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高二期末考试模拟试题(数学)

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2023-2024学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年辽宁省沈阳市高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．抛物线214y x =的焦点到准线的距离为（）A ．18B ．14C ．1D ．2【正确答案】D【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由214y x =⇒242x y p =⇒=，焦点到准线的距离是2p =，故选：D.2．下列式子错误的是（）A ．2577C =C B ．323544C =C +C C ．333553A =C A D ．4356A =4A 【正确答案】D【分析】根据排列和组合数的公式即可求出答案.【详解】对于A ，B ，由组合数公式：()1*1,,,,m n m m m m n n n n n C C C C C m n m n N --+==+≤∈知，2577C =C ，323544C =C +C ，所以A 、B 正确；对于C ，因为m m n nm mA C A =得m m n n m m A C A =，所以333553A =C A ，所以C 正确.对于D ，455432120A =⨯⨯⨯=，36654120A =创=，4356A 4A ≠，所以D 不正确.故选：D.3．圆()()22341x y -+-=与圆2236x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．内切C ．外切D ．相交【正确答案】B【分析】根据圆心距与21r r -的关系求得正确答案.【详解】圆()()22341x y -+-=的圆心为()3,4A ，半径11r =；圆2236x y +=的圆心为()0,0O ，半径26=r ，圆心距215OA r r ==-，所以两圆的位置关系是内切.故选：B4．已知二项式1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（）A ．405-B ．405C ．81-D ．81【正确答案】A【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.【详解】令1x =，可得所有项的系数之和为2325n n =⇔=，则11(5)(52)5522155(1)3C (1)3C r r r r rr rr rr r Txxx------+=-=-，由题意5312r-=，即1r =，所以展开式中含x 项的系数为4153C 405-=-．故选：A ．5．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A B C D 【正确答案】B【分析】过点1A 作111A D B C ⊥，证明1A D ⊥平面11BCC B ，根据线面角的定义确定1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，解三角形求其正弦值即可.【详解】过点1A 作111A D B C ⊥，连接CD ，由已知1CC ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，所以11A D CC ⊥，因为1111B C CC C = ，11B C ⊂平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以1A D ⊥平面11BCC B ，所以1A CD ∠为1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，因为1A D ⊥平面11BCC B ，CD ⊂平面11BCC B ，所以1A D CD ⊥，所以1A CD △为直角三角形，由已知111A B C 为等边三角形，且112A B AB ==，所以1A D =，在11Rt A C C 中，112CC AA ==，112AC =，所以1A C =，在1Rt ACD中，1A C =，1A D =，所以111sin A D A CD A C ∠===，所以1AC 与平面11BCC B故选：B.6．已知点A 是抛物线2y x =上的动点，焦点为F ，点(1,2)B ，则||+||AB AF 的最小值为（）A ．74B ．2C ．94D ．52【正确答案】C【分析】由抛物线的定义转化后，当三点共线时取得最小值.【详解】∵2y x =，则2x y =，∴焦点1(0,4F ，准线l 方程14y =-，点(1,2)B 在抛物线上方，设过A 作l 的垂线，垂足为E ，∴由抛物线的定义知，||||AF AE =，如图所示，∴||||||||||AB AF AB AE BE +=+≥，当且仅当B 、A 、E 三点共线时取等号，当B 、A 、E 三点共线时，19||244BE =+=，故||+||AB AF 的最小值为94，故选：C.7．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种【正确答案】D【详解】分两个步骤：先分配医生有336A =种方法，再分配护士有422364233390C C C A A =，由分步计数原理可得：422336423333690540C C C A A A ⨯=⨯=，应选答案：D ．本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平均分配的问题而忘记除以33A 而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意．8．设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得()220OP OF F P +=，其中O 为坐标原点，且122PF PF = ，则该双曲线的离心率为A ．3B 1CD 【正确答案】D【分析】由()220OP OF F P += ，得2OP OF =，取2PF 中点M ，可得12PF PF ⊥，利用双曲线的定义结合勾股定理解出该双曲线的离心率．【详解】由()220OP OF F P += ，得2OP OF =，取2PF 中点M ，则2OM PF ⊥，1//OM PF ，所以12PF PF ⊥，设2PF m =，则12PF m =，且122PF PF a m -==，因此222(4)(2)(2)a a c +=，解得ce a==故选：D ．二、多选题9．已知双曲线22:14x C y -=，则（）A ．双曲线CB ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为1C ．双曲线C 的渐近线方程12y x =±D ．双曲线C 左支上的点到右焦点的最短距离为4【正确答案】ABC【分析】根据双曲线的基本几何量运算即可.【详解】解：双曲线22:14x C y -=中，224,1a b ==，所以2225c a b =+=，则2,1,a b c ===所以双曲线C的离心率为c aA 正确；双曲线的焦点为()到渐近线12y x =±1=，故B 正确，C 正确；双曲线C 左支上的点P 到右焦点2F的距离为22PF c a ≥++2，故D 不正确.故选：ABC.10．已知点()0,2F 为圆锥曲线C 的焦点，则C 的方程可能为（）A ．28y x=B ．218x y=C ．()221044x y m m m+=<<-D ．()221044y x m m m -=<<-【正确答案】BC分别计算四个选项中圆锥曲线的焦点，即可得正确选项.【详解】对于选项A ：28y x =中，4p =，所以22p=，可得焦点坐标为()2,0，故选项A 不正确；对于选项B ：由218x y =可得28x y =，所以4p =，所以22p =，可得焦点坐标为()0,2，故选项B正确；对于选项C ：2214x y m m+=-，因为04m <<，所以40m -<，所以原方程可化为2214y x m m-=-表示焦点在y 轴上的双曲线，由2a m =，24b m =-，所以22244c a b m m =+=+-=，所以焦点坐标为()0,2±，所以()0,2F 为圆锥曲线()221044x y m m m+=<<-的焦点，故选项C 正确；对于选项D ：2214y x m m -=-中，因为04m <<，所以40m -<，原方程可化为：2214y x m m+=-，当4m m =-即2m =时，22122y x +=表示圆，没有焦点当4m m >-即m>2时，2214y x m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，2a m =，24b m =-，()222424c a b m m m =-=--=-，焦点为(0,，不符合题意，当4m m <-即02m <<时，2214y x m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，24a m =-，2b m =，()222442c a b m m m =-=--=-，焦点为()，不符合题意，故选项D 不正确；故选：BC.11．已知圆C 的方程为()()22114x y -+-=，直线l 的方程为20x my m +--=，下列选项正确的是（）A ．直线l 恒过定点()2,1B ．直线与圆相交C ．直线被圆所截最短弦长为D ．存在一个实数m ，使直线l 经过圆心C 【正确答案】ABC【分析】化简直线l 的方程为2(1)0x m y -+-=，结合方程组的解，可判定A 正确；求得圆心到定点()2,1的距离，得到点P 在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B 正确；根据圆的性质，得到当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C 正确；将圆心坐标代入直线l 的方程，可判定D 不正确.【详解】对于A 项：由直线l 的方程20x my m +--=，可化为2(1)0x m y -+-=，联立方程组2010x y -=⎧⎨-=⎩，解得2,1x y ==，即直线l 恒经过定点()2,1P ，所以A 正确；对于B 项：由圆C 的方程()()22114x y -+-=，可得圆心(1,1)C ，半径2r =，又由12PC r =<=，可得()2,1P 在圆内，所以直线与圆相交，所以B 正确；对于C 项：由1PC =，根据圆的性质，可得当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为==C 正确；对于D 项：将圆心(1,1)C 代入直线l 的方程20x my m +--=，可得1210m m +--=-≠，所以不存在一个实数m ，使得直线l 过圆心C ，所以D 不正确.故选：ABC.12．已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b .双曲线2C 和椭圆1C 焦点相同，且双曲线2C 的离心率为2e ，M 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，若123F MF π∠=，则下列说法正确的是（）A ．21e e =B ．1234e e =C ．22122e e +=D ．221232e e -=【正确答案】AC设双曲线的标准方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，由12PF F △的面积为2b ，可得b c =，可求得1e ，设12,MF m MF n ==，利用定义可得，12,2m n a m n a +=-=，则22221()()4m n m n mn a a +--==-，在12MF F △中，由余弦定理可得222242cos ()33c m n mn m n mn π=+-=+-，代入化简，利用离心率公式可求出2e 【详解】解：设双曲线的标准方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，因为椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b 。

2023-2024学年河南省平顶山市高二上学期期末考试数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年河南省平顶山市高二上学期期末考试数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年河南省平顶山市高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．直线50x +=的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线50x +=可化为33y x =--，则斜率tan 3k α==-，又倾斜角α，满足0180α≤<︒，所以倾斜角为150︒.故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（）A ．数列1，0，1-，2-与数列2-，1-，0，1是相同的数列B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【正确答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误；对于选项C ，当1n =时，120a =≠，故C 错误；对于选项D ，因为123a a ===4a =…，所以数列的一个通项公式为n a =D 正确.故选：D3．已知直线l 过点()3,4-且方向向量为()1,2-，则l 在x 轴上的截距为（）A ．1-B ．1C ．5-D ．5【正确答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率2k =-，然后利用点斜式可求得直线方程，再令0y =，即可得到本题答案.【详解】因为直线l 的方向向量为()1,2-，所以直线斜率2k =-，又直线l 过点()3,4-，所以直线方程为42(3)y x -=-+，即220x y ++=，令0y =，得=1x -，所以l 在x 轴上的截距为-1.故选：A4．已知m ∈R ，“直线1:0l mx y +=与22:910l x my m +--=平行”是“3m =±”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线1:0l mx y +=与22:910l x my m +--=平行则210=91m m m ≠--，所以29m =，解得3m =±，经检验，3m =±均符合题意，故选：C.5．已知等差数列{}n a 中，5a ，14a 是函数232()=--x x x f 的两个零点，则381116a a a a +++=（）A ．3B ．6C ．8D ．9【正确答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数232()=--x x x f 的两个零点，即方程2320x x --=的两根1x ，2x ，∴51412331a a x x -+=+=-=，∵数列{}n a 为等差数列，∴3168115143a a a a a a +=+=+=，∴3811166a a a a +++=.故选：B.6．已知圆221:230C x y x ++-=关于y 轴对称的圆2C 与直线x m =相切，则m 的值为（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【正确答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆2C 的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆221:230C x y x ++-=，可得标准方程22(1)4x y ++=，圆心为(1,0)-，半径2r =，故关于y 轴对称的圆2C 的圆心为(1,0)，半径2r =，则其标准方程为22(1)4x y -+=，又因为圆2C 与直线x m =相切，所以圆心到切线的距离等于半径，即12m -=，解得1m =-或3m =.故选：C7．已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且11a =-，则数列{}2n a n +的前5项和为（）A ．151-B ．91-C ．91D ．151【正确答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列{}n a 为等比数列，再使用分组求和法求解即可.【详解】∵数列{}n a 满足13n n a a +=，且11a =-，∴数列{}n a 是首项为1-，公比为3的等比数列，∴11133n n n a --=-⨯=-，∴数列{}2n a n +的前5项和为，()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+91=-.故选：B.8．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点()3,2-且与双曲线22132x y -=有相同焦点，则椭圆的离心率为（）A ．6B C D 【正确答案】C【分析】由题可得225a b -=，22941a b+=，联立方程可求得22,a b ，然后代入公式e =，即可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线22132x y -=有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为12(F F ，则2225c a b =-=①，又椭圆过点()3,2P -，所以22941a b +=②，结合①，②得，2215,10a b ==，所以3e =，故选：C9．已知圆221:2220C x y x y +-+-=与圆222:20(0)C x y mx m +-=>的公共弦长为2，则m 的值为（）A ．62B ．32C D ．3【正确答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解.【详解】联立222220x y x y +-+-=和2220x y mx +-=,得(1)10m x y -+-=，由题得两圆公共弦长2l =，圆221:2220C x y x y +-+-=的圆心为(1,1)-，半径r 2，圆心(1,1)-到直线(1)10m x y -+-===，平方后整理得,2230m -=，所以2=m 或m =（舍去）；故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，21++=+n n n a a a ，设其前n 项和为n S ，若2021S m =，则2023a =（）A ．1m -B ．mC ．1m +D ．2m【正确答案】C【分析】由斐波那契数列{}n a 满足12121,1,n n n a a a a a --===+，归纳可得21m m a S +=+，令2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列{}n a 满足12121,1,n n n a a a a a --===+，所以321a a a =+，432211a a a a a =+=++，5433211a a a a a a =+=+++，……21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ ，则2023202111a S m =+=+.故选：C11．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，13D D =，M ，N 分别是11B C ，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（）A ．304B 2305C ．302D ．3305【正确答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标，根据两点距离公式表示MP ，利用二次函数求值域，即可得到本题答案.【详解】以点D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，13D D =，所以(1,2,3)M ，∵点P 在xOy 平面上，∴设点P 的坐标为()[],,0,0,1x y y ∈，∵P 在DN 上运动，∴2AD x y AN==，∴2x y =，∴点P 的坐标为(2,,0)y y ，∴()()()22222454122305814555MP y y y y y ⎛⎫=-+-+-=-+=-+ ⎪⎝⎭∵[]0,1y ∈，∴当45y =时，MP 3305故选：D12．已知双曲线C ：2221(0)y x b b-=>l 与C 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为()1,2N ，则直线l 的斜率为（）A ．1-B ．1C D ．2【正确答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线l 的斜率.【详解】因为双曲线的标准方程为2221(0)y x b b-=>，所以它的一个焦点为(,0)c ，一条渐近线方程为0bx y -=，所以焦点到渐近线的距离d =，化简得2222(1)b c b =+，解得22b =，所以双曲线的标准方程为2212y x -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以221112y x -=①，222212y x -=②，①-②得，222212121())02x x y y ---=，化简得121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=③，因为线段AB 的中点为()1,2N ，所以12122,4x x y y +=+=，代入③，整理得1212x x y y -=-，显然1212,x x y y ≠≠，所以直线l 的斜率12121y y k x x -==-.故选：B 二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________.【正确答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量AB 与AC 共线，即ABk AC = ，(3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，124348x y -+==-，解得12x =-，4y =-，∴2xy =．空间三点共线．14．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，直线2x =与抛物线交于点M ，且2MF =，则p =_______.【正确答案】2【分析】先求点M 的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得p 的值.【详解】把2x =代入抛物线标准方程22(0)x py p =>，得2(2,)M p，根据抛物线的定义有，222p MF MH p==+=，化简得，244p p +=，解得2p =.故215．已知点(1,1)--P ，点M 为圆22:1C x y +=上的任意一点，点N 在直线OP 上，其中O 为坐标原点，若|||MP MN =恒成立，则点N 的坐标为______.【正确答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设N 和M的坐标，由|||MP MN =，列等式，利用点M 在圆上，点N 在直线OP 上，化简得恒成立的条件，求得点N 的坐标.【详解】易知直线OP 的方程为0x y -=，由题意可设00(,)N x x ，设(,)M x y ''，则可得221x y ''+=，由||||MP MN =，可得22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++，则2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦，化简得200(24)()41x x y x ''++=-，即[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=，若|||MP MN =恒成立，则0120x +=，解得012x =-，故11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，其中2F 与抛物线28y x =的焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若122PF PF -=，且1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为_______.【正确答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出12PF PF ⋅的值，然后代入三角形的面积公式1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠ ，即可得到本题答案.【详解】由双曲线右焦点2F 与抛物线28y x =的焦点重合，可得2(2,0)F ，所以124F F =，设1122,PF r PF r ==，则122r r -=，因为22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，所以22121212162r r r r +-⨯=，则21212()16r r r r -+=，解得1212r r =，所以，12121sin 602F PF S r r =︒=.故三、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，且点111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭在直线2y x =+上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)121n a n =-(2)21n n +【分析】（1）先求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，从而可得到数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）中数列{}n a 的通项公式，可写出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项相消的方法即可求得前n 项和n T .【详解】（1）由题意得1112n na a +=+，即1112n n a a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为2的等差数列，故1112(1)21n n n a a =+-=-，即121n a n =-.（2）由（1）知11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- -+-+⎝⎭，所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+.18．已知ABC 的顶点坐标分别是()3,0A ，()1,2B ，()1,0C -.(1)求ABC 外接圆的方程；(2)若直线l ：3480x y +-=与ABC 的外接圆相交于M ，N 两点，求MCN ∠.【正确答案】(1)22(1)4x y -+=(2)60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点,,A B C ，求出方程组的解，即可得到本题答案；（2）先求出圆心到直线MN 的距离，即可得到30PMN ∠=︒，然后求出MPN ∠，即可得到本题答案.【详解】（1）设圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=，22(40)D E F +->，代入点(3,0),(1,2),(1,0)A B C -得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩，解得203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以圆的一般方程为：22230x y x +--=，标准方程为.22(1)4x y -+=（2）圆心(1,0)P 到直线:3480l x y +-=的距离1d ==，又因为2PM =，在等腰PMN 中，30PMN ∠=︒，所以圆心角260120MPN ∠=⨯︒=︒，则60MCN ∠=︒.19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，且1AB AP BC ===，2AD =.(1)求证：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为PC 的中点，求PD 与平面AED 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)1010【分析】（1）先证AC CD ⊥，PA CD ⊥，由此即可证得CD ⊥平面PAC ；（2）建立空间直角坐标系，求出(0,2,1)PD =- ,平面AED 的一个法向量为()1,0,1n =- ，然后利用公式sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ ，即可求得本题答案.【详解】（1）作CF AD ⊥，垂足为F ，易证，四边形ABCF 为正方形.所以1CF AF DF ===，222CD CF DF =+又222AC AB BC =+=因为222AC CD AD +=，所以AC CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥.又AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC .（2）以点A 为坐标原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.则(0,2,0)AD = ，(0,2,1)PD =- ，111(,,)222AE = .设平面AED 的法向量为(),,n x y z = ，由00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，令1z =，可得平面AED 的一个法向量为()1,0,1n =- .设PD 与平面AED 所成角为θ，则110sin cos ,1025n PD n PD n PDθ⋅-===⨯⋅ .20．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，过C 上一点P 向抛物线的准线作垂线，垂足为Q ，PQF △是面积为43.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()1,0M -作直线l 交C 于A ，B 两点，记直线FA ，FB 的斜率分别为1k ，2k ，证明.120k k +=【正确答案】(1)24y x=(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边QF 的长，再求出Rt FQN 中FN 的长，即可求出p 的值，从而求出抛物线的标准方程；（2）设过M 的直线方程，与抛物线方程联立，借助A ，B 坐标表示12k k +，化简证明即可.【详解】（1）如图所示，PQF △的面积21sin 602PQF S PQ PF =︒== ∴4PF PQ QF ===，设准线与x 轴交于点N ，则在Rt FQN 中，906030FQN ∠=︒-︒=︒，∴122p FN QF ===，∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题意知，过点()1,0M -的直线l 的斜率存在且不为0，∴设直线l 的方程为l ：()1y k x =+（0k ≠），直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，得2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，消去y 整理得，()2222240k x k x k +-+=，当()2242440k k ∆=-->，即()()1,00,1k ∈-⋃时，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224k x x k=-+-，121=x x ，由第（1）问知，()1,0F ，∴直线FA 的斜率1111y k x =-，直线FB 的斜率2221y k x =-，∴()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+.∴原命题得证.21．已知数列{}n a 满足12n n a a +=，且12314++=a a a .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2n n b n a =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的n *∈N ，不等式()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【正确答案】(1)2nn a =(2)3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由12n n a a +=，可得数列{}n a 为等比数列，公比2q =，代入到12314++=a a a ，算出1a ，即可得到本题答案；（2）根据错位相减的方法求得n T ，然后将不等式()2224844n n T n n λ++-≥-，逐步等价转化为2112n n λ-≥，再利用单调性求出2112n nn c -=的最大值，即可得到本题答案.【详解】（1）因为12n n a a +=，所以{}n a 是公比为2的等比数列，所以1231112414a a a a a a ++=++=，故12a =，故2n n a =.（2）1222n n n b n n +=⋅=⋅，则23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ，所以()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= ，两式相减得，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- ，因此2(1)24n n T n +=-⋅+.由()2224844n n T n n λ++-≥-，可得222844n n n n λ+⋅≥-，所以2112nn λ-≥，该式对任意的n *∈N 恒成立，则max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.令2112n n n c -=，则()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=，当6n ≤时，10n n c c +->，即数列{}n c 递增，当7n ≥时，10n n c c +-<，即数列{}n c 递减，所以当7n =时，()max 3128n c =，所以实数λ的取值范围是3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22．已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点()1,1Q -的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且,AB CD 共线，求直线AB 的斜率.【正确答案】(1)22193x y +=(2)13【分析】（1）由短轴长可求出23b =可求出29a =，由此即可求得本题答案；（2）设点()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为,AB CD 共线，可设,AQ QC BQ QD λλ== ，可得13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩，24241(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案.【详解】（1）因为短轴长为b =23b =，因为离心率e 2222213c b a a =-=，所以2213b a =，可得29a =，所以椭圆M 的方程为22193x y +=.（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y .设AQ QC λ= ，则13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩，即13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩，代入椭圆方程，得()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=，即()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭①同理可得()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭②由②-①，得11229393x y x y -=-，所以()12123y y x x -=-，所以直线AB 的斜率121213y y k x x -==-.思路点睛：把,AB CD 共线这个条件，转化为,AQ QC BQ QD λλ== ，是解决此题的关键.。

湖南省2023年高二数学第二学期期末模拟考试卷(共八套)

湖南省2023年高二数学第二学期期末模拟考试卷(共八套)

湖南省2023年高二数学第二学期期末模拟考试卷(共八套)一、选择题（共50分）1. 一根木棒长为20cm，在一支点灯的蜡烛上刻下四个等分点，然后点燃蜡烛。

若蜡烛燃烧速度为每分钟1cm，当蜡烛燃烧完时，距离木棒的哪个等分点最近？A. 第一个等分点B. 第二个等分点C. 第三个等分点D. 第四个等分点2. 某公司打算发行一种投资理财产品，该产品预期每年收益率为8%，若现在投资元，则5年后可获得多少钱？A. 元B. 元C. 元D. 元3. 若函数f(x)满足f(2) = 1，且f'(x) = x^2 - 3x + 2，求函数f(x)在区间[2, 4]内的平均值。

A. 1B. 2C. 3D. 4...二、填空题（共30分）1. 若直线kx - y = 2与2x - ky + 3 = 0互相垂直，则k的值为\_\_\_\_\_\_。

2. 设M是集合{1, 2, 3, 4}的非空子集，则M的个数为\_\_\_\_\_\_。

3. 已知函数f(x)的导函数f'(x)=3x^2+2，若f(x)过点(1,4)，则f(x)=\_\_\_\_\_\_。

...三、解答题（共20分）1. 求方程2x^2 - 3x + 1 = 0的两个根。

2. 设函数f(x)满足f'(x) = 2x，且f(1) = 3，求f(x)的解析式。

...四、综合题（共50分）1. 设函数f(x) = ax + b，其中a>0，给定两个已知点A(2, 3)和B(5, 7)，求函数f(x)的解析式。

2. 已知三角形ABC中，∠ABC = 90°，AB = 3，BC = 4，则AC的长度为多少？...以上是湖南省2023年高二数学第二学期期末模拟考试卷的部分内容。

