初中几何常考模型汇总(完整版)
初中数学几何模型大全
初中数学几何模型大全全等变换平移:平行等线段〔平行四边形〕对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型角分线模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等.两边进行边或者角的等量代换,产生联系.垂直也可以做为轴进行对称全等.对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称〔翻折〕,翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等.旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等.自旋转模型构造方法：遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角逼等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中央对称说明：旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容.通过“8〞字模型可以证实.模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用.当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边组相邻等线段,分组组成三角形证全等.点,证实另外两个顶点与中点所成图形为翻腰直角三 角形.证实方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直 角边,转化成要证实的等腰直角三角形和的等腰 直角三角形〔或者正方形〕公旋转顶点,通过证实旋形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两 一匚■中点旋转:方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中转全等三角形证实倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证.几何最值侬对称最值〔两点间线段最短〕二线段之和量短模型过桥模型四边脑周KM小模型三俗形用长最小模型同侧.异侧两线段之和最短就型轴对称模型同侧,异恻两线段之W最小段T；线段和差模型HIM对称最值〔点到直线垂线段最短〕说明：通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离.旋转最值〔共线有最值〕说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段,定长线段的和为最大值,定长线段的差为最小值.剪拼侬三角形—四边形边形.四边形说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变形的形状.矩形一正方形说明：通过射影定理找到正方形的边长,通过平移与旋转完成形状改变正方形+等腰直角三角形一正方形面积等分旋转相似侬说明：两个等腰直角三角形成旋转全等,两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似.推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度,趣转相似.第三边所成夹角符合旋转〃8〞字的规律.相似模型说明：注意边和角的对应,相等线段或者相等比值在证实相似中起到通过等量代稣构造相帕角形的作用.说明：(1)三垂直到一线三等角的演变,三等角以30良45原60度形式出现的居多.(2 )内外角平分线定理到射影定理的演变,注意之间的相同与不同之处.另外,相似射影定理.相交弦定理〔可以推广到圆幂定理〕之间的比值可以转换口乘积,通过等线鼠等比值、等乘积进行代换,进行证实得到需要的结论.说明：相似证实中最常用的辅助线是做平行,根据题的条件或者结论的比值来做相应的平行线.A 模型一：手拉手模型-旋转型全等<1>融笈给a 条件:Q 均为等边三角形» 结论：① A 〔〃C ♦ M 〕BD ,② LAEB = 601 ③ OE 平分 LAED.<2〕等腰A 条件:A .4优均为等腰直用三角形a 结论,①△〔,〔 ■ N 〕BD J ② L.lEti - 9.\ A ③.E 平分乙IED .<3>任意等腰三角形A 轴：wcw 〞均为等股三龟形a 牯论二① A .,.・ &OBD ；② LAEB • LAOQ .»③0E 平分乙l£O .A 模型二:手拉手模型-旋转型相似〔DT^况A 条件：〔力〃,出,将△〃口〕旅转至右囹位贸 A 给论：> 右图中① A 〃C 〜AOMeMMC' M 〕BD ; a ②延长"交BD 于点E,必有UEC • LBOA⑵特殊情况 >条件,CD//AB ,乙〞财■佻产,将ACC 及旋转至右图 位置>牯论：右图中①AOC&SAOJ A O AOIC ROBD 3②⑤连接/D. BC,必有；6〞.二』炉,8；⑥=…・/.卬〕〔对角线互相垂直的四边形〕5 @RDLAC .延长/C 交加于点&必有tan LOCDA模型三；对角互补模型⑴全等型30a①乙北加•乙DCE - 9.° j②oc平分&CB JJA 结论：① CD=CE:② 0D + °E ■ 6oc J ③,SoDt'E - $!110cB + §皿LA证!搬示：的乍垂直,如图,证实"DM •&CEN]■<②过点C作b 1 0C,如上图(右),证实AODC- AFEC ；, a当乙DCE的一边交/O的延长线于点Q时：〞以上三个结论：(DCD=C£(不变)3厂心“-$的」"‘@OE-OI〉・GOC, @" 211愉论那么方法第IT摊况T,可自HiS.K'S C>t£X H~ X'Mu<2>全等型-1200»霜：044OB・2乙XE・I2O03a ®oc 平分20%1y/a 结论:①C〞・CEj②./) +.£・优3(X T/—SflDCT " ^AGCD + SwKT " 7 0°A③4.,\A证骊I示：①可参考〃全等型-知,,证法一；②如却在05上取一点尸,使.尸=0C,证实AO"^IT为等边三角形.a(3)全领任意角a> 新：(Q- 2a, LDCE - 18() - 2(c . ©CD-C£；A 结论；①0('平分乙IO% ②,OE -2PC*cosa ,a @s(m - 5^CD- OC^sina -cosaa当〃的一边交乂.的延长线于点口时(如右上图〉；原结论变成：①②③I可参考上述第②种万法西亍证实.语思考初始条件的变化对模型幡oK a—35晌.>对角研触克结：①常见初始条件：四边形芯角互扑；注意两点：四点共圆及直通三通形斜②初始条件「角平分线〞与“两边相等〞的区别；③两种富见硒图域轴法3④注意00平分乙时,LCDE - LCED - LCOA・WCQ相等如何边中线；47f 推导？A模型四：角含半角模型M<1〕角含半角模型90° -1»①正方形9C?,45\>牯论,①EF - BE ；②KEF的周长为正方形一出CO周长的一半;也可以哪：a W=①正方形dBC?②EF = DF・BEa 结论: Z£//：45.<2〕角含半角模型式.,a条件：①正方形/出8； © LEAF - 450a 结论二EF -DF-BE> '岫线如下列图所示：〔3〕角含半鱼模型90° -3A条件二①吟② a 结论；RD2 + CE1 = DE2假设UM 曲到&版外部时,结论5+3 =.「仍然成立.设明＞遵履AC?