理论力学第22章刚体空间动力学

T 1 2
J
2
xx

J
2
yy

J
2
zz

2J yzyz

2J zxzx

2 J xyx y
（22-9b）
22.1.3刚体定点转动对瞬轴的转动惯量
T

1 2
n i 1
mi
ω ri
ω ri


1 2
n i 1
mi 2ri2
sin2 i

1 2
刚体动力学的研究起始于十八世纪。欧拉对 刚体动力学的发展做出了特殊的贡献，他在1758 年导出的欧拉动力学方程为刚体绕定点运动确定 了精确的数学表达形式，奠定了经典刚体动力学 的基础。随着工程技术的进步，刚体动力学已成 为陀螺仪、航天器、车辆、机构和机器人等研究 领域的理论基础。对于更复杂的实际工程对象， 还必须研究由多个刚体组成的系统。于是在刚体 动力学的基础上又发展了以刚体系为研究对象的 多体系统动力学，成为一个发展的新的动力学分 支。
1
1 2
n
n i 1
mi r&i 2

2 1 2 1
i n1 i 1
mivi
mivi
n
vi ω ri
ω 2 i1
ri mivi

1 2
ω
LO
1 2
xi y j zk

LOxi LOy j LOzk
（22-9a）
LOx J xx x J xyy J xz z LOy J yx x J yyy J yz z LOz J zx x J zyy J zzz
（22-6a） （22-6b） （22-6c）
LOx

LOy



Jx Jxx y2 z2 dm J y J yy z2 x2 dm Jz Jzz x2 y2 dm
J yz Jzy yzdm
Jzx Jxz zxdm
Jxy J yx xydm
（22-11a） （22-11b） （22-11c） （22-12a） （22-12b） （22-12c）
n
J zx J xz mi zi xi i 1
n
J xy J yx mi xi yi i 1
（22-4a） （22-4b） （22-4c）
（22-5a） （22-5b） （22-5c）
J x , J y , J z 就是刚体相对 x, y, z 轴的转动惯量，
J xy , J yz , J zx 就是刚体的惯性积。
i 1
i 1
i 1
（22-3b） （22-3c）
令
n
J x J xx mi yi2 zi2
i 1
n
J y J yy mi zi2 xi2 i 1
n
J z J zz mi xi2 yi2 i 1
n
J yz J zy mi yi zi i 1
式（22-11）中的 y2 z2 、 z2 x2 和 x2 y2 是质点
P 离 x 轴、 y 轴和 z 轴的垂直距离的平方(图22-3)。故 J x 、 J y 和 J z 就叫做刚体对 x 、 y 和 z 轴的轴转动惯量，至于 J yz 、 J zx 和 J xy 则叫做刚体的惯性积。
i 1
i 1
（22-1）
n
LO mi ri2ω ri ri ω i 1
（22-2）
动量矩 LO 一般并不与角速度ω 共线。在平行移动中，动量 p 与线速度 v 总是共线的。
ri xii yi j zik
（a）
不管刚体怎样运动，上式 xi , yi , zi 是不随时间变化的常量。
i 1
i 1
（b） （22-3a）
同理
n
n
n
LOy x mi yi xi y mi zi2 xi2 z mi yi zi
i 1
i 1
i 1
n
n
n
LOz x mi zi xi y mi zi yi z mi xi2 yi2
ω xi y j zk
n
LOx mi x xi2 yi2 zi2 xix yiy ziz xi
i 1
n
n
n
x mi yi2 zi2 y mi xi yi z mi xi zi
i 1
22.1刚体定点运动时的动量矩和动能 22.1.1刚体的动量矩
讨论绕定点O 转动的刚体，设ω 为瞬时角速度，组成刚体 的任意质wenku.baidu.com Pi 的质量为mi ，相对点O 的矢径为 ri
（图22-1）。利用式(14-8)和式（10-13）计算刚体对定点 O
的动量矩 LO ：
n
n
LO ri mivi mi ri (ω ri )
第22章 刚体空间动力学
我们已经研究讨论了刚体的平行移动、定轴转动和 平面运动。在这一章中将研究刚体动力学的普遍规律： 定点转动和一般运动。由于刚体的一般运动可分解为质 心的运动及相对质心的转动，而刚体的质心运动可直接 利用质心运动定理转化为质点动力学问题，因此刚体绕 定点或动点的转动是刚体动力学的主要研究内容
Jx J yx
J xy Jy

J J
xz yz

x y

LOz J zx J zy J z z
LO JO
（22-7） （22-8）
图22-1刚体对定点的动量矩
图22-２刚体定点转动的动能
22.1.2刚体的转动动能
T
2
n i 1
mi i2

1 2
J
p 2
（22-10）
式中 i 为 Pi 的位矢 ri 与角速度矢量 ω 之间的夹角，
i 为自 Pi 至转动瞬轴（即矢量 ω 的作用线）的垂直距离
（参看图22-2），而 J p 称为刚体绕转动瞬轴的转动惯量。
22.2刚体的质量几何
22.2.1惯量张量和惯量椭球 １.刚体对瞬轴的转动惯量