2017年高考数学文科全国三试卷及答案解析
2017年高考新课标3卷文科数学试题(解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(适用地区:云南、贵州、广西、四川)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12 个小题,每小题 5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)1.已知集合A={1 ,2,3,4} ,B={2 ,4,6,8} ,则A∩B 中元素的个数为( )A .1 B.2 C.3 D.4[解析] 由题意可得A∩B={2 ,4} ,故选B.答案:B2.复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于( )A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[解析] 由题意z=-1-2i,故选B.答案:B3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( )A .月接待游客逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月D.各年 1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月,波动性更小,变化比较平稳[解析] 由折线图,7 月份后月接待游客量减少, A 错误,故选A.答案:A- 1 -4,则s in2α=( ) 4.已知sinα-cosα=3A .-79B.-2929C.D.792-1(sinα-cosα)[解析] sin2α=2sinαcosα==-1 79,故选A.答案:A3x+2y-6≤0x≥0,则z=x-y 的取值范围是( )5.设x,y 满足约束条件y≥0A .[–3,0] B.[–3,2] C.[0,2] D.[0,3][解析] 绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0,3) 处取得最小值z =0-3=-3.在点B(2,0) 处取得最大值z=2-0=2,故选A.答案:B6.函数 f (x)=sin x+π+cos x-3π的最大值为()665 A .35B.1 C.15D.[解析] 由诱导公式可得cos x-π=cos6ππ-x+2 3π=sin x+,31π则f(x)=sin x+5 3 +sin x+π 66 π=sin x+,函数的最大值为,故选A.3 5 3 5答案:A7.函数y=1+x+s in x2 的部分图像大致为( ) x[解析] 当x=1 时,f(1)=1+1+sin1=2+sin1>2,故排除A,C,当x→+∞时,y→1+x,故排除B,D.D,故选满足条件的只有答案:D- 2 -8.执行下面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N的最小值为( ) A .5 B.4 C.3 D.2[解析] 若N=2,第一次进入循环,1≤2成立,S=100,M =-10010=-10,i=2≤2成立;第二次进入循环,此时S=100-10=90,M=--10=1,i=3≤2不成立,∴输出S=90<91 成立,∴输入的正整数N 10的最小值是2,故选D.答案:D9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )3πA .πB.4πC.2πD.4[解析] 如果,画出圆柱的轴截面12,∴r=BC=AC=1,AB=3 32h=π×,那么圆柱的体积是V=πr2 22×1=3π,故选B.4答案:B10.在正方体ABCD -A1B1C1D1 中,E 为棱C D 的中点,则( )A .A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC[解析] 根据三垂线逆定理,平面内的线垂直平面的斜线,那么也垂直斜线在平面内的射线.- 3 -对于C,若A1E⊥BC1,那么BC1⊥B1C,成立,反过来BC1⊥B1C 时,也能推出BC1⊥A1E,∴C 成立,对于D,若A1E⊥AC,则AE⊥AC,显然不成立,故选C.答案:C11.已知椭圆C:2 2x y2+2=1( a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A2,且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx a b-ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为( )A .63B.33C.23D.132+y2=a2,直线bx-ay+2ab=0 与圆相切,∴圆心到直线的距离 d[解析] 以线段A1A2 为直径的圆是x=2ab=a,整理为a2=3b2,即a2=3(a2-c2) 2a2=3c2,即2=3b2,即a2=3(a2-c2) 2a2=3c2,即2+b2a2c 2 c,e==2=a 3 a6,故选 A .3答案:A2-2x+a(e x-1+e-x+112.已知函数f(x)=x )有唯一零点,则a=( )A .-12 B.1 13 C.2 D.12-2x+a(e x-1+e-x+1[解析] 方法一:由条件,f(x)=x ),得:2-2(2-x)+a(e2-x-1+ e-(2-x)+1f(2-x)=(2-x) )2 1-x x-1=x -4x+4-4+2x+a(e +e)=x2-2x+a(e x -x+1)-1+e∴f(2-x)=f(x),即x=1为f(x)的对称轴,由题意,f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为x=1,1即f(1) =12-2·1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=.22 x-1 -x+1 x-1 -x+1 x-1 -x+1 x-1方法二:x -2x=-a(e +e +e ,g′x()=e -e =e),设g(x)=e -2(x-1)-11 ex-1=x-1 ,e e当g′x()=0时,x=1,当x<1时,g′x()<0,函数单调递减,当x>1时,g′x()>0,函数单调递增,当x=1时,函数取得最小值g(1)=2,设h(x)=x2-2x,当x=1时,函数取得最小值-1;若-a>0,函数h( x)和ag(x)没有1交点,当-a<0时,-ag(1)=h(1)时,此时函数h(x)和ag(x)有一个交点,即-a×2=-1 a=,故选C.2 答案:C第Ⅱ卷(非选择题共90 分)本试卷包括必考题和选考题两部分.第13 题~第21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22 题~第24 题为选考题,考生根据要求作答.- 4 -二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共20 分.)→13.已知向量 a→→=(-2,3),b =(3,m),且 a→⊥b ,则m=.[解析] 由题意可得-2×3+3m=0,∴m=2.答案:214.双曲线2x2-a2y 3=1(a>0)的一条渐近线方程为y=9 5x,则a=.3[解析] 由双曲线的标准方程可得渐近线方程为y=±x,结合题意可得a=5.a答案:515.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=6,c=3,则A=.[解析] 由题意b=sinBc bsinC,即sinB==sinC c36×2=32,结合b<c 可得B=45°,则A=180°-B-C2=75°.答案:75°16.设函数f(x)=x+1,x≤0则满足f(x)+f(x-x,x>0212)>1 的x 的取值范围是.[解析] 方法一:∵f(x)=x+1,x≤0 1,f(x)+f x-x,x>02 212>1,即f x->1-f(x),由图象变换可画出y=f x-12与y=1-f(x)的图象如下:y1y f(x)21 1( , )4 41 1 x2 2y 1 f (x)12 由图可知,满足f x->1-f(x)的解为(-14,+∞).11 1 x+x-11方法二:由题意得,当x> 时,2 ;当0< x≤时,2 +1>1 恒成立,即x+2x-2>1 恒成立,即x>2 2 2 20< x≤12;当x≤0时x+1+x-12+1>1 x>-14,即-1 14< x≤0;综上x的取值范围是(-4,+∞).1答案:(-,+∞)4三、解答题(本大题共 6 小题,共70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)第17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题,考生根据要求作答.- 5 -(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12 分)设数列{ a n} 满足a1+3a2+⋯+(2n-1)a n=2n.(1)求{ a n}的通项公式;(2)求数列a n2n+1的前n 项和.[解析] (1)∵a1+3a2+⋯+(2n-1)a n=2n,①∴n≥2时,a1+3a2+⋯+(2n-1)a n-1=2(n-1),②2①-②得,(2n-1)a n=2,a n=2n-1,又n=1 时,a1=2 适合上式,2∴a n=; 2n-1(2)由(1)a n=2n+12=(2n-1)(2n+1)1 1-,2n-1 2n+1a1 a2 a n 1 1 ∴S n=++⋯+=(1-)+( -3 5 2n+1 3 3 15)+⋯+(1 1 1-)=1-=2n-1 2n+1 2n+12n.2n+118.(本小题满分12 分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500 瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300 瓶;如果最高气温低于20,需求量为200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450 瓶时,写出Y 的所有可能值,并估计Y 大于零的概率.[解析] (1)需求量不超过300 瓶,即最高气温不高于25℃,从表中可知有54 天,∴所求概率为P=54 3=.90 5(2)Y 的可能值列表如下:最高气温[10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) Y -100 -100 300 900 900 900 低于20℃:y=200×6+250×2-450×4=-100;[20,25):y=300×6+150×2-450×4=300;不低于25℃:y=450×(6-4)=900,2 16 ∴Y 大于0 的概率为P=+=90 90 15.- 6 -19.(本小题满分 12 分)如图,四面体 ABCD 中,△ ABC 是正三角形, AD = CD .(1)证明: AC ⊥BD ;(2)已知△ ACD 是直角三角形, AB =BD .若 E 为棱B D 上与 D 不重合的点, 且 AE ⊥EC ,求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比.[解析 ] (1)证明:取A C 中点 O ,连O D ,OB , ∵AD =CD ,O 为 AC 中点,∴ AC ⊥OD , 又∵△ ABC 是等边三角形,∴ AC ⊥ OB ,又∵ OB ∩OD =O ,∴ AC ⊥平面 OBD ,BD 平面 OBD , ∴AC ⊥BD ;(2)设A D =CD =2,∴ AC = 2 2,AB =CD =2 2,又∵ AB =BD ,∴ BD =2 2,∴△ ABD ≌ △ CBD ,∴ AE =EC , 又∵ AE ⊥EC ,AC =2 2,∴ AE =EC =2, 在△ ABD 中,设D E =x ,根据余弦定理cos ∠ ADB = AD 2+BD 2-AB 2 2AD ·BDAD=2+DE 2-AE 2 2AD ·DE= 2+(2 2)2-(2 2)22+x 2-22 2 2 = , 2×2×x 2×2×2 2解得 x = 2,∴点 E 是 BD 的中点,则V D -ACE =V B -ACE ,∴V D -ACE=1. V B -ACE-ACE2+mx –2 与 x 轴交于A ,B 两点,点 C 的坐标 20.