实变函数点集

n
1
(ξ i -η i )
2
]2
1 2
≤
[

i 1
(ξ i -η i )
2
] ＋ [

i 1
n
(ξ i -η i )
令 n→＋∞即得所证不等式。
30
om Tri
r e

i 1
2
]
al
i2 ＜+
定义２.１.１ 设 X 是一非空集合，且存在 d：X×X→[0,∞)满足 1) d(x,y)≥0，且 d(x,y)＝0 <＝> x=y (正定性) 2) d(x,y)≤d(x,z)＋d(y,z) (三角不等式) 则称(X,d)为度量空间或距离空间，X 中的元素称为点，d(x,y)为点 x,y 之间 的距离。 注２.１.１ “往返距离相等”的基本要求，也隐含在上述定义之中了。 事实上，d(x,y)≤d(x,x)＋d(y,x)＝d(y,x)，同理 d(y,x)≤d(x,y),故 d(x,y)＝d(y,x)
2 3 n n n
Do
e Z
n o
D w P w
n
中的区间有时也称为“长方体” 。 显然：E 为有界集的充要条件是存在有界区间 I E，或 E 为有界集的充要条件是存在有界邻域 E 0 U(x 0 ,δ)。
32
dfw
i 1
A i 的直积，记为 A 1 ×A 2 ×...×A n 或
n
w

i 1
n
注２.２.２：E 的边界与 CE 的边界相同，即 E＝ (CE) 注２.２.３：不要受“[a,b]的边界只有 a,b 两点 ”这个具体结论的
对 E R ， 我们也可以通过看 x 的邻域含 E 中点的多少将 R 中点 x
n
分为三类：
Do
定义２.２.２ 我们称（e）类点为 E 的聚点(或极限点)，记其全体为 E'，并称为 E 的导集； （f）类点为 E 的孤立点，显然其全体为 E-E'。 即 R ＝E'∪(E- E')∪(CE)
n n
Do
e Z
对 E R ，我们可以通过看是否有 x 的完整邻域含于 E 中将 R 中点
n o
D w P w
w
(a ). U ( x, )满足U ( x, ) E (b). U ( x, )满足U ( x, ) E ,U ( x, ) CE (c). U ( x, )满足U ( x, ) CE
e Z
n o
D w P w
w
dfw
31
F.zeo
Dn.co
d.c
定义２.１.３
称集合{P|d(P,P 0 )＜δ}为 P 0 的δ邻域，并记为
P iza D r F
k=1,2,...,n， 其中 P m ＝(x 1 ,x 2 ,...,x n )， P 0 ＝(x 1 ,x 2 ,...,x n ).
第二章
点
集
第二章
n
点
集
本章基本内容：先介绍 R 中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基 本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊的点和 集。介绍了聚点原理、有限覆盖定理、距离可达定理、隔离性定理。最后讨 论了开集与闭集的构造及其性质，并规定了开集的体积。
§２.１
R 空间
n
算方法。
cuC ww o w.p m
x 分为三类：
概念的讨论，为本门课程后面学习可测集的分解，学习《泛函分析》、《拓 扑学》相关概念打下基础。 本节重点 开集、闭集的定义，性质，开集与闭集之间的对偶关系。 本节难点 任何集合的导集是闭集，任何集合的开核是开集。通过多种 例子表明内核中的每一点都是内核之内核的点，让学生先直观接受再慢慢消 化。 本节抓住直线上的开区间、闭区间及其点的基本性质，予以一般化。
pA, qB
δ(E)＝ sup d(P,Q)
p , qE
定义２.１.６ 称｛(x 1 ,x 2 ,...,x n )｜x i ∈A i ,i=1,2,...,n｝为集合
cuC ww o w.p m
定义２.１.６ 若 I＝
则称 I 为 n 维欧氏空间 R 中的区间；如果所有 I i 都是开(闭、左开右闭、 左闭右开)区间，则称 I 是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间。如果所有的 I i 都是直线上的有界区间， 则称 I 是 R 中的有界区间； 如果至少有一个 I i 是 直线上的无界区间，则称 I 是 R 中的无界区间。 注２.１.２ R 中的有界区间即矩形， R 中的区间即长方体， 因此 R
w
在图２.２.１中，M 1 、M 2 、M 3 、M 4 是 E 的极限点，M 5 是 E 的孤立点。 按第一种分类法的内点，是第二种分类法的聚点，按第一种分类法的边 界点，既有可能是按第二种分类法的聚点（如 M 2 、M 3 、M 4 ） ，又有可能是按
34
dfw
直观约束，而得出错误的结论： “E 的边界 E 相对集合 E 而言只是很少一部 分” 。事实上，直线上的有理数全体的边界是整个实数集。
v w i t . r
om Tri
r e
n
i r T
l a
n

