第1节课 第一章 插值法 拉格朗日插值 分段插值
《拉格朗日插值法》课件
在数值分析中的应用
数值积分
01
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式逼近被积函
数，进而求得积分的近似值。
数值微分
02
利用拉格朗日插值法可以近似求得函数的导数值，用于数值微
分计算。
求解常微分方程
03
通过构造插值多项式，可以将常微分方程转化为代数方程组，
进而求解微分方程的近似解。
在数据拟合中的应用
重要性
拉格朗日插值法是数值分析中的基础方法之一，它为解决各种实际问题提供了重要的数学工具。通过 拉格朗日插值法，我们可以更好地理解和逼近数据，从而为进一步的数值分析和科学计算提供基础。
拉格朗日插值法的历史和发展
历史
拉格朗日插值法由意大利数学家约瑟夫·拉格朗日于18世纪提出。在此之前，人们已经意识到可以通过已知的数 据点来逼近未知的函数值，但缺乏系统的数学方法。拉格朗日的插值法为这个问题提供了一个完整的解决方案， 并在随后的几个世纪中得到了广泛的应用和发展。
深入研究拉格朗日多项式的性质
拉格朗日多项式是拉格朗日插值法的基础，但其性质仍有许多未知之处。未来的研究可以深入探索拉格 朗日多项式的性质，以期为插值法的发展提供新的思路和方法。
THANK YOU
多项式形式
插值多项式的一般形式为 (L(x) = sum_{i=0}^{n} y_i l_i(x))，其中 (l_i(x)) 是拉格朗日插值基函数。
求解插值多项式的系数
系数求解
通过已知的数据点和构造的插值多项 式，求解出多项式的系数。
求解方法
常用的求解方法是高斯消元法或追赶 法，通过求解线性方程组得到插值多 项式的系数。
《拉格朗日插值法》ppt课件
• 引言 • 拉格朗日插值法的基本概念 • 拉格朗日插值法的实现步骤 • 拉格朗日插值法的优缺点分析 • 拉格朗日插值法的应用实例 • 总结与展望
拉格朗日插值法计算插值方法与流程
拉格朗日插值法计算插值方法与流程下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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《拉格朗日插值》课件
通过对比已知数据点和插值函数的结果，评估拟合效果和预测准确度。
总结和展望
本课件介绍了拉格朗日插值的背景、原理、计算方法和应用，并总结了其优缺点。这门课程为数值分析和数据 插值领域提供了基础知识，并为未来的研究和应用提供了展望。
用于数据拟合、函数逼近和误差 估计。
图像处理
用于图像重建、图像修复和图像 插值。
信号处理
用于信号重构、信号滤波和信号 插值。
拉格朗日插值多项式的优缺点
拉格朗日插值多项式具有以下优点和缺点。 优点 简单易懂 计算效率高 适用于小范围插值
缺点 对于大量数据点计算复杂度高 对离散数据敏感 数值误差较大
示例演示：使用拉格朗日插值进行数据的 拟合
2 定义
插值问题是通过插值函数来逼近离散数据点 的函数曲线，以实现数据的拟合和预测。
拉格朗日插值多项式的原理
拉格朗日插值多项式是通过已知数据点构建的一个多项式函数，使得该函数在给定区间内的所有数据点上与已 知数据点完全一致。
插值多项式
拉格朗日插值多项式是通过拉 格朗日基函数构造出的一个多 项式函数。
《拉格朗日插值》PPT课 件
本课件旨在介绍拉格朗日插值的原理、计算方法、应用以及优缺点，帮助大 家更好地理解插值问题的背景和定义。
插值问题的背景和定义
插值问题是数值分析中的基础概念，指的是通过已知数据点构建一个函数，使得该函数在给定区间内的所有数 据点上与已知数据点完全一致。
1 背景
插值问题源于天文学和地理测量等领域中的 数据分析需求。
1
数据点坐日基函数计算
根据已知数据点的坐标值计算拉格朗日基函数。
3
插值多项式计算
将拉格朗日基函数与对应系数相乘并求和得到插值多项式。
数值计算方法 拉格朗日插值、分段插值 - 拉格朗日插值、分段插值
4!
