圆中角的关系
第16讲 圆心角、圆周角定理
OABC第16讲 圆（二）知识要点梳理：一、圆心角的定义：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(∠AOB 是AB所对的圆心角)二、圆心角定理及推论：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 （2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、圆周角的定义：如图所示，∠ACB 的顶点在圆周上，像这样的角叫做圆周角(∠ACB 是AB 所对的圆周角)． 四、圆周角的定理及推论：(1)定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半． (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 五、圆的内接四边形对角互补，对角互补的四边形是圆的内接四边形经典例题：例1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °， ∠ABD= °例2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2∠BACODC B ACA EFDO B例3、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。
求证：∠D=∠B例4.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，求BD 的长．例5、如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作AC DE ⊥,交AC 于点E ．连接OD 、OE （1）求证：DE ⊥OD ；（2）若AB=3DE ，且48=∆ABC S ,求OE 的长。
经典练习：一、选择题．1．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（ ）A ．AB =2CD B ．AB >CDC ．AB <2CD D ．不能确定 3．如图5，⊙O 中，如果AB =2AC ，那么（ ）．A ．AB=ACB ．AB=2AC C ．AB<2ACD ．AB>2ACOBA(5) 4．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）． A ．140° B ．110° C ．120° D ．130°OB2143OB(1) (2) (3) 5．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2C ．∠4<∠1<∠3<∠2D ．∠4<∠1<∠3=∠26．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（ ）．A ．3B ．3C ．5-123D ．5二、填空题1．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．2．如图6，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于 4．如图4，A 、B 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•O BC21EDOBCOBACED(4) (5) (6)OA CDO BP 5．如图5，已知△ABC 为⊙O 内接三角形，BC=•1，∠A=•60°，则⊙O•半径为_______．三、解答题1．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N 在⊙O 上． （1）求证：AM =BN ；（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？OBAC D N M2．如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=65°，求BE 的度数和EF 的度数．BACEDF3.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？4．如图，已知AB=AC ，∠APC=60° （1）求证：△ABC 是等边三角形．（2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．HGIOEDABCF30°B ANOMP OBACy xM5．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB 为⊙C 直径．（2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．能力拓展1.如图所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（ ） A.2 B.1 C.2 D.222.已知在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点E,F 为BA 延长线上一点，连接EF,以EF 为直径的⊙O 经过点D,与CD 边交于点G.(1)求∠FDE; (2)判断四边形ACDF 是什么四边形，说明理由（3）若G 为CD 中点，①求证：FD=FI ②设AC =2m ，BD =2n ，求⊙O 的面积与菱形ABCD 的面积之比．ODBAC 课后巩固：1.如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°2.如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=__________度。
