）1k ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合函数的单调性确定a 的范围即可；（2）求出函数的极值点，问题转化为11(1)1a lna k a -<++g ，设11()(1))1x g x lnx k x -=-++g ，根据函数的单调性确定k 的范围即可．【详解】解：（1）由()()1xxf x ae ea x -=--+得()()'1x x f x ae e a -=+-+，即()()()1'1xxx f ee x ea -=--，由题意，若()f x 存在极大值和极小值，则()'0f x =必有两个不相等的实数根， 由10x e -=得0x =，所以10x ae -=必有一个非零实数根， ∴0a ≠，1xe a =，∴10a>且11a ≠，∴01a <<或1a >.综上，实数a 的取值范围为()()0,11,+∞U .（2）当01a <<时，由（1）可知()f x 的极大值点为10x =，极小值点为2ln x a =-， 此时()11f x a =-，()()211ln f x a a a =-++，依题意得()()111ln 0a k a a a -+-++>对任意01a <<恒成立， 由于此时()()210f x f x <<，所以k 0<； 所以()()()1ln 11k a a a k +>--，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⎪+⎝⎭， 设()11ln 11x x k x g x -⎛⎫=--⎪+⎝⎭，()0,1x ∈，则()()()()2221121112111'x x k x k x x x g x ⎛⎫+-- ⎪⎛⎫⎝⎭=--= ⎪⎝⎭++()22211x x k x x ++=+，令()2210*x x k ++=，判别式244k∆=-. ①当1k ≤-时，0∆≤，所以()'0g x ≥，()g x 在()0,1单调递增，所以()()10g x g <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<- ⎪+⎝⎭，符合题意； ②当10k -<<时，>0∆，设()*的两根为3x ，4x ，且34x x <， 则3420x x k+=->，341x x =，因此3401x x <<<，则当31x x <<时，()'0g x <，()g x 在()3,1x 单调递减， 所以当31x a <<时，()()10g a g >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭， 所以()()120f x kf x +<，矛盾，不合题意； 综上，k 的取值范围是1k ≤-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为x t y kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为3x mmy k ⎧=⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C . （1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭点Q 为曲线1C 上的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最大值.【答案】（1）()22103x y y +=≠；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程.1l：(y k x =， 2l：)13y x k=，两式相乘消k 可得2213x y +=，因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠.（2）直线2C 的直角坐标方程为60x y +-=， 由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点.由于1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，k απ≠，k Z ∈），所以曲线1C上的点),sin Qαα到直线60x y +-=的距离为d ==所以当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d的最大值为【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．选修4-5：不等式选讲23.已知函数()1f x x =-.（1）求不等式()32f x x ≥-的解集；（2）若函数()()5g x f x x =+-的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证：224a bb a+≥.【答案】（1）{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据()32||f x x -…，可得3131x x -⎧⎨>⎩…或1301x x +⎧⎨⎩…剟或3130x x -+⎧⎨<⎩…，然后解不等式组即可得到解集；（2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最小值，再利用基本不等式求出22a b b a+的最小值即可．【详解】解：（1）当1x ≥时，得41323x x x -≥-⇒≥，∴43x ≥； 当01x <<时，得1322x x x -≥-⇒≥，∴无解； 当0x ≤时，得21323x x x -≥+⇒≤-； 综上，不等式的解集为{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭.（2）∵()()()15154g x x x x x =-+-≥---=，∴4m =，即4a b +=，又由均值不等式有：22a b a b+≥，22b a b a +≥，两式相加得2222a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴224a b a b b a +≥+=. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．。
2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣32．记集合A={x|x﹣a＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，若0∈A∩B，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．[0，+∞）D．（0，+∞）3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱4．二项式（x﹣2）5展开式中x的系数为（）A．5 B．16 C．80 D．﹣805．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）A．a n=（﹣1）n﹣1+1 B．a n=C．a n=2sin D．a n=cos（n﹣1）π+16．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（）A．10种B．60种C．125种D．243种7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18合计20 10 30附表：p（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8．函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间是（）A．[﹣，]B．[﹣2π，﹣]C．[，2π]D．[﹣2π，﹣]和[，2π]9．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（）A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣210．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.911．已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）12．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）经过抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．=_______．14．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于_______．15．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为_______．16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，令F（x）=（x﹣b）f（x﹣b）+2020，若b是a、c的等差中项，则F（a）+F（c）=_______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a1++…+=2n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天）（Ⅱ）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE，CG=DE．（1）证明：面GEF⊥面AEF；（2）求二面角B﹣EG﹣C的余弦值．20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，1）是C1上一点．（1）求椭圆C1的方程；（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣ax（a为常数）有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）设f（x）的两个极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。
2020年湖南省名师联盟高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年湖南省名师联盟高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|−1<2−x ≤1}，B ={x ∈N|−x 2+3x +4>0}，则A ∩B =( )A. {2,3}B. {0,1}C. {1,2，3}D. {1,2}2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 采购经理指数(PMI)，是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用．如图为国家统计局所做的我国2018年1～12月份的采购经理指数(PMI)的折线图，若PMI 指数为50％，则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结论正确的个数为( )①2018年1至12月的PMI 指数逐月减少；②2018年1至12月的PMI 指数的最大值出现在2018年5月份； ③2018年1至12月的PMI 指数的中位数为51.25％；④2018年1月至3月的月PMI 指数相对6月至8月，波动性更大．A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知平面向量a ⃗ =(−2,x)，b ⃗ =(1,√3)，且(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则实数x 的值为( )A. −2√3B. 2√3C. 4√3D. 6√35. 中国将于2017年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是( )A. 13B. 12C. 35D. 236.设α，β是空间两个平面，m，n是空间两条直线，则下列选项不正确的是()A. 当m⊂α时，“n//α”是“m//n”的必要不充分条件B. 当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C. 当n⊥α时，“n⊥β”是“α//β”的充要条件D. 当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件7.函数f(x)=sin(2x+π3)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后关于原点对称，则φ的最小值为()A. 5π6B. π3C. π4D. π68.如图是一个四面体的三视图，则该四面体的表面积为()A. 43B. 8√3C. 4+4√2D. 2+4√2+2√39.函数的图象大致为()A. B.C. D.10.在四面体S−ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为()A. 11πB. 7πC.10π3D.40π311. 