(x x j ),
j0
[0.10, 0.30]
R3 (0.20)
e 24
(0.20
0.10)(0.20
0.15)(0.20
0.25)(0.20
0.30)
0.000001 e 106
插值多项式计算值 f (0.20) 0.818730 实际更精确的值为 f (0.20) 0.8187308 与上面讨论的余项表明6位的精度是相符的。
其截断误差为
R3( x)
M3 6
(x
x0 )( x
x1 )( x
x2 )
R2
其中 M3
(0.3367) sin 0.3367
max f ( x)
x0 x x2
1
L2(0.3367) 6
cos x0 0.828
(0.828)(0.0167)(0.033)(
0.0233)
0.178
10
用抛物插值计算sin 0.3367时，由公式（2.5）得
sin 0.3367
y0
(x ( x0
x1 )( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
y1
(x ( x1
x0 x0
)( )(
x x2 ) x1 x2 )
y2
(x ( x2
x0 x0
)( )(
x x1 ) x2 x1 )
L2(0.3367) 30374
6
拉格朗日插值问题
课后练习
设函数 f (x) ex，已知下列数据点：
x0 y0
0.10 0.904837
,
x1 y1
0.15 ,
0.860708
x2 y2
拉格朗日插值法总结
拉格朗日插值法总结拉格朗日插值法2008-05-12 16：44一、问题的背景在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。
但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)。
或者f(x)的函数f(x)表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算；希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。
二、插值问题的数学提法：已知函数在n+1个点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)求一个简单函数y=P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)。
即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn),同时在其它x∈[a,b]上要估计误差：R(x)=f(x)-P(x)其中P(x)为f(x)的插值函数，x0,x1,…,xn称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。
若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。
若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。
若P(x)是三角多项式，就称三角插值。
三、插值方法面临的几个问题第一个问题：根据实际问题选择恰当的函数类。
本章我们选择代数多项式类，其原因有两个：(1)代数多项式类简单；微分、积分运算易于实行；(2)根据著名的Weierstrass逼近定理，任何连续的函数都可以用代数多项式作任意精确的逼近。
第二个问题：构造插值函数P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)与此相关的问题是：插值问题是否可解(存在性的问题)，如果有解,是否唯一?(唯一性的问题)第三个问题：插值误差R(x)=f(x)-P(x)的估计问题。
与此相关的问题是插值过程的收敛性的问题。
《拉格朗日插值》课件
线性插值基函数 l0(x),l1(x) 满足下述条件
xi
x0
x1
l0 ( x )
1
0
l1 ( x )
0
1
并且他们都是一次函数。
注意他们Байду номын сангаас特点对下面的推广很重要
《拉格朗日插值》
18
一次Lagrange插值多项式(6)
• 我们称 l 0 ( x )为点 x 0 的一次插值基函数，l 1 ( x ) 为点 x 1 的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取
个互不相同的点处的函数值 y f (x ),i 0,1,,，n 为求
i
i
y f (x的) 近似式，自然应当选 n 次多项式
Pn (x) a0 a1x a2x2 an xn
使 P (x) 满足条件 n
Pn(xi ) yi , i 0, 1, ,n
f ( x)称为被插函数, pn ( x)称插值多项式,条件(3 3)称插值条件, x0,x1, , xn称插值节点 这种求函数近似式的方法称为插值法 几何上,其实质是用通过n 1个点( x1, y1)(i 0,1, , n)的多项式曲 线y pn ( x),当作曲线y f (x)的近似曲线.如图所示
又由 lk (xk ) 1 ，得：
(x k x 0 )x k ( x 1 ) (x k 1 x k 1 )x k ( x k 1 ) (x k x n )
《拉格朗日插值》
26
N次插值多项式6
l k ( x ) ( x k ( x x 0 x ) 0 ) x k x ( ( x x 1 1 ) ) ( ( x x k x x k k 1 1 ) ) x x k ( ( x k x k 1 ) 1 ) ( x ( x k x n ) x n )
第1节课 第一章 插值法 拉格朗日插值 分段插值
当选择代数多项式作为插值函数类时，称为代数多项 式插值问题: 代数多项式插值问题: 设函数y=f(x)在[a,b]有定义, 且已知在n+1个点 a≤x0<x1<……<xn≤b上的函数值y0, y1,……,yn.,要求一 个次数不高于n的多项式
Pn ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn
L1 (x)的表达式：
点斜式:
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
变换可得:
L1( x)
x x0 x1 x0
y1
x1 x x1 x0
y0
可以看到， L1 (x)是由两个线性函数
l0(x)
x1 x x1 x0
, l1( x)
x x0 x1 x0
的线性组合得到，其系数分别为y0， y1。即
l0(x)
x x1 x0 x1
,
l1( x)
x x0 x1 x0
.