圆心角弧长半径之间的关系
圆心角弧长半径之间的关系
角度是一个数学变量，有三个常用的单位制。
1）度、分、秒制。
一个圆周为360度，1度为60分，1分为60秒。
优势：真因数多，容易被整除，因此便于反映旋转的量，如二分之一圈、四分之一圈……都是简单的分数。
2）弧度制。
1弧度的圆心角所对应的弧长等于半径，记为1π。
优势：便于处理弧长与半径的关系和计算扇形的面积等，如圆周角的角度值为2π，平角的角度值为π。
3）密位制。
现在改为毫弧，1密位（毫弧）的正切近似等于1000。
优势：军事上便于测距，如军用望远镜中的标尺就是密位制的。
假如侦察兵在标尺中看到1密位正好卡住一辆坦克的车宽，他根据常识知道这型坦克的宽度是3米，就可以方便地算出到坦克的距离是3000米。
圆中有关的角
年 级 初三 学 科 数学 编稿老师 田一鹏 课程标题 圆中有关的角一校 张琦锋二校林卉审核孙永涛一、考点突破1. 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角的定义及其度量。
2. 掌握圆内接四边形的性质定理。
3. 了解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。
二、重难点提示重点：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系。
难点：圆周角定理的应用和分类讨论的思想在解题中的应用。
一、圆中有关的角⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩圆心角圆周角圆中有关的角圆内角圆外角弦切角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
OCB把整个圆周等分成360份，每一等份弧是1°的弧，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们相对应的其余各组量都相等。
2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
OBCA一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之也成立。
直径所对的圆周角是直角。
BCAO3. 圆内角：顶点在圆内（两边自然和圆相交）的角叫圆内角。
P OBA圆内角的度数等于它所对的弧的度数与它的对顶角所对的弧的度数的和的一半。
DPB COA4. 圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交（或相切）的角叫圆外角。
DPBCAO圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差（较大弧的度数减去较小弧的度数）的一半。
5. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论①弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
推论②如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
二、圆的内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆周角和圆心角的关系—知识讲解(提高)
圆周角和圆心角的关系—知识解说（提升）【学习目标】1．理解圆周角的观点，认识圆周角与圆心角之间的关系；2．理解圆周角定理及推论；3．娴熟掌握圆周角的定理及其推理的灵巧运用；经过察看、比较、剖析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【重点梳理】重点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠ AEB、∠ ADB、∠ ACB这样的角，它们的极点在圆上，而且两边都与圆订交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．3.圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论 2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．重点解说：(1)圆周角一定知足两个条件：①极点在圆上；②角的两边都和圆订交.(2)圆周角定理建立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种地点关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外面．（以下列图）重点二、圆内接四边形1.圆内接四边形定义：四边形的四个极点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.2.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补 . 如图，四边形 ABCD是⊙ O的内接四边形，则∠ A+∠ C=180°，∠ B+∠ D=180° .BACOD重点解说：当四边形的四个极点不一样时在一个圆上时，四边形的对角是不互补.【典型例题】种类一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.已知：以下图，⊙ O中弦 AB＝ CD．求证： AD＝ BC．【思路点拨】此题主假如考察弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝ BC，只要证AD BC 或证∠AOD＝∠BOC即可．