小学奥数:容斥原理之最值问题.专项练习
(完整版)小学奥数-容斥原理(教师版)(可编辑修改word版)
![(完整版)小学奥数-容斥原理(教师版)(可编辑修改word版)](https://img.taocdn.com/s3/m/1f56722d4afe04a1b071ded9.png)
容斥原理森林中住着很多动物,据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数,蝙蝠跑过去对仙鹤说;“我有翅膀,我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了,结果得出森林中一共有 80 种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数,蝙蝠听说又来统计兽类了,急忙跑过去对大象说;“我没有羽毛,我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了,结果统计出森林中一共有 60 种兽类。
最后狮子大王问:“森林中共有鸟类和兽类多少种?”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果,高兴地向狮子大王汇报:“这还不简单!森林中共有鸟类和兽类 140 种。
”这个统计正确吗?同学们肯定会说:“不对!蝙蝠被算了两次,应该再减去一,是 139 种。
”这个故事说明了一个数学问题,那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含(有部分重复交叉)时,应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法(容斥原理):当两个计数部分有重复时,为了不重复计数,应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理 1如果被计数的事物有 A、B 两类,那么, A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理 2如果被计数的事物有 A、B、C 三类,那么, A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C容斥原理 1【例 1】★一次期末考试,某班有 15 人数学得满分,有 12 人语文得满分,并且有 4 人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?【解析】依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A 类元素”,“语文得满分”称为“B 类元素”,“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。
小学奥数:容斥原理之最值问题.专项练习及答案解析
![小学奥数:容斥原理之最值问题.专项练习及答案解析](https://img.taocdn.com/s3/m/8bdfa8fca98271fe900ef96f.png)
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.一、两量重叠问题 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“I ”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B I ,即阴影面积.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B I ,即阴影面积.包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数,可分以下两步进行:第一步:分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来,加在一起);第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数).二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I .图示如下:教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1.先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次,多加了1次;2.再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去.在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.【例 1】 “走美”主试委员会为三~八年级准备决赛试题。
小学五年级奥数题及答案3
![小学五年级奥数题及答案3](https://img.taocdn.com/s3/m/bf83b512ae45b307e87101f69e3143323868f54e.png)
小学五年级奥数题一、工程问题1.甲乙两个水管单独开,注满一池水,分别须要20小时,16小时.丙水管单独开,排一池水要10小时,若水池没水,同时翻开甲乙两水管,5小时后,再翻开排水管丙,问水池注满还须要多少小时?2.修一条水渠,单独修,甲队须要20天完成,乙队须要30天完成。
假如两队合作,由于彼此施工有影响,他们的工作效率就要降低,甲队的工作效率是原来的五分之四,乙队工作效率只有原来的非常之九。
如今安排16天修完这条水渠,且要求两队合作的天数尽可能少,则两队要合作几天?3.一件工作,甲、乙合做需4小时完成,乙、丙合做需5小时完成。
如今先请甲、丙合做2小时后,余下的乙还需做6小时完成。
乙单独做完这件工作要多少小时?4.一项工程,第一天甲做,第二天乙做,第三天甲做,第四天乙做,这样交替轮番做,则恰好用整数天完工;假如第一天乙做,第二天甲做,第三天乙做,第四天甲做,这样交替轮番做,则完工时间要比前一种多半天。
已知乙单独做这项工程需17天完成,甲单独做这项工程要多少天完成?5.师徒俩人加工同样多的零件。
当师傅完成了1/2时,徒弟完成了120个。
当师傅完成了任务时,徒弟完成了4/5这批零件共有多少个?6.一批树苗,假如分给男女生栽,平均每人栽6棵;假如单份给女生栽,平均每人栽10棵。
单份给男生栽,平均每人栽几棵?7.一个池上装有3根水管。
甲管为进水管,乙管为出水管,20分钟可将满池水放完,丙管也是出水管,30分钟可将满池水放完。
如今先翻开甲管,当水池水刚溢出时,翻开乙,丙两管用了18分钟放完,当翻开甲管注满水是,再翻开乙管,而不开丙管,多少分钟将水放完?8.某工程队须要在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好如期完成,若乙队去做,要超过规定日期三天完成,若先由甲乙合作二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,问规定日期为几天?9.两根同样长的蜡烛,点完一根粗蜡烛要2小时,而点完一根细蜡烛要1小时,一天晚上停电,小芳同时点燃了这两根蜡烛看书,若干分钟后来点了,小芳将两支蜡烛同时熄灭,发觉粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍,问:停电多少分钟?二.鸡兔同笼问题1.鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,,问鸡与兔各有几只?三.数字数位问题1.把1至2019这2019个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2019,这个多位数除以9余数是多少2.A和B是小于100的两个非零的不同自然数。
小学数学奥林匹克辅导及练习容斥原理含答案
![小学数学奥林匹克辅导及练习容斥原理含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/8e2c4b8d55270722192ef7c1.png)
