学而思寒假七年级尖子班讲义第 讲平行线四大模型
爱智康2017七年级尖子班寒假讲义第2讲常用辅助线及模型
平行线常用辅助线及模型模块一 平行线四大模型 知识点睛 （1）燕尾型如图，已知：AB ∥CD ,求证：∠B +∠D =∠BEDAC（2）铅笔型如图，已知：AB ∥CD ,求证：∠B +∠D +∠BED =360°AEC（3）犀牛角型已知：如图，已知：AB ∥CD ,求证：∠BED =∠B -∠DAEC（4）锄头型已知：如图，已知：AB ∥CD ,求证：∠BED =∠B -∠D 平行线中辅助线总结：逢“拐点”作平行 典型例题ACD【例1】（1）如下图，已知AB ∥CD ，∠ABF ＝∠DCE ，证明: ∠BFE ＝∠FECACD（2） 如下图，已知AB ∥CD ，求证: ∠B +∠E +∠D =360°A EB（3）如图，AB ∥CD ∥EF ，CG 平分∠ACE , ∠A =140°, ∠E =110°则∠DCG =CD【例2】已知：如图，AB ∥CD ，试解决下列问题: （1）∠1+∠2 = ；（2）∠1+∠2 +∠3= ；（3）∠1+∠2 +∠3+∠4= ；（4）试探究∠1+∠2 +∠3+∠4+...+∠n = ；F E【例3】（1）直线AB ∥CD ，∠D =23°，∠B =42°，则∠E =（ ） A ．23 ° B ．42 ° C ．65° D ．19°DBC（2）如图：AB ∥CD ，那么∠A 、∠P 、∠C 的数量关系是（ ）A ．∠A +∠P +∠C =90 °B ．∠A +∠P +∠C =180 ° C ．∠A +∠P +∠C =360 °D ．∠P +∠C =∠ADPB（3）如图，已知：AB ∥CD ，CE 分别交AB 、CD 于点F 、C ，若∠E =20 ° ，∠C =45 ° ，则∠A 的度数为（ ） A ．5 ° B ．15 ° C ．25° D ．35°BC【巩固提高】（1）已知：如图，AB ∥EF ，BC ⊥CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系是（ ） A ．∠β=∠α+∠γ B ．∠α+∠β+∠γ=180 ° C ．∠α+∠β-∠γ=90 ° D ．∠γ+∠β-∠α=90 °FBE（2）已知AB ∥CD ，∠ABE =120°，∠C =25°则∠1的度数为（ ） A ．60 ° B ．75 ° C ．85° D ．80°A（3）如图，AB ∥CD ，BF 平分∠ABE ，且BF ∥DE ，试探究：∠ABE 与∠D 之间的数量关系，并证明A能力提升 【例4】如图，一条河流的某段河水流向经B 、C 、D 三点拐弯后与原来方向相同，若∠BED =120°，∠ABE =80°，则∠CDF 的度数为A【例5】问题：已知线段AB ∥CD ，在AB 、CD 间取一点P （P 点不在直线AC 上），连接P A 、PC ，试探究∠APC 与∠A 、∠C 之间的关系 （1）端点A 、C 同向:如图1，点P 在直线AC 右侧时，∠APC -(∠A +∠C )= 度 如图2，点P 在直线AC 左侧时，∠APC +(∠A +∠C )= 度（1）端点A 、C 反向:如图3，点P 在直线AC 右侧时，∠APC 与(∠A -∠C )有怎样的关系，写出结论并证明 如图4，点P 在直线AC 左侧时，∠APC -(∠A -∠C )= 度【例6】如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，（1）如图1，若∠E =80°，求∠BFD的度数EC（2）如图2，若∠ABM =13∠ABF，∠CDM =13∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系并证明你的结论.EC（3）若∠ABM =1n∠ABF，∠CDM =1n∠CDF，设∠E=m°，直接用n，m的代数式写出∠M=EC【例7】如图，已知直线EF ∥MN ，点A 、B 分别为EF 、AB 上的动点，且∠ACB =90°,BD 平分∠BCN 交EF 于D（1） 若∠CAD =120°,如图1，求∠MBC 的度数； （2） 在（1）的条件下，如图1，求∠EAC 的度数；（3） 延长AC 交直线MN 于G ，如图2，GH 平分∠AGB 交BD 于H ，问∠GHB 是否为定值，若是，请求值；若不是，说明理由M FGD【习题1】填空并在后面的括号中填理由如图AB ∥DE ,试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系 解：∠B +∠E =∠BCE理由：过点C 作CF ∥AB （ ） 则∠B =∠ （ ） 又∵AB ∥DE ，CF ∥AB∴ （ ） ∴∠E =∠ （ ） ∴∠B +∠E =∠1+∠2 （ ） 即∠B +∠E =∠BCEAD【习题2】已知：如图∠BAP +∠APD =180°，∠1=∠2，求证：∠E =∠FDFBC【习题3】如图：已知AB ∥CD ，∠B=40°，∠E =30°，求∠D 的度数C【习题4】如图：已知AB ∥DE ，∠ABC=70°，∠CDE =140°，求∠BCD 的度数A【习题5】如图：已知AB ∥CD ，∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE ，求∠F : ∠E =CA D【习题6】三个正方形连成如图的图形，则x=【习题7】如图：已知AB ∥DE ，∠BEF =70°，求∠ABE +∠EFC +∠FCD 的度数CEA D【习题8】下列各图中MA 1与NA n 平行（1）图①中的∠A 1+∠A 2= 度，图②中的∠A 1+∠A 2+∠+∠A 3= 度图③中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+∠A 4= 度，图④中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+∠A 4+∠A ５= 度 第⑩个图中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+…+∠A 10= 度（2）第n 个图中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+…+∠A n = 度.NMA 32A 2M1N M1NN1MA 2A 3A 4平行线综合题做题原则：（1）大胆设未知数：①关系较多；②数量较小（2）找条件等量关系：①利用题目里的所有已知条件②归纳总结，引用前几问的结论③注意整体思想（3）逢拐点作平行典型例题【例1】已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC，（1）如图①，若∠A=20º，∠C=40º，则∠AEC=（2）如图②，若∠A=xº，∠C=yº，则∠AEC=（4）如图③，若∠A=a，∠C=β，则α，β，∠AEC之间有何等量关系，说明理由。
初一数学平行线拐点模型
初一数学平行线拐点模型
初一下第一章就是最难一章，期末考试压轴题均出自此章。
本章是我们第一次接触到比较复杂的几何问题，而几何模型是解决几何问题最便捷的手段。
所以从本章开始，我们要塑造自己几何模型的意识，学会从复杂图形中提取基本的几何模型，从而简化题目。
而平行线拐点模型，虽然简单，但是很多大题的思路突破口，务必掌握！
视频讲解
因赛理科工作室简介：
因赛是英语insiht的汉语音译，意为：洞见/洞察。
我们常常刻苦学习，却收效甚微，因为我们囫囵吞枣，不求甚解，停留于问题的表面，没有深入探索问题的本质，所以不得要领！
我们所秉承的学习理念不是通过刷题提高成绩，而是引导和培养孩子“看穿本质”的能力，掌握知识背后的逻辑，知其然更知其所以然!