y
1
l (x) 0
y
1
l (x) 1
O
x 0
x 1
x
Ox 0
xx 1
抛物插值
假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项 式 L2 (x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2)
y= L2 (x)的几何意义就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ， (x2, y2)三点的抛物线。 采用基函数方法，设
任意一天的日照时间？
日照时间的变化设为 y(x)=a0+ a1x + a2x2, 根据三组数据: (1, 13.21)， (31, 14.35)， (61, 14.66)
导出关于a0，a1，a2的线性方程组
拉格朗日插值法ppt课件
在节点xi处的函数值必然相等 但在节点 P(x外 )的值可能就会 f(x偏 ) 离 因此 P(x)近似代f(替 x)必然存在着误差 8
整体误差的大小反映了插值函数的好坏 为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函 数都使用代数多项式和有理函数
本章讨论的就是代数插值多项式
二、代数插值多项式的存在唯一性
n1(x) n1(xj )(xxj )
j0,1,2,,n -------(7')
显l然 0(x)l,1(x)l,2(x) , ,ln(x)线性(无 请同学关 们思考)
且
l j ( xi )
1 0
i j i j
i,j0,1,2,,n -------(8)
16
如果 l0(x)l用 1 ,(x)l2 ,(x) ,,ln(x)作 yf(x)的插值 而Pn(x) 为f(x)的插值多 ,则 项式
6
问题
• 是否存在唯一 • 如何构造 • 误差估计
如函 ys数 ixn ,若给 [0,]上 定 5个等分点
其插值函数的图象如图
7
yy
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
0.522
22..55
33
xxx
33..55
对于被插 f(x)和 函插 数值P(函 x) 数
一、插值余项
从上,节 yf可 (x)的 L 知 ag插 ran 值 ge
满足
n
Ln(x) yjlj(x) j0
L n(x i)f(x i) i 0 ,1 , ,n
但 x[a,b]
Ln(x)f(x) 不会完全成立
因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？
拉格朗日插值、分段插值 - 插值法的一般理论、拉格朗日插值、分段插值(1)
河北联合大学第2章 插值法§2.1 插值法的一般理论 §2.2 拉格朗日插值 §2.4 分段插值1．什么是插值问题与插值法？答：设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，且已知在点b x x a n ≤≤≤≤ 0上的值i i y x f =)(),,1,0(n i =，若存在简单函数)(x ϕ，使i i y x =)(ϕ ),,1,0(n i =成立，就称)(x ϕ为)(x f 的插值函数(Interpolating Function)，点i x ),,1,0(n i =为插值节点(Interpolation Knot)，包括插值节点的区间],[b a 称为插值区间(Interpolation Interval)，求插值函数)(x ϕ的方法称为插值法(Interpolation Method)。
若)(x n ϕ为次数不超过n 的代数多项式nn n x a x a a x +++= 10)(ϕ其中的i a ),,1,0(n i =为实数，就称)(x n ϕ为插值多项式(Interpolation Ploynomial)，相应的插值法称为多项式插值。
若)(x n ϕ为分段的多项式，就称为分段插值(Piecewise Interpolation)。
2．什么是拉格朗日插值基函数？答：拉格朗日插值是代数多项式插值中较为简单，格式整齐、对称和规范，便于程序设计的一种形式。
拉格朗日插值函数是拉格朗日插值基函数的线性组合，因此讨论拉格朗日基函数的构造方法以及它们的性质就十分重要了。
设n x x x ,...,10是给定的彼此互异的n +1个插值结点，n i x f y i i ,...,1,0),(==为给出的函数值，则)(...)()()(1100x l y x l y x l y x p n n n +++=是唯一的次数不超过n 的，满足n i y x p i i n ,...,1,0,)(==的多项式。
数值分析 第1章 插值方法讲解
f (n1) ( )
(n 1)!
