线性代数第一章行列式第二节全排列及其逆序数
线性代数第一章第二节
四、作业 P35 1(3) 2(4) 4 8(3) 12(1)(3)
思考题[*]
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解 含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
2. a14 a21a33 a44不是四阶行列式中的项 ,a12 a43a31a24是四阶 行列式中的项. a12 a43a31a24 a12 a24 a31a43
1t 2413 a12a24 a31a43a 13 a12a24 a31a43 a12a24 a31a43
t(53412) = 0+1+1+3+3=8 定理 2 n个自然数共有n!个n元排列,其中奇偶排 列各占一半。
二、n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
例 3 三阶行列式
例4 四阶行列式
1 2 3
12 3
3 4
例5 n 阶行列式
1 2
12 34
1 2
(1)
n( n 1 ) 2
12 n
n
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n t ( j1 j2 ......jn ) a1 j1 a2 j2 ......anj n (1) ... a nn
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
(2) a32a43a14a51a66a25 行标排列341562的逆序数为
t1 0 0 2 0 0 4 6 ,
列标排列234165的逆序数为
t2 0 0 0 3 0 1 4 , t1 t2 10 ,
所以,a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数,并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列;
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数.
证明 按行列式定义有
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
记
D1
1 ta p11a p2 2 a pnn
对于 D 中任意一项 1 t a1 p1a2 p2 anpn , 总有且仅有 D1 中的某一项 1 s aq1 a1 q2 2 aqnn ,
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
(1)三阶行列式共有 6 项,即 3! 项.
(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积.
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
线性代数基础
0 0 0 a44
a14a23a33a41
四个结论:
(1) 对角行列式
a11 D a22 ann
(2)
a11a22 ann
a1n D a n1 a2,n 1
(1)
n( n1) 2
a1na2,n1
an1
(3)
上三角形行列式 (主对角线下侧元素都为0)
a11 0 D 0
a11a22a34a43 2 x 3
故 x 3 的系数为-1.
§1.2
代数余子式:
行列式按行(列)展开
在n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划后,
留下来的n-1阶行列式叫做元素 aij的余子式,记作 M ij . 把 Aij 1 子式.
例如
i j
M ij
, n) 排成的
a21
a22
am 1 am 2
a11 a21 A am 1 a12 a22 am 1
称为 m 行 n 列矩阵,简称 m×n 矩阵. 记作
a11 a21 A am 1
a12 a22 am 1
a1 n a2 n amn
§2.3 逆矩阵
§2.4 矩阵的分块 §2.5 方阵的特征值与特征向量 补充: 几个重要的矩阵
§2.1 矩阵的定义
由 m×n 个数 aij (i 1, 2, m 行 n 列的数表 a11 a12
, m; j 1, 2,
a1n a2 n amn
a1 n a2 n amn
1 0 4. 形如 0 0
2
0
0 0 记作 的方阵称为对角阵. A diag(1 , 2 , , n ) n
1-2 全排列及其逆序数
左
3 2 32 8/2=4 4 1 31 21 41 因此,计算排列的逆序数时,对每个元素只需考虑它 与左边(或右边)的元素所构成的逆序.
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右 32 31 21 41
排列的逆序数
对于排列中的一个元素,左边比它大的数的个数, 叫做该元素的逆序数 . 排列的逆序数 = 排列中各个元素的逆序数之和. 定义 4 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 说明 一个排列不是奇排列就是偶排列.
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作业
计算以下排列的逆序数,并判断奇偶性
①1 3 4 2 6 5 ;
②2 4 … (2n) (2n-1) (2n-3) … 1
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思考题
分别用两种方法求排列 163பைடு நூலகம்2487 的逆序数.
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思考题解答
方法 1 求出每个元素的逆序数, 并相加
t 0 011 3 2 01 8
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例 1 求排列 32514 的逆序数,并说明它的奇偶性.
分析 3: 排在首位, 逆序数为 0; 2: 前面比 2 大的数只有一个 3, 故逆序数为 1; 5: 前面没有比 5 大的数, 其逆序数为 0; 1: 前面比 1 大的数有 3 个, 故逆序数为 3; 4: 前面比 4 大的数有 1 个, 故逆序数为 1. 解 3 2 5 1 4
解
n 1 (1) nn 1n 2 3 2 1 n2 nn 1 t n 1 n 2 2 1 0 2 当 n 4k , 4k 1 (kN) 时,为偶排列, 当 n 4k 2, 4k 3 (kN) 时,为奇排列.