拥有深刻洞察能力的孩子，不管是学习还是其它方面的发展，都能快速领悟精髓，不为表象迷惑，在人生的路途上走得更远，飞得更高！
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(完整版)七年级数学培优-平行线四大模型
平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。
(人教版)七年级数学寒假精品课 第03讲 平行线及其判定-【寒假自学课】解析版
第03讲平行线及其判定【学习目标】1.掌握平行线的概念及表示方法.2.掌握平行公理及其推论，并能够灵活应用.3.会画已知直线的平行线.4.经历探索两直线平行的三种判定方法.5.掌握直线平行的三种判定方法，并能够灵活应用.【基础知识】1.平行线的定义及表示：(1)定义：在同一平面内内，不相交的两条直线.(2)表示：平行用“∥”符号表示，读作“平行于”.2.同一平面内，两条直线的位置关系：(1)平行(2)相交3.利用直尺和三角尺画平行线：一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”.【注意】平行线的画法四字诀一“落”：三角板的一边落在已知直线上；二“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边；三“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点；四“画”：沿三角板过已知点的边画直线.4.平行公理及推论：(1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 【注意】平行公理(1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性.(2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线.【概念辨析】(1)不相交的两条直线是平行线.(×)(2)若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD.(×)(3)若a∥b，b∥c，则a与c不相交.(√)5.平行线的判定方法1：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)，∴AB∥CD.平行线的判定方法2：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)，∴AB∥CD.平行线的判定方法3：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)，∴AB∥CD.6.平行线的其他判定方法：(1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行.(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【概念辨析】(1)同旁内角相等，两直线平行.(×)(2)两条直线都与第三条直线垂直，这两条直线互相平行.(×)【注意】判定两直线平行的方法方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线.方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.方法三：同位角相等，两直线平行.方法四：内错角相等，两直线平行.方法五：同旁内角互补，两直线平行.方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【考点剖析】考点一：平行线及其画法例1．根据下列要求画图.(1)如图(1)所示，过点A画MN∥BC.(2)如图(2)所示，过点C画CE∥DA，交AB于点E，过点C画CF∥DB，与AB的延长线交于点F. 【答案】如图所示：考点二：平行公理及其推论例2．如图，直线a，点B，点C.(1)过点B画直线a的平行线，能画几条？(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？【分析】根据平行公理及其推论解答.【详解】(1)如图，过直线a外的一点B画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行.(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行.理由如下：如图，因为b∥a，c∥a，所以c∥b.考点三：平行线的判定例3．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是()A.∠1=∠3B.∠2+∠4=180°C.∠1=∠4D.∠3=∠4【答案】D.【分析】根据平行线的判定条件进行判断即可.【详解】由同位角相等，两直线平行可知A可以判定直线a与b平行；由同角的补角相等，结合同位角相等，两直线平行可知B可以判定直线a与b平行；由对顶角相等，结合同位角相等，两直线平行可知C可以判定直线a与b平行；∠3与∠4是对顶角，与直线a与b平行无关.例4已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．(1)如果∠2＝∠3，那么____________．(____________，____________)(2)如果∠2＝∠5，那么____________．(____________，____________)(3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．(____________，____________)(4)如果∠5＝∠3，那么____________．(____________，____________)【答案】（1）EF∥DG，内错角相等，两直线平行；（2）AB∥EF，同位角相等，两直线平行；（3）AD∥BC，同旁内角互补，两直线平行；（4）AB∥DG，内错角相等，两直线平行；考点四：平行线判定的应用例5．我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象.如图是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图.由于折射率相同，因此已知∠1=∠4，∠2=∠3.请你用所学知识来判断c与d是否平行？并说明理由.【答案】平行，理由如下：如图，∵∠1+∠5=∠4+∠6(邻补角的定义)，∠1=∠4(已知)，∴∠5=∠6(等角的补角相等)，∵∠2=∠3(已知)，∴∠2+∠5=∠3+∠6(等式的性质)，∴c∥d(内错角相等，两直线平行).【真题演练】一、单选题1．下列说法正确的个数是（）．（1）两条直线不相交就平行；（2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行； （5）两直线的位置关系只有相交、平行与垂直． A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】B 【分析】（1）（5），根据同一平面内，两直线的位置关系只有相交和平行进行判断即可； （2），根据平行线的定义进行判断即可；（3）（4），根据平行线的公理以及公理的推论进行判断即可． 【详解】(1)应该是在同一平面内，两直线不相交就平行，故错误； (2)在同一平面内，两条平行的直线没有交点，故错误；(3)应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误； (4)平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理的推论，故正确； (5)应为在同一平面内，两直线的位置关系只有相交与平行，故错误， 所以只有（4）一项正确， 故选：B ． 【点睛】本题是一道有关两直线位置关系的题目，涉及同一平面内两直线的位置关系以及平行线的知识，掌握这些概念和定理是解题的关键． 2．下列说法正确的是（ ）A ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且//a b ，//b c ，则//a cB ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥C ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且//a b ，b c ⊥，则//a cD ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且//a b ，//b c ，则a c ⊥ 【答案】A 【分析】根据平行线的判定判断即可．解：A 、在同一平面内，a 、b 、c 是直线，如果a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，故正确； B 、在同一平面内，a 、b 、c 是直线，如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ，故错误； C 、在同一平面内，a 、b 、c 是直线，如果a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ，故错误； D 、在同一平面内，a 、b 、c 是直线，如果a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，故错误； 故选：A ． 【点睛】本题主要考查的是平行线的判定，平行公理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图所示，给出了过直线l 外一点P 作已知直线l 的平行线的方法，其依据是（ ）．A ．同位角相等，两直线平行．B ．内错角相等，两直线平行．C ．同旁内角互补，两直线平行．D ．以上都不对．【答案】A 【分析】由作图可得同位角相等，根据平行线的判定可作答． 【详解】解：由图形得，有两个相等的同位角，所以依据为：同位角相等，两直线平行． 故选：A ． 【点睛】本题考查的是作平行线，熟知过直线外一点，作已知直线的平行线的方法和平行线的判定定理是解答此题的关键．4．如图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断//AB CD 的是（ ）A ．34∠=∠B ．12∠=∠C ．D DCE ∠=∠ D ．180D ACD ∠+∠=︒【分析】根据平行线的判定判断即可； 【详解】当34∠=∠时，BDAC ，故A 不符合题意；当12∠=∠时，//AB CD ，故B 符合题意； 当D DCE ∠=∠时，BDAE ，故C 不符合题意；当180D ACD ∠+∠=︒时，BD AE ，故D 不符合题意；故答案选B ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，准确分析判断是解题的关键．5．如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD ，使其拐角∠ABC ＝150°，∠BCD ＝30°，则（ ）A ．AB //BC B ．BC //CD C ．AB //DC D ．AB 与CD 相交【答案】C 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行即可解答． 【详解】解：∵∠ABC ＝150°，∠BCD ＝30° ∴AB //DC ． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同旁内角互补，两直线平行”成为解答本题的关键． 6．如图，下列能判定//AB CD 的条件有（ ）个．（1）180B BCD ∠+∠=︒；（2）12∠=∠；（3）34∠=∠；（4）5B ∠=∠．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可．