根据需要，可以选择适当数量的题目进行考试。

祝您顺利！。

2022-2023学年武汉市高二上期末考试数学模拟试卷附答案解析

2022-2023学年武汉市高二上期末考试数学模拟试卷附答案解析

2022-2023学年武汉市高二上期末考试数学模拟试卷一．选择题（共12小题）1．（2020秋•武昌区校级期末）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.6 2．（2012•湖南一模）“m＞3”是“方程﹣＝1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．（2019秋•武汉期末）抛物线y＝ax2（其中a＞0）的焦点坐标是（）A．B．C．D．4．（2019秋•武汉期末）“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始，从左向右读数，则依次选出来的第3个红色球的编号为（）49544354821737932378873520964384263491645724550688770474476721763350258392120676A．21B．32C．09D．20 5．（2019秋•武汉期末）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则以下四种说法中正确的个数为（）①甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数②甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差④甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差A．1B．2C．3D．4 6．（2019秋•芜湖期末）已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，有如下命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α⊥β，l⊥β，则l⊂α．其中正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．3 7．（2020秋•武汉期末）在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面PAE8．（2019秋•武汉期末）“m＝1”是“直线l1：mx+y﹣1＝0和直线l2：x+my+6＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（2019秋•武昌区校级期末）已知两个随机变量x，y的取值如表，若x，y呈线性相关，且得到的线性回归方程，则（）x3456y 2.534 4.5A．，B．，C．，D．，10．（2019秋•江岸区校级期末）已知；a，b表示不同的直线，α，β表示不同的平面，现有下列命题：①⇒b∥α，②⇒a⊥b，③⇒a⊥α，④⇒α∥β，其中真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．（2019秋•武汉期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到棱A1B1和棱BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A．抛物线弧B．椭圆弧C．圆弧D．线段12．（2019秋•武昌区校级期末）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限与第四象限的交点分别为M、N，若△MNF1的面积为（其中），则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．y＝±3x二．填空题（共4小题）13．（2020秋•武汉期末）我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有人．14．（2020秋•武昌区校级期末）若A，B互为对立事件，其概率分别为P（A）＝，P（B）＝，且x＞0，y＞0，则x+y的最小值为．15．（2019秋•江岸区校级期末）在二项式的展开式中，当且仅当第6项的二项式系数最大，则n＝．16．（2020秋•武昌区校级期末）椭圆C：＝1的右焦点为F2，点P为椭圆上的动点，点Q为圆C：x2+（y﹣4）2＝1上的动点，则|PQ|+|PF2|的最大值为．三．解答题（共6小题）17．（2020•河南模拟）某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．（1）求图中x的值；（2）求这组数据的中位数；（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．18．（2020秋•武汉期末）有编号为1，2，3的三个小球和编号为1，2，3的三个盒子，将三个小球逐个随机的放入三个盒子中，每个盒子放一个球，每只小球的放置是相互独立的．（1）共有多少种不同的放法？请列举出来；（2）求盒中放置的球的编号与所在盒的编号均不相同的概率．19．（2020秋•武昌区校级期末）大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y 之间的一组数据如表所示：月份i789101112销售单价x i（元）99.51010.5118.5销售量y i（件）111086514（1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过2元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润＝销售收入﹣成本）．参考公式：回归直线方程，其中＝，参考数据：，．20．（2020秋•武昌区校级期末）如图，已知椭圆C的离心率为，点A，B，F分别为椭＝1﹣．圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y＝kx+m与圆O：x2+y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．21．（2020秋•武汉期末）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，E是PC上的一点，PE＝2EC，PC⊥平面BED，PA＝2，（1）求AC的长；（2）若平面APB⊥平面CPB，试求PB与平面PDC所成角的正弦值．22．（2020秋•武汉期末）过抛物线C：y2＝2px上一点P（1，2）作两条不同直线l1，l2，且直线l1，l2与抛物线C的另外一个交点分别为A，B．（1）若直线l1，l2的倾斜角互补，求证：直线AB的斜率为定值；（2）若直线l1⊥l2，且点P在直线AB上的射影为D，问：是否存在定点Q，使得|QD|为定值？若存在，试求出Q点坐标及|QD|；若不存在，请说明理由．2022-2023学年武汉市高二上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2020秋•武昌区校级期末）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.6【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【分析】基本事件总数n＝＝10，这两个数都是奇数包含的基本事件个数m＝＝3，由此能求出这两个数都是奇数的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，基本事件总数n＝＝10，这两个数都是奇数包含的基本事件个数m＝＝3，∴这两个数都是奇数的概率是P＝＝＝0.3．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（2012•湖南一模）“m＞3”是“方程﹣＝1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；双曲线的标准方程．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性，从而得到答案．【解答】解：m＞3能推出方程﹣＝1表示双曲线，是充分条件，方程﹣＝1表示双曲线推不出m＞3，不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了飞必要条件，考查了双曲线的定义，是一道基础题．3．（2019秋•武汉期末）抛物线y＝ax2（其中a＞0）的焦点坐标是（）A．B．C．D．【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标．【解答】解：整理抛物线方程得x2＝y，p＝∴焦点坐标为故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质．属基础题．4．（2019秋•武汉期末）“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始，从左向右读数，则依次选出来的第3个红色球的编号为（）49544354821737932378873520964384263491645724550688770474476721763350258392120676A．21B．32C．09D．20【考点】简单随机抽样．【专题】数形结合；定义法；概率与统计；数据分析．【分析】根据随机数表法，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：从随机数表第1行的第6列的数字3开始，按两位数连续向右读编号小于等于33的号码依次为21，32，09，16，17，02；所以第3个红球的编号为09．故选：C．【点评】本题主要考查了简单随机抽样的应用问题，正确理解随机数法是解题的关键．5．（2019秋•武汉期末）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则以下四种说法中正确的个数为（）①甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数②甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差④甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差A．1B．2C．3D．4【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；概率与统计；数据分析．【分析】利用平均数、中位数、方差、频率分布条形图的性质直接求解．【解答】解：在①中，，故甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数，故①正确；在②中，甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数，故②正确；在③中，甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为，故甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故③正确；在④中，甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差等于4，故甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差，故④正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查频率分布条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（2019秋•芜湖期末）已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，有如下命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α⊥β，l⊥β，则l⊂α．其中正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】由面面平行得①错误，由线面平行的性质定理可得②正确，由空间线面关系得③错误，得解．【解答】解：对于①，若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；①错误，还需l∩m＝A，故①正确，对于②，若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，由线面平行的性质定理得：l∥m；故②正确，对于③，若α⊥β，l⊥β，则l⊂α或l∥α，故③错误，即正确的命题个数为1，故选：B．【点评】本题考查了线面平行，线线平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的判定定理及性质定理，属中档题．7．（2020秋•武汉期末）在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面PAE【考点】棱锥的结构特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】由DF∥BC，能证明BC∥平面PDF；由已知推导出AE⊥BC，PE⊥BC，从而BC⊥平面PAE，进而DF⊥平面PAE；由已知得平面PAE⊥平面ABC，从而平面PDE与平面ABC不垂直；由DF⊥平面PAE，推导出平面PDF⊥平面PAE．【解答】解：∵在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确；∵AB＝AB＝PB＝PC，E是BC中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，∵AE∩PE＝E，∴BC⊥平面PAE，∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正确；∵DF⊥平面PAE，DF⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，∵平面PAE∩平面PDE＝PE，且PE与平面ABC不垂直，∴平面PDE与平面ABC不垂直，故C错误；∵DF⊥平面PAE，且DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAE，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．（2019秋•武汉期末）“m＝1”是“直线l1：mx+y﹣1＝0和直线l2：x+my+6＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件．【专题】计算题；简易逻辑；逻辑推理．【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：若“m＝1”则“直线l1：x+y﹣1＝0，直线l2：x+y+6＝0”其斜率相等，截距不等，两直线平行．故“m＝1”能推出“直线l1：mx+y﹣1＝0和直线l2：x+my+6＝0平行”；若“直线l1：mx+y﹣1＝0和直线l2：x+my+6＝0平行”讨论直线的斜率存在情况，则：当直线一条斜率不存在时m＝0，两直线垂直，不符合条件两直线平行，舍去；当直线斜率存在时：﹣m＝﹣；解得：m＝±1，故“直线l1：mx+y﹣1＝0和直线l2：x+my+6＝0平行”不能推出：m＝1；由充要条件地可得：“m＝1”是“直线l1：mx+y﹣1＝0和直线l2：x+my+6＝0平行”的充分不必要条件；故选：A．【点评】本题考查了充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力属于中档题．9．（2019秋•武昌区校级期末）已知两个随机变量x，y的取值如表，若x，y呈线性相关，且得到的线性回归方程，则（）x3456y 2.534 4.5A．，B．，C．，D．，【考点】线性回归方程．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；概率与统计；数学运算．【分析】由图表直接得到＞0，再求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可得答案．【解答】解：由y随着x的增大而增大，可得＞0，又，，∴．故选：D．【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．10．（2019秋•江岸区校级期末）已知；a，b表示不同的直线，α，β表示不同的平面，现有下列命题：①⇒b∥α，②⇒a⊥b，③⇒a⊥α，④⇒α∥β，其中真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】利用线面平行，垂直的性质对选择支逐个判断，即可得出结论．【解答】解：①若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，故①不正确；②设经过b的平面与α交于c，则b∥c，∵a⊥α，∴a⊥c，∵b∥c，∴a⊥b，故②正确；③∵a⊥b，α∥β，∴不能得出a⊥α，故③不正确；④若a∥α，α∥β，则a∥β或a⊂β，故④不正确．故选：B．【点评】本题考查线面平行，垂直的性质，解题的关键是在推导这种线面位置关系的问题时，注意容易忽略的细节问题．11．（2019秋•武汉期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到棱A1B1和棱BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A．抛物线弧B．椭圆弧C．圆弧D．线段【考点】轨迹方程．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理．【分析】点P到BC的距离就是当P点到B的距离，它等于到直线A1B1的距离，满足抛物线的定义，推断出P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的抛物线的一部分．从而得出正确选项．【解答】解：依题意可知点P到BC的距离就是当P点B的距离，P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的抛物线的一部分．故选：A．【点评】本题是基础题，考查抛物线的定义和观察分析的能力，数形结合的思想的运用，考查计算能力，转化思想．12．（2019秋•武昌区校级期末）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限与第四象限的交点分别为M、N，若△MNF1的面积为（其中），则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．y＝±3x【考点】双曲线的性质．【专题】综合题；方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】本题运用根据圆和双曲线的对称性可画出图象，然后结合图象可将△MNF1的转化为△OMF1和△ONF1两个三角形的面积来计算，再通过联立圆与双曲线的方程计算出y M的值，根据△MNF1的面积为可计算出的值，即可求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：由题意，可得圆的方程为x2+y2＝c2．根据圆和双曲线的对称性，可画出图象如下：结合题意及图象，可知MN经过原点，且关于原点对称．设M（x M，y M），N（x N，y N），联立，消去x，解得y M＝．∴＝+＝•|OF1|•y M+•|OF1|•|y N|＝|OF1|•y M＝c•＝b2．根据题意，b2＝＝（a2+b2），可得＝，即＝．∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的基础知识，直线与双曲线的综合问题，考查了转化思想，方程思想的应用，逻辑思维能力和数学运算能力，本题属中档题．二．填空题（共4小题）13．（2020秋•武汉期末）我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有8100人．【考点】分层抽样方法．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【分析】根据分层抽样时抽取的比例相等，列方程求出结果．【解答】解：设北乡共有x人，根据分层抽样原理知＝，解得x＝8100．故答案为：8100．【点评】本题考查了分层抽样原理的应用问题，是基础题．14．（2020秋•武昌区校级期末）若A，B互为对立事件，其概率分别为P（A）＝，P（B）＝，且x＞0，y＞0，则x+y的最小值为9．【考点】基本不等式及其应用；互斥事件与对立事件．【专题】计算题；转化思想；定义法；不等式．【分析】由题意可知+＝1，则x+y＝（x+y）（+）＝5++，根据基本不等式即可求出最小值．【解答】解：A，B互为对立事件，其概率分别为P（A）＝，P（B）＝，且x＞0，y ＞0，∴P（A）+P（B）＝+＝1，∴x+y＝（x+y）（+）＝5++≥5+2＝9．当且仅当＝，即x＝2y时等号成立∴x+y的最小值为9．故答案为：9．【点评】本题考查两数和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件及基本不等式性质的合理运用．15．（2019秋•江岸区校级期末）在二项式的展开式中，当且仅当第6项的二项式系数最大，则n＝10．【考点】二项式定理．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数据分析．【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得n的值．【解答】解：∵在二项式的展开式中，当且仅当第6项的二项式系数最大，即最大，则n＝10，故答案为：10．【点评】本题主要考查二项式系数的性质，属于基础题．16．（2020秋•武昌区校级期末）椭圆C：＝1的右焦点为F2，点P为椭圆上的动点，点Q为圆C：x2+（y﹣4）2＝1上的动点，则|PQ|+|PF2|的最大值为7．【考点】椭圆的性质．【专题】数形结合；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】椭圆C：＝1，可得c＝，可得焦点．|PQ|+|PF2|＝|PC|+1+6﹣|PF1|≤|CF1|+7，即可得出．【解答】解：椭圆C：＝1，可得c＝，可得焦点．|PQ|+|PF2|＝|PC|+1+6﹣|PF1|≤|CF1|+7＝+7＝7+．故答案为：7+．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、圆的标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（共6小题）17．（2020•河南模拟）某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．（1）求图中x的值；（2）求这组数据的中位数；（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；数形结合；分析法；概率与统计．【分析】（1）由面积和为1，可解得x的值；（2）由中位数两侧的面积相等，可解得中位数；（3）列出所有基本事件共10个，其中符合条件的共4个，从而可以解出所求概率．【解答】解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10＝1，解得x＝0.02．（2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m﹣70）×0.03＝0.5，解得m＝75．（3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数为4个，利用古典概型概率公式可知P（A）＝0.4．【点评】本题主要考查频率分布直方图，中位数和古典概型，属于基础题．18．（2020秋•武汉期末）有编号为1，2，3的三个小球和编号为1，2，3的三个盒子，将三个小球逐个随机的放入三个盒子中，每个盒子放一个球，每只小球的放置是相互独立的．（1）共有多少种不同的放法？请列举出来；（2）求盒中放置的球的编号与所在盒的编号均不相同的概率．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．【分析】（1）按盒子号1，2，3的顺序放入小球的情况列出结果，即可得到有多少种不同的放法．（2）设所求事件为A，则A包含有2，3，1；3，1，2两个基本事件然后求解概率．【解答】解：（1）共有六种不同的放法，按盒子号1，2，3的顺序放入小球的情况为：1，2，3；1，3，2；2，3，1；2，1，3；3，1，2；3，2，1；（2）设所求事件为A，则A包含有2，3，1；3，1，2两个基本事件并且每个基本事件等可能，故．【点评】本题考查古典概型概率的求法，排列组合的应用，是基础题．19．（2020秋•武昌区校级期末）大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y 之间的一组数据如表所示：月份i789101112销售单价x i（元）99.51010.5118.5销售量y i（件）111086514（1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过2元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润＝销售收入﹣成本）．参考公式：回归直线方程，其中＝，参考数据：，．【考点】线性回归方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；概率与统计；数据分析．【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求；（2）在（1）中求得的回归方程中，取x＝8.5求得y值，再比较与2的大小得结论；（3）写出销售利润关于x的函数解析式，利用配方法求最值．【解答】解：（1）∵，，∴，则，于是y关于x的回归直线方程为；（2）当x＝8.5时，，则，故可以认为所得到的回归直线方程是理想的；（3）令销售利润为W，则W＝（x﹣2.5）（﹣3.2x+40）＝﹣3.2x2+48x﹣100＝﹣3.2（x﹣7.5）2+80，∴当x＝7.5时，W取最大值．则该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大．【点评】本题考查线性回归方程的求法，训练了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．20．（2020秋•武昌区校级期末）如图，已知椭圆C的离心率为，点A，B，F分别为椭＝1﹣．圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y＝kx+m与圆O：x2+y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合．【专题】方程思想；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．，列方程组，解得a，b，进而可得椭圆的方程．【分析】（1）由离心率及S△ABF（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由直线l与圆O相切，得圆心到直线的距离d＝r，即m2＝1+k2，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，再由弦长公式可得|MN|＝|MN|×1最大值，即可．＝，再计算S△OMN【解答】解：（1）根据题意可得解得a＝2，b＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）圆O的圆心为坐标系原点，半径r＝1，由直线l：y＝kx+m与圆O：x2+y2＝1相切，得＝1，即m2＝1+k2③，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝④，所以|MN|＝＝＝＝，＝|MN|×1＝所以S△OMN令t＝4k2+1，则t≥1，k2＝，＝2＝＝，所以S△OMN＝＝＝，所以方t＝3，则4k2+1＝3，解得k＝±时，S△OMN取得最大值为1．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的运算能力，属于中档题．21．（2020秋•武汉期末）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，E是PC上的一点，PE＝2EC，PC⊥平面BED，PA＝2，（1）求AC的长；（2）若平面APB⊥平面CPB，试求PB与平面PDC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）设AC∩BD＝F，连接EF，通过三角形相似，转化求解即可．（2）过点A作AG⊥PB于G，推出BC⊥AB，结合AB＝2，设点B到面PCD的距离为d，说明点A到面PCD的距离即为点B到面PCD的距离，求出d，然后求解PB与面PCD 所成角的正弦值．【解答】解：（1）设AC∩BD＝F，连接EF，∵PC⊥面BD，EF⊂面BDE，∴PC⊥EF，则△PAC～△FEC，设AC＝2a，则CF＝a，，∴，即，∴．（2）过点A作AG⊥PB于G，∵面APB⊥CPB，且APB∩面CPB＝PB，故AG⊥面PBC，又∵BC⊂面PBC，∴BC⊥AG，又∵BC⊥PA，且AG∩PA＝A，AG⊂面PAB，PA⊂面PAB，∴BC⊥面PAB，AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB，∴四边形ABCD为正方形，故AB＝2，设点B到面PCD的距离为d，∵AB∥CD，AB⊄面PCD内，∴点A到面PCD的距离即为点B到面PCD的距离，可得，∴，故PB与面PCD所成角的正弦值为．【点评】本题考查空间距离的求法，二面角的平面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22．（2020秋•武汉期末）过抛物线C：y2＝2px上一点P（1，2）作两条不同直线l1，l2，且直线l1，l2与抛物线C的另外一个交点分别为A，B．（1）若直线l1，l2的倾斜角互补，求证：直线AB的斜率为定值；（2）若直线l1⊥l2，且点P在直线AB上的射影为D，问：是否存在定点Q，使得|QD|为定值？若存在，试求出Q点坐标及|QD|；若不存在，请说明理由．【考点】直线与抛物线的综合．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）由P（1，2）在抛物线上，求出p，得到抛物线方程，求解PA，PB的斜率，然后转化求解为定值，即可得到结论．（2）设直线B：x＝my+n联立，有y2﹣4my﹣4n＝0，利用韦达定理，结合PA ⊥PB，得到直线系AB的方程，推出经过的定点，即可得到Q（3，0），|DQ|的距离．【解答】（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（1，2）在抛物线上，得22＝2p，p＝2，抛物线为y2＝4x，所以＝＝＝，同理，由已知，则y1+y2＝﹣4，所以为定值，得证．（2）解：设直线B：x＝my+n，联立，有y2﹣4my﹣4n＝0，，由PA⊥PB有，y1y2+2（y1+y2）+20＝0，解得n＝2m+5，则直线AB：x＝my+2m+5过定点R（5，﹣2），所以，取PR的中点Q（3，0），则在直角三角形PDR中，为定值．算能力，是中档题．。

高二上学期数学人教B版(2019)期末模拟测试卷B卷(含解析)

高二上学期数学人教B版(2019)期末模拟测试卷B卷(含解析)

高二上学期数学人教B 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.教室里一个日光灯管使用时长在1年以上的概率为，则3个日光灯管在使用1年内恰好坏了一个的概率为( )A.D.2.已知圆C ：，P 为直线上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，直线AB 的方程为( )A. B. C. D.3.在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，E 为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为( )4.某地区共8000人参加数学联考考试成綪近似服从正态分布若（90分以下）的学生人数为( )A.1000B.1200C.1400D.28005.已知点P 在椭圆上（点P 不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C 的左、右焦点，交y 轴于点G ，且，则线段的长为( )6.深受广大球迷喜爱的NBA 某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为( )A.0.3B.0.32C.0.68D.0.70.80.104222440x y x y +---=:20l x y ++=5530x y ++=5530x y -+=5530x y +-=5530x y --=P ABCD -ABCD PDC PDC ⊥ABCD PC AP BE θcos θξ()2100,N σ(100110)0.35P ξ≤≤=22:143x y C +=1F 2F 2PF 112PF G GF F ∠=∠1PF7.在的展开式中，下列说法错误的是( )8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C 的左、，且二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆与圆交于A ，B 两点，则( )A.线段的中垂线方程为B.直线的方程为C.公共弦D.圆与圆的公切线有3条10.在四棱锥中，，，，，，则下列结论正确的有( )A.四边形为正方形B.四边形C.在上的投影向量的坐标为D.点P 到平面11.某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表：20246x ⎛⎝()2222:10,0x y C a b a b-=>>1F 2F 1F 212cos F QF ∠=221:2210C x y x y +--+=222:0C x y x y +--=AB 0x y +=AB 10x y +-=AB 1C 2C P ABCD -()1,3,3P --()1,0,1A ()0,1,1B ()1,3,0C -()0,2,0D ABCD PA AB 11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则( )A.y 与x 正相关B.C.当时，残差为 D.样本的相关系数r 为负数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的左、右焦点分别为、，M 为椭圆C 上任意一点，P 为曲线13.的展开式中的系数为________.（用数字作答）14.一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球.采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X 表示样本中黄球的个数.当最大时，_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.（13分）某地教育局为提升教师的业务能力，从当地中学教师中随机选取100人参加教学技能比赛，统计他们的得分（满分100分），其得分在各区间的人数比例如下表.规定得分不低于80分的为优秀教师.(1)求x 的值并求参赛教师为优秀教师的频率；(2)以频率估计概率，若在当地中学教师中随机选取3人，其中优秀教师的人数记为X ，求X 的分布列与期望.16.（15分）已知二次曲线表示圆的充要条件为，且.关于二次曲线，有以下结论：若，，，为平0.140.33y x ∧=-6m =3x =0.0122:154x y C +=1F 2F 22:64120E x y x y +--+=()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭42x y ()P X k =()E X k +=220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=0A C =≠0B =224D E AF +>11:0l f =22:0l f =33:0l f =面内三条直线，且，，，则过A ，B ，C 三点的二次曲线系方程为（，为参数）.若，，，为平面内四条直线，且，，，，则过A ，B ，C ，D 四点的二次曲线系方程为（为参数）.(1)若三角形三边所在直线方程分别为：，，.求该三角形的外接圆方程.(2)记(1)中所求的外接圆为，直线与交于A ，B 两点（A 在第一象限），直线与交于C ，D 两点（C 在第二象限），直线交x 轴于点M ，直线交x 轴于点N ，直线与直线交于点P .17.（15分）已知点F 为抛物线的焦点，点.(1)求抛物线的方程及m ；(2)斜率为2的直线l 与抛物线的交点为A 、B （A 在第一象限内），与x 轴的交点为M （M 、F不重合），若，求的周长.18.（17分）如图，在多面体中，底面为菱形，，平面，平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值；（3）求点C 到平面的距离.AD 12l l A = 23l l B = 31l l C = 1223310f f f f f f λμ++=λμ11:0l f =22:0l f =33:0l f =44:0l f =12l l A = 23l l B = 34l l C = 41l l D = 13240f f f f λ+=λ320x y -+=220x y ++=340x y +-=ω()110y k x k =>ω()220y k x k =<ωBC AD BC ()220y px p =>()2,P m 42AM MB = ABF △ABCDEF ABCD 60BAD ∠=︒ED ⊥ABCD FB ⊥ABCD 22DE AD BF ===//CF ADE DF AEF AEF19.（17分）已知以下事实：反比例函数）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线.的方程；(3)已知点是（2）中曲线C 的左顶点.圆（）与直线交于P 、Q 两点，直线、分别与双曲线C 交于M 、N 两点.试问：点A 到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由.y =0≠A ()()222:11E x y r -+-=0r >1:l x =AP AQ MN答案以及解析1.答案：A解析：日光灯管使用时长在1年以上的概率为0.8，则1个日光灯管在1年内损坏的概率为，设在一年内日光灯管损坏的个数为随机变量X ，则，所以3个日光灯管在使用1年内恰好坏了一个的概率，故选：A.2.答案：A解析：由，得圆C 的圆心，半径.因.故PC 的方程为，即.联立，，解得，即.所以直线AB 的方程为，化简，得.3.答案：A解析：取的中点，连接，过O ，作交于H ，则，又因为为等边三角形，所以，设正方形的边长为4，可得又因为平面底面，平面底面，所以平面，以O 为坐标原点，以，，所在的直线分别为x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则，，，，又因为E 为的中点，所以，所以，，所以，10.80.2-=~(3,0.2)X B 123C 0.20.80.384P =⨯⨯=()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=()1,2C 3r =122AP AC =⨯⋅=l ⊥21y x -=-10x y -+=1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩x =12y =-31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()3112x ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭()12292y ⎛⎫---= ⎪⎝⎭5530x y ++=CD O PO OH BC ⊥AB OH CD ⊥PCD △PO CD ⊥ABCD PO =PDC ⊥ABCD PDC ABCD CD =PO ⊥ABCD OH OC OP (4,2,0)A -(0,2,0)D -(0,0,P (0,2,0)C PC E (4,2,AP =- DE = 402312AP DE ⋅=-⨯+⨯+=||AP ==与所成的角为锐角，所以 A.4.答案：B解析：考试成绩近似服从正态分布，若，则，故，某地区共8000人参加数学联考，则估计成綪不及格（90分以下）的学生人数为.故选：B.5.答案：C解析：根据对称，不妨设，.由题意得，，，则离心率，所以，因为6.答案：C解析：设表示“甲球员担当大前锋”，表示“甲球员担当小前锋”，表示“甲球员担当组织后卫”，表示“甲球员担当得分后卫”，B表示“当甲球员参加比赛时，球队输球”.根据题意，则.所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为：.故选：C.7.答案：Ccos,||||AP DEAP DEAP DE⋅===⋅PA DEθcos cos,AP DEθ==ξ()2100,Nσ(100110)0.35Pξ≤≤=(90100)Pξ≤≤(100110)0.35Pξ=≤≤=(90)(100)(90100)P P Pξξξ<=≤-≤≤=0.50.350.15-=80000.151200⨯=()00,P x yx<2a=b=1=cea==24axc=-=-()()1001442PF e x x=+=+11PF G GF F∠=∠= =0=1A2A3A4A()()()()()()()()()11223344P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A=+++0.20.40.50.20.20.60.10.20.32=⨯+⨯+⨯+⨯=10.320.68-=解析：对于选项A ：因为，所以二项式系数之和为，故A 正确；对于选项B ：令，可得各项系数之和为因为的展开式为，，对于选项C ：因为，可知二项式系数最大的项为第4项误；对于选项D ：令，解得，所以常数项为8.答案：A，设，则，，由双曲线的定义可得，，因为中，由余，即在，即，代入①可得，即.所以C 的离心率为：9.答案：BC解析：根据题意可知圆，则，半径，圆6n =6264=1x =6112⎛⎫-= ⎪⎝⎭6x ⎛- ⎝36621661C C 2r rr r r r r T x x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝0,1,,6r =⋅⋅⋅6n =33324615C 22T x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭3602r -=4r =440561C 2T x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭21||PF x =||2PQ x =1||3QF x =2||2PF a x =+2||32QF x a =-12cos F QF ∠=12QF F 22221212122cos F QF QF QF QF F QF =+-⋅⋅∠2224(3)(32)3(32)2c x x a x x a --⨯=+-2PQF △2122cos PQ QF F QF -⋅⋅∠222(2)(32)(2)(322a x x a x x -+=-+-83a =229c a =3c a =ce a==221:(1)(1)1C x y -+-=()11,1C 11r =，半径的中垂线为直线，显然两圆心都不在上，故A错误；由两圆方程相减可得直线的方程为，故B正确；圆心到直线的距离为因为与圆相交，所以有两条公切线，故D错误.故选：BC10.答案：BCD解析：对于A，，，，则，所以，，与不垂直，所以四边形为平行四边形，故A错误；对于B，所以四边形的面积为对于C，，则在，故C正确；对于D，设平面的法向量为，则有，可取，所以点P到平面11.答案：ABC，所以，BAC∠=ABCD112222ABDS=⨯=△()2,3,2PA=-PAAB()11,1,011,,0222-⎛⎫- ⎪⎝=⎭ABCD(),,n x y z20n AB x yn AB x y z⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩()1,1,1n==22211:22C x y⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211,22⎛⎫⎪⎝⎭2r=AB12C Cx y+=AB10x y+-=1C AB d2=1211C C<=<+12C()1,1,0AB=-()1,2,1BC=--()1,2,1AD=--,3AD BC AB AD=⋅=//AD BC AD BC=AB ADABCDcosAB ADBADAB AD⋅∠===⋅0.3=样本中心点为，将样本中心点的坐标代入回归直线方程得，解得，B 对；对于C 选项，当时，，所以，当时，残差为，C 对；对于D 选项，因为y 与x 正相关，所以，样本的相关系数r 为正数，D 错.故选：ABC.12.答案：解析：椭圆中，右焦点，圆的圆心，半径，显然椭圆C 与圆E 相离，由点P 在圆E 上，得，于是，当且仅当M ，P 分别是线段.故答案为：.13.答案：解析：的通项公式为，令得，，此时，令得，，此时，故的系数为，故答案为：.14.答案：17.8/解析：不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布4175()P X k ==3,0.34m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0.1430.330.34m ⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭6m =3x = 0.1430.330.09y =⨯-=3x =0.10.090.01-=122:154x y C +=2(1,0)F 22:(3)(2)1E x y -+-=(3,2)E 1r =min ||||1MP ME =-222||||||1||||111MP MF ME MF EF +≥-+≥-=-=-2EF 1-1-40-()62x y -()()66166C 2C 2rrr r rr r r T x y x y --+=-=-2r =()22424236C 260T x y x y =-=4242602120x y x y ⋅=3r =()33333346C 2160T x y x y =-=-3342160160xx y x y y -⋅=-42x y 12016040-=-40-，最大时，即最大，超几何分布最大项问题，利用比值求最大项.设，故当时，严格增加，当时，严格下降，即时取最大值，此题中，根据超几何分布的期望公式可得，故答案为：17.815.答案：(1)(2)0.9解析：(1)由表可知，，解得.参赛教师为优秀教师的频率为.(2)由 (1)可知， 当地中学教师是优秀教师的概率为0.3，X 的取值可能为0，1，2，3，，，，，X 的分布列为，22406022100C C 012...22C k kk -=，，，()P X k =224060C C k k -()C C C s m s k n k s m n a P X s --===11C C C C C C s m s mk n k n ms m s n k n k+-----=⋅()()()()()()()()()!!1!1!1!1!!!!!!!n k k s k s m s n k m s k n k s k s m s n k m s -+------++=⋅-----+()()()()11k s m s s n k m s --=+--++1>()()()()11k s m s s n k m s ⇒-->+--++()()2221s k m s km s n k m s n k m ⇒-++>++--++--()()21km n s n m k ⇒>+++-+()()()1211km m k n s n ⇒+++>++++()()1112k m s n ++⇒<-+()()112k m s n ++≤+()P X s =()()1112k m s n ++≥-+()P X s =9k =1002240n m k s k ====，，，()40228.8100k m E X n ⨯⨯===()8.8917.8E X k +=+=0.20.3x +=0.250.350.21x x ++++=0.1x =0.20.3x +=3(0)(10.3)0.343P X ==-=123(1)C 0.3(10.3)0.441P X ==⨯⨯-=223(2)C 0.3(10.3)0.189P X ==⨯⨯-=3(3)0.30.027P X ===()00.34310.44120.18930.0270.9E X =⨯+⨯+⨯+⨯=或写成由，得.16.答案：(1)(2)（i ）证明见解析；（ii ）4解析：(1)则由题意，可设所求三角形的外接圆方程为：（，为参数），即，（）若方程表示圆，则，解得.将代入（）式化简得，验证：由，可知该方程表示圆.故该三角形的外接圆方程为.(2)如图，在平面直角坐标系中，设直线与x 轴的交点，直线与x 轴的交点，由题意知直线，均不与y 轴垂直，则直线方程可设为，直线方程可设为，由题意可知，且，.不妨记直线，，，，分别为，，，，且，，，，其中，，，.~(3,0.3)X B ()30.30.9E X =⨯=22240x y y ++-=(32)(22)(22)(34)(34)(32)0x y x y x y x y x y x y λμ-+++++++-++--+=λμ()()()()22133178623422x xy y xλμλμλμλμ+++-+-+-+-+++()26144880y λμλμ+--++--=*133********λμλμλμ++=-+-≠⎧⎨-+-=⎩11λμ=-⎧⎨=-⎩11λμ=-⎧⎨=-⎩*22240x y y ++-=22024(4)200+-⨯-=>22240x y y ++-=BC 1(,0)M t AD 2(,0)N t BC AD BC 11x m y t =+AD 22x m y t =+12m m ≠10t ≠20t ≠BA AD DC CB 1l 2l 3l 4l 12l l A = 23l l D = 34l l C = 41l l B = 11:0l k x y -=222:0l x m y t --=32:0l k x y -=411:0l x m y t --=故由题意，过A ，D ，C ，B 四点的二次曲线系方程可设为（为参数），即①，若时，方程表示两条直线，，不表示圆，故.由A ，D ，C ，B 四点不共线，且都在圆②上，所以方程①②表示同一圆，则有（i ）由③式及，可得，（ii ）由③式可得，令，则，，联立，直线方程，解得，即交点P 在定直线.如图2，由对称性可知，当时，交点P 在y 轴上，即()()()()1222110k x y k x y x m y t x m y t λ--+----=λ()()()22121212121k k x k k m m xy m m yλλλ+-+++++⎡⎤⎣⎦()12122112()0t t x m t m t y t t λλλ-++++=0λ=()()120k x y k x y --=1l 3l 0λ≠22240x y y ++-=()120t t λ-+=12211224m t m t t t +===-0λ≠120t t +=12t t =-1t t =2t t =-2=BC AD 12x m y tx m y t=+⎧⎨=-⎩2124t y m m ==-y =412k k =-(0,P =17.答案：(1)抛物线方程为，(2)解析：(1)抛物线的焦点为，准线方程为，可得，所以，抛物线的方程为，将点P 的坐标代入抛物线方程可得，解得.(2)设点，则，因为直线l 的斜率为2，则直线l 的方程为，设点、，则，由，可得，则，可得，联立，可得，，可得由韦达定理可得，，28y x =4m =±14+,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭x =242p+=4p =28y x =28216m =⨯=4m =±(),0M n 2n ≠12x y n =+()11,A x y ()22,B x y 10y >2AM MB =()()1122,2,n x y x n y --=-122y y -=122y y =-2128x y n y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩2480y y n --=16320n ∆=+>n >124y y +=128y y n =-所以，，可得，，所以，，可得，，所以，18.答案：（1）证明见解析解析：（1）取的中点M ，连接.因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以.因为，所以.因为平面，所以，，两两垂直.如图，以D 为原点，，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.因为，，，，，所以，，，显然平面的法向量为，因为，所以，又平面，所以平面.（2）设平面的法向量为，1211111422y y y y y +=-==18y =24y =-12832n y y -==-4n =212y -==()12121484284142AF BF x x y y +=++=+++=++=ABF △+BC MD ABCD 60BAD ∠=︒BCD △DM BC ⊥//AD BC DM AD ⊥ED ⊥ABCD DA DM DE DA DM DE (2,0,0)A B (C -(0,0,2)E F (2,0,1)CF = (2,0,2)AE =- 1)EF =-ADE (0,1,0)m = 0CF m ⋅=CF m ⊥CF ⊄ADE //CF ADE AEF ()1111,,n x y z =由得令，则，，所以，，所以直线与平面直线与平面（3），所以点C 到平面的距离为：所以点C 到平面.(2)；(3)存在，点A到直线距离的最大值为2，所以双曲线（2）联立即双曲线，，AEF110,0,n AE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11111220,0.x z x z -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩11x =11z =10y =()11,0,1n = DF =111,DF n DF n DF n ⋅〈〉===⋅ DF AEF DF AEF (3,CA =AEF 11CA n d n ⋅=== 221x y -=MN r =0:y =0:C y =c a ===y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩x y =x y ==y =(，此时曲线C 的两顶点为，曲线C 为等轴双曲线，所以曲线C 的方程为.（3）由（2）知，，设，，显然直线的斜率存在，设，联立，得，所以，因为，令，则依题意得，整理得，，即，整理得，，所以，即或，若，则过点A ，不合题意；若，则.所以，恒过，所以点A 到直线的距离，当且仅当，即时取得，此时方程为，联立，解得，2()()1,0,1,0-221x y -=()1,0A -()11,M x y ()22,N x y MN :m N y M kx =+221y kx m x y =+⎧⎨-=⎩()()2221210k x kmx m ---+=()22Δ410m k=+->12x x +=12x x =()111:1y y x x MA =++1x =P y =Q y =p Q y y +=2221y x +=+2211kx mx ++=+()()()1212211210k x x k m x x m -++-++-=()()2222211211101m k kmk k m m k ⎛⎫-⨯++-⨯++---= ⎪-⎝⎭22222k m m km k -+=-+-()()20m k m k --+=m k =2m k =-m k =()1:N y M k x =+2m k =-():12MN y k x =+-MN ()1,2G --MN max 2d AG ==MN AG ⊥0k =MN 2y =-2221y x y =-⎧⎨-=⎩)2N -则，综上所述，点A 到直线)1Q y ==--1Q r y =-=MN。