函数y =f(x)为偶函数，满足f(x)=f(x −2)，且当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，那么函数y =f(x)的图象与函数y =log 4|x|的图象的交点共有( )A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个12. 已知函数f (x )=3x −x 3的极大值点为a ，极小值为b ，则a +b =( )A. 0B. −1C. 3D. −2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，已知AC =√3，AB =3，B =30°，则BC 的值为____________．14. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，∠A =120°，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，则线段AM 长的最小值为______． 15. (x 2−x +1)10展开式中x 3项的系数为__________．16. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，且a n ·a n +2=a n +1(n ∈N ∗)，则a 2017的值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在平面四边形ABCD 中，AD =1，CD =2，AC =√7．(Ⅰ)求cos∠CAD 的值；(Ⅱ)若cos∠BAD =−√714，sin∠CBA =√216，求BC 的长．18. 为了解某校高二学生寒假日平均数学学习时间情况，现随机抽取500名学生进行调查，由调查结果得如下频率分布直方图．(1)求这500名学生寒假日平均数学学习时间的样本平均数x，中位数(同一组中的数据用该组的中点值做代表)；(2)由直方图认为该校高二学生寒假日平均数学学习时间X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差S2．(ⅰ)利用该正态分布，求P(100<X≤122.8)；(ⅰ)若随机从该校高二学生中抽取200名学生，记ξ表示这200名学生寒假日平均数学学习时间应位于(100,122.8)的人数，利用(ⅰ)的结果，求E(ξ)．附：√130≈11.4，若X～N(μ,σ 2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：(1)B1C//平面FAC1；(2)平面FAC1⊥平面ABB1A1．20. 过圆C ：x 2+y 2=4 上的点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .当M 在C 上运动时，记点P 的轨迹为E ． (1)求E 的方程；(2)过点Q (0,1) 的直线l 与E 交于A ，B 两点，与圆C 交于S ，T 两点，求|AB |⋅|ST | 的取值范围．21. 已知函数f(x)=1−e −xx(x >0)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间； (Ⅱ)求证：f(x)>e −x2(x >0)．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2−35ty =−2+45t(t 为参数).曲线C 2：x 2+y 2−4y =0，以坐标原点为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，若点P 的极坐标为(2√2,−π4). (Ⅰ)求曲线C 2的极坐标方程；(Ⅱ)若C 1与C 2相交于M 、N 两点，求1|PM|+1|PN|的值．23. 已知函数f(x)=|x +a|+|x −1|．(1)当a =2时，求不等式f(x)≤5的解集；(2)若∃x 0∈R ，f(x 0)≤|2a −1|，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 分别求出集合A ，B ，利用交集定义能求出A ∩B ． 解：∵集合A ={x|−1<2−x ≤1}={x|1≤x <3}，B ={x ∈N|−x 2+3x +4>0}={x ∈N|−1<x <4}={0,1，2，3}， ∴A ∩B ={1,2}． 故选D ．2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z =4+i4−i =(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ． 故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：本题考查折线图，属于基础题．根据题意利用折线图逐项分析即可得到结果．解：由折线图可得2018年1至12月的PMI 指数并不是逐月减少的，①错误； 2018年1至12月的PMI 指数的最大值出现在2018年5月份，②正确；2018年1至12月的PMI 指数按从小到大的顺序排列：49.4%，50.0%，50.2%，50.3%，50.8%，51.2%，51.3%，51.3%，51.4%，51.5%，51.5%，51.9%， 中位数为51.2％+51.3％2=51.25％，③正确；2018年1月至3月的月PMI 指数相对6月至8月，波动性更大，④正确； 因此正确的个数为3．故选C．4.答案：B解析：本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．根据题意，由向量坐标计算公式可得a⃗−b⃗ 的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =(−3)×1+(x−√3)×√3=0，解可得x的值，即可得答案．解：根据题意，向量a⃗=(−2,x)，b⃗ =(1,√3)，则a⃗−b⃗ =(−3,x−√3)，又由(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，则(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =(−3)×1+(x−√3)×√3=0，解可得x=2√3，故选：B．5.答案：C解析：本题考查古典概率的计算，考查排列组合的应用，属基础题．解：从5人中随机选取2人共有C52=10种选法，从3人英语翻译，2人俄语翻译中随机选取1个英语翻译，1个俄语翻译共有C31C21=6种选法，故P=610=35，故选C．6.答案：A解析：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．当m⊂α时，“n//α”是“m//n”的不必要不充分条件；当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件；当n⊥α时，“n⊥β”是“α//β”成立的充要条件；当m⊂α时，“n⊥α”⇒“m⊥n”，“m⊥n”⇒“n⊥α”．解：当m⊂α时，“n//α”⇒“m//n或m与n异面”，“m//n”⇒“n//α或n⊂α”，∴当m⊂α时，“n//α”是“m//n”的不必要不充分条件，故A错误；当m⊂α时，“m⊥β”⇒“α⊥β”，“α⊥β”推不出“m⊥β”，∴当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故B正确；当n⊥α时，“n⊥β”⇔“α//β”，∴当n⊥α时，“n⊥β”是“α//β”成立的充要条件，故C正确；当m⊂α时，“n⊥α”⇒“m⊥n”，“m⊥n”⇒“n⊥α”，故D正确．故选A．7.答案：B解析：本题考查了三角函数的图象平移，考查了三角函数的性质，是基础题．利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得φ的最小值．解：∵f(x)=sin(2x+π3)，∴图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y=sin[2(x+φ)+π3 ]=sin(2x+2φ+π3)，∵所得的图象关于原点对称，∴2φ+π3=kπ(k∈Z)，φ>0，则φ的最小正值为π3．故选：B．8.答案：D解析：解：由三视图还原原几何体如图，正方体的棱长AB=2，则该四面体的表面积为Sⅰ12×2×2+2×12×2×2√2+12×2√2×2√2×sin60°=2+4√2+2√3． 故选：D ．由三视图还原原几何体如图，正方体的棱长AB =2，然后由三角形面积公式求解原几何体的表面积． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 9.答案：B解析： 本题考查函数图象的作法，属于较易题.根据函数性质，排除即可．解：因为函数的定义域为(−1,0)∪(0,1)，f(x)=f(−x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A ；又因为f(12)=√32−lg2<0，排除C ；又因为当x →0时，f(x)→0，排除D ；故选B ．10.答案：D解析：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键，属于基础题．求出BC ，利用正弦定理可得△ABC 外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．解：∵AC =2，AB =1，∠BAC =120°，∴BC =√22+12−2×2×1×cos120°=√7，∴三角形ABC 的外接圆半径为r ，2r =√7sin120°，r =√213， ∵SA ⊥平面ABC ，SA =2，由于三角形OSA 为等腰三角形，O 是外接球的球心．则有该三棱锥的外接球的半径R =√12+(√213)2=√103， ∴该三棱锥的外接球的表面积为S =4πR 2=4π×(√103)2=40π3．故选D .11.答案：A解析：解：由f(x)=f(x −2)，得函数f(x)是周期为2的函数，设x ∈[−1,0]，则−x ∈[0,1]，∵当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，∴当−x ∈[0,1]时，f(−x)=(−x)2=x 2，∵y =f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x)=x 2，即当x ∈[−1,1]时，f(x)=x 2，作出函数f(x)=x 2，与y =log 4|x|的图象，当x >0时，设y =g(x)=log 4|x|=log 4x ，则g(3)=log 43<1，f(3)=f(1)=1，g(5)=log 45>1，故当x >0，两个函数有3个交点，根据偶函数的对称性知两个图象的交点个数为6个，故选：A ．根据条件求出函数是周期为2的函数，求出一个周期内的图象，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数交点个数的判断，利用条件判断函数的周期性，利用数形结合是解决本题的关键． 12.答案：B解析：本题考查利用导数研究函数的极值，题目基础．由已知求得当x <−1时，f′(x )<0；当−1<x <1时，f′(x )>0；当x >1时，f′(x )<0是解题的关键．解：因为f(x)=3x −x 3，所以f′(x )=3−3x 2=3(1+x )(1−x )．令f′(x )=0，解得x =1或x =−1．当x <−1时，f′(x )<0；当−1<x <1时，f′(x )>0；当x >1时，f′(x )<0．所以x =−1时f (x )取得极小值f (−1)=−2，故b =−2；x =1时f (x )取得极大值f (1)=2，故a =1．所以a +b =−1．故选B ．13.答案： 2√3或√3解析：本题主要考查余弦定理得应用．解：由余弦定理得，AC 2=AB 2+BC 2−2AB ·BC ·cosB ，即3=9+BC 2−3√3BC ，解得BC = 2√3或√3；故答案为 2√3或√3．14.答案：12解析：解：△ABC 中，点M 是BC 中点，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )；再由∠A =120°，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12， 可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos120°=−12， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1； 又|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2) =14(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2×(−12))≥14(2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−1)=14， ∴|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥12， 即线段AM 的最小值是12．故答案为：12．