第1节课 第一章 插值法 拉格朗日插值 分段插值

如求l0(x): 因x1, x2 为其零点，故可表为
l0(x ) C(x x1 )(x x 2 )
其中C为待定系数，由l0(x0)=1 , 得
1 C (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )
故
( x x1 )(x x2 ) l0 ( x) ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x x0 )(x x2 ) l1 ( x) ( x1 x0 )(x1 x2 )
x0
x1
x2
x
x3
x4
一、定义：
定义1:函数y=f(x)给出一组函数值 yi f ( xi ),i 0,1,, n
x: x0 x1 x2 …… xn y: y0 y1 y2 …… yn
其中x0 ,x1,x2 ,…,xn是区间[a,b]上的互异点,要在函数类Φ中 求一个简单的函数φ(x)作为f(x)的近似表达式。
n=2时的二次基函数为 :
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) , l ( x ) ( x x0 )( x x2 ) , ( x0 x1 )( x0 x2 ) 1 ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) . ( x2 x0 )( x2 x1 )
n a0 a1 x0 an x0 y0 n a0 a1 x1 an x1 y1 a a x a x n y n n n 0 1 n
其系数行列式
1 1 x0 x1 x x
2 0 2 1
V ( x0 , x1 , xn )
（2）抛物插值：
取x0=4, x1=9, x2=16
7 L 2 (7) (7 9)(7 16) (7 4)(7 16) (7 4)(7 9) 2 3 4 (4 9)(4 16) (9 4)(9 16) (16 4)(16 9)
2.6286
例1 已知
4 2, 9 3, 16 4
求
7
解 取x0=4, y0=2，x1=9, y1=3 ，x2=16, y2=4. （1）线性插值： 取x0=4, x1=9
x 9 x 4 L 1(x ) 2 3 49 94
2 3 13 7 L1 (7) (9 7) (7 4) 2.6 5 5 5




分段插值
拉格朗日插值

线性插值
抛物插值 一般情形


线性插值
给定插值节点 x0, x1， y0=f(x0)，y1=f(x1). 求线性插值多项式L1 (x)=a0+ a1x，使满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1. y= L1 (x)的几何意义就是过点(x0, y0)，(x1, y1)的 直线。
同理
( x x0 )(x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
显然 L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2 满足条件 L2(xj)=yj (j=0,1,2) 将l0(x), l1(x), l2(x)代入得
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) L2 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
x x
n 0 n 1
2 n 1 xn xn xn

n i j 1
(x x )
i j
n
是Vandermonde行列式. 因
xi x j (i j)
故上式不为0。
据Cramer法则，方程组解存在且唯一。 故Pn (x)存在且唯一。
提纲

插值的基本概念 拉格朗日插值 逐步插值 插值余项
当选择代数多项式作为插值函数类时，称为代数多项 式插值问题:
代数多项式插值问题:
设函数y=f(x)在[a,b]有定义, 且已知在n+1个点 a≤x0<x1<……<xn≤b上的函数值y0, y1,……,yn.,要求一 个次数不高于n的多项式
Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
使满足插值原则
Pn ( xi ) yi , i 0,1,, n
称Pn(x)为f(x)的n次插值多项式。 这样的插值多项式是否存在、唯一？
定理 n次插值问题的解是存在而且唯一的。 证明：
设 Pn (x)=a0 + a1x + a2x2 + ……+ anxn
是y=f(x)在[a,b]上的n+1个互异节点x0,x1,…,xn的插值多 项式，则求Pn (x)问题归结为求系数a0,a1,…,an。 由插值条件： Pn (xk)= yk (k = 0,1,…,n) 得关于a0,a1,…,an的n+1阶线性方程组
使满足 ( xi ) yi , i 0,1,, n (插值原则、插值条件 ) 这类问题称为插值问题。
( x)
-----f(x)的插值函数;
f(x) -----被插值函数; x0 ,x1,x2 ,…,xn -----插值节点; 函数类Φ -----插值函数类; 求插值函数的方法称为插值法。 若x∈[a,b],需要计算f(x) 的近似值φ(x),则称x为插值点。
(k = 0,1,2,…,n) Lagrange插值多项式
Ln ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ln ( x) yn
n=1时,线性插值
L1 ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1
n=2时,二次插值或抛物插值
L2 ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 l2 ( x) y2
L1 (x)的表达式：
点斜式:
y1 y0 L1 ( x ) y0 ( x x0 ) x1 x0
wenku.baidu.com
x x0 x1 x y1 y0 变换可得: L1 ( x ) x1 x0 x1 x0
可以看到， L1 (x)是由两个线性函数 x x0 x1 x l0 ( x ) , l1 ( x ) x1 x0 x1 x0 的线性组合得到，其系数分别为y0， y1。即
任意一天的日照时间？
日照时间的变化设为 y(x)=a0+ a1x + a2x2, 根据三组数据: (1, 13.21)， (31, 14.35)， (61, 14.66)
导出关于a0，a1，a2的线性方程组
a0 a1 a2 13.21 2 a 31 a ( 31 ) a2 14.35 0 1 2 a 61 a ( 61 ) a2 14.66 1 0
第一章 插值方法
李书杰 合肥工业大学 计算机学院
提纲