n k 0
(x
xk ),
ξ [a,b]
第1章 插值方法
例题1: 令x0=0, x1=1. 写出y=f(x)=e-x的一次插值多项式 P1(x), 并估计误差.
解: x0=0, y0=1; x1=1, y1=e-1.
P1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
0, j k lk (x j ) 1, j k
lk (x)
n j 0
x xj xk x j
jk
插值基函数
Pn (x)
n k 0
yklk (x)
n k 0
n
yk (
j0
x xj ) xk x j
jk
第1章 插值方法
§3 插值余项
1.拉格朗日余项定理
l0 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
;
l2 (x)
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
.
插值基函数
第1章 插值方法
3.一般情形 问题的解(插值公式):
第1章 插值方法
f (x) Pn (x)
f
'
' (
2
)
(
x
x0
)(x
x1
)
1 e- (x 0)(x 1), ξ [0,1] 2
max
0 x1
f (x) Pn (x)
1 max e- 2 0x1
拉格朗日插值法
拉格朗日（ Lagrange ）插值可对插值函数选择多种不一样的函数种类，因为代数多项式拥有简单和一些优秀的特征，比如，多项式是无量圆滑的，简单计算它的导数和积分，故常采纳代数多项式作为插值函数。
线性插值问题给定两个插值点此中，如何做经过这两点的一次插值函数过两点作一条直线，这条直线就是经过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。
如下图。
图线性插值函数在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式结构经过两点的一条直线。
下边先用待定系数法结构插值直线。
设直线方程为，将分别代入直线方程得：当时，因，所以方程组有解，并且解是独一的。
这也表示，平面上解的存在性和唯一性，但要解一个方程组才能获得插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推行，故这类结构方法往常不宜采纳。
当时，若用两点式表示这条直线，则有：（）这类形式称为拉格朗日插值多项式。
，，称为插值基函数，计算，的值，易见（）在拉格朗日插值多项式中可将看做两条直线，的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位都是同等的。
拉格朗日插值多项式型式免去认识方程组的计算，易于向高次插值多项式型式推行。
线性插值偏差定理记为以为插值点的插值函数，。
这里，设一阶连续可导，在上存在，则对随意给定的，起码存在一点，使（）证明令，因是的根，所以可设对任何一个固定的点，引进协助函数：则由定义可得别在和和，即。
，这样起码有上应用洛尔定理，可知和，对3个零点，不失一般性，假设在每个区间起码存在一个零点，不如记为在上应用洛尔定理，获得，分在上起码有一个零点，。
此刻对求二次导数，此中的线性函数)，故有代入，得所以即二次插值问题给定三个插值点，, 此中互不相等，如何结构函数的二次的（抛物线）插值多项式平面上的三个点能确立一条次曲线，如下图。
图三个插值点的二次插值仿制线性插值的拉格朗日插值，即用插值基函数的方法结构插值多项式。
设每个基函数是一个二次函数，对来说，要求是它的零点，所以可设同理，也相对应的形式，得将代入，得同理将代入获得和的值，以及和的表达式。
第一章 插值方法
(100 121)(100 144)
(121 100) (121 144)
(115 100)(115 121) 12 (144 100)(144 121)
10.7228
例子插值精度分析
线性插值
(100,10), (121,11)得到
10.71428 误差-0.009525
(121,11),(144,12)
(x 121)(x 144) (100 121)(100 144)
10
(x 100)(x 144) (121 100) (121 144)
11
(x 100)(x 121) 12 (144 100)(144 121)
(115 121)(115 144) 10 (115 100)(115 144) 11
如何解决？
埃特金插值公式
埃 特 金 (Aitken) 插 值 公 式 的 构 造 是 基于这样的直观想象：平面上的两个点 可以连成一条直线, 对应一个线性函数； 把线性函数看作形式点, 经线性组合, 可构成二次函数；把二次函数再看作形 式点, 经线性组合, 可构成三次函数。
Aitken 插值表
x f(x)
点个不n次同插）值，多譬项如式选p取n(2x) (1x, )…。,由xn上,x述n+1定，理再，构我造们一有
f ( x) pn(1) ( x)
f (n1) (n
(1)
1)!