【详解】解：当∠B+∠BCD=180°，AB∥CD，符合题意；当∠1=∠2时，AD∥BC，不符合题意；当∠3=∠4时，AB∥CD，符合题意；当∠B=∠5时，AB∥CD，符合题意．综上，符合题意的有3个，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．二、填空题7．同一平面内，两条相交直线不可能与第三条直线都平行，这是因为________________．【答案】平行公理的推论【分析】根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行，进行求解即可．【详解】解：由平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行，可以知道同一平面内，两条相交直线不可能与第三条直线都平行，故答案为：平行公理的推论．【点睛】本题主要考查了平行公理的推论，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理）（1）14∠=∠（已知）∴__//____（__________________________________） （2）ABC ∠+∠_____180=︒（已知）//AB CD ∴（________________________） （3）∠_____=∠__（已知） //AD BC ∴（______________________________） （4）5∠=∠____（已知） //AB CD ∴（_______________________________）【答案】AB CD 内错角相等，两直线平行 BCD 同旁内角互补，两直线平行 3 2 内错角相等，两直线平行 ABC 同位角相等，两直线平行 【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行得出即可； （2）根据同旁内角互补，两直线平行得出即可； （3）根据内错角相等，两直线平行得出即可； （4）根据同位角相等，两直线平行得出即可． 【详解】解：（1）14∠=∠（已知），//AB CD ∴（内错角相等，两直线平行），（2）ABC ∠+∠BCD 180=︒（已知），//AB CD ∴（同旁内角互补，两直线平行），（3）∠3=∠2（已知），//AD BC ∴（内错角相等，两直线平行）（4）5∠=∠ABC （已知），//AB CD ∴（同位角相等，两直线平行），故答案为：AB ；CD ；内错角相等，两直线平行；BCD ；同旁内角互补，两直线平行；3；2；内错角相等，两直线平行；ABC ；同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，能正确运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 9．两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：（1）两条直线被第三条直线所截，如果______________，那么____________．这个判定方法2可简述为：____________，____________．几何语言表述为：如图，∠_______=∠________ //AB CD ∴（2）两条直线被第三条直线所截，如果_______________，那么_____________．这个判定方法3可简述为：___________，_________________．几何语言表述为：∠______ +∠______180=︒ //AB CD ∴【答案】内错角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 2 8 同旁内角互补 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 2 5【分析】（1）根据“内错角相等，两直线平行”回答即可；（2）根据“同旁内角互补，两直线平行”回答即可．【详解】解：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行．这个判定方法2可简述为：内错角相等，两直线平行．几何语言表述为：如图，∵∠2=∠8，∴AB //CD ；（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行．这个判定方法3可简述为：同旁内角互补，两直线平行．几何语言表述为：∵∠2+∠5=180°，∴AB //CD ． 故答案为：内错角相等；两直线平行；内错角相等；两直线平行；2；8；同旁内角互补；两直线平行；同旁内角互补；两直线平行；2；5．【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握“内错角相等，两直线平行”以及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．10．如图，AC 平分∠DAB ，∠1＝∠2，试说明AB ∥CD .证明：∵AC 平分∠DAB ( )，∴∠1＝∠____( )，又∵∠1＝∠2( )，∴∠2＝∠____( )，∴AB ∥____( )．【答案】已知 3 角平分线的定义 已知 3 等量代换 CD 内错角相等，两直线平行【解析】【分析】根据平行线证明对书写过程的要求和格式填写即可.【详解】证明：∵AC 平分∠DAB ( 已 知 )，∴∠1＝∠ 3 (角平分线的定义)，又∵∠1＝∠2( 已 知 )，∴∠2＝∠ 3 (等量代换)，∴AB ∥CD (内错角相等，两直线平行)．【点睛】本题主要考察平行线证明的书写，正确的逻辑推理和书写格式是解题的关键.三、解答题11．已知：如图，点D ，E 分别在AB 和AC 上，CD 平分ACB ∠，40DCB ∠=︒，80AED ∠=︒．求证：DE BC ∥．【答案】证明见解析．【分析】根据角平分线定义可求224080BCE DCB ∠=∠=⨯︒=︒，然后利用等量代换可得BCE AED ∠=∠，再利用平行线判定定理同位角相等，两直线平行可得//DE BC ．【详解】证明：∵CD 平分ACB ∠（已知），∴224080BCE DCB ∠=∠=⨯︒=︒（角平分线的定义）．∵80AED ∠=︒（已知），∴BCE AED ∠=∠（等量代换）．∴//DE BC （同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查角平分线定义，平行线判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．【过关检测】一、单选题1．三条直线a b c 、、，若 / / , / /a c b c ，则a 与b 的位置关系是( )A ．a b ⊥B ．a / / bC ．a b ⊥或a / / bD ．无法确定【答案】B【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”进行分析，得出正确答案．【详解】解：由于直线a 、b 都与直线c 平行，依据平行公理的推论，可推出a ∥b ．故选B ．【点睛】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 2．若直线a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 的依据是( )A ．平行公理B ．等量代换C ．等式的性质D ．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D【详解】因为直线a ∥b ,b ∥c ,所以a ∥c 的依据是平行于同一条直线的两条直线互相平行,故选D.3．下列说法中正确的个数有( )①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内不重合的两条直线有平行、相交和垂直三种位置关系；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】分别根据直线的位置关系、点到直线的距离、平行线的判定方法即可解答.【详解】解：两直线平行内错角相等，故①错误；在同一平面内不重合的两条直线有平行和相交两种位置关系，故②错误；直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故③正确；在同一平面内，根据同位角相等两直线平行可知④正确；故选B ．【点睛】本题考查了平行线定理、两直线位置关系和点到直线的距离等知识，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键.4．如图，1,2,,8∠∠∠是两条直线,a b 被直线c 所截后形成的八个角，则能够判定直线//a b 的是（ ）A ．34180∠+∠=B ．18180∠+∠=C ．57180∠+∠=D ．26180∠+∠=【答案】B【分析】 根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】A. ∠3+∠4=180°不能判定任何直线平行，故本选项错误；B. ∵∠1=∠3,∠1+∠8=180°,∴∠3+∠8=180°,∴a ∥b ，故本选项正确；C. ∠5+∠7=180°不能判定任何直线平行，故本选项错误；D. ∠2+∠6=180°不能判定任何直线平行，故本选项错误．故选B.【点睛】此题考查平行线的判定，解题关键在于掌握其判定定理.5．如图所示，下列推理中，错误的是（ ）A ．∵12∠=∠（已知），∴12l l //（同位角相等，两直线平行）B ．∵45180︒∠+∠=（已知），∴12l l //（同旁内角互补，两直线平行）C ．∵42∠=∠（已知），∴34//l l （内错角相等，两直线平行）D ．∵14∠=∠（已知），∴12l l //（内对角相等，两直线平行）【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定方法逐项分析即可.【详解】A. ∵12∠=∠（已知），∴12l l //（同位角相等，两直线平行），正确；B. ∵45180︒∠+∠=（已知），∴12l l //（同旁内角互补，两直线平行），正确；C. ∵42∠=∠（已知），∴34//l l （内错角相等，两直线平行），正确；D. ∵∠1与∠4不具备特殊位置关系，∴由14∠=∠不能判断12l l //，故不正确；故选D.【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.6．如图，不能说明AB//CD 的有（ ）①∠DAC=∠BCA ；②∠BAD=∠CDE ；③∠DAB+∠ABC=180°；④∠DAB=∠DCBA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】选项①∠DAC 和∠BCA 属于内错角，选项②∠BAD 和∠CDE 属于同位角，选项③∠DAB 和∠ABC 属于同旁内角，根据两直线平行的三大定理进行判断，选项④不符合两直线平行的判定定理，不能判定哪两条直线平行．【详解】选项①∵∠DAC=∠BCA ∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；选项②∵∠BAD=∠CDE ∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）；选项③∵∠DAB+∠ABC=180°∴AD ∥BC （同旁内角互补，两直线平行）；选项④不符合两直线平行的判定定理，不能判定哪两条直线平行．故选C ．【点睛】本题考查了两直线平行的判定定理：（一）同位角相等，两直线平行；（二）内错角相等，两直线平行；（三）同旁内角互补，两直线平行．找准两个角是同位角，内错角还是同旁内角，然后再进行判断．7．如图，下列条件中，不能判定//AD BC 的是( )A ．12∠=∠B ．180BAD ADC ︒∠+∠= C ．34∠=∠D ．