实变函数点集

3 1 2
R 中的区间体积即区间的长度， R 中的区间体积即矩形面
om Tri
e vw T r
0 0
积＝长×宽，R 中的区间体积即长方体体积＝长×宽×高，因此规定 R 中 的区间体积＝n 个边长的乘积，既是合理的又是自然的。 §２.２
ri
l a
n
聚点，接触点）与特殊集合（开集、闭集、 G 型集,F 型集 ，Borel集）的
2 3 n n n
Do
e Z
n o
D w P w
n
中的区间有时也称为“长方体” 。 显然：E 为有界集的充要条件是存在有界区间 I E，或 E 为有界集的充要条件是存在有界邻域 E 0 U(x 0 ,δ)。
32
dfw
i 1
A i 的直积，记为 A 1 ×A 2 ×...×A n 或
n
w

i 1
n 0
e Z
n o
(e). 对 0, U ( x, ) E {x} ( f ). U ( x, )满足U ( x, ) E {x } ( g ). U ( x, )满足U ( x, ) E (显然此类点即外点)
D w P w
w
在图２.２.１中，M 1 、M 2 、M 3 、M 4 是 E 的极限点，M 5 是 E 的孤立点。 按第一种分类法的内点，是第二种分类法的聚点，按第一种分类法的边 界点，既有可能是按第二种分类法的聚点（如 M 2 、M 3 、M 4 ） ，又有可能是按
34
dfw
直观约束，而得出错误的结论： “E 的边界 E 相对集合 E 而言只是很少一部 分” 。事实上，直线上的有理数全体的边界是整个实数集。
n
1
(ξ i -η i )
2
]2
1 2
≤
[

i 1
(ξ i -η i )
2
] ＋ [

i 1
n
(ξ i -η i )
令 n→＋∞即得所证不等式。
30
om Tri
r e

i 1
2
]
al
i2 ＜+
定义２.１.１ 设 X 是一非空集合，且存在 d：X×X→[0,∞)满足 1) d(x,y)≥0，且 d(x,y)＝0 <＝> x=y (正定性) 2) d(x,y)≤d(x,z)＋d(y,z) (三角不等式) 则称(X,d)为度量空间或距离空间，X 中的元素称为点，d(x,y)为点 x,y 之间 的距离。 注２.１.１ “往返距离相等”的基本要求，也隐含在上述定义之中了。 事实上，d(x,y)≤d(x,x)＋d(y,x)＝d(y,x)，同理 d(y,x)≤d(x,y),故 d(x,y)＝d(y,x)
n n
Do
e Z
对 E R ，我们可以通过看是否有 x 的完整邻域含于 E 中将 R 中点
n o
D w P w
w
(a ). U ( x, )满足U ( x, ) E (b). U ( x, )满足U ( x, ) E ,U ( x, ) CE (c). U ( x, )满足U ( x, ) CE
的邻域分别是 P 0 为中点、 2δ为长度的开区间；P 0 为圆心、δ为半径的开 圆；P 0 为球心，δ为半径的开球。但距离按 d 2 定义时，所谓以 P 0 为中心， δ为半径的邻域分别是 P 0 为中点、 2δ为长度的开区间，P 0 为正方形中心、 2δ为边长的开正方形，P 0 为正方体中心，2δ为边长的开正方体。 不难看出： 点列{P m }收敛于 P 0 的充分必要条件是对任意ε＞0， 存在 N， 当 m＞N 时有：P m ∈U(P 0 )。 容易验证邻域具有下面的基本性质： 1) p∈U(P)；
v w i t . r
om Tri
r e
n
i r T
l a
n

i 1
n
(ξ i -η i ) ]
d 2 (x,y)＝ max |ξ i -η i |
1i n
d 3 (x,y)＝

i 1
n
|ξ i -η i |
距离的定义方法可以是多种多样的，甚至对抽象的集合也可以规定距 离，但必须满足常识性的两点基本要求：距离不能为负，两边之和不小于第 三边。用公理化形式表述如下：
m
则称点列{P m }收敛于 P 0 ，记为 lim P m ＝P 0 或 P m →P 0 (m→＋∞)。 , m
m
显然 lim P m ＝P 0 对 ε＞0， N，当 m＞N 时 d(P m ,P 0 )＜ε. 在距离空间(R ,d 1 )中 P m →P 0 (m→＋∞)<＝>x k →x k
(m) (m)
(m)
n
om Tri
(m) (0)
同样可以利用邻域来描述极限，为此，先引入邻域概念。.
U(P 0 ,δ)。P 0 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径。在不需要特别指出是什
Do
cuC ww o w.p m
在R
n
么样的半径时，也简称为 P 0 的邻域，并记为 U(P 0 )。
(n＝1,2,3)中，距离按 d 1 定义时，所谓以 P 0 为中心，δ为半径
e Z
[
i 1