容斥原理(二)【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛,每人跳三次,每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人,第二次达到优秀的有13人,第三次达到优秀的有15人,三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人分析与解:“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。
要求只有两次达到优秀的人数,就是求重叠两层的部分(图中阴影部分)。
101315251211++--⨯=(人)答:只有两次达到优秀的有11人。
例2. 在一个炎热的夏日,几个小朋友去冷饮店,每人至少要了一样冷饮,其中有6人要了冰棍,6人要了汽水,4人要了雪碧,只要冰棍和汽水的有3人,只要冰棍和雪碧的没有,只要汽水和雪碧的有1人;三样都要的有1人。
问:共有几个小朋友去了冷饮店分析与解:根据题意画图。
方法一:664310111110++-+-+-++=()()()(人) 方法二:664311210++---⨯=(人) 答:共有10个小朋友去了冷饮店。
例3. 有28人参加田径运动会,每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目,参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问:只参加跑和投掷两项的有多少人分析与解:“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的,也没有参加一项比赛的,我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。
281783--=(人)答:只参加跑和投掷两项的有3人。
例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组,其中数学有30人参加,英语有20人参加,语文小组有10人。
老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人,既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数,而三种全参加的只有1人,求既参加英语又参加数学小组的人数。
分析与解:根据已知条件画出图。
三圆盖住的总体为49人,假设既参加数学又参加英语的有x 人,既参加语文又参加英语的有y 人,可以列出这样的方程:3020103149++---+=x y 整理后得:x y +=9由于x 、y 均为质数,因而这两个质数中必有一个偶质数2,另一个质数为7。
(小学奥数)容斥原理之最值问题
![(小学奥数)容斥原理之最值问题](https://img.taocdn.com/s3/m/0f1f81e30b4e767f5bcfce4d.png)
1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容;2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用.一、兩量重疊問題 在一些計數問題中,經常遇到有關集合元素個數的計算.求兩個集合並集的元素的個數,不能簡單地把兩個集合的元素個數相加,而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數,即減去交集的元素個數,用式子可表示成:A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”,相當於中文“和”或者“或”的意思;符號“”讀作“交”,相當於中文“且”的意思.)則稱這一公式為包含與排除原理,簡稱容斥原理.圖示如下:A 表示小圓部分,B 表示大圓部分,C 表示大圓與小圓的公共部分,記為:A B ,即陰影面積.圖示如下:A 表示小圓部分,B 表示大圓部分,C 表示大圓與小圓的公共部分,記為:A B ,即陰影面積.包含與排除原理告訴我們,要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數,可分以下兩步進行:第一步:分別計算集合A B 、的元素個數,然後加起來,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來,加在一起);第二步:從上面的和中減去交集的元素個數,即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數). 二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數.用符號表示為:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.圖示如下:教學目標知識要點7-7-5.容斥原理之最值問題1.先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次,多加了1次;2.再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去.在解答有關包含排除問題時,我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考.【例 1】 “走美”主試委員會為三~八年級準備決賽試題。
小学奥数之容斥原理
![小学奥数之容斥原理](https://img.taocdn.com/s3/m/063d83e72cc58bd63186bd72.png)
五.容斥原理问题1.有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )A 43,25B 32,25 C32,15 D 43,11解:根据容斥原理最小值68+43-100=11最大值就是含铁的有43种2.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )A,5 B,6 C,7 D,8解:根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类:只答第1题,只答第2题,只答第3题,只答第1、2题,只答第1、3题,只答2、3题,答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123由(1)知:a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①由(2)知:a2+a23=(a3+ a23)×2……②由(3)知:a12+a13+a123=a1-1……③由(4)知:a1=a2+a3……④再由②得a23=a2-a3×2……⑤再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥然后将④⑤⑥代入①中,整理得到a2×4+a3=26由于a2、a3均表示人数,可以求出它们的整数解:当a2=6、5、4、3、2、1时,a3=2、6、10、14、18、22又根据a23=a2-a3×2……⑤可知:a2>a3因此,符合条件的只有a2=6,a3=2。
然后可以推出a1=8,a12+a13+a123=7,a23=2,总人数=8+6+2+7+2=25,检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2=6人。
3.一次考试共有5道试题。
做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。
小学奥数专题之容斥问题
![小学奥数专题之容斥问题](https://img.taocdn.com/s3/m/291315aea26925c52dc5bf85.png)
小学奥数专题之容斥问题小学奥数专题之容斥问题1.47名学生参加了数学和语文考试,其中语文得100分的12人,数学得100分的17人,两门都没得100分的有26人。
问:两门都得100分的有多少人?3.电视台向100人调查昨天收看电视情况,有62人看过2频道,34人看过8频道,11人两个频道都看过。
问:两个频道都没看过的有多少人?4.一次数学小测验只有两道题,结果全班有10人全对,第一题有25人做对,第二题有18人做错,那么两题都做错的有多少人?5.六一儿童节那天,全班45人到颐和园去玩,有33人划了船,20人爬了山,5名同学因身体不好,他们既没划船也没爬山,他们游览了长廊。