线性代数ppt课件
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
5
第一章 行列式
我们用符号
aa1211表aa示1222代数和a11a22a12a21
解: 1 3 … (2n-1) 2 4 … 2k… (2n)
D3x24x189x2x212x25x6
即x25x60
x2或x3
值得注意的是:四阶及四阶以上行列式没有像二、三阶 行列式那样的对角线法则
13
第一章 行列式 §1-2 全排列及其逆序数
[引例]用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的 三位数?
[解依] 次选定百位数、十位数、个位数。 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是 123 132 213 231 312 321
十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究。 十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善。
3
第一章 行列式
莱布尼茨:历史上少见的通才,被誉为 十七世纪的亚里士多德。在数学上,他 和牛顿先后独立发明了微积分。在哲学 上,莱布尼茨的“乐观主义”最为著名 。 他对物理学的发展也做出了重大贡献 。
并称它为三阶行列式。
10
第一章 行列式
2、行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 3、三阶行列式的计算 (对角线法则或沙路法则 )
线性代数第一章行列式
7 行列式按行(列)展开
1)余子式与代数余子式
在n阶行列式中,把元素aij 所在的第i行和第 j 列划去后,留下来的n 1阶行列式叫做元素aij 的余子式,记作M ij;记
Aij (1)i j M ij , Aij 叫做元素a ij 的代数余子式.
2)关于代数余子式的重要性质-行列式展开定理
定理 如果上述线性方程组无解或有两个不同的 解,则它的系数行列式必为零.
定理 如果齐次线性方程组
a x a x a x a x
11 1
21 1
12 2
22 2
a x a x
n1 1
n2 2
a x
0,
1n n
a x
0,
2n n
a x
0.
nn n
的系数行列式D 0, 那么它没有非零解.
定理 如果上述齐次线性方程组有非零解,则 它的系数行列式必为零.
例 计算
x y xy (1) y x y x
xy x y
x y xy
2(x y) y x y
解 : y x y x 2(x y) x y x
xy x
y c1c2 c3 2(x y) x
1 a2 ...
1 0 ...
... ... ...
1 0 ...
n
a1
i2
1
1 ai
0 0 ... 0 a2 0 ... 0
1 0 0 ... an
... ... ... ... ... 1 0 0 ... an
a1a2a3...an (1
线性代数课件第1章行列式
解 120 1 120 1 120 1
r2r1 0 1 5 1 r4r1 0 1 5 1 r3r2 0 1 5 1
D
015 6 015 6 000 7
.
123 4 003 3 003 3
120 1
r3 r4 0 1 5 1
21
003 3
课件
27
000 7
例2 计算 a b b b
式的值不变.即第 i 行乘 k 加到第 j 行上,有
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n
ai1
ai2
ain
ai1 ai2
ain
aj1 kai1 aj2 .kai2
ajn kain aj1 aj2
ajn
an1
an2
ann
an1 an2
ann
课件
25
为叙述方便,引进以下记号:
(1)交换行列式的 i , j 两行(列),记
为行列式 d e t ( a ij ) 的元素.
定理2 n 阶行列式也可定义为
a11 a12 Da21 a22
a1n
a2n (1)ta a p11 p22
apnn
an1 an2
ann
其中 t 为行标排列 p1p2 pn 的逆序数.
课件
17
定义4 对角线以下(上)的元素均为零的行 列式称为上(下)三角行列式.
列组成的记号
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1
a. n2
ann
为 n 阶行列式,简记为 D det(aij ) .
课件
16
n 阶行列式可表示为
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
例3 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1 t a1,n1a2,n2 an1,1ann
1t 1 2 n 1 n 1t n!, tn 1n 2 21n
01 2L n 3 n 2 0
1234
例3 计算
0 D
4
2
1
0056
0008
解
1234Βιβλιοθήκη 0421D 00
5
6 a11a22a a 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数,并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列;
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn
1n阶行列式
0+1+0+2+4=7
故排列42531的逆序个数为7,即τ(42531)=7,
因而是奇排列.
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(2) 同理可得:
τ[135…(2n-1)246…(2n)]=0+(n-1)+(n-2)+…+2+1=
n(n 1) 2
所给排列当n=4k或4k+1时为偶排列,当n=4k+2或4k+3
时为奇排列.
