电子测量第二章 测量误差分析与数据处理(教学用)
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电子测量与技术第二章 误差处理
当
n
1 n ( x i x0 ) n i 1
确定性系差表达式
M ( X ) x0
结论：系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值 当系差为0，则有
M ( X ) x0
i xi M ( X )
i xi x0
2-24
2、随机误差的影响
i xi
2015-1-24
北京交通大学电气工程学院 姜学东
2-8
第二章 测量误差理论及数据处理
关于随机误差：
*在多次测量中，随机 误差相互抵消
随机误差的绝对值 绝对值相等的正负误差 不会超过一定的界限。 出现的机会相同
（a）、产生的原因 由影响微小、互不相关的多种因素造成。 例如：热骚动、噪声干扰，电磁场微变，空气 扰动，大地微震，测量人员感觉器官的各种无 规律的微小变化等。
第二章 测量误差理论及数据处理
2、n为有限次时
ˆ (X) M( X ) M
(X) ˆ(X)
（1）、有限次测量时平均值的数学期望和方差
对于一系列等精密度的测量，当测量系统、测量条 件和被测量不变，则具有相同的数学期望和标准偏差。
M[ x1 ] M[ x2 ] M[ xn ] M[ X ] [ x1 ] [ x2 ] [ xn ] [ X ]
xi i i
2015-1-24 北京交通大学电气工程学院 姜学东 2-25
第二章 测量误差理论及数据处理
举例：
打靶
2015-1-24
北京交通大学电气工程学院 姜学东
2-26
第二章 测量误差理论及数据处理
x0
(a)
(b)
(c)
电气与电子测量技术——测量误差及数据处理
2
5.9720 104 100% 100% 0.030% Ax 2 1.9888
21
2
测量误差的分类
根据测量误差的性质，测量误差可分为3类：
1 系统误差(Systematic Error) 2 随机误差( random error ) 3 粗大误差(Gloss Error)
20
【例】
某四位半数字电压表，量程为2V，工作误差为= 0.025%UX 1个字， 用该表测量时，读数分别为 0.0012V 和 1.9888V ，试求两种情况下的绝对 误差和相对误差。 解：四位半表 1 . 分辨率为0.0001V
9 9 9 9
1 (0.025% 0.0012 0.00011) 1.0030 104 V 1 1.0030 104 1 100% 100% 8.36% Ax1 0.0012 2 (0.025% 1.9888 0.00011) 5.9720 104V
0.25 0.2500 物理测量： 0.25 m 25.00 cm
15
一次测量最大误差的估计
当一个仪表的准确度等级α 选定后，用此表 测量某一被测量时，可能产生的最大绝对误差为：
xm xm a%
最大相对误差为：
rx
xm x m % x x
绝对误差的最大值与 该仪表的标称范围 （或量程）上限Am成 正比。
选定仪表后，被测量的值越接近于标 称范围（或量程）上限，测量的相对 误差越小，测量越准确。
26
随机误差和系统误差特性
系统误差越小，则测量值与实际值符合的程度越高。 随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在某一 常数（平均值）附近。 测量准确度高意味着系统误差和随机误差都小。
现代电子测量技术第二章测量误差与数据处理
测量误差有绝对误差和相对误差两种表示 方法。 1.绝对误差 xxA0 （1）定义：由测量所得到的被测量值与其真
值之差，称为绝对误差 x有大小，又有符号和量纲
实际应用中常用实际值A（高一级以上的测量仪器或计量器 具测量所得之值）来代替真值。
绝对误差： xxA
2020/1/20
解：用0.5级量程为0～400mA电流表测100mA时，
最大相对误差为x1
xms% 4000.5% 2% x 100
用1.5级量程为0～100mA电流表测量100mA时的最
大相对误差为
x2
xmS%1001.5%1.5% x 100
2020/1/20
10
2.2 测量误差的分类和测量结果的表征
一、 测量误差的分类
根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系统误 差、粗大误差三类。
• 1.随机误差 定义: 在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测 量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同 一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符 号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶 然误差，简称随差。
2020/1/20
2
2. 测量误差的来源
• （1）仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、制造、检 定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因 素而使仪器带有的误差。
• （2）影响误差：由于各种环境因素（温度、湿度、振动、 电源电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的 误差。
• （3）理论误差和方法误差：由于测量原理、近似公式、测 量方法不合理而造成的误差。
第2章 测量误差及数据处理