180ADC DCB ︒∠+∠=【答案】B【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．【详解】A. ∠1=∠2,AD ∥BC(同位角相等,两直线平行)，此选项不符合题意；B. ∠BAD+∠ABC=180°,AB ∥DC(同旁内角互补,两直线平行)，但此选项符合题意；C. ∠3=∠4,AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)，此选项不符合题意；D. ∵∠ADC+∠DCB=180°，∴AD ∥BC,(同旁内角互补,两直线平行)此选项不符合题意；故选B.【点睛】此题考查平行线的判定，解题关键在于掌握判定定理.8．如图所示，AE 平分BAC ∠，CE 平分ACD ∠，不能判定//AB CD 的条件是（ ）A ．12∠=∠B ．1290︒∠+∠=C ．3490︒∠+∠=D ．2390︒∠+∠=【答案】A【解析】【分析】 根据平行线的判定方法逐项分析即可.【详解】∵AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，21,22BAC ACD ∴∠=∠∠=∠.若∠1=∠2，则BAC ACD ∠=∠，不能判定//AB CD ，故A 符合题意；若∠1＋∠2＝90°，则2(12)180BAC ACD ︒∠+∠=∠+∠=，∴AB ∥CD ，故B 不符合题意；若∠3＋∠4＝90°；则2(12)180BAC ACD ︒∠+∠=∠+∠=，∴AB ∥CD ，故C 不符合题意；若∠2＋∠3＝90°．则2(12)180BAC ACD ︒∠+∠=∠+∠=，∴AB ∥CD ，故D 不符合题意；故选A.【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.二、填空题9．如图所示，直线,a b 被直线l 所截，158︒∠=，当2∠=________时，直线//a b ．【答案】58°【解析】【分析】根据∠3与∠1相等时，a 与b 平行解答即可.【详解】当2∠=58°时，直线//a b ．∵∠2=∠3，2∠=58°，∴∠3=58°. ∵158︒∠=，∴∠1=∠3，∴//a b .故答案为58°.【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.10．如图，E 在AD 的延长线上，下列四个条件：①∠3=∠4；②∠C +∠ABC =180°；③∠A=∠CDE ；④∠1=∠2，其中能判定AB ∥CD 的是________．（填序号）【答案】②③④【分析】根据平行线的判定定理，逐一判断，即可得到答案．【详解】∠=∠，∵34BC AD，∴//∴①不符合题意；∵∠C+∠ABC=180°，∴AB∥CD；∴②符合题意；∵∠A=∠CDE，∴AB∥CD；∴③符合题意；∵∠1=∠2，∴AB∥CD．故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．11．如图所示，若12∠=∠，则______//________，根据是_____________．∠=∠，则___//__，根据是_______________________________．若13【答案】AB CE 内错角相等，两直线平行 AC DE 内错角相等，两直线平行【分析】根据内错角相等两直线平行解题．【详解】解：若12∠=∠，则AB // CE ，根据是内错角相等两直线平行；若13∠=∠，则AC //DE ，根据是内错角相等两直线平行，故答案为：AB ，CE ，内错角相等，两直线平行，AC ，DE ，内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查平行线的判断：内错角相等，两直线平行，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 12．已知：如图，直线AB 、CD 被直线GH 所截，1112,268∠=︒∠=︒，求证： AB // CD . 完成下面的证明：证明：∵AB 被直线GH 所截，1112,∠=︒∴1∠=∠ 112,︒＝ ∵268∠=︒∴13∠+∠=∴ // （ ）（填推理的依据）.【答案】见解析.【分析】先根据对顶角相等求得∠3的度数，进而得到∠2+∠3=180°，即可判定AB ∥CD ．【详解】证明：∵AB 被直线GH 所截，∠1=112°，∴∠1=∠3=112°∵∠2=68°，∴∠2+∠3=180°，∴AB ∥CD ，（同旁内角互补，两直线平行）故答案为∠3，180°，AB ，CD ，同旁内角互补，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 13．已知：如图，在三角形ABC 中，CD AB ⊥于点D ，连接DE ，当1290∠+∠=时，求证：DE //BC ． 证明：∵CD AB ⊥（已知），∴90ADC ∠=︒（垂直的定义）．∴1∠+________90=︒，∵1290∠+∠=︒（已知），∴________2=∠（依据1：________），∴//DE BC （依据2：________）．【答案】EDC ∠；EDC ∠；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行【分析】根据垂直的定义及平行线的判定定理即可填空．【详解】∵CD AB ⊥（已知），∴90ADC ∠=︒（垂直的定义）．∴1∠+EDC ∠90=︒，∵1290∠+∠=︒（已知），∴EDC ∠2=∠（同角的余角相等），∴//DE BC （内错角相等，两直线平行）．故答案为：EDC ∠；EDC ∠；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记 “内错角相等，两直线平行”是解题的关键．三、解答题14．如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，∠1=∠2，求证：AB ∥CD;【答案】证明见解析【分析】根据对顶角的性质以及平行线的判定方法进行证明即可.【详解】解： ∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴AB ∥CD ．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质以及平行线的判定定理，熟练掌握对顶角相等与判定线段平行的判定定理是解题的关键.15．已知：如图，1C ∠=∠，2∠和D ∠互余，1∠和D ∠互余，求证：//AB CD ．【答案】证明见详解【分析】根据题意先由∠1和∠D 互余，∠2和∠D 互余，得到∠1=∠2，再由已知∠C=∠1，所以得∠C=∠2，从而证得AB ∥CD ．【详解】解：证明：∵∠1和∠D 互余，∠2和∠D 互余，∴∠1=∠2，∵∠C=∠1，∴∠C=∠2，∴AB ∥CD ．【点睛】本题考查的知识点是平行线的判定，解题的关键是利用内错角相等两直线平行进行求证． 16．填写理由：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，4BAE ∠=∠，试说明//AD BE ．解：∵∠1=∠2（已知）∴12CAF CAF ∠+∠=∠+∠（______）即BAF ∠=∠______∵∠3=∠4，4BAE ∠=∠（已知）∴∠3=∠______（______）∴∠3=∠______∴//AD BE （______）【答案】见解析【分析】由∠1=∠2易得BAF ∠=DAC ∠，由等量代换可得∠3=∠DAC ，再根据内错角相等判定//AD BE ．【详解】∵∠1=∠2（已知）∴12CAF CAF ∠+∠=∠+∠（等式的性质）即BAF ∠=∠ DAC∵∠3=∠4，4BAE ∠=∠（已知）∴∠3=∠BAE （等量代换）∴∠3=∠DAC∴//AD BE （内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查平行线的判定，灵活运用等量代换得到内错角相等是解题的关键．。
学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型
目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元—次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)1平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑战压轴题（粮道街2015—2016 七下期中）如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第一讲 平行线四大模型（课后作业）1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2．（武昌七校2015-2016七下期中） 若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5．如阁所示，AB ∥CD ，∠l =l l 0°，∠2=120°，则∠α= .6．如图所示，AB ∥DF ，∠D =116°，∠DCB =93°，则∠B = .word 资料下载可编辑专业技术资料 7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a ∥b .∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .8．如图，AB ∥CD ，EP ⊥FP , 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F 的度数为 ．9.如图，若AB ∥CD ， ∠BEF =70°，求∠B +∠F +∠C 的度数.10．已知，直线AB ∥CD ．(1)如图l ，∠A 、∠C 、∠AEC 之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF 、∠EFC 、∠FCD 之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A 、∠E 、∠F 、∠G 、∠H 、∠O 、∠C 之间的关是 .。
爱智康2017七年级尖子班寒假讲义第3讲平行线综合
平行线综合模块一与四大模型相结合知识点睛（1）燕尾型（2）犀牛角型AB∥CD，∠B+∠D=∠BED AB∥CD，∠BED=∠B-∠D（3）铅笔型（4）锄头型AB∥CD，∠B+∠D+∠BED=360°AB∥CD，∠BED=∠B-∠D平行线综合题做题原则：（1）大胆设未知数：①关系较多；②数量较小（2）找条件等量关系：①利用题目里的所有已知条件②归纳总结，引用前几问的结论③注意整体思想（3）逢拐点作平行典型例题【例1】已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC，（1）如图①，若∠A=20º，∠C=40º，则∠AEC=（2）如图②，若∠A=xº，∠C=yº，则∠AEC=（3）如图③，若∠A=a，∠C=β，则α，β，∠AEC之间有何等量关系，说明理由。
【例2】如图，∠B+∠E=∠BCE．（1）说明AB与DE位置，并予以说明；（2）作∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于F，若∠F的余角等于2∠B的补角，求∠BAH；（3）在前面的条件下，若P是AB上的一点，Q是GE上任一点，QR平分∠PQG，PM//QR ，PM平分∠APQ，下列结论：①∠APQ+∠NPM的值不变；②∠NPM的度数不变。
其中只有一个是正确的，请你做出正确并求值．能力提升【例3】已知直线，E为直线AB、CD外的一点，连接AE，EC（1）E在直线AB的上方（如图1），求证：∠AEC+∠EAB=∠ECD；（2）∠EAB和∠ECD的角平分线交于点F（如图2），求证：∠AEC=2∠AFC；（3）若E在直线AB，CD之间，在（2）的条件下，且∠AFC比AEC的32少100º，求∠AEC的度数。
