三角形全等11大解题模型汇总

三角形全等11大解题模型汇总
类别 1：角平分线模型应用
模型 1：角平分性质模型：
辅助线：过点 G 作 GE ⊥射线 AC
【例题详解】
①如图1，在中ABC ∆，
,cm 4,6,900==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是cm.
②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：.
图1图2
①2 （提示：作 DE ⊥AB 交 AB 于点 E）
②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.模型2：角平分线+垂线，等腰三角形比呈现
辅助线：延长ED 交射线OB 于F 辅助线：过点E 作EF∥射线OB
【例题详解】
已知：如图2，在中ABC ∆，,
,AD AB D BC AD BAC =∠且于交的角平分线)(2
1.AC AB AM M AD AD CM +=⊥求证：的延长线于交作分析：此题很多同学可能想到延长线段CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。

而此题突破口就在于 AB=AD，由此我们可以猜想过 C 点作平行线来构造等腰三角形.
证明：过点 C 作 CE∥AB 交 AM 的延长线于点 E.
例题变形:如图，21∠=∠，的中点为AC B ，.
,N FB AN M FB CM 于于⊥⊥模型3：角分线，分两边，对称全等要记全
两个图形的辅助线都是在射线OA 上取点B ，使OB=OA ，从而使OAC ∆≌△OBC.
【例题详解】
①、在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交BC 于P，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

思路分析：
1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。

2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。

形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。

可过O 作BC 的平行线。

得△ADO≌△AQO。

得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD 就可以了。

④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。

小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。

而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转
移线段中的作用。

从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。

②、如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．D P C B A
E
D P
C B A 【解析】PB PC AB AC +>+，理由如下．C
D B P A E
C
D B P A
【解析】在AB 上截取AE AC =，连结EP ，根据SAS 证得AEP ∆≌ACP ∆，∴PE PC =，AE AC
=又BEP ∆中，BE PB PE >-，BE AB AC =-，∴AB AC PB PC
->-类别 2：等腰直角三角形模型
模型 4：在斜边上任取一点的旋转全等：
操作过程：
（1）.将△ABD 逆时针旋转900
，使△ACM≌△ABD，从而推出△ADM 为等腰直角三角
形.（但是写辅助线时不能这样写）
MC ，连AM导出上述结论.
（2）.过点C作BC
模型5：定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：
操作过程：连AD.
（1）.使BF=AE（AF=CE），导出△BDF≌△ADE.
180，导出△BDF≌△ADE.
（2）.使∠EDF+∠BAC=0
【例题解析】
解析：方法一：过点C作，方法二：
证明：方法一：连接AM，证明△MDE≌△MAC.特别注意证明∠MDE=∠MAC.
方法二：过点M作MN⊥EC交EC于点N，得出MN为直角梯形的中位线，从而导出△MEC为等腰直角三角形.
例题3：① 已知：如图所示，Rt△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90
，O 为 BC 中点，若M、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持AN=CM.
①、是判断△OMN 的形状，并证明你的结论.
②、当M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动时，四边形AMON 的面积如何变化？
思路：两种方法：
模型6：构造等腰直角三角形
（1）、利用以上的1和2都可以构造等腰直角三角（略）；
（2）、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角.
例题3：
操作过程：在图3-2中，先将△ABD 以BD 所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿
水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使A 与M ，D 与E 重合.
【例题解析】
已知：平面直角坐标系中的三个点，()()()3,01201C B A ，，，，
-，求∠OCA+∠OCB
的度数.∴
如下图：
图4-1
图4-2
【例题解析】思路：构造正方形ACBM ，可以构造出等边△APM ，从而造
出，又根
据
，可得，再由于，故而得到从而得证.
例题拓展：若△ABC 不是等腰直角三角形，即，而是，
其他条件不变，求证：∠2=2∠1.类别 3：三垂直模型（弦图模型）
模型 8：模型7：将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：
由△ABE≌△BCD 导出
由△ABE≌△BCD 导由△ABE≌△BCD 导出ED=AE-CD
出EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD
【例题解析】例1.已知：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，
90=∠BAC ，D 为AC 中点，AF ⊥BD 于E ，交BC 于F ，连接DF.求证：∠ADB=∠CDF.
思路：
方法一:过点C 作MC ⊥AC 交AF 的延长线于点M.先证△ABD ≌△CAM ，
再证△CDF ≌△CMF 即可.
方法二：过点A 作AM ⊥BC 分别交BD 、BC 于H 、M .先证△ABH ≌△CAF ，再证
△CDF ≌△ADH 即可.
方法三：过点A 作AM ⊥BC 分别交BD 、BC 于H 、M .先证Rt △AMF ≌Rt △BMH ，得出
HF ∥AC.由M 、D 分别为线段AC 、BC 的中点，可得MD 为△ABC 的中位线从而推出MD ∥AB ，又由于
90=∠BAC ，故而MD ⊥AC，MD ⊥HF ，所以MD 为线段HF 的中垂线.所以∠1=∠2.再由∠ADB +∠1=∠CDF +∠2，则∠ADB =∠CDF .
模型9：手拉手模型
1、△ABE 和△ACF 均为等边三角形
结论：（1）. △ABF ≌△AEC
（2）.∠BOE=BAE=060（“八字模型证明”）
（3）.OA平分∠EOF
拓展：
条件：△ABC和△CDE均为等边三角形
结论：（1）、AD=BE（2）、∠ACB=∠AOB（3）、△PCQ为等边三角形（4）、PQ∥AE（5）、AP=BQ（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD（（7），（8）需构造等边三角形证明）
2、△ABD和△ACE均为等腰直角三角形
结论：（1）、BE=CD（2）BE⊥CD
3、ABEF和ACHD均为正方形
结论：（1）、BD ⊥CF （2）、BD =CF
【例题解析】
变形一：ABEF 和ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ，
求证：①M 为FD 的中点.②.
ADF ABC S S ∆∆=方法一：方法二：方法三：
变形二：ABEF 和ACHD 均为正方形，T 为FD 的中点，
求证：AS ⊥BC
4．当以AB、AC 为边构造正多边形时，总有：∠1=∠2=n
360180-.
模型10：双垂直+角平分线模型
结论：AE=AF
拓展：若AP平分∠BAD，其他条件不变，求证：AP⊥CF
模型11：半角模型
条件：
.
180
2
10
=
+
=γ
θ
β
α且
思路：1、延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF）
结论：①MN=BM+DN ②AB C CMN 2=∆③AM、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM 2、对称（翻折）
思路:分别将△ABM 和△ADN 以AM 和AN 为对称轴翻折，但一定要证明M、P、N 三点共线.（∠B+∠D =0180且AB=AD ）。