把行列式
§3 行列式的性质
的行换成同序数的列,
称为行列式D的转置行列式。
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性质1 行列式与它的转置行列式相等 。
证: 记
即bij=aji
(i,j=1,2,…,n)
按行列式定义
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性质2 互换行列式的两行(列),行列式反号。 证
交换第p、q两列,得行列式
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同理可证
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代数余子式的重要性质(行列式按行(列)展开公式):
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例 计算n阶行列式 解法一
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例 计算n阶行列式
解法二(递推法) 由行列式Dn可知
将Dn按第1列展开
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这个式子对任何n(n2) 都成立,故有
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例 利用递推公式法计算 解:按第一行展开
Dn=
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例 证明
上面的行列式中,未写出的元素都是0。 证: 因为行列式的值为
而排列j1j2…jn只能是n(n-1)…21的排列, 故逆序数
线性代数 概率论与数理统计 作业册 (参考答案)青岛理工大学
第一章 行列式第一节二阶与三阶行列式 第二节全排列及其逆序数第三节n 阶行列式的定义第四节对换1.求下列各排列的逆序数:(1) 134785692 (2) 139782645 (3) 13…(2n-1)24…(2n) (4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 (11;17;2)1(-n n ;)1(-n n ) 2. 已知排列9561274j i 为偶排列,则=),(j i (8,3) .3.计算下列各阶行列式:(1) 600300301395200199204100103 (2)0d 0c 0b 0a 0 (3)efcfbfde cd bd aeac ab --- [2000; 0; 4abcdef] 4. 设xx x x xD 111123111212-=,则D 的展开式中3x 的系数为 -1 .5 求二次多项式()x f ,使得()61=-f ,()21=f ,()32=f解 设()c bx ax x f ++=2,于是由()61=-f ,()21=f ,()32=f 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-32426c b a c b a c b a 求c b a ,,如下: 06124111111≠-=-=D ,61231121161-=-=D ,121341211612==D ,183242116113-=-=D 所以 11==D D a ,22-==D Db ,33==DD c故()322+-=x x x f 为所求。
第五节 行列式的性质 第六节 行列式按行(列)展开 第七节克拉默法则1.n 阶行列式ij a D =,则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为( D ). (A )- (B )+ (C )n)1(- (D )1)1(--n2.如果1a a a a a a a a a D 333231232221131211==,求333231312322212113121111a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4--- [-12] 3. 已知4521011130112101--=D ,计算44434241A A A A +++ [-1]4. 计算行列式3833262290432231---- [-50]5.计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式)(1)a11a,其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是0; [2--n naa ](2) aaaa x a aax; [1)(--n a x a ](3)n1n 321a xxxxx a x x x x x a x x x x xa xx x x x a- [利用递推公式来求]递推公式为1121)()())((---+---=n n n n D x a x a x a x a x Dn D =)1)(())((2121xa xx a x x a x x a x a x a n n -++-+-+--- (4) n2222232222222221[)!2(-n ](5)β+ααββ+αβ+ααββ+ααββ+ααββ+α1000000100001000010000[n n n n βαββαα++++--11]6.问λ,μ取何值时,齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0x x 2x 0x x x 0x x x 321321321有非零解? [0;1==μλ]求每类商品的销售利润率。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结第一章 行列式第一节:二阶与三阶行列式把表达式11221221a a a a -称为11122122a a a a 所确定的二阶行列式,并记作11122112a a a a ,即1112112212212122.a a D a a a a a a ==-结果为一个数。
(课本P1) 同理,把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数表111213212223313233a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式,记作111213212223313233a a a a a a a a a 。