i 1
n
(ξ i -η i ) ]
d 2 (x,y)＝ max |ξ i -η i |
1i n
d 3 (x,y)＝

i 1
n
|ξ i -η i |
距离的定义方法可以是多种多样的，甚至对抽象的集合也可以规定距 离，但必须满足常识性的两点基本要求：距离不能为负，两边之和不小于第 三边。用公理化形式表述如下：
的邻域分别是 P 0 为中点、 2δ为长度的开区间；P 0 为圆心、δ为半径的开 圆；P 0 为球心，δ为半径的开球。但距离按 d 2 定义时，所谓以 P 0 为中心， δ为半径的邻域分别是 P 0 为中点、 2δ为长度的开区间，P 0 为正方形中心、 2δ为边长的开正方形，P 0 为正方体中心，2δ为边长的开正方体。 不难看出： 点列{P m }收敛于 P 0 的充分必要条件是对任意ε＞0， 存在 N， 当 m＞N 时有：P m ∈U(P 0 )。 容易验证邻域具有下面的基本性质： 1) p∈U(P)；
i r T
l a
al
第二章
点
集
定义２.１.７
I＝

i 1
n
I i ，其中 I i ＝<a i ,b i >，称
n
|I|＝

i 1
n
(b i －a i )为区间 I 的“体积” ，即|I|＝

i 1
|I i |。当然，这里须
约定 0×∞＝∞×0＝0，当 a≠0 时，a×∞＝∞×a＝∞。 注２.１.３
P iza D r F
n
教学目的 使学生了解R 点集的直径，区间概念，掌握区间体积的计
n
cuC ww o w.p m
e Z
d 1 (x,y)＝[
集的直径、区间的定义及其计算方法。 本节难点 高维空间的区间及其体积计算公式。突破办法是奖投 1，2， 3 维的几何直观意义。低维公式与高维公式中取 n 1, 2,3 时的统一性。
P iza D r F
F.zeo Dn.co
M 6 是 E 的外点。
v w i t . rm
v w i t . rm
r e
(0)
(0)
i r T
l a
al
(m→＋∞),
(0)
第二章
点
集
2) 对于 U(P 1 )和 U(P 2 )， 如果存在 P∈U 1 (P)∩U 2 (P) 则存在 U 3 (P) U 1 (P)∩U 2 (P)； 3) 对于 Q∈U(P)，存在 U(Q) U(P)； 4) 对于 Q≠P，存在 U(Q)和 U(P)满足 U(Q)∩U(P)＝ф 定义２.１.４ 两个非空的点集 A、B 间的距离定义为 d(A,B)＝ inf d(P,Q)
n 0
e Z
n o
(e). 对 0, U ( x, ) E {x} ( f ). U ( x, )满足U ( x, ) E {x } ( g ). U ( x, )满足U ( x, ) E (显然此类点即外点)
D w P w
m
则称点列{P m }收敛于 P 0 ，记为 lim P m ＝P 0 或 P m →P 0 (m→＋∞)。 , m
m
显然 lim P m ＝P 0 对 ε＞0， N，当 m＞N 时 d(P m ,P 0 )＜ε. 在距离空间(R ,d 1 )中 P m →P 0 (m→＋∞)<＝>x k →x k
(m) (m)
(m)
n
om Tri
(m) (0)
同样可以利用邻域来描述极限，为此，先引入邻域概念。.
U(P 0 ,δ)。P 0 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径。在不需要特别指出是什
Do
cuC ww o w.p m
在R
n
么样的半径时，也简称为 P 0 的邻域，并记为 U(P 0 )。
(n＝1,2,3)中，距离按 d 1 定义时，所谓以 P 0 为中心，δ为半径
P iza D r F
几类特殊点和集
riom.t
al
第二章
点
集
如图２.２.１所示：M 1 是 E 的内点，M 2 、M 3 、M 4 、M 5 是 E 的边界点，
注２.２.１：E 的边界点既有可能属于 E(如 M 2 、M 3 、M 5 )，又有可能 不属于 E(如 M 4 )。
cuC ww o w.p m
i r T