根据题意表示出向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用基本不等式求出|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最小值，即可得出线段AM 的最小值． 本题主要考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题． 15.答案：−210解析：的展开式的通项公式为T r+1=C 10r (x 2−x)r ，对于(x 2−x )r 通项公式为，令得r =2，m =1或r =3，m =3．(x 2−x +1)10的展开式x 3系数为C 102C 21⋅(−1)+C 103C 33⋅(−1)3=−210．..16.答案：1解析：本题考查数列的递推公式，解题关键是由递推公式得出数列的周期性．解析：解：∵a n ⋅a n+2=a n+1(n ∈N ∗)，由a 1=1，a 2=2，得a 3=2，由a 2=2，a 3=2，得a 4=1，由a 3=2，a 4=1，得a 5=12，由a 4=1,a 5=12，得a 6=12，由a 5=12,a 6=12，得a 7=1，由a 6=12,a 7=1，得a 8=2，由此推理可得数列{a n }是一个周期为6的周期数列，∴a 2017=a 336×6+1=a 1=1．故答案为1．17.答案：解：．(2)∵cos∠BAD =−√714，∴sin∠BAD =√1−7196=3√2114， ∵cos∠CAD =2√77，∴sin∠CAD =√1−47=√217 ， ∴sin∠BAC =sin(∠BAD −∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD −cos∠BADsin∠CAD=3√2114×2√77+√714×√217=√32， ∴由正弦定理知BC sin∠BAC =AC sin∠ABC ，∴BC =AC·sin∠BACsin∠ABC =√7√216×√32=3．解析：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，考查同角三角函数间关系式的应用，考查两角和差公式的应用，考查了学生对基础知识的综合运用．(1)利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD 的值；(2)根据cos∠CAD ，cos∠BAD 的值分别求得sin∠BAD 和sin∠CAD ，进而利用两角和公式求得sin∠BAC 的值，最后利用正弦定理求得BC ．18.答案：解：(1)由频率分布直方图可知，五组的频率分别为0.1，0.24，0.33，0.22，0.11， ∴x =60×0.1+80×0.24+100×0.33+120×0.22+140×0.11=100，前两组的频率之和为0.34，∴中位数为0.5−0.340.33×20+90=99.7，(2) (ⅰ)S 2=402×0.1+202×0.24+02×0.33+202×0.22+402×0.11=520．可知X ～N(100,520)，σ=√520≈22.8，∴P(100<X≤122.8)=1×0.6826=0.3413．2(ⅰ)由题可知ξ～B(200,0.3413)，∴E(ξ)=200×0.3413=68.26．解析：此题考查频率分布直方图、正态分布和二项分布，属于中档题．(1)直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数x和样本中位数；(2)(ⅰ)利用正态分布的对称性即可求得P(100<X≤122.8);(ⅰ)由(ⅰ)知学生假期日平均数学学习时间位于(77.2,122.8)的概率为0.6826，且ξ服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案．19.答案：解：(1)证明：如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，∵F为A1B1的中点，∴C1F//CE，AF//B1E，且C1F∩AF=F，CE∩B1E=E，∴面B1CE//平面FAC1，∵B1C⊂B1CE，∴B1C//平面FAC1(2)证明：直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥面A1C1B1，∵C1F⊂面A1C1B1，∴A1A⊥C1F，∵AC=BC，F为A1B1的中点，∴A1B1⊥C1F，且AA1∩A1B1，∴C1F⊥面AA1C1B1B，C1F⊂面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．解析：(1)如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE//平面FAC1，即B1C//平面FAC1 (2)只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．20.答案：解：(1)设M点坐标(x0,y0)，N点坐标(x0,0)，P点坐标(x,y)，由NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得{x 0=x y 0=3，因为M 在圆C ：x 2+y 2=4上运动，所以点P 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =0，此时|AB|=2√3，|ST|=4，所以|AB|⋅|ST|=8√3．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程组{y =kx +1x 24+y 23=1消去y ，整理得(4k 2+3)x 2+8kx −8=0， 因为点Q(0,1)在椭圆内部，所以直线l 与椭圆恒交于两点，由韦达定理，得x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2所以|AB|=2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，=√1+k 2√(−8k 23+4k 2)2−4×(−83+4k 2)=4√6√1+k 2√2k 2+14k 2+3， 在圆C ：x 2+y 2=4，圆心(0,0)到直线l 的距离为d =√k 2+1，所以|ST|=2√22−d 2=2√4k 2+31+k 2， 所以|AB|⋅|ST|=8√6⋅√2k 2+14k +3=8√3⋅√1−14k +3∈[8√2,8√3).又因为当直线l 的斜率不存在时，|AB|⋅|ST|=8√3，所以|AB|⋅|ST|的取值范围是[8√2,8√3].解析：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及函数单调性的应用，考查转化思想，属于中档题．(1)设P 点坐标，根据向量的坐标求得M 点坐标，代入圆的方程，即可求得E 的方程；(2)分类讨论，当斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及弦长公式即可求得|AB|，利用直线与圆的位置关系求得|ST|，即可表示出|AB|⋅|ST|，即可求得|AB|⋅|ST|的取值范围． 21.答案：解：(Ⅰ)已知函数f(x)=1−e −x x (x >0)， 导函数为f′(x)=1+x−e xx 2e x令ℎ(x)=e x −x −1，ℎ′(x)=e x −1，当x <0时，ℎ′(x)<0；当x >0时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)min =ℎ(0)=0，即e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立．由已知x >0，得e x >x +1，f′(x)<0所以，函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞)(Ⅱ)f(x)>e −x 2(x >0) 等价于e −x +xe −x 2−1<0(x >0)令g(x)=e −x +xe −x 2−1，x >0，g′(x)=−e −x2(e −x2−(−x 2+1))，由(Ⅰ)，易得e −x2>−x 2+1，所以，g′(x)<0 所以，当x >0时，有g(x)<g(0)=0，即e −x +xe −x 2−1<0(x >0)，故f(x)>e −x 2(x >0)解析：(Ⅰ)求出函数的导数，根据导函数函数的单调性求出导函数的最小值，从而求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)问题等价于e −x +xe −x 2−1<0(x >0)，令g(x)=e −x +xe −x2−1，x >0，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题． 22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 2：x 2+y 2−4y =0，由ρ2=x 2+y 2，得：曲线C 2的极坐标方程为：ρ=4sinθ． (Ⅱ)把曲线C 1的参数方程{x =2−35t y =−2+45t(t 为参数)代入曲线C 2：x 2+y 2−4y =0， 得到：(2−3t 5)2+(−2+4t 5)2−4(−2+4t 5)=0，整理得：t 2−44t5+16=0，所以：t 1+t 2=445，t 1t 2=16，∴t 1>0，t 2>0，又点P(2√2,−π4)的直角坐标为(2,−2)；故1|PM|+1|PN|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1||t2|=t1+t2t1t2=1120．故1|PM|+1|PN|的值为1120．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．(Ⅰ)利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系，建立一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果．23.答案：解：(1)当a=2时，f(x)=|x−1|+|x+2|，①当x≤−2时，f(x)=−2x−1≤5，解得−3≤x≤−2；②当−2<x<1时，f(x)=3，显然f(x)≤5成立，所以−2<x<1；③当x≥1时，f(x)=2x+1≤5，解得1≤x≤2；综上所述，不等式的解集为{x|−3≤x≤2}；(2)f(x)=|x+a|+|x−1|≥|(x+a)−(x−1)|=|a+1|，因为∃x0∈R，有f(x0)≤|2a−1|成立，所以只需|a+1|≤|2a−1|，化简得a2−2a≥0，解得a≤0或a≥2，所以a的取值范围是(−∞,0]∪[2,+∞)．解析：本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．(1)分3段去绝对值解不等式，再相并；(2)先用绝对值不等式的性质求出f(x)的最小值，再将问题转化为f(x)min≤|2a−1|解不等式可得．。
【2020精品高考提分卷】长沙市高三一模数学试卷
2020届高三一模数学试卷（理科）一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共12个小题,每小题5分,共60分)1.已知集合A={x|x>a},B={x|x 2-4x+3≤0},若A∩B=B,则实数a 的取值范围是（ ） A.a>3 B.a≥3 C.a≤1 D.a<12.复数25-i 的共轭复数是（ ） A.2+i B.-2+i C.-2-i D.2-i3.右图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标,是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的,在我国最早的数学著作《周髀算经》有详细的记载.若图中大正方形ABCD 的边长为5,小正方形的边长为2,现作出小正方形的内切圆,向大正方形所在区域模拟随机投掷n 个点,有m 个点落在中间的圆内,由此可估计π的近似值为（ ） A.n m 425 B.n m 4 C.n m254 D.nm 254.已知a,b ∈R 且a,b 都不为0(i=1,2),则“11b a =22b a ”是“关于x 的不等式a 1x -b 1>0 与a 2x -b 2>0同解”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（ ） A.51260+ B.51256+ C.5630+ D.5628+6.阅读如图所示的程序框图,若输入的k=10,则该算法的功能是（ ） A.计算数列{12-n }的前10项和 B.计算数列{12-n }的前9项和C.计算数列{n 2-1}的前10项和D.计算数列{n2-1}的前9项和7.函数)(x f =A sin(2x+ϕ)(|ϕ|≤2π)的部分图象如图所示,对不同的x 1,x 2∈[a,b],若 )()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ,则（ ）A.)(x f 在（125π-，12π）上是减函数 B. )(x f 在（3π，65π）上是减函数 C. )(x f 在（125π-，12π）上是增函数 D. )(x f 在（3π，65π）上是增函数 8.