即111213212223313233a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- 二三阶行列式的计算:对角线法则(课本P2,P3) 注意:对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组:对二元方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩设11122122a a D a a =≠1121222b a D b a =1112212.a b D a b =则1122221111122122b a b a Dx a a D a a ==,1112122211122122.a b a b Dx a a Da a ==(课本P2)对三元方程组111122133121122223323113223333a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,设1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠,1121312222333233b a a D b a a b a a =,1111322122331333a b a D a b a a b a =,1112132122231323a ab D a a b a a b =, 则11D x D =,22Dx D =,33D x D=。
线性代数全套课件
它们的和
j1 jn
J 1 a1 j a2 j
1
2
anjn
称为n阶行列式。
a11 a12 a1n
记为
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
aij 称为行列式的元素
行列式中,除对角线上的元素以外,其他元素全为 零(即i≠j时元素aij=0)的行列式称为对角行列式, 它等于对角线上元素的乘积。
例 证明
a a n 1 ,1 a n1 a a n 1, 2 an 1
n ( n 1 ) 2
a1n a2,n1 an1, 2 an1
i1 i p i q i n 与 i1 iq i p in 只经过一次对换
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1na2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中,将某两个数对调,其余的数不动, 这种对排列的变换叫对换,将相邻两数对换,叫做 相邻对换(邻换)。 定理1 一个排列中的任意两数对换, 排列改变奇偶性。
此式称为n阶行列式的 展开式或行列式的值
D
j1 jn
1
J
a1 j1 a2 j2 anjn
例
计算4阶行列式
a11 D
0
0 0 a 33 a43
0 0 0 a44
a 21 a 22 a 31 a 32 a41 a42
解: 根据定义,D是4!=24项的代数和,但每一 项的乘积 a1 j1 a2 j 2 a3 j3 a4 j中只要有一个元素为 0,乘积 n 就等于0,所以只需展开式中不明显为0 的项。
线性代数第一章行列式
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
2
两式相减消去 x ,得
(a11a22 a12a21)x1 b1a22 a12b2 ;
类似地,消去 x ,得
a2 b2 c2 c2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 c2 b2 c2 a2 a3 b3 c3 c3 a1 b1 c1 a3 b3 c3 b3 c3 c3 a3
b1 a1 c1 b3 a3 c3
a1 b1 c1 a3 b3 c3
a1 b1 c1 a3 b3 c3
(1)每项都是位于不同行不同列的三个元素 的乘积.共6项.
(2)每项的行标为标准次序时,正负号都取 决于列标的逆序的奇偶性.
a11
a12
a21 a22
a11 a21 a31 a12 a22 a32
(1)
a13
t ( p1 p2 )
a1 p1 a2 p2 .
a23 ( 1) a33
a23a31a42a65a56a14 = a14a23a31a42a56a65
因为 t(431265)=6 故 a23a31a42a65a56a14 的符号为正
例5
计算三角形行列式的值
(1) a11
a12 a22 0
a1n a2 n ann
答案:a11a22 ann
0 0
a11 (a22a33 a23a32 ) a12 (a23a31 a21a33 ) a13 (a21a32 a22 a31 ) a11 a11 a22 a23 a32 a33 a22 a23 a32 a33 a12 a12 a23 a21 a33 a31 a21 a23 a31 a33 a13 a13 a21 a22 a31 a32 a21 a22 a31 a32
线性代数第一章笔记1-2-1
a a 1 ⋯ a l a b b1 ⋯ b m
a 1 ⋯ a l b a b1 ⋯ b m a
a1 ⋯ala b1 ⋯bm b c1 ⋯cn a a1 ⋯al b b1 ⋯bm a c1 ⋯cn a
定理2.1 一个排列中的任意两个元素对换, 定理2.1 一个排列中的任意两个元素对换,排 列改变奇偶性. 列改变奇偶性. 证明 设排列为
t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5.
计算下列排列的逆序数, 例2 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇 偶性. 偶性
(1) 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 10 0 1 3 4 4 5
t = 5 + 4 + 4+ 3+1+ 0+ 0+1+ 0
= 18
此排列为偶排列 此排列为偶排列. 偶排列
第二节 n 阶行列式的定义(I) 阶行列式的定义(I)
一、全排列及其逆序数
引例 用1、2、3三个数字,可以组成多少个没 三个数字, 、 、 三个数字 有重复数字的三位数? 有重复数字的三位数? 解
百位 十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3 3
3种放法 种放法 2种放法 种放法 1种放法 种放法
用 P 表示 n表示. 由引例 P3 = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6. 同理
Pn = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ ⋯ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!.
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, 我们规定各元素之间有一个标准次序 n 个 不同的自然数,规定由小到大为标准次序 标准次序. 不同的自然数,规定由小到大为标准次序 定义 在一个排列 (i1 i 2 ⋯ i t ⋯ i s ⋯ i n ) 中,若数 it > i s 则称这两个数组成一个逆序 则称这两个数组成一个逆序.
