7氢原子的量子力学处理与多电子原子的壳层结构
第九节氢原子的量子力学处理
2、角动量量子化与角量子数：
L l (l 1), l 0,1,2, n 1.
l叫角（动量）量子数，取值范围受到n的限制。
3、空间量子化与磁量子数：
Lz ml , ml l ,l 1,, l 1, l.
《大学物理》
教师：
胡炳全
三、斯特恩-盖拉赫实验，电子自旋
自旋磁量子数: s 1 / 2.
《大学物理》
教师：
胡炳全
第九节 氢原子的量子力学求解方法： 一、氢原子的薛定谔方程:
( r ) ( r ) ( r ) 2m e 2 [E ] (r ) 0 2 2 2 x y z 4 0 r
2 2 2 2
在极坐标下使用分离变量，即:
(r ) R(r )( )( )
电子自旋概念解释了斯特恩-盖拉赫实验的偶数条谱线的 结果，同时还解释了光谱精细结构等问题。
《大学物理》
教师：
胡炳全
氢原子中，电子的运动状态可以由四个量子数来确定：
主量子数 : n 1,2,3 角量子数 : l 0,1,2,n 1.
磁量子数 : ml 0,1,2, l.
2 l 2
二、量子数与氢原子相关物理量： 1、能量量子化与主量子数： 上述关于R的二阶微分方程有解的条件是：
me 4 1 1 En 2 13 .6 2 (eV ) 2 2(4 0 ) n n
n=1，2，3…叫氢原子的主量子数。它决定氢原子的能量。
《大学物理》
教师：
胡炳全
1、斯特恩-盖拉赫实验Leabharlann 《大学物理》教师：
胡炳全
测量结果：
•是分离谱线；说明空间量子化是确实的。 •但谱线条数是偶数。空间量子化的规律有新原因。 2、电子的自旋： 电子自旋角动量：
物理 量子力学处理
定态薛定谔方程表示为： 定态薛定谔方程表示为：
1 2 ψ 1 ψ (r )+ 2 (sinθ ) 2 r θ r r r sinθ θ
1 e2 2ψ 2m )ψ = 0(1) + 2 2 + 2 (E + 2 4πε0r r sin θ
设方程的解
ψ = ψ (r,θ , ) = R(r)Θ(θ )Φ( )
量子力学习题课
一、选择题 1、金属的光电效应的红限依赖于： 、金属的光电效应的红限依赖于： （A）入射光的频率 ） （C）金属的逸出功 ） （B）入射光的强度 ） （D）入射光的频率和金属的逸出功 ） 与金属性质有关。 A= eU0 与金属性质有关。 =
A 解： ∵ν 0 = h
C
2、光电效应和康普顿效应都含有电子与光子的相互作用过程， 、光电效应和康普顿效应都含有电子与光子的相互作用过程， 在下列几种理解中，正确的是： 在下列几种理解中，正确的是： （A）两种效应中电子与光子两者组成的系统都服从动量守恒 ） 和能量守恒定律； 和能量守恒定律； （B）两种效应都相当电子与光子的弹性碰撞过程； ）两种效应都相当电子与光子的弹性碰撞过程； （C）两种效应都属于电子吸收光子的过程； ）两种效应都属于电子吸收光子的过程； （D）光电效应是吸收光子的过程，而康普顿效应则相当于 ）光电效应是吸收光子的过程， 光子与电子的弹性碰撞过程。 光子与电子的弹性碰撞过程。 光电效应过程： 解：光电效应过程： 电子吸收光子，过程能量守恒。 电子吸收光子，过程能量守恒。 康普顿效应： 为光子与电子弹性碰撞过程。过 康普顿效应： 为光子与电子弹性碰撞过程。 程满足能量守恒和动量守恒。 程满足能量守恒和动量守恒。
= ∑2(2l + 1) = 2n2
用基础量子力学解释氢原子
用基础量子力学解释氢原子四川师范大学本科毕业论文用基本量子力学解释氢原子——量子力学与氢原子的相遇相知相交学生姓名黄兰院系名称物理与电子工程学院专业名称物理学班级2008级 2 班学号2008070219指导教师侯邦品四川师范大学教务处二○一二年五月用基本量子力学解释氢原子本科生：黄兰指导老师：侯邦品内容摘要：主要从以下几个方面来运用基本量子力学解释氢原子。
1、氢原子的能级和能量本征函数。
首先介绍在量子力学中的波函数，再利用薛定谔方程来导出氢原子的能量本征函数，最后再分析它的物理含义。
2、氢原子的四个量子数的物理意义。
解释它们其与氢原子的能级的关系。
3、径向波函数和角度波函数。
主要是得出径向波函数和角度波函数同时给出它的物理意义。
4、简并性破除与量子激光。
氢原子的内部结构中电子在原子中受到的磁场的作用所产生的正常塞曼效应和反常塞曼效应，以及可能引起的电子跃迁。
5、氢原子的Stark效应。
氢原子在外场的作用下表现的Stark 效应，这部分将作简单的介绍。
关键词：量子量子力学氢原子 stark效应Schr?dinger方程Using quantum mechanics to explain the physical phenomena in hydrogen atomsAbstract:we shall use quantum mechanics to explain the physicalphenomena in the hydrogen atoms as follows: 1, the energy eigenfunctions for hydrogen are obtained after introducing the wave function in quantum mechanics . 