2023-2024学年浙江省杭州市高二上册期末数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年浙江省杭州市高二上册期末数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年浙江省杭州市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．若空间向量()1,4,1BA = ，()2,0,2BC =- ，则AC =（）A ．()1,4,3--B ．()1,3,4--C ．()3,4,1-D ．()1,4,3-【正确答案】A【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可.【详解】因为()1,4,1BA = ，()2,0,2BC =- ，所以()1,4,3AC BC BA =-=--．故选：A2．函数()()tan 11f x x x x =⋅-≤≤的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】分析函数()f x 的奇偶性可排除两个选项，再由当01x <<时()f x 值的符号即可判断作答.【详解】因当[]1,1x ∈-时，()()()()tan tan f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=，则函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，AC 不满足；当01x <<时，()0f x >，选项D 不满足，选项B 符合要求.故选：B3．ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量),sin sin c B A n +-=r，(),sin m a b C =+u r ，若//m n，则角B 的大小为（）A ．6πB ．56πC ．3πD ．23π【正确答案】B根据//m n，得到)()()sin sin sin +=-+Cc B A a b ，再由正弦定理整理得到222a c b +-=，然后由余弦定理求解.【详解】设向量),sin sin c B A n +-=r，(),sin m a b C =+u r，因为//m n ，所以)()()sin sin sin +=-+Cc B A a b ，由正弦定理得：)()()+=-+cc b a a b ，即222a c b +-=，由余弦定理得222cos 22a cb B ac +-==-，因为()0,B π∈，所以56B π=故选：B本题主要考查平面向量共线的应用以及正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．在ABC 中，若点D 满足2BD D C =，则AD =()A ．1233AC AB+B ．5233AB AC-C ．2133AC AB-D ．2133AC AB+【正确答案】D【分析】根据平面向量的线性运算可求出结果.【详解】由2BD D C =，得2()AD AB AC AD -=- ，得32AD AC AB =+，得2133AD AC AB =+ .故选：D ．5．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n++【正确答案】A【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++--12ln(2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--ln 2n =+故选A.6．双曲线()22210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离心率为e ，过点F 且斜率为1的直线与双曲线的两条渐进线分别交于点A ，B ，若AB 的中点为M ，若FM 等于半焦距，则2e =（）A ．1BCD ．2【正确答案】B【分析】设直线AB 方程，然后与渐近线方程联立即可得出A B 、两点坐标，最后通过A B 、两点坐标得出AB 中点坐标并运用两点间的距离公式得出算式，化简整理，即可得出结果．【详解】双曲线2221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，设双曲线的半焦距为c ，则双曲线的左焦点(),0F c -，过F 点且斜率为1的直线方程为y x c =+，联立b y x a y x c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，可得ac x b a bc y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，联立b y x a y x c ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，可得ac x b a bc y b a ⎧=⎪⎪--⎨-⎪=⎪--⎩，不妨设,acbc A b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，,ac bc B b a b a -⎛⎫ ⎪----⎝⎭，故AB 中点坐标为222222,a c b c M b a b a ⎛⎫ --⎝⎭，则有FM c =，222c c b a =-，因为0c ≠，222b a =-，222b a=-222a b=-，所以(221a b=+所以)22=1b a，所以2222c a b=+=，故222cea==故选：B．7．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e<<时，轨迹为椭圆；当1e=时，轨迹为抛物线；当1e>时，轨迹为双曲线．现有方程()()2222123m x y y x y+++=-+表示的曲线是椭圆，则m的取值范围为（）A．()0,1B．()1+∞C．()0,5D．()5+∞【正确答案】D.【详解】由()()2222123m x y y x y+++=-+可得()()222123m x y x y⎡⎤++=-+⎣⎦，23x y-+，=即动点(,)x y到定点()0,1-的距离与到定直线230x y-+=因为方程()()2222123m xy y x y+++=-+表示的曲线是椭圆，所以01<解得5m>，故选:D.8．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分別为1BD ，1BB 上的动点，则1C PQ周长的最小值为（）A ．3a B C D ．3a 【正确答案】B【分析】1C PQ 的三边都在三棱锥111B B C D -的三个侧面上，将三棱锥111B B C D -的侧面展开成平面图形，根据共线时最短求解.【详解】连接11,,BD B D 由图易得，1C PQ 的三边都在三棱锥111B B C D -的三个侧面上，将三棱锥111B B C D -的侧面展开成平面图形，如图，可得四边形111BC D C '为直角梯形，当11,,,C P Q C '四点共线时，1C PQ 的周长最小，=，故选:B.二、多选题9．设0ω>，函数()cos f x x x ωω=+在区间0,3π⎛⎤⎥⎝⎦上有零点，则ω的值可以是（）A ．16B ．56C ．13D ．23【正确答案】BD【分析】由题得π()2sin 6f x x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求函数()f x 的零点，由条件列不等式求其解可得ω的范围即可.【详解】因为()1cos 2cos 22f x x x x x ωωωω⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以π()2sin 6f x x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令ππ6x k ω-=，解得()61π,Z 6k x k ω+=∈，因为0ω>，所以函数()f x 的最小的正零点为π6ω，由已知可得ππ063ω<≤，即12ω≥．故选：BD.10．已知数列{}n a 满足11a =，()*12N n n n a a n ++=∈，则下列结论中正确的是（）A ．45a =B ．{}n a 为等比数列C ．2022122021213a a a -+++=D ．2023122022213a a a -+++=【正确答案】AC【分析】利用递推式可求得234,,a a a 的值，可判断A ，B ，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断C ，D.【详解】因为()*12N n n n a a n ++=∈，所以122a a +=，234+=a a ，3342a a +=，又11a =，所以21a =，33a =，45a =，故A 正确；因为211a a =，323aa =，所以{}n a 不是等比数列，故B 错误；1220211235204202021()()()a a a a a a a a a a=+++++++++++ 1011101120222420201(14)412112+2++2===1433⨯---=+- ，故C 正确；()()()122022123420212022a a a a a a a a a +++=++++++ ()101110112023132021214242222+2++2===1433-⨯--=- ，故D 错误.故选：AC.11．已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,3B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于9B ．点P 到直线AB 的距离大于1C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，4PB =【正确答案】AC【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误．【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为143x y+=，即34120x y +-=，圆心M 到直线AB 235=，所以，点P 到直线AB 的距离的最大值为23434955+=<，点P 到直线AB 的距离的最小值为2334155-=<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 均与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，()()22535029BM =-+-=，4PM =，由勾股定理可得22291613BP BM MP =-=-=，C 选项正确，D 选项错误，故选：AC ．12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．当点F 在1BC 上移动时，直线1A F 与平面1BDC 所成角可能为60B ．无论点F 在1BC 上怎么移动，都有11A F B D⊥C ．当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1B D 相交于一点，记为点E ，且12A EEF=D ．当点F 在1BC 上移动时，异面直线1A F 与CD 所成角可能是30 【正确答案】BC【分析】对于A ，利用四面体的等体积法求解直线1A F 与平面1BDC 所成角的正弦值，从而判断正误；对于B ，证明正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1B D ⊥平面11A BC ，根据1A F ⊂平面11A BC ，即可判断正误；对于C ，根据四点共面，利用梯形几何性质求解1A EEF，即可判断正误；对于D ，根据动点F 的位置，求解异面直线1A F 与CD 所成角的正切值取值范围来判断正误.【详解】对于A ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，如图，连接11111,,,,A D A B A C BD DC 在正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1111112A B AC A D BC BD C D ======，故四面体11A BC D 为正四面体，所以111331114141323A BC D A ABD V V V --=-=-⨯⨯⨯=正方体，11322sin 6022BDC S=⨯⨯⨯︒=，则点1A 到平面1BDC 的距离为1113233A BC D BDC V h S-==，所以直线1A F 与平面1BDC 所成角的正弦值1sin h A Fθ=又11A BC V 为正三角形，则当点F 为1BC 的中点时，线段1A F 的长度最短，且为162322⨯⨯=，此时直线1A F 与平面1BDC 所成角的正弦值1sin hA Fθ=最大，且为()max23223sin 362θ==，由于22332>，则θ的最大值大于60 ，故A 错误；选项A 错误；对于B ，如图，连接11111,,A B AC B D在正方体1111ABCD A B C D -中，四边形1111D C B A 为正方形，所以1111AC B D ⊥，又1DD ⊥平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，所以111AC DD ⊥，又1111111,,B D DD D B D DD ⋂=⊂平面11DD B ，所以11A C ⊥平面11DD B ，且1B D ⊂平面11DD B ，所以111A C B D ⊥，同理可得11A B B D ⊥，又1111111,,A C A B A A C A B ⋂=⊂平面11A BC ，所以1B D ⊥平面11A BC ，又1A F ⊂平面11A BC ，所以总有11A F B D ⊥，选项B 正确；若F 不是1BC 的中点，则1A F 与1B D 是异面直线；当F 为1BC 的中点时，也是1B C 的中点，1A F 与1B D 均在平面111A B CD 内且必相交，所以当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1B D 相交于一点，记为点E ，连1A D 和1B F，如图，根据11//A D B C ，11A DE FB E ∽△△可得1A EEF＝11DA B F ＝2，选项C 正确；对于D ，因为11//A B CD ，所以11B A F ∠即异面直线1A F 与CD 所成的角，该角的正切值为111B FA B ，易知111112A B B F A B ≤≤11112B F A B ≤≤，tan 30= 故无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成的角都不可能是30 ，选项D 错误.故选：BC.关键点点睛：本题解决的关键在于根据线面角和异面直线夹角的定义找到对应的平面角，再通过解三角形确定其范围.三、填空题13．在等差数列{}n a 中，已知28142120a a a ++=，则9102a a -的值为________．【正确答案】30【分析】根据等差数列的通项公式求解.【详解】设{}n a 的公差为d ，2814111221413120a a a a d a d a d ++=+++++=，即1730a d +=，所以191110216(9)7302a d a d a a a d =+--+=+=，故答案为:30.14．已知等边三角形ABC 的边长为12，点P 满足320PA PB PC ++= ，则PA = ________．【正确答案】【分析】利用平面向量的坐标运算求出点P 坐标即可求解.【详解】建立如图所示坐标系，其中O 为BC 的中点，所以(6,0),(6,0)A B C -，设(,)P x y ，则(),(6,),(6,)PA x y PB x y PC x y =-=---=-- ，又因为320PA PB PC ++= ，所以3()2(6,)(6,)0x y x y x y -+---+--=，312260320x x xy y y ---+-=⎧⎪⎨---=⎪⎩解得1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以PA = ，所以PA =故答案为:.15．1F ，2F 为双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A ，B 两点，若1113AF F B = ，35,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为双曲线C 上一点，12PF F △的内切圆圆心为I ，过2F 作2F T PI ⊥，垂足为T ，则OT =________．【正确答案】4【分析】设直线AB 方程为y x c =+，联立渐近线方程可得A 、B 坐标，再根据1113AF F B =和点35,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在双曲线上可得a ，然后结合图形，利用内切圆圆心为角平分线交点和双曲线定义可解.【详解】设直线AB 方程为y x c =+，两条渐近线方程分别为b y x a=，b y x a =-，联立y x c b y x a =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得B bc y a b =--，联立y x c b y x a =+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得A bc y a b =+，因为1113AF F B = ，0a b >>，所以3bc bc a b a b=-+，解得2a b =①又点35,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在双曲线上，所以2225914a b -=②，联立①②解得4,2a b ==，延长2F T 交1PF 于点F '，因为I 为12PF F △的内切圆圆心，所以2IPF IPF '∠=∠，又2F T PT ⊥，TP TP =，所以2TPF TPF '≅，所以T 为2F F '的中点，且2PF PF '=又O 为12F F 的中点，所以112OT F F '=由双曲线定义可知，111228F F PF PF PF PF a ''=-=-==，所以1142OT F F '==，故416．如图，正四面体ABCD 的顶点C 在平面α内，且直线BC 与平面α所成角为30︒，顶点B 在平面α上的射影为点O ，当顶点A 与点O 的距离最大时，直线CD 与平面α所成角的正弦值为________．【正确答案】12##0.5【分析】分析可得当四边形ABOC 为平面四边形时，点A 到点O 的距离最大，D 作DN ⊥平面ABOC ,垂足为N ，点D 作DM ⊥平面α，垂足为M ，则可求DM ，进而可求解.【详解】取AB 中点P ，连接CP ，当四边形ABOC 为平面四边形时，点A 到点O 的距离最大，此时，因为BO ⊥平面α，BO ⊂平面ABOC ，所以平面ABOC ⊥平面α，过D 作DN ⊥平面ABOC ,垂足为N ，则N 为正三角形ABC 的重心，设正四面体的边长为1，则2333CN CP ==,因为直线BC 与平面α所成角为30︒即30BCO ∠= ,且30BCN ∠= ，所以60OCN ∠= ,所以点N 到平面α的距离等于1sin 602d CN == ，过点D 作DM ⊥平面α，垂足为M ，则12DM d ==,所以直线CD 与平面α所成角的正弦值为12DM CD =，故答案为:12.四、解答题17．已知函数()()π=cos +>0,>0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫≤ ⎝⎭的部分图象如图．(1)求()f x 的解析式及单调减区间；(2)求函数π=24y f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【正确答案】(1)π()cos(26f x x =-，减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)函数y 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为1-【分析】（1）利用已知条件求出函数()f x 的关系式，从而可求单调减区间；（2）由（1）得函数2π2cos(23y x =-，根据x 的范围，结合余弦函数性质得最值.【详解】（1）解：由图可知1A =，且ππ2π43124T ω=-=，所以2ω=，所以()cos(2)f x x ϕ=+，将点π(,1)12代入解析式可得πcos()16ϕ+=，得π2π,Z 6k k ϕ+=∈即π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，又π2ϕ≤，所以π6ϕ=-则()cos(2)6f x x π=-所以()f x 的单调减区间满足π2π2π2π,Z 6k x k k ≤-≤+∈解得：π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈则()f x 的单调减区间为：π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：由（1）得：πππ2π2()2cos 2()2cos(2)4463y f x x x --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2π2π2,33π3x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦故当=0x 时，min 1y =-；当3x π=时，max 2y =所以函数y 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为1-.18．已知圆()22:24C x y +-=，直线:10l mx y m +--=．(1)证明：直线l 总与圆C 相交；(2)设直线l 与圆C 交于E ，F 两点，求CEF △面积最大时，直线l 的方程．【正确答案】(1)证明见解析(2)0x y -=【分析】(1)根据直线l 所经过的定点在圆内即可证明；(2)利用面积公式确定当π2ECF ∠=时，CEF S △最大，从而求出圆心C 到直线l 的距离d =从而可求解.【详解】（1）直线:10l mx y m +--=可化为()110m x y -+-=，令1x =则1y =，所以直线l 恒过定点(1,1)A ,圆心(0,2)C 到点(1,1)A 的距离为2AC r =<=，所以定点(1,1)A 在圆C 内，所以直线l 总与圆C 相交.（2）因为211sin sin 2sin 22CEF S CE CF ECF r ECF ECF =∠=∠=∠△，所以当π2ECF ∠=时，CEF S △最大，此时圆心C 到直线l 的距离2d r ==，因为d =1m =-，此时直线l 的方程为0x y -=.19．如图所示，己知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N两点，且AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u u r u u u r ，x ，y 都为实数．(1)试用基底AM 和AN 来表示AG ，其中表示式中，系数中字母只含有x ，y ；(2)求2x y +的最小值．【正确答案】(1)1133AG AM AN x y=+(2)33+【分析】(1)根据向量的共线，利用基底表示求解；(2)利用基本不等式求解.【详解】（1）因为2111()3233AG AB AC AB AC =⨯+=+ ,因为AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u u r u u u r ，所以1133AG AM AN x y=+ （2）又因为,,M N G 三点共线，由（1）可得11133x y+=，因为,M N 在线段,AB AC 上，所以,0x y >，所以()111213(333331223x y x x y x y y y x ⎛⎛⎫++=++≥⋅+= ⎪⎝+= ⎭⎝+当且仅当2y x x y =即y =即22,66x y +==时取得等号.所以2x y +的最小值为33+.20．已知单调递增的等比数列{}n a 满足23439a a a ++=，且36a +是2a ，4a 的等差中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若13log n n n b a a =，12n n S b b b =+++ ，对任意正整数n ，102n n n m S a +++<恒成立，试求m 的取值范围．【正确答案】(1)13n n a -=(2)32m ≤-【分析】(1)根据等差中项和等比数列的通项公式求解；(2)利用错位相减法求和12n n S b b b =+++ ，再分离参变量可得131223n m -<-+⋅即可求m 的取值范围.【详解】（1）设公比为q ，因为36a +是2a ，4a 的等差中项，所以243212a a a +=+，又因为24339a a a +=-，所以3321239a a +=-解得39a =，所以由23439a a a ++=可得33339a a a q q++=，整理得231030q q -+=解得3q =或13q =（舍），又因为2319a a q ==，所以11a =，所以数列{}n a 的通项公式为1113n n n a a q --==.（2）()111133lo 3g 31n n n n b n ---=--⋅=,()012103132313n n S n -⎡⎤=-⋅+⋅+⋅++-⋅⎣⎦ ,()123303132313n n S n ⎡⎤=-⋅+⋅+⋅++-⋅⎣⎦ ,所以()()112313(13)2333313132n n nn n S n n ---=++++--⋅=--⋅- ，所以133()3244n n S n =-+⋅-，因为102n n n m S a +++<恒成立，所以12()0n n S n m a +++<，所以33()3()3022n n n n m -+⋅-++⋅<，所以3333()3(3332222n n n n n m n n +⋅<-⋅+=⋅-⋅+，所以333322n n m ⋅<-⋅+即131223n m -<-+⋅，因为1110,232n -⎛⎤∈ ⎥⋅⎝⎦，所以1313,12232n -⎛⎤-+∈-- ⎥⋅⎝⎦，所以32m ≤-.21．如图，三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 是边长为2的正三角形，11A A A B =，平面ABC ⊥平面11AAC C ．(1)证明：1A C ⊥平面ABC ；(2)若BC 与平面1AA B 1AA B 与平面11BB C C 夹角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)平面1AA B 与平面11BB C C 所成角的余弦值为34.【分析】（1）取AB 的中点O ，AC 的中点H ，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，得到1BH A C ⊥，再证明出1A C AB ⊥，从而得到1A C ⊥平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系，设1A C a =，然后算出直线BC 的方向向量和平面1AA B 的法向量坐标，然后可求出a ，然后再算出平面11BB C C 的法向量坐标，然后可算出答案.【详解】（1）如图，取AB 的中点O ，AC 的中点H ，连接OC ，1OA ，BH ，因为AB BC =，H 是AC 的中点，所以BH AC ⊥，平面ABC ⊥平面11AAC C ，平面ABC ⋂平面11=AA C C AC ，BH ⊂平面ABC ，所以BH ⊥平面11AAC C ，又1AC ⊂平面11AAC C ，所以1BH A C ⊥，因11A A A B =，AC BC =，O 是AB 的中点，所以1OA AB ⊥，OC AB ⊥，又1=OA OC ⋂O ，1,OA OC ⊂平面1AOC ，所以AB ⊥平面1AOC ，因为1AC ⊂平面1AOC ，1A C AB ⊥.又BH AB B ⋂=，,BH AB ⊂平面ABC ，所以1A C ⊥平面ABC.（2）以O 为坐标原点，OB ，OC 分别为x ，y 轴，平行1AC 为z轴，建系如图所示，设1A C a =，则()1,0,0A -，()1,0,0B，()C，()1A a，()=BC - ，()2,0,0AB =，()1=AA a 设平面1AA B 的法向量为()111,,m x y z =，11111=0020=0m AA x az x m AB ⎧⎧⋅+=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅⎪⎪⎩⎩ ，取1z =可得，110,x y a==所以(0,,m a = 为平面1AA B 的一个法向量，设BC 与平面1AA B 所成的角为θ，则sin cos ,4BC m θ== ，解得a =从而(m =，(11==BB AA ，设平面11BB C C 的法向量为()222,,x n y z =，2221220=0=00x n BB n BC x ⎧=⎧⋅⎪⇒⎨⎨⋅-=⎩⎪⎩ ，取2x 可得，221,2y z ==-，所以)2n =- ，所以()0123cos ,4n m +⨯-== ，设平面1AA B 与平面11BB C C 夹角为ϕ，所以3cos =cos ,4n m ϕ= ，所以平面1AA B 与平面11BB C C 所成角的余弦值为34.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，点3(1,)2P 在椭圆C 上，且12A PA 的面积为3．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过点P 且与椭圆C 交于,A B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率之积为14，作PH l ⊥于H 点．①求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标；②问是否存在定点G ，使得GH 为定值？若存在，请求出该定值，若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)22143x y +=(2)①(2,3)-；②19(,),24G GH -=【分析】(1)利用12A PA 的面积求出a 的值，再利用点3(1,)2P 在椭圆上，求出b ，从而求出椭圆的方程；(2)①讨论斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得出222(34)84120k x kmx m +++-=，利用韦达定理和题设条件：两直线斜率之积为14，得出k 与m 的关系，进而得出定点，斜率不存在时单独讨论；②利用PH l ⊥，得到动点H 在点P 和①中所求定点为直径的圆上，从而找出定点G ，求出定长GH .【详解】（1）由12A PA 的面积为3，得到：132322a ⨯⨯=，所以2a =又因为点3(1,2P 在椭圆上，291414b∴+=，得到b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）①当直线斜率不存在时，设直线1111111:(22,1),),(,)l x x x x A x y B x y =-<<≠-，（2211143x y ∴+=又111133122114PA PB y y k k x x ---⋅=⋅=--，得到221194(1)y x -=-，将2211334y x =-代入得到21120x x +-=，11x ∴=或12x =-，不合题意.当直线l 斜率存在时，设直线:l y kx m =+，1122(,),(,)A x yB x y 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到222(34)84120k x kmx m +++-=2222644(34)(412)0k m k m ∴∆=-+->，即2234m k <+21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++221212121212121212333333()()()()()122222211(1)(1)()14PA PB y y kx m kx m k x x k m x x m k k x x x x x x x x --+-⋅+-+-++-⋅=⋅===---⋅--++将21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++代入化简得：22422990k km m m +-+-=，即(223)(23)0k m k m +--+=故23m k =+或32m k =-+，代入直线方程y kx m =+，从而得到直线过定点(2,3)-或3(1,)2，又因为直线不过点P ，故直线l 过定点(2,3)-②PH l ⊥ ，由①知直线l 过定点(2,3)M -所以点H 在以PM 为直径的圆上，故当G 为圆心19(,)24-时，GH为定值12PM ，故存在定点19(,)24G -，使GH在圆锥曲线中证明直线恒过定点的常用方法：设直线方程为y kx m =+，利用已知条件和韦达定理，整理得到以下两种情况可以说明直线恒过定点：(1)直接得到m 为定值0m ，说明直线恒过定点0(0,)m ；(2)得到,k m 的关系式，将此关系式代回直线方程可以看出直线恒过定点.如本题23m k =+，则直线为(2)3y k x =++，说明直线恒过定点(2,3)-.另外对直线斜率不存在情况也要加以讨论.。

2022-2023学年高二数学下学期期末模拟试卷(选修+必修)(解析版)

2022-2023学年高二数学下学期期末模拟试卷(选修+必修)(解析版)

绝密★考试结束前2022-2023学年高二下学期期末数学模拟试卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2023春·湖南长沙·高二望城一中校考期末）已知集合{|27}A x x =−≤<，2{|1}B x x=≥，则()R A B 为（ ）A ．{|27}x x −≤<B ．{|20x x −≤<或27}x <<C ．{|20x x −≤≤或27}x <<D ．{|20x x −≤<或27}x ≤< 【答案】C【解析】因为2{|1}{|02}Bx x x x=≥=<≤，则{|0R B x x =≤ 或2}x >， 所以(){}|27{|0R A B x x x ∩−≤<∩≤ 或2}x >，{|20x x =−≤≤或27}.x <<故选：C 2．（2023秋·湖北恩施·高二校联考期末）已知()sin ,1a α= ，()1,2cos b α= ，若a b ⊥ ，则πtan 4α−=（ ）A ．3−B ．13− C ．1− D ．3 【答案】D【解析】因为a b ⊥，所以有sin 2cos 0αα+=，即tan 2α ， 所以πtan 13tan 341tan 1ααα−−−=== +−.故选：D 3．（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）从某班包含甲､乙的5名班干部中选出3人参加学校的社会实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（ ） A ．12 B ．35C ．23 D ．25【答案】A【解析】令事件A 为甲被选中的情况，事件B 为乙被选中的情况，故()P A 2435C 3C 5=，()1335C 3C 10P AB ==， 故()1(|)()2P AB P B A P A ==．故选：A ． 4．（2022春·山东德州·高二校考期末）已知某8个数的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的期望记为()E X ，方差记为()D X ，则A ．()5,()3E X D X => B ．()5,()3E X D X =< C ．()5,()3E X D X <> D ．()5,()3E X D X << 【答案】B【解析】根据题意可知，58559E X ×+==（），238(55)8()393D X ×+−==<，故选B. 5．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A EF C −−的大小为45 ，四边形ABFE 、CDEF 都是边长为1的正方形，则B 、D 两点间的距离是（ ）A【答案】B【解析】因为四边形ABFE 、CDEF 都是边长为1的正方形，则AE EF ⊥，DE EF ⊥，又因为二面角A EF C −−的大小为45，即45AED ∠=，则,45EA ED =， 因为DB DE EA AB EA ED AB =++=−+ ，由图易知AB EA ⊥ ，AB ED ⊥，=故选：B.6．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）已知定义域为R 的函数()f x 满足()31f x +是奇函数，()21f x −是偶函数，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线=1x −对称B ．()f x 的图象关于点(1,0)对称C ．()31f −=D ．()f x 的一个周期为8 【答案】C【解析】由题意知()31f x +是奇函数，即()()()()3131,11f x f x f x f x −+=−+∴−+=−+， 即()()2f x f x −+=−，即()()20f x f x +−+=， 故()f x 的图象关于点(1,0)对称，B 结论正确；又()21f x −是偶函数，故()()()()2121,11f x f x f x f x −−=−∴−−=−， 即()()2f x f x −−=，故()f x 的图象关于直线=1x −对称，A 结论正确； 由以上可知()()()22f x f x f x =−−=−−+，即()()22f xf x −=−+，所以()()4f x f x +=−，则()()4()8x x f f f x =−=++， 故()f x 的一个周期为8，D 结论正确；由于()()3131f x f x −+=−+，令0x =，可得(1)(1),(1)0f f f =−∴=， 而()f x 的图象关于直线=1x −对称，故()30f −=，C 结论错误，故选：C 7．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知函数()f x 的定义域为ππ,22−，其导函数是()f x ′. 有()()cos sin 0f x x f x x ′+<，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x<的解集为（ ）A ．ππ,32B ．ππ,62C ．ππ,63−− D ．ππ,26 −−【答案】A【解析】构造函数()()cos f x g x x=，其中ππ,22x∈−，则()()()2cos sin 0cos f x x f x xg x x′+′=<，所以，函数()g x 在ππ,22−上单调递减，因为ππ,22x ∈− ，则cos 0x >，由()π2cos 3f x f x < 可得()π3πcos cos 3f f x x<， 即()π3g x g < ，所以，π3ππ22x x >−<< ，解得ππ32x <<， 因此，不等式()πcos 3f x x <的解集为ππ,32.故选：A.8．（2023春·山东济南·高二统考期末）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作圆D 的切线与C 的两支分别交于M ，N 两点，且1245F NF ∠=°，则C 的离心率为（ ） AC【答案】D【解析】如图，设双曲线的方程为22221x y a b−=，则AD a =. 设切线MN 与圆D 相切于点A ，过点2F 作2F B MN ⊥，垂足为B ，则2//AD BF .所以，有121212AD DFBF F F ==，所以222BF AD a ==. 又1245F NF ∠=°，2F B MN ⊥，所以2F BN 为等腰直角三角形， 所以22BN BF a ==，根据双曲线的定义可得，122NF NF a −=，所以12NF a =+.在12F NF △中，由余弦定理可得，222121212212cos F F NF NF NF NF F NF =+−⋅∠.所以，()()()2222422212ca a a =++−×+×，所以，223c a =，c =.所以，C 的离心率==c ea.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022春·河北石家庄·高二统考期末）下列说法正确的是（ ）A ．甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有1333C A 种排法B ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有4343A A 种C ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有4345A A 种D ．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种【答案】ACD【解析】对于A ：先排最左端，有13C 种排法，再排剩余3个位置，有33A 种排法，则共有1333C A 种排法，故A 正确；对于B ：3名男生相邻，有33A 种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有55A 种排法，所以共有5335A A 种排法，故B 错误；对于C ：先排4名女生，共有44A 种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有35A 4345A A 种排法，故C 正确；对于D ：由C 选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有4345A A 种排法，若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有3334A A 种排法，所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有4345A A -3334A A =1296种，故D 正确.故选：ACD10．（2022春·湖北孝感·高二统考期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*112,22n n a a S n N +==+∈，下列说法正确的有（ ）A ．数列{}n a 是等比数列B ．123n n a −=×C ．数列{}n a 是递减数列D ．数列{}n a 是递增数列 【答案】ABD【解析】由122n n a S +=+，则()1222n n a S n −+≥ 两式相减可得12n n n a a a +=−，即()132n n a a n +=≥ 由题意21122226a S a =+=+=，满足213a a =所以()*13n n a a n N +=∈,所以数列{}n a 是等比数列，故选项A 正确. 则11123n n n a a q −−==×，故选项B 正确.又1112323430n n n n n a a −−+−=×−×=×>，所以数列{}n a 是递增数列 故故选项C 不正确，故选项D 正确.故选：ABD11．（2022春·山东泰安·高二统考期末）对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据()()()1122,,,,,,i i x y x y x y 则下列结论正确的是（ ）A ．若求得的经验回归方程为0.60.3y x =−，则变量y 和x 之间具有正的线性相关关系 B ．若这组样本数据分别是()()()()1,1,2,1.5,4,3,5,4.5，则其经验回归方程ˆˆˆybx a =+必过点()3,2.25 C ．若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为11E =.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为1 2.1E =，则模型1的拟合效果更好D ．若用相关指数2R 来刻画回归效果，回归模型3的相关指数230.41R =，回归模型4的相关指数240.91R =，则模型4的拟合效果更好 【答案】ACD【解析】对于A ：因为回归方程为0.60.3y x =−，0.60>， 所以变量y 和x 之间具有正的线性相关关系，故A 正确； 对于B ：样本数据()()()()1,1,2,1.5,4,3,5,4.5的样本中心点为()3,2.5，且经验回归方程ˆˆˆy bx a =+必过样本中心点，但()3,2.25不是样本中心点，故B 错误； 对于C ：因为残差平方和越小的模型，其拟合效果越好，故C 正确；对于D ：相关指数2R 越接近1，说明关系越强，拟合效果越好，D 正确；故选：ACD12．（2023秋·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考期末）已知函数()32142f x x x x =+−，则（ ） A ．1x =是()f x 的极小值点 B ．()f x 有两个极值点 C ．()f x 的极小值为1 D ．()f x 在[]0,2上的最大值为2 【答案】ABD【解析】因为()32142f x x x x =+−，所以()()()234134f x x x x x ′=+−=−+， 当()4,1,3x ∈−∞−+∞时，()0f x >′；当4,13x∈− 时，()0f x <′， 故()f x 的单调递增区间为4,3 −∞−和()1,+∞，单调递减区间为4,13−，则()f x 有两个极值点，B 正确； 且当1x =时，()f x 取得极小值，A 正确； 且极小值为()512f =−，C 错误；又()00f =，()22f =，所以()f x 在[]0,2上的最大值为2，D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）若232nx x−展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答） 【答案】40【解析】因为二项式系数和232n =，因此5n =，又()()5521055132C C 2kkk kkk k T x x x −−+ =−=−， 令2k =，常数项为()225C 240−=. 故答案为：40.14．（2022春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考期末）已知π3sin()34x −=，且π06x <<，则π2πsin()cos()63x x +−+的值为___________.【解析】令πππ,363t x=−∈，则ππ2π,π623x t x t +=−+=− ∵π3sin()sin 34x t −==，则cos t =()π2ππsin cos sin cos π2cos 632x x t t t+−+=−−−==15．（2022春·湖北·高二统考期末）某地区调研考试数学成绩X 服从正态分布()295,N σ，且(70)0.15P X <=，从该地区参加调研考试的所有学生中随机抽取10名学生的数学成绩，记成绩在[]70,120的人数为随机变量ξ，则ξ的方差为________． 【答案】2.1【解析】由正态分布知，均值95µ=，且(70)0.15P X <=，所以(120)0.15P X >= 每个人的数学成绩在[]70,120的概率为(70120)P X ≤≤=2(0.50.15)0.7×−=， 所以10名学生的数学成绩在[]70,120的人数~(10,0.7)B ξ， 所以()100.70.3 2.1D ξ=××=． 故答案为：2.1．16．（2022春·山东临沂·高二统考期末）若对任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有121212ln ln 3x x x x x x −>−，则m 的最小值是________. 【答案】3【解析】由于当12x x <时，都有121212ln ln 3x x x x x x −>−，所以121212213()33ln ln x x x x x x x x −−<=−，即121233ln ln x x x x +<+， 令3()ln f x x x=+，所以当任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有12()()f x f x <， 所以()f x 在(),m +∞上递增， 因为由22133()0x f x xx x−′=−=>，得3x >， 所以()f x 在(3,)+∞上递增，所以3m ≥，所以m 的最小值是3， 故答案为：3四．解答题：本小题共6小题，共70分。