【答案与分析】证法一：如图①，∵AB ＝ CD，∴AB CD ．∴AB BD CD BD ，即AD BC ，∴AD ＝ BC．证法二：如图②，连OA、 OB、 OC、 OD，∵ AB ＝ CD，∴∠ AOB＝∠ COD．∴∠AOB－∠ DOB＝∠ COD－∠ DOB，即∠ AOD＝∠ BOC，∴AD ＝ BC．【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等经常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，一定借助已知的等弦进行推理．贯通融会：【变式】以下图，已知AB 是⊙ O的直径， M、 N 分别是 AO、 BO的中点， CM⊥AB， DN⊥ AB．求证： AC BD ．【答案】证法一：如上图所示，连OC、 OD，则 OC＝ OD，1OA，ON1OB，∵ OA＝OB，且OM22∴OM＝ ON，而 CM⊥ AB， DN⊥ AB，∴Rt △ COM≌Rt △ DON，∴∠COM＝∠ DON，∴AC BD．证法二：以下列图，连AC、 BD、 OC、 OD．∵M 是 AO的中点，且 CM⊥ AB，∴ AC ＝OC，同理 BD＝ OD，又 OC＝OD．∴ AC ＝BD，∴AC BD．种类二、圆周角定理及应用2.（ 2015?南京二模）如图， OA 、 OB 是⊙ O 的半径且 OA ⊥OB ，作 OA 的垂直均分线交⊙ O 于点C、 D ，连结 CB、 AB ．求证：∠ ABC=2 ∠ CBO．【答案与分析】证明：连结OC、 AC ，如图，∵CD 垂直均分 OA ，∴ OC=AC ．∴OC=AC=OA ，∴△ OAC 是等边三角形，∴∠ AOC=60 °，∴∠ ABC=∠ AOC=30°，在△ BOC 中，∠ BOC= ∠AOC+ ∠AOB=150 °，∵OB=OC ，∴∠CBO=15 °，∴∠ABC=2 ∠ CBO．【总结升华】此题考察了圆周角定理以及线段垂直均分线的性质和等边三角形的判断与性质，娴熟的掌握所学知识点是解题的重点 .贯通融会：【变式】如图， AB 是⊙ O的弦，∠ AOB＝ 80°则弦 AB所对的圆周角是.【答案】 40°或 140° .3. 如图， AB是⊙ O的直径， C、 D、 E 都是⊙ O上的点，则∠1+∠2=___________.【答案】 90° .【分析】如图，连结OE，则【总结升华】把圆周角转变到圆心角.贯通融会：【变式】（2015?玄武区二模）如图，四边形∠ABO=30°，则∠ D=．ABCD为⊙O的内接四边形，连结AC、 BO，已知∠ CAB=36°，【答案】 96°；提示：解：连结OC，如图，∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°，∵OB=OC，∴∠ OBC=∠OCB，∴∠ OBC= （180°﹣∠ BOC） = （180°﹣ 72°） =54°，∴∠ ABC=∠OBA+∠OBC=30°+54°=84°，∵∠ D+∠ABC=180°，∴∠ D=180°﹣ 84°=96°．故答案为96．4.已知，如图，⊙ O上三点 A、 B、 C，∠ ACB=60°， AB=m，试求⊙ O的直径长 .【答案与分析】以下图，作⊙O的直径 AC′，连结C′ B，则∠ AC′ B=∠ C=60°又∵ AC′是⊙ O的直径，∴∠ ABC′ =90°即⊙ O的直径为.【总结升华】作出⊙ O的直径，将60°、直径与 m都转到一个直角三角形中求解 .贯通融会：【变式】如图，△ ABC内接于⊙ O，∠ C＝ 45°， AB＝4，则⊙ O的半径为（）．A．2 2 B ． 4C．23D．5【答案】 A.种类三、圆内接四边形及应用5.已知，如图，∠ EAD是⊙ O的内接四边形 ABCD的一个外角，而且 BD=DC.求证： AD均分∠ EAC.E DAOB C【思路点拨】如图，由圆内接四边形的性质可证得∠EAD=∠ DCB，依据等腰三角形的性质获得∠DBC=∠ DCB，依据圆周角定理可得∠ DBC=∠ DAC，因此等量代换可求得∠EAD=∠ DAC，即 AD均分∠ EAC.【答案与分析】证明：∵∠ EAD与∠ DAB互为邻补角，E D ∴∠ EAD+∠ DAB=180° .A∵四边形 ABCD是⊙ O的内接四边形，∴∠ DAB+∠ DCB=180° .O∴∠ EAD=∠ DCB.又∵∠ DBC与∠ DAC是DC所对的圆周角，B C∴∠ DBC=∠ DAC,∴∠ EAD=∠ DAC.即 AD均分∠ EAC.【总结升华】此题考察圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题时要仔细审题，注意转变思想的合理运用 .贯通融会：【变式】如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE=85°，则∠AOC的度数为（） .A.150°B. 160 °C.170 °D.165 °DA OC【答案】 C.BE。
角与圆的关系
已知：如图直线ABP和CDP是自点P 引的⊙O的两条割线 求证：PA·PB=PC·PD
证明：连接AD、BC∵∠A和∠C都 对弧BD ∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C 又∵∠P=∠P ∴△ADP∽△CBP （如果一个三角 形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等，那么这两个三角形相 似。）
对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC
