圆的标准方程与一般方程

圆的标准方程
1、情境设置：
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：
2、探索研究：
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。

（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条
件
r = ①
化简可得：222
()()x a y b r -+-= ②
引导学生自己证明2
2
2
()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究
例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 与圆222
()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：
（1）2200()()x a y b -+->2
r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2
r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2
r ，点在圆内
例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程
师生共同分析：从圆的标准方程222
()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）
例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.
师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点
(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分
线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或
CB 。

（教师板书解题过程）
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC V 外接圆的标准方程的两种求法：
①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的
标准方程.
根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
课堂练习：课本127p 第1、3、4题 4.提炼小结：
1、 圆的标准方程。

2、 点与圆的位置关系的判断方法。

3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

圆的一般方程
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
课题引入
问题：求过三点A(0，0)，B (1，
1)，C (4，2)的圆的方程.
利用圆的标准方程解决此问题显
然有些麻烦，得用直线的知识解决又有
其简单的局限性，那么这个问题有没有
其它的解决方法呢？带着这个问题我
们来共同研究圆的方程的另一种形式
——圆的一般方程.
让学生带着问题进行思考
设疑激趣
导入课题.
概念形成与深化
请同学们写出圆的标准方程：(x–
a)2 + (y –b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.
把圆的标准方程展开，并整理：
x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.
取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2–
r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①
这个方程是圆的方程.
反过来给出一个形如x2+ y2+ Dx
+ Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一
定是圆吗？
把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得
22
22
4
()()
224
D E D E F
x y
+-
+++=②(配
方过程由学生去完成)这个方程是不是
表示圆？
（1）当D2 + E2– 4F＞0时，方程
②表示以(,)
22
D E
--为圆心，
22
1
4
2
D E F
+-为半径的圆；
（2）当D2 + E2– 4F = 0时，方程
只有实数解,
22
D E
x y
=-=-，即只表示
一个点(,)
22
D E
--；
（3）当D2 + E2– 4F＜0时，方程
没有实数解，因而它不表示任何图形.
综上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F =
0表示的曲线不一定是圆.
只有当D2 + E2– 4F＞0时，它表示
的曲线才是圆，我们把形如x2 + y2 + Dx
整个探索过程由学生完
成，教师只做引导，得出圆的
一般方程后再启发学生归纳.
圆的一般方程的特点：
（1）①x2和y2的系数相
同，不等于0.
②没有xy这样的二次项.
（2）圆的一般方程中有三
个特定的系数D、E、F，因此
只要求出这三个系数，圆的方
程就确定了.
（3）与圆的标准方程相比
较，它是一种特殊的二元二次
方程，代数特征明显，圆的标
准方程则指出了圆心坐标与半
径大小，几何特征较明显.
通过
学生对圆
的一般方
程的探究，
使学生亲
身体会圆
的一般方
程的特点，
及二元二
次方程表
示圆所满
足的条件.
+ Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程.
应用举例
例1 判断下列二元二次方程是否
表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆
心及半径.
（1）4x2 + 4y2– 4x + 12y + 9 = 0
（2）4x2 + 4y2– 4x + 12y + 11 = 0
解析：（1）将原方程变为
x2 + y2–x + 3y +
9
4
= 0
D = –1，
E =3，
F =
9
4
.
∵D2 + E2– 4F = 1＞0
∴此方程表示圆，圆心（
1
2
，
3
2
-），
半径r =
1
2
.
（2）将原方程化为
x2 + y2 –x + 3y +
11
4
= 0
D = –1，
E =3，
F =
11
4
.
D2 + E2– 4F = –1＜0
∴此方程不表示圆.
学生自己分析探求解决途
径：①用配方法将其变形化成
圆的标准形式.②运用圆的一
般方程的判断方法求解.但是，
要注意对于（1）4x2 + 4y2– 4x
+ 12y + 9 = 0来说，这里的D =
–1，E= 3，9
4
F=而不是D=
–4，E = 12，F = 9.
通过
例题讲解
使学生理
解圆的一
般方程的
代数特征
及与标准
方程的相
互转化更
进一步培
养学生探
索发现及
分析解决
问题的能
力.
例2 求过三点A (0，0)，B (1，1)，
C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半
径长和圆心坐标.
分析：据已知条件，很难直接写出
圆的标准方程，而圆的一般方程则需确
定三个系数，而条件恰给出三点坐标，
不妨试着先写出圆的一般方程.
解：设所求的圆的方程为：x2 + y2 +
Dx + Ey + F = 0
∵A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在
圆上，所以它们的坐标是方程的解.把
它们的坐标代入上面的方程，可以得到
关于D、E、F的三元一次方程组：
即
20
42200
F
D E F
D E F
=
⎧
⎪
+++=
⎨
⎪+++=
⎩
解此方程组，可得：D= –8，E=6，
F = 0
∴所求圆的方程为：x2 + y2– 8x +
例2 讲完后
学生讨论交流，归纳得出
使用待定系数法的一般步骤：
1．根据题设，选择标准方
程或一般方程.
2．根据条件列出关于a、
b、r或D、E、F的方程组；
3．解出a、b、r或D、E、
F，代入标准方程或一般方程.
6y = 0
221
452
r D E F =+-=；4,322
D F
-
=-=-.得圆心坐标为(4，–3).
或将x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3).
例3 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4，3)，端点A 在圆上(x + 1)2 + y 2 = 4运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
解：设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)由于点B 的坐标是(4，3)且M 是线段AB 中重点，所以
0043
,22
x y x y ++=
=，① 于是有x 0 = 2x – 4，y 0 = 2y – 3 因为点A 在圆(x + 1)2 + y 2 = 4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4，即 (x 0 + 1)2 + y 02 = 4 ② 把①代入②，得 (2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4， 整理得22
33()()122x y -+-=
所以，点M 的轨迹是以33
(,)22为圆
心，半径长为1的圆.
课堂练习：课堂练习P130第1、2、3题.
教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书. 分析：如图点A 运动引起
点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程(x +
1)2 + y 2 = 4.建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以建立点
M 的坐标满足的条件，求出点M 的轨迹方程.
归纳总结
1．圆的一般方程的特征 2．与标准方程的互化
3．用待定系数法求圆的方程 4．求与圆有关的点的轨迹
教师和学生共同总结
让学生更进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程.
M A x
y
O
B
4.1.1 圆的标准方程
一、基础过关
1．(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心与半径分别为( ) A ．(－1,2)，2 B ．(1，－2)，2 C ．(－1,2)，4 D ．(1，－2)，4