2024年高二下学期期末模拟数学试卷01(新题型)含参考答案

2024年高二下学期期末模拟数学试卷01(新题型)含参考答案

2023-2024学年高二下学期期末模拟数学试卷01(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)命题范围：第五章一元函数的导数及其应用----第八章成对数据的统计分析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(选择题共58分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(22-23高二下·江西赣州·阶段练习)已知f x =x2+2xf 1 ，则f1 =()A.0B.-4C.-2D.-32.(22-23高二下·江苏泰州·期末)口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则P X=2的值为()A.15B.110C.310D.353.(2023上·山东青岛·高三青岛二中校考期中)若1+x148的展开式中共有m个有理项，则m的值是()A.1B.2C.3D.44.(22-23高二下·河南郑州·阶段练习)某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记-1分，已知该同学的罚球命中率为60%，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为()A.30B.36C.20D.265.(22-23高二下·山东淄博·期末)某市高二年级进行了一次教学质量检测，考生共2万人，经统计分析数学成绩服从正态分布，其平均分为85分，60分以下的人数约15%，则数学成绩在85分至110分之间的考生人数约为()A.3000B.5000C.7000D.140006.(22-23高二下·山东菏泽·期末)有两箱零件，第一箱内有10件，其中有2件次品；第二箱内有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是()A.790B.16C.740D.7207.(22-23高二下·山东淄博·期末)某医院要安排5名医生到A、B、C三个社区参加义诊，每位医生必须去一个社区，每个社区至少有一名医生．则不同的安排方法数为()A.150B.210C.240D.1808.(22-23高二下·江苏泰州·期末)在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对∀a >0，都有P ξ≥a ≤E ξa.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A ，其概率为P A .则P A 的最大值为()A.271000B.2431000C.427D.49二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.(22-23高二下·湖北武汉·期末)下列说法正确的是()A.将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同B.线性回归直线y =b x +a 一定过样本点中心x ,yC.线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好10.(22-23高二下·江苏泰州·期末)关于二项式2x 2-1x5的展开式，下列说法正确的有()A.含x 5的项的系数为-80B.二项式系数和为32C.常数项为10D.只有第3项的二项式系数最大11.(22-23高二下·山东淄博·期末)事件A ，B 的概率分别为：P A =12，P B =13，则()A.若A ，B 为互斥事件，P A +B =56B.P A +B >56C.若A ，B 相互独立，P AB =13D.若P B A =13，则A ，B 相互独立第二部分(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.(22-23高二下·辽宁·阶段练习)某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩X ~N 90,δ2 ，且P X <60 =0.1，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是．13.(22-23高二下·山东菏泽·期末)根据下面的数据：x 1234y31.652.57291.9求得y 关于x 的回归直线方程为y=20x +12，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为.14.(22-23高二下·北京昌平·期中)已知函数f x =e x ,(x >0)-x ,x ≤0，若直线y =kx +1与曲线y =f (x )有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15.(22-23高二下·山东菏泽·期末)已知随机变量X的分布列为：X56789P0.1a0.2b0.3(1)若E X =385，求a、b的值；(2)记事件A：X≥7；事件B：X为偶数.已知P B A=16，求a，b的值.16.(2022·江苏南京·南京市宁海中学校考模拟预测)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个300元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个更合理？17.(22-23高二下·山东菏泽·期末)电商的兴起，促进了我市经济的发展.已知某电商平台对其牌下一家专营店在2022年3月至7月的营业收入y (单位：万元)进行统计，得到以下数据：月份x 34567营业收入y1012111220(1)依据表中给出的数据，用样本相关系数r 说明营业收入y 与月份x 的相关程度；(2)试用最小二乘法求出营业收入y 与月份x 的一元线性回归方程，并预测当x =8时该专营店的营业收入.r =ni =1(x i -x ) (y i -y )n i =1(x i -x )2 ni =1(y i -y )2 ，b =ni =1(x i -x ) (y i -y )n i =1(x i -x )2 =ni =1x i y i -nx y n i =1x 2i -nx 2a =y -b x，10≈3.162.以上各式仅供参考)18.(22-23高二下·江苏泰州·期末)某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各100人进行调查统计，得到如下2×2列联表：关注不关注合计男性5050100女性3070100合计80120200(1)能否有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？(2)有3位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为13，且相互独立.设这3位市民参观新能源汽车展区的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.附：χ2=n ad-bc2a+bc+da+cb+dPχ2≥x00.0500.0100.001 x0 3.841 6.63510.82819.(22-23高二下·山东淄博·期末)已知函数f x =2x3-3ax2+1a∈R．(1)讨论f x 的单调性；(2)若对∀x∈0,+∞，f x ≥0恒成立，求a的取值范围．2023-2024学年高二下学期期末模拟数学试卷01(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)命题范围：第五章一元函数的导数及其应用----第八章成对数据的统计分析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(选择题共58分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(22-23高二下·江西赣州·阶段练习)已知f x =x2+2xf 1 ，则f1 =()A.0B.-4C.-2D.-3【答案】D【分析】先求导函数，把x=1代入求得f 1 ，然后求得f1 =-3.【详解】由已知f x =2x+2f 1 ,f 1 =2+2f 1 ，则f 1 =-2，即f x =x2-4x，所以f1 =-3．故选：D．2.(22-23高二下·江苏泰州·期末)口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则P X=2的值为()A.15B.110C.310D.35【答案】B【分析】根据题意，由超几何分布的概率计算公式，代入计算即可得到结果.【详解】由题意可得，P X=2=C22C25=110.故选：B3.(2023上·山东青岛·高三青岛二中校考期中)若1+x148的展开式中共有m个有理项，则m的值是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】利用二项展开式通项即可得解.【详解】1+x 1 48的展开式通项为T r+1=C r8x r4，r=0,1,2,⋯,8，当r=0,4,8时，T1,T5,T9为有理项，故m=3.故选：C.4.(22-23高二下·河南郑州·阶段练习)某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记-1分，已知该同学的罚球命中率为60%，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为()A.30B.36C.20D.26【答案】D【分析】根据二项分布数学期望公式可求得该同学罚球命中次数的数学期望，结合罚球得分的规则可计算得到结果.【详解】记该同学罚球命中的次数为X ，则X ∼B 10,0.6 ，∴E X =10×0.6=6，∴该同学得分的数学期望为6×5+10-6 ×-1 =30-4=26.故选：D .5.(22-23高二下·山东淄博·期末)某市高二年级进行了一次教学质量检测，考生共2万人，经统计分析数学成绩服从正态分布，其平均分为85分，60分以下的人数约15%，则数学成绩在85分至110分之间的考生人数约为()A.3000B.5000C.7000D.14000【答案】C【分析】根据考生的数学成绩服从正态分布，数学成绩平均分为85分，得到正态曲线关于x =85对称，根据60分以下的人数约15%，高于110分的所占的比例也是15%，根据正态曲线的对称性，即可得到结果.【详解】∵考生的数学成绩服从正态分布，数学成绩平均分为85分，∴正态曲线关于x =85对称，∵60分以下的人数约15%，∴高于110分的所占的比例也是15%，∴数学成绩在85分至110分之间的考生人数所占百分比约50%-15%=35%，所以数学成绩在85分至110分之间的考生人数约为20000×35%=7000(人).故选：C6.(22-23高二下·山东菏泽·期末)有两箱零件，第一箱内有10件，其中有2件次品；第二箱内有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是()A.790B.16C.740D.720【答案】C【分析】根据全概率公式计算可得.【详解】设事件A i 表示从第i i =1,2 箱中取一个零件，事件B 表示取出的零件是次品，则P B =P A 1B +P A 2B =P A 1 ⋅P (B |A 1)+P A 2 ⋅P (B |A 2)=12×210+12×320=740，即取出的零件是次品的概率为740.故选：C .7.(22-23高二下·山东淄博·期末)某医院要安排5名医生到A 、B 、C 三个社区参加义诊，每位医生必须去一个社区，每个社区至少有一名医生．则不同的安排方法数为()A.150B.210C.240D.180【答案】A【分析】先将5名医生分为三组，确定每组的人数，然后将这三组医生分配到A 、B 、C 三个社区，利用分步计数原理可得结果.【详解】将5名医生分为三组，每组人数分别为2、2、1或3、1、1，再将这三组医生分配到A 、B 、C 三个社区，由分步计数原理可知，不同的安排方法种数为C 25C 23A 22+C 35A 33=15+10 ×6=150.故选：A .8.(22-23高二下·江苏泰州·期末)在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对∀a >0，都有P ξ≥a ≤E ξa.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A ，其概率为P A .则P A 的最大值为()A.271000B.2431000C.427D.49【答案】B【分析】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y ,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，根据马尔可夫不等式可得0≤p ≤110，再根据二项分布求得P A =3p 1-p 2=3p 3-6p 2+3p ，令f (p )=3p 3-6p 2+3p ，求导判断单调性即可求得最大值.【详解】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y .设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，则根据马尔可夫不等式可得p =P X ≥100 ≤E X 100=10100=110，∴0≤p ≤110，因为Y ~B (3,p )，所以P A =P Y =1 =C 13p 1-p 2=3p 1-p 2=3p 3-6p 2+3p ，令f (p )=3p 3-6p 2+3p ，则f (p )=9p 2-12p +3=3(3p -1)(p -1)，∵0≤p ≤110,∴3p -1<0,p -1<0，即f (p )>0，∴f (p )在0,110上单调递增.∴f (p )max =f 110 =3×110×1-110 2=2431000，即P (A )max=2431000.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.(22-23高二下·湖北武汉·期末)下列说法正确的是()A.将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同B.线性回归直线y =b x +a 一定过样本点中心x ,yC.线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好【答案】ABD【分析】借助方差的性质、样本点中心的性质、线性相关系数的性质与残差的性质逐项判断即可得.【详解】对A ：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同，故A 正确；对B ：由a =y -b x ，故线性回归直线y =b x +a 一定过样本点中心x ,y，故B 正确；对C ：线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，故C 错误；对D ：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故D 正确.故选：ABD .10.(22-23高二下·江苏泰州·期末)关于二项式2x 2-1x5的展开式，下列说法正确的有()A.含x 5的项的系数为-80B.二项式系数和为32C.常数项为10D.只有第3项的二项式系数最大【答案】BC【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后逐个分析判断即可.【详解】二项式2x 2-1x5的展开式的通项公式为T r +1=C r 52x 2 5-r -1xr =C r 5⋅25-r ⋅-1 r x 10-52r，对于A ，令10-52r =5，得r =2，所以含x 5的项的系数为C 25⋅23⋅-1 2=80，所以A 错误，对于B ，二项式系数和为25=32，所以B 正确，对于C ，令10-52r =0，得r =4，所以常数项为C 45⋅2⋅-1 4=10，所以C 正确，对于D ，因为二项式2x 2-1x5的展开式共有6项，所以第3项和第4项的二项式系数最大，即C 25=C 35=10，所以D 错误，故选：BC11.(22-23高二下·山东淄博·期末)事件A ，B 的概率分别为：P A =12，P B =13，则()A.若A ，B 为互斥事件，P A +B =56B.P A +B >56C.若A ，B 相互独立，P AB =13 D.若P B A =13，则A ，B 相互独立【答案】AD【分析】利用互斥事件的定义及性质判断A 选项；利用和事件的关系判断B 选项；利用相互独立事件的定义及性质判断C 选项；利用条件概率公式，求解事件A 与B 的积事件，根据独立事件关系确定A 、B 的独立性可判断D .【详解】选项A ：若A ，B 为互斥事件，则P (AB )=0，所以P A +B =P A +P B -P (AB )=12+13-P (AB )=56，故A 正确；选项B ：P A +B =P A +P B -P (AB )=12+13-P (AB )≤56，故B 错误；选项C ：若A ，B 相互独立，所以P AB =1-P AB =1-P A ⋅P B =1-12×13=56，故C 错误；选项D ：因为P B A =P (AB )P (A )=13，所以P (AB )=P B |A ⋅P (A )=13×12=16=P (A )⋅P (B )，则A ，B 相互独立，故D 正确；故选：AD .【点睛】关键点点睛：通常判断两个事件是否相互独立，常用以下两种方法：1、事件独立性的定义：如果事件A 和事件B 相互不影响，则称事件A 和事件B 是相互独立的；2、乘法原理：如果事件A 和事件B 是相互独立，则它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.第二部分(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.(22-23高二下·辽宁·阶段练习)某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩X ~N 90,δ2 ，且P X <60 =0.1，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是．【答案】120【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得P X >120 =0.1，乘以总人数即可得出答案．【详解】由X ~N 90,δ2 ，得正态分布曲线的对称轴为x =90，因为P X <60 =0.1，所以P X >120 =0.1，则数学成绩为优秀的人数是1200×0.1=120，故答案为：120．13.(22-23高二下·山东菏泽·期末)根据下面的数据：x1234y31.652.57291.9求得y 关于x 的回归直线方程为y =20x +12，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为.【答案】0.105/21200【分析】分别计算出四个数据的估计值，即可求得残差，继而求得残差的平均数，根据方差公式即可求得答案.【详解】根据y =20x +12，分别将x =1,2,3,4代入求得y 分别为：32,52,72,92，则4个残差为-0.4,0.5,0,-0.1，残差的平均数为0，故残差的方差为s 2=14[(-0.4-0)2+(0.5-0)2+(0-0)2+(-0.1-0)2]=0.105，故答案为：0.10514.(22-23高二下·北京昌平·期中)已知函数f x =e x ,(x >0)-x ,x ≤0 ，若直线y =kx +1与曲线y =f (x )有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是【答案】-1<k ≤1【分析】找到直线y =kx +1与y =e x 相切时的斜率k =1以及y =kx +1与y =-x 平行时的斜率k =-1，通过转动直线即可得到k 的范围.【详解】y =kx +1过定点(0,1)，f x =e x 求导有f x =e x ，f 0 =1，且f 0 =1，y =e x 在(0,1)处的切线斜率为1，要满足y =kx +1与曲线f (x )有且仅有一个公共点，当直线y =kx +1与y =-x 平行时，此时k =-1，转动直线y =kx +1可知-1<k ≤1.故答案为：-1<k ≤1.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15.(22-23高二下·山东菏泽·期末)已知随机变量X 的分布列为：X56789P 0.1a 0.2b0.3(1)若E X =385，求a 、b 的值；(2)记事件A ：X ≥7；事件B ：X 为偶数.已知P B A =16，求a ，b 的值.【答案】(1)a =0.1，b =0.3；(2)a =0.3,b =0.1.【分析】(1)由随机变量分布列的性质和E X =385联立方程，解出即可；(2)由事件A ：X ≥7,可得P A =0.5+b ，又事件B ：X 为偶数,得P AB =P X =8 =b ，再根据条件概率可求得a ,b 的值.【详解】(1)由随机变量分布列的性质,有0.1+a +0.2+b +0.3=1, 得a +b =0.4，即b =0.4-a ,又E X =5×0.1+6×a +7×0.2+8×b +9×0.3=0.5+6a +1.4+80.4-a +2.7=7.8+2b =385，解得b =0.3,a =0.1.(2)由事件A ：X ≥7,得P A =P X =7 +P X =8 +P X =9 =0.2+b +0.3=0.5+b ，又事件B ：X 为偶数,得P AB =P X =8 =b ，所以P B A =P AB P A=b 0.5+b =16,解得b =0.1.由(1)知a +b =0.4,所以a =0.3.所以a =0.3,b =0.1.16.(2022·江苏南京·南京市宁海中学校考模拟预测)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个300元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个更合理？【答案】(1)分布列见解析；(2)选n=19更合理，理由见解析.【分析】(1)由柱状图，易得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求得其相应概率，列出分布列；(2)购买零件所需费用含两部分：一部分为购买零件的费用，令一部分为备件不足时额外购买的费用，结合(1)分别求出n=19、n=20时费用的期望即可下结论.【详解】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04；P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16；P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24；P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24；P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2；P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08；P(X=22)=0.2×0.2=0.04；所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)购买零件所需费用含两部分：一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×100+300×0.2+600×0.08+900×0.04=2044元，当n=20时，费用的期望为：20×100+300×0.08+600×0.04=2048元，因为2044<2048，所以选n=19更适合.17.(22-23高二下·山东菏泽·期末)电商的兴起，促进了我市经济的发展.已知某电商平台对其牌下一家专营店在2022年3月至7月的营业收入y(单位：万元)进行统计，得到以下数据：月份x34567营业收入y 1012111220(1)依据表中给出的数据，用样本相关系数r 说明营业收入y 与月份x 的相关程度；(2)试用最小二乘法求出营业收入y 与月份x 的一元线性回归方程，并预测当x =8时该专营店的营业收入.r =n i =1(x i -x ) (y i -y )n i =1(x i -x )2 n i =1(y i -y )2 ，b =n i =1(x i -x ) (y i -y )n i =1(x i -x )2 =ni =1x i y i -nx y n i =1x 2i -nx 2 a =y -b x ，10≈3.162.以上各式仅供参考)【答案】(1)r ≈0.79，营业收入y 与月份x 的相关程度很强(2)线性回归方程为y =2x +3，当x =8时该专营店的营业收入为19万元【分析】(1)计算出x 、y ，5i =1x i -x y i -y 、5i =1x i -x 2 、5i =1y i -y 2 ，代入r 可得答案；(2)用最小二乘法求出营业收入y 与月份x 的一元线性回归方程，并代入x =8可得答案.【详解】(1)x =3+4+5+6+75=5，y =10+12+11+12+205=13，5i =1(x i -x ) (y i -y )=3-5 10-13 +4-5 12-13 +5-5 11-13+6-5 12-13 +7-5 20-13 =20，5i =1x i -x 2 =3-5 2+4-5 2+5-5 2+6-5 2+7-5 2=10，5i =1y i -y2 =10-13 2+12-13 2+11-13 2+12-13 2+20-13 2=64，所以r =5i =1x i -x y i -y5i =1x i -x 2 5i =1y i -y 2 =2010×64≈0.79，因为r ≈0.79∈0.75,1 ，说明营业收入y 与月份x 的相关程度很强，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；(2)由(1)，b =5i =1x i -x y i -y5i =1x i -x 2 =2010=2，a =y -b x =13-2×5=3，所以y 关于x 的线性回归方程为y =2x +3，当x =8时该专营店的营业收入为y =2×8+3=19万元.18.(22-23高二下·江苏泰州·期末)某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各100人进行调查统计，得到如下2×2列联表：关注不关注合计男性5050100女性3070100合计80120200(1)能否有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？(2)有3位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为13，且相互独立.设这3位市民参观新能源汽车展区的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.附：χ2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +dP χ2≥x 00.0500.0100.001x 0 3.841 6.63510.828【答案】(1)有(2)分布列见解析，数学期望为1【分析】(1)根据表中的数据利用公式χ2=n ad -bc 2a +bc +d a +c b +d 求解χ2，再根据临界值表进行判断即可，(2)由题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3，而ξ∼B 3,13，所以利用二项分布的概率公式求出各自对应的概率，从而可求得ξ的概率分布和数学期望.【详解】(1)提出假设H 0：男性和女性对此次大型车展的关注程度没有明显差异.由列联表中的数据可得：χ2=20050×70-50×30 2100×100×80×120=253≈8.333，因为当H 0成立时，P χ2≥6.635 ≈0.010，这里的χ2≈8.000>6.635，所以我们有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差异.(2)由题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3.因为ξ∼B 3,13，所以P ξ=k =C k 313 k 23 3-k ，其中k =0，1，2，3，故ξ的概率分布表为：ξ0123P 8274929127所以E ξ =0×827+1×49+2×29+3×127=1，所以随机变量ξ的数学期望为1.19.(22-23高二下·山东淄博·期末)已知函数f x =2x 3-3ax 2+1a ∈R ．(1)讨论f x 的单调性；(2)若对∀x ∈0,+∞ ，f x ≥0恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)-∞,1【分析】(1)首先求函数的导数，讨论导数零点的大小关系，从而判断函数的单调性；(2)参变分离可得a ≤23x +13x 2对∀x ∈0,+∞ 恒成立，令F x =23x +13x2，x ∈0,+∞ ，利用导数求出函数的最小值，即可得解.【详解】(1)f x =2x 3-3ax 2+1定义域为R ，f x =6x 2-6ax =6x x -a ，当a >0时，令f x >0，得x >a 或x <0，令f x <0，得0<x <a ，函数的单调递增区间是-∞,0 和a ,+∞ ，单调递减区间是0,a ；当a <0时，令f x >0，得x >0或x <a ，令f x <0，得a <x <0，函数的单调递增区间是-∞,a 和0,+∞ ，单调递减区间是a ,0 ；当a =0时，f x =6x 2≥0恒成立，函数在-∞,+∞ 单调递增.综上可知，当a >0时，函数的单调递增区间是-∞,0 和a ,+∞ ，单调递减区间是0,a ；当a <0时，函数的单调递增区间是-∞,a 和0,+∞ ，单调递减区间是a ,0 ；当a =0时，函数的单调递增区间是-∞,+∞ ，无减区间.(2)若函数f x =2x 3-3ax 2+1≥0，对∀x ∈0,+∞ 恒成立，即a ≤23x +13x2对∀x ∈0,+∞ 恒成立，令F x =23x +13x2，x ∈0,+∞ ，则F x =23-23x 3=2x 3-1 3x 3，当0<x <1时F x <0，当x >1时F x >0，所以F x 在区间0,1 上单调递减，在区间1,+∞ 上单调递增，所以F x 在x =1处取得极小值即最小值F x min =F 1 =1，所以a ≤1，即实数a 的取值范围为-∞,1 .。

河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题(含答案解析)

河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题(含答案解析)