2 , physical significance of the four quantum numbers in the hydrogen atoms.Here we shall focus on the hydrogen atom electron spin and its physical meaning of the four quantum numbers . 3, the radial wave function and the angle wave function . Coming to the radial wave function and the angle of the wave function at the same time we will get its physical significance. 4, the degeneracy is broken by magnetic fields. The normal and the anomalous Zeeman effect induced by magnetic field are introduced. 5, Finally, the the Stark effect in the hydrogen atomis briefly introduced.Key Words:Quantum Quantum mechanics Hydrogen atoms stark effect Schr?dinger equation目录引言 (4)1氢原子的能级和能量本征函数 (6)1.1波函数与Shr?dinger方程 (6)1.1.1波函数 (6)1.1.2波函数的归一化 (6)1.2 Shr?dinger方程 (7)1.2.1不含时Shr?dinger方程 (7)1.2.2 Shr?dinger方程的一般形式 (7)1.3中心力场中角动量守恒与径向方程 (7)1.4氢原子的能级与本征函数波函数 (8)2氢原子四个量子数 (11)2.1氢原子的定态薛定谔方程 (11)2.2 三个量子数 (12)2.3电子的自旋与第四量子数 (15)2.3.1斯特恩--盖拉赫实验(1921年) (15)3径向波函数和角度波函数 (17)3.1径向几率分布 (17)3.2电子的几率密度随角度的变化 (19)4氢原子四个量子数 ................................................................ 错误！未定义书签。
氢原子结构
ml = -1
Wnl (r ) R 2 r 2 dr
0.6
Wn l (r) ~ r 的函数关系
[n，l]
0.5 0.4
[1，0]
峰值数： n – 个
Wn l(r)
0.3 0.2 0.1
[2，0] [3，0] [4，0]
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
r / r1
Wn l (r) ~ r 的函数关系
* 对于是一常量，表明电子的 空间概率分布与 无关，
即相对于z轴对称。
2
2表示电子的概率分布与的关系,计算表明与l和ml 有关
z
Z
y
y
x
x
l 0 , ml 0
z
z
y
x
l 1, ml 0
l 1, ml 1
ml = +2
ml = +1
ml = 0
=2
ml = -2
15-10 电子的磁矩 原子的壳层结构
1896年塞曼发现光谱线在外磁场中分裂的现象 ----塞曼效应
一、电子的轨道磁矩 1.角动量和磁矩的关系
按玻尔模型
B z Lz i r
●
ev evr 2 IS πr 2r 2
v
eL
L
e L 2me
e L 2me
对应某个轨道量子数为l的能级，有 轨道状态：
2l 1个不同的 2l 1
无外磁场时这些状态的能量相同，是简并的， 有外磁场时简并消失，原来一个能级分裂成 个能级，相邻两能级能量差为
大学物理学电子教案 氢原子的量子理论简介
可容纳的电子数为
n1
Nn22l12n2
21
l0
01 sp
2 d
3 f
4 g
5 h
6 i
Nn
1K 2
2
2L 2 6
8
3 M 2 6 10
18
4 N 2 6 10 14
32
5 O 2 6 10 14 18
50
6 P 2 6 10 14 18 22
72
7 Q 2 6 10 14 18 22 26 98
例题：试确定基态氦原子中电子的量子数。
2、角动量量子化及角量子数
求解氢原子波函数的经度方程，可得氢原子中电子的角动量 是量子化的
L ll 1 h ll 1 l 0 ,1 ,2 , ,n 1 2
其中l 叫做轨道角动量量子数或角量子数。
讨论：
•波耳理论的L=nh/2，最小值为h/2；而量子力学得出角
动量的最小值为0。实验证明，量子力学得结论是正确的；
Rnl2r2d r n 2lrdr| n0 |2
径向概率密度为：
pnl
(r)
2 nl
(r)
1s 2s 3s
| n1 |2
2p
| n2 |2
4s r
3p
4p
r
3d 4d
r
15
19-10 多电子原子中的电子分布
一、电子自旋 自旋磁量子数
1、斯特恩－盖拉赫实验
银原子通过狭缝，经 过不均匀磁场后，打
在照相底板上。s 态
23
小结
• 氢原子的量子理论简介 • 氢原子的定态薛定谔方程 • 三个量子数 • 氢原子在基态时的径向波函数和电子的分布概率
• 多电子原子中的电子分布 • 电子自旋 自旋磁量子数 • 四个量子数 • 多电子原子中的电子分布
氢原子的能级与光谱.
