几个常用的不等式

几个常用的不等式
1．柯西（Cauchy ）不等式
(aa 1bb 1+aa 2bb 2+⋯+aa nn bb nn )2≤�aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2��bb 12+bb 22+⋯bb nn 2
� �aa ii bb ii ∈RR ，ii =1，2，⋯，nn �
等号当且仅当 aa 1=aa 2=⋯=aa nn =0 或 bb ii =kkbb ii 时成立（kk 为常数，ii =1，2，⋯，nn ）现将它的证明介
绍如下：
证明：构造二次函数
ff(xx)=(aa 1xx +bb 1)2+(aa 2xx +bb 2)2+⋯+(aa nn xx +bb nn )2
=�aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2�xx 2+2(aa 1bb 1+aa 2bb 2+⋯+aa nn bb nn )xx +�bb 12+bb 22+⋯bb nn 2
�
∵ aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2
≥0 又 ∵ ff(xx)≥0 恒成立
∴ ∆=4(aa 1bb 1+aa 2bb 2+⋯+aa nn bb nn )2−4�aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2��bb 12+bb 22+⋯bb nn 2
�≤0
即 (aa 1bb 1+aa 2bb 2+⋯+aa nn bb nn )2≤�aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2��bb 12+bb 22+⋯bb nn 2
�
当且仅当aa ii xx +bb ii =0 � ii =1，2，⋯，nn � 即 aa
1bb 1
=aa
2bb 2
=⋯=aa
nn bb nn
时等号成立。

2．平均不等式
设 aa ii ∈RR + � ii =1，2，⋯，nn � ，调和平均值 ：HH nn = nn
1
aa 1
+ 1aa 2
+ 1aa 3
+ ⋯ + 1aa
nn
，几何平均值：GG nn =√aa 1∙aa 2∙aa 3∙⋯∙aa nn nn
算术平均值：AA nn
=
aa 1+aa 2+aa 3+⋯+aa nn
nn
，方幂平均值 ：QQ nn =�aa 12+aa 22+aa 32
+⋯+⋯aa nn
2nn
则 HH nn ≤GG nn ≤AA nn ≤QQ nn ，等号成立当且仅当：aa 1=aa 2=aa 3=⋯=aa nn
注意：运用平均不等式需注意各项均为正数！3．排序不等式
若两组实数 aa 1≤aa 2≤aa 3≤⋯≤aa nn 且 bb 1≤bb 2≤bb 3≤⋯≤bb nn ，则对于bb 1，bb 2，bb 3，⋯，bb nn 的任意排列
bb ii 1，bb ii 2，bb ii 3，⋯，bb ii nn ，有：
aa 1bb nn +aa 2bb nn−1+aa 3bb nn−2+⋯+aa nn bb 1≤aa 1bb ii 1+aa 2bb ii 2+aa 3bb ii 3+⋯+aa nn bb ii nn ≤aa 1bb 1+aa 2bb 2+aa 3bb 3+⋯+aa nn bb nn
4．琴生不等式
首先来了解凸函数的定义：一般地，设 ff(xx) 是定义在�aa ，bb �内的函数，如果对于定义域内的任意两数
xx 1，xx 2 都有ff �
xx 1+xx 2
2�
≤
ff(xx 1)+ff (xx 2)
2
，则称ff(xx) 是�aa ，bb �内的下凸函数，一般说的凸函数，也就是下凸函数，例如 yy =xx 2 ，从图像上即可看出是下凸函数，也不难证明其满足上述不等式。

如果对于某一函数上述不等式的等号总不能成立，则称此函数为严格凸函数。

对于�aa ，bb �内的凸函数ff(xx) ，有 ff �
xx 1+xx 2+⋯+xx nn
nn
�≤
ff (xx 1)+ff(xx 2)+⋯+ff(xx nn )
nn
，此即为常说的琴生不等式。