河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线10ax y +-=的倾斜角为30°，则=a （）A ．3-B C ．D 2．若a ，b ，c 成等比数列且公比为q ，那么1a ，1b ，1c（）A ．不一定是等比数列B ．一定不是等比数列C ．一定是等比数列，且公比为1qD ．一定是等比数列，且公比为q3．圆221:4240C x y x y +-+-=与圆222:4440C x y x y ++-+=的位置关系为（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离4．已知四棱锥P ABCD -底面为平行四边形，点M 为BC 中点，设AB a = ，AD b =，c AP = ，则下列向量中与PM相等的向量是（）A ．12a b c+-B ．12a b c+- C ．12a b c--+ D ．12a b c++ 5．已知点(4,0)A -到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>渐近线的距离为125，则C 的离心率为（）A ．54B ．53C ．43D ．26．已知1F ，2F 是椭圆22:143x yC +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上.当12PF F △的面积最大时，12PF F △的内切圆半径为（）A ．12B C ．1D 7．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，1160A AD A AB ∠=∠=︒，12AA =，则异面直线AC 与1DC 所成角的余弦值为（）A B C D 8．已知n S 和n T 分别是数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，且满足112n n S a =-，45n b n =-+，若对*n ∀∈N ，使得53(2)n n T S a a -≤+成立，则实数a 的取值范围是（）C ．2a ≤-或4a ≥D ．3a ≤-或1a ≥二、多选题9．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(1,1,1)P ，(1,0,1)A ，(0,1,0)B ，则下列说法正确的是（）A ．点P 关于yOz 平面对称的点的坐标为(1,1,1)-B ．若平面α的法向量(2,2,2)n =-，则直线//AB 平面αC ．若PA ，PB分别为平面α，β的法向量，则平面α⊥平面βD ．点P 到直线AB 10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，()00,M x y 是抛物线C 上一个动点，点(0,2)A ，则下列说法正确的是（）A ．若5MF =，则04y =B ．过点A 与抛物线C 有一个公共点的直线有3条C ．MF MA +D ．点M 到直线30x y -+=的最短距离为11．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，70a >，80a <，6890a a a ++=，则()A ．130S <B ．10a >，0d <C ．780a a +<D ．当7n =时，n S 有最大值12．已知双曲线22:13y C x -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A ，B ，则（）A ．若A 在双曲线右支上，则AF 的最短长度为1B ．若A ，B 同在双曲线右支上，则lC ．AB 的最短长度为6D ．满足8AB =的直线l 有4条三、填空题13．已知直线230x y +-=与直线(3)240a x y --+=平行，则=a ______.14．数列{}n a 的通项公式为()*(1)(21)n n a n n =--∈N ，其前n 项和为n S ，则15S =______.15．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为PC 的中点，则点P 到平面ABD 的距离等于______.16．已知点(2,2)E -和抛物线2:8C x y =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于P ，Q 两点.若90PEQ ∠=︒，则k =______.四、解答题17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过(1,1)A -和()1,3B 两点.(1)求圆C 的方程；(2)过点(3,2)P 的直线l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程.18．在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，22a b =，135b b a +=(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若{}n a 的前n 项和为n S ，1n n nc b S =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .19．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，13AA =，M ，N 分别为11A C ，1BB 的中点.(1)求证：//MN 平面1A BC ；(2)求直线1A N 与平面1A BC 所成角的正弦值.20．已知数列{}n a 的首项11a =，且()*132n n n a a n ++=⨯∈N ，2nn n b a =-.(1)计算1b ，2b ，3b 的值，并证明{}n b 是等比数列；(2)记(1)nn n c a =--，求数列{}(23)n n c -⋅的前n 项和n S .21．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，CD PB ⊥，122PD AD AB BC ====.(1)求证：PD ⊥平面ABCD ；(2)若直线PC 与平面ABCD 所成的角为30°，点E 在线段AP 上，且3PA PE =，求平面PBD 与平面BDE 夹角的余弦值.22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的上顶点到右顶点的距离为3，且过点()2,1P .(1)求椭圆E 的方程；(2)O 为坐标原点，点Q 与点P 关于x 轴对称，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，且满足APQ BPQ ∠=∠，求OAB 面积的最大值.参考答案：1．A【分析】根据方程和倾斜角分别求出直线的斜率，进而得到a 的值.【详解】由已知得直线的斜率tan 30k =︒a=-,∴a =,故选:A.2．C【分析】根据等比数列的定义及等比数列的中项判断.【详解】因为a ，b ，c 成等比数列且公比为q ，所以b q a =，2b ac =，可得211b ac =，111a b b qa ==，由等比数列的中项可判断得1a ，1b ，1c成等比数列，并且公比为1q .故选：C 3．C【分析】将两圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标和半径的长，然后利用圆与圆的位置关系判定.【详解】将两圆的一般方程化为标准方程得()()221:219C x y -++=;()()222 :224C x y ++-=,可知圆心()12,1C -,()22,2C -,半径123,2r r ==,12125C C r r ==+，故两圆外切，故选：C 4．B【分析】由平面向量的线性运算与基底表示计算可得答案.【详解】如图，因为四棱锥P ABCD -底面为平行四边形，点M 为BC 中点，所以()1122PM AM AP AB BM AP AB AD AP a b c ⎛⎫⎛⎫=-=+-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B5．A【分析】利用点到直线的距离公式求得a ,b 的关系，转化为a ,c 的关系，进而得到离心率.【详解】由双曲线的对称性，不妨取双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线0bx ay -=,由已知得125=,即()222925c c a =-,221625c a =,45c a =,54c e a ==,故选：A 6．B【分析】由椭圆方程得到椭圆的焦点坐标，由椭圆的性质得到P 的坐标，由椭圆的定义求得三角形的周长，利用面积法求得内切圆半径.【详解】解：由已知得224,3,2,1,a b a c ==∴==∴()()121,0,1,0F F -,∵点P 在椭圆C 上,当12PF F △的面积最大时，∴点P 到x 轴距离最大，即P 为椭圆的短轴的端点，不妨设P12PF F △周长为222226l c a =+=+⨯=，面积为S设内切圆半径为r ,则S =12rl ,∴r =23S l =,故选B.7．D【分析】设1,,AB a BC b CC c === ，则1,AC a b DC a c =++= ，根据空间向量夹角公式即可求解．【详解】设1,,AB a BC b CC c === ，底面ABCD 是边长为1的正方形，1112,60AA A AB A AD =∠=∠=，()()1AC DC a b a c∴⋅=+⋅+ 112cos6011cos9012cos603a a a c b a b c =⋅+⋅+⋅+⋅=+⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=，()222221102AC a ba b a b =+=++⋅=++=，()2222121427DC a c a c a c =+=++⋅=++=111cos ,,14AC DC AC DC AC DC ∴=⋅=⋅=异面直线AC 与1DC所成角的余弦值为14，故选：D 8．D【分析】利用和与项的一般关系求得数列{}n a 的递推关系，根据等比数列的定义判定为等比数列，得到通项公式，进而得到113n n S =-，利用等差数列的求和公式得到223nT n n =-+,进而结合二次函数和指数函数的单调性得到不等式左端的最大值，根据不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，求解即得.【详解】由112n n S a =-得111112a S a ==-,∴123a =,()111122n n S a n --=-≥,∴111122n n n n n a S S a a --=-=-,∴()1123n n a a n -=≥,∴数列{}n a 为首项为123a =，公比为13q =的等比数列，∴23n n a =,∴113nn S =-，∵45n b n =-+，∴{}n b 为等差数列，∴()2145232n n T n n n +-+=⨯=-+,21553110133n n n n T n S -=-+-+-,记211()101533n f n n n -=-+-+当n ∈N*时，()f n 为n 的单调递减函数，∴()()max 13f n f ==53(2)n n T S a a -≤+恒成立的充分必要条件是()32a a ≤+,解得3a ≤-或1a ≥，故选：D 9．ACD【分析】根据空间点的对称性判断A ，根据0A n B ⋅≠ 判断B ，根据0PA PB ⋅=判断C ，利用空间向量法求点到直线的距离判断D ；【详解】解：对于A ：因为(1,1,1)P ，所以点P 关于yOz 平面对称的点的坐标为(1,1,1)-，故A 正确；对于B ：因为(1,0,1)A ，(0,1,0)B ，所以()1,1,1AB =--，因为平面α的法向量(2,2,2)n =- ，所以()()12121260AB n =-⨯+⨯-+-⨯=⋅-≠，所以直线AB 与平面α不平行，故B 错误；对于C ：因为()0,1,0PA =- 、()1,0,1PB =-- ，所以0PA PB ⋅= ，因为PA ，PB分别为平面α，β的法向量，所以平面α⊥平面β，故C 正确；对于D ：因为()0,1,0AP = ，()1,1,1AB =-- ，所以1AP AB ⋅=，所以点P 到直线AB的距离d =D 正确；故选：ACD 10．BC【分析】A 选项，利用抛物线定义进行求解04x =，进而求出04y =±；B 选项，与抛物线相切的线有两条，与x 轴平行的有一条；C 选项，利用两点之间线段最短进行求解；D 选项，转化为两平行线之间距离进行求解最短距离.【详解】A 选项，过点M 作MA 垂直抛物线准线=1x -于点B ，根据抛物线定义可知：5MF MB ==，即015x +=，解得：04x =，代入抛物线中得：04y =±，故A 错误；B 选项，过点A 平行于x 轴的直线2y =与抛物线有一个公共点，过点A 的y 轴，与抛物线相切，有一个公共点，当直线斜率存在时，设过点A 的直线方程为2y kx -=，与抛物线联立得：()224440k x k x +-+=，由Δ0=得：12k =，即122y x =+与抛物线相切，只有一个交点，综上：共有3条，B 正确；C 选项，由抛物线方程可知：()1,0F ，连接AF ，与抛物线交于一点，由两点之间，线段最短，可知，此点即为符合要求的M 点，此时MF MA +=，C 正确；D 选项，设与30x y -+=平行且与抛物线相切的直线为:0l x y c -+=，此时直线:0l x y c -+=与抛物线的切点即为M ，则:0l x y c -+=与30x y -+=的距离即为点M 到直线30x y -+=的最短距离d ，联立:0l x y c -+=与抛物线方程得：()22240x c x c +-+=，由()222440c c ∆=--=解得：1c =，故d =D 选项错误.故选：BC 11．BD【分析】由等差数列前n 项和公式即可判断A ；由等差数列的单调性可判断B ；由6890a a a ++=可判断C ；由等差数列前n 项和的性质可判断D.【详解】70a > ，()113137131302a a S a +∴==>，故选项A 错误；70a > ，80a <，10a ∴>，0d <，故选项B 正确；6897880a a a a a a ++=++= ，且80a <，780a a ∴+>，故选项C 错误；由70a >，80a <知，当7n =时，n S 有最大值，故选项D 正确；故选：BD ．12．AD【分析】由双曲线的方程求出,,a b c 的值，A 在双曲线右支上，则AF 的最短长度为c a -可判断A ；求出双曲线的渐近线方程，由直线l 的斜率与渐近线斜率的关系可判断B ，讨论l 的斜率不存在和斜率为0时弦长AB ，即可得AB 的最短长度可判断C ，由l 的斜率不存在和斜率为0时弦长AB ，结合双曲线的对称性可判断D ，进而可得正确选项.【详解】由双曲线22:13y C x -=可得1a =，b =，所以2c ==，对于A ：若A 在双曲线右支上，则AF 的最短长度为211c a -=-=，故选项A 正确；对于B ：双曲线的渐近线方程为：by x a=±=，若A ，B 同在双曲线右支上，则l 的斜B 不正确；对于C ：当A ，B 同在双曲线右支上时，AB x ⊥轴时，AB 最短，将2x =代入2213y x -=可得3=±y ，此时6AB =，当A ，B 在双曲线两支上时，AB 最短为实轴长22a =，所以AB 的最短长度为2，故选项C 不正确；对于D ：当A ，B 同在双曲线右支上时，min 68AB =<，当A ，B 在双曲线两支上时，min 28AB =<，根据双曲线对称性可知：满足8AB =的直线l 有4条，故选项D 正确；故选：AD.13．1-【分析】先利用直线平行的一般式的计算公式代入求解a 的值，然后再将结果分别代入验证两条直线是否平行．【详解】由题意可知，(3)220a -+⨯=，得1a =-，当1a =-时，直线230x y +-=与直线4240x y --+=平行；故答案为：1-．14．15-【分析】根据解析式，分别求得奇数项和与偶数项和，综合即可得答案.【详解】由题意得1351,5,9a a a =-=-=-⋅⋅⋅，即奇数项为首项为-1，公差为-4的等差数列，所以1315878(1)(4)1202a a a ⨯++⋅⋅⋅+=⨯-+⨯-=-，2463,7,11a a a ===⋅⋅⋅，即偶数项为首项为3，公差为4的等差数列，所以2414767341052a a a ⨯++⋅⋅⋅+=⨯+⨯=，所以15121512010515S a a a =++⋅⋅⋅+=-+=-.故答案为：15-15【分析】根据线面垂直的性质定理，可证,PA AB PA BC ⊥⊥，即可求得各个边长、面积，利用等体积法，即可求得答案.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA BC ⊥⊥，所以在Rt PAB 中，12222PAB S =⨯⨯= ，在Rt ABC 中，2222AC AB AC =+=，在Rt PAC △中，2223PC PA AC =+=，因为D 为PC 中点，所以132AD BD PC ===，所以2211222ABDS AB BD AB ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，因为,BC AB BC PA ⊥⊥，所以BC ⊥平面PAB ，所以C 到平面PAB 的距离即为BC =2，因为D 为PC 的中点，所以D 到平面PAB 的距离即为112BC =，设P 到平面ABD 的距离为h ，因为P ABD D PAB V V --=，所以11133ABD PAB S h S ⨯⨯=⨯⨯ ，解得2h =，所以点P 到平面ABD 的距离等于2.故答案为：216．12##0.5【分析】设出直线方程，联立后用韦达定理得到两根之和，两根之积，根据垂直得到斜率的等量关系，代入后求得结果.【详解】设直线:2PQ y kx -=，与2:8C x y =联立得：28160x kx --=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则128x x k +=，1216x x =-，因为90PEQ ∠=︒，所以1PE QE k k ⋅=-，即121222122y y x x ++⋅=---，整理得：()()()21212142200kx x k x x ++-++=，即()2210k -=，解得：12k =.故答案为：1217．(1)22(2)10x y -+=(2)3x =或3410x y --=【分析】（１）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据已知条件列出方程组求解即得；（２）分斜率存在与否，利用直线与圆相切的条件求解.【详解】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则0,220,3100,E D E F D E F ⎧-=⎪⎪-+++=⎨⎪+++=⎪⎩解得4,0,6.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆C 的方程为22460x y x +--=，即()22210x y -+=.（2）因为直线l 被圆C 截得的弦长为6，所以圆心到直线l的距离1d ==.当l 的斜率不存在时，直线l 方程为3x =，符合题意.当l 的斜率存在时，设直线l 方程为()23y k x -=-，即320kx y k --+=则1d ==.解得34k =.此时直线l 方程为()3234y x -=-，即3410x y --=.综上所述，直线l 的方程为3x =或3410x y --=.18．(1)2n a n =，2nn b =(2)11211n n T n +=--+【分析】（1）列式计算等差数列的公差d 与等比数列的公比q ，从而写出通项公式；（2）计算n S ，从而表示出1nS ，利用分组求和法与裂项相消法求和n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则22222224d qd q q d +=⎧⇒==⎨+=+⎩.所以2n a n =，2n n b =.（2）(22)(1)2n n n S n n +==+，则1111(1)1n S n n n n ==-++，()2121211111111......1...(22...2)2231nn n n T b b b S S S n n ⎛⎫⎛⎫=+++++++=-+-++-++++ ⎪+⎝⎭⎝⎭1112211211121n n n n ++-=-+=--+-+.19．(1)证明见解析(2)310【分析】（1）取1CC 的中点E ，连接ME ，NE ，通过证明平面MNE //平面1A BC 可得结论；（2）取AB 中点O ，11A B 中点1O ，连接OC ，1OO ，以OB ，OC ，1OO 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，利用向量法求直线1A N 与平面1A BC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取1CC 的中点E ，连接ME ，NE ，M ，E 分别为11A C ，1CC 的中点，1ME //AC ∴.又ME ⊄ 平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，ME //∴平面1A BC .又N Q ，E 分别为1BB ，1CC 的中点，NE //BC ∴，又NE ⊄ 平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，NE //∴平面1A BC .又ME NE E ⋂= ，∴平面MNE //平面1A BC .又MN ⊂ 平面MNE ，MN //∴平面1A BC .（2）取AB 中点O ，11A B 中点1O ，连接OC ，1OO .ABC 是边长为2的正三角形，.OC AB ∴⊥.以OB ，OC ，1OO 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz则()3,0C ，()11,0,3A -，()1,0,0B ，31,0,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,3,0CB =- ，()1132,0,3,2,0,2BA A N ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 设平面1A BC 的法向量(),,n x y z =，由100CB n BA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30230x x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，取()3,2n = 设直线1A N 与平面1A BC 所成的角为θ，则11133sin cos ,51042n A N n A N n A N θ⋅====⨯∴直线1A N 与平面1A BC 所成角的正弦值为310.20．(1)11b =-，21b =，31b =-，证明见解析(2)1(25)210n n S n +=-⨯+【分析】（1）由132n n n a a ++=⨯，分别计算出23,a a ，可得1b ，2b ，3b ，132nn n a a ++=⨯转化得()1122n n n n a a ++-=--，即1n n b b +=-，即可证明数列{}n b 是等比数列；（2）写出数列{}n c 的通项公式，然后利用错位相减法求和.【详解】（1）在132n n n a a ++=⨯中，令1n =得，126a a +=，2165a a ∴=-=.同理可得，37a =.1121b a ∴=-=-，22221b a =-=，33321b a =-=-.由132nn n a a ++=⨯得，()1122n n n n a a ++-=--，即1n n b b +=-，又110b =-≠ ，{}n b ∴是以1-为首项，1-为公比的等比数列.（2）由（1）可知，(1)n n b =-，2(1)2n n nn n a b =+=-+.则(1)2n nn n c a =--=.23(1)21232(23)2n n S n =-⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，23412(1)21232(23)2n n S n +=-⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，上述两式相减，得()23122222(23)2n n n S n +-=-+++⋅⋅⋅+--⨯2112222(23)212n n n ++-=-+⨯--⨯-1(25)210n n +=--⨯-1(25)210n n S n +∴=-⨯+【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解．21．(1)证明见解析【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得CD ⊥平面PBD ,得到CD PD ⊥,然后，根据已知条件，利用面面垂直的性质定理证得结论；（2）以DB ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量的坐标运算求解.【详解】（1）（1）证明：取BC 中点F ，连接DF .//AD BF ，且AD BF =，∴四边形ABFD 为平行四边形.则12DF AB BC ==，于是CD BD ⊥.又CD PB ⊥ ，PB BD B ⋂=，CD ∴⊥平面PBD .又PD ⊂ 平面PBD ，CD PD ∴⊥.又 平面PCD ⊥平面ABCD 且交线为CD ，PD ∴⊥平面ABCD .（2）（2）PD ⊥ 平面ABCD .PCD ∴∠即为直线PC 与平面ABCD 所成的角，30PCD ∴∠=︒.又2PD =，CD AF ∴==2BD =.以DB ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()2,0,0B，()1,A ，()0,0,2P.()1,2PA =- ，()2,0,0DB =，()0,0,2DP =.3PA PE = ，()()11140,0,21,2,,33333DE DP PA ⎛⎫∴=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BDE 的法向量(),,n x y z =，由0,0,DB n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,140,333x x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩取(0,n = .由（1）可知，DC ⊥平面PBD ，所以平面PBD的法向量()0,DC =,19DC n cos DC n DC n ⋅∴〈〉==.∴平面PBD 与平面BDE.【点睛】22．(1)22163x y +=(2)2【分析】（1）根据椭圆经过的点及上顶点到右顶点的距离，求出,a b ，得到椭圆方程；（2）设出直线AB 方程，联立后用韦达定理，根据角度相等，转化为斜率之和为0，列出方程，求出k ，求出弦长，表达出面积，求出面积最大值.【详解】（1）由已知可得，22229,411,a b ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得226,3.a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆E 的方程为22163x y +=.（2）依题意，直线AB 斜率一定存在，设AB 方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y .由22,163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()222124260k x kmx m +++-=，()()2222Δ16412260k m k m=-+->，得22630k m -+>，122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+.APQ BPQ ∠=∠ ，0PA PB k k ∴+=，121211022y y x x --∴+=--.()()()()211221210x y x y ∴--+--=，()()()()211221210x kx m x kx m ∴-+-+-+-=.()()()1212.221410kx x m k x x m ∴+--+--=.()()()2222264214101212k m km m k m kk---∴---=++.化简得，22310k k km m -++-=，即()()1210k k m -+-=1k ∴=或12m k =-.将12m k =-代入y kx m =+中，得()12y k x -=-，即直线AB 经过点P ，不合题意，所以12m k =-舍去，AB 分别位于PQ 的两侧，31m ∴-<<-，且1243m x x +=-，212263m x x -=.12AB x =-==O 到AB 的距离d =OAB ∴ 的面积为()22911222m m S AB d +-=⨯⨯=⨯=当且仅当229m m =-，即m =.OAB ∴ 面积的最大值为2.【点睛】对于圆锥曲线求解弦长，面积等最值问题，通常情况下，要设出直线方程，联立后利用韦达定理，求出弦长，表达出面积，再最后求解最值时，要结合代数式的特征，选择合适的方法，比如基本不等式，换元法，转化为二次函数求最值等.。

高二数学2022-2023学年第二学期期末模拟卷(含答案)

高二数学2022-2023学年第二学期期末模拟卷(含答案)

2022-2023学年高二下学期期末模拟试卷(时间：120分钟，分值：150分，范围：必修二第5章——必修三第6、7、8章)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列说法，正确的是（）A ．对分类变量X 与Y 的独立性检验的统计量2χ来说，2χ值越小，判断“X 与Y 有关系”的把握性越大B ．在残差图中，残差点分布在以取值是0的横轴为对称轴的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C ．若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线23y x =-+上，则这组样本数据的相关系数r 为1D ．数据－1，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是22．某校有演讲社团､篮球社团､乒乓球社团､羽毛球社团､独唱社团共五个社团，甲､乙､丙､丁､戊五名同学分别从五个社团中选择一个报名，记事件A 为“五名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选篮球”，则()P A B =（）A ．332B ．316C ．34D ．253．82x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中，二项式系数最大的项是（）A ．第3项B ．第4顶C ．第5项D ．第6项4．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，则不同的站法有（）A ．1440种B ．2880种C ．4320种D ．3600种5．2023年春，为了解开学后大学生的身体健康状况，寒假开学后，学校医疗部门抽取部分学生检查后，发现大学生的舒张压呈正态分布()270.8,7.02X N ~（单位：mm /Hg ），且()82.80.1P X >=，若任意抽查该校大学生6人，恰好有k 人的舒张压落在()58.8,82.8内的概率最大，则k =（）A ．3B ．4C ．5D ．66．抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（）A ．18B ．78C ．17D ．677．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有A ．72种B ．108种C ．36种D ．144种8．若不等式222e ln e ln 2e xaa x x a -+-≥-在[1,2]x ∈-有解，则实数a 的取值范围是（）A ．21,e 2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．421,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．41,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知21nx x ⎛⎝的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（）A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式的各项系数之和为1024C ．展开式中常数项为45D ．展开式中含15x 项的系数为4510．下列说法正确的是（）A ．在一个2×2列联表中，计算得到2χ的值，则2χ的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大B ．随机变量()2~,N ξμσ，若函数()()2f x P x x ξ=≤≤+为偶函数，则1μ=C ．若回归直线方程为ˆ 1.22yx =+，则样本点的中心不可能为(5,7)D ．若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.91-和0.89，则甲组数据的线性相关性更强11．一个袋子中有编号分别为1,2,3,4的4个球，除编号外没有其它差异.每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球.设“第一次摸到的球的编号为2”为事件A ，“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件B ，“两次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件C ，则下列说法正确的是（）A ．()516P C =B ．事件B 与事件C 相互独立C ．()12P CA =∣D ．事件A 与事件B 互为对立事件12．下列不等关系中正确的是（）A 32ln 3<B 344ln 3>C ．sin 33sin1cos1<D ．sin 33sin1cos1>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．2023年五一节到来之前，某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场这种商品的售价x （单位：元）与销售量y （单位：件）之间的一组数据如下表所示：价格x 89.5m 10.512销售量y1610865经分析知，销售量y 件与价格x 元之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为 3.544y x =-+，则m =________．14．某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，该圆环区域被等分为5个部分，每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植．要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，总的栽植方案有_________种．15．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有3件次品；第二箱内装有20件，其中有2件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，已知取出的是次品，则它是从第一箱取出的概率为__________．16．已知函数()ln 20()a x x a f x =-≠，若不等式222e ()e cos(())a x x x f x f x ≥+对0x >恒成立，则实数a 的取值范围为__________.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生450名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩（满分为100分），分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．其中成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“非优秀”．(1)求实数a 的值，并估算全校1000名学生中成绩优秀的人数；(2)完成下列22⨯列联表，判断是否有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关．优秀非优秀合计男女10合计附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．2()P k αχ=≥0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82818．（12分）已知()()52601261(1)(1)m x x a a x a x a x +=+-+-++- ，其中R m ∈，且13564a a a ++=，(1)求m 的值；(2)求4a 的值.19．（12分）已知0a >，函数()()2ln ln f x x a a x x e =-+-，其中e 是自然对数的底数.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当a e =时，求函数()f x 的单调区间；(3)求证：函数()f x 存在极值点，并求极值点0x 的最小值.20．（12分）某校20名学生的数学成绩(1,2,,20)i x i = 和知识竞赛成绩(1,2,,20)i y i = 如下表：学生编号i 12345678910数学成绩i x 100999693908885838077知识竞赛成绩iy 29016022020065709010060270学生编号i 11121314151617181920数学成绩i x 75747270686660503935知识竞赛成绩iy 4535405025302015105计算可得数学成绩的平均值是75x =，知识竞赛成绩的平均值是90y =，并且()20216464i i x x =-=∑，()2021149450ii yy =-=∑，()()20121650i i i x x y y =--=∑．(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）．(2)设*N N ∈，变量x 和变量y 的一组样本数据为(){},|1,2,,i i x y i N = ，其中(1,2,,)i x i N = 两两不相同，(1,2,,)i y i N = 两两不相同．记i x 在{},2|1,,n x n N = 中的排名是第i R 位，i y 在{},2|1,,n y n N = 中的排名是第i S 位，1,2,,i N = ．定义变量x 和变量y 的“斯皮尔曼相关系数”（记为ρ）为变量x 的排名和变量y 的排名的样本相关系数．（i ）记i i i d R S =-，1,2,,i N = ．证明：()221611Ni i d N N ρ==--∑．（ii ）用（i ）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到0.01）．(3)比较（1）和（2）（ii ）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．注：参考公式与参考数据．()()niix x y y r --=∑21(1)(21)6nk n n n k =++=∑31000≈．21．（12分）某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.(1)当进行完3轮游戏时，总分为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)若累计得分为i 的概率为()1,2,,9i p i =⋅⋅⋅，初始分数为0分，记01p =（i ）证明：数列{}()11,2,,9i i p p i --=⋅⋅⋅是等比数列；（ii ）求活动参与者得到纪念品的概率.22．（12分）已知函数()e ln xf x x a x =-在1x =处的切线方程为()()21,R y e x b a b =+-∈(1)求实数a ，b 的值；(2)设函数()()23xg x f x e x =--+，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g x 的值域为区间()(),,Z m n m n ∈的子集，求n m -的最小值．2022-2023学年高二下学期期末模拟试卷(时间：120分钟，分值：150分，范围：必修二第5章——必修三第6、7、8章)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列说法，正确的是（）A ．对分类变量X 与Y 的独立性检验的统计量2χ来说，2χ值越小，判断“X 与Y 有关系”的把握性越大B ．在残差图中，残差点分布在以取值是0的横轴为对称轴的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C ．若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线23y x =-+上，则这组样本数据的相关系数r 为1D ．数据－1，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是2【答案】B【分析】对选项A ，根据独立性检验的定义即可判断A 错误，对选项B ，根据残差图的性质即可判断B 正确，对选项C ，根据题意得到相关系数为1-，故C 错误，对选项D ，根据计算得到第25百分位数是32，即可判断D 错误.【详解】对于A ，由独立性检验可知，2χ值越大，判断“X 与Y 有关系”的把握性越大，故A 错误；对于B ，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故B 正确；对于C ，样本点都在直线23y x =-+上，说明是负相关，相关系数为1-，故C 错误；对于D ，8个数据从小到大排列，由于80.252⨯=，所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数12322+=，故D 错误，故选：B 2．某校有演讲社团､篮球社团､乒乓球社团､羽毛球社团､独唱社团共五个社团，甲､乙､丙､丁､戊五名同学分别从五个社团中选择一个报名，记事件A 为“五名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选篮球”，则()P A B =（）A ．332B ．316C ．34D ．25【答案】A【分析】分别求出事件AB 、事件B 的可能的种数，代入条件概率公式()()()P AB P A B P B =即可求解.【详解】事件AB ：甲同学选篮球且五名同学所选项目各不相同，所以其他4名同学排列在其他4个项目，且互不相同为44A ，事件B ：甲同学选篮球，所以其他4名同学排列在其他4个项目，可以安排在相同项目为44，故()()()44545A 354325P AB P A B P B ===.故选:A .3．8x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中，二项式系数最大的项是（）A ．第3项B ．第4顶C ．第5项D ．第6项【答案】C【分析】根据二项式确定展开式中二项式系数最大的项即可.【详解】由题设，展开式中二项式1r T +对应二项式系数为8C r ，所以，二项式系数最大的项为4r =，即5T ：第5项.故选：C4．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，则不同的站法有（）A ．1440种B ．2880种C ．4320种D ．3600种【答案】C【分析】采用间接法，先求出没有限制的所有站法，再排除不满足条件的站法可求解.【详解】7个人从左到右排成一排，共有77A 5040=种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有3535A A 720=种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻的不同站法有50407204320-=种不同的站法.故选：C5．2023年春，为了解开学后大学生的身体健康状况，寒假开学后，学校医疗部门抽取部分学生检查后，发现大学生的舒张压呈正态分布()270.8,7.02X N ~（单位：mm /Hg ），且()82.80.1P X >=，若任意抽查该校大学生6人，恰好有k 人的舒张压落在()58.8,82.8内的概率最大，则k =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】利用正态分布计算出()58.882.8P X <<，然后利用二项分布概率最大可得出关于k 的不等式组，解之即可.【详解】因为()270.8,7.02X N ~，则()()58.882.81282.80.8P X P X <<=->=，由题意知：抽查该校大学生6人，恰好有k 人的舒张压落在()58.8,82.8内的概率为()()()66C 0.20.81,2,,5kkk k -⋅⋅= ，要使此式的值最大，由6171666151664141C C55554141C C 5555kkk kk k kkk kk k -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅≥⋅⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⋅⋅≥⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即()()()()()()6176156!416!41!6!551!7!556!416!41!6!551!5!55k kk kk kk kk k k k k k k k ----+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅≥⋅⋅⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅--⋅-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⋅⋅≥⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⋅-+⋅-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得232855k ≤≤，{}1,2,3,4,5k ∈ ，所以，5k =.故选：C.6．抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（）A ．18B ．78C ．17D ．67【答案】C【分析】由题可知，抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，分别求出“有一枚正面朝上”和“三枚都正面朝上”的概率，最后根据条件概率的计算公式，即可求出结果.【详解】解：根据题意，可知抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，记事件A 为“有一枚正面朝上”，则()78P A =，记事件B 为“另外两枚也正面朝上”，则AB 为“三枚都正面朝上”，故()18P AB =，故()()()118778P AB P B A P A ===.即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是17.故选：C.【点睛】本题考查条件概率的计算公式的应用，考查分析和计算能力．7．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有A ．72种B ．108种C ．36种D ．144种【答案】D【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果．【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有22A 种方法，再与另一个男生排列，则有22A 种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有23A 种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有23A 种方法，利用分步乘法原理，共有22222233144A A A A =种.故选：D ．【点睛】本题考查乘法原理的运用和排列知识，还运用了捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，考查学生分析解决问题的能力．8．若不等式222e ln e ln 2e xaa x x a -+-≥-在[1,2]x ∈-有解，则实数a 的取值范围是（）A ．21,e 2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．421,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．41,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先得到0a >，不等式变形得到()22e ln 21e exx a a ⎛⎫≥- -⎪⎝⎭，换元后令()()21ln 22e f t t t =--+，问题转化为存在2,e e t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥，求导后得到()f t 的单调性，结合()()21e 0f f ==，得到当21e t ≤≤时，()0f t ≥，比较端点值得到答案.【详解】由ln a 有意义可知，0a >，222e ln e ln 2e x a a x x a -+-≥-变形为()()22e ln 2e1x aa x --≥-，即()22e ln 21eexx a a⎛⎫≥- -⎪⎝⎭，令e xt a =，即有()2e 1ln 220t t --+≥，因为[1,2]x ∈-，所以2,e e e x t a a a ⎡=⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()()21ln 22e f t t t =--+，问题转化为存在2,e e t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥，因为()22e 1212e t f t t t---'=-=，令()0f t '<，即20e 21t --<，解得2e 12t ->，令()0f t '>，即20e 21t -->，解得2e 102t -<<，所以()f t 在2e 10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2e 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，又()()()222210,e e 1ln e 2e 20f f ==--+=，而221e e 1<2-<，所以当21e t ≤≤时，()0f t ≥，若存在2,e e t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥成立，只需22e e a ≤且e 1a ≥，解得4e 1e ,a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：D【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知21nx x ⎛⎝的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（）A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式的各项系数之和为1024C ．展开式中常数项为45D ．展开式中含15x 项的系数为45【答案】BCD【分析】先由已知条件得21024n =求出n 的值，然后求出二项式展开式的通项公式，再逐个分析判断即可【详解】解：因为2nx x ⎛⎝的展开式中二项式系数之和为1024，所以21024n =，得10n =，所以二项式展开式的通项公式为5202102110101()rr rrr r T C x C xx --+==⋅，对于A ，展开式中奇数项的二项式系数和为110245122⨯=，所以A 错误，对于B ，因为2nx x ⎛⎝的展开式中二项式系数之和与展开式的各项系数之和相等，所以展开式的各项系数之和为1024，所以B 正确，对于C ，令52002r -=，解得8r =，所以展开式中常数项为81045C =，所以C 正确，对于D ，令520152r -=，解得2r =，所以展开式中含15x 项的系数为21045C =，所以D 正确，故选：BCD10．下列说法正确的是（）A ．在一个2×2列联表中，计算得到2χ的值，则2χ的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大B ．随机变量()2~,N ξμσ，若函数()()2f x P x x ξ=≤≤+为偶函数，则1μ=C ．若回归直线方程为ˆ 1.22yx =+，则样本点的中心不可能为(5,7)D ．若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.91-和0.89，则甲组数据的线性相关性更强【答案】BCD【分析】由独立性检验的相关知识可判断A ；根据偶函数的对称性可判断B ；根据回归直线过样本点的中心可判断C ；根据线性相关性与相关系数的关系可判断D.【详解】对于A ，在一个2×2列联表中，由计算得2χ的值（可大于1），2χ的值越大，两个变量相关的把握越大，故A 错误；对于B ，()()2f x P x x ξ=≤≤+为偶函数，则()()f x f x -=，即()()22P x x P x x ξξ-≤≤-+=≤≤+，故可得212x x μ-++==，故B 正确；对于C ，7 1.252≠⨯+，所以样本点的中心不可能为()5,7，C 正确；对于D ，具有线性相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，则r 越接近于1，x 和y 之间的线性相关程度越强，D 正确．故选：BCD.11．一个袋子中有编号分别为1,2,3,4的4个球，除编号外没有其它差异.每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球.设“第一次摸到的球的编号为2”为事件A ，“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件B ，“两次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件C ，则下列说法正确的是（）A ．()516P C =B ．事件B 与事件C 相互独立C ．()12P CA =∣D ．事件A 与事件B 互为对立事件【答案】AC【分析】对于选项A ，由古典概型的概率公式得()516P C =，所以该选项正确；对于选项B ，由题得()()()P BC P B P C ≠⋅，事件B 与事件C 不相互独立，所以该选项错误；对于选项C,()12P C A =∣，所以该选项正确；对于选项D,举例说明事件A 与事件B 不是对立事件，所以该选项错误.【详解】对于选项A ，两次摸到的球的编号之和能被3整除的基本事件有(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5个，由古典概型的概率公式得()554416P C ==⨯，所以该选项正确；对于选项B ，由题得241()442P B ⨯==⨯,21()448P BC ==⨯,所以()()()P BC P B P C ≠⋅，事件B 与事件C 不相互独立，所以该选项错误；对于选项C,()()21()142P AC P CA P A ===⨯∣，所以该选项正确；对于选项D,如果第一次摸到编号为1的球，第二次摸到编号为4的球，则事件A 和B 都没有发生，所以事件A 与事件B 不是对立事件，所以该选项错误.故选：AC12．下列不等关系中正确的是（）A 2ln 3<B 4>C ．sin 33sin1cos1<D ．sin 33sin1cos1>【答案】BC【分析】根据函数值的特征，构造函数()ln xf x x=，求出其导数，判断函数的单调性，可判断AB ；同理构造函数()sin xg x x=，判断CD.【详解】令()ln x f x x=，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()2f f>，即ln22>2ln 3>=，故A 错误，又ln 42ln 2=，所以ln 4ln242=>44ln >B 正确；令()sin x g x x =，π()0,x ∈，则2cos sin ()x x xg x x -'=，令()cos sin u x x x x =-，则()cos sin u x x x x =--'cos sin 0x x x =-<在(0,π)上恒成立，所以()u x 在(0,π)上单调递减，所以()(0)0u x u <=，所以()0g x '<在(0,π)上恒成立，所以()g x 在(0,π)上单调递减，所以(2)(3)g g >，即sin 2sin 323>，即3sin 2sin 32<=3sin1cos1，故C 正确，D 错误，故选：BC ．【点睛】关键点点睛：构造函数()ln xf x x=和()sin x g x x =，π()0,x ∈，是解决本题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．2023年五一节到来之前，某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场这种商品的售价x （单位：元）与销售量y （单位：件）之间的一组数据如下表所示：价格x 89.5m 10.512销售量y1610865经分析知，销售量y 件与价格x 元之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为 3.544y x =-+，则m =________．【答案】10【分析】计算变量的平均值,x y ，根据变量y 与x 之间有较强的线性关系，结合回归直线的性质即可求得m 的值.【详解】变量x 的平均值为89.510.512855m m x ++++==+，变量y 的平均值为161086595y ++++==，又销售量y 件与价格x 元之间有较强的线性关系，所以其线性回归直线方程 3.544y x =-+经过点(),x y ，所以9 3.58445m ⎛⎫=-⨯++ ⎪⎝⎭，解得10m =.故答案为：10.14．某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，该圆环区域被等分为5个部分，每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植．要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，总的栽植方案有_________种．【答案】30【分析】依颜色为出发点，分析可得必用3种颜色的鲜花，先安排1，2位置，再讨论第三种颜色的可能位置，分析运算即可.【详解】若只用两种颜色的鲜花，则1，3位置的颜色相同，2，4位置的颜色相同，即可得1，4位置的颜色不同，则5位置无颜色可选，不合题意；故必用3种颜色的鲜花，则1，2的栽植方案有23A 6=种，已用两种颜色，第三种颜色可能在3，4，5，可得：（i ）若第三种颜色在3或5，有如下两种可能：①3，5的颜色相同，则4的颜色有两种可能，栽植方案有12C 2=种；②3，5的颜色不相同，则4的颜色必和1的颜色相同，栽植方案有12C 2=种；栽植方案共有224+=种；（ⅱ）若第三种颜色在4，则3的颜色必和1的颜色相同，5的颜色必和2的颜色相同，栽植方案共有1种；综上所述：总的栽植方案有()64130⨯+=种.故答案为：30.15．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有3件次品；第二箱内装有20件，其中有2件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，已知取出的是次品，则它是从第一箱取出的概率为__________．【答案】0.75/34【分析】利用条件概率求取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率.【详解】设事件i A 表示从第(1,2)i i =箱中取一个零件，事件B 表示取出的零件是次品，则121122()()()()(|)()(|)P B P A B P A B P A P B A P A P B A =+=⋅+⋅131241*********=⨯+==,所以已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率为1113()3210(|)4()420P A B P A B P B ⨯===.故答案为：34.16．已知函数()ln 20()a x x a f x =-≠，若不等式222e ()e cos(())a x x x f x f x ≥+对0x >恒成立，则实数a 的取值范围为__________.【答案】(0,2e]【分析】将不等式等价转化，构造函数()e 2cos t g t t t =--，并探讨其性质，再利用导数分类讨论()t f x =的值域即可求解作答.【详解】ln 2()22()cos[()]e 2()cos[()]0e 2()cos[()]0eaa x x f x x x f x f x f x f x f x f x --≥⇔--≥⇔--≥，令()t f x =，则()e 2cos t g t t t =--，()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时,e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，则()0g t '<恒成立，当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，则()0h t '>恒成立，则()g t '在(0,)+∞上单调递增，又因为(0)1,(1)e 2sin10g g ''=-=-+>，因此存在0(0,1)t ∈，使得()00g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时,()0g t '>，所以函数()g t 在()0,t -∞上单调递减，在(0t ,)∞+上单调递增,又(0)0g =，作出函数()g t的图像如下：函数()ln 2(0)f x a x x a =-≠定义域为(0,)+∞，求导得2()2a a x f x x x-'=-=，①当a<0时，()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，当01x <<时，ln y a x =的取值集合为(0,)+∞，而2y x =-取值集合为(2,0)-，因此函数()f x 在(0,1)上的值域包含(0,)+∞，当1x ≥时，ln y a x =的取值集合为(,0]-∞，而2y x =-取值集合为(,2)-∞-，因此函数()f x 在[1,)+∞上无最小值，从而函数()f x 的值域为R ，即()R t f x =∈，()00g t <，不合题意，②当0a >时，由()0f x '<得2a x >，由()0f x '<得02a x <<，函数()f x 在(0,)2a上单调递增，在(,)2a +∞上单调递减，max ()()ln 22a af x f a a ==-，当01x <≤时，ln y a x =的取值集合为(,0]-∞，而2y x =-取值集合为(2,0]-，因此函数()f x 在(0,1]上的值域包含(,0]-∞，此时函数()f x 的值域为(,ln ]2aa a -∞-，即()(,ln ]2a t f x a a =∈-∞-，当ln 02aa a -≤时，即当02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意，当ln02a a a ->时，即当2e a >时，10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，结合图象可知，()10g t <，不合题意，所以实数a 的取值范围为(0,2e].故答案为：(0,2e]【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生450名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩（满分为100分），分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．其中成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“非优秀”．(1)求实数a 的值，并估算全校1000名学生中成绩优秀的人数；(2)完成下列22⨯列联表，判断是否有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关．优秀非优秀合计男女10合计附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．2()P k αχ=≥0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)0.020a =，250（人）(2)填表见解析；没有【分析】（1）根据频率和为1求得a ，进而根据频率估计成绩优秀的人数；（2）根据题意结合分层抽样完善列联表，求2χ，并与临界值对比分析.【详解】（1）由题意可得：(0.0050.0150.0300.0250.005)101a +++++⨯=，解得0.020a =，样本中成绩优秀的频率为：0.0200.0051025(.)0+⨯=，以样本估计总体，全校1000名学生中成绩优秀的人数为：0.251000250⨯=（人）.（2）由题意，采用分层抽样，男生抽取人数450100451000⨯=人，女生抽取1004555-=人，且样本中优秀的人数为1000.2525⨯=人，故22⨯列联表如下：优秀非优秀合计男153045女104555合计2575100可得22100(15453010)1003.0304555257533χ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为3.030 3.841<，故没有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关18．已知()()52601261(1)(1)m x x a a x a x a x +=+-+-++- ，其中R m ∈，且13564a a a ++=，(1)求m 的值；(2)求4a 的值.【答案】(1)2(2)25【分析】（1）分别令0x =，2x =，然后两式相减求结合13564a a a ++=即可得解；（2）()52x x +化为()()53111x x ⎡⎤⎡⎤+--+⎣⎦⎣⎦，求出()511x ⎡⎤-+⎣⎦展开式的通项，令()1x -的指数等于4和3即可得解.【详解】（1）当0x =时，()012345600m a a a a a a a +⋅=-+-+-+，①当2x =时，()5012345622m a a a a a a a +⋅=++++++，②②-①得，()()5135222m a a a +⋅=++，因为13564a a a ++=，所以()()5135222128m a a a +⋅=++=，解得2m =；（2）()()()5523111x x x x ⎡⎤⎡⎤+=+--+⎣⎦⎣⎦，()511x ⎡⎤-+⎣⎦展开式的通项为()515C 1kk k T x -+=-，令54k -=，则1k =，令53k -=，则2k =，所以124553C C 25a =+=.19．已知0a >，函数()()2ln ln e f x x a a x x =-+-，其中e 是自然对数的底数.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当e a =时，求函数()f x 的单调区间；(3)求证：函数()f x 存在极值点，并求极值点0x 的最小值.【答案】(1)()212e e 0x y --+=(2)单调增区间为(e,)+∞，单调减区间为(0,e)(3)证明见解析，0x 的最小值是e ．【分析】（1）先求()f x 的导函数,再点斜式求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程（2）先求()f x 的导函数，根据()f x '的正负判定函数的增减即可；（3）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解.【详解】（1）当1a =时，()()2ln e f x x x =-+-,()()()221ln11e 1e f ==-+--,()()12e f x x x'=-+-,()()1121e 12e f '=-+-=-,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程()()()21e 12e 1y x --=--,切线方程()212e e 0x y --+=.（2）当e a =时，2()eln (e)f x x x x =-+-，则2e 2(12e)e (21)(e)()12(e),(0)x x x x f x x x x x x+--+-+-='=-=>令()0f x '>，得e x >；令()0f x '<，得e x <；所以，函数()y g x =的单调增区间为(e,)+∞，单调减区间为(0,e)．（3）22(ln 2e)()ln 2(e)a x a x af x a x x x+--=-+'-=令2()2(ln 2e)0t x x a x a =+--=，因为2(ln 2e)80a a ∆=-+>，所以方程22(ln 2e)0x a x a +--=，有两个不相等的实根()1212,x x x x <，又因为1202ax x =-<，所以120x x <<，令02x x =，列表如下:x ()00,x 0x ()0,x +∞()f x '-0+()f x 减极小值增所以()f x 存在极值点0x .所以存在0x 使得2002(ln 2e)0x a x a +--=成立，所以存在0x 使得200022e ln x x a x a -=-，所以存在0x 使得2000ln 22e a x a x x -=-对任意的0a >有解，因此需要讨论等式左边的关于a 的函数，记0()ln u t t x t =-，所以0()1x u t t=-'，当00t x <<时，()0,()u t u t <'单调递减；当0t x >时，()0,()u t u t >'单调递增．所以当0t x =时，0()ln u t t x t =-的最小值为()0000ln u x x x x =-．所以需要200000022e ln ln x x a x a x x x -=-≥-，即需要200002(2e 1)ln 0x x x x -++≥，即需要002(2e 1)ln 0x x -++≥，即需要002ln (2e 1)0x x -+≥+因为()2ln (2e 1)v t t t =+-+在(0,)+∞上单调递增，且()0()0v x v e ≥=，所以需要0e x ≥，故0x 的最小值是e ．20．某校20名学生的数学成绩(1,2,,20)i x i = 和知识竞赛成绩(1,2,,20)i y i = 如下表：学生编号i 12345678910数学成绩i x 100999693908885838077知识竞赛成绩iy 29016022020065709010060270学生编号i 11121314151617181920数学成绩i x 75747270686660503935知识竞赛成绩iy 4535405025302015105计算可得数学成绩的平均值是75x =，知识竞赛成绩的平均值是90y =，并且()20216464i i x x =-=∑，()2021149450ii yy =-=∑，()()20121650i i i x x y y =--=∑．(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）．(2)设*N N ∈，变量x 和变量y 的一组样本数据为(){},|1,2,,i i x y i N = ，其中(1,2,,)i x i N = 两两不相同，(1,2,,)i y i N = 两两不相同．记i x 在{},2|1,,n x n N = 中的排名是第i R 位，i y 在{},2|1,,n y n N = 中的排名是第i S 位，1,2,,i N = ．定义变量x 和变量y 的“斯皮尔曼相关系数”（记为ρ）为变量x 的排名和变量y 的排名的样本相关系数．。

