第三章 平稳时间序列分析3
《时间序列分析》讲义 第三章 平稳时间序列分析
k
1 k1 2 k2，k
2
自相关系数
自相关系数的定义
k
k 0
平稳AR(p)模型的自相关系数递推公式
k 1k 1 2 k 2 p k p
常用AR模型自相关系数递推公式
AR(1)模型 k 1k , k 0
AR(2)模型
1,
k
1
1 2
1k1 2 k2
k 0 k 1 k2
自回归系数多项式
(B) 11B 2B2 pBp
特征方程
中心化AR(p)模型
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
可以看成p阶常系数非齐次线性差分方程
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
它对应的齐次方程的特征方程为
p 1 p1 p1 p 0
1 12
协方差函数
在平稳AR(p)模型两边同乘xt-k，再求期望
E(xt xtk ) 1E(xt1xtk ) p E(xt p xtk ) E(t xtk )
根据
E( t xtk ) 0 ,k 1
得协方差函数的递推公式
k 1 k1 2 k 2 p k p
例题
例3.3 求平稳AR(1)模型的协方差
12
2 2
,
0,
k 0 k 1
k 2 k 3
偏自相关系数
滞后k偏自相关系数由Yule-Walker方程 确定
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
齐次线性差分方程
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p 0
齐次线性差分方程的解
特征方程
p a1p1 a2p2 ap 0
特征方程的根称为特征根，记作1,2,…,p
时间序列分析第三章平稳时间序列分析
注：图中，S号代表序列的观察值；连续曲线代表拟合序列曲线；虚线代表拟合序列的95%上下置信限。
所谓预测就是要利用序列以观察到的样本值对序列在未来某个时刻的取值进行估计。
目前对平稳序列最常用的预测方法是线性最小方差预测。
线性是指预测值为观察值序列的线性函数，最小方差是指预测方差达到最小。
在预测图上可以看到，数据围绕一个范围内波动，即说明未来的数值变化时平稳的。
二、课后习题第十七题：根据某城市过去63年中每年降雪量数据（单位：mm）得：（书本P94）程序：data example17_1;input x@@;time=_n_;cards;2579588397 110;proc gplot data=example17_1;plot x*time=1;symbol c=red i=join v=star;run;proc arima data=example17_1;identify var=x nlag=15minic p= (0:5) q=(0:5);run;estimate p=1;run;estimate p=1 noin;run;forecast lead=5id=time out=results;run;proc gplot data=results;plot x*time=1 forecast*time=2 l95*time=3 u95*time=3/overlay;symbol1c=black i=none v=start;symbol2c=red i=join v=none;symbol3c=green i=join v=none l=32;run;（1）判断该序列的平稳性与纯随机性该序列的时序图如下（图a）图a由时序图显示过去63年中每年降雪量数据围绕早70mm附近随机波动，没有明显趋势或周期，基本可以看成平稳序列，为了稳妥起见，做了如下自相关图（图b）图b时序图就是一个平面二维坐标图，通常横轴表示时间，纵轴表示序列取值。
时间序列平稳性分析(课件)
时间序列平稳性分析(课件)时间序列平稳性分析文章结构•时间序列的概念•平稳性检验•纯随机性检验•spss的具体操作1.1时间序列分析的概念•时间序列是一个按时间的次序排列起来的随机数据集合。
而时间序列分析是概率论与数理统计学科的一个重要分支，它以概率统计学为理论基础来分析随机数据序列（或称为动态数据序列）并对其建立相应的数学模型，即对模型定阶，进行参数估计，进一步将用于预测。
在对时间序列进行分析的时候我们的前提任务是如何进行的呢？2.1平稳性检验•••••特征统计量平稳时间序列的定义平稳时间序列的统计性质平稳时间序列的意义平稳性检验概率分布•概率分布的意义随机变量族的统计性质完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定•时间序列概率分布族的定义{ }Ft1,t2,...,tm(x1,x2,...,xm)m(1,2,...,m),t1,2,...,T•实际应用局限性概率分布•概率分布的意义随机变量族的统计性质完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定•时间序列概率分布族的定义{ }Ft1,t2,...,tm(x1,x2,...,xm)m(1,2,...,m),t1,2,...,T•实际应用局限性特征统计量•均值t EXt•方差Var(Xt)E(Xt t)xdFt(x)2(x t)dFt(x)•协方差•自相关系数(t,s)E(Xt t)(XS)S(t,s)(t,s)DXt DXs平稳时间序列的定义•严平稳严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列所有的统计性质都不会随时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳•宽平稳宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。
它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。
•满足如下条件的序列称为严平稳序列正整数m，t1,t1,...,tm T,正整数t,有Ft1,t2,...,tm（x1,x2,...,xm）Ft1t,t2t,...,•满足如下条件的序列称为宽平稳序列1)EXt,t T2)EXt,为常数，t T2tmt（x1,x2,...,x3)（t,s）（k,k s t）,t,s,k且k s t T•常数性质•自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关1）延迟k自协方差函数（k）（t,t k）,k为整数2）延迟k自相关系数k（k）（0）自相关系数的性质••••规范性对称性非负定性非唯一性平稳性的检验•时序图检验根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应、无明显该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征•自相关图检验平稳序列通常具有短期相关性。