巅峰冲刺【例4】（1）如图AB∥CD，MF平分∠AME，若点G恰好在MF的反向延长线上，且NE平分CNG，2∠E 与∠G互余，求∠AME的大小．（2）如图，在（1）的条件下，若点P是EM上一动点，PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，交AB于点H，PJ//NH，当点P在线段EM上运动时，∠JPQ的度数是否改变?若不变，求出其值；若改变，请说明你的理由．模块二平行线的动态问题知识点睛记住需分类讨论，将时间与角度相结合，列方程求解典型例题【例5】长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探明灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况。
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【例7】
已知：AB∥CD，点M、N分别在AB、CD上。AB、CD间有一点E，点E在直线MN左侧。探索∠AME、∠CNE、∠MEN之间的关系。
【例8】
如图，已知AB、CD被EF所截，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，且∠1＋∠2＝90 °。证明：AB∥CD。
【例9】
如图，已知AB∥CD，∠BEF＝70 °，求∠ABE＋∠EFC＋∠FCD的度数。
【例10】
如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80 °，∠CDE＝140 °，求∠BCD的度数。
【例11】
已知∠ABC的两边AB、BC分别与∠DEF的两边DE、EF平行，问∠ABC与∠DEF有何关系？证明你的结论。从这道题目中，你能得到怎样的结论？
6．如图， 和 互补，那么图中平行的直线有( )
A． B． C． D．
7． 和 的两边互相平行， 比 的三倍少 ，则 ( )
A．15°B．10°或130°C．130°D．45°
8．如图， ，则 ( )
A．50°B．80°C．60°D．45°
9．如图，已知： ， ，则 的度数为( )
A． B． C． D．
【例1】
如图，直线AB∥CD，EF⊥CD，F为垂足，如果∠GEF＝20°，则∠1的度数是( )
A．20 °B．60 °C．70 °D．30 °
【例2】
将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90 °；④∠4＋∠5＝180 °，其中正确的个数( )
A．1B．2C．3D．4
【例3】
如图，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠1＝34 °，那么∠2的度数是________。
【例4】
第二节 平行线的性质和判定(含答案)...七年级数学 学而思
第二节 平行线的性质和判定1．平行线(1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a∥b； 注：必须强调在同一平面内，否则无法说明平行．(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，注：点必须在直线外，而不能在直线上； (3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行，即“平行于同一条直线的两直线平行”．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行，注：判断同一平面内两条直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行． 3．两直线平行的判定方法 (1)平行线的定义； (2)平行公理的推论；(3)同位角相等，两直线平行； (4)内错角相等，两直线平行； (5)同旁内角互补，两直线平行． 4．平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等；(2)两直线平行，内错角相等；(3)两直线平行，同旁内角互补．1.平行的判定和证明：证明平行一般从寻找相等的同位角，内错角或互补的同旁内角 出发，而这些角关系的获得条件一般有： ①已知平行条件； ②三角形内角和； ③角平分线； ④垂直；⑤互余互补关系．例1．如图5-2-1所示，如果,//,//CD EF EF AB 请写出一个关于3,2,1∠∠∠的等量关系125-- 225-- 325--检测1．如图5-2-2所示，已知a ‖b,0701=∠,,402ο=∠则=∠3 例2．如图5-2-3所示，已知,9021ο=∠+∠,,//AG CD FC DE ⊥求证：.//FH AG检测2．如图5-2-4所示，直线a ，b 被直线c 所截，下列条件能使b a //的是;61∠=∠①;62∠=∠②;31∠=∠③;75∠=∠④+∠2⑤;1807ο=∠.71∠=∠⑥例3．（江西兴国县期末）学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m 外一点P 画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．525--观察图5-2-5所示，经两次折叠展开后折痕CD 所在的直线即为过点P 的已知直线m 的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有( )①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行． A.①② B．②③ C ．③④ D ．①④425--检测3．如图5-2-6所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在C D ,的位置，若,60ο=∠EFB 则=∠AED例4．已知，,100,//ο=∠=∠A B OA BC 试回答下列问题：725-- 825-- 925--(1)如图5-2-7所示，求证：;//AC OB(2)如图5-2-8所示，若点E ，F 在线段BC 上，且满足，AOC FOC ∠=∠并且OE 平分.BOF ∠则EOC ∠的度数等于 （在横线上填上答案即可）；(3)在(2)的条件下，若平行移动AC ，如图5-2-9，那么OFB OCB ∠∠:的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值； (4)在(3)的条件下，如果平行移动AC 的过程中，若使,OCA OEB ∠=∠此时OCA ∠度数等于 （在横线上填上答案即可）．检测4．（广东澄海区期末）如图5 -2 -10所示，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补．(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由； (2)如图5-2 -11所示，BEF ∠与FFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ．点H 是MN 上一点，且GHlEG ，求证：;//GH PF(3)如图5-2 -12所示，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使=∠PHK ,HPK ∠作PQ 平分EPK ∠问HPQ ∠的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由，625---122-5-5--1110225-第二节平行线的性质和判定（建议用时 35分钟）实战演练1．（浙江绍兴期末）如图5-2-1所示，,//,////DB EG DC EF AB 则图中与1∠相等的角(1∠除外）共有( )6.A 个 5.B 个 4.C 个 3.D 个2．（浙江金华中考）以下四种沿AB 折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线以，6互相平行的是( )125-- 225-- 325-- 425-- 525--A ．如图5-2-2所示，展开后测得21∠=∠B ．如图5-2-3所示，展开后测得4321∠=∠∠=∠且C ．如图5-2-4所示，测得21∠=∠D ．如图5-2-5所示，展开后再沿CD 折叠，两条折痕的交点为0，测得,OB OA =OD =OC3．如图5-2-6所示是五条胡同的路线图，),(F F D C B A →--→→→经过测量得到C B ∠=∠,70ο=,110ο=∠=∠E D 则图中互相平行的线有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对625-- 725-- 825-- 925--4．（山东聊城中考）如图5-2-7所示，,//CD AB ,68ο=∠B ,20ο=∠E 则D ∠的度数为（ ）ο28.A o B 38. ο48.C ο88.D5．如图5-2-8所示，HG EF BC AD ,,//交于点HI P ,平分,GHF ∠PM 平分EPH ∠HI 交PM 的反向延长线于Q ，//PN,HI 下列结论：,GEP EGP ∠=∠①若则;//AD PM 2=∠GEP ②;MPN ∠,2Q FPN ∠=∠③其中正确的是( )①②③.A ①③.B ②③.C ①②.D6，（山东聊城模拟）如图5-2-9所示，在四边形ABCD 中，=∠B ,120ο,50oD =∠将C ∠向内折出一个,PRC ∆恰好使,//AB CP //CR ,AD 则C ∠的度数是( )ο80.A ο85.B ο95.C o D 110.7．如图5 -2 - 10所示，已知,AB GF ⊥,21∠=∠,B AGH ∠=∠则下列结论：;//BC GH ①;HGM D ∠=∠②;//FG DE ③,AB HE ⊥④其中正确的是( )①②⋅A ③ ②③④⋅B ①③④⋅C ①②③④⋅D1125-- 1225--8．（广西玉州区期末）如图5 -2 - 11所示，已知BAD CD AB ∠,//和BCD ∠的平分线交于点E ．,1001ο=∠,m BAD =∠ο则EC A ∠的度数为9，如图5 -2 - 12所示，直线,//21l l 若,125ο=∠A ,85ο=∠B 则=∠+∠21 10．如图 5 -2 - 13所示，已知,180ο=∠+∠BCD B .D B ∠=∠求证：.DFE E ∠=∠证明：οΘ180=∠+∠BCD B （ ）CD AB //∴（ ）=∠∴B （两直线平行，同位角相等）， D B ∠=∠Θ（已知）， D DCE ∠=∠∴（等量代换）， BF AD //∴（ ）DFE E ∠=∠∴（ ）11．如图5 -2 - 14所示，直线AB ，CD 被EF 所截，,21∠=∠,BME CNF ∠=∠求证：AB ,//CD .//NQ MP12.（山东招远市期耒）如图5-2 -15所示，点D ，E 分别在ABC ∆的边AB ，AC 上，点F 在DC 上，且,18021ο=∠+∠.3B ∠=∠求证：.//BC DE1325--1425--1525--13.小明将一直角三角板(ο30=∠A )放在如图5 -2 - 16所示的位置，且.21C ∠=∠+∠ (1)证明：;//b a(2)经测量知,1A ∠=∠求;2∠(3)如图5-2 - 17所示，将三角板进行适当转动，直角顶点始终在两直线间，M 在线段CD 上，且CEH CEM ∠=∠给出下列结论：BDFMEG∠∠①的值不变：BDF MEG ∠-∠②的值不变，可以证明，其中只有一个是正确的，请你作出正确的选择并直接写出此值，1625-- 1725--14.如图5-2-18所示，.F D B E C A ∠+∠+∠=∠+∠+∠求证：.//CD AF15.问题情景：如图5-2 - 19所示，,//CD AB ,130oPAB =∠,120ο=∠PCD 求APC ∠的度数． (1)天天同学看过图形后立即口答出：,110oAPC =∠请你补全他的推理依据．