大学线性代数最全知识点
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
(2)
(1)a22:
a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,
(2)a12:
a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,
两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;
(a11a22 a12a21)x1 b1a22 a12b2;
线性代数
第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换及线性方程组 第四章 向量组的线性相关性 第五章 相似矩阵及二次型
第一章 行列式
§1.1 二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元(一次)线性方程组:
线性代数_课件
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五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项
(1) a1p1...aipi ...a jpj ...anpn
(1)
其中 1...i... j...n为自然排列, 为列下标排
列 p1...pi...p j... pn 的逆序数。对换 (1) 中元
素a
与
ip i
a jp
j
成:
(1) a1p1...a jpj ...aipi ...anpn
解:∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的逆序
数之和等于1~ n 这 n 个数中任取两个数的组合
数即 :
(
p1 p2... pn )
(
pn
pn1... p1)
Cn2
n(n 1) 2
(
pn
pn1... p1)
n(n 1) 2
k
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例4 求排列(2k)1(2k 1)2(2k 2)...(k 1)k
a22 ...
... a2n ... ...
a11a22...ann
0 0 ... ann
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3) 次上三角行列式
a1,1 ... a1,n1 a1,n
a2,1 ... a2,n1 ... ... ...
0 ...
n ( n 1)
(1) 2 a1,na2,n1...an,n
例6 若 a13a2ia32a4k , a11a22a3ia4k , ai2a31a43ak 4 为四阶行列式的项,试确定i与k,使前两项带正号, 后一项带负号。
线性代数教案行列式
线性代数教学教案行列式21⋅.如果一对数的排列顺序与自然顺序相反,即排在左边的数比排在它右边的数大,i的逆序数记为那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数,排列n )i.n3.定义:逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列二.二阶、三阶行列式1.引例:解方程组1,2,3,n )排成123132333123nnn n n n nn a a a a a a a 2323331123(1)n n n n nna a a a a a =-+21222,12123231323,13133312112,1131)+(1)n n n n nn n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a --++-+-阶行列式(递归定义).余子式与代数余子式:由行列式D 中划去ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的元素按照原来的顺序构ij M ,称为元素ij a 的余子式,(1)i j ij A M +-称为元素ij a 的代数余子式D 11=n n a A a A =na ∑1,2,3,n )组成的阶行列式定义为 123132333123n nn n n n nna a a a a a a 1212)12=n n nj j j j nj j j j a a a ∑nj ∑表示对所有的列标排列12n j j j 求和.四.例题讲解1.求解二元线性方程组122321221x x x x -=⎧⎨+=.1233300n nn nn a a a a . 11121,121222,111,11,210000n n n n n a a a a a a D a a ----=,112122313233123000000n n n nn a a a a a a a a a a , 1122330000000000nna a a a .授课序号02in jn a A =,n ,i ≠0ni nj a A =,n ,i ≠综合上一节和该推论,对于行列式和代数余子式的关系有如下重要结论:, ,0, .i j i j =≠ , =0, kj D i A ⎧⎨⎩授课序号030000000000x y yx.(Vandermonde)行列式1221231111112311n n n i j nn n n n nx x D x x x x x ≤<≤----==∏31111111n a +12(0)n a a a ≠.3434340a a x x a a a a a ++=的根.0000000003200013.12211000100000001nn n x x x a a a a x a -----+.00000000000000000000000a b a b a b c d c dc d.22231112342344,证明:()0f x '=有且仅有两个实根授课序号041222222n n n n nn n a x a x x a x +=+++=1112121222120n n n n nna a a a a a a a a ≠,122n n D D Dx x D D D==,,,, 列换成常数项所得的n 阶行列式1,111,11212,122,121,1,1j j n j j n n n j nn j nna b a a a b a a a a b a a -+-+-+112222222n n n n nn n na xb a x b x a x b +=+=++=当12,,,n b b b 全为0时,得到11112121122221122n n n n n n nn n a x a a x a x a a x a x a x a x ++⎧⎪++⎪⎨⎪⎪+++⎩335111x x =-=-=211311213313n n n n n n n n n a x a x a x a x x a x ----+=+==+=,n ).互相关联,X 公司持有股份,持有Z 股份,持有Z 公司20%持有Y 公司20%,Z 公司各自的净收入分别为万元,每家公司的联合收入是净收入加上其他公司的股份按比例的提成收入,试求各公司的联合收入及实际收入《市场营销》是商业和经贸专业学生的一门核心课程,商经类学校的所有专业都开设本课程,是一门公共基础课。
线性代数第一章行列式第二节全排列及其逆序数
在一个 n 阶排列中,任何一个数对不是构成 逆序就是构成顺序.如果我们把顺序的个数称为顺
序数, 则一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为
n(n -1)/2. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶 数的排列叫做偶排列.