《时间序列分析——基于R》王燕，读书笔记
《时间序列分析——基于R》王燕，读书笔记笔记：⼀、检验：1、平稳性检验：图检验⽅法：时序图检验：该序列有明显的趋势性或周期性，则不是平稳序列⾃相关图检验：（acf函数）平稳序列具有短期相关性，即随着延迟期数k的增加，平稳序列的⾃相关系数ρ会很快地衰减向0（指数级指数级衰减），反之⾮平稳序列衰减速度会⽐较慢衰减构造检验统计量进⾏假设检验：单位根检验adfTest()——fUnitRoots包2、纯随机性检验、⽩噪声检验（Box.test（data，type，lag=n）——lag表⽰输出滞后n阶的⽩噪声检验统计量，默认为滞后1阶的检验统计量结果）1、Q统计量：type=“Box-Pierce”2、LB统计量：type=“Ljung-Box”⼆、模型1、ARMA平稳序列模型1.1平稳性检验1.2ARMA的p、q定阶——acf（），pacf（），auto.arima（）⾃动定阶1.3建模arima()1.4模型显著性检验：残差的⽩噪声检验Box.test（）；参数显著性检验t分布2、⾮平稳确定性分析2.1趋势拟合：直线、曲线（⼀般是多项式，还有其它函数）2.2平滑法移动平均法：SMA()——TTR包指数平滑法：HoltWinters()3、⾮平稳随机性分析3.1ARIMA1平稳性检验，差分运算2拟合ARMA3⽩噪声检验3.2疏系数模型arima（p,d,f）3.3季节模型可以叠加的模型4、残差⾃回归模型：4.1建⽴线性模型4.2对滞后的因变量间拟合线性模型，对模型做残差⾃相关DW检验。
dwtest()——lmtest包，增加选项order.by指定延迟因变量4.3对残差建⽴ARIMA模型5、条件异⽅差模型：异⽅差检验：LM检验ArchTest（）——FinTS包，⽤ARCH、GARCH模型建模第⼀章简介统计时序分析⽅法：1、频域分析⽅法2、时域分析⽅法步骤：1、观察序列特征2、根据序列特征选择模型3、确定模型的⼝径4、检验模型，优化模型5、推断序列其它统计性质或预测序列将来的发展时域分析研究的发展⽅向：1、AR，MA，ARMA，ARIMA（Box-Jenkins模型）2、异⽅差场合：ARCH，GARCH等（计量经济学）3、多变量场合：“变量是平稳”不再是必需条件，协整理论3、⾮线性场合：门限⾃回归模型，马尔科夫转移模型第⼆章时间序列的预处理预处理内容：对它的平稳性和纯随机性进⾏检验，最好是平稳⾮⽩噪声的序列1、特征统计量1.1概率分布分布函数或密度函数能够完整地描述⼀个随机变量的统计特征，同样⼀个随机变量族{Xt}的统计特性也完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定。
计量经济学：平稳时间序列分析-差分方程与延迟算子
f (t)
11 0
f (t1)
11
1
f (1)
11 t 1
t
, , 给出初值y-1， y-2，…，y-p以及 0 1
t 的值，即可得到yt。
定理：矩阵F的特征根满足的特征方程为
p 1 p1 2 p2 p1 p 0
1、具有相异特征根的p阶差分方程的通解
如果矩阵F的特征根是相异的，那么存在一个非奇异矩阵
1
0
0
F 0 1 0
0 0 0
p1 p
0
0
0 0 ,
1 0
t
0
Vt
0
0
则原p阶差分方程变为一阶向量差分方程
t Ft1 Vt
参照一阶向量差分方程的递归解法有
t
F
t
1 1
F tV0
F t1V1
F t2V2
FVt1 Vt
即
yt
yt 1
y1
y2
0
0
t 21
1
2 1 2 3
1 p 2 p
t p1
1
p 1 p 2
p p1
将此结果代入 ci t1iti1 即得
ci
p
p1 i
k1(i k )
k i
如果从t期开始迭代，则有
yt j
f ( j1)
11
yt 1
f y ( j1)
12
t2
f y ( j1)
11 0
f (t1)
11
1
f (1)
11 t 1
t
其中
f ( j)
11
c11j
c22j
cppj
chap 3 平稳时间序列分析
32
方差
平稳AR模型的传递形式
xt G j t j
j 0
两边求方差得
2 Var( xt ) G 2 j , G j为Green函数 j 0
33
例3.2:求平稳AR(1)模型的方差
平稳AR(1)模型的传递形式为
t i xt (1B)i t 1 t i 1 1B i 0 i 0
12
AR(P)序列中心化变换
称 { yt }为 {xt } 的中心化序列 ，令
0
1 1 p
yt xt
13
自回归系数多项式
引进延迟算子，中心化 AR( p) 模型又可 以简记为
( B) xt t
自回归系数多项式(特征多项式)
(B) 1 1 B 2 B p B
zt r t (c1eit c2eit ) c3t3 c ptp
16
非齐次线性差分方程的解
非齐次线性差分方程的特解
使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解zt
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t )
11
AR(p)
具有如下结构的模型称为 p 阶自回归模 型，简记为 AR( p) xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t
p 0 2 E ( t ) 0，Var( t ) , E ( t s ) 0, s t Ex 0, s t s t 特别当 0 0 时，称为中心化 AR( p) 模型
37
自相关系数
线性平稳时间序列模型
第二节 建立线性时序模型旳原理 ——动态性
上一页 下一页 返回本节首页
动态性：就是指时间序列各观察值之间旳 有关性。
从系统旳观点看：动态性即指系统旳记忆 性，也就是某一时刻进入系统旳输入对 系统后继行为旳影响，图示如下：
输入
系统
输出（响应）
例
（1）某人在某一天打了一针，假如当日旳反应 是疼痛 0 ，而后来没有其他反应，那么系统 旳输入、输出如下：
假如一种时间序列是纯随机旳，得到一种 观察期数为 n旳观察序列，那么该序列旳 延迟非零期旳样本自有关系数将近似服 从均值为零，方差为序列观察期数倒数 旳正态分布
ˆ k
~
N (0, 1 ) n
,k 0
上一页 下一页 返回本节首页
2.假设条件
原假设：延迟期数不大于或等于m 期旳序 列值之间相互独立
H 0：1 2 m 0, m 1
这种情况可用模型概括为：xt 1at1
（3）假如当日旳反应是疼痛 0 ，第二天 出现了红肿 1 ，那么：
时间 输入 输出
t ：1 2 at: 0 1 xt：0 0
3 45 0 00 1 0 0
