微元法在物理学中的应用

微元法在物理学中的应用

在物理学问题中，往往是针对一个对象经历某一过程或外于某些状态来进行研究，而在这些过程或状态之间，描述研究对象的物理量有的可能是不变的，更多的则是变化的，对于那些变化量的研究，有一种方法是把全过程分成很多微小的局部来考察，然后通过这些小过程或微小局部的研究而归纳出适用于全过程或者是整体的结论，这些微小过程或者微小局部常被称为微元法。

微元法也是一种转化问题的手段，这种转化的目的主要体现在以下几点：

1、将变化的问题转化为恒定的问题，比如，物体做变速直线运动，物体运动的速度是变化的，但只要取一段很小的过程，在这一段很小过程中，就可以认为物体运动的速度是不变的。 将弯曲的转化为直线的，如果物体运动的轨迹是一条曲线，只要在曲线上取段足够短的长度，这个长度就可以看成是直线的。

微元法只是解题的一种手段，或者说是一种中间过程，这种“微”的无限收缩就变成了瞬时状态，而“微”的无限累积又可以演变为全过程，所以学习和掌握微元法不但要弄清楚这种方法的基本思路，还要知道这两种不同的发展趋势。

粗细忽略，质量分布均匀，半径分别为与的两圆环相切，若在切点处放一质点m ，恰好使其两边圆环对m 的万有引力的合力为零，问大小圆环的线密度须满足什么样的条件？

分析：连接O 1、O 2交两圆于A 、B ，过切点P 作弦交

两圆于C 、D ，设α=∠=∠DBP CPA αcos 2R CP = αc o s 2r CD =

将CD 绕P 点顺时针转动到C 'D '，如图且α∆='∠='∠D DP C CP ，再由C C '向O 1；D D '向O 2连线，则α∆='∠='∠221D DO C CO

故，R C C α∆='2 r D D α∆='2

所以C C '所对应的质量与D D '所对应的质量对质点的引力若满足 ()()2

22

122DP m

r G

CP m

R G

αραρ∆=∆

α

ρα

ρ2

2

22

2

1c o s 4c o s 4r r

R R

=

r

R 2

1

ρρ=

试证明质量均，厚度均匀的球壳内一质点，受到球壳万有引力为零。

证明：设球壳单位面积的质量为ρ，球壳内P 点外有一质点m ，过P 点作两个顶角很小的锥面，截球壳的面积为1S ∆和2S ∆，且P 点到两球壳的距离分别为1r 2r ，所以1S ∆和2S ∆所对应的质量对P 质点的万有引力之和为2

2

22

1

1r m S G

r m S G

F ∆-∆=ρρ

由图可知，由于1S ∆和2S ∆都很小

故

22

22

1

1r

S r S ∆=

∆（截面半径

2

21

1r R r R =

，所以

22

2

2

2

1

2

1

r

R r R ππ=

）

故0=F 依此类推，球面任一部分质量对质点p 的引力都有对应的另一块球面所对应的质量产生的引力来抵消。

应用：设地球质量分布均匀，且是一个标准的球体，求一物体在地表面下深度h 为多少时，其重力加速度为地面上重力加速度的25%？（h=0.75R ）

例3、A 、B 、C 三个芭蕾演员同时从边长为L 的三角形顶点A 、B 、C 出发，以相同的速率v 运动，运动中始终保持A 朝着B ，B 朝着C ，C 朝着A ，试问经多长时间三人相聚，每个演员相聚时跑了多少路程？ 在此时间内每个演员走过的路程

分析：设经过极短的时间t ∆，三个芭蕾舞演员从正三角形的三个顶点A 、B 、C 分别运动到A '、B '、C '，正三角形的边长由L 变为L 1，则由图可知

t

v L t v t v L B B A A L L ∆-

=∆-∆-='-'-=2360cos 60cos 0

1

同理，再过t ∆时间，正三角形的边长变为L 2，则有：22

32

312⨯∆-

=∆-=t v L t v L L

到n 个t ∆后：n t v L L n ⨯∆-

=2

3

在上式中，0→∆t ∞→n 并有t t n =∆三人相遇，此时有0=n L

v

L t 32=

∴

注：若四个人从边长为L 正方形的四个的顶点出发，情形又怎样呢？（v

L t =，L 为正方形

边长）

如图所示，直杆A 、B 以匀速搁在半径为的固定圆环上作平动，试求图示位置时，杆与环的交点M 的速度和加速度。

分析：设在一个极短时间t ∆内，交点M 运动到M '点，且θ∆='∠M MO 由图可知，ϕ

sin t v M M ∆=

'ϕ

sin v t

M M v M =

∆'=

ϕ

2

22

sin r v

r

v a M n =

=

而M 点在AB 的运动方向的加速度等于零，所以n a （向心加速度）τa （切向加速度）在该方向的矢量和等于零。

ϕϕτsin cos a a n = ϕ

ϕτs i n c o s n a a =

ϕ

τ3

20

2

2

sin r v a a a n

=

+=

如图所示，一个半径为R 的轴环，立于水平面上，另一轴环以速度从这个环旁边经过，试求两轴环上交叉点的速度与两环中心之间的距离的关系，轴环很薄，且第二个轴环紧傍着第一轴环通过。 分析：设经过一个很短的时间t ∆，交点A 移动到B ，由于时间极短，而则

距离，又AB AB =，而AC 则是轴环02在t ∆时间内移动的距离，又

θcos 2

1AB AC =

R

d

R 4

cos 2

2

-

=

θ

R d R AB

AC 2422

2

-=

R

d

R t v t v A 2

2

4-∆=∆2

2

4d

R Rv v A -=

一个质量为M ，质量均匀分布的圆环，其半径为r ，几何轴与水平面垂直，若它承受的最大张力为T ，求此圆环绕几何轴旋转的最大角速度。

分析：从圆心向圆弧作一个很小的圆心角∆θ，该圆心角所对应的弧长为θ∆r ，质量为

θπ∆=2M m ，该段弧长所受两端截面的拉力为T ，则合为为2sin 2θ∆=T F ，故：

r M T 2

22sin 2ωπ

θθ∆=∆

由于θ∆很小，所以2

2

sin θ

θ∆≈∆

有：r M T

2

22

2ωπ

θθ∆=

∆

Mr

T πω2=

这种解题的思路在其它方面也有所体现，比如，路程是速度在时间上的累积，功是力

在空间上的累积，冲量是力在时间上的累积，电量是电流在时间上的累积等等，当速度、力、电流是变量时，我们都可以采取微元法，以达到解决问题的目的。