(本小题满分 12 分)在直角坐标系x Oy 中,曲线 y =x为(0,1).当 m 变化时,解答下列问题:(1)能否出现A C ⊥BC 的情况?说明理由;(2)证明过A ,B ,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.2+mx -2=0 的根, [解析 ] (1)设A (x1,0),B(x 2,0),则x 1,x 2 是方程 x∴x 1+x 2=- m ,x 1x 2=- 2,→ →则A C ·BC= (-x 1,1) ·(-x 2,1)=x 1x 2+1=- 2+1=- 1≠0, ∴不会能否出现A C ⊥BC 的情况.(2)解法一:过A ,B ,C 三点的圆的圆心必在线段A B 垂直平分线上,设圆心E(x 0, y 0),- 7 -x1+x2则x0==-2 m,由|EA |=|EC|得2x1+x2-x1 2+y02=2x1+x222+(y0-1)2,1+x1x2化简得y0==-2 1 2 ,∴圆E 的方程为x+m22+y+122=-m22+-1-1-122,令x=0 得y1=1,y2=-2,∴过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为1-(-2)=3,∴过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值解法二:设过A,B,C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D,由x1x2=-2 可知原点O 在圆内,由相交弦定理可得|OD ||OC |=|OA||OB|=|x1||x2|=2,又|OC |=1,∴|OD |=2,∴过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为|OC |+|OD |=3,为定值.2+(2a+1) x. 21.(本小题满分12 分)已知函数 f (x)=ln x+ax3-2. (1)讨论f( x)的单调性;(2)当a<0 时,证明f(x) ≤-4a[解析] (1) f′x()=2+(2a+1)x+12ax (2 ax+1)( x+1)=(x>0),x x当a≥0 时,f′x()≥,0则f(x )在(0,+∞)单调递增,当a<0 时,则f(x)在(0,- 1)单调递增,在(-1,+∞)单调递减. 2a 2a(2)由(1) 知,当a<0 时,f( x)max=f(-12a),1f(-)-(-2a 3+2)=ln(-4a1)+2a1+1,令y=ln t+1-t(t=-2a1>0),2a则y′=1t-1=0,解得t=1,∴y 在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减,3∴y max=y(1)=0,∴y≤0,即f (x)max≤-( +2),∴f( x) ≤-4a 3-2.4a(二)选考题:共10分.请考生在第22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10 分)选修4―4坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中,直线l1 的参数方程为x=2+ty=kt(t 为参数),直线l2 的参数方程为x=-2+mmky=(ml1 与l2 的交点为P,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C.为参数).设(1)写出 C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-2=0,M 为l3 与C 的- 8 -交点,求M 的极径.[解析] (1)将参数方程转化为普通方程1l1:y=k(x-2)⋯⋯①;l2:y=(x+2)⋯⋯②k由①②消去k可得:x2-y2=4,即P的轨迹方程为x2-y2=4;(2)将参数方程转化为一般方程l3:x+y-2=0⋯⋯③联立l3和曲线C得x+y-2=0,解得2-y2=4x3 22x=,由2y=-2x=ρcosθ,解得ρ=5,y=ρsinθ即M的极半径是5.23.(本小题满分10 分)选修4— 5 不等式选讲:已知函数f( x)=|x+1|–|x–2|.(1)求不等式f(x) ≥1的解集;2(2)若不等式f(x) ≥x –x+m 的解集非空,求m 的取值范围.-3,x≤-12x-1,-1<x<2.由f (x) ≥1可得:[解析] (1) f( x)=|x+1|–|x–2|可等价为f(x)=3,x≥2①当x≤-1时显然不满足题意;②当-1< x<2时,2x-1≥1,解得x≥1;③当x≥2时,f(x)=3≥1恒成立.综上,f( x) ≥的1解集为{ x|x≥1}.2-x+m等价为f(x)-x2+x≥m,(2)不等式f(x) ≥x令g(x)=f( x)-x2+x,则g( x) ≥m解集非空只需要[g(x)] max≥m.-x2+x-3,x≤-1而g(x)=-x2+3x-1,-1<x<2.-x2+x+3,x≥2①当x≤-1时,[ g(x)]max=g(-1)=-3-1-1=-5;3②当-1< x<2时,[g(x)]max=g(2)=-322+3·3-1=-1=5;2 4③当x≥2时,[ g(x)] max=g(2)=-22+2+3=1.综上,[g( x)]max=5 5 ,故m≤.4 45∴m 的取值范围为(-∞,].4- 9 -。
2017年高考全国文数(新课标Ⅲ)答案

2017年全国普通高等学校统一招生考试·丙卷(新课标Ⅲ)文科数学1.B 【解析】由集合交集的定义{2,4}AB =,选B .2.C 【解析】∵i(2i)12i z =-+=--,∴复数z 在复平面内对应的点(1,2)Z --,位于第三象限,选C .3.A 【解析】由折线图,7月份后月接待游客量减少,A 错误;选A . 4.A 【解析】由4sin cos 3αα-=,两边平方得161sin 29α-=,所以7sin 29α=-,选A . 5.B 【解析】不等式组的可行域如图,目标函数的几何意义可得函数在点()0,3A 处取得最小值033z =-=- . 在点()2,0B 处取得最大值202z =-=,选B .x6.A 【解析】∵cos()cos[()]sin()6233x x x ππππ-=-+=+, 则 16()sin()sin()sin()53353f x x x x πππ=+++=+,函数的最大值为65.7.D 【解析】当1x =时,(1)2sin12f =+>,排除A 、C ;当x →+∞时,1y x →+,排除B .选D .8.D 【解析】若2N =,第一次循环,12≤成立,100S =,10M =-,22i =≤成立,第二次循环,此时90S =,1M =,32i =≤不成立,所以输出9091S =<成立,所以输入的正整数N 的最小值是2,故选D .9.B 【解析】圆柱的轴截面如图,1AC =,12AB =,所以圆柱底面半径2r BC ==,那么圆柱的体积是223(124V r h πππ==⨯⨯=,故选B . CBA10.C 【解析】如图,连结1A D ,易知1AD ⊥平面1A DE ,所以11AD A E ⊥,又11BC AD ∥,所以1BC ⊥平面1A DE ,故11AE BC ⊥,选C .C 11A 1A11.A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a+=,直线20bx ay ab -+=与圆相切,所以圆心到直线的距离d a ==,整理为223a b =,即()22222323a a c a c =-⇒=,即2223c a = ,c e a ==,故选A .12.C 【解析】令()0f x =,则方程112()2x x a e e x x --++=-+有唯一解,设2()2h x x x =-+,11()x x g x ee --+=+,则()h x 与()g x 有唯一交点,又11111()2x x x x g x ee e e --+--=+=+≥,当且仅当1x =时取得最小值2.而2()(1)11h x x =--+≤,此时1x =时取得最大值1,()()ag x h x =有唯一的交点,则12a =.选C . 13.2【解析】由题意0⋅=a b ,所以2330m -⨯+⨯=,即2m =. 14.5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为:3y x a=±,结合题意可得:5a =.15.75°【解析】由正弦定理sin sin b cB C=,即sin 2sin 3b C Bc ===, 结合b c < 可得45B = ,则18075A B C =--=.16.1(,)4-+∞【解析】当12x >时,不等式为12221x x-+>恒成立;当102x <≤,不等式12112xx +-+>恒成立; 当0x ≤时,不等式为11112x x ++-+>,解得14x >-,即104x -<≤;综上,x 的取值范围为1(,)4-+∞.17.【解析】(1)因为123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=,故当2n ≥时,1213(23)2(1)n a a n a n -++⋅⋅⋅+-=-.两式相减得(21)2n n a -=. 所以221n a n =-(2)n ≥. 又由题设可得12a =. 从而{}n a 的通项公式为221n a n =-. (2)记{}21na n +的前n 项和为n S , 由(1)知21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-++--+.则11111121335212121n nS n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-++. 18.【解析】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为216360.690++=, 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时, 若最高气温不低于25,则Y =6⨯450-4⨯450=900;若最高气温位于区间 [20,25),则Y =6⨯300+2(450-300)-4错误!未找到引用源。