这种情况可用模型概括为：xt 0at 1at1
（4）假如打针后来各个时刻都存在相应旳反 应，那么，有关该刺激旳总旳概括为：
原则正态白噪声序列纯随机性检验
样本自有关图
返回例题
检验成果
延迟
延迟6期 延迟12期
Q统计量检验
Q统计量值
P值
4.3435
0.63
14.171
0.29
因为P值明显不小于明显性水平 ，所以该序列不能
拒绝纯随机旳原假设。
返回例题
平稳时间序列分析
t Pp t tt t t x B x x B x Bxx ===---M221第3章 平稳时间序列分析一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。
方法性工具 差分运算 一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x 记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x以此类推：记t px ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=∇ 延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。
记B 为延迟算子，有延迟算子的性质：1.10=B2.若c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }和{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B4.n t t nx x B-=5.)!(!!,)1()1(0i n i n CB C B i niinni in-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分 2、k 步差分ARMA 模型的性质 AR 模型定义 具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型，简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t πΛ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφεAR(p)模型有三个限制条件： 条件一：0≠pφ。
这个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。
条件二：t s E Var E t s t t ≠===,0)(,)(,0)(2εεσεεε。
第三章平稳时间序列分析
t Pp t tt t t x B x x B x Bxx ===---221第3章第三章平稳时间序列分析一个序列通过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着有关信息的平稳序列。
3.1 方法性工具 3.1.1 差分运算 一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x以此类推：记t p x ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x 二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=∇3.1.2 延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。
记B 为延迟算子，有延迟算子的性质：1.10=B2.若c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }与{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B4.n t t n x x B -=5.)!(!!,)1()1(0i n i n C B C B i n i i n ni i n-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分t p t p x B x )1(-=∇ 2、k 步差分t k k t t t k x B x x x )1(-=-=∇-3.2 ARMA 模型的性质 3.2.1 AR 模型定义 具有如下结构的模型称之p 阶自回归模型，简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε (3.4)AR(p)模型有三个限制条件：条件一：0≠p φ。
应用时间序列分析第三章课后答案
应用时间序列分析第三章课后答案第三章应用时间序列分析课后答案第3-5节，最近考试题目：第一节序列的定义与平稳性第二节相关系数矩阵与平稳过程第三节非平稳序列第四节非平稳序列的特征值与协方差第五节离散时间序列分析是对连续时间序列进行研究和分析的一种重要方法。
本章主要内容有：时间序列的定义、平稳性、相关性、时间序列的构成及其表示方式、离散时间序列的概念、离散时间序列的时间趋势、离散时间序列的一般模型、随机过程及其应用、连续时间序列分析等。
第四节非平稳序列的特征值与协方差特征值又称为特征向量或自协因子，它反映了该特征值与其他各特征值之间的关系。
如果已知某个时间序列的全部平稳序列，那么由这些平稳序列的特征值就可以计算出每个观测值的特征值；若只知道观测值，而不知道这些观测值与哪些特征值相关，则需利用相关系数矩阵计算各观测值的协方差阵。
本节还将介绍可变参数模型，即通过改变或增加参数的办法来得到另外一组新的平稳或非平稳序列。
第五节离散时间序列分析是对连续时间序列进行研究和分析的一种重要方法。
本章首先介绍了一些基本概念，如时间序列的平稳性、特征值、协方差、自相关函数、脉冲响应等；然后介绍了时间序列的一阶、二阶和高阶矩；接着介绍了一些常见的平稳序列；最后给出了两类时间序列分解方法。
第六节连续时间序列分析本章内容较多，在此仅举几例，望同学们能够理解并掌握。
如当时间序列在均值附近单调递减时，可假设 x 和 y 的斜率相同，记为x→/ y，再用相关系数矩阵公式计算相关系数，这样便简化了运算。
这也正是统计中时间序列处理的实际情况。
有时需要作几次回归拟合才能取得满意效果，这就是所谓的多元回归分析。
时间序列中的趋势项具有比较稳定的形态。
时间序列分析--第三章平稳时间序列分析
2019/9/23
课件
25
Green函数递推公式
原理 xt( BG )x(tB )tt (B)G(B)t t
方法
待定系数法
递推公式
2019/9/23
G G0j 1k j1kGjk， j1,2, ,其中 k 0k ,k ,kpp
非齐次线性差分方程的通解
齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的