方公不唯一〕V Z/JW«・・S〞・,4F •,4Ml・/CMAV Zl/W-Z(C £ - 45 \ .*. XIDIMXUT---A〞/s&sc Ai! X£a条件:①正方形/"CD;②LEAF - 45Q＞结论：A"比为等艘直角三用形°A模型五：倍长中线类模型⑴倍长中物飕里-1A 条件二①矩形ABCD；②〃"■"心③.尸,£7、»结论一"\LC广模型拄取,①有平行线TQI山E:②平行线|胡戋段有中点.尸,EF砌屣"8"字第ZU/A：・ A/他射.〔25借长中绳械型-2> 条件：.¥行四边形RRCD ；②"C ■ 2AB；③AM - DM；@CELAD.a结论:乙EMD・3乙AIEA情助〞：有个什AB/fCD .市中版.d V - /AV/达长EM•利造/“I〃心,八〃',4M C.V杓连号・vj.ur T vvcA通过构迨8字先等八段也量庆C1JL美系.用的欠小小化A 模型六：相似三角形360°旋转模型⑴相似三角形?等JO 角)酬.旋转模型斗检法a 条件:①NDE 、A4 AC 均为等腰直角三角形m ②EF ・CF, a 结论：①DF ・BF ；②DF1 B 尸Ml 财观,尚迨哥腰JLMAJEG 、M 〞C技劝独弓咕；将/V 句仲化到与EU ⑵ 任鄢时三角形360'旋转模3H 除法a (D M)ABsz2c ,② LOAH - Z ODC -巩尸；③BE ・CE .» 结论:① AE= l)E j ② LAEly - 2 LABO,③就的画个〉件“化仇」叫3〃,MHO . it为收晟.#NM8A.4取,雄靖傅化由江那么\ ।外匕小j m.传网色以*比M 4商* 此处.•机a 施叫 乙区H ・N 〃M )H 削l:增长/)/： £ V .便\肥7出.杵修(O 形360°值 MM DF HAG.盘 FG ・DF . 4.li(Xi . B(i . Klf Um .MifKi京k 点；\加必“机；e A: U . 41)■ ZflC G横财姬：地太AJ «AG .使.0・AB .过长 < /> 财 A H 佗 DH = Cl> .林 t WB 〞OC7fHit J£ DE iiCG A KH .比 NJEDa 条件：① NXB SAODC ：②乙.4B ・£(〞)( ■ 9() BE ・CE.A 结论二① 4月■ DE 3 ② LAEiy - 2 LAHOa 条件：①&〃兄・、MBC 均 为等腰直角三角形,② EF -CF a 结论：①DF =BF ；② DF1 BFA 模型七：最短程模型景后基幡化到：•两昆之昉,怪我累触2例二 财点一①4点AH 惕上:⑵依・心怨力国大垂线段另短 ＜2＞最短路程彳 械劝愎」将作.美中0C H 俾九•豺比 傕•=,堂, -tA \1 作 MHKM,1俨.小・ A 俨-,Q2 M" 〔•0戊量收〕＞条件,①OC 平分"O%②?为〔M 上一定点,@ 〃为OJtf 点；@°为OH 上一动点: A 求」“O+PO最小时,几°的位置？(3> 题雌(^JM^2)条件：*014〕.8〔-20〕J 〔0,〃〕PB +此 PAi 够：〃为何值时,5 最小c A .sin ^OA,C 0 ——求解方法：①工轴上取 〔口0〕,使5 ,②过码乍A/〕L4g 交〕'轴于点％艮防所求＞tan LEiiO = tan LOAC ③>忤！®ttft ai-4. <w-2 <ufl>(Mr) 6«M «A<) &*专内360 **««； .S〞着幺OL乩亳：“A."■〜. <“牙导越力・・^^**. «HaHR,*-X»Oflil4.4*tMXa・,直£・•卜十n五调.A^(*;•・称：< |-«; 〃彳一,胸>fta①—■九〔瞰・1⑵"启〞.剧,.明r<F +小停/®A 〃〔金曲IM -AH«3 K/H>JH /,小僖.1. 〞,H •：3 J〞W/,卜低方2.妁八的以廿也向工OcAfiZCD «rWW . £GWC-3(rXrx -2；0：rH-| ； 4 %.刖・£yq③ U址也人9**M»ft：把I ・ Jl<A〞eH"班・1,,4PI a«i>u. *,・外•川•eai<4〕最短路程稳型三〔旋转类最值锲型〕H小值而A 模型九：相似三角形模型I 千(J).腿三角形蜩-根本型 (2)才械三的阳模蛰第交举44与二*“冷；片A 鹏如护外作的认化 । \」,兴5"了":3 加区旧•凤 r nft ~?而慢牛且小客」l frU -牙明 k 用tt <以上水论地可力d it 忻做三.就Hit 行或明平行号.汇川ST4 " 4J' DF 时是二 _ = —=_ ( jAB HC £「上Ft ；如仃面凸表画 r re 上・,i 印一耳e 伊司电4也 lii^t -M. .it'M “ e W - H L < J 1-JW - J/*忤r i:阍t 、_ 冰=l Hj.iT 廿=", Wl用ZAB 「,上 if £ -^< iiK- s JA ffl；一⑷「・_l£K ■-f¥比= J5 :中】Il./N 为图的hj 峰:在阍：P A rm = ft rn中酹! 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完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)通过将倍长中点相关线段进行旋转变换，可以构造出旋转全等模型。
这种模型的特点是，将相邻等线段所成角的一半旋转后拼接在一起，形成对称全等。
同时，也可以通过将两个等腰三角形或正多边形的夹角进行变化，来构造出模型变形。
如果遇到复杂图形找不到旋转全等，可以先找到两个正多边形或等腰三角形的公共极点，然后围绕公共极点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
幂定理可以用等线段、等比值、等乘积进行代换，从而将两个数之间的比值转换成乘积。
在相似证明中，常用的辅助线是平行线，根据题目条件来确定比值并做出相应的平行线。
题目一：在半圆中，圆心为O，圆上有点C、E，CD垂直于AB，EF垂直于AB，EG垂直于CO。
证明CD等于GF。
题目二：在正方形ABCD内部，点P满足∠PAD＝∠PDA＝15度。
证明△PBC是正三角形。
题目三：在图中，ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点。
证明A2B2C2D2是正方形。
题目四：在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F。
证明∠DEN＝∠F。
题目五：在△ABC中，H为垂心，O为外心，且OM垂直于BC于M。
1）证明AH等于2OM；2）如果∠BAC等于60度，证明AH等于AO。
1.设P为正三角形ABC内任意一点，连接PA,PB,PC，由三角形不等式可得PA+PB>AB。
PB+PC>BC。
PC+PA>CA。
将三式相加得到2PA+2PB+2PC>AB+BC+CA=3，即PA+PB+PC>3/2.又由于P到三角形三边的距离不超过1，所以PA+PB+PC<3，综上可得1.5≤PA+PB+PC<3，即所求不等式成立。
2.设P为正方形ABCD内任意一点，连接PA,PB,PC,PD。
由于正方形四边相等，所以PA+PC=2，PB+PD=2.又由于P到四边的距离不超过1，所以PA+PB+PC+PD<4.将前两式相加得到PA+PB+PC+PD=2(PA+PB)/2+2(PC+PD)/2≥2√(PA·PB)+2√(PC·P D)。