氢原子的能级与光谱·爱因斯坦1905年提出光量子的概念后，不受名人重视，甚至到1913年德国最著名的四位物理学家(包括普朗克)还把爱因斯坦的光量子概念说成是“迷失了方向”。
可是，当时年仅28岁的玻尔，却创造性地把量子概念用到了当时人们持怀疑的卢瑟福原子结构模型，解释了近30年的光谱之谜。
§1 氢原子的能级与光谱一、玻尔的氢原子理论(一)玻尔的基本假设1.定态假设：原子只可能处于一系列不连续的能量状态E1, E2, E3,…。
处于这些状态的原子是稳定的，电子虽作加速运动，但不辐射电磁波。
2.频率条件：原子从某一定态跃迁至另一定态时，则发射(或吸收)光子，其频率满足玻尔在此把普朗克常数引入了原子领域。
(二)玻尔的氢原子理论 1.电子在原子核电场中的运动(1)基本情况：核不动；圆轨道；非相对论。
(2) 用经典力学规律计算电子绕核的运动·电子受力：·能量：得f f = - 14πε0 ( )Ze 2r 21 ε0 ( ) Ze2 r = m ( )υ2r1 2E = m υ2 - 1 4πε0 ( ) Ze2 r E = -Ze 28πε0r2.轨道角动量量子化条件玻尔假定：在所有圆轨道中，只有电子的角动量满足下式的轨道才是可能的。
玻尔引进了角动量的量子化。
3.轨道和速度 ·r n = n 2r 1 ,(玻尔半径) r 1= 0.529 Å· υn= υ1/n ，4πε0h 2 r 1 = ( me 2 )( ) 1 Z 4πε0hυ1 = Ze 2)可见, 随n↑⇒r n↑，υn↓4.能级---能量量子化将r n代入前面E式中，有n = 1,2,3,…)R：里德伯常数(见后)基态能量：E1= -13.6 eV可见，随n↑⇒E n↑，∆E n↓*玻尔的理论是半经典的量子论：对于电子绕核的运动，用经典理论处理；对于电子轨道半径，则用量子条件处理。
15-2-电子自旋及原子的电子壳层结构
今日作业
15－34，35，37
l 0,1,2,(n 1)
（角量子数）
（3）空间量子化（轨道角动量方向量子化）
Lz
ml
h
2
ml 0,1,2 l
（磁量子数）
0,
n 3 l 1,
2
取l 2， z L
6h
2
Lz 2h
Lz h
L
ml 0 ml 0, 1
ml 0, 1, 2
Lz
0,
h
2
,
2 h
2
z
Lz 2h
L Lz h
Lz 0
1. 四个量子数
（1）主量子数 n 1,2,
决定原子中电子的能量。
（2）角量子数 l 0,1,2,(n 1)
决定原子中电子的轨道角动量，部分决定其能量。
（3）磁量子数 ml 0,1,2 l
决定电子的轨道角动量在外磁场中的取向。
（4）自旋磁量子数
ms
1 2
决定电子的自旋角动量在外磁场中的取向。
九、原子的电子壳层结构
l 3 ml 0,1,2,3
z
3 Lz 2 h
h 1h 2
0 1h
2
h 3h
2
L
3h
十、关于量子力学的争论
以Bohr为首的哥本哈根学派的观点：
（1）波函数的几率诠释； （2）测不准关系； （3）互补性观点。
量子力学是统计理论， 是完备的理论。
Einstein认为：
“我相信有可能建立一个理论，它能给出实在的完备 描写，它的定律确立事物本身之间的关系，而不仅仅是 它们的几率之间的关系。……量子力学给人的印象是深 刻的。但是一个内部的声音告诉我，这还不是真正的理 论。 这个理论给出了许多结果，但是并没有使我们离 上帝的秘密更近一些。无论如何，我确信他不玩骰子。”
量子19-9氢原子的量子力学处理.