特解之和 z t
zt ztzt
2019/9/23
课件
10
3.2 ARMA模型的性质
AR模型（Auto Regression Model） MA模型（Moving Average Model） ARMA模型（Auto Regression Moving
2019/9/23
课件
38
例3.5:— (4 )x t x t 1 0 .5 x t 2t
自相关系数不规则衰减
2019/9/23
课件
39
偏自相关系数
定义
对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就 是指在给定中间k-1个随机变量 的 xt1,xt2, ,xtk1 条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变 量的干扰之后， x 对 tk x影t 响的相关度量。用数 学语言描述就是
2019/9/23
课件
29
例3.3:求平稳AR(1)模型的协方差
递推公式
k 1k11k0
平稳AR(1)模型的方差为
0
2
1 12
协方差函数的递推公式为
k
1k
2 112
,k1
2019/9/23
课件
时间序列分析方法 第03章 平稳ARMA模型
第三章 平稳ARMA 过程一元ARMA 模型是描述时间序列动态性质的基本模型。
通过介绍ARMA 模型，可以了解一些重要的时间序列的基本概念，并且为描述单变量时间序列的动态性质提供一类十分有用的模型。
§3.1 预期、平稳性和遍历性3.1.1 预期和随机过程假设可以观察到一个样本容量为T 的随机变量t Y 的样本：},,,{21T y y y这意味着这些随机变量之间的是相互独立且同分布的。
例3.1 假设T 个随机变量的集合为：},,,{21T εεε ，),0(~2σεN i 且相互独立，我们称其为高斯白噪声过程产生的样本。
对于一个随机变量t Y 而言，它是t 时刻的随机变量，因此即使在t 时刻实验，它也可以具有不同的取值，假设进行多次试验，其方式可能是进行多次整个时间序列的试验，获得I 个时间序列：+∞=-∞=t t t y }{)1(，+∞=-∞=t t t y }{)2(，…，+∞=-∞=t t I t y }{)(将其中仅仅是t 时刻的观测值抽取出来，得到序列：},,,{)()2()1(I t t t y y y ，这个序列便是对随机变量t Y 在t 时刻的I 次观测值，也是一种简单随机子样。
定义3.1 假设随机变量t Y 是定义在相同概率空间},,{P ℜΩ上的随机变量，则称随机变量集合},2,1,0,{ ±±=t Y t 为随机过程。
例3.2 假设随机变量t Y 的概率密度函数为：]21exp[21)(22t t Y y y f t σσπ= 此时称此时密度为该过程的无条件密度，此过程也称为高斯过程或者正态过程。
定义3.2 可以利用各阶矩描述随机过程的数值特征：(1) 随机变量t Y 的数学期望定义为(假设积分收敛)：⎰==+∞∞-tt Y t t t dy y f y Y E t )()(μ (3.1) 此时它是随机样本的概率极限：∑==∞→I i i t I t y I P Y E 1)(1lim)( (3.2) (2) 随机变量t Y 的方差定义为(假设积分收敛): 20)(t t t Y E μγ-= (3.3) 例3.3 几种重要类型的随机过程1) 假设},,{21 εε是一个高斯白噪声过程，随机过程t Y 为常数加上高斯白噪声过程：t t Y εμ+=则它的均值和方差分别为：μεμμ=+==)()(t t t E Y E2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E(2) 随机过程t Y 为时间的线性趋势加上高斯白噪声过程：t t t Y εβ+=则它的均值和方差分别为：t E t Y E t t t βεβμ=+==)()(2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E3.1.2 随机过程的自协方差函数将j 个时间间隔的随机变量构成一个随机向量),,,(1'=--j t t t t Y Y Y X ，通过随机试验可以获得该随机向量的简单随机样本。
(时间管理)第章平稳时间序列分析
（时间管理）第章平稳时间序列分析第3章平稳时间序列分析本章教学内容和要求：了解时间序列分析的方法性工具；理解且掌握ARMA模型的性质；掌握时间序列建模的方法步骤及预测；能够利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模和预测。
本章教学重点和难点：利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模和预测。
计划课时：21（讲授16课时，上机3课时、习题3课时）教学方法和手段：课堂讲授和上机操作§3.1方法性工具壹个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是壹个蕴含着关联信息的平稳序列。
于统计上，我么通常是建立壹个线性模型来拟合该序列的发展，借此提取该序列中的有用信息。
ARMA(autoregressionmovingaverage)模型是目前最常用的壹个平稳序列拟合模型。
时间序列分析中壹些常用的方法性工具能够使我们的模型表达和序列分析更加简洁、方便。
壹、差分运算（壹）p阶差分相距壹期的俩个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算。
记▽为的1阶差分：▽对1阶差分后的序列再进行壹次1阶差分运算称为2阶差分，记▽2为的2阶差分：▽2=▽-▽以此类推，对p-1阶差分厚序列再进行壹次1阶差分运算称为p阶差分。
记▽p为的p阶差分：▽p=▽p-1-▽p-1（二）k步差分相距k期的俩个序列值之间的减法运算称为k步差分运算。
记▽k为的k步差分：▽k=例：简单的序列：：6，9，15，43，8，17，20，38，4，10，1阶差分：▽▽……▽，即1阶差分序列▽：3，6，28，-35，9，3，18，-34，6，2阶差分：▽2=▽-▽=3▽2=▽-▽=22……▽2=▽-▽=-40即2阶差分序列▽2：3，22，-63，-54，-6，16，-52，-40，2步差分：▽2▽2……▽2即2步差分序列：9，34，-7，-26，12，21，-16，-28二、延迟算子（滞后算子）（壹）定义延迟算子类似于壹个时间指针，当前序列值乘以壹个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨去了壹个时刻。
《平稳时间序列》课件
通过分析股票市场的波动数据，平稳时间序列方法可以帮助预测未 来市场的波动情况，有助于投资者制定风险管理策略。