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初中数学几何模型大全+ 经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是 45 °、30 °、22.5 °、15 °及有一个角是 30 °直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2 角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60 度旋 60 度，造等边三角形遇90 度旋 90 度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋 180 度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“ 8”字模型可以证明。
模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
中考数学几何模型大汇总
中考数学几何模型大汇总下面是中考几何模型的大汇总：1、平面直角坐标系模型平面直角坐标系模型中，我们可以使用坐标系来描述平面上图形和点的位置关系。
这个模型常用于图形的平移、旋转、对称等问题。
2、矩形模型矩形模型用于讨论四边形的性质、面积、周长等问题。
在这个模型中，我们将四边形近似为一个矩形，从而使问题更易解决。
3、三角形模型三角形模型是中考中最常见的模型之一、它可以用于计算三角形的面积、周长，讨论三角形的性质。
在这个模型中，我们通常使用海伦公式、正弦定理、余弦定理等方法来求解。
4、圆形模型圆形模型用于讨论圆、弧、扇形等问题。
在这个模型中，我们通常使用圆的周长、面积公式，以及角度与弧长的关系来进行计算。
5、球体模型球体模型用于讨论球体的体积、表面积以及球冠、球缺等问题。
在这个模型中，我们通常使用球的体积、表面积公式，以及球冠、球缺的体积和表面积公式来求解。
6、棱锥模型棱锥模型用于讨论棱锥的体积、表面积、正棱锥、锥台等问题。
在这个模型中，我们通常使用棱锥的体积、表面积公式，以及正棱锥、锥台的体积和表面积公式来求解。
7、棱柱模型棱柱模型用于讨论棱柱的体积、表面积、正棱柱、柱台等问题。
在这个模型中，我们通常使用棱柱的体积、表面积公式，以及正棱柱、柱台的体积和表面积公式来求解。
8、立体几何模型立体几何模型用于讨论正方体、长方体、正六面体等立体图形的体积、表面积、对角线等问题。
在这个模型中，我们通常使用立体图形的体积、表面积公式，以及对角线长的求法来计算。
总之，几何模型是中考数学中重要的一环，通过利用这些模型，我们可以更好地理解几何知识，更好地应对考试。
初中数学必背几何模型
一、中点模型1．倍长中线条件：AD 为△ABC 的中线辅助线：延长AD 到点E ，使得AD =DE结论：△ADC ≌△EDB ，AC ∥BE2．连中点构造中位线条件：点D 、E 为AB 、AC 的中点辅助线：连接DE 结论：12DE BC DE BC =，∥3．倍长一边构造中位线条件：点D 为AB 的中点辅助线：延长AC 到点E ，使得AC =CE ，连接BE 结论：12DC BE DC BE =，∥4．构造三线合一条件：AB =AC辅助线：取BC 的中点D ，连接AD结论：AD ⊥BC ，∠BAD =∠CADB5．构造斜边中线条件：∠ABC =90°辅助线：取AC 的中点D ，连接BD 结论：12BD AC AD CD ===二、角平分线模型6．往角两边作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为E 、F结论：△ADE ≌△ADF7．在角的两边截取等长线段条件：AD 平分∠BAC辅助线：在AB 、AC 上取点E 、F ，满足AE =AF ，连接DE 、DF 结论：△ADE ≌△ADF8．过角平分线上一点作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作EF ⊥AD ，交AB 、AC 于点E 、FD CBB CCC结论：△ADE ≌△ADF三、双角平分线模型9．内内模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB 结论：1902D A ∠=︒+∠10．内外模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACE 结论：12D A ∠=∠11．外外模型条件：BD 、CD 平分∠CBE 、∠BCF 结论：1902D A ∠=︒-∠四、平行线模型12．猪蹄模型CA BCC ED条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D =∠BED13．铅笔头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D +∠BED =360°14．鸟头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠D +∠BED =∠B15．平行线+角平分线模型条件：AB ∥CD ，CE 平分∠ACD结论：AC =AE五、等积模型16．等底等高条件：AD ∥BCFAFBC结论：ABC DBC S S =，ADB ADC S S =17．等高模型条件：B 、C 、D 共线结论：::ABD ADC S S BD CD =18．等底模型条件：AE 、DE 为△ABC 、△DBC 边BC 上的高结论：::ABC DBC S S AE DE =六、对称半角模型19．对称半角模型-含45°角的三角形条件：∠BAC =45°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等腰直角三角形20．对称半角模型-含30°角的三角形B CB C DED条件：∠BAC =30°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等边三角形七、旋转半角模型21．旋转半角模型-等腰直角三角形条件：AB =AC ，∠BAC =90°，∠MAN =45°辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACM ＇ 结论：ANM ANM '≌，222BM CN MN +=22．旋转半角模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，BD =CD ，∠BDC =120°， ∠MDN =60°辅助线：将△BDM 绕点D 顺时针旋转120°，得到△DCM ＇ 结论：NDM NDM '≌，BM CN MN +=23．旋转半角模型-正方形条件：正方形ABCD ，∠MAN =45°，FEAM'M CAB辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADM ＇ 结论：NAM NAM '≌，BM DN MN +=八、自旋转模型24．自旋转模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，点P 为其内任意一点辅助线：将△BAP 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BCP ＇ 结论：△BPP ＇是等边三角形25．自旋转模型-等腰直角三角形条件：△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点P 为△ABC 内任 意一点辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰直角三角形26．