(
x
x0
)(
x
x1)(
x
xn
)
f ( x) pn(2) ( x)
f
( ( n 1) 2
(n 1)!
)
(
x
x1)(
x
近似值：p3(0.6)=-0.509975， 真 误 差 ： ln(0.6)-p3(0.6)=-0.000851 ，
第1章插值教案
第1章 插 值1.1 插 值插值问题的提出✌导入：插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。
在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算，或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，例如，有很多的物理、化学的实验数据；又例如，温度问题、股票的变化问题等。
我们希望建立一个简单的而便于计算的函数g (x)，使其近似的代替f (x)。
建立的方法可采用插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值。
基本概念由实验或测量的方法得到所求函数 )(x f y = 在互异点n x x x 10, 处的值n y y y ,,,10 构造一个简单函数 )(x φ作为函数 )(x f y = 的近似表达式)()(x x f y φ≈=，使得 n n y x y x y x ===)(,)(,)(2211φφφ （1）这类问题称为插值问题。
)(x f 称为被插值函数，)(x φ 称为插值函数， x 0 , x 1, ... , x n 称为插值节点。
(1)式称为插值条件。
✌插值的任务就是由已知的观测点,为物理量(未知量)建立一个简单的、连续的解析模型，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。
我们知道函数的类型很多，用来作插值函数的种类不同，所求得的插值函数 P(x)逼近f(x)的效果不同，常用的有代数多项式、三角函数式、和有理函数式等。
当选用的是代数多项式，相应的插值问题称为多项式插值。
在多项式插值中，最常见、最基本的函数是求一次数不超过n 的代数多项式：)1()(2210nn n x a x a x a a x P ++++=L这时插值问题变为:求n 次多项式P n (x),使满足插值条件)2(,,2,1,0,)(n i y x P i i n L ==只要求出P n (x)的系数a 0 ,a 1,…, a n 即可,为此由插值条件(2)知P n (x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n n n n n n nn y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a n n L L L L 22101212110022010100而a i (i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde 行列式xxx x xx x x x x x x n n2nnn1211n 0200n 10...1..................1...1),...,,V(=∏∏=-=-=n i i j j i x x 11)(由于x i 互异，所以(4)右端不为零，从而方程组(3)的解 a 0 ,a 1 ,…a n 存在且唯一。
第一章插值方法(3-4学时)
问题
l 求作二次式1 ( x )
，使满足条件
p2 ( x0 ) = y0 , p2 ( x1 ) = y1 , p2 ( x2 ) = y 2
二次插值的几何解释是用通过三个点 ( x0 , y0 ),( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 的抛物线 y = p2 ( x ) 插值，令
l0 ( x ) l0 ( x0 ) = 1, l0 ( x1 ) = l0 ( x2 ) = 0
问题
≤ 求作次数 n
pn ( x ) 多项式
Байду номын сангаас，使满足条件
这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。点 xi （它们互不相同） 拉格朗日（Lagrange）插值 拉格朗日 称为插值节点。 用几何语言来描述，就是，通过曲线y=f(x)上给定的n+1个点 ，求作一条n次代数曲线 作为 Y=f(x)的近似。
问题： 问题：
选取什么函数作为近似的函数 误差如何？
数值分析简明教程 2.<# >
f ( x )
，如何求得其具体表达式，
王能超 编著
插值问题
设函数f(x)在区间[a ，b]上有定义，且已知在一组互异 点 上的函数 值 ，寻求一个简单的函数p(x)，使满足 （1.1） 并用p(x)近似代替f(x)，上述问题称为插值问题 插值问题。 插值问题
类似的可以构造出
2.<# >
王能超 编著
拉格朗日插值的一般情形
≤n 仿照前述作法，对于求作次数 ，使满足条件
pn ( x ) 多项式
lk ( x ) , k = 0,1, 2,L , n
的问题，我们可构造插值基函数 ≤n ，它们都是次 数小于 这表明，除
拉格朗日插值法
Lagrange polynomial 维基百科，自由的百科全书
定义
对某个多项式函数，已知有给定的 个取值点：