问:既划了船也爬了山的同学有多少?6.全班50人,不会骑自行车的有23人,不会滑旱冰的有35人,两样都会的有4人。
求两样都不会的人数。
10.64个小学生都订了报纸,其中订A报的28人,订B报的41人,订C报的20人,并且同时订A、B报的`10人,同时订A、C报的12人,同时订B、C报的也是12人。
问:三种报都订的有多少人?11.六年级100名同学,每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项。
其中,爱好体育的55人,爱好文艺的56人,爱好科学的51人,三项都爱好的15人,只爱好体育和科学的4人,只爱好体育和文艺的17人。
问:有多少人只爱好科学和文艺两项?只爱好体育的有多少人?12.有28人参加田径运动会,每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目,参加投掷项目的人数与同时参加跑和跳两项的人数都是17人。
问:仅参加跑和投掷两项的有多少人?13.学校数学竞赛出了A、B、C三道题,至少做对一道的有25人,其中做对A题的有10人,做对B题的有13人,做对C题的有15人。
如果三道题都做对的只有一人,那么只做对两道题和只做对一道题的各有多少人?14.罗明、李阳和赵刚每人都有几本书,罗明和李阳共有33本,罗明和赵刚共有39本,李阳和赵刚共有34本。
2020年部编版小学奥数容斥原理之最值问题
![2020年部编版小学奥数容斥原理之最值问题](https://img.taocdn.com/s3/m/719578c3fab069dc51220131.png)
小学奥数容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.一、两量重叠问题 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步进行: 第一步:分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来,加在一起); 第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数).二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.图示如下:在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.知识要点教学目标7-7-5.容斥原理之最值问题1.先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次,多加了1次;2.再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去. 图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数,大圆表示C 的元素的个数.1.先包含:A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次,多加了1次. 2.再排除:A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次,但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了. 3.再包含:A B C A B B C A C A B C ++---+.【例 1】 “走美”主试委员会为三~八年级准备决赛试题。
小学五年级数学下册奥数50题、附解析及参考答案
![小学五年级数学下册奥数50题、附解析及参考答案](https://img.taocdn.com/s3/m/e7bd2194aa00b52acfc7cac3.png)
练习题一、工程问题1.甲乙两个水管单独开,注满一池水,分别需要20小时,16小时.丙水管单独开,排一池水要10小时,若水池没水,同时打开甲乙两水管,5小时后,再打开排水管丙,问水池注满还需要多少小时?2.修一条水渠,单独修,甲队需要20天完成,乙队需要30天完成。
如果两队合作,由于彼此施工有影响,他们的工作效率就要降低,甲队的工作效率是原来的五分之四,乙队工作效率只有原来的十分之九。
现在计划16天修完这条水渠,且要求两队合作的天数尽可能少,那么两队要合作几天?3.一件工作,甲、乙合做需4小时完成,乙、丙合做需5小时完成。
现在先请甲、丙合做2小时后,余下的乙还需做6小时完成。
乙单独做完这件工作要多少小时?4.一项工程,第一天甲做,第二天乙做,第三天甲做,第四天乙做,这样交替轮流做,那么恰好用整数天完工;如果第一天乙做,第二天甲做,第三天乙做,第四天甲做,这样交替轮流做,那么完工时间要比前一种多半天。
已知乙单独做这项工程需17天完成,甲单独做这项工程要多少天完成?5.师徒俩人加工同样多的零件。
当师傅完成了时,徒弟完成了120个。
当师傅完成了任务时,徒弟完成了这批零件共有多少个?6.一批树苗,如果分给男女生栽,平均每人栽6棵;如果单份给女生栽,平均每人栽10棵。
单份给男生栽,平均每人栽几棵?7.一个池上装有3根水管。
甲管为进水管,乙管为出水管,20分钟可将满池水放完,丙管也是出水管,30分钟可将满池水放完。
现在先打开甲管,当水池水刚溢出时,打开乙,丙两管用了18分钟放完,当打开甲管注满水是,再打开乙管,而不开丙管,多少分钟将水放完?8.某工程队需要在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好如期完成,若乙队去做,要超过规定日期三天完成,若先由甲乙合作二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,问规定日期为几天?9.两根同样长的蜡烛,点完一根粗蜡烛要2小时,而点完一根细蜡烛要1小时,一天晚上停电,小芳同时点燃了这两根蜡烛看书,若干分钟后来点了,小芳将两支蜡烛同时熄灭,发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍,问:停电多少分钟?二.鸡兔同笼问题1.鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,,问鸡与兔各有几只?三.数字数位问题1.把1至这个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....,这个多位数除以9余数是多少?2.A和B是小于100的两个非零的不同自然数。
计数第15讲与容斥原理相关的最值
![计数第15讲与容斥原理相关的最值](https://img.taocdn.com/s3/m/8e65d9c9dc3383c4bb4cf7ec4afe04a1b071b03f.png)
计数第15讲_与容斥原理相关的最值一.所谓“最值问题”就是通常说的最大值、最小值的问题,题干中通常有“至少”、“至多”等字眼,解决这类问题通常有两种方法,一是极限思想,另一种就是逆向思维.二.容斥原理相关的最值解决方法1.文氏图解最值问题.2.线段图解最值问题.重难点:文氏图和线段图解最值问题.题模一:文氏图法解最值例1.1.1某班同学参加升学考试,得满分的人数如下:数学20人,语文20人,英语20人,数学、英语两科满分者8人,数学、语文两科满分者7人,语文、英语两科满分者9人,三科都没得满分者3人.问这个班最多________人.例1.1.2某班有50名学生,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有23人,参加英语竞赛的有20人,每人最多参加两科,那么参加两科的最多有________人.例1.1.3将1-13分别填入右图四个圆相互分割成的13个区域,然后把每个圆内的7个数相加,最后把四个圆的和再相加,总和最大是多少?题模二:线段图法解最值例1.2.1甲、乙、丙都在读同一本故事书,书中有100个故事,每个人都从某一个故事开始,按顺序往后读,已知甲读了75个故事,乙读了60个故事,丙读了52个故事,那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?例1.2.2在阳光明媚的一天下午,甲、乙、丙、丁4人给100盆花浇水.