2. 计算方法
下面来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性,不妨设 n 个元素为 1 至 次序. 设
二、全排列
对于 n 个不同的元素,也可以提出类似的问
题: 把 n 个不同的元素排成一列,共有几种不同
的排法? 为此先给出全排列的定义.
定义 把 n 个不同的元素排成一列,叫做这
n 个元素的全排列(也简称排列).
n 个不同元素的所有排列的种数,通常用 Pn 表
的结果可知 P3 = 3 · · = 6. 2 1 示. 由 引例 用1,2,3三个数字可以组成多少个没
例 4 求排列
32541
的逆序数.
求逆序数模型
本模型最多只能处理9个元素 请在下列输入框中输入互不相等
5 2 8 7 1 4 9 6 3
计 算
清 空
本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! ! ! ! 本节内容已结束 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课, 若想结束本堂课, ! 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮. 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 请单击返回按钮. 请单击返回按钮. 请单击返回按钮.
线代知识总结
线性代数知识点总结目录第一章行列式 (2)第一节:二阶与三阶行列式 (2)第二节:全排列及其逆序数 (2)第三节:n阶行列式的定义 (3)第四节:对换 (4)第五节:行列式的性质 (5)第六节行列式按行(列)展开 (6)第七节克拉默法则 (7)第二章矩阵 (8)第一节:矩阵 (8)第二节:矩阵的运算 (8)第三节:逆矩阵 (11)第四节:矩阵分块法 (13)第三章矩阵的初等变换与线性方程组 (15)第一节:矩阵的初等变换 (15)第二节:矩阵的秩 (16)第三节:线性方程组的解 (18)第四章向量组的线性相关性 (19)第一节:向量组及其线性组合 (19)第二节:向量组的线性相关性 (21)第一章行列式第一节:二阶与三阶行列式1、把表达式a 11a 22-a 12a 21称为a 11a 12a21a22所确定的二阶行列式,并记作a 11a 12a21a12,即D =a 11a 12a21a22=a 11a 22-a 12a 21.结果为一个数。
同理,把表达式a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-a 13a 22a31,称为a11由数表a21a12a 22a32a13a31a 11a12a 23所确定的三阶行列式,记作a 21a 22a 31a 32a33a13a 23。
a33a 11a 12即a 21a 22a 31a32a13a 23=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-a 13a 22a 31,a33注意:对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
2、利用行列式计算二元方程组和三元方程组:对二元方程组⎨⎧a 11x 1+a 12x 2=b1⎩a 21x 1+a 22x 2=b 2≠0a12,设D =a 11a 12b1a21a22D 1=b 1b2a12a22D 2=a11a 11b1b 1a 21b2.则x 1=b a 22D1=2D a11a 12a 21a22x 2=a b D2=212.a 11a 12Da 21a22注意:以上规律还能推广到n 元线性方程组的求解上。
线性代数课件第一章
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆 序数.
在一个 n 阶排列中,任何一个数对不是构成逆序 就是构成顺序.如果我们把顺序的个数称为顺序数,则 一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时,求得方程组(1)的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
(2)
为了记忆该公式,引入记号
(为偶排列). 带负号的三项列标排列:132 , 213 , 321
(为奇排列). 故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数, 表示对1,2,3 三个 数的所有排列 p1p2p3 求和.
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式.其中 aij 称为行列式的元素,
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置,第一个下
标称为行标, 表示该元素所在的行,第二个下标称为列
标,表示该元素所在的列,常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的,,. 定即bb12 义aa,12(22 ,(22a)11b)2
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1,2显,然3叫,做百元位素上.可上以述从问1,题2就,是3三:个把数三字个中不任同选的
元一素个排,所 成一以有列,3种共放有法几;种十不位同上的只排能法从?剩下的两个 数字中选一个,所以有2种放法; 而个位上只能放 最后剩下的一个数字,所以只有1种放法. 因此,
二、全排列
对于 n 个不同的元素,也可以提出类似的问 题: 把 n 个不同的元素排成一列,共有几种不同 的排法? 为此先给出全排列的定义.