自旋转模型-等腰三角形条件：△ABC 中，AB =AC ，点P 为△ABC 内任意一点，∠BAC =α 辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转α，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰三角形M'DNCBAB九、手拉手模型29．手拉手模型-等边三角形条件：△ABC和△CDE都是等边三角形结论：△ACE≌△BCD27．手拉手模型-等腰直角三角形条件：△ABC和△CDE都是等腰直角三角形结论：△ACE≌△BCD，AE⊥BDEE28．手拉手模型-等腰三角形条件：△ABC 和△CDE 都是等腰三角形，CA =CB ， CD =CE ，且∠ACB =∠DCE结论：△ACE ≌△BCD30．手拉手模型-正方形条件：四边形ABCD 和AEFH 都是正方形结论：△ABE ≌△ADH ，BE ⊥DH十、最短路程模型31．直线同侧两线段之和最小（将军饮马）条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作点A 关于直线l 的对称点A ＇，连接A ＇B 结论：点P 为A ＇B 和l 交点时，AP +BP 最小C32．直线异侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 异侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小33．直线同侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小34．过桥模型（将军饮马）条件：A 、B 为定点，l 1∥l 2，MN 为定长线段且MN ⊥l 1 辅助线：将点A 向上平移MN 的长度得到A ＇，连接A ＇B 结论：点N 为A ＇B 与l 1交点时，AM +MN +BN 最小35．四边形周长最小（将军饮马）条件：A 、B 为定点，M 、N 为角两边上的动点辅助线：作点A 、B 关于角两边的对称点A ＇、B ＇，连接 lAlAll 1l 2A＇B＇结论：M、N为A＇B＇与角两边交点时，四边形ABMN的周长最小B'36．三角形周长最小（将军饮马）条件：A为定点，B、C为角两边上的动点辅助线：作点A关于角两边的对称点A＇、A＂，连接A＇A＂结论：B、C为A＇A＂与角两边交点时，△ABC的周长最小37．旋转类最短路程模型条件：线段OA=a，OB=b（a＞b），OB绕点O在平面内旋转结论：点B与点N重合时，AB最小；点B与点M重合时，AB最大十一、基本相似模型38．A字型条件：BC∥DE结论：△ABC∽△ADE条件：∠ABC =∠ADE结论：△ABC ∽△ADE39．8字型条件：AB ∥CD结论：△AOB ∽△DOC条件：∠BAO =∠DCO结论：△AOB ∽△COD40．母子型条件：△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB结论：△ABC ∽△ACD ∽△CBD41．一线三等角模型条件：∠B =∠D =∠ACE结论：△ABC ∽△CDECBCC A42．手拉手相似模型条件：△ABC ∽△ADE结论：△ACE ∽△ABD十二、对角互补模型43．对角互补模型-90°全等型条件：∠AOB =∠DCE =90°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OEOC ，212OECD S OC 四边形CB ACE AB D CDD44．对角互补模型-120°全等型条件：∠AOB =120°，∠DCE =60°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OE =OC ，24OECD S =四边形45．对角互补模型-任意角全等型条件：∠AOB =2α，∠DCE =180°-2α，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，2cos OD OE OC α+=⋅， 2sin cos OEC OCD S S OC αα+=⋅46．邻边相等的对角互补模型条件：四边形ABCD 中，AB =AD ，∠ABC +∠ADC =180°D BAN E OB辅助线：延长CD 到E ，使得DE =BC ，连接AE结论：△ABC ≌△ADE ，CA 平分∠BCD十三、隐圆模型47．动点定长模型条件：AB =AC =AP ，点P 为动点结论：点B 、C 、P 三点共圆，点A 为圆心，AB 为半径48．直角圆周角模型条件：点C 为动点，∠ACB =90°结论：点A 、B 、C 三点共圆，线段AB 的中点为圆心，线段 AB 为直径49．定弦定长模型条件：点P 为动点，固定线段AB 所对的动角∠APB 为定值 结论：点A 、B 、P 三点共圆，线段AB 和BP 的中垂线的交点 为圆心BA50．四点共圆模型①条件：点A 、C 为动点，∠BAD +∠BCD =180°结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心当∠BAD =∠BCD =90°，BD 为直径51．四点共圆模型②条件：线段AB 为固定长度，点D 为动点，∠C =∠D结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心CCA当∠C=∠D=90°，AB为直径。
初中几何十大模型-总汇
第一章 8字模型与飞镖模型模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ， 连接AD 、BC 。
结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。
模型分析8字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。
模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。
热搜精练1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。
OD C BA 图12图E AB C D E F DC B A O O 图12图E AB C D EDC B A H GE F DC BA模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。
模型分析飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。
模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。
探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。
热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ；2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。
D CB A M DC B A O135E FD C BA 105OO120D C B A模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：AC+BD>AD+BC 。
模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。