如图5 -2 - 20所示，过点P 作,//AB PE,//CD AB ΘCD AB PE ////∴（ .180ο=∠+∠∴APE Aο180=∠+∠CPE C （ ）,120,130οΘ=∠=∠PCD PAB O.60.50ο=∠=∴⊥CPE APE o1825--ο110=∠+∠=∠∴CPE APE APC （ ）问题迁移：(2)如图5-2- 21所示，,//BC AD 当点P 在A ，B 两点之间运动时，,α∠=∠ADP ,β∠=∠BCP 求βα∠∠∠,与CPD 之间有何数量关系？请说明理由．(3)在(2)的条件下，如果点P 在A ，B 两点外侧运动时（点P 与点A ，B ，0三点不重合），请你直接写出CPD ∠与βα∠∠,之间的数量关系．1925-- 2025-- 2125--拓展创新16.（辽宁鞍山期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．(1)如图5 -2 - 22所示，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射到平面镜b 上，又被b 反射．若被6反射出的光线n 与光线m 平行，且,381ο=∠则=∠2 ;=∠3(2)在(1)中，若ο551=∠则=∠3 ;若,401ο=∠则=∠3(3)由(1)．(2)猜想：当两平面镜a ，b 的夹角=∠3 时，可以使任何射到平面镜a 上的光线m ，经过平面镜a ，b 的两次反射后，入射光线m 与反射光线n 平行．你能说明理由吗？拓展1．有一款灯，内有两面镜子AB ，BC ，当光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，即图5 -2 - 23、图5-2 -24中的.43,21∠=∠∠=∠2225--2325-- 2425--(1)如图5 -2 - 23所示，当BC AB ⊥时，说明为什么进入灯内的光线EF 与离开灯的光线GH 互相平行； (2)如图5-2 - 24所示，若两面镜子的夹角为)900(οο<<αα时，进入灯内的光线与离开灯的光线的夹角为),900(οο<<ββ试探索α与β的数量关系；(3)若两面镜子的夹角为),18090(οο<<αα进入灯内的光线与离开灯的光线所在直线的夹角为).900(οο<<ββ直接写出α与β的数量关系．拓展2．（湖北武昌区期末）一个长方形台球桌面ABCD )90,//,//(ο=∠A BC AD DC AB 如图5 -2 - 25所示，已知台球在与台球桌边沿碰撞的过程中，撞击线路与桌边的夹角等于反射线路与桌边的夹角，即.21∠=∠(1)台球经过如图5 -2 - 26所示的两次反弹后，撞击线路EF ，第二次反弹线路GH ， 求证：;//GH EF(2)台球经过如图5 -2 - 27所示的两次反弹后，撞击线路EF 和第二次反弹线路GH 是否仍然平行，给出你的结论并说明理由．2525-- 2625-- 2725--极限挑战17．平面上有100条直线，其中有20条是互相平行的，问这100条直线最多能将平面分成部分，课堂答案培优答案。
最新学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型(1)1
目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元—次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)1平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑战压轴题（粮道街2015—2016 七下期中）如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第一讲 平行线四大模型（课后作业）1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2．（武昌七校2015-2016七下期中）若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5．6．如阁所示，AB ∥CD ，∠l =l l 0°，∠2=120°，则∠α= .7．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .8．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .9．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．.9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；精品文档(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.精品文档。
(完整版)平行线知识点+四大模型
平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°. （2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG=100°，∠FGH=140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。
专题 平行线四大模型(知识解读)-中考数学(全国通用)
专题03 平行线四大模型（知识解读）【专题说明】历年中考考试中，有不少题目都考查了平行线的性质及应用，现汲取四大模型，供同学们赏析，希望能到达指导学习之目的。
【方法技巧】模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.【典例分析】【模型1 “铅笔”模型】【典例1】如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360°B．300°C．270°D．180°【变式1-1】把一块等腰直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．20°B．18°C．15°D．13°【典例2】问题情境：（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）【变式2-1】已知，AB∥CD，试解决下列问题：（1）如图1，∠1+∠2＝；（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝；（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．【变式2-2】如图，已知BQ∥GE，AF∥DE，∠1＝50°．（1）求∠AFG的度数；（2）若AQ平分∠F AC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度数．【模型2 “猪蹄”模型（M模型）】【典例3】【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．【问题解决】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝．【问题探究】（2）如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C ＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．【问题拓展】（3）如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．【变式3-1】如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（）A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α【变式3-2】学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝．（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．【变式3-3】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【模型3“锯齿”模型】【典例4】如图，点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．求证：∠E＝∠F．【变式4-1】2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF 的度数．【变式4-2】如图已知：∠1＝∠2，请再添加一个条件，使AB∥CD成立，并写出证明过程．【变式4-3】如图（a），已知∠BAG+∠AGD＝180°，AF、EF、EG是三条折线段．（1）若∠E＝∠F，如图（b）所示，求证：∠1＝∠2；（2）根据图（a），写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，不需证明．专题03 平行线四大模型（知识解读）【专题说明】历年中考考试中，有不少题目都考查了平行线的性质及应用，现汲取四大模型，供同学们赏析，希望能到达指导学习之目的。
(2021年整理)七年级数学培优-平行线四大模型
七年级数学培优-平行线四大模型编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（七年级数学培优-平行线四大模型）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等,那么这两条直线平行．简称：同位角相等,两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等,两直线平行，判定方法3:两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么这两条直线平行．简称:同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2,则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等,两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行)．另有平行公理推论也能证明两直线平行:2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等,或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来,如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截,得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3:两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1:若AB∥CD,则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD。
学而思初一数学培优之平行线初步(一)
3
(清华附中统练)如图， ⑵如图，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内
错角？哪些是同旁内角？
A
E
H 23
1
C
F
4B G D
垂线： 垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条 叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 如图所示，可以记作“AB⊥CD于O”
A
CO D B
性质1：在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且只有一条直 线与已知直线垂直。简单说成：过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直；