• 1.测量误差的基本概念 • 2.测量误差的分类和测量结果的表征 • 3.测量误差的估计和处理 • 4.测量数据处理
值之差，称为绝对误差 x有大小，又有符号和量纲
实际应用中常用实际值A（高一级以上的测量仪器或计量器 具测量所得之值）来代替真值。
绝对误差： xxA
2020/1/20
解：用0.5级量程为0～400mA电流表测100mA时，
最大相对误差为x1
xms% 4000.5% 2% x 100
用1.5级量程为0～100mA电流表测量100mA时的最
大相对误差为
x2
xmS%1001.5%1.5% x 100
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2.2 测量误差的分类和测量结果的表征
一、 测量误差的分类
根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系统误 差、粗大误差三类。
• 1.随机误差 定义: 在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测 量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同 一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符 号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶 然误差，简称随差。
2020/1/20
2
2. 测量误差的来源
• （1）仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、制造、检 定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因 素而使仪器带有的误差。
• （2）影响误差：由于各种环境因素（温度、湿度、振动、 电源电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的 误差。
• （3）理论误差和方法误差：由于测量原理、近似公式、测 量方法不合理而造成的误差。
第2章 测量误差及数据处理
• 1.测量误差的基本概念 • 2.测量误差的分类和测量结果的表征 • 3.测量误差的估计和处理 • 4.测量数据处理
第2章-测量误差分析及处理-习题-答案
电子测量技术第二章(一)填空题1、相对误差定义为测量值与真值的比值，通常用百分数表示。
2、绝对误差是指由测量所得到的真值与测量值之差。
3、测量误差就是测量结果与被测量____真值____的差别，通常可以分为__ 绝对误差_____和____相对误差___两种。
4、根据测量的性质和特点，可将测量误差分为随机误差、系统误差、粗大误差。
5、精密度用以表示随机误差的大小，准确度用以表示系统误差的大小，精确度用以表示系统误差与随机误差综合影响的大小。
6、可以用____系统误差_____来作为衡量测量是否正确的尺度，称为测量的准确度。
7、随机误差的大小，可以用测量值的___精密度___来衡量，其值越小，测量值越集中，测量的___密集度___越高。
8、误差的基本表示方法有_绝对误差_、_相对误差_和最大引用误差(满度误差)9、消弱系统误差的典型测量技术有零示法、替代法、补偿法、对照法、微差法和交叉读数法。
10、多次测量中随机误差具有___有界_____性、____对称____性和___抵偿_____性。
11、满度（引用）误差表示为绝对误差与满量程之比，是用量程满度值代替测量真值的相对误差。
12、测量仪器准确度等级一般分为7级，其中准确度最高的为_0.1_级，准确度最低的为_5.0_级。
13、1.5级100mA的电流表,引用相对误差为±1.5% ，在50mA点允许的最大绝对误差为___±1.5mA 。
14、为保证在测量80V电压时，误差≤±1%，应选用等于或优于0.5 级的100V量程的电压表。
15、___马利科夫_____判据是常用的判别累进性系差的方法。
16、____阿贝一赫梅特____判据是常用的判别周期性系差的方法。
三种，在工程上凡是要求计算测量结果的误差时，一般都要用__相对误差__。
17、对以下数据进行四舍五入处理，要求小数点后只保留2位。
4.850=__4.85__；200.4850000010=_____200.48___。
第2章 测量误差分析与数据处理(修改)
电子测量技术基础 第2章
２.1.３ 电子测量仪器的表示方法(续)
• 例:DS-33型交流数字电压表的误差标注:
– 工作误差（50Hz～1MHz， 10mV～1V） （±1.5%Ux± 0.5%Um） – 固有误差（1KHz， 1V） （±0.4%Ux±1个字） – 影响误差 温度影响误差（1KHz， 1V） ：10-4/℃ 频率影响误差（ 50Hz～1MHz ） ： （±0.5%Ux± 0.1%Um） – 稳定误差（-10 ～ +40℃，湿度≤80%，
环境温度 : 20o C ,2o C，相对湿度为 45% ~ 75% 交流电压： 220V ， 2% ，交流频率： 50Hz ， 1%等
电子测量技术基础 第2章
２.1.３ 电子测量仪器的表示方法(续)
• （3）影响误差 –影响误差是用来表明一个影响量对仪器测量 误差的影响。例如温度误差、频率误差。
– x 有误差，适用于误差较小及要求不太严格 的场合，多用于工程测量 – xm 是由仪器的准确度等级定出的，一般表示 仪器在测量范围内最大的绝对误差。
电子测量技术基础 第2章
２.1.４ 一次直接测量时最大误差的估计 二、相对误差
3、满度相对误差（引用误差）
m
xm xm
100%
– △xm仪器在量程范围内最大的绝对误差 – xm仪器的量程满度