求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ；（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB+AC>BD+CD 。
O DCBA ODCB AO C B A模型实例如图，点O 为三角形内部一点。
求证：（1）2（AO+BO+CO ）>AB+BC+AC ；（2）AB+BC+AC>AO+BO+CO.热搜精练1．如图，在△ABC 中，D 、E 在BC 边上，且BD=CE 。
初中几何46种模型大全
初中几何46种模型大全篇一：初中几何46种模型大全引言几何是初中数学的重要分支,其知识点涵盖了平面几何、立体几何、向量等多个方面。
在学习几何时,掌握各种几何模型是非常重要的,这些模型可以帮助我们理解和解决几何问题,提高解题能力。
本文将介绍初中几何中的46种常见的模型,包括它们的名称、定义、性质和应用。
正文1. 正方形模型正方形模型是几何中最基本的模型之一,它是一种边长相等的矩形。
正方形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。
正方形模型的性质有:- 正方形的四条边相等;- 正方形的对角线相等;- 正方形的面积等于其边长的平方。
2. 长方形模型长方形模型是有两个相等的长和两个不相等的宽的英雄。
长方形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和小于斜边的平方。
长方形模型的性质有:- 长方形的两条对角线相等;- 长方形的宽比长大,长比宽大;- 长方形的长和宽相等。
3. 平行线模型平行线模型是相互平行的直线。
平行线模型的定义如下:- 两直线平行,当且仅当它们的对应角相等且且它们的方向相同。
平行线模型的性质有:- 平行线之间有且仅有一个交点;- 平行线上的点的横坐标相等;- 平行线的方向相同。
4. 菱形模型菱形模型是具有四个相等的直角边的矩形。
菱形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方,且任意两条边的长度小于第三条边的长度。
菱形模型的性质有:- 菱形的四条边相等;- 菱形的对角线相等;- 菱形的面积等于其四条边长度的平方和。
5. 等腰三角形模型等腰三角形模型是有一个相等的腰部的两个三角形。
等腰三角形模型的定义如下:- 在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。
等腰三角形模型的性质有:- 等腰三角形的两条直角边相等;- 等腰三角形的底角相等;- 等腰三角形的顶角平分线相等。
6. 等边三角形模型等边三角形模型是具有三个相等的边长的三角形。
初中数学30种模型汇总(最全几何知识点)
10.等面积模型:D是BC的中点
20.平移构造全等
30.二次函数中平行四边形存在性模型
01.三线八角
同位角：找F型
内错角：找Z型
同旁内角：找U型
02.拐角模型
一.锯齿型
1
1
3
2
2
3
4
∠1+∠3=∠2
∠1+∠2=∠3 +∠4
左和＝右和
二.鹰嘴型
1
1
2
3
3
2
∠1+∠3=∠2
∠1+∠3=∠2
鹰嘴＋小＝大
一.大小等边三角形
虚线相等，且夹角为60°
（全等，八字形）
四.大小等腰三角形（顶角为α）
结论：虚线相等，且夹角为α
（全等，八字形）
三. 大小等腰直角三角形
结论：虚线相等，且夹角为90°
（全等，八字形）
二.大小正方形
结论：虚线相等，且夹角为90°
（全等，八字形）
15.半角模型
条件：正方形ABCD
∠EDF=45°
证：EF=AE+CF
条件：CD=AD,∠ADC=90°
∠EDF=45°
∠A+∠C=180°
证明：EF=AE+CF
条件：AB=AD
∠B+∠D=180°
∠EAF=1 ∠BAD
2
证明：EF=BE+DF
条件：AB=AC,∠BAC=90°
∠DAE=45°
证明：DE2=BD2+CE2
△CEF为直角三角形
初中数学30种模型汇总
(最全几何知识点)
01.三线八角
02.拐角模型
03.等积变换模型
(完整版)初中数学——最全：初中数学几何模型.docx
最全：初中数学几何模型几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，小编整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是 45°、30°、22.5°、15°及有一个角是 30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2 角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇 60 度旋 60 度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋180 度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
(word完整版)初中数学——最全：初中数学几何模型
最全：初中数学几何模型几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，小编整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
(完整版)初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CO ACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中数学48个几何模型及题型
初中数学的几何模型是学生学习数学时的重要内容之一，通过学习几何模型和解题，可以帮助学生对几何知识有更深层次的理解，提高数学解题能力。
本文将介绍初中数学中常见的48个几何模型及其相关题型，希望可以帮助学生系统地掌握几何知识。
一、直线和角1. 直线概念直线是由一点不停地延伸而成的。
在平面几何中，直线没有宽度和厚度，只有长度。
2. 角的概念两条相交直线之间的夹角叫做角。
角可以分为锐角、直角、钝角和平角。
3. 直线和角相关题型- 计算夹角的大小- 判断角的种类二、多边形1. 三角形三角形是最简单的多边形，其内角和为180度。
根据边的长度和角的大小，可以分为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等不同种类。
2. 四边形四边形是具有四条边的几何图形，常见的四边形有矩形、正方形、平行四边形和菱形等。
3. 多边形相关题型- 计算多边形的内角和- 判断多边形的种类三、圆1. 圆的概念圆是由一个点到另一个点距离恒定的点的集合。
其中，点到圆心的距离为半径，圆上任意两点之间的距离称为弦。
2. 圆的性质圆的直径是圆的两个相对的端点，圆的周长和面积分别为2πr和πr²。
3. 圆相关题型- 计算圆的周长和面积- 判断圆的种类四、平面图形的平移、旋转和对称1. 平移平移是指将一个物体按照一定的规则移动到另一位置，移动前后的图形位置关系不变。
学生需要了解不同平移的规律和图形的位置关系。
2. 旋转旋转是指以某一点为中心，按一定角度将图形进行旋转。
学生需要掌握图形旋转的规律和性质。
3. 对称对称是指一个图形绕某条直线或点对称，对称轴可以分为水平对称轴、垂直对称轴和斜对称轴。
五、三视图和展开图1. 三视图三视图是指物体分别从正视图、侧视图和俯视图所得的图形。
学生需要根据给定的三视图还原出物体的整体图形。
2. 展开图展开图是将立体图形按一定规则展开成平面图形。
学生需要了解展开图的规律和方法。
六、空间图形1. 空间图形的概念空间图形是三维几何中的图形，包括圆柱、圆锥、球体、棱体等。