LZ m l
m l 0 ,1,2 ,..., l
LZ m l 0 , ,2
共有五种可能取值。
（下一页）
L 6 LZ m l 0 , ,2
（3）求角动量与该空间方向的可能夹角；
Z
LZ m l Lcos cos m l / L m l / 0 ,1 / 6 ,2 / 6 6
（下一页）
3、每层所能容纳的最大电子数 （1）由l 决定的次壳层
电子的量子态： n, l , ml , m S
现 n 与 l 一定，可以变化的只有 ml 与 ms ml = 0,1, 2,…, l ;共有2l +1个取值。 ms = 1/2,只有两个取值。 故由l 决定的次壳层所能容纳的最大电子数为：
（下一页）
量子力学小结 一、爱因斯坦光子说
h
二、康普顿效应
h p
h m 2 c
康普顿散射 公 式
1、最基本要求
2c sin
2
2
,
c 0.024 A
o
2、高级要求：散射光子与反冲电子的能量与动量守恒
(下一页）
三、玻尔的氢原子理论 1、（氢）原子的能级 电离态 2、能级的跃迁与光的发射 或吸收
2 1）波函数模的平方 | (ห้องสมุดไป่ตู้ , t ) | = , 代表 t 时刻
处粒子出现的几率密度。 r
2）t 时刻粒子出现在区域V 内的几率（可能性）为： 2 P ( V , t ) ( r , t ) d
V
3）波函数必须满足的条件：单值、连续、有限
4）波函数的归一化条件：
（三）电子自旋角动量在外磁场上的投影 在外磁场中，电子的自旋角动量S 在外磁场上的 投影 SZ 只能有两种取值，即:
量子力学：氢原子理论2
w00
w10
w1±1
§20.8 电子的自旋．泡利原理．原子的壳层结构
一．电子的自旋 电子绕核运动形成电流，因而具有 磁矩，称为轨道磁矩 Pm ，它和轨道角动 量 L 的关系为：
e
L
e Pm L 2m
Pm
因为角动量是量子化的，所以磁矩也是量子化
的
因为角动量是量子化的，所以磁矩也是量子化的 斯特恩－盖拉赫实验（1921）
nlm(r, , ) Rnl (r)lm ( )m ( ) Rnl (r)Ylm ( , )
其中： Rnl ( r ) 为径向函数； Ylm ( , ) 为球谐函数
简并度：同一个能级所对应的状态（波函数）称为能级 2 的简并度。氢原子，能级仅与n 有关，简并度：（ n ) 3、讨论： 波函数（空间）的解为： 这里：
目的是：对于任意给定的E 值，找出满足标准条件的 上述方程的解 ( r , , ) ，在求解过程中自然地得 到 E 0 束缚态 一些量子化条件。
令：
ψ(r,θ,) R(r)Θ(θ)Φ() Y ( , )
代入方程，分离变量
sin 2 θ d 2 dR 2m 2 e2 2 (r ) 2 r sin θ(E ) R dr dr 4πε0 r 1 d dΘ 1 d Φ sin θ ( sin θ ) Θ dθ dθ d 2
ms称为自旋磁量子数， ms : s, s 1,...s 1, s
它只能取两个值：
1 ms 2
1 Sz 2
电子除了轨道运动外，还有自旋运动。 关于原子中各个电子的运动状态，量子力 学给出的一般结论是：电子运动状态由四个量 子数决定； n＝1，2，3….它大体上决定了原子中 1）主量子数 n 总结
氢原子的量子力学描述
氢原子是最简单的原子，核外只有一个电子绕核运动，质子和电子之间存在库仑相互作用。
由于质子的质量是电子质量的大约2000倍，一般可以建立一个坐标系，把坐标原点取在质子上。
电子受原子核的库仑场作用，势能函数为：r e r U 024)(πε-=0222=-+∇)r ()]r (U E [m )r ( ψψ0)()4(2)(0222=++∇r r e E m r ψπεψ由于氢原子具有球对称性，可用球坐标系表示定态薛定谔方程：)(sin sin 1)(1222θψθθθψ∂∂∂∂+∂∂∂∂r r r r r 0)4(2sin 10222222=++∂∂+ψπεϕψθr e E m r 其解一般为的函数：ϕθ,,r ),,(ϕθψψr =定态薛定谔方程设波函数为)()()(),,(ϕθϕθψΦΘ=r R r 代入球坐标系的薛定谔方程，在求解波函数时，考虑到波函数应满足的单值、有限、连续以及归一化的标准化条件，可得到氢原子的量子化特征。
我们主要对一些重要的结论进行讨论。
()),3,2,1(12422204 =⋅-=n nme E n πε1. 能量量子化 主量子数求解薛定谔方程，得到氢原子的能量为n — 主量子数注意：⑴ 氢原子能量是一系列离散值 —— 反映能量量子化能级间隔随主量子的增大而减小，↓∆↑⇒E n ⑵ 最低能级对应1=n eV E 6.131-=基态能量eV nE n 26.13-=采用分离变量法，可得到三个常微分方程，分别求解出相应的函数和量子数。