• 当Ux=6V，
x
x m x 2.5% 30 S% m 100% 12.5% x x 6
可见：与量程接近的，误差较小
电子测量技术基础 第2章
２.1.４ 一次直接测量时最大误差的估计(续) • 例7:测10V电压，现有： ①150V，0.5级; ②
15V，2.5级，问哪个误差较小？
电子测量技术第二章测量误差分析与数据处理
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1.2测量误差的表示方法
实际相对误差：用实际值A代替真值A0
示值相对误差：用测量值X 代替实际值A
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1.2测量误差的表示方法
例子：
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1.2测量误差的表示方法
（2）分贝误差——相对误差的对数表示
测量方法不合理所造成，采用近似公式计算
• 4.人身误差
测量者本身分辨能力、视觉疲劳、固有习惯等
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.2.2按照误差的性质分类
• 1.系统误差
定义：在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测 量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改 变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1 测量误差的基本原理
• 测量的目的：获得被测量的真值。 • 真值: 在一定的时间和空间环境条件下，被测量本
身所具有的真实数值。 • 任何测量仪器的测得值都不可能完全准确的等于
被测量的真值 。 • 测量误差：在实际测量过程中，人们对于客观认
识的局限性，测量工具不准确，测量手段不完善， 受环境影响或测量工作中的疏忽等原因 ，都会使 测量结果与被测量的真值在数量上存在差异。
• 电工仪表就是按引用误差 之值进行分级的。是仪表在工 作条件下不应超过的最大引用相对误差。
• 我国电工仪表共分七级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5 及5.0。如果仪表为S级，则说明该仪表的最大引用误差不 超过S%。
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1.3电子测量仪器误差的表示方法
2.1.2测量误差的表示方法
实际相对误差：用实际值A代替真值A0
示值相对误差：用测量值X 代替实际值A
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1.2测量误差的表示方法
例子：
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1.2测量误差的表示方法
（2）分贝误差——相对误差的对数表示
测量方法不合理所造成，采用近似公式计算
• 4.人身误差
测量者本身分辨能力、视觉疲劳、固有习惯等
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.2.2按照误差的性质分类
• 1.系统误差
定义：在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测 量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改 变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1 测量误差的基本原理
• 测量的目的：获得被测量的真值。 • 真值: 在一定的时间和空间环境条件下，被测量本
身所具有的真实数值。 • 任何测量仪器的测得值都不可能完全准确的等于
被测量的真值 。 • 测量误差：在实际测量过程中，人们对于客观认
识的局限性，测量工具不准确，测量手段不完善， 受环境影响或测量工作中的疏忽等原因 ，都会使 测量结果与被测量的真值在数量上存在差异。
• 电工仪表就是按引用误差 之值进行分级的。是仪表在工 作条件下不应超过的最大引用相对误差。
• 我国电工仪表共分七级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5 及5.0。如果仪表为S级，则说明该仪表的最大引用误差不 超过S%。
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1.3电子测量仪器误差的表示方法
电子测量实用技术(PPT) 模块2 测量误差理论与测量数据处理_
模块2 测量误差理论与测量数据处理
模块2
模块提示：测量的目的就是要获得被测量的真值。真
值是利用理想的量具或测量仪器得到的无误差的测量结 果，它是一个理想的概念，但实际的测量中，误差总是 不可避免的。学习误差理论就是为了掌握测量中减小误 差、提高测量精度的方法，培养科学、严谨的工作态度 和工作作风。通过本模块的学习，同学们应重点掌握误 差的分析和处理办法。
电子测量实用技术
模块2 测量误差理论与测量数据处理
模块学习要点：
2.1 测量误差理论 2.2测量数据处理 模块总结与归纳
电子测量实用技术
模块2 测量误差理论与测量数据处理
2.1 测量误差理论
2.1.1 常用测量术语 1.真值A0 一个量值在一定条件下所呈现的客观大小或真实数
值称作真值。要想得到真值，必须利用理想的量具或 测量仪器进行无误差测量。由此可知，真值实际上是 无法测得的。
ACX