2017年高考全国Ⅲ文科数学试题及答案(word解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅲ)数学(文科)一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.(1)【2017年全国Ⅲ,文1,5分】已知集合{}1,2,3,4A =,{}2,4,6,8B =,则A B 中的元素的个数为( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4【答案】B【解析】集合A 和集合B 有共同元素2,4,则{}2,4A B =I 所以元素个数为2,故选B .(2)【2017年全国Ⅲ,文2,5分】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于( )(A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限【答案】C【解析】化解i(2i)z =-+得22i i 2i 1z =-+=--,所以复数位于第三象限,故选C .(3)【2017年全国Ⅲ,文3,5分】某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( )(A )月接待游客量逐月增加 (B )年接待游客量逐年增加(C )各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月(D )各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【答案】A【解析】由折线图可知,每年月接待游客量从8月份后存在下降趋势,故选A .(4)【2017年全国Ⅲ,文4,5分】已知4sin cos ,3αα-=,则sin 2α=( ) (A )79- (B )29- (C )29(D )79 【答案】A【解析】()2167sin cos 12sin cos 1sin 2,sin 299αααααα-=-=-=∴=-,故选A . (5)【2017年全国Ⅲ,文5,5分】设,x y 满足约束条件3260,0,0,x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z x y =-的取值范围是( ) (A )[]3,0- (B )[]3,2- (C )[]0,2 (D )[]0,3【答案】B【解析】由题意,画出可行域,端点坐标()0,0O ,()0,3A ,()2,0B .在端点,A B 处分别取的最小值与最大值. 所以最大值为2,最小值为3-,故选B .(6)【2017年全国Ⅲ,文6,5分】函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为( ) (A )65 (B )1 (C )35 (D )15【答案】A【解析】11113()sin()cos()(sin cos cos sin sin 5365225f x x x x x x x x x ππ=++-=⋅+++⋅=+6sin()53x π=+,故选A .(7)【2017年全国Ⅲ,文7,5分】函数2sin 1x y x x=++的部分图像大致为( )(A )(B )(C )(D )【答案】D【解析】当1x =时,()111sin12sin12f =++=+>,故排除A ,C ,当x →+∞时,1y x →+,故排除B ,满足条件的只有D ,故选D .(8)【2017年全国Ⅲ,文8,5分】执行右面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为( )(A )5 (B )4 (C )3 (D )2【答案】D【解析】若2N =,第一次进入循环,12≤成立,100100,1010S M ==-=-,2i =2≤成立,第二次进入循环,此时101001090,110S M -=-==-=,3i =2≤不成立,所以输出9091S =<成立,所以输入的正整数N 的最小值是2,故选D .(9)【2017年全国Ⅲ,文9,5分】已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )(A )π (B )3π4(C )π2 (D )π4 【答案】B【解析】如果,画出圆柱的轴截面,11,2AC AB ==,所以r BC == 22314V r h πππ==⨯⨯=⎝⎭,故选B . (10)【2017年全国Ⅲ,文10,5分】在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点,则( ) (A )11A E DC ⊥ (B )1A E BD ⊥ (C )11A E BC ⊥ (D )1A E AC ⊥【答案】C【解析】11A B ⊥平面11BCC B 111A B BC ∴⊥,11BC B C ⊥又1111B C A B B =,1BC ∴⊥平面11A B CD ,又1A E ⊂平面11A B CD 11A E BC ∴⊥,故选C .(11)【2017年全国Ⅲ,文11,5分】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ,2A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为( )(A (B (C (D )13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=,直线20bx ay ab -+=与圆相切,所以圆心到直线的距离d a ==,整理为223a b =,即()22222323a a c a c =-⇒=,即2223c a = ,c e a ==A . (12)【2017年全国Ⅲ,文12,5分】已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a =( )(A )12- (B )13 (C )12 (D )1【答案】C【解析】()()11220x x f x x a e e --+'=-+-=,得1x =,即1x =为函数的极值点,故()10f =,则1220a -+=,12a =,故选C . 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. (13)【2017年全国Ⅲ,文13,5分】已知向量()2,3a =-,()3,b m =,且a b ⊥,则m =______.【答案】2【解析】因为a b ⊥0a b ∴⋅=,得630m -+=,2m ∴=.(14)【2017年全国Ⅲ,文14,5分】双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =,则a =__ ____. 【答案】5 【解析】渐近线方程为b y x a=±,由题知3b =,所以5a =. (15)【2017年全国Ⅲ,文15,5分】ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知3,6,600===c b C ,则=A _______.【答案】075【解析】根据正弦定理有:03sin 60=sin B ∴=b c > 045=∴B 075=∴A . (16)【2017年全国Ⅲ,文16,5分】设函数1,0,()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩,则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_______. 【答案】1(,)4-+∞ 【解析】由题意得:当12x >时12221x x -+> 恒成立,即12x >;当102x <≤时12112x x +-+> 恒成立,即 102x <≤;当0x ≤时1111124x x x ++-+>⇒>-,即104x -<≤;综上x 的取值范围是1(,)4-+∞. 三、解答题:共70分。
2017年高考全国三卷文科数学试卷

2017年高考全国三卷文科数学试卷1.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},求A∩B中元素的个数。
解:A∩B={2,4},共有2个元素,选B。
2.复数z= i(-2 + i)在复平面内的点位于第几象限?解:z=-2i-i^2=-2i+1,实部为1,虚部为-2,故在第四象限,选D。
3.根据折线图,下列结论错误的是?解:根据折线图可知,月接待游客量并非逐月增加,故选A。
4.已知sinα-cosα=-7/9,求sin2α。
解:由sin^2α+cos^2α=1,可得cosα=±√(1-sin^2α),代入sinα-cosα=-7/9,解得sinα=-2/9或3/7,代入sin2α=2sinαcosα,得sin2α=-6/63或18/63,化简得sin2α=-2/21或2/7,选D。
5.设x、y满足约束条件{x≥3.y≥2.3x+2y-6≤0},则z=x-y的取值范围是?解:将3x+2y-6≤0转化为y≤-3/2x+3,与y≥2取交集得y∈[2,-3/2x+3],代入z=x-y,得z∈[-1.x-3],再结合x≥3,得z∈[-3,0],选A。
6.求函数f(x)=sin(x+π/2)+cos(x-π/6)的最大值。
解:f(x)=sinx*cos(π/2)+cosx*cos(π/6)+sinx*sin(π/2)-sin(π/6),化简得f(x)=sinx+√3/2*cosx-1/2*sin(π/6),令f'(x)=cosx+√3/2*(-sinx)=0,解得x=5π/6或11π/6,代入f(x)得最大值为5/2,选B。
7.根据图象,函数y=1+x+sinx/2x的部分图象大致为?解:选A。
8.执行程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为?解:当N=1时,S=1,当N=2时,S=1+2=3,当N=3时,S=1+2+3=6,当N=4时,S=1+2+3+4=10,当N=5时,S=1+2+3+4+5=15,故N=5时,S>91,N=4时,S=10<91,选B。
2017年高考真题全国新课标三卷文科数学(解析版)

2017年高考真题全国新课标三卷文科数学(解析版)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为几个?答案:2解析:A∩B={2,4},共2个元素。
选择B选项。
复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于哪个象限?答案:第二象限解析:z=-i(2-i)=-2i+i^2=-2i-1.所以z在第二象限。
选择B选项。
根据该折线图,下列结论错误的是?A。
月接待游客逐月增加B。
年接待游客量逐年增加C。
各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D。
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳答案:A解析:由折线图,7月份后月接待游客量减少,所以A错误。
选择A选项。
已知sinα-cosα=4/9,则sin2α=?答案:-2/17解析:sin2α=2sinαcosα=2(sinα-cosα)cosα=2(4/9)cosα=-8/81.所以sin2α=-2/17.选择A选项。
设x,y满足约束条件{3x+2y-6≤0,x≥0,y≥0},则z=x-y 的取值范围是?A。
[-3,0]B。
[-3,2]C。
[0,2]D。
[0,3]答案:B解析:绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0,3)处取得最小值z=-3,在点B(2,0)处取得最大值z=2.所以z的取值范围是[-3,2]。
选择B选项。
函数f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)的最大值为多少?A。
5/6B。
1C。
1/5D。
5答案:A解析:由诱导公式可得:cos(x-π/3)=sin(π/2-(x-π/3))=sin(x-π/6),所以f(x)=sin(x+π/6)+sin(x-π/6)=2cos(π/6)sinx=√3sinx。
∵|sinx|≤1,∴f(x)的最大值为√3,即5/6.选择A选项。
函数y=1+x+sinx?(此处有格式错误,请删除)答案:无法判断解析:此题缺少函数的定义域和范围,无法判断。
2017年高考全国Ⅲ卷文数试题(解析版)

试卷点评
命题特点 该口古7 新课标 导导导 高考数学试卷,试卷内容 体 新课程理念,贴 中学数学教学,坚持
对基础知识 基本技能 及数学思想方法的考查 在保持稳定的基础 ,进行适度的改革和 创新 该口古7 稳 的 古 的数学试卷 稳中求进 试卷考查
试卷结构 稳, 时题目 和 无偏怪题,难度控制理想 体知识点 变化 回 教材,注重基础 该口古7
1.已知集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则 A I B 中元素的个数 A.1 答案 B B .2 C .3 D.4
解析 由题意可得 考点 集合 算
A I B = {2, 4} , A I B 中元素的个数
该,所 选 B.