n =1 基态能量eV 6.131-=E eV 6.131=-∞E E n = 2,3,… 对应的能量 称为激发态能量eV 40.32-=E eV 51.13-=E 当 n 很大时，能级间隔消失而变为连续值对应于电子被电离∞=n 当 ，0=∞E ∞=n 11E 232E 3E 454E ∞E ∞2. 角动量（动量矩）量子化 角量子数电子绕核运动 求解薛定谔方程结论：电子绕核运动的转动角动量是量子化的)1(+=l l L 角动量— l 副量子数（角量子数）氢原子的电子电离能为：eV n E n 26.13-=氢原子能量公式)1(,,2,1,0-=n l氢原子中电子的量子态n =1n =2n =3n =4n =5n =6l = 0l = 1l = 5l = 4l = 3l = 2( s )( p )( h )( g )( f )( d )1s 5f 5d 5p 5s 6s 6p 6d 6f 6g 6h 4s 3s 3p 4f 3d 4p 4d 5g 2p 2s )1(+=l l L 共有 n 个可能的取值用,,,,f d p s 分别代表 ,3,2,1,0=l 等各个量子态玻尔的旧量子论与量子力学描述电子运动的角动量量子化的区别注意：若 l = 0有 L = 0电子的概率分布具有球对称性角动量为零)1(,,2,1,0-=n l 角动量（动量矩）量子化3. 空间量子化（空间取向量子化） 磁量子数角动量空间取向是量子化的—— 电子运动具有角动量量子化波函数 电子运动相当于一圆电流圆电流具有一定磁矩 磁矩在外磁场作用下具有一定取向 电子运动的磁矩方向与其角动量方向相反 电子转动角动量方向有确定的空间取向ZB , LθμzL o 经典理论：空间取向连续θ可取π→0的任意值量子力学：空间取向不连续z L ，只取一系列的离散值 m L z =ll l l l m -----=),1(,,2,1, 角动量空间取向是量子化的 m —— 磁量子数对应一个角量子数 l ，角动量有 2 l +1个取值例 11=l 1,0±=m Z B , o -例 22=l 2,1,0±±=m Z B , o- 22- 6)1(=+=l l L 2=L 21=+=)l (l L 例 3 设氢原子处于2 p 态，试分析氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向？解：2 p 态表示： n = 2, l = 1得eV 40.32-=E 角动量的大小为2)1(=+=l l L 当 l =1 时，磁量子数 m l 的可能值：-1, 0, +1，则角动量方向与外磁场的夹角的可能值为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=4324)1(arccos πππθl l m l eV 6.132nE n -=4. 电子云 （Electron cloud ）—— 电子的概率分布电子在绕核运动中无固定点、无轨道概念，只能用各处出现的概率来描述电子运动的状态，故用电子云的密度形象地显示概率分布。
量子力学总结
4 2
En
8 h
n
2
n
1, E n E m
h E n E m
En Em h
~
6 5 4
4 3 2
Me
8 0 h
4 3
(
1 m
1
2
1 n
) 2
3
帕邢系
c
Me
2 0
8 h c
(
m
2
1 n
2
2
)
巴耳曼系
n , ,m r , , Rn , r ,m m
En
e
2 4 2
1 n
2
8 0 h
(n 1,2,3 )
1. 波函数与量子数n,l,m有关 2. 能量是量子化
n , ,m r , ,
1).主量子数 n : 决定原子的能量. n=1,2,3
根据上述两个原则，可定性确定多电子原子核外电子按壳层的分布。
n = 1, 2, … 壳层可容电子数计算 四个量子数的允许取值为
问
n
= 3 的主壳层中
最多能容纳几个电子？
l = 0, 1, 2, … , ( n - 1 ) m l = 0, ±1, ± 2, … , ± l ms = ±
2
n l ml
Ls,z m s
ms
1 2
n , , m , m s
n, , m , m s
虽然电子自旋的表现与电子的自转运动产生的效果
相似，但绝非是电子自转。电子自旋和电子质量、