2023-2024学年云南省昆明市高二上册期末考试数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年云南省昆明市高二上册期末考试数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年云南省昆明市高二上册期末考试数学模拟试题一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数()f x '是函数()f x 的导函数，若()cos f x x =，则π6f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.2【正确答案】B【分析】根据余弦函数的导数公式求解.【详解】因为()cos f x x =，所以()sin f x x '=-，所以ππ1sin 662f ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭，故选：B.2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若76a =，则13S =（）A.6B.12C.78D.156【正确答案】C【分析】由条件根据等差数列前n 项和公式结合等差数列性质可求13S .【详解】因为()11313713132a a S a+==，又76a =，所以1313678S =⨯=，故选：C.3.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 是11B C 的中点，设1,,AB a AD b AA c === ，则AM =（）A.12a b c ++ B.12a b c++C.12a b c++ D.1122a b c++ 【正确答案】B【分析】利用向量的线性运算法则即可计算.【详解】解：因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 是11B C 的中点，所以111111111222A cM AB AB AB BB B M A B C AA AD a b ++=+++==+=++ 故选：B4.直线22y x =+与圆224670x y x y ++--=交于,M N 两点，则MN为（）A.B.C.D.【正确答案】D【分析】由圆方程求圆心坐标和半径，利用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，结合弦长公式求MN .【详解】方程224670x y x y ++--=可化为()()222320x y ++-=，所以圆224670xy x y ++--=的圆心的坐标为()2,3-，半径为圆心()2,3-到直线22y x =+的距离d ==，所以MN ==，故选：D.5.空间直角坐标系O xyz -中，已知点(2,0,2),(2,1,0),(0,2,0)A B C ，则平面ABC 的一个法向量可以是（）A.(1,2,1)B.(1,2,1)- C.(2,1,2)D.(2,1,2)-【正确答案】A【分析】根据法向量的求解方法求解即可.【详解】解：由题知()()0,1,2,2,1,0AB BC =-=-，设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =，所以0n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22y z y x =⎧⎨=⎩，令1x =得()1,2,1n = 所以，平面ABC 的一个法向量可以是()1,2,1n =.故选：A6.在ABC中，1,5,cos25A AB AC ===，则BC =（）AB.C.D.【正确答案】A【分析】先利用二倍角公式求cos A ，再运用余弦定理求BC 即可.【详解】因为cos 25A =，所以23cos 2cos125A A =-=-，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB BC A =+-⋅，因为1,5AB AC ==，所以23125215325BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以BC =故选：A.7.已知等比数列{}n a 的各项都是正数，n S 为其前n 项和，若48S =，824S =，则16S =A.40B.56C.72D.120【正确答案】D【分析】根据等比数列的片段求和性质求解即可.【详解】因为48S =,8416S S -=,128S S -,1612S S -成等比数列,所以12832S S -=,161264S S -=,()()()164841281612S S S S S S S S =+-+-+-8163264120=+++=,故选：D .本题主要考查了等比数列片段求和的性质,属于基础题.8.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且3()()0,(ln 2)1f x f x f +<='，则不等式3()e 8x f x >的解集为（）A.(,2)-∞B.(,ln 2)-∞C.(ln 2,)+∞ D.(2,)+∞【正确答案】B【分析】因为不等式3()e 8x f x >等价于()33ln 2()e ln 2e x f x f >，故考虑构造函数()()3e x g x f x =，结合已知条件证明其单调性，结合单调性解不等式即可.【详解】令()()3e xg x f x =，函数()g x 的定义域为R ，因为()()30f x f x '+<所以，()()33(e )e 0xxf x f x ''+<故()()3(e )0xg x f x ''=<故()g x 在R 上单调递减，又因为()ln 21f =所以，()()3ln 2e ln 28ln 2gf ==，所以不等式3()e 8x f x >可化为()()ln 2g x g >，所以ln 2x <，所以3()e 8x f x >的解集为(),ln 2-∞故选：B.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的.9.下列关于双曲线221x y -=的结论中，正确的是（）A.离心率为B.C.两条渐近线互相垂直D.焦点到渐近线的距离为1【正确答案】ACD【分析】根据双曲线的基本知识对选项一一验证即可.【详解】双曲线221x y -=，可得1a =，1b =，c =，则双曲线221x y -=的离线率为ce a==A 正确；焦距2c =，故B 错误；渐近线为y x =与y x =-，且斜率之积为-1，即两条渐近线互相垂直，故C 正确；焦点到渐近线的距离为1b =，故D 正确；故选：ACD.10.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()12n n a S n *+=∈N ，则下列结论中，正确的是（）A.{}n a 是等比数列B.{}n S 是等比数列C.13n n a -= D.13n n S -=【正确答案】BD【分析】利用n a 与n S 的关系可得{}n a 的递推关系即可判断A ，C ；利用n a 与n S 的关系可得{}n S 的递推关系即可判断B ，D ．【详解】由12n n a S +=，所以当2n ≥时，有12nn a S -=，两式相减得13n n a a +=，又11a =，2122a S ==，所以数列{}n a 不是等比数列，故A 错误；C 错误；由112n n n n S a S S ++==-，得13n n S S +=，所以数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，所以11133n n n S --=⨯=，故B 正确；D 正确．故选：BD ．11.设抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为1l ，直线l 经过点F 且与C 交于,A B 两点，若3AF FB =，则下列结论中正确的是（）A.直线l或 B.AB 的中点到1l 的距离为4C.112||||3AF BF += D.OA OB ⊥（O 为坐标原点）【正确答案】ABC【分析】由题设直线l 的方程为32x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，进而联立方程，结合向量关系得2133y y m ==-=-或2133y y m ===，再依次讨论各选项即可.【详解】解：由题知焦点为3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为13:2l x =-，所以，设直线l 的方程为32x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，所以，2632y x x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2690y my --=，所以，236360m ∆=+>，126y y m +=①，129y y =-②，因为3AF FB = ，即112239,,33,322AF x y FB x y ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以123y y -=③，所以，由①②③得2133y y m ==-=-或2133y y m ===，所以直线l的斜率为1m=，故A 选项正确；所以，()212123635x x m y y m +=++=+=，故AB 的中点的横坐标为52，所以，AB 的中点到1l 的距离为53422⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故B 选项正确；当2133y y m ==-=-时，91,,22A B ⎛⎛- ⎝⎝，此时93622AF =+=，13222BF =+=，故112||||3AF BF +=；当2133y y m ===时，91,,22A B ⎛⎛ ⎝⎝，此时93622AF =+=，13222BF =+=，故112||||3AF BF +=；故C 选项正确；因为()212121212909364y y OA OB x x y y y y ⋅=-=+≠+= ，故OA OB ⊥不成立，故D 选项错误.故选：ABC 12.已知函数32()1f x x m x =-+，则下列结论中正确的是（）A.()f x 有两个极值点B.当1m =-时，()f x 在(0,)+∞上是增函数C.当1m =时，()f x 在[1,1]-上的最大值是1D.当3m =时，点(1,1)-是曲线()y f x =的对称中心【正确答案】BCD【分析】求函数()f x 的导函数，根据极值点的定义判断A ，结合导数判断函数的单调性求最值，判断B ，C ，结合奇函数的定义判断D.【详解】因为()321f x x mx =-+，所以()()23232f x x mx x x m '=-=-，当0m =时，()230f x x '=≥，当且仅当0x =时，()0f x '=函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，函数()f x 没有极大值点也没有极小值点，A 错误；当1m =-时，()()32f x x x '=+，当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，B 正确；当1m =时，()()32f x x x '=-，令()0f x '=可得，0x =或23x =，当[)1,0x ∈-时，()0f x ¢>，函数()f x 在[)1,0-上单调递增，当20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当213x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，()0f x ¢>，函数()f x 在213⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增，又()01f =，()11f =所以函数()f x 在[]1,1-上的最大值为1，C 正确；当3m =时，32()31f x x x =-+，()()323(1)131131f x x x x x +=+-++=--，设()()11g x f x =++，则()33g x x x =-，()()33g x x x g x -=-+=-，所以函数()()11g x f x =++为奇函数，所以函数()g x 的图象关于原点对称，所以函数()f x 关于点()1,1-对称，D 正确.故选：BCD.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线21()2x f x x +=-在点(1,3)-处的切线方程为____________.【正确答案】520x y +-=【分析】再结合导数的几何意义切线斜率，代入切线方程公式即可．【详解】因为21()2x f x x +=-，所以()()()()()222221522x x f x x x --+-'==--，所以()15f '=-．故切线方程为520x y +-=．故520x y +-=．14.在直三棱柱111ABC A B C -中，190,BAC AB AC AA ∠===，则直线1AC 与1A B 所成角的余弦值为____________.【正确答案】12##0.5【分析】建立空间直角坐标系，求直线的方向向量，利用向量夹角公式求两向量夹角，结合异面直线夹角定义可得两直线的余弦值.【详解】因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，且90BAC ∠= ，所以以点A 为坐标原点，分别以1,,AC AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,设11AB AC AA ===，则11(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1)A B A C ，所以11(0,1,1),(1,0,1)A B AC =-=，所以1111111cos ,2A B AC A B AC A B AC ⨯+⨯+-⨯⋅==-，因为异面直线所成的角在(0,90] ，所以异面直线1AC 与1A B 所成的角余弦值为12，故答案为.1215.已知经过点(2,1)P 且斜率为1-的直线l 与椭圆222:1(0)bx yC a b a +=>>交于,A B 两点，若P 恰为弦AB 的中点，则椭圆C 的离心率为________________.【正确答案】22【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程相减，利用中点坐标求得,a b 关系，从而可得离心率．【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②P 是线段AB 的中点，12122,122x x y y ++∴==，①②两式相减可得22221212220x x y y a b--+=，整理得()()121222420x x y y ab --+=，即2122122y y b x x a-=--，∵弦AB 的斜率为1-21221221y y b x x a -∴=-=--，即2a b =212122c b e a a ⎛⎫∴==-== ⎪⎝⎭．故22．16.已知ABC 中，2,2BC AB AC ==，则ABC 面积的最大值为_____【正确答案】43【分析】设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得21ABC S cos C ∆=-，由余弦定理求得cos C代入化简ABC S ∆=由三角形三边关系求得223x <<，由二次函数的性质求得ABC S ∆取得最大值．【详解】解：设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得1sin sin 2ABC S AC BC C x C ∆=== 由余弦定理可得2224443cos 44x x x C x x+--==，可得：ABCS ∆==由三角形三边关系有：22x x +>，且22x x +>，解得：223x <<，故当253x =时，ABC S ∆取得最大值43，故43．本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．四、解答题本大题共6个小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为25,3,25n S a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】（1）21n a n =-（2）21n nT n =+【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，列方程求1,a d ，写出等差数列通项公式；（2）利用裂项相消法求和.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，因为253,25a S ==，所以13a d +=，151025a d +=，解得11a =，2d =，所以12(1)21n a n n =+-=-．【小问2详解】111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，因为2231n n nT b b b b b -=+++++所以1111111111123352325121271n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪---+⎝⎭．所以11122121n n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 对的边长分别为a ，b ，C ，且cos 2c b a C =-.（1）求角A ；（2）若a =ABC 面积的最大值.【正确答案】（1）2π3；（2）34.【分析】（1）利用正弦定理，cos 2sin()2sin cos sin 2cb a C A C A C C =-⇒+=-，据此可得答案；（2）21122sin sin sin sin sin sin ABCa Sbc A B C A B C A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，又由（1）可知π3B C +=，则3πsin sin ，ABCS C C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭再利用辅助角公式与三角函数有界性可得答案【小问1详解】由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，cos 2sin 2sin cos sin 2cb a C B A C C =-⇒=-，又在三角形中，()()sin sin π--sin B A CA C ==+.则2sin 2sin cos sin 2cos sin sin B A C C A C C =-⇒=-，又sin 0C >，得1cos 2A =-，结合()0,πA ∈，知2π3A =.【小问2详解】由正弦定理，可知sin ，sin sin sin a ab Bc C A A=⋅=⋅.则21122sin sin sin sin sin sin ABCa Sbc A B C A B C A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.又由（1）可知π3B C +=，则233322πsin sin sin cos sin ABCSC C C C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.())3212224444sin cos sin cos C C C C =--=+-332264πsin C ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ5π2,666C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故当ππ262C +=，即π6C =时，ABCS取最大值419.已知数列{}n a 满足()112,32n n a a a n *+==+∈N.（1）证明{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】（1）证明见解析，31nn a =-（2）()12233214n n n n S n +-=+-⋅+【分析】（1）根据等比数列的定义证明，并结合通项公式求解即可；（2）由题知3nn n b na n n ==⋅-，进而根据错位相减法和分组求和法求解即可.【小问1详解】解：数列{}n a 满足()112,32n n a a a n *+==+∈N113(1)n n a a ++=+Q ，即1131n n a a ++=+，∴数列{}1n a +是以113a +=为首项，3为公比的等比数列，11333n n n a -∴+=⋅=，即31n n a =-；∴31nn a =-【小问2详解】解：由题知3nn n b na n n ==⋅-，设{}3nn ⋅的前n 项和为nT ，231323333n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅，23413132333(1)33n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，()23111313312233333331322n n n n n n n T n n +++--∴-=++++-⋅=⋅=-+⋅-L ，1321344n n n T +-∴=+⋅∵数列{}n 的前n 项和为()2122n n n n++=∴数列{}n b 的前n 项和()1222133223212213444n n n n S n n n n T n n n n++-=-+⋅-+-⋅+++=-=20.已知函数()ln 2,f x x ax a =-∈R .（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【正确答案】（1）单调增区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭；减区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）求函数()f x 的导函数，由()0f x ¢>求函数的单调递增区间，由()0f x '<求函数的单调递减区间；（2）由()0f x =可得ln 2xa x =，则直线y a =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，()ln 2f x x x =-，该函数的定义域为()0,∞+，()1122x f x x x-'=-=，令()0f x '=可得12x =，列表如下：x10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭121,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '取值为正0取值为负()f x 单调递增极大值单调递减所以，函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；【小问2详解】由()0f x =，可得ln 2xa x =，则直线y a =与函数()ln 2x g x x=的图象有两个交点，函数()ln 2x g x x=的定义域为()0,∞+，()21ln 2x g x x -'=，由()0g x '=，可得e x =，列表如下：x()0,e e()e,+∞()g x '取值为正0取值为负()g x 单调递增极大值单调递减所以，函数()g x 的极大值为()1e 2eg =，且当1x >时，()0g x >，当x →+∞时，和函数ln y x =相比，一次函数呈爆炸性增长，所以()0f x →，且()0f x '<，()0f x '→，又()10f =，根据以上信息，作出其图象如下：当102e a <<时，直线y a =与函数()ln 2x g x x=的图象有两个交点，因此，实数a 的取值范围是10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且22,2CD AB BC ===，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30︒，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．【正确答案】（1）详见解析；（2）3030．【分析】（1）在直角梯形ABCD 中，由条件可得222AD AM DM =+，即DM AM ⊥．再由PA ⊥面ABCD ，得DM PA ⊥，利用线面垂直的判定可得DM ⊥平面PAM ，进一步得到平面PDM ⊥平面PAM ；（2）由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30︒，求得tan 301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出PC 的坐标及平面PDM 的一个法向量，由PC 与n所成角的余弦值可得直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，1,2,AB CD BM CM ====，可得223,6AM DM ==，过A 作AE CD ⊥，垂足为E，则1,DE AE ==29AD =，则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥．∵PA ⊥面ABCD ，∴DM PA ⊥，又PAAM A =，∴DM ⊥平面PAM ，∵DM ⊂平面PDM ，∴平面PDM ⊥平面PAM ；（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30︒，则tan 301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1P，1,0)D -，C，M，1),1,1),1)PC PD PM =-=--=-．设平面PDM 的一个法向量为(,,)n x y z =，由0n PD y z n PM y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取1x =，得232,22n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ．∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为：|||cos,|30||||PC nPC nPC n⋅<>===⋅．向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.22.已知椭圆2222C:1(b0)x y aa b+=>>的左、右焦点分别为12F(，且该椭圆过点1A2⎫⎪⎭，．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点()40B，作一条斜率不为0的直线l，直线l与椭圆C相交于P Q，两点，记点P 关于x轴对称的点为点P'，若直线P Q'与x轴相交于点D，求DPQ∆面积的最大值．【正确答案】（Ⅰ）2214x y+=;（Ⅱ）34【分析】（Ⅰ）根据122a AF AF=+，和222b a c=-计算椭圆的标准方程；（Ⅱ）题意可设直线l的方程为4(0)x my m=+≠，与椭圆方程联立，得到121222812,44my y y ym m-+==++，根据坐标设出P Q'的方程，并得到DPQ∆的面积，代入根与系数的关系，并求最大值.【详解】（Ⅰ）由椭圆的定义可得121242a AF AF=+=+=，解得2a=.又2221b a=-=，所以椭圆C的标准方程为2214x y+=（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为4(0)x my m=+≠.设()()1122,,,P x y Q x y，则()11,P x y'-.由22414x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，，消去x可得()2248120m y my+++=121222812,44my y y ym m-∴+==++()2216120,12m m∆=->∴>()21212121P Qy y y ykx x m y y'++==--，∴直线P Q '的方程为()()211121y y y y x x m y y ++=--.令0y =，可得()2111212121244m y y y my y x my y y y y -=++=+++22122244441884m m m m m m ⋅+=+=+=--+，(1,0)D ∴DPQ BDQ BDPS S S ∆∆∆∴=-121||2BD y y =⋅-26124m ==+令(0,)t t =∈+∞，则266316164DPQ t S t t t∆==++当且仅当4t =，即m =±DPQ ∴∆面积的最大值为34本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.。