初中几何常考模型汇总(完整版)
第Ol讲8字模型与飞镖模型模型1角的“8”字模型如图所示，AB、CD相交于点O,连接AD、BC O 结论：ZA+ZD=ZB+ZCo模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到O模型实例观察下列图形，计算角度：(1)如图①，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE= ________________ :(2)如图②，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF= _________________热搜梢练1.(1)如图①，求ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE= _________________ :(2)如图②，求Z C A D+ Z B + Z AC E+ Z D+ Z E= ___2. ________________________________________________ 如图，求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH= _______________________________图②模型2角的飞镖模型如图所示，有结论：ZD=ZA+ZB+ZCo模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到a模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分ZDAB和ZDCB, AM与CM交于W 探究ZAMC与ZB、ZD间的数量关系。
热搜精练1._________________________________________如图，ΛRZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2.__________________________________ 如图，求ZA+ZB+ZC+ZD=C F模型3边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O,连接AD、BC O 结论：AC+BD>AD+BCoD模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0。
求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD:(2) AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC>BD+CD.模型实例如图，点O为三角形内部一点。
初中数学几何模型归纳
初中数学几何模型归纳1. 直线模型：直线是最基本的几何图形，可以用直线方程y = kx + b 来表示。
其中，k 是斜率，b 是截距。
2. 点模型：点是几何图形中的基本元素，可以用坐标(x, y) 来表示。
3. 线段模型：线段是由两个端点确定的有限长度的直线部分。
线段可以用起点和终点的坐标来表示。
4. 射线模型：射线是由一个端点和一个方向确定的无限延伸的直线部分。
射线可以用起点和方向向量来表示。
5. 角模型：角是由两条射线的公共端点和这两条射线之间的夹角组成的。
角可以用顶点、始边和终边来表示。
6. 三角形模型：三角形是由三条边和三个内角组成的多边形。
三角形可以用三边的长度和三个内角的大小来表示。
7. 四边形模型：四边形是由四条边和四个内角组成的多边形。
四边形可以用四边的长度和四个内角的大小来表示。
8. 圆模型：圆是由一个圆心和一个半径确定的平面上的所有点到圆心的距离都等于半径的图形。
圆可以用圆心和半径来表示。
9. 椭圆模型：椭圆是由两个焦点和一个长轴、短轴确定的平面上的所有点到两个焦点的距离之和等于常数的图形。
椭圆可以用两个焦点和长轴、短轴的长度来表示。
10. 双曲线模型：双曲线是由两个焦点和一个实轴、虚轴确定的平面上的所有点到两个焦点的距离之差等于常数的图形。
双曲线可以用两个焦点和实轴、虚轴的长度来表示。
11. 正多边形模型：正多边形是由相等的边和相等的内角组成的多边形。
正多边形可以用边数和内角度数来表示。
12. 梯形模型：梯形是由一对平行边和一对非平行边组成的四边形。
梯形可以用两对边的长度和夹角来表示。
13. 矩形模型：矩形是由四个直角和两对相等的边组成的四边形。
矩形可以用两对边的长度和夹角来表示。
14. 正方形模型：正方形是特殊的矩形，它的四个边都相等且四个角都是直角。
正方形可以用边长来表示。
15. 三角形面积模型：三角形的面积可以通过底边长度和高来计算，公式为S = (底边长度×高) / 2。
初中几何模型归纳大全
三垂直全等模型
AB=AC, AB⊥BC
过点A、C作AM、CN⊥直线l于M、N, 则△AMB≌△BNC
24
角平分线的傻瓜模型
BP为∠ABC平分线
Ⅰ号：若有PM⊥AB于M, 作PN⊥BC于N, △BMP≌△BNP；Ⅱ号：若有MP⊥BP于P, 延长MP交BC于N, △ABC为等腰△；Ⅲ号：△BMP为任意△, 在BC上截取BN=BM, 连接PN, △BMP≌△BNP；Ⅳ号：PQ∥AB, △BPQ为等腰△, BQ=PQ
四边形ABCD为正方形, ∠EAF=45°
EF=BE+DF；C△EFC=2AB；S△ABE+S△腰直角三角形半角模型
AB=AC, AB⊥AC, ∠DAE=45°
BD2+EC2=DE2
22
长短手模型
AB=AC, BD=CE, DG⊥BC于G
DF=FE；GF=BC
18
等边△手拉手模型
△ABC与△ECD为正△, B、C、D三点共线
△BCE≌△ACD；∠1=60°；△CND≌△CME；△BCM≌△ACN；连接OC, OC平分∠BOD；连接MN, MN∥BD；在BE、AD上取中点P、Q, △PCQ为正△
19
半角模型
AB=AC, ∠BAC=2∠MAN
-
20
正方形半角模型
28
等腰△第四个性质
AB=AC, P为BC上任意一点, PD⊥AB于D, PE⊥AC于E, BF⊥AC于F
BF=DP+PE
29
将军饮马模型一
-
在l上取一点P, 使AP+BP最小；在l1上取点M, l2上取点N, 使PM+MN+NP最小；在l1上取点M, 在l2上取点N, 使四边形AMNB周长最小；在l1上取点M, 在l2上取点N, 使AM+MN最小；在l上取一点P, 使
初中数学几何模型大全(精心整理)
三线八角同位角找F型内错角找Z型同旁内角找U型拐角模型1.锯齿形∠2=∠1+∠3 ∠1+∠2=∠3+∠42.鹰嘴型鹰嘴+小=大∠2=∠1+∠3 ∠2=∠1+∠33.铅笔头型∠1+∠2+∠3=360° ∠1+∠2+∠3+∠4=540°180×（n-1）等积变换模型S△ACD=S△BCD 八字模型∠A+∠B=∠C+∠DAD+BC>AB+CD飞镖模型∠D=∠B+∠C+∠AAB+AC>BD+CD内内角平分线模型∠A∠D=90°+12内外角平分线模型∠D=1∠A2外外角平分线模型∠D=90°-1∠A2平行平分出等腰模型HG=HM等面积模型 D是BC的中点S△ABD= S△ACD 倍长中线模型：D是BC的中点S△FBD= S△ECD角平分线构造全等模型角平分线垂直两边角平分线垂直中间角平分线构造轴对称以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，垂直也可以做为轴进行对称全等。