电荷一样，是电子的一种固有属性，无经典的直观 的解释.现在认为：自旋是一种相对论效应，
量子力学中的氢原子结构分析
量子力学中的氢原子结构分析量子力学是一个让人感到神秘的学科，从微观角度研究原子和分子的行为和相互作用。
氢原子是量子力学中最简单的单电子原子，其结构对于研究其他多电子原子和分子具有重要意义。
本文将介绍氢原子结构的量子力学理论和现实应用。
1. 氢原子的波函数和能级量子力学中，波函数是用来描述粒子在空间中波动和存在的函数。
氢原子中电子的波函数可以用Schrodinger方程求解，得到如下公式：$\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta,\phi)$其中，$n$为主量子数，$l$为角量子数，$m$为磁量子数，$r$为离子半径，$Y_{l,m}$为球谐函数。
氢原子的能级也可以根据波函数求得。
具体方法是计算氢原子中电子的哈密顿算符在波函数上的期望值，得到：$E_n=-\frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2n^2}$其中，$m$为电子质量，$e$为电子电荷，$\epsilon_0$为真空介电常数，$h$为普朗克常数。
这个公式称为Bohr模型，与实验值相比，精度较高，但仍会有误差。
2. 氢原子的谱线和光谱学氢原子发射光线的频率可以通过与氢原子内部能级的差值相对应。
这些频率形成了光谱线，分为巴尔末系（Balmer series）、洪特姆系（Lyman series）、帕舍尼亚系（Paschen series）等。
巴尔末系中电子从$n\geq3$的能级跃迁到$n=2$的电子能级，所产生的光谱线包括Bα、Bβ等。
这些线可以被用来确定物质的组成和温度等特征。
除了发光谱线，氢原子还可以吸收谱线。
在光谱学中，通过测量吸收谱线的强度和波长，可以确定物质的成分和性质。
而通过对氢原子谱线的研究和分析，可以深入了解物质和电磁辐射之间的相互作用。
3. 氢原子的电离和激发氢原子被电离（即，从基态跃迁到自由电子状态）所需要的能量称为氢原子的电离能。
氢原子的电离能是一个常见的物理量，被用来描述和比较物质的化学性质。
量子力学知识：量子力学中的氢原子模型
量子力学知识：量子力学中的氢原子模型量子力学中的氢原子模型量子力学被誉为20世纪科学最伟大的发现之一，它革命性地改变了我们对微观世界的理解。
其中最重要的应用之一就是描述原子和分子行为的氢原子模型。
本文将详细介绍氢原子模型的基本概念和量子力学的一些基本理论。
氢原子是由一个电子绕着一个质子核旋转而形成的，这一体系的动态性质可以用量子力学来描述。
氢原子模型是第一个获得广泛认可的量子机制之一，它将通常的经典物理学概念改变为一个新颖的量子体系。
量子力学在不同的层次上讨论氢原子模型。
首先，在氢原子模型中，一个质子核和一个电子被看做是相互作用的粒子。
接下来，基于薛定谔方程，氢原子模型计算出了由电子在磁场中移动到不同能级的数学解，称为氢原子的波函数。
这个波函数保证了各个能级都是正交的，因此，电子不可能处于处于其他能级，只能在某个特定的能量状态下。
氢原子模型中常用的概念有：能量、电子轨道和电子能级等。
首先，能量是氢原子中电子的属性。
根据量子力学，能量可以分成几个层次，从低到高的数值称为能量级别。
其次，电子轨道描述了电子在绕质子核旋转时的路径。
由于电子有自旋和质量，它们的径向运动和有规律的转动限制了电子轨道的几何形状。
最后，电子能级是电子在原子的能量状态。
在氢原子中，电子以一定的能量向外运动，然后跳到更高的能量轨道，也称为能级上。
当电子跳的距离越远，它就越容易使能量级差距越高。
氢原子模型中，电子最稳定的状态是它处于第一能级上，也称为基态。
电子在高能级不稳定的状态下，会形成激发态，并在一定时间内回到基态。
氢原子模型及其理论在量子力学中具有极高的应用价值。
首先，氢原子模型可以帮助我们预测氢原子的能量值和跳跃，根据氢原子的能级分布和电子轨道，我们可以理解元素周期表上元素的配置。
其次，由于其他的原子都是由更多的电子组成的，氢原子模型可以为复杂原子和分子的理解提供基础。
此外，氢原子模型还是理解化学反应和电子行为的重要工具。
总之，氢原子模型概述了原子和分子中电子的量子属性，它帮助我们理解原子中能级、电子轨道和电子状态的变化。
原子物理学——量子力学对氢原子的描述