已知甲浇了30盆,乙浇了75盆,丙浇了80盆,丁浇了90盆,请问:(1)恰好有3个人浇过的花最少有多少盆?(2)恰好有1个人浇过的花最多有多少盆?例1.2.3有100人参加算数测验,从第1题到第5题共有5道题.答对每道题的人数分别是:第1题92人,第2题86人,第3题61人,第4题87人,第5题57人,这次测验规定,5道题只要做对3道题就及格.那么最少有多少人及格?例1.2.4一次测验共有5道试题.测试后统计如下:有81%的同学做对第1题,有85%的同学做对第2题,有91%的同学做对第3题,有74%的同学做对第4题,有79%的同学做对第5题.如果做对3道或3道以上试题的同学为考试合格.请问:这次考试的合格率最多达百分之几?最少达百分之几?随练1.1五年级一班有22人参加语文竞赛,32人参加数学竞赛,27人参加英语竞赛,其中同时参加语文竞赛和数学竞赛的有12人,同时参加语文竞赛和英语竞赛的有14人,同时参加数学竞赛和英语竞赛的有15人.请问:五年级一班参加竞赛的总人数最少是多少?随练1.2学校举行棋类比赛,分为象棋、围棋和军棋三项,每人最多参加其中两项.根据报名的人数,学校决定对象棋的前9名、围棋的前10名和军棋的前11名发放奖品.请问:最少有几人获得奖品?随练1.3一本习题集包含100道题目,甲做过其中的78道,乙做过68道,丙做过58道,那么3人都做过的题目最少有_______道.作业1图书室有100本书,借阅图书者需在图书上签名.已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33本、44本和55本,其中同时有甲、乙签名的图书为29本,同时有甲、丙签名的图书为25本,同时有乙、丙签名的图书为36本.问:(1)这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?(2)这批图书中最多有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?作业2五年级三班有50名学生,参加语文竞赛的有28人,参加英语竞赛的有20人.规定每人最多参加两科竞赛,请问:(1)若参加数学竞赛的有22人,该班未参加竞赛人数最多可能有多少人?(2)若参加数学竞赛的有23人,该班未参加竞赛人数最多可能有多少人?(3)若参加数学竞赛的有5人,该班未参加竞赛人数最多可能有多少人?作业3羊村小学四年级进行一次数学测验,测验共有15道题,如果小喜喜、小沸沸、小美美、小懒懒答对的题目数分别是11道、12道、13道、14道,那么他们四人都答对的题目最少有__________道.作业4某班共有学生48人,其中27人会游泳,33人会骑自行车,40人会打乒乓球.那么,这个班至少有多少学生这三项运动都会?。
奥数训练专题——容斥原理
![奥数训练专题——容斥原理](https://img.taocdn.com/s3/m/d9c62a6e9b89680203d825ed.png)
容斥原理1、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗,已知手中有红旗的共有34人,手中有黄旗的共有26人,手中有蓝旗的共有18人.其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人.而手中只有红、黄两种小旗的有9人,手中只有黄、蓝两种小旗的有4人,手中只有红、蓝两种小旗的有3人,那么这个班共有多少人?2、某班有42人,其中26人爱打篮球,17人爱打排球,19人爱踢足球,9人既爱打篮球又爱踢足球,4人既爱打排球又爱踢足球,没有一个人三种球都爱好,也没有一个人三种球都不爱好.问:既爱打篮球又爱打排球的有几人?3、四年级一班有46名学生参加3项课外活动.其中有24人参加了数学小组,20人参加了语文小组,参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍,又是3项活动都参加人数的7倍,既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍,既参加数学小组又参加语文小组的有10人.求参加文艺小组的人数.(6级)4、五年级三班学生参加课外兴趣小组,每人至少参加一项.其中有25人参加自然兴趣小组,35人参加美术兴趣小组,27人参加语文兴趣小组,参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人,参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人,参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人,语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人.求这个班的学生人数.(6级)5、光明小学组织棋类比赛,分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行,参加围棋比赛的有42人,参加中国象棋比赛的有55人,参加国际象棋比赛的有33人,同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人,同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人,同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人,其中三种棋赛都参加的有5人,问参加棋类比赛的共有多少人?(6级)6、新年联欢会上,共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出.如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数;同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人;只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人;50人没有参加演奏;10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏;40人参加了合唱;那么,同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人?7、五年级三班有46名学生参加三项课外活动,其中24人参加了绘画小组,20人参加了合唱小组,参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的倍,又是三项活动都参加人数的7倍,既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍,既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人,求参加朗诵小组的人数.8、六年级100名同学,每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项.其中,爱好体育的55人,爱好文艺的56人,爱好科学的51人,三项都爱好的15人,只爱好体育和科学的4人,只爱好体育和文艺的17人.问:有多少人只爱好科学和文艺两项?只爱好体育的有多少人?9、在某个风和日丽的日子,10个同学相约去野餐,每个人都带了吃的,其中6个人带了汉堡,6个人带了鸡腿,4个人带了芝士蛋糕,有3个人既带了汉堡又带了鸡腿,1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕.2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕.问:三种都带了的有几人?只带了一种的有几个?9、盛夏的一天,有10个同学去冷饮店,向服务员交了一份需要冷饮的统计表:要可乐、雪碧、橙汁的各有5人;可乐、雪碧都要的有3人;可乐、橙汁都要的有2人;雪碧、橙汁都要的有2人;三样都要的只有1人,证明其中一定有1人这三种饮料都没有要.10、全班有25个学生,其中17人会骑自行车,13人会游泳,8人会滑冰,这三个运动项目没有人全会,至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了,但又都不是优秀.