万有引力及天体运动经典习题汇总

第五章 万有引力定律基础知识一.开普勒运动定律(1)开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．(2)开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．二.万有引力定律(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．(2)公式：F ＝G 221r m m ,其中2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-，称为为有引力恒量。

(3)适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体,r 是两球心间的距离．注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G 的物理意义是：G 在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力．三、万有引力和重力重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F 向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g 随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m 2g ＝G 221rm m , g=GM/r 2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即g h =GM/（r+h ）2，比较得g h =（hr r +）2·g 在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F 向和m 2g 刚好在一条直线上，则有F ＝F 向＋m 2g ，所以m 2g=F 一F 向＝G 221rm m －m 2R ω自2 因地球目转角速度很小G 221r m m » m 2R ω自2,所以m 2g= G 221rm m 假设地球自转加快，即ω自变大，由m 2g ＝G 221rm m －m 2R ω自2知物体的重力将变小，当G 221rm m =m 2R ω自2时，m 2g=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω自＝13Gm R ，比现在地球自转角速度要大得多.四.天体表面重力加速度问题设天体表面重力加速度为g,天体半径为R ，由mg=2Mm GR 得g=2M G R ,由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为21212212g R M g R M =* 五．天体质量和密度的计算原理：天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力．G 2r mM =m 224T πr ，由此可得：M=2324GT r π；ρ=V M =334R M π=3223R GT r π（R 为行星的半径） 由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r 及运行周期T ，就可以算出天体的质量M ．若知道行星的半径则可得行星的密度六．卫星的绕行角速度、周期与高度的关系（1）由()()22mMv G m r h r h =++，得v =h ↑，v ↓ （2）由G ()2h r mM +=m ω2（r+h ），得ω=()3h r GM +，∴当h ↑，ω↓ （3）由G ()2h r mM +()224m r h T π=+，得T=()GM h r 324+π ∴当h ↑，T ↑ 七．三种宇宙速度：① 第一宇宙速度（环绕速度）：v 1=7.9km/s ，人造地球卫星的最小发射速度。

也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度。

② 第二宇宙速度（脱离速度）：v 2=11.2km/s ，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。

③ 第三宇宙速度（逃逸速度）：v 3=16.7km/s ，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

八．第一宇宙速度的计算．方法一：地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力．G ()2h r mM +=m ()h r v +2，v=h r GM +。

当h ↑，v ↓，所以在地球表面附近卫星的速度是它运行的最大速度。

其大小为r＞＞h （地面附近）时，1V =．9×103m/s 方法二：在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力．()21v mg m r h =+．当r ＞＞h 时．g h ≈g 所以v 1＝gr =7．9×103m/s 第一宇宙速度是在地面附近h ＜＜r ，卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度．九．两种最常见的卫星⑴近地卫星。

近地卫星的轨道半径r 可以近似地认为等于地球半径R ，由式②可得其线速度大小为v 1=7.9×103m/s ；由式③可得其周期为T =5.06×103s=84min 。

由②、③式可知，它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。

神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为340km ，线速度约7.6km/s ，周期约90min 。

⑵同步卫星。

同步地球卫星的特点：1、同步地球卫星的主要特征是与地面相对静止，卫星这个特征就决定了；2、所有同步卫星必须在赤道上空，其轨道平面必然和赤道平面重合；3、所有同步卫星运转周期与地球自转周期相同；4、所有同步卫星高度必为定值（大约3.59×107米）；5、所有同步卫星以相同的速率绕地球运行，即v 一定。

“同步”的含义就是和地球保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期，即T =24h 。

由式G ()2h r mM +=m ()h r v +2= m 224T π（r+h ）可得，同步卫星离地面高度为 h ＝3224πGMT －r ＝3·58×107 m 即其轨道半径是唯一确定的离地面的高度h =3.6×104km ，而且该轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致即由西向东。

如果仅与地球自转周期相同而不定点于赤道上空，该卫星就不能与地面保持相对静止。

因为卫星轨道所在平面必然和地球绕日公转轨道平面重合，同步卫星的线速度 v=hr GM +=3.07×103m/s 通讯卫星可以实现全球的电视转播，从图可知，如果能发射三颗相对地面静止的卫星（即同步卫星）并相互联网，即可覆盖全球的每个角落。

