高中物理复习平抛运动的常见问题及求解思路

高中物理平抛运动的常见问题及求解思路(08全国理综卷Ⅰ) 14.如图所示,一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上.物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足 DA.tanφ=sinθB. tanφ=cosθC. tanφ=tanθD. tanφ=2tanθ平抛运动的常见问题及求解思路关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆周运动组合的问题、有平抛运动与天体运动组合的问题、有平抛运动与电场（包括一些复合场）组合的问题等。

1. 从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。

[例1] 如图1所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A处越过m=x5多大？解析：在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间s s g h t 5.01025.122=⨯==在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为s m s m t x v /10/5.050===2. 从分解速度的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，则我们常常是“从分解速度”的角度来研究问题。

[例2] 如图2甲所示，以9.8m/s 的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为︒30的斜面上。

可知物体完成这段飞行的时间是（ ）A.33解析：（如图2乙所示）。

根据平抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是始终不变的，所以0v v x =；又因为t v 与斜面垂直、y v 与水平面垂直，所以t v 与y v 间的夹角等于斜面的倾角θ。

再根据平抛运动的分解可知物体在竖直方向做自由落体运动，那么我们根据y v gt =就可以求出时间t 了。

则yxv v =θtan 所以s m s m v v v x y /38.9/318.930tan tan 0==︒==θ根据平抛运动竖直方向是自由落体运动可以写出gt v y =所以s gv t y 38.938.9===所以答案为C 。

3. 从分解位移的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的位移方向（如物体从已知倾角的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹角），则我们可以把位移分解成水平方向和竖直方向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题（这种方法，暂且叫做“分解位移法”）[例3] 若质点以V 0正对倾角为θ的斜面水平抛出,如果要求质点到达斜面的位移最小，求飞行时间为多少?解析：（1）连接抛出点O 到斜面上的某点O 1 ，其间距OO 1为位移大小。

当OO 1垂直于斜面时位移最小。

（2）分解位移：利用位移的几何关系可得θθtg 2,21020g v t gtt v y xtg ===。

[例3] 在倾角为α的斜面上的P 点，以水平速度0v 向斜面下方抛出一个物体，落在斜面上的Q 点，证明落在Q 点物体速度α20tan 41+=v v 。

解析：设物体由抛出点P 运动到斜面上的Q 点的位移是l ，所用时间为t ，则由“分解位移法”可得，竖直方向上的位移为αsin l h =；水平方向上的位移为αcos l s =。

又根据运动学的规律可得 竖直方向上221gt h =，gt v y = 水平方向上t v s 0=则002221tan v v t v gt s h y ===α，αtan 20v v y =所以Q 点的速度α20220tan 41+=+=v v v v y[例4] 如图3︒37和︒53图3解析：︒37和︒53都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的方法可以得到02221tan v gtt v gt x y ===α所以有01237tan v gt =︒ 同理02253tan v gt =︒ 则16:9:21=t t4. 从竖直方向是自由落体运动的角度出发求解在研究平抛运动的实验中，由于实验的不规范，有许多同学作出的平抛运动的轨迹，常常不能直接找到运动的起点（这种轨迹，我们暂且叫做“残缺轨迹”），这给求平抛运动的初速度带来了很大的困难。

为此，我们可以运用竖直方向是自由落体的规律来进行分析。

[例5] 某一平抛的部分轨迹如图4所示，已知a x x ==21，b y =1，c y =2，求0v 。

解析：A 与B 、B 与C 的水平距离相等，且平抛运动的水平方向是匀速直线运动，可设A 到B 、B 到C 的时间为T ，则T v x x 021==又竖直方向是自由落体运动， 则212gT y y y =-=∆代入已知量，联立可得g bc T -=bc g av -=0 5. 从平抛运动的轨迹入手求解问题[例6] 从高为H 的A 点平抛一物体，其水平射程为s 2，在A 点正上方高为2H 的B 点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为s 。

两物体轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的高一个角度，即从运动轨迹入手进行思考和分析，问题的求解会很容易，如图5所示，物体从A 、B 两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在y 轴上的抛物线，即可设A 、B 两方程分别为c bx ax y ++=2，c x b x a y '+'+'=2则把顶点坐标A （0，H ）、B （0，2H ）、E （2s ，0）、F （s ，0）分别代入可得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=H x s H y H x s H y 2242222这个方程组的解的纵坐标H y 76=，即为屏的高。