若全班有6个人数学不及格,那么,数学成绩优秀的有几个学生?有几个人既会游泳,又会滑冰?11、在一个自助果园里,只摘山莓者两倍于只摘李子者;摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多3个;只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人;50个人没有摘草莓;11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓;总共有60人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是100,你能回答下列问题吗?①有人摘了山莓;②有人同时摘了三种水果;③有人只摘了山莓;④有人摘了李子和草莓,而没有摘山莓;⑤有人只摘了草莓.12、五年级一班共有36人,每人参加一个兴趣小组,共有A、B、C、D、E五个小组,若参加A组的有15人,参加B组的人数仅次于A组,参加C组、D组的人数相同,参加E组的人数最少,只有4人.那么,参加B组的有多少人?13、五一班有28位同学,每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个.其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数,没有同学仅参加语文或仅参加自然小组,恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组,仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍,并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数,那么仅参加数学和语文小组的人有多少人?14、某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛,比赛一共只有三个项目,已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人,长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目,求这所学校一共派出多少人参加比赛?图形中的重叠问题1、把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长4厘米,焊接后这根铁条有多长?2、把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长3厘米,焊接后这根铁条有多长?3、两张长4厘米,宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状.把它放在桌面上,覆盖面积有多少平方厘米?4、如图,一张长8厘米,宽6厘米,另一个正方形边长为6厘米,它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形,求这个组合图形的面积.5、一个长方形长12厘米,宽8厘米,另一个长方形长10厘米,宽6厘米,它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形,求这个组合图形的面积.6、三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图),三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米.三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米.问:图中阴影部分面积之和是多少?7、如图,三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等,都等于60平方厘米.阴影部分的面积总和是40平方厘米,3张板盖住的总面积是100平方厘米,3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米?8、如图所示,A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片,它们重叠在一起,露在外面的总面积为38.若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7,A、B、C这三张纸片的公共部分为3.求A与C公共部分的面积是多少?容斥原理在数论问题中的应用1、在1~100的全部自然数中,不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个?~中,能被3或5中任一个整除的数有多少个?2、在自然数11003、在前100个自然数中,能被2或3整除的数有多少个?4、在从1至1000的自然数中,既不能被5除尽,又不能被7除尽的数有多少个?5、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数.5、以105为分母的最简真分数共有多少个?它们的和为多少?7、分母是385的最简真分数有多少个?并求这些真分数的和.8、在1至2008这2008个自然数中,恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个.9、在从1到1998的自然数中,能被2整除,但不能被3或7整除的数有多少个?10、50名同学面向老师站成一行.老师先让大家从左至右按1,2,3,…,49,50依次报数;再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问:现在面向老师的同学还有多少名?11、有2000盏亮着的电灯,各有一个拉线开关控制着,现按其顺序编号为1,2,3, (2000)然后将编号为2的倍数的灯线拉一下,再将编号为3的倍数的灯线拉一下,最后将编号为5的倍数的灯线拉一下,三次拉完后,亮着的灯有多少盏?12、写有1到100编号的灯100盏,亮着排成一排,每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关,第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关,那么亮着的灯还有多少盏?13、在游艺会上,有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券.按奖券标签号发放奖品的规则如下:(1)标签号为2的倍数,奖2支铅笔;(2)标签号为3的倍数,奖3支铅笔;(3)标签号既是2的倍数,又是3的倍数可重复领奖;(4)其他标签号均奖1支铅笔.那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?14、在一根长木棍上,有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成十等份;第二种将木棍分成十二等份;第三种将木棍分成十五等份;如果沿每条刻度线将木棍锯断,则木棍总共被锯成________段.15、一根101厘米长的木棒,从同一端开始,第一次每隔2厘米画一个刻度,第二次每隔3厘米画一个刻度,第三次每隔5厘米画一个刻度,如果按刻度把木棒截断,那么可以截出段.16、一根1.8米长的木棍,从左端开始每隔2厘米画一个刻度,涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻度,再从左端每隔5厘米画一个刻度,再从左端每隔7厘米画一个刻度,涂过按刻度把木棍截断,一共可以截成多少段小木棍?容斥原理中的最值问题1、将1~13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中,然后把每个圆内的7个数相加,最后把四个圆的和相加,问:和最大是多少?2、如图,5条同样长的线段拼成了一个五角星.如果每条线段上恰有1994个点被染成红色,那么在这个五角星上红色点最少有多少个?3、某班共有学生48人,其中27人会游泳,33人会骑自行车,40人会打乒乓球.