其中 对应着自变量的位置，而 对应着函数在这个位置(每一个y值都不等于0)的取 值。 假设任意两个不同的 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗 日插值多项式为：
其中每个
几何性质
拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式 （由某一组 确定）可以看做是由次数不超过 n 的多项式所组成的线性空 间： 的一组基底。首先，如果存在一组系数： 使得， ， 那么，一方面多项式P是满足 的拉格 朗日插值多项式，另一方面P是零多项式，所以取值永远是0。所以 。 这证明了 是线性无关的。同时它一共包含 个多项式，恰好等于 的维数。所以 构成了 的一组基底。 拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的（都是 n 次多项 式）。
重心拉格朗日插值法
重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进。在拉格朗日插值法中，运用 多项式 可以将拉格朗日基本多项式重新写为：
定义重心权
上面的表达式可以简化为：
于是拉格朗日插值多项式变为：
即所谓的重心拉格朗日插值公式（第一型）或改进拉格朗日插值公式。它的优点 是当插值点的个数增加一个时，将每个 都除以 ，就可以得到新的重 心权 ，计算复杂度为 ，比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度 降了一个量级。 将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数 插值，可以得到：
优点与缺点
拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中， 当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整 个公式都会变化，非常繁琐。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代 替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因 此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在 附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差（如右下图）。这类现象也被称为龙 格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。
拉格朗日插值法（图文详解）
拉格朗⽇插值法（图⽂详解）拉格朗⽇插值⼊门由⼩学知识可知，n个点(x_i,y_i)可以唯⼀地确定⼀个多项式现在，给定n个点，请你确定这个多项式，并将k代⼊求值求出的值对998244353取模Input第⼀⾏两个正整数n,k，含义如题接下来n⾏，每⾏两个正整数x_i,y_i含义如题。
n≤2000,xi,yi,k≤998244353Output⼀个整数表⽰答案Sample Input3 1001 42 93 16Sample Output10201//样例⼀中的三个点确定的多项式是f(x)=x^2+2x+1，将100代⼊求值得到10201int re=1;while(y){if(y&1) re=(x*re)%mod;x=(x*x)%mod;y>>=1;}return re;}int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;}signed main(){n=read(),k=read();for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),b[i]=read();for(int i=1;i<=n;i++){int tmp=1;for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=j)tmp=tmp*(a[i]+mod-a[j])%mod; //分母tmp=quickpow(tmp,mod-2);for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=j) tmp=tmp*(k+mod-a[j])%mod; //分⼦tmp=tmp*b[i]%mod;ans=(ans+tmp)%mod;}printf("%lld\n",ans);return 0;}#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int mod=998244353;int x[2010],y[2010],a=1,b=0;int powmod(int a,int b){int ans=1;while(b){if(b&1)ans=1ll*ans*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}return ans;}int main(){int n,k;scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",x+i,y+i);for(int i=1;i<=n;i++){int a1=1,b1=1;//a1代表分母，b1代表分⼦b1=1ll*b1*y[i]%mod;for(int j=1;j<=n;j++)if(j!=i){b1=1ll*b1*(k-x[j])%mod;a1=1ll*a1*(x[i]-x[j])%mod;}b=(1ll*a1*b+1ll*a*b1)%mod;a=1ll*a*a1%mod;//b/a+b1/a1=(b*a1+a*b1)/(a*a1)}a=(a+mod)%mod,b=(b+mod)%mod;printf("%lld\n",1ll*b*powmod(a,mod-2)%mod);//因为带了除法，所以分母会⽐较⼤，于是在前⾯边乘边取模，最后取逆元return 0;}参考资料。