行业趋势
通过对不同行业股票数据的平稳时间序列分析，可以预测未来行业 的发展趋势，有助于投资者进行行业配置和投资决策。
06
时间序列分析软件介绍
EViews软件介绍
适用范围
EViews是专门用于时间序列分析的软件，广泛应用于经济学、金 融学等领域。
降水预测
通过对历史降水数据的分析，平稳时间序列方法可以帮助 预测未来降水情况，有助于农业生产和灾害防范。
极端天气事件
通过分析极端天气事件的历史数据，平稳时间序列模型可 以预测未来极端天气事件的频率和强度，有助于防范自然 灾害。
股票市场预测
股票价格
利用历史股票价格数据，平稳时间序列模型可以预测未来股票价 格的走势，有助于投资者制定投资策略和风险控制。
列。
Holt's线性指数平滑
02
结合了趋势和季节性因素，适用于具有线性趋势和季节性变化
的时间序列。
Holt-Winters指数平滑
03
适用于具有非线性趋势和季节性变化的时间序列，能更好地捕
捉数据的季节性变化。
季节性自回归积分滑动平均模型(SARIMA)预测
01
SARIMA模型
结合了季节性和非季节性因素，适用于具有季节性和非季节性变化的时
04
平稳时间序列的预测
线性预测
线性回归模型
通过建立自变量与因变量之间的线性关系，预测时间序列的未来 值。
线性趋势模型
适用于具有线性趋势的时间序列，通过拟合线性方程来预测未来 趋势。
简单移动平均模型
对时间序列进行移动平均处理，根据历史数据预测未来值。
3.1时间序列平稳性和单位根检验
• 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致 性”要求——被破怀。
• 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” （Spurious Regression）问题。
–表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的 相关性。
–例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势 （非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进 行回归也可表现出较高的可决系数。
2、平稳性的定义
• 假定某个时间序列是由某一随机过程 （stochastic process）生成的，即假定时间 序列{Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一 个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：
–均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； –方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； –协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关，与
• 随机游走的一阶差分（first difference）是平 稳的： Xt=Xt-Xt-1=t ，t~N(0,2)
• 如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过 取差分的方法而形成平稳序列。
二、单整序列 Integrated Series
• 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的， 就称原序列是一阶单整（integrated of 1）序 列，记为I(1)。
m
X t t X t1 i X ti t i 1
模型1 模型2 模型3
零假设 H0：=0 备择假设 H1：<0
• 检验过程
–实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。 –何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为
平稳序列，何时停止检验。 –否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。
• ADF检验在Eviews中的实现
第三章 线性平稳时间序列分析
λ + α1λ
p 1
+ + α p = 0
特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 为互不相同的实根 这时齐次线性差分方程的解为 t zt = c1λ1t + + c p λ p 特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 中有相同实根 这时齐次线性差分方程的解为 特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 中有复根 这时齐次线性差分方程的解为
j
j k
根据 Cauchy 不等式,我们可以得到
G j G j k ≤ ∑ G 2 ∑ G 2k ∑ j j j =∞ j =∞ j =∞
∞ ∞ ∞
12
<∞
所以级数
j =∞
∑GG
j∞Leabharlann j k收敛,故 { X t } 为平稳序列.
上海财经大学 统计与管理学院
10
,
3.1.2 线性过程的因果性和可逆性
1 j =1
(3.8)
其中
1 G 1 ( B ) = I ( B) = 1 ∑ I j B j j =1 ∞
(3.9)
称将 X t 变换为 ε t 的线性算子:
I ( B ) = ∑ I j B j , I 0 = 1
j =0
∞
为逆函数 逆函数,称(3.8)为 X t 的逆转形式 逆转形式,也称为无穷阶自回归. 逆函数 逆转形式
j =0 ∞
便于使用的条件是: 便于使用的条件是:
∑ Gj < ∞
∞
j =0
(3.7)
上海财经大学 统计与管理学院 13
在理论研究和实际问题的处理时, 通常还需要用 t 时刻及 t 时刻以前的 X t j ( j = 0,1, ) 来表示白噪声 ε t ,即
第3章平稳时间序列分析
时间序列分析
(1) X t = X t −1 − 0.5 X t − 2 + at
• 自相关函数呈现出“伪周期”性
• 理论偏自相关函数
⎧2 ,k =1 ⎪3 ⎪ φkk = ⎨−0.5 , k = 2 ⎪0 ,k ≥ 3 ⎪ ⎩
• 样本偏自相关图
时间序列分析
(2) X t = − X t −1 − 0.5 X t − 2 + at
由于格林函数描述了系统的动态性，那么在随 机扰动序列已知的情况下，格林函数就完全 能够确定系统的行为，从而根据已知的扰动 序列和格林函数便可确定系统的响应 拟合AR(p)模型的过程也就是使相关序列独立 化的过程.