师点睛 集合的基本 算的关注点 (古)看元素 成.集合是由元素 成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合 算问题 的前提. (该) 些集合是可 化简的,先化简再研究 关系并进行 算,可使问题简单明了,易于解 决. (详)注意数形结合思想的 用,常用的数形结合形式 数轴 坐标系和 有enn 图. 2.复 面内表示复数 z = i( −2 + i) 的点 于 A.第一象限 答案 叶 解析 由题意 考点 复数 算 师点睛 首先对于复数的四则 算,要 实掌握 算技 和常规思路,如 次要熟悉复数相关基本概念, 对 点 B.第 象限 C.第 象限 D.第四象限
z = −1 − 2i ,在第 象限. 所 选 叶.
(a + bi )(c + di ) = (ac − bd ) + (ad + bc ) i , (a , b, c.d ∈ R) .
如复数 a + bi (a , b ∈ R ) 的实部
a
虚部
b
2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)

2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)(2017•新课标Ⅲ)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A ∩B中元素的个数为()A.1 B.2 C.3 D.42.(5分)(2017•新课标Ⅲ)复平面内表示复数z=i(﹣2+i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分)(2017•新课标Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4.(5分)(2017•新课标Ⅲ)已知sinα﹣cosα=,则sin2α=()A.﹣ B.﹣ C.D.5.(5分)(2017•新课标Ⅲ)设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是()A.[﹣3,0]B.[﹣3,2]C.[0,2]D.[0,3]6.(5分)(2017•新课标Ⅲ)函数f(x)=sin(x+)+cos(x﹣)的最大值为()A.B.1 C.D.7.(5分)(2017•新课标Ⅲ)函数y=1+x+的部分图象大致为()A. B.C.D.8.(5分)(2017•新课标Ⅲ)执行如图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为()A.5 B.4 C.3 D.29.(5分)(2017•新课标Ⅲ)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB. C.D.10.(5分)(2017•新课标Ⅲ)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC11.(5分)(2017•新课标Ⅲ)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.12.(5分)(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=x2﹣2x+a(e x﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=()A.﹣ B.C.D.1二、填空题13.(5分)(2017•新课标Ⅲ)已知向量=(﹣2,3),=(3,m),且,则m=.14.(5分)(2017•新课标Ⅲ)双曲线(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=.15.(5分)(2017•新课标Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=60°,b=,c=3,则A=.16.(5分)(2017•新课标Ⅲ)设函数f(x)=,则满足f(x)+f(x ﹣)>1的x的取值范围是.三、解答题17.(12分)(2017•新课标Ⅲ)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n﹣1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.18.(12分)(2017•新课标Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.19.(12分)(2017•新课标Ⅲ)如图四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:AC⊥BD;(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.20.(12分)(2017•新课标Ⅲ)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点,点C的坐标为(0,1),当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.21.(12分)(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤﹣﹣2.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)(2017•新课标Ⅲ)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,(t为参数),直线l2的参数方程为,(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)﹣=0,M为l3与C的交点,求M的极径.[选修4-5:不等式选讲]23.(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
2017年全国3卷文科数学试题(解析版)

17年全国3卷 文数一、选择题:1.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A ⋂B 中元素的个数为 A .1B .2C .3D .42.复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是 A .月接待游客逐月增加 B .年接待游客量逐年增加C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D .各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 4.已知4sin cos 3αα-=,则sin 2α= A .79-B .29-C .29D .795.设x ,y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z =x -y 的取值范围是 A .[–3,0]B .[–3,2]C .[0,2]D .[0,3]6.函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为A .65B .1C .35D .157.函数y =1+x +2sin xx 的部分图像大致为A .B .C .D .8.执行下面的程序框图,学@科网为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为A .5B .4C .3D .29.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A .πB .3π4C .π2D .π410.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点,则A .11A E DC ⊥B .1A E BD ⊥C .11A E BC ⊥D .1AE AC ⊥11.已知椭圆C :22221x y a b+=,(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为A 6B 3C 2D .1312.已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点,则a =A .12-B .13C .12D .1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2017年全国高考文科全国3卷数学试题及答案-

4.已知 sin cos43,则sin2 =2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学卷3注意事项:1 •答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2 •回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需写在本试卷上无效。
3 •考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一项是符合题目要求的。
2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图根据该折线图,下列结论错误的是 A. 月接待游客逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7, 8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于 7月至12月,波动性更小,变化比较平稳改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
、选择题:本大题共 12小题,每小题5分,60分。
在每小题给出的四个选项中,只有1. 已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则 AI B 中元素的个数为2. 3. A . 1B. 2C.D. 4复平面内表示复数 z i( 2 i)的点位于A .第一象限B.第二象限C. 第三象限D.第四象限 某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量, 收集并整理了2014年1月至73x 2y 6 05•设x, y 满足约束条件x 0,则z x y 的取值范围是y 0A . [-3 , 0]B .[-3 , 2] C.[0 , 2] D. [0 , 3]6.函数f(x)1 — sin(x 5 3)cos(x -)的最大值为 6631A.-B 1C.D.—55 5A .92 c.—97 D.-9V J1\""""―—\I*vVr1 v/——J------------ 1&执行右面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为 A. 5B. 4C. 3D. 29.已知圆柱的高为1 ,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A .B. 3 4c.—D.-fW10MI ■■ 100』口 P10•在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CD 的中点,则1(a 0)的一条渐近线方程为y 3x ,则a = 515 . ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a,b,c 。
2017年高考新课标3卷文科数学试题(解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(适用地区:云南、贵州、广西、四川)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12 个小题,每小题 5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)1.已知集合A={1 ,2,3,4} ,B={2 ,4,6,8} ,则A∩B 中元素的个数为( )A .1 B.2 C.3 D.4[解析] 由题意可得A∩B={2 ,4} ,故选B.答案:B2.复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于( )A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[解析] 由题意z=-1-2i,故选B.答案:B3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( )A .月接待游客逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月D.各年 1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月,波动性更小,变化比较平稳[解析] 由折线图,7 月份后月接待游客量减少, A 错误,故选A.答案:A- 1 -4,则s in2α=( ) 4.已知sinα-cosα=3A .-79B.-2929C.D.792-1(sinα-cosα)[解析] sin2α=2sinαcosα==-1 79,故选A.答案:A3x+2y-6≤0x≥0,则z=x-y 的取值范围是( )5.设x,y 满足约束条件y≥0A .[–3,0] B.[–3,2] C.[0,2] D.[0,3][解析] 绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0,3) 处取得最小值z =0-3=-3.在点B(2,0) 处取得最大值z=2-0=2,故选A.答案:B6.函数 f (x)=sin x+π+cos x-3π的最大值为()665 A .35B.1 C.15D.[解析] 由诱导公式可得cos x-π=cos6ππ-x+2 3π=sin x+,31π则f(x)=sin x+5 3 +sin x+π 66 π=sin x+,函数的最大值为,故选A.3 5 3 5答案:A7.函数y=1+x+s in x2 的部分图像大致为( ) x[解析] 当x=1 时,f(1)=1+1+sin1=2+sin1>2,故排除A,C,当x→+∞时,y→1+x,故排除B,D.D,故选满足条件的只有答案:D- 2 -8.执行下面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N的最小值为( ) A .5 B.4 C.3 D.2[解析] 若N=2,第一次进入循环,1≤2成立,S=100,M =-10010=-10,i=2≤2成立;第二次进入循环,此时S=100-10=90,M=--10=1,i=3≤2不成立,∴输出S=90<91 成立,∴输入的正整数N 10的最小值是2,故选D.