例1．已知正数 aa 、bb 、cc 满足 aa +bb +cc =1 ，证明：aa 3+bb 3+cc 3≥aa 2
+bb 2+cc 23
证明：利用柯西不等式
�aa 2
+bb 2
+cc 2�2
=�aa 32aa 12+bb 32bb 1
2
+cc 32cc 12
�2
≤�
�aa 3
2�2
+�bb 3
2�2
+�cc 3
2�2
��aa +bb +cc �
=�aa 3+bb 3+cc 3�(aa +bb +cc )2 (∵ aa +bb +cc =1 ) 又 ∵ �aa 2+bb 2+cc 2�2
≥aabb +bbcc +ccaa 在此不等式两边同乘以2，再加上 aa 2+bb 2+cc 2 得：
(aa +bb +cc)2≤3�aa 2+bb 2+cc 2�
∵ �aa 2+bb 2+cc 2�2
≤�aa 3+bb 3+cc 3�∙3�aa 2+bb 2+cc 2�
故 aa 3
+bb 3
+cc 3
≥
aa 2+bb 2+cc 2
3。

例2．设 PP 是△AAAAAA 内的一点，xx 、yy 、zz 是 PP 到三边 aa 、bb 、cc 的距离，RR 是△AAAAAA 外接圆的半径， 证明：√xx +√yy +√zz ≤
1
√2RR
√aa 2+bb 2+cc 2
证明：由柯西不等式得：√xx +√yy +√zz =√aaxx �1aa +√bbyy �1bb +√cczz �1
cc
≤√aaxx +bbyy +cczz �1aa +1bb +1
cc
记 SS 为△AAAAAA 的面积，则 aaxx +bbyy +cczz =2SS =2∙aabbcc
4RR =aabbcc
2RR
√xx +√yy +√zz ≤�aabbcc 2RR �aabb +bbcc +ccaa aabbcc =1
√2RR
√aabb +bbcc +ccaa ≤1√2RR √aa 2+bb 2+cc 2 故不等式成立。

例3．已知：aa 、bb 、cc 、dd 满足 aa +bb +cc +dd =3 ，aa 2+2bb 2+3cc 2+6dd 2=5 ，试求 aa 的最值。

解：由柯西不等式得：�2bb 2+3cc 2+6dd 2��1
2+1
3+1
6�≥(bb +cc +dd)2
即 2bb 2+3cc 2+6dd 2≥(bb +cc +dd)2 ，由条件可得： 5−aa 2≥(3−aa)2 解得：1≤aa ≤2 ，当且仅当
√2bb
�1
2
=
√3cc
�1
3
=
√6dd
�16
时等号成立，
代入bb =1，cc =13，dd =16 时，aa mmaaxx =2 ；bb =1，cc =23，dd =1
3 时，aa mmii nn =1 。

例4．在实数集内解方程
�xx 2+yy 2+zz 2
=94 −8xx +6yy −24zz =39
解：由柯西不等式得：�xx 2+yy 2+zz 2��(−8)2+62+(−24)2�≥(−8xx +6yy −24zz)2
∵ �xx 2+yy 2+zz 2��(−8)2+62+(−24)2�=9
4(64+36+4×144)=392 ①
又 (−8xx +6yy −24zz)2=392
�xx 2+yy 2+zz 2��(−8)2+62+(−24)2�=(−8xx +6yy −24zz)2 即不等式①中只有等号成立
从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 xx −8
=yy
6=zz −24
它与 −8xx +6yy −24zz =39 联立，可得：xx =−
6
13
，yy =926，zz =−18
13。

例5．设 xx 、yy 、zz 为正实数，求函数 ff �xx ，yy ，zz �= �1+2xx ��3yy+4xx ��4yy+3zz ��2zz+1�
xxyyzz 的最小值。

解：在取定 yy 的情况下，
(1+2xx)(3yy+4xx)xx
=
8xx 2+(6yy+4)xx+3yy
xx
= 8xx + 3yy xx
+ 6yy +4
≥2√24yy +6yy +4=�√6yy +2�2
其中等号成立当且仅当xx =�3yy
8 时成立。