那么,这个班至少有多少学生这三项运动都会?4、某班有50名学生,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有23人,参加英语竞赛的有20人,每人最多参加两科,那么参加两科的最多有人.5、60人中有23的人会打乒乓球,34的人会打羽毛球,45的人会打排球,这三项运动都会的人有22人,问:这三项运动都不会的最多有多少人?6、图书室有100本书,借阅图书者需在图书上签名.已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33,44和55本,其中同时有甲、乙签名的图书为29本,同时有甲、丙签名的图书为25本,同时有乙、丙签名的图书为36本.问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?7、甲、乙、丙都在读同-一本故事书,书中有100个故事.每个人都从某一个故事开始,按顺序往后读.已知甲读了75个故事,乙读了60个故事,丙读了52个故事.那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?8、在阳光明媚的一天下午,甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水,已知甲浇了30盆,乙浇了75盆,丙浇了80盆,丁浇了90盆,请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆?恰好被1个人浇过的花最多有多少盆?9、甲、乙、丙同时给100盆花浇水.已知甲浇了78盆,乙浇了68盆,丙浇了58盆,那么3人都浇过的花最少有多少盆?。
小学奥数计数之容斥原理练习【三篇】
![小学奥数计数之容斥原理练习【三篇】](https://img.taocdn.com/s3/m/fb8ea743a300a6c30d229f43.png)
小学奥数计数之容斥原理练习【三篇】导读:本文小学奥数计数之容斥原理练习【三篇】,仅供参考,如果觉得很不错,欢迎点评和分享。
【第一篇】 1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有人. 3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个. 4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人. 5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有人. 6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个. 7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有个. 8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人. 9.分母是1001的最简真分数有个. 10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人. 【第二篇】[ 例1 ] 洗好的8块手帕夹在绳子上晾干,同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边,这样一共要多少个夹子?分析:两块手帕有一边重叠,用3个夹子。
三块手帕有两边重叠,用4个夹子,我们发现夹子数总比手帕数多1,因此8块手帕就要用9个夹子。
[ 例2 ] 把图画每两张重叠在一起钉在墙上,现在有5张画要多少个图钉呢?分析:每排两张画要6个图钉,每排三张画要8个图钉,每排四张画要10个图钉。
可以看出,图画每增加一张,图钉就要增加2颗,那么5张画要12个图钉。
1.有两块木板,一块长72厘米,另一块长56厘米,如果把两块木板重叠后钉成一块木板,重叠部分是20厘米。
(精品)小学奥数7-7-5 容斥原理之最值问题.专项练习及答案解析
![(精品)小学奥数7-7-5 容斥原理之最值问题.专项练习及答案解析](https://img.taocdn.com/s3/m/5334701e5a8102d276a22f7a.png)
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.一、两量重叠问题 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步进行:第一步:分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来,加在一起);第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数).二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.图示如下:教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1.先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次,多加了1次;2.再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去.在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.【例 1】 “走美”主试委员会为三~八年级准备决赛试题。
小学四年级奥数题:容斥问题
![小学四年级奥数题:容斥问题](https://img.taocdn.com/s3/m/a703654ef4335a8102d276a20029bd64783e6205.png)
小学四年级奥数题:容斥问题
容斥原理是四年级奥数中的难题之一,那么这类型的题目应该如何解决呢下面就是小编为大家整理的容斥的四年级奥数题目,希望对大家有所帮助!
习题一
有一根长为180厘米的绳子,从一端开始每隔3厘米作一个记号,每隔4厘米也作一个记号,然后将标有记号的地方剪断。
问绳子共被剪成了多少段。
解答:1-180中,3的倍数有60个,4的倍数有45个,而既是3的倍数又是4的倍数的数一定是12的倍数,这样的数有180÷12=15个。
注意到180厘米处无法标上记号,所以标记记号有:(60-1)+(45-1)-(15-1)=89,绳子被剪成90段。
习题二
有一根长为180厘米的绳子,从一端开始每隔3厘米作一个记号,每隔4厘米也作一个记号,然后将标有记号的地方剪断。
问绳子共被剪成了多少段。
解答:1-180中,3的倍数有60个,4的倍数有45个,而既是3的倍数又是4的倍数的数一定是12的倍数,这样的数有180÷12=15个。
注意到180厘米处无法标上记号,所以标记记号有:(60-1)+(45-1)-(15-1)=89,绳子被剪成90段。
小学数学典型应用题容斥问题和最值问题
![小学数学典型应用题容斥问题和最值问题](https://img.taocdn.com/s3/m/f81ac6881b37f111f18583d049649b6648d709f9.png)
小学数学典型应用题容斥问题和最值问题容斥问题含义:容斥原理是解决计数问题的重要方法,在计数时要求注意无一重复无一遗漏,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。
常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。
数量关系:A∪B=A+B-A∩BA∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C解题思路和方法:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复。
可画文氏(韦恩)图来解题。
例题1:有两块木板各长50厘米,把两块木板钉成一块长木板,中间钉在一起的重叠部分长8厘米。
钉成的木板长_____厘米。
解:1、本题考查了学生的运算能力、应用能力。
解决重叠问题时,要注意重叠的部分不能重复计算。
2、两块木板一共长50+50=100(厘米),如果钉在一起,说明原来的两个8厘米变成了一个8厘米,这样钉成的木板比100厘米少了8厘米,所以钉成的木板长100-8=92(厘米)。
例题2:有两张各长20厘米的纸条,粘贴在一起后的总长是36厘米,那么重叠部分长()厘米。
A、2B、4C、8D、16解:1、此题考查孩子的应用能力、运算能力。