2023-2024学年广西钦州市高二上学期期末考试数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年广西钦州市高二上学期期末考试数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年广西钦州市高二上册期末考试数学模拟试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）1.若直线过点)3-和点()0,4-，则该直线的方程为A.43y x =-B.43y x =+C.6y =- D.323y x =+【正确答案】A 【分析】（法一）利用直线的两点式方程直接求解；（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程．【详解】解：（法一）因为直线过点)3-和点()0,4-，所以直线的方程为()()343040y x ----=---，整理得343y x =-；（法二）因为直线过点)3-和点()0,4-，所以直线的斜率为33k =，所以直线的方程为4y +=，整理得343y x =-；故选：A ．本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题．2.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上一点(),P x y 到焦点1F 的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C 的离心率为（）A.12B.25C.23D.52【正确答案】B【分析】根据点(),P x y 在椭圆上得22221x y a b +=，且a x a -≤≤，再利用两点距离求得1c PF x a a =+，从而可确定1PF 的最大值与最小值，即可求得,a c 的值，即可得离心率ce a=的值.【详解】解：设椭圆的半焦距为c ，若椭圆上一点(),P x y ，则22221x ya b+=，且a x a-≤≤又1(,0)F c -，222a b c =+则1c PF x aa ====+由于a x a -≤≤，所以11max min 7,3PF a c PF a c =+==-=于是可得5a =，2c =，所以椭圆C 的离心率25c e a ==.故选：B3.已知()2,1,2a =- ，()1,,1b t =- ，若a b ⊥，则实数t 的值为（）A.0B.4- C.12D.4【正确答案】B【分析】由空间向量垂直的坐标表示进行计算即可.【详解】∵a b ⊥，∴()()2112140a b t t ⋅=-⨯-+⨯+⨯=+=，∴4t =-.故选：B.4.我们知道，在日常学习与生活中养成根据现实世界的情景提出问题的习惯对培养自己的创新素养起着至关重要作用.关于实际情景“日常洗衣服都要经历两个阶段，第一阶段是用去污剂搓洗衣服，第二阶段是漂洗衣服.一般来讲要漂洗多次，漂洗的次数越多衣服越干净”，提出的问题最恰当的是（）A.在给定漂洗所用的清水量的前提下，选择什么牌子的洗衣粉能使衣服更干净？B.在给定漂洗衣服的前提下，漂洗所用的清水量多少合适？C.在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗时放多少衣物才能使衣服干净？D.在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干净？【正确答案】D【分析】根据给定条件，结合各选项的条件分析、判断作答.【详解】对于A ，好的洗衣粉，去污能力强，但必须经过多次漂洗才能将洗衣粉及污物去掉，所提出问题与漂洗次数无关，A 不是；对于B ，漂洗所用的清水量多，附着衣服的污物经过一次漂洗，去掉的不多，所提出问题与漂洗次数无关，B 不是；对于C ，漂洗时放一件衣物，若只漂洗一次，去掉的污物不多，所提出问题与漂洗次数无关，C 不是；对于D ，用适当的清水量，多次漂洗，能使衣服干净，提出的问题最恰当，D 是.故选：D5.双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上且120PF =，则2PF 等于（）A.14B.26C.14或26D.16或24【正确答案】C【分析】根据双曲线的方程可得,,a b c ，由212PF PF a -=即可求解.【详解】由双曲线的方程可得3,4,5a b c ===，故22PF c a ≥-=.因为1226P F F P a ==-，故2206PF -=，解得214PF =或26.故选:C.6.已知向量()12,0,2n =-- ，()22,2,0n =分别为平面α和平面β的法向量，则平面α与平面β的夹角为（）A.30︒ B.45︒C.60︒D.120︒【正确答案】C【分析】根据坐标可求出121cos ,2n n =- ，根据夹角的范围以及平面的夹角与平面法向量之间的关系即可求出答案.【详解】解：由已知可得1n =u r，2n =u u r ()122202204n n ⋅=-⨯+⨯+-⨯=-u r u u r，所以1212121cos ,2n n n n n n ⋅==-u r u u ru r u u r u r u u r .设θ为平面α与平面β的夹角，则0,90 q 轾Î臌，又121cos cos ,2n n θ==u r u u r ，所以60θ= .故选：C.7.已知圆O ：222(0)x y r r +=>上有且只有两个点到直线l ：34150x y --=的距离为1，则圆O 半径r 的取值范围为（）A.()2,4 B.[]2,4 C.(]2,3 D.[)3,4【正确答案】A【分析】求出到直线l 的距离为1的点的轨迹，再根据给定条件，数形结合列出不等式求解作答.【详解】平面内到直线l 距离为1的点的轨迹是与直线l 平行且距离为1的两条直线12,l l ，设12,l l 的方程为340(15)x y m m --=≠1=，解得10m =或20m =，即直线1:34100l x y --=，直线2:34200l x y --=，如图，圆O ：222(0)x y r r +=>上有且只有两个点到直线l 的距离为1，则圆O 与1l 相交，与2l 相离，圆O 的圆心(0,0)O 到直线1l 的距离12d ==，到直线2l 的距离24d ==，所以圆O 半径r 的取值范围为24r <<，即()2,4r ∈.故选：A8.设()12345,,,,x x x x x 是1，2，3，4，5的一个排列，若()()1120i i i i x x x x +++--<对一切{}1,2,3i ∈恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列的数目是（）A.16B.25C.32D.41【正确答案】C【分析】由已知可知当12x x <时，此时有25x =或45x =.由“交替”的排列的概念可得，当25x =时，43x =或44x =，分别求解即可得到当25x =时，43x =或44x =时，有8种方法.同理可求得当45x =，23x =或24x =，此时也有8种方法.然后得出12x x >时，21x =或41x =时“交替”的排列数目，相加即可得出结果.【详解】由已知可得()()22130x x x x --<，()()32340x x x x --<，()()34450x x x x --<.（ⅰ）当120x x -<时，12x x <，可推出23x x >，34x x <，45x x >，此时有25x =或45x =.①当25x =时，由已知可得43x =或44x =当25x =，43x =时，此时必有14x =，排列可以是()4,5,1,3,2或()4,5,2,3,1两种；当25x =时，44x =时，此时135,,x x x 可选择1，2，3中的任意排列，共33A 6=中排列.综上所述，共有8种方法；②同理可得当45x =，可得23x =或24x =，也有8种方法.综上所述，当12x x <时，“交替”的排列的数目是16；（ⅱ）当120x x ->时，12x x >，可推出23x x <，34x x >，45x x <，此时有21x =或41x =.①当21x =时，由已知可得42x =或43x =当21x =，43x =时，此时必有12x =，排列可以是()2,1,4,3,5或()2,1,5,3,4两种；当21x =时，42x =时，此时135,,x x x 可选择3，4，5中的任意排列，共33A 6=中排列.综上所述，共有8种方法；②同理可得当41x =，可得22x =或23x =，此时也有8种方法.综上所述，当12x x <时，“交替”的排列的数目是16.所以，“交替”的排列的数目是32.故选：C.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）9.已知两条不重合的直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，下列结论正确的是（）A.若12l l ∥，则12k k = B.若12k k =，则12l l ∥C.若121k k =，则12l l ⊥ D.若12l l ⊥，则121k k =-【正确答案】ABD【分析】根据直线的位置关系与斜率关系即可判断.【详解】对A ，若12l l ∥，则12k k =，故A 正确；对B ，若12k k =，又两直线不重合，则12l l ∥，故B 正确；对C ，若121k k =，则1l 与2l 不垂直，故C 错误；对D ，若12l l ⊥，则121k k =-，故D 正确.故选：ABD.10.若椭圆()222:108x y C b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，则下列b 的取值能使以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点的是（）A.b =B.b =C.2b = D.b =【正确答案】ABC【分析】根据给定的条件，确定以12F F 为直径的圆半径，再结合椭圆的性质列出不等式求出b 的范围作答.【详解】令椭圆()222:108x y C b b+=>的半焦距为c ，则以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，因圆222x y c +=与椭圆C 有公共点，则有22c b ≥，即228b b -≥，解得02b <≤，显然选项A ，B ，C 满足，D 不满足.故选：ABC11.下列结论正确的是（）A.两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，则12//l l B.两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =- ，()3,4,2v =-，则αβ⊥C.直线l 的方向向量()1,2,1a =- ，平面α的法向量()3,6,m k =，若l α⊥，则15k =D.若()2,1,4AB =-- ，()4,2,0AC = ，()0,4,8AP =--，则点Р在平面ABC 内【正确答案】ABD【分析】对于A ，验证,a b r r 是否平行即可；对于B ，验证,u v是否垂直即可；对于C ，根据线面关系得//a b，求解k 得值即可判断；对于D ，验证是否四点共面即可.【详解】解：对于A ，因为()2,3,1a =- ，()2,3,1b =-- ，所以a b =-，又两条不重合直线1l ，2l ，所以12//l l ，故A 正确；对于B ，平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =-，且6820u v ⋅=-+-=，所以u v ⊥，则αβ⊥，故B 正确；对于C ，直线l 的方向向量()1,2,1a =- ，平面α的法向量()3,6,m k = ，若l α⊥，则//a b，则3k =-，故C 错误；对于D ，因为()2,1,4AB =-- ，()4,2,0AC = ，()0,4,8AP =--，存在实数,λμ使得AB AC AP μλ=+ ，则2=41=244=8λ-λ-μ--μ⎧⎪⎨⎪⎩，解得11,22λμ==，则1212AB AC AP =+ ，所以,,,A B C P 四点共面，即点Р在平面ABC 内，故D 正确.故选：ABD .12.天山社区将红树林中学的甲、乙、丙、丁4名红志愿者分别安排到A ，B ，C 三个村民小组进行暑期社会实践活动，要求每个村民小组至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（）A.共有18种安排方法B.若甲、乙两名志愿者被安排在同一村民小组，则有6种安排方法C.若两名志愿者被安排在A 村民小组，则有24种安排方法D.若甲志愿者被安排在A 村民小组，则有12种安排方法【正确答案】BD【分析】对于A ：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，对于B ：甲、乙被安排到同一村民小组，先从3个村民小组中选一个安排甲和乙，对于C ：A 村民小组需要两名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A 村民小组，对于D ；甲志愿者被安排在A 村民小组，分两种情况讨论，即可判断各个选项的正误.【详解】对于A ：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法为：2343C A 36=，A 错误；对于B ：甲、乙被安排到同一村民小组，先从3个村民小组中选一个安排甲和乙，剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，所以安排方法为：1232C A 6=，B 正确；对于C ：A 村民小组需要两名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A 村民小组，再把剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，所以安排方法为：2242C A 12=，C 错误；对于D ；甲志愿者被安排在A 村民小组，分两种情况讨论，当A 村民小组安排两名志愿者时，先从剩余3名志愿者选出一个，分到A 村民小组，再把剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，所以安排方法为：1232C A 6=，当A 村民小组只安排甲志愿者时，剩余3名志愿者安排到两个村民小组中去，所以安排方法为：2232C A 6=，所以一共有安排方法为：6612+=，D 正确；故选：BD.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知点(,)P m n 为抛物线2:4C y x =上的点，且点P 到抛物线C 的焦点F 的距离为3，则m =____________．【正确答案】2【分析】由抛物线的方程求出抛物线的焦点和准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列方程求解即可.【详解】抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)，准线为=1x -，因为点(,)P m n 为抛物线2:4C y x =上的点，且点P 到抛物线C 的焦点F 的距离为3，所以13m +=，得2m =，故214.当直线l ：20x my m -+-=截圆C ：22230x y x +--=所得的弦长最短时，实数m 的值为______.【正确答案】1-【分析】由已知可得直线l 过定点()2,1A ，当CA l ⊥时，弦长最短.根据斜率关系即可求出实数m 的值.【详解】由已知可将直线l 的方程化为()210x m y ---=，解2010x y -=⎧⎨-=⎩可得21x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点()2,1A .又由圆的方程可得圆心()1,0C ，半径2r =，则AC r ==<，所以点A 在圆内.当AC l ⊥时，圆心()1,0C 到直线l 的最大距离，直线l 被圆截得的弦长最短.因为01112AC k -==-，所以直线l 的斜率为1-，即111m⨯=-，所以1m =-.故答案为.1-15.已知42345012345(3)(2)x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则实数2a 的值为______.【正确答案】40-【分析】先求出()42x +的展开式的通项4142C kkkk T x-+=⋅，再分别求出3x -选取x 以及3-时，2x 的系数，相加即可得出结果.【详解】()42x +的展开式的通项44144C 22C kkk k k kk T xx --+=⋅⨯=⋅，0,1,2,3,4k =.当3x -选取x 时，应取()42x +展开式中含x 的项，令41k -=，则3k =，33442C 32T x x =⋅=，此时2x 的系数为32；当3x -选取3-时，应取()42x +展开式中含2x 的项，令42k -=，则2k =，2222342C 24T x x =⋅=，此时2x 的系数为32472-⨯=-.所以2327240a =-=-.故答案为.40-16.“结题”是研究小组向老师和同学们报告数学建模研究成果并进行答辩的过程，结题会是展示研究小组“会用数学眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学语言表达现实世界”的重要场合.一般来说，结题会是结题的基本形式，小组长负责呈现研究的核心内容.假设你是研究小组的组长，研究的实际问题是“车辆的运行速度和刹车距离之间关系”，那么，为了准备结题会材料，你整理研究成果的核心内容是：______.【正确答案】论文【分析】根据课题结题的一般形式即可写出答案.【详解】根据课题结题的一般形式而言，论文是整理研究成果的核心内容，故论文.四、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点()2,4P 和直线l .210x y ++=（1）求经过点P 且与l 平行的直线方程；（2）求经过点P 且在两坐标轴上截距相等的直线方程.【正确答案】（1）280x y +-=；（2）2y x =或60x y +-=.【分析】（1）根据已知可设直线方程为20x y m ++=，代入点P 坐标求出m 的值即可得出直线的方程；（2）当直线在两坐标轴上截距都为0时，求出直线的斜率，得出直线的方程；当截距不为0时，可设直线方程为0x y n ++=，代入点P 坐标求出n 的值即可得出直线的方程.【小问1详解】设与直线l 平行的直线方程为20x y m ++=.因为直线经过点()2,4P ，所以2240m ⨯++=，解得8m =-.所以直线方程为280x y +-=.【小问2详解】当经过点(2,4)P 且在两坐标轴上截距都为0时，斜率40220k -==-，此时所求直线为2y x =；当经过点(2,4)P 且在两坐标轴上截距都不为0时，由已知可设直线方程为0x y n ++=，因为直线经过点()2,4P ，所以240n ++=，解得6n =-.所以直线方程为60x y +-=.综上所述，直线的方程为2y x =或60x y +-=.18.已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点1F 和右焦点2F 都在x 轴上，长轴长为12，离心率为23.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点M 为椭圆C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，求点M 的坐标.【正确答案】（1）2213620x y +=（2）(【分析】（1）根据题意布列基本量的方程组，即可得到结果；（2）讨论两腰的位置，结合椭圆定义即可得到结果.【小问1详解】根据题意：21223a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得6a =，4c =.∴22220b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程为2213620x y +=.【小问2详解】∵M 在第一象限，∴12MF MF >，当21228MF F F c ===时，1224MF a MF =-=与12MF MF >矛盾.所以11228MF F F c ===，即24MF =，设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12142MF F S =⨯=，∴04y =0y =，∴220(15)13620x +=，解得03x =（03x =-舍去），∴M的坐标为(.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，2PD DA ==，1DC =，M 是BC 的中点，点Q 在PM 上，且2PQ QM =.（1）证明：DQ ⊥平面PAM ；（2）求平面PAM 与平面PDC 的夹角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）33.【分析】(1)利用坐标法或几何法利用线面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量计算面面角.【小问1详解】证明：由题PD⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，以D 为原点，直线DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图：则()2,0,0A ，()0,0,0D ，()0,1,0C ，()1,1,0M ，()002P ,,，222,,333Q ⎛⎫⎪⎝⎭，222,,333DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()1,1,0AM =- ，()2,0,2AP =-，∵0DQ AM ⋅=∴DQ AM ⊥，∵0DQ AP ⋅=，∴⊥DQ AP ，∵AM AP A = ,且,AM AP ⊆平面PAM ，∴DQ ⊥平面PAM .（法二）证明：由题PD⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，以D 为原点，直线DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图：则()2,0,0A ，()0,0,0D ，()0,1,0C ，()1,1,0M ，()002P ,,，222,,333Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),,n x y z =是平面PAM 的一个法向量.()1,1,0AM =- ，()2,0,2AP =-..0.220n AM x y n AP x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩取1x =，有111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()1,1,1n =，222,,333DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则23DQ n = ，DQ n ∥ .∴DQ ⊥平面PAM .（法三）证明：连接DM ∵PD⊥平面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ,∴PD AM ⊥.在AMD 中，2AM DM ==，2AD =.∵222AM DM AD +=，∴AM DM ⊥，且PD DM D ⋂=，∴AM ⊥平面PDM ，又∵DQ ⊂平面PDM ，∴AM DQ ⊥.∵23cos 36DMPDM PM∠===，又∵633cos 32QM DMQ DM ∠===，∴PDM DQM △△∽，∴DQ PM ⊥.且AM PM M = ，且,AM PM ⊆平面PAM ，∴DQ ⊥平面PAM .【小问2详解】（接向量法）由（1）可知平面PAM 的法向量为222,,333DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭（也可为()1,1,1n =）.平面PCD 的一个法向量为()1,0,0m = .23cos ,3233m DQ m DQ m DQ⋅==⋅.∴平面PAM 与平面PDC 的夹角的余弦值为33.（法二）延长AM ，DC ，交于点N ，连接PN.∵N AM ∈，∴N ∈平面PAM ，∵N CD ∈，∴N ∈平面PCD .∴平面PAM ⋂平面PCD PN =.过D 做DT PN ⊥于T ，连接AT .∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥.又AD CD ⊥，CD PD D = ，∴AD ⊥平面PCD ，又PN ⊂平面PCD ，∴⊥AD PN .又∵DT PN ⊥，DT AD D ⋂=，,DT AD ⊂平面ADT ,∴PN ^平面ADT ，∴PN AT ⊥，∴ATD ∠为二面角A PN D --的平面角.在Rt ATD △中，AT =，∴cos 3DTATD AT∠===.∴平面PAM 与平面PDC的夹角的余弦值为3.20.用0，1，2，3，L ，9这十个数字.（1）可组成多少个三位数？（2）可组成多少个无重复数字的三位数？（3）可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？【正确答案】（1）900；（2）648；（3）379.【分析】（1）根据题意，分别得出三位数各位的种数，根据分步乘法计数原理相乘即可得出结果；（2）根据题意，分别得出三位数各位的种数，根据分步乘法计数原理相乘即可得出结果；（3）根据题意，分成三种情况，分别计算得出各种情况的种数，根据分类加法计数原理相加即可得出结果.【小问1详解】要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法；第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法.根据分步乘法计数原理，共有91010900⨯⨯=种.【小问2详解】要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法；第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法.根据分步乘法计数原理，共有998648⨯⨯=个无重复数字的三位数.【小问3详解】由已知，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类，第一类，满足条件的一位自然数：有10个，第二类，满足条件的两位自然数：有9981⨯=个，第三类，满足条件的三位自然数：第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法；第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法.根据分步乘法计数原理，有498288⨯⨯=个.由分类加法计数原理知共有1081288379++=，共有379个小于500且无重复数字的自然数.21.平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒.（1）求线段1AC 的长；（2）若AB a =，AD b =，1AA c = ，用空间向量的一组基底{},,a b a b c +- 表示向量1A B uuu r .【正确答案】（16；（2）()()11122A B a b a b c =++--uuu r r r r r r.【分析】（1）易得11AC AB AD AA =++ ，根据向量数量积的运算律结合已知条件可求出216AC =uuu r ，即可得出结果；（2）设1()()A B x a b y a b zc =++-+uuu r r r r r r ()()x y a x y b zc =++-+r r r .由1A B a c =-uuu r r r 以及,,a b c 不共面，得出方程组，求解即可得出结果.【小问1详解】解：因为111AC AB BC CC AB AD AA =++=++，所以()2211AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ =111211cos60211cos60211cos606︒︒︒+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以16AC =所以线段1AC 6.【小问2详解】解.11A B AB AA a c=-=-uuu r uu u r uuu r r r 设1()()A B x a b y a b zc =++-+uuu r r r r r r，,,x y z ∈R ，则()()1A B x y a x y b zc =++-+uuu r r r r .因为,,a b c 不共面，所以有101x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，解得12121x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩.所以()()11122A B a b a b c =++--uuu r r r r r r.22.已知直线l ：240x y -+=与圆C ：222280x y x y +++-=相交于A ，B 两点.（1）求圆心为()3,3D -，过A ，B 两点的圆D 的方程；（2）求经过点A 和点B 且面积最小的圆的方程.【正确答案】（1）()()223310x y ++-=；（2）22(2)(1)5++-=x y .【分析】（1）联立直线l 与圆C 的方程，求出交点(4,0)A -，(0,2)B .求出圆的半径，即可得出圆的方程；（2）当线段AB 为圆的一条直径时，面积最小.求出AB =AB 的中点，即可得出圆的方程.【小问1详解】解：联立直线l 与圆C 的方程222402280x y x y x y -+=⎧⎨+++-=⎩可得，220y y -=，解得10y =，22y =，代入直线方程可得14x =-，20x =，不妨设(4,0)A -，(0,2)B .又圆心为()3,3D -，则圆D 的r DA ===所以圆D 的方程为()()223310x y ++-=.【小问2详解】解：要使圆的面积最小，则应使半径最小.当线段AB 为圆的一条直径时，面积最小.AB ==，所以圆的半径12AB r ==又圆心即线段AB 的中点()2,1-，所以圆的方程为22(2)(1)5++-=x y .。

江苏省淮安市重点中学2023年数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

江苏省淮安市重点中学2023年数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1,2,...,800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[]1,200的人做试卷A，编号落在[]201,560的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为( ) A．10B．12C．18D．282．某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表由()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++得，27.8K≈.根据2K表得到下列结论，正确的是（）A．有99%以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”B．有99%以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”3．已知命题2:,230∀∈+-<p x R x x ，则命题p 的否定p ⌝为（ ）A ．2000,230∃∈+-≥x R x x B ．2,230x R x x ∀∈+-≥ C ．2000,230∃∈+-<x R x xD ．2,230∀∈+-<x R x x4．已知复数1234,43z i z i =-=-+，则在复平面内12z z +对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知,S T 是两个非空集合，定义集合{},S T x x S x T -=∈∉，则()S S T -- 结果是( ) A ．TB ．SC ．S T ⋂D ．S T ⋃6．设集合{}12,2,|2M N x x ⎧⎫=-=<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是( ) A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．{}2NM =D ．N M R =7．在54(1)(1)x y -+的展开式中，记m nx y 项的系数为(,)f m n ，则(1,0)(2,1)f f ++(3,2)(4,3)f f +=（）A ．125B ．5C ．5-D ．15-8．若定义在[,]a b 上的函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ）.A ．函数()f x 有1个极大值，2个极小值B ．函数()f x 有2个极大值，3个极小值C ．函数()f x 有3个极大值，2个极小值D ．函数()f x 有4个极大值，3个极小值9．已知角α的终边经过点()3,4P -，则cos α的值等于（ ） A ．35B ．35C ．45D ．45-10．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A ．B ．C ．D ．11．定积分()1xx e +⎰的值为( )A ．eB ．12e +C ．12e -D ．1e +12．复数2ii+的虚部为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市大兴区2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题含答案