如图,直线l 为双曲线C ：22a x -22b y =1(a>0,b>0)的一条渐近线,F 1,F 2是双曲线C 的左、右焦点，F 1关于直线l 的对称点为F 1′,且F 1′是以F 2为圆心,以半焦距c 为半径的圆上的一点,则双曲线C 的离心率为（ ） A.2 B.3 C.2 D.39.已知定义在R 上的偶函数)(x f =e |x -k|-cos x(其中e 为自然对数的底数),记a=f(0.32),b=f(20.3),c=f(k+log 32),则a,b,c 的大小关系是（ ） A.a<c<b B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c10.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第1行为1,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,如图所示,在宝塔形数表中位于第i 行,第j 列的数记为a i,j ,比如a 3,2=9,a 4,2=15,a 5,4=23,若a i,j =2019,则i+j=（ ） A.72 B.71 C.66 D.6511.已知F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,E 为其准线与x 轴的交点,过F 的直线交抛物线C 于A,B 两点,M 为线段AB 的中点,且|ME|=11,则|AB|=（ ） A.6 B.33 C.8 D.912.已知函数u(x)=(2e -1)x -m,v(x)=ln(x+m)-lnx,若存在m,使得关于x 的方程2a·u(x)·v(x)=x 有解,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围是（ ） A.(-∞,0)⋃(e 21,+∞) B.(-∞,0) C.(0,e 21) D.(-∞,0)⋃[e21,+∞)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13.已知向量a=(1,3),向量a,c 的夹角是3,a·c=2,则|c|等于 . 14.设x,y 满足约束条件 则z=x -2y 的最小值为 .15.若(x x 2+)n 的展开式中各项的系数之和为81,且常数项为a,则直线y=x a 6与曲线y=2x 所围成的封闭区域的面积为 .16.已知点P,A,B,C 均在表面积为81π的球面上,其中PA ⊥平面ABC,∠BAC=30°AC=3AB,则三棱锥P—ABC 的体积的最大值为 .三、解答题（本大题共6个小题，第17、18、19、20、21题为必做题，每小题12分；第22、23题为选做题，每小题10分，共70分。
2020届湖南省长沙市雅礼中学高三高考数学理模拟一试题A卷解析版
2020届湖南省长沙市雅礼中学高三高考数学（理）模拟（一）试题（A 卷）一、单选题1．若复数z 的共轭复数z 满足：31i z =+，则复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】根据虚数单位的幂的运算化简后，根据共轭复数的概念写出z 的结果，进而判定对应点所在的象限. 【详解】1i 1i z z =-⇒=+，故z 对应的点在第一象限.故选:A . 【点睛】本题考查虚数单位的幂的运算，共轭复数的概念，复数的几何意义，属基础题. 2．已知集合2{|log (1)1}P x x =-<，2|1Q x x ⎧<=⎫⎨⎬⎩⎭，则()R P Q ⋂等于（ ） A ．(1，2] B ．[0，2]C ．(1,2)D ．(0，3]【答案】A【解析】化简集合,P Q ，求出Q 的补集，再结合交集的定义求解结论即可． 【详解】2{|log (1)1}{|012}(1P x x x x =-<=<-<=，3)， 2|1(Q x x ⎧⎫=<=-∞⎨⎬⎩⎭，0)(2⋃，)+∞，故[0RQ =，2]；故()(1R P Q ⋂=，2]． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查了对数函数的定义域以及分式不等式的求解，比较基础．3．某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A点表示P产品2月份销售额约为20万元，B点表示Q产品9月份销售额约为25万元.根据图中信息，下面统计结论错误．．的是（）A．P产品的销售额极差较大B．P产品销售额的中位数较大C．Q产品的销售额平均值较大D．Q产品的销售额波动较小【答案】B【解析】由图示中P产品的销售额的波动较大，Q产品的销售额的波动较小，再根据极差、中位数、平均值的概念，可得选项.【详解】据图求可以看出，P产品的销售额的波动较大，Q产品的销售额的波动较小，并且Q产品的销售额只有两个月的销售额比25万元稍小，其余都在25万元至30万元之间，所以P产品的销售额的极差较大，中位数较小，Q产品的销售的平均值较大，销售的波动较小，故选：B.【点睛】本题考查识别统计图的能力，会根据图示得出其数字特征的大小关系，属于基础题. 4．《九章算术 衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（）A．甲付的税钱最多B．乙、丙两人付的税钱超过甲C．乙应出的税钱约为32D．丙付的税钱最少【答案】B【解析】通过阅读可以知道,A D说法的正确性,通过计算可以知道,B C说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。
【数学】湖南省长沙市2020届高三统一模拟考试理科数学试卷有答案
（8分）
（9分） （10分） （11分）
∴二面角 A1− B1C1 − B 的余弦值的大小为 −
5. 5
（12分）
19.（本小题满分 12 分）
解析：（Ⅰ）设椭圆 C1 的半焦距为 c
，依题意，可得 a
=
p 2
，则 C2
:
y2
= 4ax ，（1
分）
代入 x = c ，得 y2 = 4ac ，即 y = ±2 ac ，所以 4 ac = 4 2 ，
解得 x
⎛ A⎜
⎝
a2c a2 − b2
,
−abc a2 − b2
⎞ ⎟ ，由 ⎠
OA
=
5a得 3
⎛ ⎜ ⎝
a2c a2 − b2
⎞2 ⎟ ⎠
+
⎛ ⎜⎝
−abc a2 − b2
⎞2 ⎟⎠
=
25 9
a2
，
( ) ( ) 化简得 a2 − 4b2 4a2 − b2 = 0 ，解得 b = 1 或 b = 2 .由于 C 位于 A, B 之间，故 b = 1
第 17～21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17．（本小题满分 12 分）
解析：（Ⅰ）由正弦定理得 sin Asin(π − 2C) = sin C sin(π − A) = sin C sin A ， （1 分）
因为 sin A ≠ 0 ，所以 sin(π − 2C) = sin C ，
当 a =1 时， b = 4 ，由余弦定理得 c2 = a2 + b2 − 2ab cos C = 13, c = 13 ，
2020年湖南省长沙市明德中学高考(理科)数学模拟试卷 Word解析版
2020年高考（理科）数学模拟试卷一、选择题.1．设集合A={x|y=√1−x}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．（﹣1，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，2）2．已知复数z满足z−z=0，且z•z=4，则z＝（）A．2B．2i C．±2D．±2i3．下列说法正确的是（）A．“若α=π6，则sinα=12”的否命题是“若α=π6，则sinα≠12”B．若命题p，￢q均为真命题，则命题p∧q为真命题C．命题p：“∃x0∈R，x02−x0−5＞0”的否定为￢p：“∀x∈R，x2﹣x﹣5≤0”D．在△ABC中，“C=π2”是“sin A＝cos B”的充要条件4．已知向量a→、b→满足|a→|=1，|b→|=2，|2a→+b→|=√3|2a→−b→|，则a→与b→夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°5．已知cos（α+π6）=√33，则sin（2α−π6）的值为（）A．2√23B．13C．−13D．−2√226．已知函数f（x）=1x−lnx−1，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．7．如果将函数y=√5sinx+√5cos x的图象向右平移θ(0＜θ＜π2)个单位得到函数y＝3sin x+a cos x（a＜0）的图象，则tanθ的值为（）A ．2B ．12C ．13D ．38．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种A ．A 62A 72B ．A 43A 72C ．A 33A 62A 72D ．A 43A 66A 729．已知△ABC 外接圆的半径R ＝2，且2√3cos 2A2=sinA ，则△ABC 周长的取值范围为（ ） A ．(2√3，4] B ．(4，4√3] C ．(4√3，4+2√3] D ．(4+2√3，6√3]10．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为√3a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√52B ．2√33C ．2D ．√511．已知f '（x ）是函数f （x ）的导函数，且对任意的实数x 都有f '（x ）＝e x （2x +1）+f （x ），f （0）＝﹣2，则不等式f （x ）＜4e x 的解集为（ ） A ．（﹣2，3）B ．（﹣3，2）C ．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）12．在三棱锥S ﹣ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，SA =SC =2√2，二面角S ﹣AC ﹣B 的余弦值是−√33，若S ，A ，B ，C 都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．6πB ．8πC ．12πD ．18π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设随机变量ξ～N （3，δ2），若P （ξ≥7）＝0.16，则P （﹣1≤ξ≤7）＝ ． 14．向曲线x 2+y 2＝|x |+|y |所围成的区域内任投一点，这点正好落在y ＝1﹣x 2与两坐标轴非负半轴所围成区域内的概率为 ．15．过直线l ：x +y ＝3上任一点P 向圆C ：x 2+y 2＝1作两条切线，切点分别为A ，B ，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为 ．16．定义在实数集R 上的偶函数f （x ）满足f(x +2)=2+√4f(x)−f 2(x)，则f （2021）＝ ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＝1，且S 20202020−S 20172017=3．数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足T n ＝2﹣b n （n ∈N *）． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{a nb n2}的前n 项和S n ′． 18．如图，三棱锥P ﹣ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ＝PB ，∠APB ＝∠ACB ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，PB 的中点，点G 是△BCE 的重心． （1）证明：GF ∥平面PAC ；（2）若GF 与平面ABC 所成的角为60°，求二面角B ﹣AP ﹣C 的余弦值．19．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x ．将指标x 按照[0，0.2），[0.2，0.4），[0.4，0.6），[0.6，0.8），[0.8，1.0]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．规定若0≤x ＜0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当0≤x ＜0.2时，认定该户为“亟待帮住户”．工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种．（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平不好总计 绝对贫困户 2 相对贫困户 52 总计100（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[0，0.4）的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望EX ．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 k 02.0722.7063.8415.02420．