时间序列分析
• 平稳性的Green函数判别法
欲使序列平稳，则格林函数应满足
当j → ∞时，有G j → 0
ρ k 减小，且以指数速度减小，越来越与0接近，
这种现象称为拖尾.
时间序列分析
4、AR(1)的PACF （1） PACF的求解
AR (1)的 PACF 按照 PACF的递推公式有：
ρ 2 − ρ1φ11 φ12 − φ12 φ11 = ρ1； φ 22 = = =0 2 1 − ρ1φ11 1 − φ1 φ21 = φ11 − φ 22φ11 = φ1 ρ 3 − ρ 2φ 21 − ρ1φ 22 φ13 − φ12φ1 − 0 = =0 φ33 = 2 1 − ρ1φ 21 − ρ 2φ 22 1 − φ1 − 0
时间序列分析
（三）AR(1)的统计特征
1、 AR(1)的方差：
• 平稳AR(1)模型的传递形式为
∞ ∞ at i Xt = = ∑ (φ1 B) at = ∑ φ1i at −i 1 − φ1 B i =0 i =0
第三章平稳时间序列分析-3
n
Q(ˆ )
2 t
t1
n
( xt 1 xt1 p xt p 1 t1 q tq )2 t 1
实际中最常用的参数估计方法是条件最小二乘估 计法
条件最小二乘估计
假设条件：过去未观测到的序列值为0，即
xt 0 , t 0
从而 t
(B) (B) xt
xt
t
i xt1
i 1
由时序图可见，无周期性和单调趋势，序列平稳
序列自相关图
除延迟1阶在2倍标准差外，其它都在2倍标准差范围内 波动，平稳，自相关系数1阶截尾。
所以可考虑拟合模型MA(1)
序列偏自相关图
显然，偏自相关系数拖尾。
【例3.9】 1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列
由时序图可见，无周期性和单调趋势，序列平稳
s
t
特别当φ0=0 时，称为中心化ARMA(p,q)模型
系数多项式
引进延迟算子，中心化ARMA(p,q)模型 可简记为 (B)xt (B)t
其中p阶自回归系数多项式：
(B) 11B 2B2 pBp
q阶移动平均系数多项式：
(B) 11B 2B2 q Bq
2、平稳条件与可逆条件
ARMA(p,q)模型的平稳条件 P阶自回归系数多项式Φ(B)=0的根都在单 位圆外,即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由 其自回归部分的平稳性决定
Pr
2 n
ˆk
2 n
0.95
Pr
2 n
ˆkk
2 n
0.95
模型定阶的经验方法：
若样本(偏)自相关系数在最初d阶明显大于2 倍标准差，后面几乎95％的值都落在2倍
标准差范围内，且衰减为小值波动的过程 很突然。这时常视为截尾，截尾阶数为d。
平稳时间序列分析
平稳时间序列分析平稳时间序列分析是一种常用的时间序列分析方法，它旨在研究时间序列在均值和方差上的稳定性，并将其用于预测未来的数据走势。
本文将详细介绍平稳时间序列分析的基本概念、建模方法和预测技术。
首先，让我们来了解什么是时间序列。
时间序列是按照一定的时间间隔收集到的一系列数据点的有序集合，它可以是连续的或离散的。
时间序列分析的目的是通过对过去的数据进行统计分析，揭示出时间序列中的内在规律和趋势，并预测未来的数据走势。
平稳时间序列是指在统计意义上具有稳定性的时间序列，即其均值和方差保持恒定不变。
平稳时间序列具有以下特点：1）均值是常数，不随时间变化；2）方差是常数，不随时间变化；3）协方差只与时间间隔有关，与具体的时间点无关。
为了实现平稳时间序列分析，我们需要进行以下几个步骤：1. 数据准备：收集所需的时间序列数据，并将其整理成适合分析的格式。
通常，我们会绘制时间序列图以直观地查看数据的趋势和模式。
2. 时间序列分解：时间序列通常包含趋势、季节性和随机成分。
我们需要对时间序列进行分解，将其分解为这些组成部分。
常用的分解方法有经典的加性模型和乘性模型。
3. 平稳性检验：对于时间序列分析，我们需要确保数据是平稳的。
平稳性检验的目的是判断时间序列的均值和方差是否是稳定的。
常用的平稳性检验方法有ADF检验、KPSS检验等。
4. 模型建立：如果时间序列被证实是平稳的，我们可以根据数据的模式和趋势选择适当的模型。
常用的模型包括自回归滑动平均模型（ARMA模型）、自回归积分滑动平均模型（ARIMA模型）等。
5. 模型识别与估计：在模型建立的基础上，我们需要对模型进行识别和估计。
模型识别的目的是选择最适合数据的模型阶数，常用的方法有自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的分析。
模型的估计通常使用最大似然估计方法。
6. 模型检验：建立模型后，我们需要对模型进行检验，验证其拟合程度和预测准确度。
常用的模型检验方法有残差分析、DW检验、Ljung-Box检验等。
时间序列分析第三章平稳时间序列分析
时间序列分析第三章平稳时间序列分析轴表示序列取值。