的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角 形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
图2
∠COD=∠CAD+）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+
∠CAD)=2∠BAC
情况3：
角与圆的关系
顶点在圆内，由两 条弦在圆内相交所 成的角叫圆内角
顶点在圆周上，并 且两边都和圆相交 的角叫圆周角
顶点在圆外，由 圆的两条割线组 成的角叫圆外角
如右图，已知在⊙O中，弦AB、CD 交于点P。
连OA、OB、OC、OD和BC。 在⊙O中，∠BCD= 12∠BOD（圆周角 定理）； 同理，∠ABC= 12∠AOC。 ∵∠APC是△PCB的外角，
即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
图1
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2, 当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边
的外角等于两个不相邻两个内角的和）
平面几何中的圆与圆心角
平面几何中的圆与圆心角在平面几何中，圆是一种特殊的几何图形，它有着独特的性质和特征。
圆心角是圆与圆心的夹角，在许多几何问题中起着重要的作用。
本文将详细介绍平面几何中的圆与圆心角的相关概念、性质及应用。
一、概述圆是由平面上所有到圆心距离相等的点组成的图形。
在圆上可以定义各种角，其中圆心角是指由两条半径所夹的角。
通常用希腊字母θ（theta）来表示圆心角。
二、圆心角的性质1. 圆心角的定义在一个圆上，以圆心为顶点的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于所对圆弧的度数。
2. 圆心角的度数圆心角的度数范围从0°到360°。
当圆心角为0°时，即为顶点与圆上两点重合，此时两条半径相等；当圆心角为360°时，即为整个圆。
3. 圆心角与弧度的关系圆心角的弧度数等于所对圆弧的弧度数除以半径。
弧度是衡量角度大小的另一种单位，常用符号r表示。
三、圆心角的应用1. 圆心角的测量通过测量圆心角的度数或弧度，可以计算出相应的圆弧长度和扇形面积。
具体计算公式如下：- 圆心角度数和弧长的关系：弧长 = （圆周长 ×圆心角度数）/ 360°- 圆心角弧度和弧长的关系：弧长 = 半径 ×圆心角弧度2. 圆心角在几何证明中的应用圆心角在几何证明中常常用于推导和证明等。
例如，基于圆心角的性质，可以证明两条互相垂直的弦所夹的圆心角相等，也可以通过圆心角的夹角定理证明两条平行弦所夹的圆心角相等。
3. 圆心角在实际生活中的应用圆心角的概念在实际生活中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，根据圆心角的测量可以确定建筑物的曲线形状和角度大小。
在航空航天领域，圆心角被广泛应用于飞行轨迹计算和飞机导航。
四、总结圆心角是平面几何中研究圆与圆心夹角的重要概念。
通过测量圆心角的度数或弧度，我们可以计算出相应的圆弧长度和扇形面积，也可以应用于几何证明和实际生活中的各种问题。
熟练掌握圆心角的相关概念和性质对于理解和应用平面几何学的原理和方法非常重要。
圆中的角
圆中的角的知识点及应用
一、知识点
1、圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
2、弧、弦圆心角定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余两组量也相等。
3、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角。
4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
5、圆周角定理的推论（一）：同弧或等弧所对的圆周角相等。
6、圆周角定理的推论（二）：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
7、圆内接四边形的对角互补。
二、练习巩固
1、如图1所示，点A ，B ，C ，D 在同一圆上，四边形ABCD 的 对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些角是相等的角？ 哪些角互补？
2、如图2所示，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，已知 ∠BOC=700，AD ∥OC ，求证：D C C B 。
3、如图3，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，求证：△ADE ∽△CBE.
4、如图4，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠ABC=90°,AD=3，CD=2， 则⊙O 的直径的长是 。
5、.如图，点B ，A ，C ，D 在⊙O 上，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC=
C
D 图1
B 图2 图3 ·
O
A B D C E 图5。
弧、弦、圆心角的关系
M
N
今天作业 课本第94页 3，10
·
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合( 圆的旋转不变性） 。
Ａ 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
证明: ∵ A⌒B=A⌒C
∴ AB=AC, △ABC是等腰
Ｏ
三角形.