如某直流电压表技术说明书中给出修正值为+0.2V，当测 量某一电压时，读数为4.9V，则被测电压的实际值为：
U (4 .9 0 .2 )V 5 .1 V
电子测量实用技术
模块2 测量误差理论与测量数据处理
2. 实际应用中，相对误差有以下几种：
(1) 实际相对误差：它是用绝对误差ΔX与被测量的实际值 A的百分比值来表示的，即
2.标称值 测量器具上标定的数值称为标称值。由于制造和测 量精度不够以及环境等因素的影响，标称值并不一定 等于它的真值或实际值。
电子测量实用技术
模块2 测量误差理论与测量数据处理 3.示值 由测量仪器读
数装置所显示出的 被测量的量值称为 测量仪器的示值， 也称测量仪器的测 量值，它包括数值 和单位。
电子测量实用技术
模块2
模块提示：测量的目的就是要获得被测量的真值。真
值是利用理想的量具或测量仪器得到的无误差的测量结 果，它是一个理想的概念，但实际的测量中，误差总是 不可避免的。学习误差理论就是为了掌握测量中减小误 差、提高测量精度的方法，培养科学、严谨的工作态度 和工作作风。通过本模块的学习，同学们应重点掌握误 差的分析和处理办法。
电子测量实用技术
模块2 测量误差理论与测量数据处理
模块学习要点：
2.1 测量误差理论 2.2测量数据处理 模块总结与归纳
电子测量实用技术
模块2 测量误差理论与测量数据处理
2.1 测量误差理论
2.1.1 常用测量术语 1.真值A0 一个量值在一定条件下所呈现的客观大小或真实数
值称作真值。要想得到真值，必须利用理想的量具或 测量仪器进行无误差测量。由此可知，真值实际上是 无法测得的。
ACX
如某直流电压表技术说明书中给出修正值为+0.2V，当测 量某一电压时，读数为4.9V，则被测电压的实际值为：
U (4 .9 0 .2 )V 5 .1 V
电子测量实用技术
模块2 测量误差理论与测量数据处理
2. 实际应用中，相对误差有以下几种：
(1) 实际相对误差：它是用绝对误差ΔX与被测量的实际值 A的百分比值来表示的，即
2.标称值 测量器具上标定的数值称为标称值。由于制造和测 量精度不够以及环境等因素的影响，标称值并不一定 等于它的真值或实际值。
电子测量实用技术
模块2 测量误差理论与测量数据处理 3.示值 由测量仪器读
数装置所显示出的 被测量的量值称为 测量仪器的示值， 也称测量仪器的测 量值，它包括数值 和单位。
电子测量实用技术
测量误差理论与数据处理课件
则相对误差为
= ΔA／ A0 = –5 ／100= –5%
分贝误差为 [dB]= 20lg （ 1+ ） dB = 20lg （ 1 – 0.05 ） dB
= –0.446 dB
引用相对误差：又叫满度相对误差，即 n Δx／xm
常用电工仪表分为±0.1、 ±0.2、 ±0.5、 ±1.0、 ±1.5、 ±2.5、 ±5.0七级，分别表示它们的引用相对误 差所不超过的百分比。
[dB]= 20lg （ 1+ ） dB 同理，当A为功率传输函数时，有
[dB]= 10lg （ 1+ ） dB
[例1] 某单级放大器电压增益的真值A0为100，某次 测量时测得的电压增益A =95，求测量的相对误差和分贝 误差。
[解] 先求得增益的绝对误差为
ΔA = A–A0 =95 –100= –5
替事件发生的概率Pi （i=1~ m ）。这时，测量值X的数学期 望为
m
m
M（X）= Σ xiPi = Σ xi․ni／n (当n ∞ )
i=1
i=1
若每个测量值只得到一次，或者对每次测量结果单独统
计，认为n次测量得到n个测量值，而不考虑这些结果中有
无相同的情况。当测量次数n ∞ 时，用测量值出现的频
i = x i –（ x0 ） i = x i –M（X）
（当n ）
结论： 1. 对于同时存在随机误差和系统误差的测量数据，只要测
量次数足够多，各次测量绝对误差的算术平均值就等于测量的 系统误差。
2. 系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值。当不 存在系统误差时，测量值的数学期望就等于被测量的真值。
绝对误差：又叫作绝对真误差，可表示为： Δx=x–x0
= ΔA／ A0 = –5 ／100= –5%
分贝误差为 [dB]= 20lg （ 1+ ） dB = 20lg （ 1 – 0.05 ） dB
= –0.446 dB
引用相对误差：又叫满度相对误差，即 n Δx／xm
常用电工仪表分为±0.1、 ±0.2、 ±0.5、 ±1.0、 ±1.5、 ±2.5、 ±5.0七级，分别表示它们的引用相对误 差所不超过的百分比。
[dB]= 20lg （ 1+ ） dB 同理，当A为功率传输函数时，有
[dB]= 10lg （ 1+ ） dB
[例1] 某单级放大器电压增益的真值A0为100，某次 测量时测得的电压增益A =95，求测量的相对误差和分贝 误差。
[解] 先求得增益的绝对误差为
ΔA = A–A0 =95 –100= –5
替事件发生的概率Pi （i=1~ m ）。这时，测量值X的数学期 望为
m
m
M（X）= Σ xiPi = Σ xi․ni／n (当n ∞ )
i=1
i=1
若每个测量值只得到一次，或者对每次测量结果单独统
计，认为n次测量得到n个测量值，而不考虑这些结果中有
无相同的情况。当测量次数n ∞ 时，用测量值出现的频
i = x i –（ x0 ） i = x i –M（X）
（当n ）
结论： 1. 对于同时存在随机误差和系统误差的测量数据，只要测
量次数足够多，各次测量绝对误差的算术平均值就等于测量的 系统误差。
2. 系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值。当不 存在系统误差时，测量值的数学期望就等于被测量的真值。