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点M （0，√2）在椭圆C 上，焦点为F 1，F 2，圆O 的直径为F 1F 2． （Ⅰ）求椭圆C 及圆O 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．记△OAB 的面积为S ，证明：S ＜√3．21．已知函数f （x ）＝1+x ﹣2sin x ，x ＞0． （1）求f （x ）的最小值； （2）证明：f （x ）＞e﹣2x．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√6sinαy =√6cosα（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=2．（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A，B两点，若|PA|+|PB|= 4√3，求直线m的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x+1|+|x﹣m|（m＞﹣1）．（Ⅰ）若m＝3，求不等式f（x）＞7的解集；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）＜2成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个是正确的.1．设集合A ={x|y =√1−x}，B ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，2）B ．（﹣1，1]C ．（﹣1，1）D ．（﹣1，2）【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 解：∵集合A ={x|y =√1−x}={x |x ≤1}， B ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}＝{x |﹣1＜x ＜2}， ∴A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤1}＝（﹣1，1]． 故选：B ．2．已知复数z 满足z −z =0，且z •z =4，则z ＝（ ） A ．2B ．2iC ．±2D ．±2i【分析】设z ＝a +bi ，（a ，b ∈R ），由已知得关于a ，b 的方程组，求解a ，b 的值，则答案可求．解：设z ＝a +bi ，（a ，b ∈R ）， 由z −z =0，z ⋅z =4，得{a 2+b 2=4b =0， 即a ＝±2，b ＝0． ∴z ＝±2． 故选：C ．3．下列说法正确的是（ ）A ．“若α=π6，则sinα=12”的否命题是“若α=π6，则sinα≠12” B ．若命题p ，￢q 均为真命题，则命题p ∧q 为真命题C ．命题p ：“∃x 0∈R ，x 02−x 0−5＞0”的否定为￢p ：“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣5≤0”D ．在△ABC 中，“C =π2”是“sin A ＝cos B ”的充要条件【分析】写出否命题判断A 的正误；利用复合命题的真假判断B 的正误；命题的否定形式判断C 的正误；充要条件判断D 的正误；解：“若α=π6，则sinα=12”的否命题是“若α≠π6，则sinα≠12”，所以A 不正确； 若命题p ，￢q 均为真命题，则q 是假命题，所以命题p ∧q 为假命题，所以B 不正确；命题p ：“∃x 0∈R ，x 02−x 0−5＞0”的否定为￢p ：“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣5≤0”，所以C正确；在△ABC 中，“C =π2”⇔“A +B =π2”⇔“A =π2−B ”⇒sin A ＝cos B ， 反之sin A ＝cos B ，A +B =π2，或A =π2+B ，“C =π2”不一定成立， ∴C =π2是sin A ＝cos B 成立的充分不必要条件，所以D 不正确． 故选：C ．4．已知向量a →、b →满足|a →|=1，|b →|=2，|2a →+b →|=√3|2a →−b →|，则a →与b →夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【分析】根据|a →|=1，|b →|=2对|2a →+b →|=√3|2a →−b →|两边平方，进行数量积的运算即可求出a →⋅b →的值，从而可得出cos ＜a →，b →＞的值，根据向量夹角的范围即可求出夹角． 解：|a →|=1，|b →|=2，|2a →+b →|=√3|2a →−b →|， ∴(2a →+b →)2=3(2a →−b →)2，∴4a →2+4a →⋅b →+b →2=12a →2−12a →⋅b →+3b →2， ∴4a →2−8a →⋅b →+b →2=0，即4−8a →⋅b →+4=0， ∴a →⋅b →=1，∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=12，且0°≤＜a →，b →＞≤180°，∴＜a →，b →＞=60°． 故选：B ．5．已知cos （α+π6）=√33，则sin （2α−π6）的值为（ ）A ．2√23B ．13C ．−13D ．−2√22【分析】用已知角表示未知角，再结合二倍角公式即可求得sin （2α−π6）的值．解：∵cos（α+π6）=√33，则sin（2α−π6）＝﹣sin（5π6+2α）＝﹣sin[（2α+π3）+π2]＝﹣cos （2α+π3）＝1﹣2cos2(α+π6)=1−23=13，故选：B．6．已知函数f（x）=1x−lnx−1，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．解：令g（x）＝x﹣lnx﹣1，则g′(x)=1−1x=x−1x，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x＝1时，函数g（x）有最小值，g（x）min＝g（0）＝0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．7．如果将函数y=√5sinx+√5cos x的图象向右平移θ(0＜θ＜π2)个单位得到函数y＝3sin x+a cos x（a＜0）的图象，则tanθ的值为（）A．2B．12C．13D．3【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=√10sin(x+π4−θ)与y=√9+a2sin（x+φ）表示同一函数，求出a和θ，可得tan θ的值．解：函数y =√5sinx +√5cosx =√10（sin x •√22+√22cos x ）=√10sin （x +π4），将其图象向右平移θ个单位后，得到函数y =√10sin(x +π4−θ)的图象． 将函数y ＝3sin x +a cos x ，化为y =√9+a 2sin （x +φ），其中tanφ=a3， ∵y =√10sin(x +π4−θ)与y =√9+a 2sin （x +φ） 表示同一函数，∴√a 2+9=√10，又a ＜0，∴a ＝﹣1，此时tanφ=−13，且π4−θ+2kπ=φ，k ∈Z ，∴θ=π4−φ+2kπ，k ∈Z ，∴tanθ=tan(π4−φ)=1−tanφ1+tanφ=2， 故选：A ．8．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种A ．A 62A 72B ．A 43A 72C ．A 33A 62A 72D ．A 43A 66A 72【分析】根据题意，分3步进行分析：①，将4名男生分成1、3的两组，②，将6名女生全排列，排好后有7个空位，③，将分好的2组安排到7个空位中，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分3步进行分析：①，将4名男生分成1、3的两组，有C 43＝4种分组方法，其中三人组三人之间的顺序有A 33种，②，将6名女生全排列，有A 66种情况，排好后有7个空位， ③，将分好的2组安排到7个空位中，有A 72种情况， 则不同的排法有C 43A 33A 66A 72＝A 43A 66A 72种， 故选：D ．9．已知△ABC 外接圆的半径R ＝2，且2√3cos 2A2=sinA ，则△ABC 周长的取值范围为（ ） A ．(2√3，4]B ．(4，4√3]C ．(4√3，4+2√3]D ．(4+2√3，6√3]【分析】由题意求出A 的值，再利用余弦定理与基本不等式，求出b +c 的取值范围，从而求得△ABC 周长的取值范围．解：由题意知，2cos 2A 2−1=√33sinA −1，即cosA −√33sinA =−1，可化为2√3sin(A −π3)=3，即sin(A −π3)=√32；因为0＜A ＜π，所以A −π3=π3， 即A =2π3； 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 由余弦定理得，12＝b 2+c 2+bc ；又因为b 2+c 2≥2bc （当且仅当b ＝c 时取“＝”）， 所以12＝b 2+c 2+bc ≥3bc ，即bc ≤4； 又因为12＝b 2+c 2+bc ＝（b +c ）2﹣bc ， 所以bc ＝（b +c ）2﹣12≤4，解得b +c ≤4，则a +b +c ≤4+2√3； 又因为b +c ＞a ，所以a +b +c ＞2a =4√3， 即4√3＜a +b +c ≤4+2√3；所以△ABC 周长的取值范围是(4√3，4+2√3]． 故选：C ． 10．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为√3a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√52B ．2√33C ．2D ．√5【分析】连接AF 1，BF 1得四边形AF 2BF 1为平行四边形，由∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为√3a 2，可得|BF 1|，|BF 2|的值，在三角形F 1F 2B 中，由余弦定理可得a ，c 的关系，进而求出离心率．解：根据题意，连接AF 1，BF 1得四边形AF 2BF 1为平行四边形，几何关系如图所示．设|AF 2|＝x ，则|BF 1|＝x ，|BF 2|＝x +2a ，△ABF 2的面积为√3a 2，∠AF 2B ＝60°，则由三角形面积公式可得√3a 2=12⋅x ⋅(x +2a)⋅√32，化简得x 2+2ax ﹣4a 2＝0，解得x1=(√5−1)a，x2=(−√5−1)a（舍），所以|BF2|=(√5+1)a，在△BF1F2中，|F1F2|＝2c，由余弦定理可得|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2−2|BF1|⋅|BF2|cos120°，即(2c)2=(√5−1)2a2+(√5+1)2a2−2(√5−1)a⋅(√5+1)acos120°，化简可得c2＝4a2，则双曲线的离心率为2，故选：C．11．已知f'（x）是函数f（x）的导函数，且对任意的实数x都有f'（x）＝e x（2x+1）+f（x），f（0）＝﹣2，则不等式f（x）＜4e x的解集为（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）【分析】用已知条件构造新函数G(x)=f(x)e x，对G（x）求导变成一元二次函数，然后解不等式即可．解：令G(x)=f(x)e x，则G′(x)=f′(x)−f(x)e x=2x+1，可设G（x）＝x2+x+c，∵G（0）＝f（0）＝﹣2，∴c＝﹣2，所以G(x)=f(x)e x=x2+x−2，解不等式f（x）＜4e x，即f(x)e x＜4，所以x2+x﹣2＜4，解得﹣3＜x＜2，所以不等式的解集为（﹣3，2），故选：B．12．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA=SC=2√2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是−√33，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．6πB．8πC．12πD．18π【分析】取AC的中点D，连接SD，BD．说明∠SDB即为二面角S﹣AC﹣B的平面角，在Rt△SDC中，求出BD，求出SB，判断点E为该球的球心，求出半径为√3，然后求解球的表面积．解：取AC的中点D，连接SD，BD．因为SA＝SC，AB＝BC，所以SD⊥AC，BD⊥AC，可得∠SDB即为二面角S﹣AC﹣B的平面角，故cos∠SDB=−√33．在Rt△SDC中，SD=√SC2−CD2=√6，同理可得BD=√2，由余弦定理得cos∠SDB=−√33，解得SB=√12．在△SCB中，SC2+CB2=8+4=(√12)2=SB2，所以△SCB为直角三角形，同理可得△SAB为直角三角形，取SB中点E，则SE=EB=√3，在Rt△SCB与Rt△SAB中，EA=SB2=√3，EC=SB2=√3，所以点E为该球的球心，半径为√3，所以球的表面积为S=4×π×(√3)2=12π．