又 ∠ACB=60° ,
Ｂ
Ｃ
∴ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例如图，AC与BD为⊙O的两条
互相垂直的直径
求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
反馈练习
1、在⊙O中，AB⌒=AC⌒，∠AOB=70°，E
则∠AOC =
70°
D C
2、如图，AB是⊙O 的直径，
A
·
O
B
，∠COD=35°，
则∠AOE 的度数是 75°
3、在⊙O中，弦AB所对的劣弧
为圆的1/3，圆的半径为2㎝，那么
AB =
㎝
圆周角与圆心角、弧的关系
圆周角与圆心角、弧的关系
(教案)圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
5．圆的内接四边形对角之和是180度。
6．弧的度数确实是圆心角的度数。
解题思路：1．已知圆周角，能够利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，能够利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，能够求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
注意圆周角定义的两个差不多特点：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。
二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。
利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个差不多特点：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】明白得圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。
已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去查找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情形：（1）圆心O在∠BAC的一边上 O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C●假如圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●假如圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将那个角转化为上述情形的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
圆中的角的认识
B：30
C：20
D：15
练4-2.如图，A、B、C、D为⊙O上的点，DC = AB，
则AD与BC的大小关系为_______．
附加题：
1.如图所示,BC为 ⊙ O的直径,弦AD⊥BC于E,∠C = 60 .求证:△ABD为等边三角形.
2.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB = 30 ，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF 与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE + FH的最大值为_________．
练2-1.(1)如图，已知∠AOC = 150 ，则∠ABC = （ ）
A：105
B：120
C：135
D：150
(2)已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOB = 60 ，则∠ACB = ________．
练2-2.(1)圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2: 3: 7，则∠D的度数为________．
(2)如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥OC，∠OAB = 25 ，则∠B = _________．
(3)如图所示，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠C = 40 ，则∠ABD = _______．
练1-2.(1)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OCB = 60 ，则∠BAC = _________．
圆中的角
【知识点一】圆—圆周角定理及推论
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角如图， AOB是圆心角
弧度：把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是 ， 的圆心角对着 的弧，即圆心角的度数等于弧度数.
圆周角的概念：顶点在圆上并且两边都与圆相交的角如图， BAC是圆周角.圆周角定义的两个特征：①顶点在圆上②两边都与圆相交
重难点 圆中的计算及其综合专项 中考数学
重难点 圆中的计算及其综合考点一：圆中的角度计算圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！题型01 圆中常见的角度计算易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的。
解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系解题大招01：圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）【中考真题练】1．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）A．95°B．100°C．105°D．110°2．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ ）A．70°B．105°C．125°D．155°3．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）A．32°B．42°C．48°D．52°4．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）A．25°B．35°C．40°D．45°5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝ ．【中考模拟练】1．（2024•连云区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（ ）A．45°B．36°C．35°D．30°2．（2024•岱岳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是（ ）A．40°B．25°C．40°．D．30°3．（2024•甘井子区校级一模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB ＝17°，则∠OAC 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°4．（2024•连云区一模）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在⊙O 上，两边分别交⊙O 于A ，B 两点，连结AO ，BO ，则∠AOB 的度数 °．5．（2024•新城区模拟）如图，在△ABC 中，∠B ＝70°，⊙O 是△ABC 的内切圆，M ，N ，K 是切点，连接OA ，OC ．交⊙O 于E ，D 两点．点F 是上的一点，连接DF ，EF ，则∠EFD 的度数是 ．题型02 “知1得4”模型的常见题型解题大招：圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②⋂⋂=CD AB ；③OM=ON；④F E ∠=∠；⑤COD AOB ∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。
初中数学知识点精讲精析-圆周角和圆心角的关系
3·3圆周角和圆心角的关系要点精讲1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．典型例题1.已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝12 AOC．【解析】证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝12∠AOC．如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝12(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝12(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径. ABCDO(1)若OD ∥AC ，与 的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC ∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论. AB CDEFO【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径，与同伴交流.BDCDEO1 23CABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.BA CDOP【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.AB CD OEGF【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC. ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。
圆心角、圆周角、弦、弧的关系
1圆的基本性质考点一、圆的相关概念 （1）圆的定义圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
（2）圆的几何表示以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AC ）（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。
（如图中的AB ）直径等于半径的2倍。
（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A ，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：过圆心直径 平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性 （1）圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
（2）圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
2考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（1）圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角。
（2）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
（3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆心角
圆心角
计算公式
①n/180Xπr=l(弧长)
② n/360Xπr²=S(扇形面积)
3 n为圆心角度数。
扇形圆心角=弧长/半径
所得单位是弧度数,要换为角度数
1概述
顶点在圆心的角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆心角α的取值范围是0°<α<360°，即α∈(0,2π) 编辑本段2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理：在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，则对应的其余各组量也相等。
理解：
（1）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．
（2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．
（3）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
推论：在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
（4）圆心角最大为360°.