2
l a
第二章
点
集
例２.１.２
C[a,b]按 d(x,y)＝ max |x(t)-y(t)|成为距离空间。容易
a t b
验证它满足距离条件 1)、2)。 有了距离概念就可以仿照数学分析定义数列极限那样定义点列极限了。 定义２.１.２ 设 P m ∈R
n
(m＝1,2,3,...)， 如果 lim d(P m ,P 0 )＝0，
e Z
[
i 1


n o
n
]
D w P w
1 2
(ξ i -η i )
2
] ＋ [
1 2
dfw
w

i 1
F.zeo
Dn.co
(ξ i -η i )
d.c源自文库
2
按 d(x,y)＝[


(ξ i -η i ) ] ]
P iza D r F
]
1 2
成为距离空间．其中
v w i t . rm
1 2
[

i 1 n
数学分析中的极限概念是以距离为基础的，由此可见，距离是一相当重
要的概念，在高等代数中已对 R 规定过距离，且有以下三种： 设 x＝(ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n )，y＝(η 1 ,η 2 ,...,η n )∈R
Do
n o
D w P w
w
n
dfw
2 1 2
F.zeo
Dn.
d.c
m o c
本节重点 距离空间、距离概念，R 的几种常见距离规定方法，R 点
3 1 2
R 中的区间体积即区间的长度， R 中的区间体积即矩形面
om Tri
e vw T r
0 0
积＝长×宽，R 中的区间体积即长方体体积＝长×宽×高，因此规定 R 中 的区间体积＝n 个边长的乘积，既是合理的又是自然的。 §２.２
ri
l a
n
聚点，接触点）与特殊集合（开集、闭集、 G 型集,F 型集 ，Borel集）的
cuC ww o w.p m
[
满足 1)显然，对 2)只须验证对任意的 x＝(ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n ,...)， y＝(η 1 ,η 2 ,...,η n ,...)，z＝(ζ 1 ,ζ 2 ,...,ζ n ,...)有 (ξ i -η i )
2

i 1

Do
≤
事实上，由 R 中的三角不等式:
F.zeo

n
Dn.co
Ai 。
I i ，其中 I i ＝<a i ,b i >为直线上的区间，
d.c
当 E＝ф时，规定δ(ф)＝0。显然，δ(E)＝0<＝>E 至多只有一个元素。 若δ(E)＜＋∞，则称 E 为有界集。
P iza D r F
v w i t . rm
om Tri
r e
如果 A、 B 中至少有一个是空集，则规定 d(A,B)＝0； 若 B＝{x}， 则记 d(A,B) ＝d(A,x)。 显然，若 A∩B≠ф，则 d(A,B)＝0。 定义２.１.５ 一个非空的点集 E 的直径定义为：
29
al
第二章
点
集
上述 R 按所规定的三种距离都分别成为距离空间（高代已验证过满足 1） ，2） ） 。 例２.１.１
n
2 ＝ (ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ i ,...)|
2 1 2
i 1
x＝(ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n ,...)，y＝(η 1 ,η 2 ,...,η n ,...)∈
定义２.２.１ 我们称(a)类点为 E 的内点，记其全体为 E ；
(b)类点为 E 的边界点，记其全体为 E；(c)类点为 E 的外点。 显然外点全体为(CE) ，R ＝E ∪ E∪(CE)
0 n 0
dfw
33
F.zeo
Dn.c
d.c
教学目的 本节通过对欧氏空间中若干特殊点（内点、外点、边界点、