答案:D9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )3πA .πB.4πC.2πD.4[解析] 如果,画出圆柱的轴截面12,∴r=BC=AC=1,AB=3 32h=π×,那么圆柱的体积是V=πr2 22×1=3π,故选B.4答案:B10.在正方体ABCD -A1B1C1D1 中,E 为棱C D 的中点,则( )A .A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC[解析] 根据三垂线逆定理,平面内的线垂直平面的斜线,那么也垂直斜线在平面内的射线.- 3 -对于C,若A1E⊥BC1,那么BC1⊥B1C,成立,反过来BC1⊥B1C 时,也能推出BC1⊥A1E,∴C 成立,对于D,若A1E⊥AC,则AE⊥AC,显然不成立,故选C.答案:C11.已知椭圆C:2 2x y2+2=1( a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A2,且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx a b-ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为( )A .63B.33C.23D.132+y2=a2,直线bx-ay+2ab=0 与圆相切,∴圆心到直线的距离 d[解析] 以线段A1A2 为直径的圆是x=2ab=a,整理为a2=3b2,即a2=3(a2-c2) 2a2=3c2,即2=3b2,即a2=3(a2-c2) 2a2=3c2,即2+b2a2c 2 c,e==2=a 3 a6,故选 A .3答案:A2-2x+a(e x-1+e-x+112.已知函数f(x)=x )有唯一零点,则a=( )A .-12 B.1 13 C.2 D.12-2x+a(e x-1+e-x+1[解析] 方法一:由条件,f(x)=x ),得:2-2(2-x)+a(e2-x-1+ e-(2-x)+1f(2-x)=(2-x) )2 1-x x-1=x -4x+4-4+2x+a(e +e)=x2-2x+a(e x -x+1)-1+e∴f(2-x)=f(x),即x=1为f(x)的对称轴,由题意,f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为x=1,1即f(1) =12-2·1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=.22 x-1 -x+1 x-1 -x+1 x-1 -x+1 x-1方法二:x -2x=-a(e +e +e ,g′x()=e -e =e),设g(x)=e -2(x-1)-11 ex-1=x-1 ,e e当g′x()=0时,x=1,当x<1时,g′x()<0,函数单调递减,当x>1时,g′x()>0,函数单调递增,当x=1时,函数取得最小值g(1)=2,设h(x)=x2-2x,当x=1时,函数取得最小值-1;若-a>0,函数h( x)和ag(x)没有1交点,当-a<0时,-ag(1)=h(1)时,此时函数h(x)和ag(x)有一个交点,即-a×2=-1 a=,故选C.2 答案:C第Ⅱ卷(非选择题共90 分)本试卷包括必考题和选考题两部分.第13 题~第21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22 题~第24 题为选考题,考生根据要求作答.- 4 -二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共20 分.)→13.已知向量 a→→=(-2,3),b =(3,m),且 a→⊥b ,则m=.[解析] 由题意可得-2×3+3m=0,∴m=2.答案:214.双曲线2x2-a2y 3=1(a>0)的一条渐近线方程为y=9 5x,则a=.3[解析] 由双曲线的标准方程可得渐近线方程为y=±x,结合题意可得a=5.a答案:515.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=6,c=3,则A=.[解析] 由题意b=sinBc bsinC,即sinB==sinC c36×2=32,结合b<c 可得B=45°,则A=180°-B-C2=75°.答案:75°16.设函数f(x)=x+1,x≤0则满足f(x)+f(x-x,x>0212)>1 的x 的取值范围是.[解析] 方法一:∵f(x)=x+1,x≤0 1,f(x)+f x-x,x>02 212>1,即f x->1-f(x),由图象变换可画出y=f x-12与y=1-f(x)的图象如下:y1y f(x)21 1( , )4 41 1 x2 2y 1 f (x)12 由图可知,满足f x->1-f(x)的解为(-14,+∞).11 1 x+x-11方法二:由题意得,当x> 时,2 ;当0< x≤时,2 +1>1 恒成立,即x+2x-2>1 恒成立,即x>2 2 2 20< x≤12;当x≤0时x+1+x-12+1>1 x>-14,即-1 14< x≤0;综上x的取值范围是(-4,+∞).1答案:(-,+∞)4三、解答题(本大题共 6 小题,共70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)第17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题,考生根据要求作答.- 5 -(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12 分)设数列{ a n} 满足a1+3a2+⋯+(2n-1)a n=2n.(1)求{ a n}的通项公式;(2)求数列a n2n+1的前n 项和.[解析] (1)∵a1+3a2+⋯+(2n-1)a n=2n,①∴n≥2时,a1+3a2+⋯+(2n-1)a n-1=2(n-1),②2①-②得,(2n-1)a n=2,a n=2n-1,又n=1 时,a1=2 适合上式,2∴a n=; 2n-1(2)由(1)a n=2n+12=(2n-1)(2n+1)1 1-,2n-1 2n+1a1 a2 a n 1 1 ∴S n=++⋯+=(1-)+( -3 5 2n+1 3 3 15)+⋯+(1 1 1-)=1-=2n-1 2n+1 2n+12n.2n+118.(本小题满分12 分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500 瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300 瓶;如果最高气温低于20,需求量为200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450 瓶时,写出Y 的所有可能值,并估计Y 大于零的概率.[解析] (1)需求量不超过300 瓶,即最高气温不高于25℃,从表中可知有54 天,∴所求概率为P=54 3=.90 5(2)Y 的可能值列表如下:最高气温[10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) Y -100 -100 300 900 900 900 低于20℃:y=200×6+250×2-450×4=-100;[20,25):y=300×6+150×2-450×4=300;不低于25℃:y=450×(6-4)=900,2 16 ∴Y 大于0 的概率为P=+=90 90 15.- 6 -19.(本小题满分 12 分)如图,四面体 ABCD 中,△ ABC 是正三角形, AD = CD .(1)证明: AC ⊥BD ;(2)已知△ ACD 是直角三角形, AB =BD .若 E 为棱B D 上与 D 不重合的点, 且 AE ⊥EC ,求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比.[解析 ] (1)证明:取A C 中点 O ,连O D ,OB , ∵AD =CD ,O 为 AC 中点,∴ AC ⊥OD , 又∵△ ABC 是等边三角形,∴ AC ⊥ OB ,又∵ OB ∩OD =O ,∴ AC ⊥平面 OBD ,BD 平面 OBD , ∴AC ⊥BD ;(2)设A D =CD =2,∴ AC = 2 2,AB =CD =2 2,又∵ AB =BD ,∴ BD =2 2,∴△ ABD ≌ △ CBD ,∴ AE =EC , 又∵ AE ⊥EC ,AC =2 2,∴ AE =EC =2, 在△ ABD 中,设D E =x ,根据余弦定理cos ∠ ADB = AD 2+BD 2-AB 2 2AD ·BDAD=2+DE 2-AE 2 2AD ·DE= 2+(2 2)2-(2 2)22+x 2-22 2 2 = , 2×2×x 2×2×2 2解得 x = 2,∴点 E 是 BD 的中点,则V D -ACE =V B -ACE ,∴V D -ACE=1. V B -ACE-ACE2+mx –2 与 x 轴交于A ,B 两点,点 C 的坐标 20.(本小题满分 12 分)在直角坐标系x Oy 中,曲线 y =x为(0,1).当 m 变化时,解答下列问题:(1)能否出现A C ⊥BC 的情况?说明理由;(2)证明过A ,B ,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.2+mx -2=0 的根, [解析 ] (1)设A (x1,0),B(x 2,0),则x 1,x 2 是方程 x∴x 1+x 2=- m ,x 1x 2=- 2,→ →则A C ·BC= (-x 1,1) ·(-x 2,1)=x 1x 2+1=- 2+1=- 1≠0, ∴不会能否出现A C ⊥BC 的情况.(2)解法一:过A ,B ,C 三点的圆的圆心必在线段A B 垂直平分线上,设圆心E(x 0, y 0),- 7 -x1+x2则x0==-2 m,由|EA |=|EC|得2x1+x2-x1 2+y02=2x1+x222+(y0-1)2,1+x1x2化简得y0==-2 1 2 ,∴圆E 的方程为x+m22+y+122=-m22+-1-1-122,令x=0 得y1=1,y2=-2,∴过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为1-(-2)=3,∴过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值解法二:设过A,B,C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D,由x1x2=-2 可知原点O 在圆内,由相交弦定理可得|OD ||OC |=|OA||OB|=|x1||x2|=2,又|OC |=1,∴|OD |=2,∴过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为|OC |+|OD |=3,为定值.2+(2a+1) x. 21.(本小题满分12 分)已知函数 f (x)=ln x+ax3-2. (1)讨论f( x)的单调性;(2)当a<0 时,证明f(x) ≤-4a[解析] (1) f′x()=2+(2a+1)x+12ax (2 ax+1)( x+1)=(x>0),x x当a≥0 时,f′x()≥,0则f(x )在(0,+∞)单调递增,当a<0 时,则f(x)在(0,- 1)单调递增,在(-1,+∞)单调递减. 2a 2a(2)由(1) 知,当a<0 时,f( x)max=f(-12a),1f(-)-(-2a 3+2)=ln(-4a1)+2a1+1,令y=ln t+1-t(t=-2a1>0),2a则y′=1t-1=0,解得t=1,∴y 在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减,3∴y max=y(1)=0,∴y≤0,即f (x)max≤-( +2),∴f( x) ≤-4a 3-2.4a(二)选考题:共10分.请考生在第22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10 分)选修4―4坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中,直线l1 的参数方程为x=2+ty=kt(t 为参数),直线l2 的参数方程为x=-2+mmky=(ml1 与l2 的交点为P,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C.为参数).设(1)写出 C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-2=0,M 为l3 与C 的- 8 -交点,求M 的极径.[解析] (1)将参数方程转化为普通方程1l1:y=k(x-2)⋯⋯①;l2:y=(x+2)⋯⋯②k由①②消去k可得:x2-y2=4,即P的轨迹方程为x2-y2=4;(2)将参数方程转化为一般方程l3:x+y-2=0⋯⋯③联立l3和曲线C得x+y-2=0,解得2-y2=4x3 22x=,由2y=-2x=ρcosθ,解得ρ=5,y=ρsinθ即M的极半径是5.23.(本小题满分10 分)选修4— 5 不等式选讲:已知函数f( x)=|x+1|–|x–2|.(1)求不等式f(x) ≥1的解集;2(2)若不等式f(x) ≥x –x+m 的解集非空,求m 的取值范围.-3,x≤-12x-1,-1<x<2.由f (x) ≥1可得:[解析] (1) f( x)=|x+1|–|x–2|可等价为f(x)=3,x≥2①当x≤-1时显然不满足题意;②当-1< x<2时,2x-1≥1,解得x≥1;③当x≥2时,f(x)=3≥1恒成立.综上,f( x) ≥的1解集为{ x|x≥1}.2-x+m等价为f(x)-x2+x≥m,(2)不等式f(x) ≥x令g(x)=f( x)-x2+x,则g( x) ≥m解集非空只需要[g(x)] max≥m.-x2+x-3,x≤-1而g(x)=-x2+3x-1,-1<x<2.-x2+x+3,x≥2①当x≤-1时,[ g(x)]max=g(-1)=-3-1-1=-5;3②当-1< x<2时,[g(x)]max=g(2)=-322+3·3-1=-1=5;2 4③当x≥2时,[ g(x)] max=g(2)=-22+2+3=1.综上,[g( x)]max=5 5 ,故m≤.4 45∴m 的取值范围为(-∞,].4- 9 -。
2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)(含解析版)

A. —6
5
5
3
B. 1
6
C. —3
5
D
1 _5
7. Cs 分)函数 y=l+x+兰坚-的部分图象大致为(
X2
C.