孩子没有进行画图理解,只是凭自己的主观想象进行思考,没有找到总长度与重复部分长度之间的关系,在后面计算时出现错误。
2、两张纸条如果没有重叠,那么一共长20+20=40(厘米),而重叠后的长度是36厘米,短了40-36=4(厘米),说明重叠部分的长度是4厘米。
选择B。
例题3:某班在短跑、投掷和跳远三项检测中,有4人三项都未达到优秀,其他人至少有一项是优秀,下表是得优秀的情况,这个班共有多少人?解:根据题意画图2、我们可以先算出19+20+21=60(人),但是这里有被重复算的和漏算的,我们要注意减去重复的部分,加上漏算的部分。
小学四年级奥数列方程解应用题 容斥问题 最大值最小值问题
![小学四年级奥数列方程解应用题 容斥问题 最大值最小值问题](https://img.taocdn.com/s3/m/921e2463af1ffc4ffe47ac2b.png)
列方程解应用题方程解应用题列方程解应用题时,由于引进了字母x ,所以在分析应用题时,不必绕过未知数,而把未知数暂时看做已知数,直接参列式运算,这样的解题思路更加直截了当,减低了思维难度,适用面广,特别是用算术方法需要逆解得问题,用方程解往往比较容易. 列方程解应用题时,一般按下面的步骤进行:、(1)弄清题意,找到未知数并有x 表示(2)找到应用题中数量间的相等关系后列方程(3)解方程(4)检验,写出答案【例1】有三个连续的整数,已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是 6 8 ,求这三个连续整数.变形:已知三个连续奇数之和为7 5 ,求这三个数练习:已知三个连续偶数之和为24 ,求这三个数【例2】兄弟二人共养鸭550 只,当哥哥卖掉自己养鸭总数的一半,弟弟卖出70 只时,两人余下的鸭只数相等,求兄弟两人原来各养鸭多少只?变式:一人看见山上有一群羊,他自言自语到:“我如果有这些羊,再加上这些羊,然后加上这些羊的一半,又加上这些羊一半的一半,最后再加上我家里的那只,一共有 1 0 0 只羊”.山上的羊群共有______只练习:两年前,甲的年龄是乙的年龄的 4 倍;而现在,甲的年龄是乙的年龄的 3 倍,那么甲今年多少岁?【例3】重阳节那天,延龄茶庄请来25 位老人品茶,这25 位老人的年龄恰好是25 个连续自然数,并且年龄之和恰好是2000。
问:其中年龄最大的老人多少岁?变式:678 除以一个数的不完全商是13,并且除数与余数的差是8,求除数和余数。
练习:教师给幼儿园小朋友分草莓,如果每个小朋友分 5 个草莓还剩下14 个,如果每个小朋友分7 分草莓则差 4 个,求共有多少草莓?共有多少个小朋友?【例4】爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64 岁。
当爸爸的年龄是哥哥年龄的 3 倍时,妹妹是9 岁;当哥哥的年龄是妹妹年龄的2 倍时,爸爸是34 岁。
现在三人的年龄各是多少岁?变式:两年前,甲的年龄是乙的年龄的 4 倍;而现在,甲的年龄是乙的年龄的 3 倍,那么甲今年多少岁?练习:父亲今年32 岁,儿子今年 5 岁,几年之后,父亲的年龄正好是儿子的年龄的4倍?例5:大、小两个水池都未注满水。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.一、两量重叠问题 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步进行:第一步:分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来,加在一起);第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数).二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.图示如下:教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1.先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次,多加了1次;2.再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去.在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.【例 1】 “走美”主试委员会为三~八年级准备决赛试题。
每个年级12道题,并且至少有8道题与其他各年级都不同。
如果每道题出现在不同年级,最多只能出现3次。
本届活动至少要准备 道决赛试题。
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯,4年级,决赛,第9题【解析】 每个年级都有自己8道题目,然后可以三至五年级共用4道题目,六到八年级共用4道题目,总共有864256⨯+⨯=(道)题目。
【答案】56题【例 2】 将1~13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中,然后把每个圆内的7个数相加,最后把四个圆的和相加,问:和最大是多少?【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 越是中间,被重复计算的越多,最中心的区域被重复计算四次,将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中,最大和为:13×4+(12+11+10+9)×3+(8+7+6+5)×2+(4+3+2+1)=240.【答案】240【例 3】 如图,5条同样长的线段拼成了一个五角星.如果每条线段上恰有1994个点被染成红色,那么在这个五角星上红色点最少有多少个?【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 如下图,下图中“”位置均有两条线段通过,也就是交点,如果这些交点所对应例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数,大圆表示C 的元素的个数.1.先包含:A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次,多加了1次. 2.再排除:A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次,但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了. 3.再包含:A B C A B B C A C A B C ++---+.的线段都在“”位置恰有红色点,那么在五角星上重叠的红色点最多,所以此时显现的红色点最少,有1994×5-(2-1)×10=9960个.【答案】9960【例 4】 某班共有学生48人,其中27人会游泳,33人会骑自行车,40人会打乒乓球.那么,这个班至少有多少学生这三项运动都会?【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 (法1)首先看至少有多少人会游泳、自行车两项,由于会游泳的有27人,会骑自行车的有33人,而总人数为48人,在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下,两项都会的学生至少有27334812+-=人,再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数,至少有1240484+-=人.该情况可以用线段图来构造和示意:40人33人游泳自行车总人数48人游泳(法2)设三项运动都会的人有x 人,只会两项的有y 人,只会一项的有z 人, 那么根据在统计中会n 项运动的学生被统计n 次的规律有以下等式:3227334048,,0x y z x y z x y z ++=++⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩由第一条方程可得到10032z x y =--,将其代入第二条式子得到:100248x y --≤,即252x y +≥①而第二条式子还能得到式子48x y +≤,即248x y x +≤+②联立①和②得到4852x +≥,即4x ≥.