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大兴区2023~2024学年度第一学期高二期末检测数学（答案在最后）1.本试卷共4页，共两部分，21道小题.满分150分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称､班级､姓名和准考证号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.椭圆22194x y +=的长轴长为（）A.4B.5C.6D.9【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的方程即可得出答案.【详解】由22194x y +=可得29a =，则26a =.故选：C .2.双曲线22142x y -=的渐近线方程为（）A.y x =±B.22y x =±C.y =D.12y x =±【答案】B 【解析】【分析】直接由渐近线的定义即可得解.【详解】由题意双曲线22142x y -=的渐近线方程为22042x y -=，即2y x =±.故选：B.3.若直线l 的方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，则m =（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由l α⊥可知，直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，列方程组求解即可.【详解】∵直线l 的方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，∴直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，则存在实数λ使()12,1,1,,22m λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴21122m λλλ=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得2,4m λ==，故选：D.4.两条平行直线0x y -=与10x y --=间的距离等于（）A.2B.1C.D.2【答案】A 【解析】【分析】直接利用两平行线间的距离公式求解.【详解】两条平行直线0x y -=与10x y --=，由两平行线间的距离公式可知，所求距离为22d ==．故选：A ．5.过点()1,0且被圆22(2)1x y ++=截得的弦长最大的直线方程为（）A.220x y +-=B.220x y --=C.210x y +-= D.210x y --=【答案】B【解析】【分析】根据圆的性质可知所求直线即为过圆心的直线，结合直线的截距式方程求解.【详解】由题意可知：圆22(2)1x y ++=的圆心为()0,2-，显然圆的最大弦长为直径，所求直线即为过圆心的直线，可得直线方程为112x y +=-，即220x y --=.故选：B.6.圆221:2C x y +=与圆222:(2)(2)2C x y -+-=的位置关系是（）A.相交B.相离C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两个圆的圆心距即可判断得解.【详解】圆221:2C x y +=的圆心1(0,0)C ，半径1r =，圆222:(2)(2)2C x y -+-=的圆心2(2,2)C ，半径2r =显然1212||C C r r ==+，所以圆1C 与2C 外切.故选：D7.采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：907966181925271932812458569683431257393027556488730113537989根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为（）A.310B.720C.25 D.920【答案】B 【解析】【分析】根据所给数据计数至少击中两次的次数后计算概率．【详解】所给数据中有181，271，932，812，431，393，113共7个数据表示至少击中两次，所以概率为720P =．故选：B ．8.若方程221343x y m m+=--表示双曲线，则实数m 的取值范围为（）A.()4,3,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ B.4,33⎛⎫⎪⎝⎭C.()4,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.4,33⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意得到()()3430m m --<，再解不等式即可.【详解】依题意，()()3430m m --<，则43<m 或3m >.故选：A9.已知12,F F 是双曲线221:18y C x -=与椭圆2C 的左､右公共焦点，A 是12,C C 在第一象限内的公共点，若121F F F A =，则2C 的离心率是（）A.35B.25 C.13D.23【答案】A 【解析】【分析】由双曲线定义、椭圆定义以及离心率公式，结合已知条件运算即可得解.【详解】由221:18y C x -=知1,3a b c ====，所以12126F F F A c ===，∵12||||22F A F A a -==，∴24F A =，∴1210F A F A +=，∵12||6F F =，∴2C 的离心率是63105e ==.故选：A.10.平面内与定点()()12,0,,0F a F a -距离之积等于2(0)a a >的动点的轨迹称为双纽线.曲线C 是当a =P 是曲线C 上的一个动点，则下列结论不正确的是（）A.曲线C 关于原点对称B.满足12PF PF =的点P 有且只有一个C.4OP ≤D.若直线y kx =与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为()1,1-【答案】D 【解析】【分析】由题意得当a =()()2222216x y x y +=-，对于A ，用(,)x y --替换方程中的(,)x y 即可判断；对于B ，令12PF PF =，求出点P 的坐标即可验证；对于C ，由()2222221616x y x y x y -+=≤+即可判断；对于D ，由方程()()22221161k x k +=-无零解，即可得解.2a =，当a =C 8，即()()2422228864y y x x +++-=，整理，得()()2222216x y x y +=-，对于A ，用(,)x y --替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以曲线C 关于原点中心对称，故A 正确；对于B ，若12PF PF =，=所以0x =，此时288y +=，即0y =，所以满足12PF PF =的点P 有且只有一个，即()0,0，故B 正确；对于C ，由()()2222216x yx y+=-，得()2222221616x y x y x y -+=≤+，所以曲线C 上任意一点到原点的距离，即都不超过4，故C 正确；对于D ，直线与曲线C 一定有公共点()0,0，若直线与曲线C 只有一个交点，将y kx =代入方程()()2222216x y x y +=-中，得()()224221161kx k x +=-，当0x ≠时，方程()()22221161k x k +=-无零解，则210k -≤，解得1k ≥或1k ≤-，故D 错误.故选：D.【点睛】关键点睛：判断D 选项的关键是首先一定有公共点()0,0，然后通过化简方程组得方程()()22221161k x k +=-无零解，由此即可顺利得解.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.如果事件A 与事件B 互斥，且()0.2P A =，()0.3P B =，则()P A B ＝．【答案】0.5【解析】【分析】()P A B 表示事件A 与事件B 满足其中之一占整体的占比．所以根据互斥事件概率公式求解．【详解】()()0.20.3)0.5(P A P B P A B =+=+= 【点睛】此题考查互斥事件概率公式，关键点在于理解清楚题目概率表示的实际含义，属于简单题目．12.经过原点()0,0且与直线3450x y ++=垂直的直线方程为__________.【答案】430x y -=【解析】【分析】与直线3450x y ++=垂直的直线方程可设为：430x y b -+=，再将()0,0代入即可得出答案.【详解】与直线3450x y ++=垂直的直线方程可设为：430x y b -+=，又因为经过原点()0,0，所以0b =.所求方程为430x y -=故答案为：430x y -=.13.已知双曲线222:1(0)y C x m m-=>是等轴双曲线，则C 的右焦点坐标为__________；C 的焦点到其渐近线的距离是__________.【答案】①.)②.1【解析】【分析】根据等轴双曲线的概念求得m ，即可得焦点，再根据点到直线的距离可得结果．【详解】双曲线222:1(0)y C x m m-=>是等轴双曲线，则21m =，1m =，222112c a b =+=+=，则c =C 的右焦点坐标为)，双曲线的渐近线方程为y x =±，即0x y ±=，则焦点()到渐近线的距离1d ==，故答案为：)，1．14.探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线2:8C y x =，一条光线经过()8,6M -，与x 轴平行射到抛物线C 上，经过两次反射后经过()08,N y 射出，则0y =________，光线从点M 到N 经过的总路程为________．【答案】①.83②.20【解析】【分析】由点N 与点Q 的纵坐标相同和韦达定理可得0y ，利用抛物线的定义可求得总路程.【详解】如图，设第一次射到抛物线上的点记为P ，第二次射到抛物线上的点记为Q ，易得9,62P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为()2,0F ，所以直线PF 的方程为125240x y +-=．联立28125240y xx y ⎧=⎨+-=⎩消去x 整理得2310480y y +-=，可设()00,Q x y ，显然6-和0y 是该方程的两个根，则0616y -=-，所以083y =．（方法一）光线从点M 到N 经过的总路程为()()()||||||4420M P P Q N Q M N MP PQ QN x x x x x x x x ++=-++++-=++=．（方法二）设抛物线的准线为l ，则其方程为2x =-，分别过点P ，Q 做准线l 的垂线，垂足分别为G ，H ，则PF PG =，QF QH =，所以PQ PF QF PG QH =+=+，故光线从点M 到N 经过的总路程为828220MP PQ QN MG NH ++=+=+++=．故答案为：83；20.15.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔⋅蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,,2F F 分别为椭圆的左､右焦点，,A B 为椭圆上两个动点.直线l 的方程为220bx ay a b +--=.给出下列四个结论：①C 的蒙日圆的方程为2223x y b +=；②在直线l 上存在点P ，椭圆C 上存在,A B ，使得PA PB ⊥；③记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF -的最小值为3b ；④若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 面积的最大值为26b .其中所有正确结论的序号为__________.【答案】①②④【解析】【分析】由(),Q a b 在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得,a b 关系，由此可知①正确；由l 过(),P b a 且(),P b a 在蒙日圆上，可知当,A B 恰为切点时，PA PB ⊥，知②正确；根据椭圆定义可将2||d AF -转化为12d AF a +-，可知1F A l ⊥时，1||d AF +取得最小值，由点到直线距离公式可求得1||d AF +最小值，代入可得2||d AF -的最小值，知③错误；由题意知，蒙日圆为矩形MNGH 的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系22212x y b +=，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知④正确．【详解】对于①，过(),Q a b 可作椭圆的两条互相垂直的切线：,x a y b ==，∴(),Q a b 在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为2222x y a b +=+，由2c e a ==，得222a b =，∴C 的蒙日圆方程为2223x y b +=，故①正确；对于②，由l 方程知：l 过(),P b a ，又(),P b a 满足蒙日圆方程，∴(),P b a 在圆2223x y b +=上，当,A B 恰为过P 作椭圆两条互相垂直切线的切点时，PA PB ⊥，故②正确；对于③，∵A 在椭圆上，∴12||||2AF AF a +=，∴211||(2||)||2d AF d a AF d AF a -=--=+-，当1F A l ⊥时，1||d AF +取得最小值，最小值为1F 到直线l 的距离，又1F 到直线l 的距离2222213d b ==，∴2min (||)23d AF a -=-，故③错误；对于④，当矩形MNGH 的四条边均与C 相切时，蒙日圆为矩形MNGH 的外接圆，∴矩形MNGH 的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH 的长和宽分别为,m n ，则22212m n b +=，∴矩形MNGH 的面积22262m n S mn b +=≤=，当且仅当m n ==时取等号，即矩形MNGH 面积的最大值为26b ，故④正确.故答案为：①②④．【点睛】关键点睛：本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合点(),a b 在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项．三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知两直线1l ：80mx y n ++=和2l ：210x my +-=，（1）若1l 与2l 交于点(,1)P m -，求,m n 的值；（2）若12l l //，试确定,m n 需要满足的条件．【答案】（1）1,7m n ==（2）当4,2m n =≠-或4,2m n =-≠时，【解析】【分析】（1）将点代入则得到方程，解出即可；（2）根据平行列出方程，解出4m =±，再排除重合的情况即可.【小问1详解】将点(,1)P m -代入两直线方程得：280m n -+=和210m m --=，解得1,7m n ==.【小问2详解】由12l l //得：28204m m -⨯=⇒=±，又两直线不能重合，所以有8(1)0nm ⨯--≠，对应得2n ≠±，所以当4,2m n =≠-或4,2m n =-≠时，12l l //．17.已知椭圆22:143x y C +=与经过左焦点1F 的一条直线交于,A B 两点.（1）若2F 为右焦点，求2ABF △的周长；（2）若直线AB 的倾斜角为π4，求线段AB 的长.【答案】（1）8（2）247【解析】【分析】（1）直接画出图形结合椭圆的定义即可求解.（2）由题意结合左焦点1F 的坐标以及直线AB 的倾斜角为π4，可得直线AB 的方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理以及弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意2a =，由椭圆定义有121224,24AF AF a BF BF a +==+==，所以2ABF △的周长为221212448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意直线AB 的斜率为πtan 14k ==，1c ===，即()11,0F -，所以直线AB 的方程为1y x =+，将它与椭圆方程22143x y +=联立得221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并化简整理得27880x x +-=，显然0∆>，由韦达定理得121288,77x x x x +=-=-，所以线段AB的长为12247AB x =-===.18.已知圆C 经过点A （2，0），与直线x +y ＝2相切，且圆心C 在直线2x +y ﹣1＝0上.（1）求圆C 的方程；（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2（2）x＝0或3x+4y﹣4＝0【解析】【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可.（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论.【小问1详解】因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.则点C到直线x+y＝2的距离d=.据题意，d＝|AC|=解得a＝1.所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d=则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2.【小问2详解】k不存在时，x＝0符合题意；k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0=1，∴k34=-，∴直线方程为3x+4y﹣4＝0.综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0.19.如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，点M为棱AB的中点，2,2 AB AC BC AD====.（1）证明：AC BD ⊥；（2）求平面BCD 和平面DCM 夹角的余弦值；（3）在线段BD 上是否存在一点P ，使得直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为66？若存在，求BP BD 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）23（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由勾股定理得AB AC ⊥，由AD ⊥平面ABC 得AD AC ⊥，从而AC ⊥平面ABD ，进而得出结论；（2）以A 为坐标原点，以,,AB AC AD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCD 与平面DCM 的法向量，利用向量夹角公式求解；（3）设()01BP BD λλ=≤≤，则BP BD λ= ，求得22,0(,2)P λλ-，设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，由题意sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅== ，列式求解即可.【小问1详解】∵2,2AB AC BC ===，∴222AB AC BC +=，∴AB AC ⊥，∵AD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴AD AC ⊥，∵AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，∴AC ⊥平面ABD ，∵BD ⊂平面ABD ，∴AC BD ⊥.【小问2详解】以A 为坐标原点，以,,AB AC AD 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0)A B C D M ，(2,2,0),(0,2,2),(1,2,0)BC CD CM =-=-=- ,设平面BCD 的法向量为111(,,)m x y z = ，由1111220220m BC x y m CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，则111,1==y z ，(1,1,1)m = ，设平面DCM 的法向量为222(,,)n x y z = ，由222222020n CD y z n CM x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，则222,1x z ==，(2,1,1)n = ，∴cos ,3m n m n m n ⋅=== ，∴平面BCD 和平面DCM夹角的余弦值为3.【小问3详解】设()01BP BDλλ=≤≤，则BP BD λ= ，设(,,)P x y z ，则()()2,,2,0,2x y z λ-=-，得22,0,2x y z λλ-=-==，∴22,0(,2)P λλ-，()22,2,2PC λλ=-- ，平面DCM 的法向量为(2,1,1)n = ，设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，由题意，sin cos ,6PC n PC n PC n θ⋅==== ，∴210λ+=，此方程无解，∴在线段BD 上是不存在一点P ，使得直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为6.20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线交C 于不同的两点,P Q ，且4PQ =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点()0,2M 的直线l 与C 相交于不同的两点,,A B N 为线段AB 的中点，O 是坐标原点，且AOB与MON △:1，求直线l 的方程.【答案】（1）24y x=（2）123=+y x 或2y x =-+【解析】【分析】（1）由题意可得直线,P Q 方程，进而可得2PQ p =，可求得p 值，即可得答案.（2）设直线l 的方程为2(0)y kx k =+≠，联立直线与抛物线，根据韦达定理及弦长公式求得点N 的横坐标N x ，AB ，求出O 到直线l 距离d ，由AOB 与MON △的面积的关系列式求出k ，可得答案.【小问1详解】抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则,P Q 两点所在的直线方程为：2p x =，代入抛物线2:2(0)C y px p =>，得22y p =，y p =±，则||24PQ p ==，故2p =，∴抛物线C 的方程为24.y x =【小问2详解】由题意，设直线l 的方程为2(0)y kx k =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，联立224y kx y x=+⎧⎨=⎩，得22(44)40k x k x +-+=，∴22(44)1632160k k k ∆=--=-+>，解得12k <且0k ≠，121222444,k x x x x k k -+==，∴点N 的横坐标为122222N x x k x k +-==，∴A B =O 到直线l 距离d =，∴AOB 的面积21122AOB S d k AB =⋅=△，MON △的面积22112222222M N ON k k S OM x k k --=⋅=⨯=⨯△，由题意AOB MON S =，∴2222kk k =-，整理得23210k k +-=，解得13k =或1k =-，∴直线l 的方程为123=+y x 或2y x =-+.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上､下顶点为21,B B ，左､右焦点为12,F F ，四边形1122B F B F 是面积为2的正方形.（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 是椭圆C 上异于12,B B 的点，判断直线1PB 和直线2PB 的斜率之积是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由；（3）已知圆2223x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,D E 两点，判断以DE 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）是定值，定值为12-（3）过定点，定点为(0,0)【解析】【分析】（1）根据题意列式求,,a b c ，即可得椭圆方程；（2）设()000,,0P x y x ≠，根据斜率公式结合椭圆方程分析求解；（3）取特例3x =±可知定点应为()0,0，再对一般情况，利用韦达定理可得0OC OD ⋅= ，即可得结果.【小问1详解】由题意可得22212222b c b c a b c=⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】是定值，理由如下：设()000,,0P x y x ≠，则220012x y +=，可得()220021x y =-，由（1）可知：()()120,1,0,1B B -，则()1222000022000011111221PB PB y y y y k k x x x y +---⋅=⋅===--，所以直线1PB 和直线2PB 的斜率之积是定值12-.【小问3详解】由题意可知：圆2223x y +=的圆心为()0,0，半径为3，因为13<，可知圆2223x y +=在椭圆内，可知切线l 与椭圆C 相交，①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 与圆M相切，故切线方程为3x =±，若切线方程为3x =代入椭圆方程可得，可得,33C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,33D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则以CD为直径的圆的方程为22233x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭；若切线方程为3x =-代入椭圆方程可得，可得,33C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,33D ⎛-- ⎝⎭，则以CD 为直径的圆的方程为226233x y ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭；联立方程2222233233x y x y ⎧⎛⎫⎪-+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得00x y ==⎧⎨⎩，即两圆只有一个交点()0,0，若存在定点，则定点应为()0,0；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，则3d ==，整理得222(1)3m k =+，联立方程2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(21)4220k x kmx m +++-=，设()11,C x y ，()22,D x y ，则122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+，所以22221212121222()()()21m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，所以()2222121222212232202121k k m k OC OD x x y y k k +----⋅=+===++ 即0OC OD ⋅=，所以以CD 为直径的圆经过定点(0,0)O ；综上可知，以CD 为直径的圆过定点(0,0)．【点睛】方法点睛：1．过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y kx t =+，由题设条件将t 用k 表示为t mk n =+，得()y k x m n =++，故动直线过定点(),m n -；（2）动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点；2．求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．。

2023-2024学年高二上学期期末考试冲刺模拟数学试题05(湖北省适用)(含答案)

2023-2024学年高二上学期期末考试冲刺模拟数学试题05(湖北省适用)(含答案)

2023年秋高二上学期期末考试考前原创冲刺模拟卷05注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线与直线平行，则实数a的值是()A. 2或0B. 2C. 0D.2.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.3.直线被圆所截得的弦长为()A. B. 4 C. D.4.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为()A. B. C. D.5.定义：在数列中，若对任意的都满足为常数，则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则()A. B. C. D.6.已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面AEF，则线段的长度范围是()A. B. C. D.7.已知，为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，与双曲线相交于点Q，且，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.8.函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为()A. B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.给出下列命题，其中正确的是()A. 若直线l的方向向量，平面的法向量，则；B. 若平面，的法向量分别为，，则；C. 若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则；D. 若点，，点C是A关于平面yOz的对称点，则点B与C的距离为10.在正方体中，点P在正方形内，且不在棱上，则下列说法不正确的是()A. 在正方形内一定存在一点Q，使得B. 在正方形内一定存在一点Q，使得C. 在正方形内一定存在一点Q，使得平面平面ABCD. 在正方形内一定存在一点Q，使得平面11.已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是()A. 的周长为12B. 椭圆的离心率为C. 的最大值为D. 面积最大值为12.已知数列的前n项和为，且，，则()A. B.C. 数列是递减数列D. 数列的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高二期末考试模拟试题数学

高二期末考试模拟试题数学

高二期末考试模拟试题（数学）一、 选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1、直线l 的倾斜角为α，且3sin 5α=，则直线l 的斜率是 A. 43- B.34 C.43或43- D. 34或34-2、已知直线0ax by c ++=，其中a 、b 、c 同号，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积是A. 2ab cB.22c abC. 2abD. 2ac bc+3、已知空间四边形ABCD ，连AC 、BD ，设M 和G 分别是BC 、CD 的中点，则AB+1()2BD BC +＝A. AGB. CGC. BCD.12BG 4、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CC 1的中点，则AE 、BF 所成的角的余弦值是A. 15-B.15C. D.255、空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，3AOB AOC π∠=∠=，则,COS OA BC =A.12B. C.12- D.06、设A (1,2,11)-，B (4,2,3)，C (6,1,4)-，则ABC ∆的形状是A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 7、若,,x y R ∈且22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值是 A. 8 B. 10 C.32 D. 528、设x 、y 满足210,20,250.x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值是A. 4B. 3C. 2D. 19、如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l βγ=⋂，//l α，,m m αγ⊂⊥，那么必有 A.,l m αγ⊥⊥ B. ,//m αγβ⊥ C.//,m l m β⊥ D.//,αβαβ⊥ 10、平面上动点P 到定点F （1，0）的距离比P 到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程为 A.22y x = B.24y x = C. 22y x =或0(0)y x =≤ D. 24y x =或0(0)y x =≤11、曲线12)y x =+≤与直线(2)4y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是 A. 53(,]124 B.5(,)12+∞ C.13(,)34 D.5(0,)1212、1B 2、B 是椭圆短轴的两端点，过左焦点1F 作长轴的垂线，交椭圆于P ，若12F B 是|O 1F |和12B B 的比例中项（O 为椭圆中心），则12PF OB 的值为请把选择题答案填入下表：班级 姓名 学号 分数二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）.将正确答案直接填在横线上.13.在正方体ABCD -1111A B C D 中，1BC 与平面11BDD B 所成角的大小为 .14.设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右准线与两条渐近线交于A 、B 两点，右焦点为,F 且,FA FB ⊥则双曲线的离心率为 .15.已知向量()2,3,0a =-，(),0,3b k =，若a 与b 成0120角，则k= .16.过点(),P p p 作直线l 与抛物线()220y px p =>仅有一个公共点的直线方程是 . 三、 解答题（共6小题，满分74分）17、已知向量 (4,2,4),(6,3,2)a b =--=-，求（1）a b ；（2）∣a ∣、∣b ∣；（3）(2a 3)(a 2)b b +-。

江苏省高二下学期期末模拟数学试题(解析版)

江苏省高二下学期期末模拟数学试题(解析版)

附： 2
n(ad bc)2
(a b)(c d )(a c)(b d )
a 0.05 0.01
x 3.841 6.635
18．已知正项数列an 满足
a1
1，
a2 n1
an2
8n
.
(1)求an 的通项公式；
(2)记 bn
an
sin
an 2
π
，求数列
bn
的前
2023
项的和.
19．如图，在 Rt△AOB 中， AOB π ， AO 4 ， BO 2 ， RtAOC 可以通过
C．当 r = 5 时，符合条件的直线 l 有两条 D．当 r 3时，符合条件的直线 l 有四条
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．某工厂月产品的总成本 y （单位：万元）与月长量 x （单位：万件）有如下一组
数据，从散点图分析可知 y 与 x 线性相关．如果回归方程是 y x 3.5 ，那么表格中数
指定位置中.）
1．设随机变量 X ~ H (3, 2,10), 则 P( X 1) （ ）
4 A．
15
2 B．
5
1 C．
15
7 D．
15
2．从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医
生都有，则不同的组队方案共有（ ）．
A．68 种
B．70 种
C．72 种
D．74 种
10
B． 3
8
C．
1 2
1 D．
3
7．已知斜率存在的直线 l 与椭圆 x2 y2 1交于 A，B 两点，且 l 与圆 16 4

高二上期期末检测数学模拟试题(参考答案)

高二上期期末检测数学模拟试题(参考答案)

高二上期期末检测模拟试题数学 试题 参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1、【答案】B2、【答案】D解析：由题意，得存在实数x ，y ，使得AD x AB y AC =+成立，即(5,6,)(2,1,3)(1,4,2)x y λ−=−+−−，所以52,64,32,x y x y x y λ=− −=−+ =− 解得2,1,8,x y λ==− = 故选D. 3、【答案】C解析：由535S S =，且21(21)n n S n a −=−，得()312355a a a a =++，所以120a a +=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()341248a a a a d +−+==，所以121d a ==−，，所以5147a a d =+=. 4、【答案】A 5、【答案】D解析：()57134a a a a +=+，则4q = ，∴4624a q a ==故选：D 6、【答案】D 7、【答案】C小题，共9、【答案】ACD解析：因为数列是一类特殊的函数，其自变量n +∈N ，故数列的图象是一群孤立的点，A 正确；数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B 错误； ，…前四项的规律，可知一个通项公式可以是()1nna n n +=∈+N ，C 正确； 10、【答案】ABD解析：当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A 选项正确；设(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(),m n ，则满足212122n mn m − =−+ =+ ，解得：11m n = = ，故点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，B 正确；当在x 轴和y 轴上截距都等于0时，此时直线为y x =，故C 错误；直线20x y −−=与两坐标轴的交点坐标为()2,0与()0,2−，故与两坐标轴围成的三角形的面积为12222××=，D 正确. 故选：ABD. 11、【答案】BC解析：因为双曲线22:1169x y C −=，所以5c =，又因为12112102022P P F P F S c y y =⋅=⋅⋅= ，所以4P y =，所以选项A 错误；将其代入22:1169x y C −=得2241169x −=，即20||3x =，由对称性，不妨取P 的坐标为20,43，可知2133PF =， 由双曲线定义可知1213372833PF PF ++ 所以121337|||350|33PF PF +=+=，所以选项B 正确； 由对称性，对于上面点P ， 在12PF F 中，12371321033PF c PF =>=>=， 且24012020553PF k −==>−，所以12PF F 为钝角三角形，选项C 正确； 因为122920tan tan 22PF F b S θθ===，所以9πtan tan 2206θ=<=， 即π26θ<，所以12π3F PF θ∠=<，所以选项D 错误（余弦定理也可以解决）； 12、【答案】ABD 解析：作出如图所示图形:对A,由抛物线定义及题意得222sin 302M M py py +==− , 即2212MM py p y+= =−,解得3p =,故A 正确; 对B,3p =,则30,2F,当直线l 的斜率不存在时,显然不合题意,设()11,M x y ,()22,N x y ,设直线l 的方程为y kx =22py =得2690x kx −−=,则12126,9x x k x x +==−, 121322MON S x x =×−=△当且仅当0k =时等号成立,故B 正确;对C,121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ ()()()221212393919162424k x x k x x k k k =++++=−++⋅+故MON ∠钝角,则不存在直线l ,使得90OMF ONF ∠+∠>°,故C 错误; 对D,26x y =,即216y x =,故13y x ′=,1x ,在点N 2x ,为121x x =−,故相切的两条直线互相垂直,故D 正确.故选:ABD.三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13、【答案】解析：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1； 圆心()1,0−到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =.故答案为：.14、【答案】33,84解析：设00(,)P x y ,则有2200143x y +=,即2200443x y −=.①由题意知12(2,0),(2,0)A A −,设直线1PA 的斜率为1k ,直线2PA 的斜率为2k ,则001200,22y y k k x x ==+−, 所以212204y k k x ⋅=−.② 由①②得1234k k ⋅=−.因为2[2,1]k ∈−−,所以1k 的取值范围为33,84,故选B.15、【答案】21nn + 解析：由题意，11a =，当(,1]x n n ∈+时，{}1x n =+，(22{},21x x n n n n ⋅∈+++ ，{{}}x x ⋅的取值依次为2221,2,,21n n n n n n ++++++ ，…，221n n ++，共1n +个，即11n n a a n +=++，由此可得(1)1211123,22(1)1n n n n a n a n n n n + =++++===− ++， 所以1211121n n a a a n +++=+ . 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、【答案】解析：本题考查抛物线、双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.由题意得,02p F，设直线l 的方程为2p x my =+，()11,A x y ，()22,B x y .由22,,2y px p x my = =+消去x 得2220y mpy p −−=，0∆>， 122y y mp ∴+=①，212y y p ⋅=−②.又||(3||AF FB =+，即(3AF FB =+，1122,(3,22p p x y x y∴−−=+−,12(3y y ∴=−+③.将③代入①得21)y mp +=−④，将③代入②得222(3y p +=⑤，再由④⑤解得21m =，故直线l 的斜率1k =±.又抛物线22(0)y px p =>的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的右焦点，2p c ∴=.∴直线l 的方程即为()y k x c =−. 由双曲线的左焦点(,0)c −到直线l的距离2d b =>，解得c >，即222c b >.又222b c a =−,()2222c c a ∴>−,即ce a=<, 又1e >，∴双曲线的离心率e ∈. 17、【答案】(1).依题意得()()12111410,28,a d a d a a d +=+=+因为0d ≠，解得12,2.a d ==所以()2122n a n n =+−×=.(2).由(1)得()2222n n n S n n +==+， 所以211111nS n n n n ==−++. 所以11111111223111n n T nn n n =−+−++−=−=+++…. 解析：18、【答案】（解析:（1）1BB ⊥ 平面ABC ,BC ⊂平面ABC , 1BB BC ∴⊥,平面111//A B C 平面ABC , 1BB ∴⊥平面111A B C , 11B C ⊂ 平面111A B C , 111BB B C ∴⊥11111tan B C C BB BB∴∠==1tan B CB ∠==111C BB B CB ∴∠=∠, 1190CBC B CB ∴∠+∠=°, 即11BC B C ⊥,又111A B BB ⊥,1111A B B C ⊥,1111BB B C B = ,1BB ⊂平面11BCC B ,11C B ⊂平面11BCC B , 11A B ∴⊥平面11BCC B , 111A B BC ∴⊥,1111A B B C B = ,1B C ⊂平面11A B C ,11A B ⊂平面11A B C , 1BC ∴⊥平面11A B C , 1A C ⊂ 平面11A B C ,11BC A C ∴⊥.（2）如图,作1A H AC ⊥于H ,在直角梯形11ABB A 中,得1AA =同理可得1CC =在等腰梯形11ACC A 中,()1112AH AC AC =−=则1A H ==1112A AC S AC A H ∴=⋅=△设B 到平面1A AC 的距离为d , 由11A ABC B A AC V V −−=,1113ABC A AC S BB S d ⋅=⋅△△, 则11ABC A AC S BB dS ⋅=△△又1A B =所以直线1A B 与平面1ACC A =.19、【答案】(1)圆C 的方程为22(3)(1)9x y −+−=或22(3)(1)9x y +++= (2)反射光线所在直线的方程为29150x y +−= 解析：(1)设圆222:()()(0)C x a y b r r −+−=>.由题意，得30a b −=①，||r a =②，227r +=③. 由①得3a b =，则3||r b =，代入③得21b =.当1b =时，3a =，3r =，∴圆22:(3)(1)9C x y −+−=；当1b =−时，3a =−，3r =，∴圆22:(3)(1)9C x y +++=.综上所述，圆C 的方程为22(3)(1)9x y −+−=或22(3)(1)9x y +++=. (2) 圆C 与y 轴正半轴相切， ∴圆22:(3)(1)9C x y −+−=. 设(1,2)M −−关于直线4y x =+的对称点为(,)M x y ′， 则21,1214,22y x y x + =− + −− =+ 解得6,3,x y =− = (6,3)M ′∴−，∴反射光线所在直线的斜率1336k −==+∴反射光线所在直线的方程为23(6)9y x −=−+，即29150x y +−=.20、【答案】 解析：解法一：取CD 的中点T ，连接AT ，可得AT CD ⊥， 所以AB AT ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，故以P A ，AB ，AT 所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图.可得(,0,0)B a ，1,02C a ，1,02D a −，(0,0,)P b . (1)设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =m ，因为(,0,)PB a b =− ，3,02BD a a =−， 所以11110,30,2ax bz ax ay −=−=令1x b =，则(,)b a =m ；设平面P AC 的法向量为()222,,x y z =n ，因为(0,0,)AP b =，1,02AC a =，所以2220,10,2bz ax = = 令21y =，则(n .所以0⋅=m n ，从而平面PBD ⊥平面P AC .(2)易得1,04O a，3,08M a， 设平面OPM 的法向量为()1333,,x y z =n ，因为1,,4OP a b =−，1,08OM a =，所以333331410,8ax ay bz ax −+= 31y =，则1(n ；设平面PMD 的法向量为()2444,,x y z =n ，因为1,2PD a b =−−，7,08MD a =−，所以4444410,270,8ax bz ax −−=−=令47y b =，则2,7)b =n .设二面角O PM D −−的平面角为θ，由tan θ=θ=所以1cos cos ,θ=n =解法二：过点O 作//OT PA ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以OT ⊥平面ABCD .因为四边形ABCD 为菱形，所以OC OD ⊥，如图，以OC ，OD ，OT 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，(1,0,0)A −，(1,0,0)C ，(0,B ，D ，(1,0,)P b −.(1)设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =m ，因为(1,)PB b =− ，(0,BD =，所以11110,0,x bz −−= = 令11z =，则(,0,1)b =m ；设平面P AC 的法向量为()222,,x y z =n ，因为平面P AC 即为xOz 平面，所以(0,1,0)=n .所以0⋅=m n ，从而平面PBD ⊥平面P AC . (2)易得1,0,02M.设平面OPM 的法向量为()1333,,x y z =n ，因为(1,0,)OP b − ，1,0,02OM=，所以3330,10,2x bz x −+== 可取1(0,1,0)=n ；设平面PMD 的法向量为()2444,,x y z =n ，因为)PD b =− ，12MD=−，所以444440,10,2x bz x +−= −=令4y b =，则2,b =n .设二面角O PM D −−的平面角为θ，则tan θ=θ=所以1cos cos ,θ=n解得b =CD ==12112111222111111113333333222242n n n n n T b b b −−−=−+−++−=−+++++=+++++22、【答案】(1)标准方程为. (2)存在，点(0,0)M .2212x y +=解析：(1)因为椭圆E，所以c a =，所以直线1l 的斜率为-1.如图，设E 的右焦点为F ，右顶点为P ，上顶点为Q ，过点P 作于点D ，则π||14PD PFD ∠=，所以，即1a c c −=−=，解得，则1,b a ==.故椭圆E 的标准方程为.(2)由题意可得点O 是线段AB 的中点. 又||||AC BC =，所以OA OC ⊥.①当直线AC 的斜率存在时，设直线AC 的方程为()()1122,,,,y kx m A x y C x y =+， 由2212x y y kx m+==+ ，得()222214220k x kmx m +++−=， 则()()222(4)421220km k m ∆=−+−>，即22210k m −+>. 由根与系数的关系可得2121222422,2121km m x x x x k k −+=−=++， 由OA OC ⊥可得12120x x y y +=，即()()12120x x kx m kx m +++=， 即()()22121210k x x km x x m++++=，所以()()2222222122402121k m k m m k k +−−+=++， 故22312k m =−. 假设存在点()0,0M x 满足条件，设点M 到直线AC 的距离为d ，则()()2200222213kx m kx m d k m++==+，,a b c 1PD l ⊥|||PF PD =1c =2212x y +=当00x =时，2d 为定值23，即d ②当直线AC 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可得11x y =，所以221112x x +=，故2123x =，点(0,0)到直线AC综上可得，存在点(0,0)M ，使得点M 到直线AC。

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高二期末考试模拟试题（数学） 2003.1.2
一、 选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1、直线l 的倾斜角为α，且3
sin 5
α=
，则直线l 的斜率是 A . 43- B .34 C.43或43- D. 34或3
4
-
2、已知直线0ax by c ++=，其中a 、b 、c 同号，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
A . 2ab c
B .22c ab
C. 2ab
D. 2ac bc
+
3、已知空间四边形ABCD ，连AC 、BD ，设M 和G 分别是BC 、CD 的中点，则AB+1
()2
BD BC +＝ A . AG B . CG C. BC D.
1
2
BG 4、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CC 1的中点，则AE 、BF 所成的角的余弦值是 A . 15-
B . 15
C. D.25 5、空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，3
AOB AOC π
∠=∠=
，则,CO S O A BC =
A .
12 B
. C.12- D.0 6、设A (1,2,11)-，B (4,2,3)，C (6,1,4)-，则ABC ∆的形状是
A .等腰三角形
B .等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 7、若,,x y R ∈且22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值是 A . 8 B . 10 C.
32 D. 5
2
8、设x 、y 满足210,
20,250.x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
则z x y =+的最大值是
A . 4
B . 3 C. 2 D. 1
9、如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l βγ=⋂，//l α，,m m αγ⊂⊥，那么必有
A .,l m αγ⊥⊥
B . ,//m αγβ⊥ C.//,m l m β⊥ D.//,αβαβ⊥ 10、平面上动点P 到定点F （1，0）的距离比P 到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程为 A .22y x = B .24y x = C. 22y x =或0(0)y x =≤ D. 24y x =或0(0)y x =≤ 11
、曲线12)y x =+≤与直线(2)4y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是 A . 53(
,]124 B .5(,)12+∞ C.13(,)34 D.5(0,)12
12、1B 2、B 是椭圆短轴的两端点，过左焦点1F 作长轴的垂线，交椭圆于P ，若12F B 是|O 1F |和12B B 的比例中项（O 为椭圆中心），则
12
PF OB 的值为
A.
B
.
3
D.2
请把选择题答案填入下表：
班级 姓名 学号 分数
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）.将正确答案直接填在横线上.
13.在正方体ABCD -1111A B C D 中，1BC 与平面11BDD B 所成角的大小为 .
14.设双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的右准线与两条渐近线交于A 、B 两点，右焦点为,F 且
,FA FB ⊥则双曲线的离心率为 .
15.已知向量()2,3,0a =-
，(),0,3b k =，若a 与b 成0
120角，则k= . 16.过点(),P p p 作直线l 与抛物线()2
20y px p =>仅有一个公共点的直线方程是 .
三、解答题（共6小题，满分74分）
17、已知向量 (4,2,4),(6,3,2)a b =--=-，求（1）a b ；（2）∣a ∣、∣b ∣；（3）(2a 3)(a 2)b b +-。

18、在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点.
（1） 求证：E 、F 、B 、D 四点共面；
（2） 求证：平面AMN // 平面EFBD 。

19、在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 交BD 于N 。

问：棱BB 1上是否存在点M ，使D 1M ⊥平面B 1EF ，并说明理由；若存在，试求A 1N 与D 1M 所成角。

20、某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP ，B P 运到P 处（如图所示）。

o A 100,150,APB=60P m PB m ==∠，试说明怎样运土才能最省工？
A
B
C D A 1
B 1
C 1
D 1
E
F
A
B
C
D A 1
B 1
C 1
D 1 M
N E F
21、已知圆C 过定点A(0,a)（a>0），且在x 轴上截得的弦MN 的长为2a 。

（1） 求圆C 的圆心的轨迹方程； （2） 设AM ,AN m n ==，求m n
n m
+的最大值，及此时圆C 的方程。

22、点A （x 1 ，y 1），B （x 2 ，y 2）是曲线2
2(0)y px p =>上两点，且OA ⊥OB （O 为坐标原点）。

（1） 求证：y 1 y 2是定值；
（2） 求证：直线AB 经过一个定点；
（3） 求原点O 在直线AB 上的射影M 的轨迹。

A B P
M。

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