由于通讯卫星都必须位于赤道上空3.6×107m 处，各卫星之间又不能相距太近，所以，通讯卫星的总数是有限的。

设想在赤道所在平面内，以地球中心为圆心隔50放置一颗通讯卫星，全球通讯卫星的总数应为72个。

十.了解不同高度的卫星飞行速度及周期的数据卫星飞行速度及周期仅由距地高度决定与质量无关。

设卫星距地面高度为h ，地球半径为R ，地球质量为M ，卫星飞行速度为v ，则由万有引力充当向心力可得v=[GM/（R+h ）]½。

知道了卫星距离地面的高度，就可确定卫星飞行时的速度大小。

不同高度处人造地球卫星的环绕速度及周期见下表：高度(km) 0 300 500 1000 3000 5000 35900（同步轨道） 38000（月球轨道） 环绕速度(km/s) 7.91 7 .73 7. 62 7.36 6.53 5.29 2.77 0.97周期（分） 84.4 90 .5 94.5 105 150 210 23小时56分 28天十一.卫星的超重和失重（1）卫星进入轨道前加速过程，卫星上物体超重．(2) 卫星进入轨道后正常运转时，卫星上物体完全失重．十二.人造天体在运动过程中的能量关系当人造天体具有较大的动能时，它将上升到较高的轨道运动，而在较高轨道上运动的人造天体却具有较小的动能。

反之，如果人造天体在运动中动能减小，它的轨道半径将减小，在这一过程中，因引力对其做正功，故导致其动能将增大。

同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同。

其中卫星的动能为rGMm E K 2=，由于重力加速度g 随高度增大而减小，所以重力势能不能再用E k =mgh 计算，而要用到公式rGMm E P -=（以无穷远处引力势能为零，M 为地球质量，m 为卫星质量，r 为卫星轨道半径。

由于从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功，所以系统势能减小，为负。

）因此机械能为r GMm E 2-=。

同样质量的卫星，轨道半径越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发射越困难。

十三.相关材料1．人造卫星做圆轨道和椭圆轨道运行的讨论当火箭与卫星分离时，设卫星的速度为v （此即为发射速度），卫星距离地心为r,并设此时速度与万有引力垂直（通过地面控制可以实现）如图所示，则2Mm F G r 万，若卫星以v 绕地球做圆周运动，则所需要的向心力为：F 向＝2v m r①当F 万=F 向时，卫星将做圆周运动．若此时刚好是离地面最近的轨道，则可求出此时的发射速度v ＝7.9 km/s.②当F 万＜F 向时，卫星将做离心运动，做椭圆运动，远离地球时引力做负功，卫星动能转化为引力势能．（神州五号即属于此种情况）③当F 万＞F 向时，卫星在引力作用下，向地心做椭圆运动，若此时发生在最近轨道，则v ＜7.9 km/s ，卫星将坠人大气层烧毁。

因此：星箭分离时的速度是决定卫星运行轨道的主要条件．卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术．以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：如图所示，在轨道A 点，万有引力F A ＞2v m r，要使卫星改做圆周运动，必须满足F A ＝2v m r和F A ⊥v ，在远点已满足了F A ⊥v 的条件，所以只需增大速度，让速度增大到2v m r＝F A ，这个任务由卫星自带的推进器完成． 这说明人造卫星要从椭圆轨道变到大圆轨道，只要在椭圆轨道的远点由推进器加速，当速度达到沿圆轨道所需的速度，人造卫星就不再沿椭圆轨道运动而转到大圆轨道．“神州五号”就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的． 十四.处理人造天体问题的基本思路由于运行中的人造天体，万有引力全部提供人造地球卫星绕地球做圆周运动的向心力，因此所有的人造地球卫星的轨道圆心都在地心．解关于人造卫星问题的基本思路：①视为匀速圆周运动处理；②万有引力充当向心力；③根据已知条件选择向心加速度的表达式便于计算；④利用代换式gR 2=GM 推导化简运算过程。

注意：①人造卫星的轨道半径与它的高度不同．②离地面不同高度，重力加速度不同， 说明：可以看出，绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的轨道半径r 、线速度大小v 和周期T 是一一对应的，其中一个量确定后，另外两个量也就唯一确定了。