绝对误差：又叫作绝对真误差，可表示为： Δx=x–x0
电子测量技术第2章测量误差和测量结果处理
6．测量误差
在实际测量中，由于测量器具不准确，测 量手段不完善，环境影响，测量操作不熟练及 工作疏忽等因素，都会导致测量结果与破测量
真值不同。测量仪器仪表的测得值与被测量真 值之间的差异，称为测量误差。测量误差的存
在具有必然性和普遍性，人们只能根据需要和 可能，将其限制在一定范围内而不可能完全加 以消除。人们进行测量的目的，通常是为了获 得尽可能接近真值的测量结果，如果测量误差 超出一定限度，测量工作及由测量结果所得出 的结论就失去了意义。
8．等精度测量和非等精度测量
在保持测量条件不变的情况下对同一 被测量进行的多次测量过程称作等精度测 量。这里所说的测量条件包括所有对测量
结果产生影响的客观和主观因素如测量中 使用的仪器、方法、测量环境，操作者的 操作步骤和细心程度等。等精度测量的测 量结果具有同样的可靠性。
如果在同一被测量的多次重复测量中，不 是所有测量条件都维持不变(比如，改变了测量
(2.1-3)
式中A为实际值，x为供给量的指示值(标称 值) 。如果没有特殊说明，本书涉及的绝对误差， 按式(2.1—2)定义计算。
与绝对误差绝对值相等但符号相反的值称
为修正值，一般用符号c表示
c x A x
有叙述。例如指定国家天文台保存的铯钟组 所产生的特定条件下铯—133原子基态的两 个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9192 631770个周期的持续时间为1s(秒)等。国际 间通过互相比对保持一定程度的一致。指定 值也叫约定真值，一般就用来代替真值。
3．实际值A
实际测量中，不可能都直接与国家基准相
4. 标称值
测量器具上标定的数值称为标称值。如
标准砝码上标出的1 kg，标准电阻上标出的 1Ω ，标准电池上标出来的电动势1 .018 6V， 标准信号发生器度盘上标出的输出正弦波的 频率100kHz等。由于制造和测量精度不够以 及环境等因素的影响，标称值并不一定等于 它的真值或实际值。为此，在标出测量器具 的标称值时，通常还要标出它的误差范围或 准确度等级。
电子测量第二章 测量误差分析与数据处理(教学用)
准确度。
HOME
【2.1.2】一台晶体管毫伏表的10mV挡，当用其进行测量时， 示值为8mV，在检定时8mV刻度处的修正值是-0.03mV，则被测 电压的实际值为
U = 8+(-0.03)=7.97(mV)
测量仪器应当定期送计量部门进行检定，其主要目的就是获 得准确的修正值，以保证量值传递的准确性。
减小测量环境误差的主要方法是改善测量条件，对各种 环境因素加以控制，使测量条件尽量符合仪器要求。
HOME
测量方法误差
指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等 原因所引起的误差 ，又称为理论误差。
如用钢卷尺测量大轴的圆周长s，再通过计算求出大 轴的直径d=s/π，因近似数π的取值不同，将会引起误差。
20 lg
Au (dB)
HOME
Gx
20 lg U0 Ui
20 lg
Au (dB)
式中，Au＝U0/Ui，是电压放大倍数的测得值。又因为
Au = A + ΔΑ
式中，A是放大倍数的实际值。则
Gx
20 lg U0 Ui
20 lg
Au
20 lg A A
仪器所
带附件和附
标准器件误差
仪器误差 附件误差 属工具所带
来的误差。
设计测量装 置时，由于 采用近似原 理所带来的 工作原理误 差
组成设备 的主要零 部件的制 造误差与 设备的装 配误差
设备出厂 读数分 时校准与 辨力有 定度所带 限而造 来的误差 成的读
数误差
数字式仪 元器件老
器所特有 化、磨损、
同理，利用修正值，应在仪器的检定有效期内，否则要重新 检定。
现代电子测量(二)
4.0
0.9999
测量误差的传递、合成与微小误差准则
➢测量误差的传递
间接测量中，研究各被测量的误差，即局部 误差（或称分项误差）与最后结果的总误差之间 的相互关系问题称之为误差传递。
测量误差的传递、合成与微小误差准则
➢误差传递的一般公式
设各直接测量的参数为x1、x2、…、xm，且彼 此独立，间接测量的参数与上述各参数之间的函 数关系为：
测量误差的传递、合成与微小误差准则
➢间接测量值y的最佳估值 设 y=f(x1,x2,…,xm) 则 ：
y f (x1, x2 , , xm )
式中： x，1 x2，…，xm 为各分量的算术平均值
y 为间接测量值的算术平均值（即最佳估值）
测量误差的传递、合成与微小误差准则
➢误差传递公式在基本运算（加、减、乘、除）中 的应用
➢ 系统误差--变值系差
✓ 累进性系差：在整个测量过程中，误差的数值 在逐渐地增大或减小。
✓ 周期性系差：在整个测量过程中周期性地改变 误差的大小及符号的系差。
误差分类及其性质和处理方法
➢ 系统误差--变值系差
✓ 按复杂规律变化的系差：误差的变化规律很复 杂，但在多次测量时具有重复性，可以通过曲 线、表格或经验公式等来表示的误差。
K
n
M i i
i 1
K
误差分类及其性质和处理方法
➢ 变值系差的检验——马利科夫检验准则 ✓ 如果M≈0,则可认为测量中不存在累进性变值系差；
✓ 如果M值与0相差很大，且 M i ，则存在累进性系差。
误差分类及其性质和处理方法
➢ 系统误差的削弱和消除 ✓ 引入修正值对测量结果进行修正，以消除系统误差； ✓ 在实验过程中尽量通过分析比较，找出产生系差的
电子测量技术(西电版)第2章 测量误差理论与数据处理
时， 分贝误差也为正值；反之亦然。
第2章 测量误差理论与数据处理