2．点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆外 C ．在圆上 D ．不确定
3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1 4．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝3
3
x 的距离为( ) A.12 B.3
2
C ．1 D. 3 5．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________． 6．圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝1关于直线x ＋2y －3＝0对称的圆的方程是________________． 7．求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过点P (5,1)，圆心为点C (8，－3)；
(2)经过点P (4,2)，Q (－6，－2)，且圆心在y 轴上．
8．求经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上的圆的方程． 二、能力提升
9．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆
10．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围
是________．
12．平面直角坐标系中有A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？
为什么？ 三、探究与拓展
13．已知点A (－2，－2)，B (－2,6)，C (4，－2)，点P 在圆x 2＋y 2＝4上运动，求|P A |2＋|PB |2
＋|PC |2的最值．
答案
1．A 2.B 3.B 4．A 5．5＋ 2
6.⎝⎛⎭⎫x －1952＋⎝⎛⎭
⎫y －3
52＝1 7．解 (1)圆的半径r ＝|CP |＝(5－8)2＋(1＋3)2＝5，
圆心为点C (8，－3)，
∴圆的方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25. (2)设所求圆的方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵点P 、Q 在所求圆上，依题意有
⎩⎪⎨⎪⎧
16＋(2－b )2＝r 2，36＋(2＋b )2＝r 2，
⇒⎩⎨⎧
r 2
＝145
4，
b ＝－5
2.
∴所求圆的方程是 x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋522＝145
4
.
8．解 由题意知线段AB 的垂直平分线方程为3x ＋2y －15＝0，
∴由⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝7，y ＝－3.
∴圆心C (7，－3)，半径r ＝|AC |＝65. ∴所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65. 9．D 10.D 11．[0,2]
12．解 能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.
将A ，B ，C 三点的坐标分别代入有 ⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2＋(1－
b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(4－b )2＝r 2，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1，
b ＝3，
r ＝ 5.
∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5. 将D (－1,2)代入上式圆的方程，得 (－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5， 即D 点坐标适合此圆的方程． 故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上． 13．解 设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝4.
|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y . ∵－2≤y ≤2，
∴72≤|P A |2＋|PB |2＋|PC |2≤88.
即|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最大值为88，最小值为72.
4.1.2 圆的一般方程
一、基础过关
1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤2 B ．m ＜12C ．m ＜2 D ．m ≤1
2
2．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
3．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －y －3＝0 C ．2x －y －6＝0 D ．2x ＋y －6＝0
4．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( ) A ．圆内 B ．圆外C ．圆上 D ．圆上或圆外
5．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________． 6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.
7．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．
8．求经过两点A (4,2)、B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 二、能力提升
9．若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x 2＋y 2＝0 D ．x 2－y 2＝0
10．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之
差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
11．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
12．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．三、探究与拓展
13．已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．
答案
1．B 2.D3．B4．B
5．(0，－1)
6．－2
7．解设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2
＝4.圆心C(3,3)．
∵CM⊥AM，
∴k CM·k AM＝－1，
即y－3
x－3
·
y＋5
x＋3
＝－1，
即x2＋(y＋1)2＝25.
∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．8．解设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，
所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；
令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，
所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；
由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.① 又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，②
1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③
由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，
故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.
9．D 10．A
12．解 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．
由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，
所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02
， 于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .
因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，
所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，
则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14
. 所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14
. 13．解 设圆的方程为：
x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①
将P 、Q 的坐标分别代入①，
得⎩⎪⎨⎪⎧
4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④
由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根． ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2
＝E 2－4F ＝48.⑤
解②③⑤联立成的方程组，
得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2E ＝0F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－10E ＝－8
F ＝4.
故所求方程为：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.。