同样，
(4yy+3zz)(2zz+1)zz
= 6zz + 4yy
zz + 8yy +3 ≥�√8yy +√3�2
其中等号成立当且仅当zz =�2yy
3
时成立。

所以
(1+2xx)(3yy +4xx)(4yy +3zz)(2zz +1)xxyyzz
≥�√6yy +2�2
�√8yy +√
3�
2
yy
=�√48yy +
2√3
√yy
+7√2�2
≥
�2�
√48∙2√3+7√2�2
=194+112√3
其中第二个不等式中等号当且仅当 yy =1
2 时成立。

故当 xx =
√3
4
，yy =12
，zz =√3
3
时，函数 ff �xx ，yy ，zz � 取得最小值 194+112√3 。

例6．已知： aa 1，aa 2，⋯，aa nn ∈RR ∗
，求证：aa 1
2
aa 2+aa 2
2aa 3
+
⋯+aa nn−1
2aa
nn +aa nn
2aa 1
≥aa 1+aa 2+⋯+aa nn
证明：（证法一）因为 aa 12
aa 2+aa 2
≥
2aa 1 ，aa 2
2
aa 3
+aa 3≥
2aa 2 ，⋯ ，aa nn−1
2aa
nn
+aa nn ≥
2aa nn−1 ，aa nn
2
aa 1
+aa 1≥2aa nn
上述不等式相加即得：aa 1
2
aa 2
+
aa 2
2aa 3
+⋯+
aa nn−12aa nn
+aa nn
2aa 1
≥aa 1+aa 2+⋯+aa nn
（证法二）由柯西不等式
�aa 12aa 2+aa 2
2aa 3
+⋯+aa nn−12aa nn +aa nn 2aa 1�(aa 1+aa 2+⋯+aa nn )≥(aa 1+aa 2+⋯+aa nn )2
因为 aa 1+aa 2+⋯+aa nn >0 ，所以 aa 12aa 2+aa 2
2aa 3+⋯+aa nn−12aa nn +aa nn
2aa 1
≥aa 1+aa 2+⋯+aa nn 。

【能力提高】
1．是否存在最小的正整数 tt ，使得不等式 (nn +tt )nn+tt >(1+nn)3nn nn tt tt 对任意正整数 nn 恒成立，证明你的结
论。

2．设△AAAAAA 三边长分别为 aa ，bb ，cc ，且 aa +bb +cc =3 。

求ff �aa ，bb ，cc �=aa 2+bb 2+cc 2+43
aabbcc 的最小值。

3．设�xx ii nn
ii =1=1，xx ii >0，求证：nn �xx ii 2nn
ii =1
−��xx ii −xx jj
�2
xx ii +xx jj
ii <jj ≤1 ． 4．已知 xx 、yy 、zz 均为正数 （1）求证：
xx
yyzz
+yy zzxx +zz xxyy ≥1xx +1yy +1zz
； （2）若 xx +yy +zz ≥ xxyyzz ，求 uu =xx yyzz +yy zzxx +zz xxyy 的最小值。

5．给定两组数 xx 1，xx 2，⋯，xx nn 和 yy 1，yy 2，⋯，yy nn ，满足下列两个条件 ① xx 1>xx 2>⋯>xx nn ， yy 1>yy 2>⋯>yy nn ；
② xx 1>yy 1，xx 1+xx 2>yy 1+yy 2，⋯，xx 1+xx 2+⋯+xx nn >yy 1+yy 2+⋯+yy nn 。

求证：对于任何自然数 kk ，都有如下不等式成立：xx 1kk +xx 2kk +⋯+xx nn kk >yy 1kk +yy 2kk +⋯+yy nn kk
6． nn 为正整数，证明：nn �(1+nn)1
nn
−1�<1+1
2
+
13
+⋯+1
nn
<nn −(nn −1)nn
−1
nn−1。