§3.6 量子力学对氢原子的描述一、氢原子的波函数 1、薛定谔方程电子在原子核的库仑场中运动：re V 024πε-=定态薛定谔方程：)()(]42[0222r E r re m ψψπε=-∇- 氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：ϕθcos sin r x = ϕθsin sin r y =θcos r z = )(1222r r rr ∂∂∂∂=∇)(sin sin 12θθθθ∂∂∂∂+r2222sin 1ϕθ∂∂+r 氢原子在球坐标下的定态薛定谔方程：)(1[2222r r r r m ∂∂∂∂- )(sin sin 12θθθθ∂∂∂∂+r ψϕθ]sin 12222∂∂+r ψψπεE r e =-024 ),,(ϕθψψr = 2、分离变量(1)．),()(),,(ϕθϕθψY r R r =代入方程，并用),()(/2ϕθY r R r 乘以两边：2202222422)(1r rme r mE dr dR r dr d R πε++ λϕθθθθθ=∂∂+∂∂∂∂-=]sin 1)(sin sin 1[1222Y Y Y λ是一个与ϕθ,,r 无关的常数。
径向方程：0422)(1220222=-++R r R r me R mE dr dR r dr d r λπε 角方程：Y YY λϕθθθθθ-=∂∂+∂∂∂∂222sin 1)(sin sin 1 (2)．)()(),(ϕθϕθΦΘ=Y代入方程，并用)()(/sin 2ϕθθΦΘ乘以两边：νϕθλθθθθ=∂ΦΦ-=+ΘΘ2221sin )(sin sin d d d d d ν是一个与ϕθ,无关的常数。
0)sin ()(sin sin 12=Θ-+Θθνλθθθθd d d d022=Φ+∂Φνϕd 3、、R ΘΦ、三方程的解 (1)．Φ方程的解022=Φ+∂Φνϕd 令 2m =ν 022=Φ+∂Φm d ϕ方程的解为：ϕϕim Ae =Φ)( 波函数单值：)2()(πϕϕ+Φ=Φπϕπϕϕ2)2(im im im im e Ae Ae Ae ==+ 12sin 2cos 2=+=πππm i m e im 3,2,1,0±±±=∴m波函数归一化：12*220220===ΦΦ⎰⎰A d A d πππϕϕ π21=A ϕπϕim e 21)(=Φ 3,2,1,0±±±=m (2)．Θ三方程的解0)sin ()(sin sin 12=Θ-+Θθλθθθθm d d d d关联勒让德方程。
量子物理学
z = r cosθ ,
θ
代入定态薛定谔方程, 代入定态薛定谔方程,得:
y
3
x
2m e2 + (E + )ψ = 0 ① 4πε 0 r
利用分离变量法,令氢原子中电子的波函数为: 利用分离变量法,令氢原子中电子的波函数为: ψ (r ,θ , ) = R (r )Θ(θ )Φ ( ) 有:
1 d 2 dR 2m e2 l (l + 1) (r ) +[ (E + ) ]R = 0 ② 2 2 r dr dr 4πε 0 r r 1 d dΘ ml2 (sin θ ) + [l (l + 1) ]Θ = 0 ③ sin θ dθ dθ sin θ
原子结构的量 子力学描述
1
一,量子力学对氢原子的描述
由于氢电子是微观粒子,具有波粒二象性, 由于氢电子是微观粒子,具有波粒二象性,不能 用经典力学的方法描述它. 用经典力学的方法描述它.要正确地描述电子在氢 原子中的运动,必须采用量子力学的方法. 原子中的运动,必须采用量子力学的方法. 1.氢原子中电子的薛定谔方程 1.氢原子中电子的薛定谔方程 氢原子核的质量远大于核外电子的质量, 核与电 氢原子核的质量远大于核外电子的质量 , 子的平均距离远大于核的线度, 子的平均距离远大于核的线度 , 可把原子核看成静 止的点电荷. 止的点电荷. 选取原子核所在位置为坐标原点, 选取原子核所在位置为坐标原点 , 则在氢原子 电子受到原子核的库仑力场的作用. 中 , 电子受到原子核的库仑力场的作用 . 以无穷远 2 为势能零点,则其势能函数为: 为势能零点,则其势能函数为: e
(2 的取向只有种 l + 1)
ml 只能取: l = 0,±1,±2,,±l共(2l + 1)个值 只能取: m ml 只能取2l + 1) 个值,说明角动量在空间 ( 个值,
近代物理量子5-氢原子的量子理论,电子自旋
l = 0, 1, 2, 3, …, n-1 称为角量子数(副量子数)。
对同一个 n , 角动量有n个不同的值
定义L为角动量是因为 h 具有角动量的量纲， 并不需要有轨道的概念。
当n 1时，l 0，L 0，即电子处于 基态时角动量为零。 玻尔理论：
L n h n
2
n 1,2,3...