两条直线被第三条直线所截两个角两条直线被第三条直线所截两个角都在两条直线之间并且位置交错即分别在第三条直线的两旁这样的即分别在第三条直线的两旁这样的一对角叫做内错角如图中同旁内角
直线的相交(上)
平面内两条直线的位置关系：平行与相交
平行直线：在同一平面内，永不相交的两条线称为平行线。 相交直线：如果直线a与直线b只有一个公共 点，则称直线a
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最 短。简单说成：垂线段最短。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
A
【例5】如图，已知 MON 及点P，分别画出点P到射线OM、 ON的垂线段PA、PB。
M P N
MP
ON
ON
M P
O
CO D
B
4
【例6】⑴如图，已知 ACB 90°。CD AB ，垂足为D，则 点A到直线CB的距离为 线段_____ 的长；线段DB 的长为点____到直线____的距离。
是互为邻补角
3O a
1
2
4
b
【例1】⑴已知：如图，直线AB、AC交于点O， 且 AOD BOC 120°，求AOC 的度数。
七年级数学培优-平行线四大模型
平行线四大模子之袁州冬雪创作平行线的断定与性质l、平行线的断定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，便可以断定这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有坚苦，所以难以直接根据定义来断定两条直线是否平行，这就需要更简单易行的断定方法来断定两直线平行．断定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那末这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．断定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那末这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，断定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那末这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．还有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那末这两条直线也互相平行．2、平行线的性质操纵同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以断定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模子模子一“铅笔”模子点P在EF右侧，在AB、CD外部“铅笔”模子结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模子二“猪蹄”模子（M模子）点P在EF左侧，在AB、CD外部“猪蹄”模子结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模子三“臭脚”模子点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模子结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模子四“骨折”模子点P在EF左侧，在AB、CD外部·“骨折”模子结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固操练平行线四大模子证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2） 已知∠P =∠AEP +∠CFP ，求证AE ∥CF ．（3） 已知AE ∥CF ，求证∠P =∠AEP -∠CFP .（4） 已知∠P = ∠CFP -∠AEP ,求证AE //CF .模块一 平行线四大模子应用例1（1）如图，a ∥b ,M 、N 分别在a 、b 上，P 为两平行线间一点，那末∠l +∠2+∠3= ．(2)如图，AB ∥CD ，且∠A =25°，∠C =45°，则∠E的度数是． (3)如图，已知AB ∥DE ，∠ABC =80°，∠CDE =140°，则∠BCD = .(4) 如图，射线AC ∥BD ，∠A = 70°，∠B = 40°，则∠P =． 练(1)如图所示，AB ∥CD ，∠E =37°，∠C = 20°，则∠EAB 的度数为．(2) 如图，AB ∥CD ，∠B =30°，∠O =∠C ．则∠C =.例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n 1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C、∠F的关系（用含n的等式暗示）.例3如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模子构造例5如图，直线AB∥CD，∠EFA= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM=.练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG=.例 6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。
七年级数学培优-平行线四大模型
平行线四大模型本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论结论模型四“骨折”模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 180°．（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG=100°，∠FGH=140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。
初一平行线讲义
解码专训一：两直线的位置关系名师点金：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：平行或相交，而不在同一平面内，不重合的两条直线还存在着既不平行也不相交这种位置关系．同一平面内两直线的位置关系1．下列说法正确的有()(1)同一平面内两直线有相交、平行、重合三种情况；(2)两直线垂直是相交的一种特殊情况；(3)同一平面内，两直线不垂直，则这两直线平行；(4)同一平面内三条直线既不重合也不平行，则它们最多有三个交点．A．1个B．2个C．3个D．4个2．三条直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是()A．a⊥b B．a∥bC．a⊥b或a∥b D．无法确定3．在同一平面内画三条直线，使它们分别满足以下条件：(1)它们没有交点；(2)它们有一个交点；(3)它们有两个交点；(4)它们有三个交点．不在同一平面内两直线的位置关系(第4题)4．如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱A1B1平行的棱有________；与棱CC1在同一平面内且垂直的棱有________________；与棱BC既不平行也不相交的棱有______________．解码专训二：“三线八角”的识别方法名师点金：两条直线被第三条直线所截，可得到“三线八角”，识别两个角属于何种类别时可联想英文大写字母，即“F”形的为同位角，“Z”形的为内错角，“U”形的为同旁内角，每类角都有一个共同点，即：有两条边在截线上，另外两条边在被截直线上．识别同位角、内错角、同旁内角1．如图，试判断∠1与∠2，∠1与∠7，∠1与∠BAD，∠2与∠9，∠2与∠6，∠5与∠8各对角的位置关系．(第1题)从复杂图形中找同位角、内错角、同旁内角2．如图，请结合图形找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角．(第2题)解码专训三：常见辅助线的作法名师点金：在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起．加截线(连接两点或延长线段)1．如图，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE.∠BFE与∠FEC有何关系？并说明理由．(第1题)过“拐点”作平行线a．“”形图2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，求∠BPC的度数．(第2题)b．“”形图3．如图，已知AB∥CD，请你猜想一下∠B＋∠BED＋∠D的度数，并说明理由．(第3题)c．“”形图4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？(第4题)d．“”形图5．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝72°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．(第5题)平行线间多折点角度问题探究6．(1)如图①，AB∥CD，则∠BEF＋∠FGD与∠B＋∠EFG＋∠D有何关系？并说明理由．(2)如图②，若AB∥CD，又能得到什么结论？(第6题)解码专训四：几何计数的四种常用方法名师点金：1.对于几何中的计数问题，掌握一定的方法能够让我们准确、高效地得出结果，常见的计数方法有：按顺序计数、按画图计数、按基本图形计数、按从特殊到一般的思想方法计数．2．计数的原则是不重复、不遗漏．按顺序计数问题1．如图，两条直线相交于一点O，则图中共有()对邻补角．(第1题)A．2B．3C．4D．52．在同一平面内有A，B，C，D，E五个点，以其中任意两点画直线最多有________条．按画图计数问题3．请你画图说明同一平面内的4条直线的位置关系，它们分别有几个交点？4．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图．按基本图形计数问题5．如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？(第5题)按从特殊到一般的思想方法计数问题6．观察如图所示的图形，寻找对顶角(不含平角)．(第6题)(1)两条直线相交于一点，如图①，共有________对对顶角；(2)三条直线相交于一点，如图②，共有________对对顶角；(3)四条直线相交于一点，如图③，共有________对对顶角；……(4)根据以上结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角有____________对；(5)根据探究结果，求2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．7．平面内n条直线最多将平面分成多少个部分？解码专训五：活用判定两直线平行的六种方法名师点金：1.直线平行的判定方法很多，我们要根据图形的特征和已知条件灵活选择方法．2．直线平行的判定常结合角平分线、对顶角、邻补角、垂直等知识．3．直线平行的判定和性质常常结合在一起，解决有关角度的计算或证明角相等等问题．利用平行线的定义1．下面几种说法中，正确的是()A．同一平面内不相交的两条线段平行B．同一平面内不相交的两条射线平行C．同一平面内不相交的两条直线平行D．以上三种说法都不正确利用“同平行于第三条直线的两直线平行”2．