编辑本段3圆心角与圆周角的关系
条件：在同圆或等圆中。
定理：在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。
圆心角与弧长的关系公式
圆心角与弧长的关系公式圆心角是圆上两条半径所夹的角度，而弧长是圆上弧所对应的弧长。
圆心角与弧长之间有一种重要的关系，即弧长等于圆心角的弧度数乘以半径。
这个关系公式可以用数学公式表示为：弧长 = 圆心角的弧度数×半径。
要理解这个关系公式，我们首先需要了解一些基本的概念和定义。
首先，圆心角的度量单位是弧度。
弧度是一个角度的度量单位，它表示一个角度所对应的弧长与半径的比值。
一个完整的圆周对应的弧长等于圆的周长，而周长等于2πr，其中r是圆的半径。
因此，一个完整的圆周对应的弧度数就是2π。
接下来，我们来证明一下这个关系公式。
假设有一个圆，半径为r，圆心角为θ，弧长为s。
我们需要证明s = θr。
首先，我们可以将圆心角θ分成n个等分，每个等分的角度为θ/n。
然后，我们可以将圆的弧长s分成n个等分，每个等分的弧长为s/n。
由于每个等分的角度和弧长都是相等的，所以我们可以得到以下等式：θ/n = s/nr通过两边同时乘以n，我们可以得到以下等式：θ = s/r这个等式表明，圆心角θ等于弧长s除以半径r。
这个等式可以用来计算弧长，当我们知道圆心角和半径时，可以通过这个等式来计算弧长。
然而，这个等式只适用于弧度制的圆心角。
在度制下，圆心角的度数与弧长之间的关系是不同的。
在度制下，一个圆周的弧度数是360°，而一个完整的圆周的弧长是2πr。
因此，我们需要将圆心角的度数转换为弧度数，然后再用上述的关系公式来计算弧长。
转换圆心角的度数为弧度数的方法是将圆心角的度数乘以π/180。
因此，对于一个度数为θ的圆心角，它的弧度数可以表示为θ×π/180。
然后，我们可以将弧度数代入关系公式s = θr，得到s = (θ×π/180) × r。
综上所述，圆心角与弧长之间的关系公式是：弧长 = 圆心角的弧度数×半径。
这个关系公式适用于弧度制下的圆心角，对于度制下的圆心角，需要将度数转换为弧度数后再代入公式计算。
圆弧、弦、圆周角的关系
课题：弧、弦、圆心角【学习目标】1．能识别圆心角．2．探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性．3．能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明题．【学习重点】探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．【学习难点】圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．情景导入生成问题1．你能举出生活中的圆形商标的实例吗？(至少三个)宝马车商标：星巴克标志：曼秀雷敦标志：2．把这些圆形图案绕圆心旋转一定的角度，你有什么发现？旋转前后圆中的弧、弦会有变化吗？解：图案绕圆心旋转一定的角度后能与自身重合，旋转前后圆中的弧、弦不会有变化．自学互研生成能力知识模块一圆心角的定义【自主探究】阅读教材P83～P84思考，完成下面的内容：举例讲解：图中的∠AOB，∠COD，∠AOD，∠BOC这几个角的顶点有什么共同特点？顶点都在圆心上，两边都与圆相交．归纳：圆心角是指顶点在圆心，两边都与圆相交的角．圆心角的特征：①顶点是圆心；②角的两边与圆相交．