n o
n
]
D w P w
1 2
(ξ i -η i )
2
] ＋ [
1 2
dfw
w

i 1
F.zeo
Dn.co
(ξ i -η i )
d.c
2
按 d(x,y)＝[


(ξ i -η i ) ] ]
P iza D r F
]
1 2
成为距离空间．其中
v w i t . rm
1 2
[

i 1 n
n
注２.２.２：E 的边界与 CE 的边界相同，即 E＝ (CE) 注２.２.３：不要受“[a,b]的边界只有 a,b 两点 ”这个具体结论的
对 E R ， 我们也可以通过看 x 的邻域含 E 中点的多少将 R 中点 x
n
分为三类：
Do
定义２.２.２ 我们称（e）类点为 E 的聚点(或极限点)，记其全体为 E'，并称为 E 的导集； （f）类点为 E 的孤立点，显然其全体为 E-E'。 即 R ＝E'∪(E- E')∪(CE)
数学分析中的极限概念是以距离为基础的，由此可见，距离是一相当重
要的概念，在高等代数中已对 R 规定过距离，且有以下三种： 设 x＝(ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n )，y＝(η 1 ,η 2 ,...,η n )∈R
Do
n o
D w P w
w
n
dfw
2 1 2
F.zeo
Dn.
d.c
m o c
本节重点 距离空间、距离概念，R 的几种常见距离规定方法，R 点
i r T
l a
al
第二章
点
集
定义２.１.７
I＝

i 1
n
I i ，其中 I i ＝<a i ,b i >，称
n
|I|＝

i 1
n
(b i －a i )为区间 I 的“体积” ，即|I|＝

i 1
|I i |。当然，这里须
约定 0×∞＝∞×0＝0，当 a≠0 时，a×∞＝∞×a＝∞。 注２.１.３
29
al
第二章
点
集
上述 R 按所规定的三种距离都分别成为距离空间（高代已验证过满足 1） ，2） ） 。 例２.１.１
n
2 ＝ (ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ i ,...)|
2 1 2
i 1
x＝(ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n ,...)，y＝(η 1 ,η 2 ,...,η n ,...)∈
第二章
点
集
第二章
n
点
集
本章基本内容：先介绍 R 中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基 本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊的点和 集。介绍了聚点原理、有限覆盖定理、距离可达定理、隔离性定理。最后讨 论了开集与闭集的构造及其性质，并规定了开集的体积。
§２.１
R 空间
n
算方法。
cuC ww o w.p m
x 分为三类：
概念的讨论，为本门课程后面学习可测集的分解，学习《泛函分析》、《拓 扑学》相关概念打下基础。 本节重点 开集、闭集的定义，性质，开集与闭集之间的对偶关系。 本节难点 任何集合的导集是闭集，任何集合的开核是开集。通过多种 例子表明内核中的每一点都是内核之内核的点，让学生先直观接受再慢慢消 化。 本节抓住直线上的开区间、闭区间及其点的基本性质，予以一般化。
cuC ww o w.p m
[
满足 1)显然，对 2)只须验证对任意的 x＝(ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n ,...)， y＝(η 1 ,η 2 ,...,η n ,...)，z＝(ζ 1 ,ζ 2 ,...,ζ n ,...)有 (ξ i -η i )
2

i 1

Do
≤
事实上，由 R 中的三角不等式:
pA, qB
δ(E)＝ sup d(P,Q)
p , qE
定义２.１.６ 称｛(x 1 ,x 2 ,...,x n )｜x i ∈A i ,i=1,2,...,n｝为集合
cuC ww o w.p m
定义２.１.６ 若 I＝
则称 I 为 n 维欧氏空间 R 中的区间；如果所有 I i 都是开(闭、左开右闭、 左闭右开)区间，则称 I 是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间。如果所有的 I i 都是直线上的有界区间， 则称 I 是 R 中的有界区间； 如果至少有一个 I i 是 直线上的无界区间，则称 I 是 R 中的无界区间。 注２.１.２ R 中的有界区间即矩形， R 中的区间即长方体， 因此 R