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设随机变量ξ～N（3，δ2），若P（ξ≥7）＝0.16，则P（﹣1≤ξ≤7）＝0.68．【分析】利用正态曲线的对称性可知P（ξ≤﹣1）＝P（ξ≥7）＝0.16，故P（﹣1≤ξ≤7）可求．解：因为随机变量ξ～N（3，δ2），且P（ξ≥7）＝0.16，∴P（ξ≤﹣1）＝P（ξ≥7）＝0.16，∴P（﹣1≤ξ≤7）＝1﹣2P（ξ≥7）＝1﹣2×0.16＝0.68．故答案为：0.68．14．向曲线x2+y2＝|x|+|y|所围成的区域内任投一点，这点正好落在y＝1﹣x2与两坐标轴非负半轴所围成区域内的概率为26+3π．【分析】由方程x2+y2＝|x|+|y|可画出其围成的区域，并求出面积，再利用定积分求出y ＝1﹣x2与两坐标轴非负半轴所围成区域的面积，进而求概率．解：因为x2+y2＝|x|+|y|所围成的区域如下图所示的四个圆弧围成的图形，其面积S=√2×√2+2×(√22)2×π=2+π，y＝1﹣x2与两坐标轴非负半轴所围成区域的面积S1=∫10(1−x2)dx=(x−13x3)|01=23，所以概率P=S1S=232+π=26+3π．故答案是：26+3π．15．过直线l：x+y＝3上任一点P向圆C：x2+y2＝1作两条切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为[7√26，3√22)．【分析】设P（x0，3﹣x0），可得过O、A、P、B的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q的坐标，由点Q到直线的距离公式和不等式的性质可得．解：设点P（x0，3﹣x0），则直线AB的方程为x0x+（3﹣x0）y＝1（注：由圆x2+y2＝r2外一点E（x0，y0）向该圆引两条切线，切点分别为F，G，则直线FG的方程是x0x+y0y=r2），注意到直线AB：x0x+（3﹣x0）y＝1，即x0（x﹣y）+（3y﹣1）＝0，直线x﹣y＝0与3y﹣1＝0的交点为N(13，13)．又OQ→⋅QN→=0，因此点Q的轨迹是以ON为直径的圆（除去原点），其中该圆的圆心C坐标是(16，16)，半径是12|ON|=√26．又线段ON的中点C(16，16)到直线x+y﹣3＝0的距离等于|16+16−3|√2=4√23，因此点Q到直线l的距离的取值范围是[4√23−√26，4√23+√26)=[7√26，3√22)．故答案为：[7√26，3√22)．16．定义在实数集R上的偶函数f（x）满足f(x+2)=2+√4f(x)−f2(x)，则f（2021）＝2+√2．【分析】根据题意，将f(x+2)=2+√4f(x)−f2(x)整理变形可得f2（x+2）﹣4f（x+2）＝﹣[f2（x）﹣4f（x）]﹣4，令g（x）＝f2（x）﹣4f（x），分析可得函数g（x）的周期为4，据此可得g（2021）＝g（4×505+1）＝g（1），结合函数的奇偶性分析可得g （1）的值，进而计算可得答案．解：根据题意，因为f(x+2)=2+√4f(x)−f2(x)，所以f(x+2)−2=√4f(x)−f2(x)，即（f（x+2）﹣2）2＝4f（x）﹣f2（x），即f2（x+2）﹣4f（x+2）＝﹣[f2（x）﹣4f（x）]﹣4，令g（x）＝f2（x）﹣4f（x），则g（x+2）＝﹣g（x）﹣4，即g（x+2）+g（x）＝﹣2，①则有g（x+4）+g（x+2）＝﹣2，②联立①②可得：g（x+4）＝g（x），故函数g（x）是周期为4的周期函数，所以g（2021）＝g（4×505+1）＝g（1），又因为f（x）是偶函数，则g（x）＝f2（x）﹣4f（x）为偶函数，又因为g（1）＝﹣g（﹣1）﹣4，所以g（1）＝﹣2，即f2（2021）﹣4f（2021）＝﹣2，解得f(2021)=2±√2，又f(x+2)=2+√4f(x)−f2(x)≥2，即f（2021）＞2，即f(2021)=2+√2；故答案为：2+√2．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＝1，且S 20202020−S 20172017=3．数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足T n ＝2﹣b n （n ∈N *）． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{a nb n2}的前n 项和S n ′． 【分析】（1）设数列{a n }的公差为d ，因为S nn=na 1+n(n−1)2d n=a 1+(n −1)d2，可得数列{Sn n }为一个等差数列，可得d ，S n ．n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，n ＝1时，可得a 1．数列{b n }对任意正整数n 满足T n ＝2﹣b n ．当n ＝1时，b 1＝T 1＝2﹣b 1，解得b 1；当n ＞1时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1，可得b n ． （2）由（1）知a nb n 2=2n−12n，利用错位相减法即可得出．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，因为S n n=na 1+n(n−1)2d n =a 1+(n −1)d2，所以{Sn n }为一个等差数列，所以S 20202020−S 20172017=3d 2=3，所以d ＝2，故S n n =n ，所以S n =n 2．n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n ﹣1，n ＝1时也满足，故a n ＝2n﹣1．数列{b n }对任意正整数n 满足T n ＝2﹣b n ． 当n ＝1时，b 1＝T 1＝2﹣b 1，解得b 1＝1；当n ＞1时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1＝（2﹣b n ）﹣（2﹣b n ﹣1）＝b n ﹣1﹣b n ， 所以b n =12b n−1(n ≥2)．所以{b n }是以首项b 1＝1，公比q =12的等比数列，故数列{b n }的通项公式为b n =(12)n−1． （2）由（1）知a n b n 2=2n−12，所以S n ′=12+322+523+⋯+2n−32n−1+2n−12n ，① 所以12S n ′=122+323+⋯+2n−32n +2n−12n+1，②①﹣②，得12S n′=12+22+22+⋯+22−2n−12=12+(12+12+⋯+12)−2n−12=12+12[1−(12)n−1]1−12−2n−12=12+1−(12)n−1−2n−12，所以S n ′=3−2n+32n ．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是△BCE的重心．（1）证明：GF∥平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【分析】（1）连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，推导出DE∥AC，EF∥AP，从而DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，进而平面EFG∥平面PAC，由此能证明GF∥平面PAC．（2）连结PE，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣C的余弦值．解：（1）证明：连结EF，连结EG并延长，交BC于点D由点D是BC的中点，∴D，E，F分别是棱CB，AB，PB的中点，∴DE∥AC，EF∥AP，∵DE，EF⊄平面PAC，AC，AP⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，∵DE，EF⊂平面EFG，DE∩EF＝E，∴平面EFG∥平面PAC，∵GF⊂平面EFG，∴GF∥平面PAC．（2）解：连结PE，∵PA＝PB，E是AB的中点，∴PE⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE⊂平面PAB，∴PE⊥平面ABC，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，∴OF⊥平面ABC，∴∠FGO是GF与平面ABC所成角，∴∠FGO＝60°，在Rt△FGO中，设GF＝2，则OG＝1，OF=√3，∴OC＝3，PE＝2√3，∴AB＝4√3，CE＝2√3，OE=√3，∴OE 2+OC 2＝CE 2，∴OC ⊥AB ，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A （0，﹣3√3，0），C （3，0，0），P （0，−√3，2√3）， AC →=（3，3√3，0），AP →=（0，2√3，2√3）， 设平面PAC 的一个法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AP →=3x +3√3y =0n →⋅AC →=2√3y +2√3z =0，取z ＝1，得n →=（√3，−1，1）， 平面PAB 的法向量m →=（1，0，0）， 设二面角B ﹣AP ﹣C 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√35=√155， ∴二面角B ﹣AP ﹣C 的余弦值为√155．19．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x ．将指标x 按照[0，0.2），[0.2，0.4），[0.4，0.6），[0.6，0.8），[0.8，1.0]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．规定若0≤x ＜0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当0≤x ＜0.2时，认定该户为“亟待帮住户”．工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种．（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平不好总计绝对贫困户 2 相对贫困户 52 总计100（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[0，0.4）的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望EX ．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 k 02.0722.7063.8415.024【分析】（1）由频率分布直方图可得0≤x ＜0.6的概率，进而求出表中的所有的值； 再求出k 2的值进而判断出有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关； （2）由题意求出贫困户和亟待帮助户的人数，进而求出随机变量X 的概率及其分布列，求出期望．解：（1）由如图所示的频率分布直方图可得0≤x ＜0.6的概率p 1＝（0.25+0.50+0.75）×0.2＝0.3，所以100户家庭的“绝对贫困户”由100×0.3＝30，由（1）的表可得“受教育水平不好”的由30﹣2＝28，由题意可得“相对贫困户”由100﹣30＝70，由表可得“受教育水平良好的”有70﹣52＝18，所以表的值为下表：；因为k 2=100(2×52−18×28)220×80×70×30=4.762＞3.841，所以有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关；（2）由题意可得100户家庭中由“亟待帮住户”有100×0.25×0.2＝5户， [0，0.4）的贫困户有：100×（0.25+0.5）×0.2＝15， 由题意可得随机变量X 的可能取值为：0，1，2， p （x ＝0）=C 102⋅C 50C 152=37，p （x ＝1）=C 101⋅C 51C 152=1021，p （x ＝2）=C 100⋅C 52C152=221， 所以X 的分布列为：，所以数学期望EX ＝0•37+1⋅1021+2⋅221=23．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点M （0，√2）在椭圆C 上，焦点为F 1，F 2，圆O 的直径为F 1F 2． （Ⅰ）求椭圆C 及圆O 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．记△OAB 的面积为S ，证明：S ＜√3．【分析】第一问根据椭圆的性质以及，a ，b ，c 的关系可以直接求得椭圆标准方程．第二问设出直线方程，A ，B 两点坐标，进而表示出△OAB 的面积S ，得出S 的范围． 解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，e =c a =√32，点M （0，√2）在椭圆C 上，∴b =√2，又a 2＝b 2+c 2，可解得{b 2=2a 2=8c 2=6．