D.
8. Cs 分)执行如图的程序框图,为使输出 S 的值小千 91, 则输入的正整数 N 的最小值为(
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
9. cs 分)已知圆柱的高为 1, 它的两个底曲的圆周在直径为 2 的同一个球的球血上,则该圆柱的休
={ (5 分)设函数 f 16.
(x) x+l , x<o ,则满足 f (x) +f (x- 上) >1 的 x 的取值范围是
.
产, x >o
2
19. (12 分)如图四面体 ABCD 中,^ ABC 是正二伯形, AD=CD.
(1) 证明: AC 上 BD: (2) 已知^ ACD 是直伯二川形, AB=BD, 若 E 为棱 BD 上与 D 个重合的点,且 AE 上 EC, 求四面体 ABCE
7.【解答】解:函数y=l+x+兰坚一, 可知:f(x) =x+王坚-是奇函数, 所以函数的图象关千原点对称, 则函数y=l+x+主皿-的图象关千(O, 1) 对称, 当x➔o', f Cx) >o, 排除A、c, 当x=rr时,y=l顷, 排除B. 第4页(共9页)
故选:D. 【点评】本题考查函数 的图象的 判断,函数的奇偶性以及特殊点是常用方 法.
A
y
x 【点评】本题考查线线垂直的 判断,是中档题,斛题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
【点评】本题考查曲圆柱 的体积的 求法,考查圆柱、球等基础知识,考查推理论证能力、运算求 解能 力、空间想象 能力,考查化归与转化思想,是中档题.
2017年高考数学全国卷3文(附参考答案及详解)

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年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 数 学
!!请 考 生 在 第 $$$$( 题 中 任 选 一 题 作 答如 果 多 做则 按 所 做
的 第 一 题 计 分 !作 答 时 请 写 清 题 号 !
$$!$本 小 题 满 分 !# 分 %选 修 252&坐 标 系 与 参 数 方 程
排
除
选
项
%#*!
故选 .!
0!.!解析假设 -&"#程序执行过程如下'
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(全国卷3,含解析)

)
bx ay 2ab 0 相切,则 C 的离心率为(
A.
6 3
B.
3 3
C.
2 3
D.
1 3
【答案】A 【解析】以线段 A1 A2 为直径的圆是 x y a ,直线 bx ay 2ab 0 与圆相切,所以圆心到直线的距
cos 6 2
x sin x , 3 3
则: f x
1 6 sin x sin x sin x , 5 3 3 5 3
绝密★启用前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则 A B 中元素的个数为( A.1 【答案】B B.2 C.3 ) D.4
6 . 5
)
函数的最大值为
本题选择 A 选项. 7.函数 y=1+x+
sin x 的部分图像大致为( x2
A
B
D. C 【答案】D D
8.执行下面的程序框图,为使输出 S 的值小于 91,则输入的正整数 N 的最小值为(
2017年全国统一高考新课标版Ⅲ卷全国3卷文科数学试卷及参考答案与解析

2017年全国统一高考新课标版Ⅲ卷全国3卷文科数学试卷及参考答案与解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.42.(5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4.(5分)已知sinα-cosα=,则sin2α=( )A.-B.-C.D.5.(5分)设x,y满足约束条件则z=x-y的取值范围是( )A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3]6.(5分)函数f(x)=sin(x+)+cos(x-)的最大值为( )A. B.1 C. D.7.(5分)函数y=1+x+的部分图象大致为( )A. B.C. D.8.(5分)执行如图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为( )A.5B.4C.3D.29.(5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A.πB.C.D.10.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC11.(5分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )A. B. C. D.12.(5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )A.-B.C.D.1二、填空题13.(5分)已知向量=(-2,3),=(3,m),且,则m=.14.(5分)双曲线(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=.15.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=60°,b=,c=3,则A=.16.(5分)设函数f(x)=,则满足f(x)+f(x-)>1的x的取值范围是.三、解答题17.(12分)设数列{an }满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.19.(12分)如图四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:AC⊥BD;(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE 与四面体ACDE的体积比.20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A、B两点,点C的坐标为(0,1),当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.21.(12分)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,(t为参数),直线l2的参数方程为,(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
2017年高考真题——文科数学(全国Ⅲ卷)+Word版含解析

4 ,则 sin 2α 称 3
B. −
致. −
7 9
2 9
件.
2 9
价.
7 9
答案 致
解析
( sin α − cos α ) sin 2α = 2 sin α cos α =
−1
2
−1
=−
7 . 9
本题选择 致 选项.
5.设 x,y 满足约束条
3 x + 2 y − 6 ≤ 0 ,则 z称x-y 的取值范围是 x≥0 y≥0
-7-
.
答案 5 解析 由双曲线的标准方程可得渐近线方程为 y = ±
3 结合题意可得 a = 5 . x , a
令5.△致B件 的内角 致,B,件 的对边 别为 a,b,c
π
3
)+cos(x− B.令
π
6
)的最大值为 件. 价.
6 5
答案 致 解析 由诱导
式可得
π π cos x − = cos 6 2
π π − x + = sin x + , 3 3
-3-
则
1 π π 6 π f ( x ) = sin x + + sin x + = sin x + , 5 3 3 5 3
答案 件
令令. 知椭圆 件
x2 y2 + = 1 , a己b己代 的左 右顶点 别为 致令,致以,且 线段 致令致以 为直 的 a 2 b2
,则 件 的离心率为
圆
直线 bx − ay + 2ab = 0 相
致.
6 3
B.
