第二节条件概率与条件期望

2) 通过取条件计算方差
Var ( X ) E[Var ( X | Y )] Var ( E[ X | Y ])
3) 线性：若 a , b , X ,Y ，则有
E[(aX bY ) |] aE ( X |) bE (Y |)
4) 单调性：若 X ,Y 且 X Y , a .s .，则有
x
2) 若 X 与 Y 有联合密度函数 f ( x , y ) ，则
E( X | Y y)



x f X |Y ( x | y )dx
3. 条件期望的性质 1) 对于随机变量 X 与 Y 有
y E ( X | Y y ) p(Y y ) EX E[ E ( X | Y )] E[ X | Y y ] f Y ( y )dy
1 , X n 是独立的且属于集簇 ，则有

k 1
n
Xk

k 1
n
EX k
2 , X n 是独立的且属于集簇 ，则有
Var

Xk k 1
n

n
k 1
Var ( X k )
思考与练习
1 设独立随机变量 X 和 Y 服从参数为 的 Poisson
E[ X |] E (Y |),a . s..
5) 包含性：若1 ,2 是两个 子代数，使得
1 2 ，则有
E[ E ( X |1 ) |2 ] E[ E ( X |2 ) |1 ]
E ( X |), a .s.
4 独立性
1) 设 X1 , X 2 , E 2) 设 X1 , X 2 ,
分布，求在条件 X Y n 下 X 的条件期望.
Key : E ( X | X Y n) n
1 2
是相互独立同
1
2 设某日进入某商店的顾客人数是随机变量 N, X i 表 示第 i 个顾客所花的钱数， 店一天营业额的均值.
分布的随机变量，且与 N 相互独立，试求该日商店
期望是10元的相互独立的随机变量，再设一个顾客 花钱时和进入该商店的总人数独立，试问在给定的 一天内，顾客们在该店所花钱的期望值为多少？ 解：设N 表示进入该店的顾客人数， X i 表示第 i 个顾 客所花的钱数，则 N 个顾客所花钱的总数为 X i .
i 1 N
则一天内顾客们在该店所花钱的期望值是
N n
N E X i | N N E( X ) i 1
N E X i E N E ( X ) E ( N ) E ( X ) i 1
由假设 E( N ) 100, E( X ) E( X i ) 10
例5 一名矿工被困在一个有三个通道的矿井之中，从
第一个通道行进两个小时后将到达安全地带；从
第二个通道行进三个小时后将绕回矿井原地；从 第三个通道行进五个小时后将绕回矿井原地. 假定
该矿工对此矿井的通道情况完全未知，那么他到
达安全地带所需要的平均时间是多少？ 解: 设 X 为矿工到达安全地带所需要的时间，Y 为他 最初选取的通道，则有
故有：
1 EX (2 3 5 2 EX ) 3
EX 10. (小时)
$1.7 独立性
1. 设 X1 , X 2 ,
E
, X n 是独立的且属于集簇 ，则有
1

k 1
n
Xk
EX
k 1
n
k
2. 设 X1 , X 2 ,
2 , X n 是独立的且属于集簇 ，则有
Key : EX1 EN
解: 因为 E (

X i ) E E( i 1
N

n
Xi ) N i 1
N


E n1


X i N n p( N n) i 1
N

E n1



X i N n p( N n) i 1
X i [ ti 1 , ti ) , 且有 0 t0 t1
求 E[ ti 1 ,ti ) X .
tk tk 1 ，
Key : See paper written by Zheng Zhu-kang !
4.
设在某一天内走进一个商店的人数是数学期望等于
100 的随机变量，又设这些顾客所花的钱都为数学
N 于是 E X i 100 10 1000 i 1
它说明顾客们花费在该店钱数的期望值为 1000 元.


E n1
n1


X i p( N n) i 1
n
nEX1 p( N n)
( EX1 )

n1
np( N n) EX1 EN
#
3
设
是具有指数分布 F ( x ) 1
e x ,( 0, x 0) 的相互独立的随机变量，其中
EX E ( X | Y 1) P (Y 1) E ( X | Y 2) P (Y 2) E ( X | Y 3) P (Y 3)
由题意知：
E ( X | Y 1) 2; E ( X | Y 2) 3 EX ; E ( X | Y 3) 5 EX
N N E X i E E （ X i | N） i 1 i 1
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n ） 而 E Xi | N n E Xi | N n E X i nE ( X ) i 1 i 1 i 1
Var

Xk k 1
n

n
k 1
Var ( X k )
课堂小结
1. 收敛概念：几乎必然收敛（以概率1收敛）； 依概率收敛； 矩收敛（平均收敛）； 依分布收敛 2 条件概率与条件期望 1) 若 X 与 Y 均为离散型随机变量，则
E( X | Y y)
x p( X x | Y y)