6. 灵活分解求解平抛运动的最值问题[例7] 如图6所示，在倾角为θ的斜面上以速度0v 水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距解析：质凸显出来。

取沿斜面向下为x 轴的正方向，垂直斜面向上为y 轴的正方向，如图6所示，在y 轴上，小球做初速度为θsin 0v 、加速度为θcos g -的匀变速直线运动，所以有θθcos 2)sin (202gy v v y -=- ①t g v v y θθcos sin 0-=- ②当0=y v 时，小球在y 轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。

由①式可得小球离开斜面的最大距离θθcos 2)sin (20g v y H == 当0=y v 时，小球在y 轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大距离的时间。

由②式可得小球运动的时间为θtan 0gv t =7. 利用平抛运动的推论求解推论1：任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直角三角形。

[例8] 从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大与竖直方向的夹角分别为α和β，对两小球分别构建速度矢量直角三角形如图7所示，由图可得1cot v gt=α和gtv 2tan =β 又因为︒=+90βα，所以βαtan cot = 由以上各式可得gtv v gt 21=，解得211v v g t = 推论2：任意时刻的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角形[例9] 宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为l ，若抛出时初速度增大到两倍，则抛出点与落地点之间的距离为l 3。

已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G ，求该星球的质量M 。

解析：设第一次抛出小球，小球的水平位移为x ，竖直位移为h ，如图8所示，构建位移矢量直角三角形有222l h x =+若抛出时初速度增大到2倍，重新构建位移矢量直角三角形，如图9所示有，222)3()2(l h x =+由以上两式得3l h =令星球上重力加速度为g '，由平抛运动的规律得221t g h '= 由万有引力定律与牛顿第二定律得g m RGMm'=2由以上各式解得22332Gt lR M =推论3：平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。

证明：设平抛运动的初速度为0v ，经时间t 后的水平位移为x ，如图所示，D 为末速度反向延长线与水平分位移的交点。

根据平抛运动规律有由图可知，ABC ∆与ADE ∆相似，则yv y =0 联立以上各式可得2x DE =该式表明平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。

推论4：平抛运动的物体经时间t 后，其速度t v 与水平方向的夹角为α，位移s 与水平方向的夹角为β，则有βαtan 2tan =证明：如图，设平抛运动的初速度为0v ，经时间t 后到达A 点的0由上面两式可得βαtan 2tan =[例11] 一质量为m 的小物体从倾角为︒30的斜面顶点A 水平抛出，落在斜面上︒==30tan 2tan 2tan βα，所以332tan =α 由三角知识可得213cos =α又因为αcos 0v v t =所以初动能J E mv E kB kA 152192120===[例12] 如图所示，从倾角为θ斜面足够长的顶点A ，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为1v ，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为1α，第二次初速度2v ，球落在斜面的大小。

解析：θα)tan(+所以θθα-=)tan 2arctan(此式表明α仅与θ有关，而与初速度无关，因此21αα=，即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。

推论5：平抛运动的物体经时间t 后，位移s 与水平方向的夹角为β，则此时的动能与初动能的关系为)tan 41(20β+=k kt E E证明：设质量为m 的小球以0v 的水平初速度从A 点抛出，经时间t到达B 点，其速度t v 与水平方向的夹角为α，根据平抛运动规律可作出位移和速度的合成图，如图所示。

图由上面推论4可知βαtan 2tan = 从图16中看出βαtan 2tan 00v v v y == 小球到达B 点的速度为β20220tan 41+=+=v v v v y t所以B 点的动能为)tan 41(21212202β+==mv mv E t kB )tan 41(20β+=k E[例13] 如图17所示，从倾角为︒30的斜面顶端平抛一个物体，阻力不计，由βαtan 2tan =可得αβtan 21tan =所以当物体距斜面的距离最远时的动能为J J E E k kt 12)30tan 1(9)tan 41(220=︒+⨯=+=β根据物体在做平抛运动时机械能守恒有J J E E k p 3)912(=-=∆=∆即重力势能减少了3J平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，有关平抛运动的命题也层出不穷。