时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征。
根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界的特点。
如果观察序列的时序图，显示出该序列有明显的趋势性或周期性，那它通常不是平稳序列。
从图上可以看出，数值围绕在0附近随机波动，没有明显或周期，其本可以视为平稳序列，时序图显示该序列波动平稳。
procarimadata=e某ample3_1;identifyvar=某nlag=8;run;图一图二样本自相关图图三样本逆自相关图2图四样本偏自相关图图五纯随机检验图实验结果分析：（1）由图一我们可以知道序列样本的序列均值为-0.06595，标准差为1.561613，观察值个数为84个。
（2）根据图二序列样本的自相关图我们可以知道该图横轴表示自相关系数，综轴表示延迟时期数，用水平方向的垂线表示自相关系数的大小。
我们发现样本自相关图延迟3阶之后，自相关系数都落入2倍标准差范围以内，而且自相关系数向0.03衰减的速度非常快，延迟5阶之后自相关系数即在0.03值附近波动。
这是一个短期相关的样本自相关图。
所以根据样本自相关图的相关性质，可以认为该序列平稳。
（3）根据图五的检验结果我们知道，在各阶延迟下LB检验统计量的P值都非常小（<0.0001），所以我们可以以很大的把握（置信水平>99.999%）断定该序列样本属于非白噪声序列。
procarimadata=e某ample3_1;identifyvar=某nlag=8minicp=(0:5)q=(0:5);run;IDENTIFY命令输出的最小信息量结果3某个观察值序列通过序列预处理，可以判定为平稳非白噪声序列，就可以利用ARMA模型对该序列建模。
建模的基本步骤如下：A：求出该观察值序列的样本自相关系数（ACF）和样本偏自相关系数（PACF）的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
尾性
2021/2/22
7
【例3.7】考察ARMA模型的自相关性
ARMA(1,1): xt0.5xt 1t0.8t
直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系 数的性质。
2021/2/22
8
样本自相关图
样本偏自相关图
显然，自相关系数和偏自相关系数拖尾
2021/2/22
9
这也是直观选择拟合模型的 常用方法之一
2021/2/22
25
所以可考虑拟合模型ARMA(1,1) 序列偏自相关图
显然，偏自相关系数拖尾。
2021/2/22
26
四、参数估计
待估参数（也称模型口径）
非中心化的ARMA(p,q)可转化为
有p+q+2个未知参数
xt
(B) (B)
t
常用估计方法：
1, ,p,1, ,q,,2
矩估计
极大似然估计 最小二乘估计
显然，除延迟1期的偏自相关系数显著大于2σ线外,其 它突然衰减为小值波动，可认为1阶截尾。
2021/2/22
20
【例3.8】
美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORT序列
由时序图可见，无周期性和单调趋势，序列平稳
2021/2/22
21
序列自相关图
除延迟1阶在2倍标准差外，其它都在2倍标准差范围内
2021/2/22
17
例2.5续
选择合适的ARMA模型拟合1950年— 1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序 列。
2021/2/22
18
序列自相关图
显然，延迟3期后，虽自相关系数都落在2σ线内,但却逐渐 的衰减为小值波动，拖尾，平稳 。
2021/2/22
19
所以可考虑拟合模型AR(1)
序列偏自相关图
MA模型的可逆性判定
2021/2/22
2
用过去的自己，并考虑到随机干
扰或误差序列来预测自己
三、ARMA模型
1、定义 具有如下结构的模型称为自回归移动 平均模型，简记为ARMA(p,q)
xtp 0 0， 1xt q1 0 pxtpt 1t1 qtq
E(t)0， Va(tr)2,E(ts)0,st
n
t
t2 [xt
ixt1]2
i1
i1
i1
用迭代法，求得使其达最小的参数值。
2021/2/22
37
最小二乘估计的特点
最小二乘估计充分应用了每一个观察值 所提供的信息，因而它的估计精度高；
不需总体分布，便于实现，所以条件最 小二乘估计方法使用率最高。
2021/2/22
38
例2.5续
确定1950年—1998年北京市城乡居民定期 储蓄比例序列拟合模型的口径 拟合模型：AR(1) 估计方法：极大似然估计 模型口径
...
...
ˆk-1
ˆk-2
...
ˆk
1 ˆ1 ... ˆk-1
Dˆ
ˆ1
...
1
...
ˆk-2
...
...
ˆk-1 ˆk-2
...