3. 满度相对误差(引用相对误差) 前面介绍的相对误差较好地反映了某次测量的准 确程度， 但是， 在连续刻度的仪表中， 用相对误差来 表示整个量程内仪表的准确程度就有些不便。 因为使 用这种仪表时， 在某一测量量程内， 被测量有不同的 数值， 若用式(2-5)计算相对误差， 随着被测量的不同， 式中的分母相应变化， 求得的相对误差也将随着改变。
第2章 测量误差理论与数据处理
例如测量两个电压量， 其中一个电压为V1=10 V， 其绝对误差ΔV1=0.1V；另一个电压为V2=1 V，其绝对误 差ΔV2=0.1 V。尽管两次测量的绝对误差皆为0.1 V， 但是 我们不能说两次测量的准确度是相同的， 显然， 前者测 量的准确度高于后者测量的准确度。 因此， 为了说明测 量的准确程度， 又提出了相对误差的概念。
第2章 测量误差理论与数据处理
在用式(2-5)求相对误差时， 用电表的量程作为分母，
从而引出了满度相对误差(引用相对误差)的概念。 实际中
常用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差Δxm与
该量程的满刻度值(该量程的上限值与下限值之差)xm之比来
表示，
γm=
△x m xm
×100%
(2-11)
第2章 测量误差理论与数据处理
第2章 测量误差理论与数据处理
【例2-2】 某电流表的量程为100 mA， 在量程 内用待定表和标准表测量几个电流的读数如表2-1所示。 试根据表中测量数据大致标定该仪表的准确度等级。
第2章 测量误差理论与数据处理
表2-1 例 2-2的电流表读数
△x m xm
第2章 测量误差理论与数据处理
电子测量技术第二章测量误差分析与数据处理
• 例子：
2.1.2测量误差的表示方法
（3）满度相对误差
用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量 程值（上限值－下限值）之比来表示的相对误差，称为满 度相对误差（或称引用相对误差）。
m
xm xm
100%
• 电工仪表就是按引用误差 之m 值进行分级的。是仪表在工 作条件下不应超过的最大引用相对误差。
身所具有的真实数值。 • 任何测量仪器的测得值都不可能完全准确的等于
被测量的真值 。 • 测量误差：在实际测量过程中，人们对于客观认
识的局限性，测量工具不准确，测量手段不完善， 受环境影响或测量工作中的疏忽等原因 ，都会使 测量结果与被测量的真值在数量上存在差异。
2.1.1 研究误差的目的
研究误差的目的： (1)正确认识误差的性质和来源，以减小测量误差。 (2)正确处理测量数据，以得到接近真值的结果。 (3)合理地制定测量方案，组织科学实验，正确选择
• 系统误差的定量定义：在重复性条件下，对同一 被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被 测量的真值之差。
Ex A0
2.2.2按照误差的性质分类
• 2.随机误差
• 定义: 在同一测量条件下多次重复测量同一量值时（等 精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可 预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差， 简称随差。
n i1
xi
当测量次数n→∞时，样本平均值的极限称为测量值的
数学期望。
E x
nlim
1 n
n i1 x i
2.3.1 测量值的数学期望与标准差
• 随机误差 • 系统误差
i xi Ex Ex A0
• 随机误差与系 统误差之和， 即绝对误差。
i xi Ex Ex A0 xi A0
2.1.2测量误差的表示方法
（3）满度相对误差
用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量 程值（上限值－下限值）之比来表示的相对误差，称为满 度相对误差（或称引用相对误差）。
m
xm xm
100%
• 电工仪表就是按引用误差 之m 值进行分级的。是仪表在工 作条件下不应超过的最大引用相对误差。
身所具有的真实数值。 • 任何测量仪器的测得值都不可能完全准确的等于
被测量的真值 。 • 测量误差：在实际测量过程中，人们对于客观认
识的局限性，测量工具不准确，测量手段不完善， 受环境影响或测量工作中的疏忽等原因 ，都会使 测量结果与被测量的真值在数量上存在差异。
2.1.1 研究误差的目的
研究误差的目的： (1)正确认识误差的性质和来源，以减小测量误差。 (2)正确处理测量数据，以得到接近真值的结果。 (3)合理地制定测量方案，组织科学实验，正确选择
• 系统误差的定量定义：在重复性条件下，对同一 被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被 测量的真值之差。
Ex A0
2.2.2按照误差的性质分类
• 2.随机误差
• 定义: 在同一测量条件下多次重复测量同一量值时（等 精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可 预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差， 简称随差。
n i1
xi
当测量次数n→∞时，样本平均值的极限称为测量值的
数学期望。
E x
nlim
1 n
n i1 x i
2.3.1 测量值的数学期望与标准差
• 随机误差 • 系统误差
i xi Ex Ex A0
• 随机误差与系 统误差之和， 即绝对误差。
i xi Ex Ex A0 xi A0
电子测量与智能仪器2-测量误差分析与数据处理
4
Δx=x-A
5
这是通常使用的表达式
修正值（校正值）
与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值称为修正值，用C表示 C=-Δx=A-x