可行情况构造同上.【答案】4【巩固】某班有50名学生,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有23人,参加英语竞赛的有20人,每人最多参加两科,那么参加两科的最多有 人.【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 根据题意可知,该班参加竞赛的共有28232071++=人次.由于每人最多参加两科,也就是说有参加2科的,有参加1科的,也有不参加的,共是71人次.要求参加两科的人数最多,则让这71人次尽可能多地重复,而712351÷=,所以至多有35人参加两科,此时还有1人参加1科.那么是否存在35人参加两科的情况呢?由于此时还有1人是只参加一科的,假设这个人只参加数学一科,那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215+-÷=人,参加语文、英语两科的共有281513-=人,参加数学、英语两科的共有20137-=人.也就是说,此时全班有15人参加语文、数学两科,13人参加语文、英语两科,7人参加数学、英语两科,1人只参加数学1科,还有14人不参加.检验可知符合题设条件.所以35人是可以达到的,则参加两科的最多有35人.(当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语)【答案】35【巩固】60人中有23的人会打乒乓球,34的人会打羽毛球,45的人会打排球,这三项运动都会的人有22人,问:这三项运动都不会的最多有多少人? 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有x 人,只会打乒乓球和排球两项的有y 人,只会打羽毛球和排球两项的有z 人.由于只会三项运动中的一项的不可能小于0,所以x 、y 、z 有如下关系:()()()402204522048220x y x z y z ⎧-++≥⎪⎪-++≥⎨⎪-++≥⎪⎩将三条关系式相加,得到33x y z ++≤,而60人当中会至少一项运动的人数有()40454822256x y z ++-++-⨯≥人,所以60人当中三项都不会的人数最多4人(当x 、y 、z 分别取7、11、15时,不等式组成立). 【答案】4【例 5】 图书室有100本书,借阅图书者需在图书上签名.已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33,44和55本,其中同时有甲、乙签名的图书为29本,同时有甲、丙签名的图书为25本,同时有乙、丙签名的图书为36本.问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?C丙B乙A甲【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 设甲借过的书组成集合A ,乙借过的书组成集合B ,丙借过的书组成集合C .A =33,B =44,C =55,A B =29,A C =25,B C =36.本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值,再将其与100作差即可. AB C A B C A B A C B C A B C =++---+, 当AB C 最大时,A B C 有最大值.也就是说当三人都借过的书最多时,甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多. 而AB C 最大不超过A 、B 、C 、A B 、B C 、A C 6个数中的最小值,所以A B C 最大为25.此时A B C =33+44+55-29-25-36+25=67,即三者至少有一人借过的书最多为67本,所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过.【答案】33【巩固】甲、乙、丙都在读同-一本故事书,书中有100个故事.每个人都从某一个故事开始,按顺序往后读.已知甲读了75个故事,乙读了60个故事,丙读了52个故事.那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 考虑甲乙两人情况,有甲乙都读过的最少为:75+60-100=35个,此时甲单独读过的为75-35=40个,乙单独读过的为60-35=25个;欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时,应将丙读过的书尽量分散在某端,于是三者都读过书最少为52-40=12个.【答案】12【例 6】某数学竞赛共160人进入决赛,决赛共四题,做对第一题的有136人,做对第二题的有125人,做对第三题的有118人,做对第四题的有104人。
在这次决赛中至少有____得满分。
【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【关键词】走美杯,5年级,决赛,第10题【解析】设得满分的人都做对3道题时得满分的人最少,有136+125+118+104-160⨯3=3(人)。
【答案】3人【例 7】某班有46人,其中有40人会骑自行车,38人会打乒乓球,35人会打羽毛球,27人会游泳,则该班这四项运动都会的至少有人。
【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,1试【解析】不会骑车的6人,不会打乒乓球的8人,不会羽毛球的11人,不会游泳的19人,那么至少不会一项的最多只有6+8+11+19=44人,那么思想都会的至少44人【答案】44人【例 8】在阳光明媚的一天下午,甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水,已知甲浇了30盆,乙浇了75盆,丙浇了80盆,丁浇了90盆,请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆?【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【解析】为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少,那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的花数量都要尽量多,那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆,那么接下来就变成乙浇了45盆,丙浇了50盆,丁浇60盆了,这时共有-=盆花,我们要让这70盆中恰好被3个人浇过的花最少,这就是简单1003070的容斥原理了,恰好被3个人浇过的花最少有45506014015++-=盆.【答案】15【巩固】甲、乙、丙同时给100盆花浇水.已知甲浇了78盆,乙浇了68盆,丙浇了58盆,那么3人都浇过的花最少有多少盆?【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】只考虑甲乙两人情况,有甲、乙都浇过的最少为:78+68-100=46盆,此时甲单独浇过的为78-46=32盆,乙单独浇过的为68-46=22盆;欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时,应将丙浇过的花尽量分散在两端.于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆.【答案】4【巩固】在阳光明媚的一天下午,甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水,已知甲浇了30盆,乙浇了75盆,丙浇了80盆,丁浇了90盆,请问恰好被1个人浇过的花最少有多少盆?【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【解析】100盆花共被浇水275次,平均每盆被浇2.75次,为了让被浇1次的花多,我们也需要被浇4次的花尽量多,为30盆,那么余下70盆共被浇155次,平均每盆被浇2.21次,说明需要一些花被浇3次才可以.我们假设70盆都被浇3次,那么多出55次,每盆花少浇2次变为被浇1次最多可以变27次,所以本题答案为27盆.【答案】27。