范例：如图，下列各角是圆心角的是(B)A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OBC知识模块二圆心角、弧、弦之间的关系定理【自主探究】阅读教材P 84思考及例3内容，完成下面的内容：如图，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 根据旋转的性质，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置时，∠AOB ＝∠A′OB′，射线OA 与OA′重合，OB 与OB′重合．而同圆的半径相等，OA ＝OA′，OB ＝OB′，∴点A 与A′重合，B 与B′重合．AB 与A′B′重合.AB ︵与A ′B ′︵重合．∴AB ︵＝A ′B ′︵.归纳：(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；(2)在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；(3)在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等．【合作探究】典例：判断题，下列说法正确吗？为什么？(1)如图所示：因为∠AOB ＝∠A′OB′，所以AB ︵＝A ′B ′︵.(2)在⊙O 和⊙O′中，如果弦AB ＝A′B′，那么AB ︵＝A ′B ′︵.解：(1)、(2)都是不对的．在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理．对于(2)也缺少了等圆的条件．可让学生举反例说明．范例：已知：如图所示，AD ＝BC.求证：AB ＝CD.证明：∵AD ＝BC ，∴AD ︵＝BC ︵.∵AC ︵＝AC ︵，∴AC ︵＋AD ︵＝AC ︵＋BC ︵.∴DC ︵＝AB ︵.∴AB ＝CD.。
圆中弧弦圆心角之间的关系
圆中弧弦圆心角之间的关系《圆中弧弦圆心角之间的关系》在我们的数学世界里，圆是一个充满魅力的图形。
今天，咱们就来聊聊圆中弧、弦、圆心角之间那奇妙的关系。
比如说，有一个大大的圆形蛋糕。
我们把蛋糕沿着一条半径切一刀，这一刀对应的弧和圆心角就有了特殊的联系。
弧的长度越长，对应的圆心角就越大。
就像切下的那一块蛋糕越大，对应的角度也就越大。
再想想我们常见的钟面。
钟面是一个圆，那指针走过的轨迹就是弧。
当指针从 12 点走到 3 点，走过的弧长增加了，对应的圆心角也从 0 度变成了 90 度。
还有公园里的圆形喷泉，喷出的水形成的弧线和圆心角也遵循着这样的关系。
圆中弧、弦、圆心角的关系就像是一个隐藏的密码，等待我们去发现和理解。
只要我们多观察生活中的圆形事物，就能更好地掌握这个有趣的知识。
《圆中弧弦圆心角之间的关系》咱们来聊聊圆里面弧、弦、圆心角那些事儿。
你看那自行车的车轮，它就是一个圆。
车轮上的钢丝就像是圆中的弦。
当车轮转动时，钢丝划过的轨迹就是弧，而车轮的中心就像是圆心，形成的角度就是圆心角。
假如有一个圆形的操场，我们沿着操场跑一段弧线。
跑得越长，对应的圆心角也就越大。
再比如说，用一根绳子绑着一个小球，让小球绕着一个点转起来，形成的轨迹就是一个圆。
绳子的长度不变，小球转动的弧线越长，对应的圆心角就越大。
生活中这样的例子还有很多很多，只要我们留心观察，就能发现圆中弧弦圆心角之间神奇的关系。
《圆中弧弦圆心角之间的关系》朋友，今天咱们说一说圆里弧、弦、圆心角的关系。
想象一下，你正在做一个圆形的风筝。
风筝的骨架就是圆中的弦，风筝的边缘就是弧。
当你调整骨架的长度和位置时，弧的形状和对应的圆心角就会发生变化。
或者是一个圆形的花坛，你沿着花坛边缘走一段路，这就是一段弧。
走的路越长，对应的圆心角就越大。
还有我们过年放的烟花，绽放出的圆形图案，那里面也藏着弧、弦和圆心角的关系呢。