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李书杰 合肥工业大学 计算机学院
提纲
插值的基本概念 拉格朗日插值 逐步插值 插值余项
分段插值
插值的基本概念
例. 某地区某年夏季时节间隔 30 天的日出日落时 间为
5月 1日 日出 5：51 日落 19：04 5月31日 5：17 19：38 6月30日 5：10 19：50
x0
x1
x2
x
x3
x4
一、定义：
定义1:函数y=f(x)给出一组函数值 yi f ( xi ),i 0,1,, n
x: x0 x1 x2 …… xn y: y0 y1 y2 …… yn
其中x0 ,x1,x2 ,…,xn是区间[a,b]上的互异点,要在函数类Φ中 求一个简单的函数φ(x)作为f(x)的近似表达式。
当选择代数多项式作为插值函数类时，称为代数多项 式插值问题:
代数多项式插值问题:
设函数y=f(x)在[a,b]有定义, 且已知在n+1个点 a≤x0<x1<……<xn≤b上的函数值y0, y1,……,yn.,要求一 个次数不高于n的多项式
Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
使满足 ( xi ) yi , i 0,1,, n (插值原则、插值条件 ) 这类问题称为插值问题。
( x)
-----f(x)的插值函数;
f(x) -----被插值函数; x0 ,x1,x2 ,…,xn -----插值节点; 函数类Φ -----插值函数类; 求插值函数的方法称为插值法。 若x∈[a,b],需要计算f(x) 的近似值φ(x),则称x为插值点。
n=1时的一次基函数为:
x x1 l0 ( x ) , x0 x1
y
x x0 l1 ( x ) . x1 x0
y
1
1
l0 ( x )
O
l1 ( x)
x O
x0
x1
x0
x1 x
抛物插值
假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项 式 L2 (x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2)
如求l0(x): 因x1, x2 为其零点，故可表为
l0(x ) C(x x1 )(x x 2 )
其中C为待定系数，由l0(x0)=1 , 得
1 C (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )
故
( x x1 )(x x2 ) l0 ( x) ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x x0 )(x x2 ) l1 ( x) ( x1 x0 )(x1 x2 )
分段插值
拉格朗日插值
线性插值
抛物插值 一般情形
线性插值
给定插值节点 x0, x1， y0=f(x0)，y1=f(x1). 求线性插值多项式L1 (x)=a0+ a1x，使满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1. y= L1 (x)的几何意义就是过点(x0, y0)，(x1, y1)的 直线。
(k = 0,1,2,…,n) Lagrange插值多项式
Ln ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ln ( x) yn
n=1时,线性插值
L1 ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1
n=2时,二次插值或抛物插值
L2 ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 l2 ( x) y2
jk (j,k=0,1,…,n) jk
则称这n+1个n次多项式l0(x), l1(x),…, ln(x)为 节点x0 ,x1,…,xn上的n次插值基函数。
由条件lk(xj)=0(j ≠k)知x0 ,x1, …, xk-1,xk+1 … ,xn都是 n次多项式lk(x)的零点，故可设
lk(x)=Ak (x- x0)(x- x1)…(x- xk-1)(x- xk+1) …(x- xn)
一般情形
设有n+1个互异节点x0 <x1<…<xn，且 yi = f(xi) (i=0,1,2…,n) 构造Ln (x)，使 Ln (xj)= yj (j = 0,1,2,…,n) 定义 若n次多项式lj(x) (j = 0,1,…,n)在n+1个节 点x0 <x1<…<xn上满足条件