三垂模型拉手模型大小等边三角形虚线相等且夹角为60°大小等腰三角形顶角为a，虚线相等，且夹角为a大小等腰直角三角形虚线相等且夹角为90°大小正方形虚线相等，且夹角为90°半角模型正方形ABCD ∠EDF=45°得：EF=AE+CFCD=AD,∠ADC=90°,∠EDF=45°,∠A+∠C=180°得：EF=AE+CF∠BADAB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=12得：EF=BE+DFAB=AC,∠BAC=90°，∠DAE=45°得：DE2=BD2+CE2△CEF为直角三角形上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
初中几何常见九大模型解析(完美版)
初中几何常见九大模型解析（完美版）-CAL-FENGHAl-(2020YEAR-YICAl)」INGBIAN初中几何常见九大模型解析模型一：手拉手模型-旋转型全等(1)等边三角形A条件：AOABAoCD均为等边三兔形>结论：①'OAC鼻'OBD ；②LAEB = 60o Z③OE平分乙M£7)。
⑵等腰RTAA条件：A°M,AOCQ均为等腰直角三角形E A 结论：①、OACMM)BD；②Z^AEB= 90°.A③OE平分LAED Q(3)任意等腰三角形A条件：A°M,AOCD均为等腰三角形A 结论：①M)AC 以OBD ；②LAEB = LAOB.A③OE平分厶4ED模型二：手拉手模型-旋转型相似(1)一般情况A条件：CDMAB ,将'OCD旋转至右图位置A结论：A 右图中① 'OCDs∖oAB <=> Δ0∕4C 'OBD ：A②延长AC交BD于点&必有LBEC = LBOA（2）特殊情况A条件：CDuAB i乙AoB = 90。
,将'OCD旋转至右图位置A结论：右图中①卜OCDSM）ABGhoAC WBD.②延长AC交BD于点£,必有LBEC = LBOA.BD OD ®ACOC OBOAtan LOCD④BD丄AC.⑤连接AD. BC,必有AD2 +BC2 = AB2 +CD2.S4RCn■ —AC× BD⑥ 2 （对角线互相垂直的四边形）模型三：对角互补模型A证明提示：①可参考“全等型・90中证法一；②如图：在OB 上取一点F,使0F=OC,证明AoCF为等边三角形。
(3)全等型•任意角αA 条件：①"OB = 2a,Z7)CE = 180・2a；②CD = CE i A 结论：①°C平分乙②OD + OE ≈ 20C∙COSa .A ③ SoDCE = ^NOCD + Sb oC E =，SilI(X ∙ COSaA 当乙DCE的一边交Ao的延长线于点D时(如右上图)：原结论变成：①；③；可参考上述第②种方法进行证明。
初中数学48个几何模型
初中数学48个几何模型初中数学几何模型，说到底就是初中数学考试中经常会遇到的几何题目，把这些题目进行归类总结，提炼出图形的特点，然后给出最优化的解题思路学生学习了几何模型后，会有如下好处拿到几何题，看到几何图形，脑海中马上能够浮现出相应的几何模型，直接套用我所讲解的几何模型的解题思路就可以立刻解题。
在我的“初中几何模型大全”课程中，为了方便记忆，我会用“动画”“口诀”等等方法帮助学生对几何模型形成条件反射式的思维模型，帮助学生不再为几何题目发愁如需了解课程，请私信我潘小童数学几何模型大全简介一、手拉手二、鸡爪模型三、倍长中线（辅助线做法）四、截长补短（辅助线做法）五、等腰三角形三线合一六、射影定理七、三角形角平分线定理八、等边三角形，正六边形边长与面积的关系九、奔驰模型十、12345模型十一、半角模型十二、一线三垂直十三、一线三等角十四、十字架模型十五、正方形悬挂钟摆模型十六、中点四边形十七、垂美四边形十八、婆罗摩笈多定理十九、将军饮马二十、胡不归二十一、阿氏圆二十二、费马点二十三、瓜豆原理二十四、圆幂定理二十五、折弦定理二十六、隐形圆（15讲）定点定长型1.几个点到定点距离相等2.动点到定点距离为定值3.折叠+隐形圆4.隐形圆+将军饮马5.折叠+隐形圆+将军饮马6.瓜豆原理+隐形圆定角定长1.直角对直径2.定角对定边3.定角夹定高（探照灯模型）4.定角夹定中线5.定角夹定角平分线四点共圆1.对角互补型2.山连山型3.手拉手型米勒圆（最大张角）。
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OD CBA第01讲 8字模型与飞镖模型模型1 角的“8”字模型如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。
模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。
图12图EABCDEFD CBA热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。
OO图12图EABC DEDCBA2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。
HG EF DCBAD C B A 105OO120DC B A 模型2 角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D=∠A+∠B+∠C 。
模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。
探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。
MDCBA热搜精练1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ；O135EFDC BA2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。
ODCBAODCBAOCB AOCBA 模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：AC+BD>AD+BC 。
模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。
求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ；（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4 边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC>BD+CD 。
模型实例如图，点O 为三角形内部一点。
求证：（1）2（AO+BO+CO ）>AB+BC+AC ；（2）AB+BC+AC>AO+BO+CO.E D C B A 热搜精练1．如图，在△ABC 中，D 、E 在BC 边上，且BD=CE 。
求证：AB+AC>AD+AE 。
2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。
（1）如图①，△ABC 中，P 为边BC 上一点，请比较BP+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②，将（1）中的点P 移至△ABC 内，请比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由； （3）图③将（2）中的点P 变为P 1、P 2，请比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。