定义 把 n 个不同的元素排成一列,叫做这 n 个元素的全排列(也简称排列).
n 个不同元素的所有排列的种数,通常用 Pn 表
示. 由引例 用1的,结2,果3可三知个P数3 =字3可·以2 ·组1 成= 6多. 少个没
有重复数字的三位数?
解 这个问题相当于说,把三个数字分别放在
为了得出计算 Pn 的公式,可以仿照引例 用1,2
进行讨论:
有重复数字的三位
从 n 个元素中任取一个放在第一个位解置上这位与个数
从剩下的 n – 1 个元素中任取一个放在显第然二,百位上
个位置上,有 n – 1 种取法;
一个,所以有3种放
这样继续下去,直到最后只剩下数一字个中元选素一放个,所
在第 n 个位置上,只有 1 种取法. 于最是后剩下的一个数
2. 计算方法
下面来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性,不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个 自然数, 并规定由小到大为标准次序. 设
p1 p2 pn
为这 n 个自然数的一个排列,考虑元素 pi (i = 1, 2, … , n), 如果比 pi 大的且排在 pi 前面的元素有 ti 个,就说 pi 这个元素的逆序数是 ti . 全体元素的 逆序数之和
Pn = n • (n – 1) • ···• 3 • 2 • 1 =共n有! . 3 2 1 = 6 种 123,231,
三、排列的逆序数
1. 定义 定义 对于 n 个不同的元素,先规定各元素
之间有一个标准次序(例如 n 个不同的自然数,可 规定由小到大为标准次序),于是在这 n 个元素的 任一排列中,当某两个元素的先后次序与标准次
序不同时,就说有 1 个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数叫做这个排列的逆序数.
等价定义 在一个 n 阶排列 i1 i2 ···in 中,
在一个 n 阶排列中,任何一个数对不是构成 逆序就是构成顺序.如果我们把顺序的个数称为顺 序数,则一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n -1)/2.
逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶 数的排列叫做偶排列.
n
t t1 t2 tn ti , i1
即是这个排列的逆序数.
例 4 求排列 32541 的逆序数.
求逆序数模型
本模型最多只能处理9个元素 请在下列输入框中输入互不相等
5 2 8 7 1 4 9 63
计 算
清 空
本若请本本若若请请本若请节想本单若请节节想想本单单若请节想本单若内请结节击想本单若内内请结结节击 击想本单若内请结节击想本容单若束内请返结节击想本容容单若束束内请返 返结节击想本容单若束内请返结节已击想本本容单若回束内请返结节已 已击想本本本容单若回 回束内请返结节已击想本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容单若回束内结 结请返结堂堂节已击想按 按本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结钮堂节已击想按本本容束 束单若回束课课内结请返结钮 钮堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结本钮堂若节已击想按本,请本 本 本容束单若 若 若回束.课内结!请 请 请返结钮堂节已击想按本,,容束单回束课..内结!!返结钮堂节已击想按本,容束单回束节课.想内结!返结钮堂单节 节 节已击想 想想按本,容束单 单 单回束课.内结!返结钮堂已击按本,容束回束课.内结!返结钮堂已击按本内,结容束回束课.击内 内 内结!返结 结结钮堂已击 击 击按本,容束回束课.结!返钮堂已按本,容束回束课.结!返钮堂容束已按本,返容 容 容束回束束 束课.结!返 返 返钮堂已按本,束回课.结!钮堂已按本,束回课.已本结!钮堂回已 已 已按本 本本,束回回回课.结!钮堂按,束课.结!钮堂按,结堂束课.按结结结!钮堂堂堂按按按,束课.!钮,束课.!钮束课,钮束束束课课课.!钮钮钮,.!,.,!.,,,!...!!!
第二节 全排列及其逆序数
主要内容
引例 全排列 逆序数
一、引例
引引例例 用用11,,22,,33三三个个数数字字可可以以组组成成多多少少个个没没
有有重 重复复数 数字字的的三三位位数数??
解 这个问题相当于说,把三个数字分别放在
百位在、数十学位中与,个把数考上察,的有对几象种,不例同如的引放例法中?的数字