3 3
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2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.42.(5分)复平面内表示复数z=i(﹣2+i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4.(5分)已知sinα﹣cosα=,则sin2α=()A.﹣B.﹣C.D.5.(5分)设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是()A.[﹣3,0]B.[﹣3,2]C.[0,2]D.[0,3]6.(5分)函数f(x)=sin(x+)+cos(x﹣)的最大值为()A.B.1C.D.7.(5分)函数y=1+x+的部分图象大致为()A.B.C.D.8.(5分)执行如图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为()A.5B.4C.3D.29.(5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.C.D.10.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC 11.(5分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.12.(5分)已知函数f(x)=x2﹣2x+a(e x﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=()A.﹣B.C.D.1二、填空题13.(5分)已知向量=(﹣2,3),=(3,m),且,则m=.14.(5分)双曲线(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=.15.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=60°,b=,c=3,则A=.16.(5分)设函数f(x)=,则满足f(x)+f(x﹣)>1的x的取值范围是.三、解答题17.(12分)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n﹣1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.19.(12分)如图四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:AC⊥BD;(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点,点C的坐标为(0,1),当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.21.(12分)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤﹣﹣2.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,(t为参数),直线l2的参数方程为,(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)﹣=0,M为l3与C的交点,求M的极径.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4【考点】1E:交集及其运算.【专题】11:计算题;37:集合思想;4O:定义法;5J:集合.【分析】利用交集定义先求出A∩B,由此能求出A∩B中元素的个数.【解答】解:∵集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},∴A∩B={2,4},∴A∩B中元素的个数为2.故选:B.【点评】本题考查交集中元素个数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用.2.(5分)复平面内表示复数z=i(﹣2+i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义.【专题】35:转化思想;5N:数系的扩充和复数.【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【解答】解:z=i(﹣2+i)=﹣2i﹣1对应的点(﹣1,﹣2)位于第三象限.故选:C.【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(5分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【考点】2K:命题的真假判断与应用;B9:频率分布折线图、密度曲线.【专题】27:图表型;2A:探究型;5I:概率与统计.【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,逐一分析给定四个结论的正误,可得答案.【解答】解:由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据可得:月接待游客量逐月有增有减,故A错误;年接待游客量逐年增加,故B正确;各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故C正确;各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳,故D正确;故选:A.【点评】本题考查的知识点是数据的分析,命题的真假判断与应用,难度不大,属于基础题.4.(5分)已知sinα﹣cosα=,则sin2α=()A.﹣B.﹣C.D.【考点】GS:二倍角的三角函数.【专题】11:计算题;35:转化思想;4O:定义法;56:三角函数的求值.【分析】由条件,两边平方,根据二倍角公式和平方关系即可求出.【解答】解:∵sinα﹣cosα=,∴(sinα﹣cosα)2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=,∴sin2α=﹣,故选:A.【点评】本题考查了二倍角公式,属于基础题.5.(5分)设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是()A.[﹣3,0]B.[﹣3,2]C.[0,2]D.[0,3]【考点】7C:简单线性规划.【专题】11:计算题;31:数形结合;35:转化思想;5T:不等式.【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可.【解答】解:x,y满足约束条件的可行域如图:目标函数z=x﹣y,经过可行域的A,B时,目标函数取得最值,由解得A(0,3),由解得B(2,0),目标函数的最大值为:2,最小值为:﹣3,目标函数的取值范围:[﹣3,2].故选:B.【点评】本题考查线性规划的简单应用,目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键.6.(5分)函数f(x)=sin(x+)+cos(x﹣)的最大值为()A.B.1C.D.【考点】HW:三角函数的最值.【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;57:三角函数的图像与性质.【分析】利用诱导公式化简函数的解析式,通过正弦函数的最值求解即可.【解答】解:函数f(x)=sin(x+)+cos(x﹣)=sin(x+)+cos(﹣x+)=sin(x+)+sin(x+)=sin(x+).故选:A.【点评】本题考查诱导公式的应用,三角函数的最值,正弦函数的有界性,考查计算能力.7.(5分)函数y=1+x+的部分图象大致为()A.B.C.D.【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】11:计算题;31:数形结合;35:转化思想;51:函数的性质及应用.【分析】通过函数的解析式,利用函数的奇偶性的性质,函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可.【解答】解:函数y=1+x+,可知:f(x)=x+是奇函数,所以函数的图象关于原点对称,则函数y=1+x+的图象关于(0,1)对称,当x→0+,f(x)>0,排除A、C,当x=π时,y=1+π,排除B.故选:D.【点评】本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及特殊点是常用方法.8.(5分)执行如图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为()A.5B.4C.3D.2【考点】EF:程序框图.【专题】11:计算题;39:运动思想;49:综合法;5K:算法和程序框图.【分析】通过模拟程序,可得到S的取值情况,进而可得结论.【解答】解:由题可知初始值t=1,M=100,S=0,要使输出S的值小于91,应满足“t≤N”,则进入循环体,从而S=100,M=﹣10,t=2,要使输出S的值小于91,应接着满足“t≤N”,则进入循环体,从而S=90,M=1,t=3,要使输出S的值小于91,应不满足“t≤N”,跳出循环体,此时N的最小值为2,故选:D.【点评】本题考查程序框图,判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.9.(5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.C.D.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LR:球内接多面体.【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5Q:立体几何.【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r==,由此能求出该圆柱的体积.【解答】解:∵圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,∴该圆柱底面圆周半径r==,∴该圆柱的体积:V=Sh==.故选:B.【点评】本题考查面圆柱的体积的求法,考查圆柱、球等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想,是中档题.10.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系.【专题】11:计算题;31:数形结合;41:向量法;5G:空间角.【分析】法一:连B1C,推导出BC1⊥B1C,A1B1⊥BC1,从而BC1⊥平面A1ECB1,由此得到A1E⊥BC1.法二:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出结果.【解答】解:法一:连B1C,由题意得BC1⊥B1C,∵A1B1⊥平面B1BCC1,且BC1⊂平面B1BCC1,∴A1B1⊥BC1,∵A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1ECB1,∵A1E⊂平面A1ECB1,∴A1E⊥BC1.故选:C.法二:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2,则A1(2,0,2),E(0,1,0),B(2,2,0),D(0,0,0),C1(0,2,2),A(2,0,0),C(0,2,0),=(﹣2,1,﹣2),=(0,2,2),=(﹣2,﹣2,0),=(﹣2,0,2),=(﹣2,2,0),∵•=﹣2,=2,=0,=6,∴A1E⊥BC1.故选:C.【点评】本题考查线线垂直的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.11.(5分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.【考点】K4:椭圆的性质.【专题】34:方程思想;5B:直线与圆;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,可得原点到直线的距离=a,化简即可得出.【解答】解:以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,∴原点到直线的距离=a,化为:a2=3b2.∴椭圆C的离心率e===.故选:A.【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)已知函数f(x)=x2﹣2x+a(e x﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=()A.﹣B.C.D.1【考点】52:函数零点的判定定理.【专题】11:计算题;33:函数思想;49:综合法;51:函数的性质及应用.【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(e x﹣1+)的图象只有一个交点求a的值.分a=0、a<0、a>0三种情况,结合函数的单调性分析可得结论.【解答】解:因为f(x)=x2﹣2x+a(e x﹣1+e﹣x+1)=﹣1+(x﹣1)2+a(e x﹣1+)=0,所以函数f(x)有唯一零点等价于方程1﹣(x﹣1)2=a(e x﹣1+)有唯一解,等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(e x﹣1+)的图象只有一个交点.①当a=0时,f(x)=x2﹣2x≥﹣1,此时有两个零点,矛盾;②当a<0时,由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,且y=a(e x﹣1+)在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(e x﹣1+)的图象的最高点为B(1,2a),由于2a<0<1,此时函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(e x﹣1+)的图象有两个交点,矛盾;③当a>0时,由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,且y=a(e x﹣1+)在(﹣∞,1)上递减、在(1,+∞)上递增,所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(e x﹣1+)的图象的最低点为B(1,2a),由题可知点A与点B重合时满足条件,即2a=1,即a=,符合条件;综上所述,a=,故选:C.【点评】本题考查函数零点的判定定理,考查函数的单调性,考查运算求解能力,考查数形结合能力,考查转化与化归思想,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于难题.二、填空题13.(5分)已知向量=(﹣2,3),=(3,m),且,则m=2.【考点】9T:数量积判断两个平面向量的垂直关系.【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5A:平面向量及应用.【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解.【解答】解:∵向量=(﹣2,3),=(3,m),且,∴=﹣6+3m=0,解得m=2.故答案为:2.【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用.14.(5分)双曲线(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=5.【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11:计算题;35:转化思想;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用双曲线方程,求出渐近线方程,求解a即可.【解答】解:双曲线(a>0)的一条渐近线方程为y=x,可得,解得a=5.故答案为:5.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.15.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=60°,b=,c=3,则A=75°.【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.【专题】11:计算题;35:转化思想;4O:定义法;58:解三角形.【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可【解答】解:根据正弦定理可得=,C=60°,b=,c=3,∴sinB==,∵b<c,∴B=45°,∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°,故答案为:75°.