21P ABCP 图3ABC P图21图PBAB DCAP第02讲 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
NM OABP模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D 到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4. 求证：AP 平分∠BAC.2图4321ACP BD ABC图1热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
PO N M B A 模型2 截取构造对称全等 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较PC−PB 与AC−AB 的大小，并说明理由。
图2DPA BCDC1图PBA热搜精练1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8. 求线段BC 的长.ABCD2．已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC. 求证：BC=AB+CD.ABCD3．如图所示，在△ABC 中，∠A=100°，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，DE=AD. 求证：BC=AB+CE.EDAPO N MB A模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B.结论：△AOB 是等腰三角形。
模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型实例 如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为E. 求证：BD=2CE.E DCBA热搜精练1．如图，在△ABC 中，BE 是角平分线，AD ⊥BE ，垂足为D. 求证：∠2=∠1+∠C.21E DCBA2．如图，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于点E. 求证：BE=12（AC−AB ）. EDCBAQP O N M模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q.结论：△POQ 是等腰三角形. 模型分析有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系.模型实例解答下列问题：（1）如图①所示，在△ABC 中，EF ∥BC ，点D 在EF 上，BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB ，写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系；（2）如图②所示，BD 平分∠ABC 、CD 平分∠ACG ，DE ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，线段EF 与BE 、CF有什么数量关系？并说明理由.（3）如图③所示，BD 、CD 分别为外角∠CBM 、∠BCN 的平分线，，DE ∥BC 交AB 延长线于点E ，交AC 延长线于点F ，直接写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？FAE BC D 2图A E BDFC1图F GE 图3D CNMBAA EBC NM D A EBC热搜精练1． 如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作EF ∥BC ， 交AB 于点M ，交AC 于点N 。
若BM+CN=9，则线段MN 的长为 .2．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点E 、F 分别在BD 、AD 上，EF ∥AB ，且DE=CD. 求证：EF=AC.FDA E BC3． 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在CD 上，且AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC.求证：AD=AB−BC .32HA B FE1G E F D C B A 第03讲 截长补短模型 截长补短如图①，若证明线段AB 、CD 、EF 之间存在 EF=AB+CD ，可以考虑截长补短法。
截长法：如图②，在EF 上截取EG=AB ，再证明 GF=CD 即可。
补短法：如图③，延长AB 至H 点，使BH=CD ， 再证明AH=EF 即可。
模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。
模型实例例1．如图，已知在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D. 求证：AB=AC+CD.DCBA例2．如图，已知OD 平分∠AOB ，DC ⊥OA 于点C ，∠A=∠GBD. 求证：AO+BO=2CO.OGA BCD热搜精练1．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，AD 是∠BAC 的平分线，且AC=AB+BD. 求∠ABC 的度数.ABCD2．如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB. 求证：AC=AE+CD.OEA BCD3．如图，∠ABC+∠BCD=180°，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD. 求证：AB+CD=BC.EA BCD4．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，∠C=30°，BE ⊥AD 于点E. 求证：AC−AB=2BE . EABCD5．如图，Rt △ABC 中，AC=BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，CE ⊥AD 交AD 于F 点，交AB 于点E. 求证：AD=2DF+CE.FEABCD6．如图，五边形ABCDE 中，AB=AC ，BC+DE=CD ，∠B+∠E=180°. 求证：AD 平分∠CDE.EAF G HDEC B A 第04讲 手拉手模型模型 手拉手EADBCEADBCEDC BA图3图21图如图，△ABC 是等腰三角形、△ADE 是等腰三角形，AB=AC ，AD=AE ， ∠BAC=∠DAE= 。
结论：△BAD ≌△CAE 。
模型分析手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。
模型实例例1．如图，△ADC 与△EDC 都为等腰直角三角形，连接AG 、CE ，相交于点H ，问：（1）AG 与CE 是否相等？ （2）AG 与CE 之间的夹角为多少度？OH GABCD例2．如图，直线AB 的同一侧作△ABD 和△BCE 都为等边三角形，连接AE 、CD ，二者交点为H 。
求证： （1）△ABE ≌△DBC ； （2）AE=DC ；（3）∠DHA=60°； （4）△AGB ≌△DFB ； （5）△EGB ≌△CFB ； （6）连接GF ，GF ∥AC ；（7）连接HB ，HB 平分∠AHC 。