圆中的这些元素相互关联，构成了一个奇妙的世界，是不是很有趣？《圆中弧弦圆心角之间的关系》嘿，咱来好好琢磨琢磨圆中弧弦圆心角的关系。
圆的切线与圆心角
圆的切线与圆心角圆是几何学中常见的形状，它具有许多有趣的性质和特点。
其中之一就是圆的切线与圆心角的关系。
本文将探讨这一主题，详细介绍圆的切线与圆心角的定义、性质以及相关定理。
一、定义与性质1. 圆的切线定义：在圆上的两个点A、B之间的直线AB称为圆的切线。
切线与圆的交点称为切点。
2. 圆心角定义：连接圆心与圆上一点所得的线段所对的角称为圆心角。
圆心角的度数等于所对弧的度数。
性质1：切线与半径垂直在圆上的切线与过切点的半径垂直。
证明：设O为圆心，切点为A，连接OA，OB。
由于切线与半径相切，所以OA与切线的交角为90度。
性质2：切线与切线垂直圆的两条切线若相交于圆上一点，则相交处的交角为90度。
证明：设切点为A、B，连接OA、OB，并延长AB相交于点C。
由性质1可知OA与切线L1垂直，OB与切线L2垂直。
所以OA⊥L1，OB⊥L2，所以L1⊥L2，即切线L1与切线L2相交于90度。
二、切线与圆心角定理1. 见圆的切线与切点角定理 (Tangent-Chord Theorem)定理1：在圆上，若一条切线和一条弦相交于同一切点，则切线与切点弦所对的弧的圆心角相等。
证明：设切点为A，弦上的两个点为B、C，弧BC所对的圆心角为θ。
连接OA，证明OA与切线的交角等于θ。
2. 见切线与切线的角定理 (Tangent-Tangent Angle Theorem)定理2：在圆外一点，若有两条切线相交于该点，则它们的交角等于两条切线所对的两个弧的和的一半。
证明：设圆心为O，切点为A、B，切线交点为C。
弧AB所对角度为θ1，弧ACB所对的圆心角为θ2。
连接OA、OC，证明OA与CB的交角等于(θ1+θ2)/2。
三、举例说明例1：证明圆的切线与切点弦所对的弧的圆心角相等。
解：设切点为A，弦上的两个点为B、C，弧BC所对的圆心角为θ。
连接OA，证明OA与切线的交角等于θ。
证明：根据定理1，只需证明切点弦AC所对的圆心角等于θ即可。
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圆中角的关系
1.同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半
2.同弧（或等弧）所对的圆周角相等
3.半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径
4.弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
5.圆的切线垂直于经过切点的半径
6.过圆外一点引两条切线，连接该点与圆心的线段平分两条切线所成的角
7.圆内接四边形对角互补
2.如图，AC AB 、为圆O 的两条弦，延长CA 到点D ，使AB AD =，若 25=∠ADB ，则BO C ∠的度数
为__________
3.如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 至点D ，使CB DC =，延长DA 与圆O 的另一个交点为E ，连接OC CE AC ,,，则下列判断正确的是（ ）
.A EAB ACE ∠=∠ .B BCE ACE ∠=∠ .C BCE AOC ∠=∠ .D EAB CAB ∠=∠
4.如图，长方形ABCD 内接于圆O ，3,1==BC AB ，K 是劣弧DC 上一点，则DCK ABK ∠-∠的度数为（ ）
.A 55 .B 60 .C 65 .D 70。