1 lk ( x j ) 0
n ik
(k=0,1,2,…n)
Ln ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ln ( x) yn
次数不高于n的多项式 在x0 ,x1,…,xn上的值分别为y0 ,y1,…,yn
n次插值基函数
( x x0 ) ( x xk 1 )(x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 ) ( xk xk 1 )(xk xk 1 ) ( xk xn )
n=2时的二次基函数为 :
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) , l ( x ) ( x x0 )( x x2 ) , ( x0 x1 )( x0 x2 ) 1 ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) . ( x2 x0 )( x2 x1 )
同理
( x x0 )(x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
显然 L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2 满足条件 L2(xj)=yj (j=0,1,2) 将l0(x), l1(x), l2(x)代入得
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) L2 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
例1 已知
4 2, 9 3, 16 4
求
7
解 取x0=4, y0=2，x1=9, y1=3 ，x2=16, y2=4. （1）线性插值： 取x0=4, x1=9
x 9 x 4 L 1(x ) 2 3 49 94
2 3 13 7 L1 (7) (9 7) (7 4) 2.6 5 5 5
从而得
( x x0 ) ( x xk 1 )(x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 ) ( xk xk 1 )(xk xk 1 ) ( xk xn )
或记为
(k = 0,1,2,…,n)
( x xi ) lk ( x ) i 0 ( xk xi )
( x 1)( x 3)( x 4) 1 l1 ( x ) ( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4) 12 ( x 1)( x 1)( x 4) 1 l2 ( x ) ( x 1)( x 1)( x 4) ( 3 1)( 3 1)( 3 4) 8 ( x 1)( x 1)( x 3) 1 l3 ( x ) ( x 1)( x 1)( x 3) (4 1)( 4 1)( 4 3) 15
x x
n 0 n 1
2 n 1 xn xn xn
n i j 1
(x x )
i j
n
是Vandermonde行列式. 因
xi x j (i j)
故上式不为0。
据Cramer法则，方程组解存在且唯一。 故Pn (x)存在且唯一。
提纲
插值的基本概念 拉格朗日插值 逐步插值 插值余项
使满足插值原则
Pn ( xi ) yi , i 0,1,, n
称Pn(x)为f(x)的n次插值多项式。 这样的插值多项式是否存在、唯一？
定理 n次插值问题的解是存在而且唯一的。 证明：
设 Pn (x)=a0 + a1x + a2x2 + ……+ anxn
是y=f(x)在[a,b]上的n+1个互异节点x0,x1,…,xn的插值多 项式，则求Pn (x)问题归结为求系数a0,a1,…,an。 由插值条件： Pn (xk)= yk (k = 0,1,…,n) 得关于a0,a1,…,an的n+1阶线性方程组
L1 ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1
l0 (x)及l1 (x) 在节点x0,x1上满足条件： l0(x0)=1 , l0(x1)=0. l1(x0)=0 , l1(x1)=1.
即
1 lk ( x j ) 0
jk jk
(j,k=0,1)
称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。
y= L2 (x)的几何意义就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ， (x2, y2)三点的抛物线。
采用基函数方法，设 L2 (x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2 此时基函数l0(x), l1(x), l2(x)是二次函数.
基函数l0(x), l1(x), l2(x)在节点上满足：
L1 (x)的表达式：
点斜式:
y1 y0 L1 ( x ) y0 ( x x0 ) x1 x0
x x0 x1 x y1 y0 变换可得: L1 ( x ) x1 x0 x1 x0
可以看到， L1 (x)是由两个线性函数 x x0 x1 x l0 ( x ) , l1 ( x ) x1 x0 x1 x0 的线性组合得到，其系数分别为y0， y1。即