ˆ1
2021/2/22
由克莱姆法则，解Yule-Walker方程组得到。
13
三、模型识别 基本原则
ˆ k 拖尾
ˆkk
P阶截尾
q阶截尾
拖尾
拖尾
拖尾
选择模型 AR(P) MA(q)
n
Q(ˆ)t2 t1 n (xt 1xt1 pxtp1t1 qtq)2 t1
实际中最常用的参数估计方法是条件最小二乘估 计法
2021/2/22
36
条件最小二乘估计
假设条件：过去未观测到的序列值为0，即
xt 0,t0
从t而 ((B B ))xtxti t1ixt1
残差平方和方程
Q (~)n
2021/2/22
27
1、矩估计
原理
用相应阶样本自相关系数估计总体自相
关系数
1(1, ,p,1, ,q)ˆ1
pq(1, ,p,1, ,q)ˆpq
样本一阶均值估计总体均值
ˆ x
n
xi
i1
样本方差估计总体方差
n
ˆx2
1 n
n i1
(xi
2
x)
ˆ2
11ˆˆ1122
ˆp2 ˆq2
ˆx2
2021/2/22
ARMA模型相关性特征：
模型 AR(P) MA(q) ARMA(p,q)
自相关系数 偏自相关系数
拖尾
P阶截尾
q阶截尾
拖尾
拖尾
拖尾
2021/2/22
10
3.3 平稳序列的建模
建模步骤 模型识别 参数估计 模型检验 模型优化
2021/2/22
11
一、建模步骤
平
计
稳
算
非
样
白
本
噪
相
声
关
序
系
列
数
2021/2/22
41
作业
P98 习题三 12
2021/2/22
42
谢谢观赏
2021/2/22
43
自相关系数与自协方差的关系方程
矩估计
1
1 0
(1 1)(111) 112 211
2 11
ˆ1ˆˆ12 ,
c
ˆ1
c24,c2 2
c
c24,c2 2
,
c1112ˆ21ˆ2
2021/2/22
31
矩估计的特点：
优点 估计思想简单直观 不需要假设总体分布 计算量小（低阶模型场合）
缺点 信息浪费严重 只依赖p+q个样本自相关系数信息，其他信 息都被忽略 估计精度较差
特别当φ0=0 时，称为中心化ARMA(p,q)模型
2021/2/22
3
系数多项式
引进延迟算子，中心化ARMA(p,q)模型 可简记为
(B)xt (B)t
其中p阶自回归系数多项式：
(B ) 1 1 B 2 B 2 p B p
q阶移动平均系数多项式：
(B ) 1 1 B 2 B 2 q B q
第三章 平稳时间序列分析3
2021/2/22
1
上次课内容回顾
一、平稳AR模型的统计性质
均值，方差，自协方差函数，自相关系数的拖尾性及偏自相关 系数的p阶截尾性
二、 ARMA模型之MA模型 q阶MA模型形式：
中心化，非中心化，移动平均系数多项式 Xt=θ(B)εt
MA模型的统计性质：
均值，方差，自协方差函数，自相关系数的q阶截尾性及偏自 相关系数的拖尾性
Ik
k
jIkj
j
,
k1
j1
其中 j 0,j,jjpp,j 0,j,jjqq
2021/2/22
6
4、ARMA(p,q)模型的统计性质
均值
E(xt)11 0 p
自协方差 (k)2 GiGik
i0
自相关系数
(k) (k) (0)
G jG jk
j0
G
2 j
j0
自相关系数和偏自相关系数都具有拖
【例3.11】求MA(1)模型系数的矩估计
MA(1)模型
xt t 1t1
由MA(1)协方差函数公式
1 0 (1 12 12)211 01 112
矩估计
ˆ1
1
14ˆ12 2ˆ1
2021/2/22
30
【例3.12】求ARMA(1,1)模型系数的矩估计
ARMA(1,1)模型 xt1xt 1t1t 1
xt2.1 5 7 0 .6xt9 1t
Va(rˆ2)16.17
2021/2/22
39
例3.8续
确定美国科罗拉多州某一加油站连续57天的 OVERSHORTS序列拟合模型的口径 拟合模型：MA(1) 估计方法：条件最小二乘估计 模型口径
xt 4.40 3 (1 5 0.8 12B 3 )t03
何时可作为截尾？何时为拖尾？
没有绝对的标准，主要靠经验。有时也利用一 下由两种系数的近似分布推出的结论。
2021/2/22
15
样本相关系数的近似分布
Barlett定理
ˆk
~N(0,1) n
,n
Quenouille定理
ˆk
1 k~N(0,n)
,n
2021/2/22
16
何时可作为截尾？何时为拖尾？
2021/2/22
模型 识别
参数 估计
模
No
模型 Yes 型
检验
优
化
序 列 预 测
12
二、计算样本相关系数
样本自相关系数 样本偏自相关系数
nk
(xt x)(xtk x)
ˆk t1 n
(xt x)2
ˆkk
Dˆ k Dˆ
t 1
1 ˆ1 ... ˆ1
Dˆ k
ˆ1
...
1
...
ˆ 2
极大似然估计的特点
优点 极大似然估计充分应用了每一个观察值所提供的信息， 因而它的估计精度高 同时还具有估计的一致性、渐近正态性和渐近有效性 等许多优良的统计性质
缺点 需要已知总体分布
实际中，为便于计算，很多时候看作服从多元正态分 布
2021/2/22
35
3、最小二乘估计
原理
使残差平方和达到最小的那组参数值即为最 小二乘估计值
2021/2/22
5
可转化为无穷阶MA模型
可转化为无穷阶AR模型
3、传递形式与逆转形式
传递形式
逆转形式
xt 1(B)(B) t