所以椭圆C 的方程为x 28+y 22=1．因为焦点在x 轴上，所以椭圆C 的焦点为F 1(−√6，0)，F 2(√6，0)． 所以直径为F 1F 2的圆O 的方程为x 2+y 2＝6．（Ⅱ）由题意知，直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ， 设直线l 的斜截式方程为y ＝kx +m （k ＜0，m ＞0）． 因为直线l 与圆O 相切， 所以点O 到直线l 的距离为d =|m|√1+k=√6．即m 2＝6k 2+6，因为直线l 与椭圆C 相交A ，B 两点，由{y =kx +mx 2+4y 2=8，整理得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣8＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 {x 1x 2=4m 2−81+4k 2x 1+x 2=−8km1+4k 2△＞0．因为△＝（8km ）2﹣4×（1+4k 2）（4m 2﹣8）＝16×（8k 2﹣m 2+2）． 又m 2＝6k 2+6，所以△＝32（k 2﹣2）＞0． 所以k 2＞2． 又因k ＜0， 所以k ＜−√2．∵|AB|=√1+k2|x1−x2|=4√2√1+k2√k2−21+4k2，∴S△OAB=12|AB|⋅d==4√3×√(1+k 2)(k2−2)(1+4k2)2．设1+4k2＝t，则t＞9，则S△OAB=4√3×√(t−9)(t+3)16t2=√3×√−27t2−6t+1．令u=1t，0＜u＜19，则S△OAB=√3×√−27u2−6u+1．设h(u)=−27u2−6u+1=−27(u+19)2+43，∵h（u）在(0，19)上单调递减，所以h（u）＜1．所以S△OAB＜√3．21．已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x，x＞0．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．【分析】（1）求导可知x∈[0，π3)时f（x）单减，x∈(π3，π]时f（x）单增，进而求得最小值；（2）即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，利用导数容易得证．解：（1）f′（x）＝1﹣2cos x，令f′（x）＝0，得cosx=1 2，故在区间[0，π]上，f′（x）的唯一零点是x=π3，当x∈[0，π3)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈(π3，π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故在区间[0，π]上，f（x）的极小值为f(π3)=1+π3−√3，当x＞π时，f(x)＞1+π−2=π−1＞f(π3)，∴f （x ）的最小值为f(π3)=1+π3−√3；（2）要证x ＞0时，f （x ）＞e ﹣2x ，即证x ＞0时，g （x ）＝（1+x ﹣2sin x ）e 2x ＞1， g ′（x ）＝2（1+x ﹣2sin x ）e 2x +（1﹣2cos x ）e 2x ＝（3+2x ﹣4sin x ﹣2cos x ）e 2x ， 令h （x ）＝x ﹣sin x ，x ＞0，则h ′（x ）＝1﹣cos x ≥0，即h （x ）是（0，+∞）上的增函数，∴h （x ）＞h （0）＝0，即x ＞sin x ，∴3+2x ﹣4sin x ﹣2cos x ＞3+2sin x ﹣4sin x ﹣2cos x ＝3﹣2（sin x +cos x ）=3−2√2sin(x +π4)＞0，∴g ′（x ）＝（3+2x ﹣4sin x ﹣2cos x ）e 2x ＞0，即g （x ）是（0，+∞）上的增函数，g （x ）＞g （0）＝1，故当x ＞0时，f （x ）＞e ﹣2x ，即得证．一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√6sinαy =√6cosα（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=2． （1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）直线l 与x 轴的交点为P ，经过点P 的直线m 与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA|+|PB|=4√3，求直线m 的倾斜角．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =√6sinαy =√6cosα（α为参数），转换为直角坐标方程为x 2+y 2＝6．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=2．整理得12ρcosθ−√32ρsinθ−2=0，转换为直角坐标方程为x −√3y −4=0．（2）直线l 与x 轴的交点为P ，所以P （4，0），所以{x =4+cosθt y =sinθt （t 为参数），把直线的参数方程代入圆的方程得到：（4+t cos θ）2+（t sin θ）2＝6，整理得t 2+8cos θt +10＝0，所以t 1+t 2＝﹣8cos θ，所以|PA|+|PB|=|8cosθ|=4√3，解得cosθ=√32或cosθ=−√32， 所以θ=π6或5π6．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝2|x +1|+|x ﹣m |（m ＞﹣1）．（Ⅰ）若m ＝3，求不等式f （x ）＞7的解集；（Ⅱ）若∃x 0∈R ，使得f （x 0）＜2成立，求实数m 的取值范围．【分析】（Ⅰ）将m ＝3代入f （x ）中，然后由f （x ）＞7，分x ＜﹣1，﹣1≤x ≤3和x ＞3三种情况解出不等式即可；（Ⅱ）先判断函数f （x ）的单调性，求出f （x ）的最小值，再由∃x 0∈R ，使得f （x 0）＜2成立，得到f （﹣1）＝1+m ＜2，然后解关于m 的不等式即可得到m 的范围． 解：（Ⅰ）当m ＝3时，f （x ）＝2|x +1|+|x ﹣3|．∵f （x ）＞7，∴当x ＜﹣1时，原式化为﹣2x ﹣2+3﹣x ＞7，解得x ＜﹣2，故x ＜﹣2； 当﹣1≤x ≤3时，原式化为2x +2+3﹣x ＞7，解得x ＞2，故2＜x ≤3；当x ＞3时，原式化为2x +2+3﹣x ＞7，解得x ＞83，故x ＞3；综上所述，不等式f （x ）＞7的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（Ⅱ）f(x)={3x +2−m ，x ＞mx +2+m ，−1≤x ≤m −3x −2+m ，x ＜−1，∴f （x ）在[﹣1，m ]和（m ，+∞）上是增函数，在（﹣∞，﹣1]上是减函数， ∴f （x ）的最小值是f （﹣1）＝1+m ，∵∃x 0∈R ，使得f （x 0）＜2成立，∴只需f （﹣1）＝1+m ＜2，∴m ＜1，∴实数m 的取值范围是（﹣1，1）．。
【期末试卷】湖南省长沙市2020届高三上学期统一模拟(期末)考试数学(理科)试题及答案
2020届高三年级统一模拟考试理科数学本试题卷共7页，全卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}12|{1>=-x x A ，}02|{2≤-=x x x B ，则=B A IA.)2,1(B.]2,1[C.]3,0(D.]2,1(2. 在复平面内，复数i i z +=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足FB CF 2=，那么=EFA.AD AB 3121-B.AD AB 2131+C.AD AB 3221-D.AD AB 2141+ 4. 函数1||2+=x ex y （其中e 为自然对数的底）的图象大致是A. B. C. D.5. 在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为A.21B.2π C.12-πD.22π- 6. 5)11)(13(-+xx 的展开式中的常数项为 A.14B.14-C.16D.16-7. 已知α为锐角，且1)10tan 31(cos =+︒α，则α的值为A.︒20B.︒40C.︒50D.︒708. 设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点),0(t E （b t <<0）.已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，2F 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为b 3，则椭圆C 的离心率为A.23 B.22 C.21 D.35 9. 设三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，2==AC AB ，︒=∠90BAC ，231=AA ，且三校柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是A.π24B.π18C.π26D.π1610. 设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若n n n S a 2=+，)(22*11N n a a n n b n∈-=++，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nb 1的前99项和为 A.9897 B.9998 C.10099 D.101100 11. 已知函数21181,2,log 2)(21≤≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x f x ，若))(()(b a b f a f <=，则ab 的最小值为 A.22 B.21 C.42 D.35 12. 已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x ，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间.已知O 为原点，且a OA 35||=，则=||||FC FA A.45 B.34 C.23 D.25 二、填空题：本大愿共4个小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数x ax x f x cos )12(log )(2++-=)(R a ∈为偶函数，则=a ___________.14. 已知n S 是等比数列}{n a 的前n 项和，且3S ，9S ，6S 成等差数列，652=+a a ，则=8a ___________.15. 若)2sin(2)(ϕ+=x x f )0(>ϕ的图像关于直线12π=x 对称，且当ϕ取最小值时，)2,0(0π∈∃x ，使得a x f =)(0，则a 的取值范围是___________.16. 在四面体ABC P -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6=PA ，8=PB ，10=PC ，则四面体ABC P -的体积为___________.三、解答题：本大题共7个小题，共70外，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考照，考生1据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （本小题满分12分）已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且)sin()sin(C B c C B A a +=-+.（1）求角C 的值；（2）若62=+b a ，且ABC ∆的面积为3，求ABC ∆的周长.18. （本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11是菱形，其对角线的交点为O ，且1AC AB =，C B AB 1⊥.（1）求证：⊥AO 平面C C BB 11；（2）设︒=∠601BC B ，若直线11B A 与平面C C BB 11所成的角为︒45，求二面角B C B A --111的余弦值.19. （本小题满分12分）已知椭图1C ：)0(12222>>=+b a by a x 的右顶点与抛物线2C ：)0(22>=p px y 的焦点重合，椭圆1C 的离心率为21，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为24.（1）求椭图1C 和抛物线2C 的方程；（2）过点)0,4(-A 的直线l 与椭图1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论.20. （本小题满分12分）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为1:3.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同.（1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过n （*N n ∈）次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.21. （本小题满分12分）已知函数)()1()(R a x a e ae x f x x ∈+--=-，)(x f 既存在极大值，又存在极小值.（1）求实数a 的取值范围；（2）当10<<a 时，1x ，2x 分别为)(x f 的极大值点和极小值点.且0)()(21>+x kf x f ，求实数k 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=kt y t x 3（t 为参数），直线2l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=k m y m x 33（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C .（1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为23)4sin(=+πθρ，点Q 为曲线1C 上的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最大值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|1|)(-=x x f .（1）求不等式||23)(x x f -≥的解集；（2）若函数|5|)()(-+=x x f x g 的最小值为m ，正数a ，b 满足m b a =+，求证：422≥+ab b a .。