在测量时，利用测得值与已知的修正值相加，即可算出被测量的实际值。 A=x+C
例2.1.2 一台晶体管毫伏表的10mV挡，当用其进行测量时，示值为8mV，在检定时8mV处的修正值是-0.03mV，则被测电压的实际值为 U=8+（-0.03）=7.97(mV)
当表示增益时 γdB=10lg(1+γp)dB
2.1.3 电子测量仪器误差的表示方法
工作误差 是在额定条件下测定的仪器误差极限。即来自仪器外部的各种影响量（例如温度、湿度、大气压力、供电电源等）和影响特性（仪器的一个工作特性的变化对另一个工作特性的影响，如低频信号发生器的频率变化对输出电压的影响）为任意可能的组合时，仪器的工作误差可能达到的最大极限值。 优点：对使用者非常方便，可以利用工作误差直 接估计测量结果误差的最大范围。 缺点：是在最不利的条件下给出的，而实际使用 中构成最不利组合的可能性很小。因此用 仪器的工作误差来估计测量结果的误差会 偏大。
02
附加误差
它是指由于仪器超出规定的正常工作条件时所增加的误差
在使用时，除考虑仪器本身的基本误差外，还要加上附加误差。
采用基本误差和附加误差的形式，对使用者来说，掌握各项误差的大小是有利的，但在估计仪器的总误差时要进行误差合成计算。
一次直接测量时最大误差的估计
这个关系可以用下图说明 设在只有基本误差的情况下，仪器仪表的最大绝对误差为 Δxm=±S%·xm Δxm与示值x的比值，即最大的示值相对误差
2010年3月
温州大学瓯江学院
电子测量与智能仪器2——测量误差分析与数据处理58页PPT
பைடு நூலகம்
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
电子测量与智能仪器2——测 量误差分析与数据处理
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
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真值
测得值
+
修正值
特点： 1) 与绝对误差大小近似相等，但方向相反。
2) 修正值本身还有误差。
在自动测量仪器中，可将修正值编成程序存储在仪器中，仪 器输出的是经过修正的测量结果。修正结果（correction result）是将测得值加上修正值后的测量结果，这样可提高测量 准确度。 HOME
【2.1.2】一台晶体管毫伏表的10mV挡，当用其进行测量时， 示值为8mV，在检定时8mV刻度处的修正值是-0.03mV，则被测 电压的实际值为 U = 8+(-0.03)=7.97(mV)
(b)
测量人员误差
测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与 心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。 为了减小测量人员误差，就要求测量人员要认真了解 测量仪器的特性和测量原理，熟练掌握测量规程，精心进 行测量操作，并正确处理测量结果。 HOME
三、测量误差的表示方法
表示形式
误差
性质特点
绝对 误差
第2章 测量误差分析与数据处理
第一节 测量误差的基本原理 第二节 测量误差的分类 第三节 随机误差的统计特性及其估算方法 第四节 系统误差的特征及其减小的方法 第五节 疏失误差及其判断准则 第六节 测量数据的处理 第七节 误差的合成与分配 第八节 测量不确定度 第九节 最佳测量条件的确定与测量方案的设计
标准器件误差
设计测量装 臵时，由于 采用近似原 理所带来的 工作原理误 差 组成设备 的主要零 部件的制 造误差与 设备的装 配误差
仪器误差
设备出厂 时校准与 定度所带 来的误差
附件误差
数字式仪 器所特有 的量化误 差
读数分 辨力有 限而造 成的读 数误差
元器件老 化、磨损、 疲劳所造 成的误差
HOME
HOME
I V
Rx
对于图(b)：
(a) I
V
R R Rx U RV // Rx I Rx V x I I RV Rx 1 Rx RV
Rx
Rx
U Rx RI I
对于图（a）当电压表内阻RV很大时可选a方案。 对于图（b）当电流表内阻RI很小时可用b方案。
【例2.1.4】 测量一个放大器，已知Ui=1.2mV, Uo=6000mV。 设Ui的误差忽略不计，而Uo的测量误差γu为〒3%时，求放大 倍数的绝对误差ΔΑ、相对误差γx及分贝误差γdB。
U o 6000 解：电压放大倍数 Au 5000 Ui 1.2
增益Biblioteka Gx 20 lg Au 20 lg 5000 74(dB)
可见，当仅考虑Uo有误差时，γx=γu=〒3%。所以分贝误 差为： γdB=20Lg(1+γx)=20Lg(1±3% ）= ±0.26dB 则测量的报告值可以写为： Gx 74 0.26dB
四、电子测量仪器误差的表示方法
误差，除了用于表示测量结果的准确程度以外，也是电子测 量仪器重要的质量指标。为了保证仪器示值的准确，必须在出厂 时由检验部门对其误差指标进行严格检验。
【例2.1.1】一个被测电压，其真值U0为100V，用一只电压表测 量，其指示值U为101V，则绝对误差
△U=U-U0=101-100=+1V
HOME
绝对误差
＝
测得值
－
真值
x＝x－A0
真值是一个理想的概念，一般情况下是无法准确得到的。因 此在实际应用中，通常用实际值来代替真值。
实际值就是满足规定准确度要求，用来代替真值使用的量值。 在实际测量中，常用高一等级或数级的计量标准所测得的量值 (约定真值)作为实际值。用A表示。
ΔU1 = 101-100=1
ΔU2 = 6-5=1
可以看出，两种情况下绝对误差相同，但其误差的影响是不 同的，前者比后者测量准确。为了表征这一特点，应当采用相对 误差。