5.求出概率密度分布及其他力学量
一、氢原子的量子力学处理
1.氢原子的定态薛定谔方程
[
22Βιβλιοθήκη U (r )]( r )
E (r )
2m
氢原子中电子的电势能 U e2
4π 0 r
U和方向无关 为中心力场U( r )
z
球坐标 x r sin cos
y r sin sin
z r cos
y
x
在球坐标中的薛定谔方程
而且计算得到的两条沉积线之间的距离 也与实验符合得很好。
讨论 四个量子数 • 电子的状态用量子数 n , l , ml 描述
考虑自旋后 还有2种可能 相当于还需一个自由度来表征
• 所以 电子的状态应用n，l，ml ，ms描述
（1）主量子数 n：n =1，2，3……，可以大体上决
定原子中电子的能量。
1900-1958 1945年诺贝尔物理
学奖获得者
半年后，荷兰物理学家埃斯费斯特的两个学生乌仑贝克和 高斯密特在不知上述情形下，也提出了同样的想法，并写了 一篇论文，请埃斯费斯特推荐给“自然”杂志。接着又去找 洛仑兹，一周后，洛仑兹交给他们一叠稿纸。并告诉他们， 如果电子自旋，其表面速度将超过光速，但论文已寄出，他 们后悔不已。
1921年史特恩---盖拉赫进行的实验是证明角动量空间量 子化的首例实验，是原子物理学最重要的实验之一 。
原子物理课件 第6节 量子力学对氢原子的描述
5.同前
H n,l,m E n,l,m
L2 n,l ,m
l(l
1)2 n,l,m
Lz n,l,m m n,l,m
三个量子数n（主量子数），l（角量子数），m（磁量子数） 与状态Ψ n,l,m有一一对应关系，为了简单，我们常用量子数(n， l，m)表征量子态Ψ n,l,m。
对于每一个给定的主量子数n，角量子数可以取n个值：0、1、 2、…，n－1；对于每一个确定的l值，磁量子数m取2l＋1个值： －l、－（l－1）， … （l－1）、 l。氢原子的能量只与n有关， 所以是简并的，其简并度为
数
1.决定角动
Lz
m
量的Z分量的 大小
2.决定LZ大 小是量子化
的
0, ±1, ±2
…±
Ylm ( ) 2
3.决定某一 电子云在空 间伸展方向 是量子化的
4.决定磁距 的Z分量
z
mB
5.在外磁场 中与能量有
关
1.同前
P n
0, ±1,
n ±2…
±n
z n B
2.同前
3.电子轨 道角动量 在空间的 取向或轨 道平面在 空间的方 位是量子 化的
i
Ae im
mAeim m
Lz m m l,l 1, , l
总角动量L在z 轴方向的分量Lz也是量子化的
1 r2
d dr
(r 2
dR ) dr
2m
2
(E
Ze2 )
4πε0r
r2
R
0
(1)
Rn,l,m (r)
s in
Θ
d
d
(sin
dΘ ) sin 2 d
1
氢原子
波函数的非奇异性要求:
l (l 1) , l 0,1,2,3,
而且
l | m |
径向波函数满足:
1 d 2 dR 2 2 l (l 1) (r ) { 2 }R 0 2 dr dr r r r
其中
2
2me E 2
e2 , 2 4 0 me
2
( ) 满足的方程为:
d 2 2 d
它的通解为:
Ae
im
Be
im
m
2
波函数在空间中各点须是单值的, 所以必须有: ( 2 ) ( ) 那么只能取 取它的一个特解, 由归一化条件, 这样,
m 0,1,2,
m ceim
z
z
z
x
2 Y00
2 Y10
x
x
Y11
2
1 4
3 cos 4
3 sin 8
2
z r cos
x r sin cos
角动量量子化
玻尔理论中曾假设:
L n , n 1,2,3,
后来的量子力学证明这个假设是有些问题的. 在经典物理中, 质点的角动量为 把力学量视为算符, 则有:
3 i Y11 ( , ) sin e 8 3 i Y1,1 ( , ) sin e 8
Ylm ( , )
径向的波函数 也只举例说明一下.
Rnl ( r )
1 3 / 2 r / a0 R10 (r ) ( ) 2e a0 1 3/ 2 r r / a0 R20 (r ) ( ) ( 2 )e 2a0 a0 1 3 / 2 r r / 2a0 R21 (r ) ( ) e 2a0 3a0
23-25章 氢原子的量子力学处理方法(2011)
P
11
为了解释斯特恩——盖拉赫实验 1925年，乌仑贝克-----哥德斯密特提出电子自旋假说 认为电子不是一个简单的点电荷，电子绕 核运动的同时，还绕自身的轴自旋。就像 地球绕太阳转一样，有公转还有自转。
量子力学结论： 电子的自旋角动量是矢量 S
其大小为： S
L l (l 1) 决定电子绕核运动的角动量大小
（3）磁量子数 ml 0,1,2,... l 共有 2 l + 1 个值
Lz ml 决定电子绕核运动的角动量矢量在空间的取向 1 mS （4）自旋磁量子数 只有两个取值 2
Sz mS
决定电子自旋角动量矢量在空间的取向
(r , , ) R(r )( )( )
用分离变量法令
代入上式，薛定谔方程分离成三个微分方程
2013-12-2 量子5-yao
4
d2 ml2 0 2 d
①
ml2 1 d d (sin ) [l ( l 1) ] 0 ② 2 sin d d sin
1 1， ms 2
1 n = 3，l = 1，ml = 2 1 n = 3，l = 0，ml = 0， ms 2
-1，ms
其中可以描述原子中电子状态的是 (A) 只有(1)和(3)． (B) 只有(2)和(4)． (C) 只有(1)、(3)和(4)． (D) 只有(2)、(3)和(4)．
L 取值由 l 决定，l 取值个数由n决定， n定，L共取 n 个值 实验表明量子力学是正确的!
2013-12-2 量子5-yao
8
3、角动量空间取向量子化
L
l (l 1)
电子绕核运动的角动量 L 是矢量 求解方程①的过程中得到结论，在外磁场中， 角动量L在外磁场方向的投影LZ是量子化的