2020届湖南省长沙市一中高三第一次调研考试数学(理科)试题
2020届湖南省长沙市一中高三第一次调研考试数学（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={3|),(x y y x =}，A={x y y x =|),(}，则B A 的元素个数是A. 4 B. 3C. 2D. 12.已知i 为虚数单位，R a ∈，若复数i a a z )1(-+=的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且5=⋅z z ,则=z A. 2-i B.-l + 2i C.-1-2i D.-2+3i3.设R x ∈，则“1<2x ”是“1<lg x ”的 （B) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a=(l ，0)，b=(-3,4)的夹角为θ,则θ2sin 等于 A. 257-B. 257C. 2524-D. 25245.设43432,24log ,18log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. c<b<a6.函数||lg )33()(x x f xx-+=的图象大致为 （D)7.运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填 A. i>200? B. i>201? C. i>202? D. i>203?8.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物 (鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有 A. 50 种 B. 60 种 C. 70 种D. 90 种9.将函数)62sin(2)(π-=x x f 的图象向左平移6π个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是(C)A.函数)(x g 的最小正周期是2π B.函数)(x g 的图象关于直线12π-=x 对称C.函数)(x g 在)2,6(ππ上单调递减 函数)(x g 在)6,0(π上的最大值是110.若函数x x f ln )(=与a x x x g ++=3)(2两个函数的图象有一条与直线x y =平行的公共切线，则=aA.-1B. 0C. 1D. 3 11.设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(，则关于函数)(x f 有以下五个命题：①1))((,=∈∀x f f R x ;②)()()(,,y f x f y x f R y x +=+∈∃; ③函数)(x f 是偶函数； ④函数)(x f 是周期函数；⑤函数)(x f 的图象是两条平行直线.12.已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球0的球面上，若AB=AC=BC=DS = DC=1，当三棱锥 D-ABC 的体积取到最大值时，球0的表面积为 A.35π B. π2 C. π5 D. 320π二、填空题:本大题共4小题.每小题5分，共20分。
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2020年湖南长沙高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如图，在正方形中，点是的中点，点满足，那么（ ）．A. B. C. D.4.函数（其中为自然对数的底）的图象大致是（ ）．A.B.C.D.5.在如图所示的正方形内任取一点，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点恰好取自阴影部分的概率为（ ）．A.B.C.D.6.的展开式中的常数项为（ ）．A.B.C.D.7.已知为锐角，且，则的值为（ ）．A.B.C.D.8.设椭圆的左、右焦点分别为，，点．已知动点在椭圆上，且，，不共线，若的周长的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）．A.B.C.D.9.设三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）．A.B.C.D.10.设，是数列的前项和，若，，则数列的前项和为（ ）．A.B.C.D.11.已知函数，若，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.12.已知双曲线，过其右焦点作渐近线的垂线，垂足为．交轴于点，交另一条渐近线于点，并且点位于点，之间．已知为原点，且，则（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数为偶函数，则．14.已知是等比数列的前的和，且，，成等差数列，，则．15.若的图象关于直线对称，且当取最小值时，，使得，则的取值范围是 ．16.在四面体中，为等边三角形，边长为，，，，则四面体的体积为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知的内角，，的对边分别为，，，且．求角的值．若，且的面积为，求的周长．（1）（2）18.如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且，．求证：平面．设，若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．（1）19.已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线截抛物线所得的弦长为．求椭圆和抛物线的方程．（2）过点的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，当直线绕点旋转时，直线是否经过一定点？请判断并证明你的结论．（1）（2）20.某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄，蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为．监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．求抽取的辆汽车中恰有辆是蓝色汽车的概率．在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以表示，求的分布列和数学期望．（1）（2）21.已知函数，既存在极大值，又存在极小值．求实数的取值范围．当时，，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为（为参数）．设直线与的交点为．当变化时点的轨迹为曲线．求出曲线的普通方程．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线上的动点，求点到直线的距离的最大值．（1）（2）23.已知函数．求不等式的解集．若函数的最小值为，正数，满足，求证：．【答案】解析:∵，∴，又，则，∴．故选．解析:复数．故选．解析:在中，．因为点为的中点，所以．因为点为的一个三等分点，所以．所以．故选．解析:当时，函数是，有且只有一个极大值点是．故选．解析:D 1.D 2.C 3.D 4.C 5.设正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为，故所求恰好取自阴影部分的概率为．故选．解析:的展开式中的常数项为．故选．解析:由可得，即，所以，又为锐角，故．故选．解析:的周长为，∴．故选．A 6.B 7.D 8.解析:依题意三棱柱的外接球即为底面为正方形（边长为）、高为的长方体的外接球，其直径为长方体的体对角线，设球的半径为，则有，故所求球体表面积为．故选．解析:当时，，则，即，则，从而，故．故选．解析:函数的图象如图，图（）设，则．由，，得，．当时，，，．考虑．C 9.C 10.B 11.由图（）可知，当时，图，所以，即，故最小值为．故选．解析:直线的方程为，令，得．由，解得，由，解得，由得，化简得，解得或．由于位于，之间，故．舍去，所以，即，故．另法：可知，，，设，，则，解得，，，于是，，利用相似可求得，，利用平面几何知识可以求得，则．故选．B 12.13.解析:∵为偶函数，∴，即．解得：．故答案为．14.解析:由题意可知等比数列的公比，否则，，不成等差数列，于是，解得，解得，又由，得，解得．15.解析:∵函数的图象关于直线对称，，，当取最小值时，，∵，∴，，即的取值范围是．16.解析:如图延长至，使得，连接，，（1）因为，故为等腰三角形，又，故，所以，即，故，因为，，，所以，所以，因为，平面，平面，所以平面，所以，因为，故为直角三角形，所以，又，而，故，即为直角三角形，所以，因为的中点，所以，所以．解析:由正弦定理，因为，三棱锥三棱锥（1）．（2）或．17.（2）（1）（2）所以，即，因为，所以，因为，所以．由，可得，因为，所以，解得或，当时，，由余弦定理得，，所以周长为，当时，，由余弦定理得，，所以周长为，综上，的周长为或．解析:∵四边形是菱形，∴，∵，，∴平面，∴，又∵，是的中点，∴，又∵，∴平面．∵,∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，∵ 平面，∴直线与平面所成的角即为，即．（1）证明见解析．（2）．18.（1）（2）不妨设菱形的边长为，则在等边三角形中，，在中，，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，可得，而平面的一个法向量为，则，∴二面角的余弦值大小为．解析:设椭圆的半焦距为，依题意，可得，则，代入，得，即，所以，则有，，所以椭圆的方程为，抛物线的方程为．依题意，当直线的斜率不为时，设其方程为，联立，得，设，，则，由，得或，（1），．（2）是；证明见解析．19.（1）（2）且，，根据椭圆的对称性可知，若直线过定点，此定点必在轴上，设此定点为，因斜率，得，即，即，即，即，得，由的任意性可知，当直线的斜率为时，直线的方程即为，也经过点，所以当或时，直线恒过一定点．解析:因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为，用表示“抽取的辆汽车中蓝颜色汽车的个数”，则服从二项分布，即，所以抽取的辆汽车中有辆是蓝颜色汽车的概率．的可能取值为：，，，，．，，，，，．所以的分布列为：的数学期望为：，（）（1）．（2）的分布列为：．20.（1）（2）．（）（）（）得：，．所以．解析:由得，即，由题意，若存在极大值和极小值，则必有两个不相等的实数根，由得，所以必有一个非零实数根，∴，，∴且，∴或．综上，实数的取值范围为．当时，由（）可知的极大值点为，极小值点为，此时，，依题意得对任意恒成立，由于此时，所以；所以，即，（1）．（2）．21.（1）（2）设，，则，令（*），判别式．①当时，，所以，在单调递增，所以，即，符合题意；②当时，，设（*）的两根为，，且，则，，因此，则当时，，在单调递减．所以当时，，即，所以，矛盾，不合题意；综上，的取值范围是．解析:将，的参数方程转化为普通方程，，，两式相乘消可得，所以的普通方程为．直线的直角坐标方程为，由（）知曲线与直线无公共点．由于的参数方程为（为参数，，），所以曲线上的点到直线的距离为，所以当时，的最大值为．（1）．（2）．22.（1）（2）解析:当时，得，∴，当时，得，∴无解；当时，得；综上，不等式的解集为或．∵，∴，即，又由均值不等式有：，，两式相加得，∴．（1）或．（2）证明见解析．23.。