（2）相对误差（Relative Error）： x 0 100% 绝对误差与被测量真值之比
A0
特点：
1） 相对误差有大小和符号。
【例2.1.3】测量两个电压，其实际值为U1=100V, U2=5V，而测 得值分别为101V和6V。则绝对误差为：
△U1=101-100=1V , △U2=6-5=1V
实际相对误差为：γA1=△U1/U1 〓100％=1% γA2=△U2/U2 〓100％=20%
HOME
由此可见，用相对误差可以恰当地表征测量的准确程度。
2） 无量纲，一般用百分数来表示。 HOME
（2）相对误差（Relative Error）： x 0 100% 绝对误差与被测量真值之比
A0
由于真值难以确切得到，通常用实际值Ａ代替真值A0来表示 相对误差，即实际相对误差，用γA表示
x x A A 100% 100% A A
HOME
在国际贸易中，对出口货物称重不准会造成很大的损失， 多了白白送给外商，少了则要赔款。
在日常生活中，也是如此。
因此，科学的进步，生产的发展是与测量理论、测量技术 与手段以及误差理论与数据处理技术的发展和进步相辅相成， 相互促进的。测量理论、测量技术与手段以及误差理论与数据 处理技术的水平在一定程度上也体现了一个国家科学技术的水 平。
HOME
测量装臵误差
以固定形式复现标准量值的 器具，如标准电阻、标准量块、 标准砝码等等，任何测量均需要 提供比较用的基准器件，他们本 身体现的量值，不可避免地存在 误差。
测量装置在制造过程中由于设计、 制造、装配、检定等的不完善，以及 在使用过程中，由于元器件的老化、 机械部件磨损和疲劳等因素而使设备 所产生的误差。 测量仪器所 带附件和附 属工具所带 来的误差。
在误差较小，要求不太严格的场合，作为一种近似计算，也 可以用测量值χ来代替实际值Ａ，这时的相对误差即是示值相对 误差，用γx表示。
x x 100% x
由于χ中含有误差，所以γx只适用于近似测量。对于一般 的工程测量，用γx来表示测量准确度比较方便。
分贝误差
用对数形式表示的误差称为分贝误差。常用于表示增益或 声强等传输函数的值。 设输出量与输入量（例如电压）测得值之比为U0／Ui，则 增益的分贝值： U0 Gx 20 lg 20 lg Au (dB) Ui HOME
式中， γA = ΔΑ/A 。所以
Gx G 20 lg 1 A (dB)
式中，G=20LgA，是增益的实际值；20Lg(1+γA) 是Gx的 误差项。 HOME
令分贝误差
γdB≈20Lg(1+ γA) ≈20Lg(1+ γx)
式中， γx = ΔΑ/Au 。 取γx ≈ γA。
“实际值”≈“约定真值”
这时绝对误差可表示为： ΔX=X-A 这是通常使用的表达式。
HOME
1． 绝对误差（Absolute Error）
（2）修正值（校正值） 与绝对误差的绝对值大小相等，但符号
相反的量值称为修正值，用C表示。 C = -ΔX = A-X 为了消除固定的系统误差用代数法而加到测量结果上的值。 将测得值加上修正值后可得近似的真值，即：
测量仪器应当定期送计量部门进行检定，其主要目的就是获 得准确的修正值，以保证量值传递的准确性。 同理，利用修正值，应在仪器的检定有效期内，否则要重新 检定。 绝对误差虽然可以说明测得值偏离实际值的程度，但不能说 明测量的准确程度。
HOME
【2.1.3】测量两个电压，其实际值为U1=100V，U2=5V；而测 得值分别为101V和6V。则绝对误差为
从根本上，消除或减小误差
HOME
②正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果 通过计算得到更接近真值的数据 ③正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法 根据目标确定最佳系统
测量误差分析与数据处理在科学实验和生产实践中占 有极其重要的地位，它是提高测量准确度，保证获取信息 可靠性的重要手段。 在科学研究中，测量准确度的提高和测量误差的深入 研究，往往是重大科学新发现的前导。
HOME
如英国物理学家瑞利（Rayleigh）在测定氮气的密度 时，发现从大气中分离出的氮的密度为1.2978g/L，而用化 学方法提取的氮的密度与此相差1/20000。分析结果证明， 空气中分离的氮含有其他成分。
雷塞姆发现了空气中的惰性气体——氦。
在工业生产中，测量准确度不仅对工程技术和工业产 品的质量起着监督和保证的作用，而且还是工程成败、产 品优劣的一项决定性因素。 如发射人造卫星的控制和遥测系统，测量最后一级运 载火箭的速度如有2/1000的相对误差，则卫星就会偏离预 定轨道100km，真可谓“失之毫厘，谬以千里”。
U0 Gx 20 lg 20 lg Au (dB) Ui
式中，Au＝U0/Ui，是电压放大倍数的测得值。又因为 Au = A + ΔΑ 式中，A是放大倍数的实际值。则
U0 Gx 20 lg 20 lg Au 20 lg A A Ui A A 20 lg A1 20 lg A 20 lg 1 A A 20 lg A 20 lg 1 A (dB)
HOME
测量方法误差
指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等 原因所引起的误差 ，又称为理论误差。
如用钢卷尺测量大轴的圆周长s，再通过计算求出大 轴的直径d=s/π，因近似数π的取值不同，将会引起误差。
如：被测电阻Rx，电压表的内阻为RV，电流表的内阻为RA
I V I
Rx
V
Rx
(a)
(b)
对于图(a)：
相对 误差
系统 误差
随机 误差
粗大 误差
1． 绝对误差（Absolute Error）
（1）定义
绝对误差
＝