如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，试说明AB∥EF.(第2题)利用“同垂直于第三条直线的两直线平行(在同一平面内)”3．如图，在三角形ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，DE∥CA，CE平分∠ACB，试说明∠EDF＝∠BDF.(第3题)利用“同位角相等，两直线平行”4．(探究题)如图，已知∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，∠3＝∠F，试判断EC 与DF是否平行，并说明理由．(第4题)利用“内错角相等，两直线平行”5．如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3，说明AB∥CD.(第5题)利用“同旁内角互补，两直线平行”6．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则AB与CD平行吗？请说明理由．(第6题)解码专训六：思想方法荟萃名师点金：1.本章体现的主要方法有：基本图形(添加辅助线)法、分离图形法、平移法．2．几种主要的数学思想：方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等．基本图形(添加辅助线)法1．已知AB∥CD，探讨图中∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系，并请你说明成立的理由．(第1题)分离图形法2．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得出同旁内角多少对？(第2题)平移法3．如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的小路(阴影部分)，余下部分绿化，小路的宽为2 m，则绿化的面积为多少？(第3题)转化思想4．如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE.(第4题)数形结合思想5．如图，直线AB，CD被EF所截，∠1＝∠2，∠CNF＋∠BMN＝180°.试说明：AB∥CD，MP∥NQ.(第5题)分类讨论思想6．如图，已知直线l1∥l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD 上的一个动点，当P在线段CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．(第6题)。
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目录
Contents
第1讲平行线四大模型 (1)
第2讲实数三大概念 (17)
第3讲平面直角坐标系 (33)
第4讲坐标系与面积初步 (51)
第5讲二元—次方程组进阶 (67)
第6讲含参不等式（组） (79)
1平行线四大模型
知识目标
目标一熟练掌握平行线四大模型的证明
目标二熟练掌握平行线四大模型的应用
目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造
秋季回顾平行线的判定与性质
l、平行线的判定
根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．
判定方法l：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简称：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简称：内错角相等，两直线平行，
判定方法3：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简称：同旁内角互补，两直线平行，
如上图：
若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
另有平行公理推论也能证明两直线平行：
平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
2、平行线的性质
利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同
旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简称：两直线平行，同位角相等
性质2：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简称：两直线平行，内错角相等
性质3：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简称：两直线平行，同旁内角互补
本讲进阶平行线四大模型
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、CD内部
“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、CD内部
“猪蹄”模型结论
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、CD外部
“臭脚”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、CD外部
“骨折”模型结论
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
巩固练习平行线四大模型证明
（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°
.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．
（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.
（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.
模块一平行线四大模型应用
例1
（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．
(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．
(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .
(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．
练
(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．
(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）
如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .
例2
如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.
练
如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =
n 1∠ABF ，∠FDC =n
1
∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；
(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.
例3
如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .
练
如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.
例4
如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．
练
（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．
A. 120°
B. 135°
C. 145°
D. 150°
模块二平行线四大模型构造
例5
如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则
∠GHM= .
练
如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .
例6
已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．
练
已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.
(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的
关系．
(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．
(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．
如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．
挑战压轴题
（粮道街2015—2016 七下期中）
如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；
(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPB
Q
∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；
(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPB
Q
∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．
第一讲 平行线四大模型（课后作业）
1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).
A . 180°
B . 270°
C . 360°
D . 450°
2．（武昌七校2015-2016七下期中）
若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =3
2∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．
A ．2:1
B ．3:1
C ．4:3
D ．3:2
3.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .
4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．
5．如阁所示，AB ∥CD ，∠l =l l 0°，∠2=120°，则∠α= .
6．如图所示，AB ∥DF ，∠D =116°，∠DCB =93°，则∠B = .
7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .
8．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．
9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.
10．已知，直线AB∥CD．
(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；
（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；
(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.。