插值的基本概念 拉格朗日插值 逐步插值 插值余项




分段插值
插值的基本概念
例. 某地区某年夏季时节间隔 30 天的日出日落时 间为
5月 1日 日出 5：51 日落 19：04 5月31日 5：17 19：38 6月30日 5：10 19：50
jk (j,k=0,1,…,n) jk
则称这n+1个n次多项式l0(x), l1(x),…, ln(x)为 节点x0 ,x1,…,xn上的n次插值基函数。
由条件lk(xj)=0(j ≠k)知x0 ,x1, …, xk-1,xk+1 … ,xn都是 n次多项式lk(x)的零点，故可设
lk(x)=Ak (x- x0)(x- x1)…(x- xk-1)(x- xk+1) …(x- xn)
y= L2 (x)的几何意义就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ， (x2, y2)三点的抛物线。
采用基函数方法，设 L2 (x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2 此时基函数l0(x), l1(x), l2(x)是二次函数.
基函数l0(x), l1(x), l2(x)在节点上满足：
其中Ak为待定系数。
再由lk(xk)=1有
1=Ak (xk- x0) (xk- x1)…(xk- xk-1)(xk- xk+1)…(xk- xn)
由x0 ,x1, …, xk-1,xk+1 … ,xn互异，解出Ak 1 Ak ( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
l0(x0)=1 , l0(x1)=0 , l0(x2)=0. l1(x0)=0 , l1(x1)=1 , l1(x2)=0. l2(x0)=0 , l2(x1)=0 , l2(x2)=1. 即
1 lk ( x j ) 0
jk jk
(j,k=0,1,2)
满足上式的插值基函数很容易求出。
一般情形
设有n+1个互异节点x0 <x1<…<xn，且 yi = f(xi) (i=0,1,2…,n) 构造Ln (x)，使 Ln (xj)= yj (j = 0,1,2,…,n) 定义 若n次多项式lj(x) (j = 0,1,…,n)在n+1个节 点x0 <x1<…<xn上满足条件
1 lk ( x j ) 0
求出a0，a1，a2，即可得到5、6月份的日照时 间的变化规律。
什么是插值?
插值法是函数逼近的一种简单但又十分重要的方法，实际 中，f(x)是复杂多样的，通常只能观测到一些离散数据；或者 f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近 f(x)。 自然地，希望φ(x)通过所有的离散点 φ(x) f(x)
( x 1)( x 3)( x 4) 1 l1 ( x ) ( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4) 12 ( x 1)( x 1)( x 4) 1 l2 ( x ) ( x 1)( x 1)( x 4) ( 3 1)( 3 1)( 3 4) 8 ( x 1)( x 1)( x 3) 1 l3 ( x ) ( x 1)( x 1)( x 3) (4 1)( 4 1)( 4 3) 15
n ik
(k=0,1,2,…n)
Ln ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ln ( x) yn
次数不高于n的多项式 在x0 ,x1,…,xn上的值分别为y0 ,y1,…,yn
n次插值基函数
( x x0 ) ( x xk 1 )(x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 ) ( xk xk 1 )(xk xk 1 ) ( xk xn )
n=1时的一次基函数为:
x x1 l0 ( x ) , x0 x1
y
x x0 l1 ( x ) . x1 x0
y
1
1
l0 ( x )
O
l1 ( x)
x O
x0
x1
x0
x1 x
抛物插值
假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项 式 L2 (x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2)
L1 ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1
l0 (x)及l1 (x) 在节点x0,x1上满足条件： l0(x0)=1 , l0(x1)=0. l1(x0)=0 , l1(x1)=1.
即
1 lk ( x j ) 0
jk jk
(j,k=0,1)
称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。
从而得
( x x0 ) ( x xk 1 )(x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 ) ( xk xk 1 )(xk xk 1 ) ( xk xn )
或记为
(k = 0,1,2,…,n)
( x xi ) lk ( x ) i 0 ( xk xi )
( 7 2.6458)
例2 求过点(-1,-2), (1,0), (3,-6), (4,3)的三次插值多项式 解 以 x0 1, x1 1, x2 3, x3 4 以为节点的基函数 分别为: ( x 1)( x 3)( x 4) 1 l0 ( x ) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 1 1)( 1 3)( 1 4) 40