【点评】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理,属于基础题16.(5分)设函数f(x)=,则满足f(x)+f(x﹣)>1的x的取值范围是(,+∞).【考点】3T:函数的值.【专题】32:分类讨论;4R:转化法;51:函数的性质及应用.【分析】根据分段函数的表达式,分别讨论x的取值范围,进行求解即可.【解答】解:若x≤0,则x﹣≤﹣,则f(x)+f(x﹣)>1等价为x+1+x﹣+1>1,即2x>﹣,则x>,此时<x≤0,当x>0时,f(x)=2x>1,x﹣>﹣,当x﹣>0即x>时,满足f(x)+f(x﹣)>1恒成立,当0≥x﹣>﹣,即≥x>0时,f(x﹣)=x﹣+1=x+,此时f(x)+f(x﹣)>1恒成立,综上x>,故答案为:(,+∞).【点评】本题主要考查不等式的求解,结合分段函数的不等式,利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键.三、解答题17.(12分)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n﹣1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.【专题】34:方程思想;35:转化思想;54:等差数列与等比数列.【分析】(1)利用数列递推关系即可得出.(2)==﹣.利用裂项求和方法即可得出.【解答】解:(1)数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n﹣1)a n=2n.n≥2时,a1+3a2+…+(2n﹣3)a n﹣1=2(n﹣1).∴(2n﹣1)a n=2.∴a n=.当n=1时,a1=2,上式也成立.∴a n=.(2)==﹣.∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=.【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.【考点】CB:古典概型及其概率计算公式;CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5I:概率与统计.【分析】(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,求出最高气温位于区间[20,25)和最高气温低于20的天数,由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.(2)当温度大于等于25°C时,需求量为500,求出Y=900元;当温度在[20,25)°C时,需求量为300,求出Y=300元;当温度低于20°C时,需求量为200,求出Y=﹣100元,从而当温度大于等于20时,Y>0,由此能估计估计Y大于零的概率.【解答】解:(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,得到最高气温位于区间[20,25)和最高气温低于20的天数为2+16+36=54,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶,如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶,如果最高气温低于20,需求量为200瓶,∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p==.(2)当温度大于等于25°C时,需求量为500,Y=450×2=900元,当温度在[20,25)°C时,需求量为300,Y=300×2﹣(450﹣300)×2=300元,当温度低于20°C时,需求量为200,Y=400﹣(450﹣200)×2=﹣100元,当温度大于等于20时,Y>0,由前三年六月份各天的最高气温数据,得当温度大于等于20°C的天数有:90﹣(2+16)=72,∴估计Y大于零的概率P=.【点评】本题考查概率的求法,考查利润的所有可能取值的求法,考查函数、古典概型等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.19.(12分)如图四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:AC⊥BD;(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LW:直线与平面垂直.【专题】11:计算题;31:数形结合;41:向量法;5F:空间位置关系与距离.【分析】(1)取AC中点O,连结DO、BO,推导出DO⊥AC,BO⊥AC,从而AC ⊥平面BDO,由此能证明AC⊥BD.(2)法一:连结OE,设AD=CD=,则OC=OA=1,由余弦定理求出BE=1,由BE=ED,四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h,S△DCE=S ,由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.法二:设AD=CD=,△BCE则AC=AB=BC=BD=2,AO=CO=DO=1,BO=,推导出BO⊥DO,以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OD为z轴,建立空间直角坐标系,由AE⊥EC,求出DE=BE,由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.【解答】证明:(1)取AC中点O,连结DO、BO,∵△ABC是正三角形,AD=CD,∴DO⊥AC,BO⊥AC,∵DO∩BO=O,∴AC⊥平面BDO,∵BD⊂平面BDO,∴AC⊥BD.解:(2)法一:连结OE,由(1)知AC⊥平面OBD,∵OE ⊂平面OBD ,∴OE ⊥AC ,设AD=CD=,则OC=OA=1,EC=EA ,∵AE ⊥CE ,AC=2,∴EC 2+EA 2=AC 2,∴EC=EA==CD ,∴E 是线段AC 垂直平分线上的点,∴EC=EA=CD=, 由余弦定理得:cos ∠CBD==, 即,解得BE=1或BE=2,∵BE <<BD=2,∴BE=1,∴BE=ED ,∵四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点A 到平面BCD 的高h ,∵BE=ED ,∴S △DCE =S △BCE ,∴四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1.法二:设AD=CD=,则AC=AB=BC=BD=2,AO=CO=DO=1, ∴BO==,∴BO 2+DO 2=BD 2,∴BO ⊥DO ,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OD 为z 轴,建立空间直角坐标系, 则C (﹣1,0,0),D (0,0,1),B (0,,0),A (1,0,0), 设E (a ,b ,c ),,(0≤λ≤1),则(a ,b ,c ﹣1)=λ(0,,﹣1),解得E (0,,1﹣λ), ∴=(1,),=(﹣1,),∵AE ⊥EC ,∴=﹣1+3λ2+(1﹣λ)2=0, 由λ∈[0,1],解得,∴DE=BE ,∵四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点A 到平面BCD 的高h ,∵DE=BE ,∴S △DCE =S △BCE ,∴四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1.【点评】本题考查线线垂直的证明,考查两个四面体的体积之比的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点,点C的坐标为(0,1),当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【考点】KJ:圆与圆锥曲线的综合.【专题】34:方程思想;43:待定系数法;5B:直线与圆.【分析】(1)设曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),运用韦达定理,再假设AC⊥BC,运用直线的斜率之积为﹣1,即可判断是否存在这样的情况;(2)设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2﹣4F>0),由题意可得D=m,F=﹣2,代入(0,1),可得E=1,再令x=0,即可得到圆在y轴的交点,进而得到弦长为定值.【解答】解:(1)曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点,可设A(x1,0),B(x2,0),由韦达定理可得x1x2=﹣2,若AC⊥BC,则k AC•k BC=﹣1,即有•=﹣1,即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾,故不出现AC⊥BC的情况;(2)证明:设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2﹣4F>0),由题意可得y=0时,x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价,可得D=m,F=﹣2,圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0,由圆过C(0,1),可得0+1+0+E﹣2=0,可得E=1,则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0,另解:设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H(0,d),则由相交弦定理可得|OA|•|OB|=|OC|•|OH|,即有2=|OH|,再令x=0,可得y2+y﹣2=0,解得y=1或﹣2.即有圆与y轴的交点为(0,1),(0,﹣2),则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3.【点评】本题考查直线与圆的方程的求法,注意运用韦达定理和直线的斜率公式,以及待定系数法,考查方程思想和化简整理的运算能力,属于中档题.21.(12分)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤﹣﹣2.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数研究函数的最值.【专题】11:计算题;32:分类讨论;48:分析法;53:导数的综合应用.【分析】(1)题干求导可知f′(x)=(x>0),分a=0、a>0、a<0三种情况讨论f′(x)与0的大小关系可得结论;(2)通过(1)可知f(x)max=f(﹣)=﹣1﹣ln2﹣+ln(﹣),进而转化可知问题转化为证明:当t>0时﹣t+lnt≤﹣1+ln2.进而令g(t)=﹣t+lnt,利用导数求出y=g(t)的最大值即可.【解答】(1)解:因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x,求导f′(x)=+2ax+(2a+1)==,(x>0),①当a=0时,f′(x)=+1>0恒成立,此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当a>0,由于x>0,所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立,此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增;③当a<0时,令f′(x)=0,解得:x=﹣.因为当x∈(0,﹣)f′(x)>0、当x∈(﹣,+∞)f′(x)<0,所以y=f(x)在(0,﹣)上单调递增、在(﹣,+∞)上单调递减.综上可知:当a≥0时f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a<0时,f(x)在(0,﹣)上单调递增、在(﹣,+∞)上单调递减;(2)证明:由(1)可知:当a<0时f(x)在(0,﹣)上单调递增、在(﹣,+∞)上单调递减,所以当x=﹣时函数y=f(x)取最大值f(x)max=f(﹣)=﹣1﹣ln2﹣+ln (﹣).从而要证f(x)≤﹣﹣2,即证f(﹣)≤﹣﹣2,即证﹣1﹣ln2﹣+ln(﹣)≤﹣﹣2,即证﹣(﹣)+ln(﹣)≤﹣1+ln2.令t=﹣,则t>0,问题转化为证明:﹣t+lnt≤﹣1+ln2.…(*)令g(t)=﹣t+lnt,则g′(t)=﹣+,令g′(t)=0可知t=2,则当0<t<2时g′(t)>0,当t>2时g′(t)<0,所以y=g(t)在(0,2)上单调递增、在(2,+∞)上单调递减,即g(t)≤g(2)=﹣×2+ln2=﹣1+ln2,即(*)式成立,所以当a<0时,f(x)≤﹣﹣2成立.【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查分类讨论的思想,考查转化能力,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,(t为参数),直线l2的参数方程为,(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)﹣=0,M为l3与C的交点,求M的极径.【考点】QH:参数方程化成普通方程.【专题】34:方程思想;4Q:参数法;4R:转化法;5S:坐标系和参数方程.【分析】解:(1)分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k(x ﹣2)①与x=﹣2+ky②;联立①②,消去k可得C的普通方程为x2﹣y2=4;(2)将l3的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)﹣=0化为普通方程:x+y﹣=0,再与曲线C的方程联立,可得,即可求得l3与C的交点M的极径为ρ=.【解答】解:(1)∵直线l1的参数方程为,(t为参数),∴消掉参数t得:直线l1的普通方程为:y=k(x﹣2)①;又直线l2的参数方程为,(m为参数),同理可得,直线l2的普通方程为:x=﹣2+ky②;联立①②,消去k得:x2﹣y2=4,即C的普通方程为x2﹣y2=4(x≠2且y≠0);(2)∵l3的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)﹣=0,∴其普通方程为:x+y﹣=0,联立得:,∴ρ2=x2+y2=+=5.∴l3与C的交点M的极径为ρ=.【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程,考查函数与方程思想与等价转化思想的运用,属于中档题.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.【考点】R4:绝对值三角不等式;R5:绝对值不等式的解法.【专题】32:分类讨论;33:函数思想;4C:分类法;4R:转化法;51:函数的性质及应用;5T:不等式.【分析】(1)由于f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=,解不等式f(x)≥1可分﹣1≤x≤2与x>2两类讨论即可解得不等式f(x)≥1的解集;(2)依题意可得m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x,分x≤1、﹣1<x<2、x≥2三类讨论,可求得g(x)max=,从而可得m的取值范围.【解答】解:(1)∵f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=,f(x)≥1,∴当﹣1≤x≤2时,2x﹣1≥1,解得1≤x≤2;当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.(2)原式等价于存在x∈R使得f(x)﹣x2+x≥m成立,即m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x.由(1)知,g(x)=,当x≤﹣1时,g(x)=﹣x2+x﹣3,其开口向下,对称轴方程为x=>﹣1,∴g(x)≤g(﹣1)=﹣1﹣1﹣3=﹣5;当﹣1<x<2时,g(x)=﹣x2+3x﹣1,其开口向下,对称轴方程为x=∈(﹣1,2),∴g(x)≤g()=﹣+﹣1=;当x≥2时,g(x)=﹣x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=<2,∴g(x)≤g(2)=﹣4+2+3=1;综上,g(x)max=,∴m的取值范围为(﹣∞,].【点评】本题考查绝对值不等式的解法,去掉绝对值符号是解决问题的关键,突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用,属于难题.。